A高二第二学期数学期末测试题
高二年级下学期期末考试数学试题与答案解析(共三套)
高二年级下学期期末考试数学试题（一）注意事项：1．本试卷共22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a2＝3，a5＝9，则S6为（）A．36 B．32 C．28 D．242.的展开式中的常数项为（）A．﹣60 B．240 C．﹣80 D．1803.设曲线在处的切线与直线y＝ax+1平行，则实数a等于（）A．﹣1 B．C．﹣2 D．24.在2022年高中学生信息技术测试中，经统计，某校高二学生的测试成绩X～N（86，σ2），若已知P（80＜X≤86）＝0.36，则从该校高二年级任选一名考生，他的测试成绩大于92分的概率为（）A．0.86 B．0.64 C．0.36 D．0.145.设函数，若f（x）在点（3，f（3））的切线与x轴平行，且在区间[m﹣1，m+1]上单调递减，则实数m的取值范围是（）A．m≤2 B．m≥4 C．1＜m≤2 D．0＜m≤36.利用独立性检验的方法调查高中生的写作水平与喜好阅读是否有关，通过随机询问120名高中生是否喜好阅读，利用2×2列联表，由计算可得K2＝4.236．P（K2≥0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k0）k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828参照附表，可得正确的结论是（）A．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”B．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”C．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”D．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”7.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（i＝1，2，…，6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（）A．22种B．24种C．25种D．27种8.若两个等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为A n、B n，且满足，则的值为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高二第二学期期末考试数学试题含答案(word版)
高二年级第二学期期末考试数学试题一、选择题（每小题5分，共50分）1．在用数学归纳法证明:“凸多边形内角和为π)2(-n ”时，第一步验证的n 等于( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．7 2.欧拉公式x i x e ix sin cos +=（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天骄”。
根据欧拉公式可知，i e 32π表示的复数位于复平面中的（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．用反证法证明：“实数z y x ,,中至少有一个不大于0”时，反设正确的是（ ） A ．z y x ,,中有一个大于0 B ．z y x ,,都不大于0 C ．z y x ,,都大于0 D ．z y x ,,中有一个不大于0 4．设随机变量),(~p n B X ,且 1.6Ex =,0.96Dx =,则( )A ．0.4p 4,n ==B ．0.2p 8,n ==C ．0.32p 5,n ==D ．0.45p 7,n == 5．曲线)20(sin π≤≤=x x y 与x 轴所围成的封闭图形的面积为 ( ) A ．2B ．π2C ．πD ．46．已知函数x e x f x ln )(2⋅=，)(x f '为)(x f 的导函数，则)1(f '的值为（ ） A ．0 B ．1C ．eD ．2e7．给出定义：设)(x f '是函数)(x f y =的导函数，)(x f ''是函数)(x f '的导函数，若方程0)(=''x f 有实数解0x ，则称点))(,(00x f x 为函数)(x f y =的“拐点”.已知函数x x x x f cos sin 3)(-+=的拐点是))(,(00x f x ，则=0tan x （ ） A ．21 B ．22C ．23 D ．18．魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算术》中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．这是一种无限与有限的转化过程，比如在正数Λ++112112中的“…”代表无限次重复，设Λ++=112112x ，则可以利用方程x x +=112求得x ，类似地可得到正数Λ333=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．69．已知6)(x xa -展开式的常数项为15，则=a （ ）A ．1±B ．0C ．1D ．-110．某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（ ） A ．8种 B ．12种 C ．16种 D ．20种二、填空题（每小题5分，共20分）11．设随机变量X 的概率分布列如下图，则==-)12(x P __． 12．曲线1)(+=x xe x f 在点))0(,0(f 处的切线方程为_____． 13．复数z 满足12=+-i z ，则z 的最小值是___________．14．椭圆1422=+y x 绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积为 ．三、解答题（每小题10分，共50分）15．已知复数i iaz ++=1，其中i 为虚数单位，R a ∈. （1）若R z ∈，求实数a 的值；（2）若z 在复平面内对应的点位于第一象限，求实数a 的取值范围.16.用数学归纳法证明：当*N n ∈时，21223+++n n 能被7整除．17．近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重. 大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病。
哈尔滨市数学高二下学期理数期末考试试卷A卷(测试)
哈尔滨市数学高二下学期理数期末考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）若是纯虚数，则=（）A .B . -1C .D . -72. （2分）已知命题命题，若命题是真命题，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高一上·汪清月考) 设，则（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高三上·蕉岭开学考) 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：广告费用x（万元）1245销售额y（万元）6142832根据上表中的数据可以求得线性回归方程 = x+ 中的为6.6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为（）A . 66.2万元B . 66.4万元C . 66.8万元D . 67.6万元5. （2分） (2016高二下·故城期中) 身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）A . 24种B . 48种C . 36种D . 