与圆有关的最值问题.doc

与圆有关的最值问题

共线且P 和Q 在点O 的同侧（异侧）时，PQ 长度最小（大）．（通过定点与圆心连线与圆的

交点求出定点到圆上动点距离之最值） 3.过圆内一点的最短弦为过这点且与过该点的直径垂

直的弦； 4.通过切切点求有关角度之最值；5；通过弧的中点求弧上动点到弧所对弦距离最

短

例 1 （2014?无锡）如图，菱形ABCD 中，∠A =60°，AB=3，⊙A、⊙B 的半径分别为 2 和1，P、E、F 分别是边CD、⊙A 和⊙B 上的动点，则PE+PF 的最小值是3 ．

（固定点P，则PE+PF 的最小值可转化为PA+PB-3 再结合“饮马问题”确定PA+PB 的最

小值）

例2（2014?成都）如图，在边长为 2 的菱形ABCD 中，∠ A =60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A′M，N 连接A′C，则A′C长度的最小值是﹣1 ．

（点A'在以M 为圆心，MA 为半径的圆上）

例3（2014·烟台）在正方形ABCD 中，动点E、F 分别从D、C 两点同时出发，以相同的速

度在直线DC、CB 上移动．

（1）如图①，当点 E 自 D 向C，点 F 自 C 向 B 移动时，连接AE 和DF 交于点P，请你写

出AE 与DF 的位置关系，并说明理由；

（2）如图②，当E、F 分别移动到边DC、CB 的延长线上时，连接AE 和DF ，（1）中的结

论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）

（3）如图③，当E、F 分别在边CD、BC 的延长线上移动时，连接AE 和DF ，（1）中的结

论还成立吗？请说明理由；

（4）如图④，当E、F 分别在边DC、CB 上移动时，连接AE 和DF 交于点P，由于点E，

F 的移动，使得点P 也随之运动，请你画出点P 运动路径的草图．若AD =2，试求出线段

CP 的最小值．

练习：1．（2013·武汉16．）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE ＝DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段

DH长度的最小值是．

答案：5 1

2. （2014·烟台22（4）与武汉2013·16 题似）如图，在正方形ABCD 中，动点E、F 分

别从D、C 两点同时出发，以相同的速度在直线DC、CB 上移动．连接AE 和DF 交于点P，

由于点E，F 的移动，使得点P 也随之运动，若AD =2，则线段CP 的最小值为．

【答案】5 1

D 3．（09 福州10．）如图3，AD 是以等边三角形ABC 一边AB 为半径的四分之一圆周，P

P

为AD 上任意一点，若AC=5 ，则四边形ACBP 周长的最大值是

B

A A．15

B ．20

C ．15+ 5 2

D ．15+ 5 5

图 3

C

4（09 乐山8．）如图（4），一圆锥的底面半径为2，母线PB 的长为6，D 为PB 的中点．一

只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D ，则蚂蚁爬行的最短路程为（）

A．3 B．2 3

P C．3 3 D．3

D

A B

5 （08兰州11 ．）如图

6 ，在△ABC 中，

图（4）

A B 1 ，0 A C，8 B，C

经过点C 且与边AB 相切的动圆与CB，CA 分别相交于点

B

E

E，F ，则线段EF长度的最小值是（）

A．4 2 B．4.75

C．5 D．4.8 C F

A

图6

6 如图，点A 在半径为3 的⊙O 内，OA= 3，P为⊙O 上一点，当∠OPA 取最大值时，PA 的长等于（B ）

A ．3

2

B．6 C．

3

2

D．2 3

提示：作OB⊥AP 于B，sinA=OB/OA ，因OB≤OP，当B、P 重合时，OB 最大为3

二、填空题

1．（2012镇江12．）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB经过点A( －4，0) 、B( 0，

4) ，⊙O 的半径为1( O为坐标原点)，点P 在直线AB 上，过点P 作⊙O 的一条切线PQ，

Q为切点，则切线长PQ 的最小值为．

2．（3分）（2015?陕西·直径是圆中最长的弦）如图，AB是⊙O的弦，AB=6，点C是⊙O

上的一个动点，且∠ACB=45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是

3．

3．如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB22，D是线段BC上的一个

动点，以AD为直径画⊙O分别交AB,AC于点E,F,连接EF，则线段EF长度的最小值为3．

4★★★★在平面直角坐标系xOy中，给定y轴正半轴上的两点A（0，8）、B（0，2），点C 是x轴正半轴上的一个动点，当∠ACB最大时，点C的坐标是．

（（4,0）作过点A、B、C三点的圆M，∠ACB=1/2∠AMB，借助三角函数知当半径最小，

即圆M与x轴相切时，∠ACB最小）

5．（2013?内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx ﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为24．

(由y=kx ﹣3k+4 知直线必过点（3,4）过定点的最短弦)

6．（2014?苏州）如图，直线l 与半径为4 的⊙O 相切于点A ，P 是⊙O 上的一个动点（不与

点 A 重合），过点P 作PB⊥l ，垂足为B，连接PA．设PA=x，PB=y，则（x﹣y）的最大值

是 2 ．

7．（2013?咸宁）如图，在Rt△AOB 中，OA=OB =3 ，⊙O 的半径为1，点P 是AB 边上

的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ（点Q 为切点），则切线PQ 的最小值为 2 ．

8．（2012青岛14．）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内

离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与

蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm．

9(2014 潍坊)我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤

自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆

柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20 尺，底面周长为 3 尺，有葛藤自点 A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 B 处，则问题中葛藤的最短长度是_______