28种6. （2分）从混有5张假钞的20张一百元纸币中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假币，则这两张都是假币的概率为（）A .B .C .D .7. （2分）如图是一个算法的程序框图，若该程序输出的结果为，则判断框中应填入的条件是（）A . T>4?B . T<4?C . T>3?D . T<3?8. （2分）已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中；5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：137966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A . 0.40B . 0.30C . 0.35D . 0.259. （2分）(2017·海淀模拟) 已知，则“∀x∈R，f（x+π）=f（x）”是“ω=2”的（）A . 充分必要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件10. （2分）已知向量 =（1，0）， =（﹣，），则与的夹角为（）A . 30°B . 60°C . 120°D . 150°11. （2分）设F1和F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是（）A . 1B .C . 2D .12. （2分）(2012·湖北) 函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为（）A . 4B . 5C . 6D . 7二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·辽宁期中) 设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c+1）=P（ξ＜c ﹣1），则c=________．14. （1分）代数式（1﹣x）（1+x）5的展开式中x3的系数为________15. （1分） (2015高二上·龙江期末) 若函数f（x）=2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是________．16. （1分）点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x+5=0的距离小1，则点M的轨迹方程是________三、解答题 (共6题；共55分)17. （15分） (2016高一上·清远期末) 已知函数f（x）=x2﹣3mx+n（m＞0）的两个零点分别为1和2．（1）求m、n的值；（2）若不等式f（x）﹣k＞0在x∈[0，5]恒成立，求k的取值范围．（3）令，若函数F（x）=g（2x）﹣r2x在x∈[﹣1，1]上有零点，求实数r的取值范围．18. （10分）(2017·大同模拟) 2017年省内事业单位面向社会公开招聘工作人员，为保证公平竞争，报名者需要参加笔试和面试两部分，且要求笔试成绩必须大于或等于90分的才有资格参加面试，90分以下（不含90分）则被淘汰．现有2000名竞聘者参加笔试，参加笔试的成绩按区间[30，50），[50，70），[70，90），[90，110），[110，130），[130，150]分段，其频率分布直方图如下图所示（频率分布直方图有污损），但是知道参加面试的人数为500，且笔试成绩在的[50，110）的人数为1440．（1）根据频率分布直方图，估算竞聘者参加笔试的平均成绩；（2）若在面试过程中每人最多有5次选题答题的机会，累计答题或答错3题即终止答题．答对3题者方可参加复赛．已知面试者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响．若他连续三次答题中答对一次的概率为，求面试者甲答题个数X的分布列和数学期望．19. （10分）(2018·银川模拟) 如图在棱锥中，为矩形，面，，与面成角，与面成角（1）在上是否存在一点，使面，若存在确定点位置，若不存在，请说明理由；（2）当为中点时，求二面角的余弦值.20. （5分） (2017高二下·鞍山期中) 已知函数f（x）是R上的增函数，（Ⅰ）若a，b∈R，且a+b≥0，求证f（a）+f（b）≥f（﹣a）+f（﹣b）（Ⅱ）写出（1）中命题的逆命题，判断其真假并证明你的结论．21. （5分）(2017·宜宾模拟) 在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为：（其中θ为参数）．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；（ II）直线l的参数方程为：（其中t为参数），直线l与曲线C分别交于A，B两点，且，求直线l的斜率．22. （10分）(2020·泉州模拟) 已知函数．（1）证明：；（2）当时，，求的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、22-2、。
高二下学期期末数学考试试卷含答案(共5套)
i A. > B. > 1 C. a 2 > b 2 D. ab < a + b - 18、已知 x > 0 ， y > 0 ，若 2 y + > m 2 + 2m 恒成立，则实数 m 的取值范围是（）高二年级下学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、不等式 2x - 3 < 5 的解集为（）A. (-1,4)B. (1,4)C. (1,-4)D. (-1,-4)2、设复数 z 满足 (1 + i) z = 2 （ i 为虚数单位），则复数 z 的共轭复数在复平面中对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3、某市对公共场合禁烟进行网上调查，在参与调查的 2500 名男性市民中有 1000 名持支持态度，2500 名女性市民中有 2000 人持支持态度，在运用数据说明市民对在公共场合禁烟是 否支持与性别有关系时，用什么方法最有说明力（ ） A. 平均数与方差 B. 回归直线方程 C. 独立性检验 D. 概率4、若函数 f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c 满足 f '(1) = 2 ，则 f '(-1) 等于（）A. - 1B. - 2C. 2D. 05 、函数 y = f ( x ) 的图象过原点，且它的导函数y = f '( x ) 的图象是如图所示的一条直线，y = f ( x ) 的图象的顶点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6、在一组样本数据 ( x , y ) ， ( x , y ) ，……， ( x , y ) (n ≥ 2, x , x ⋅ ⋅ ⋅ x 不全相等）的散点图中， 1 122nn12n若所有样本点 ( x , y ) (i = 1,2 ⋅ ⋅ ⋅ n) 都在直线 y = i i （ ）1 2x + 1上，则这组样本数据的样本相关系数为A. - 1B. 0C. 12D. 17、若 a < 1 ， b > 1 那么下列命题正确的是（ ）1 1 b a b a8xx yA. m ≥ 4 或 m ≤ -2B. m ≥ 2 或 m ≤ -4C. - 4 < m < 2D. - 2 < m < 49、某同学为了了解某家庭人均用电量（ y 度）与气温（ x o C ）的关系，曾由下表数据计算回归直线方程 y = - x + 50 ，现表中有一个数据被污损，则被污损的数据为（）+ 的取值范围A. ⎢ ,+∞ ⎪B. - ∞, ⎥C. ⎢ ,+∞ ⎪D. - ∞,- ⎥气温 30 2010 0 人均用电量20 30*50A. 35B. 40C. 45D. 4810、已知函数 f ( x ) 的导函数 f '( x ) = a( x + 1)( x - a) ，若 f ( x ) 在 x = a 处取得极大值，则a 的取值范围是（）A. (-∞,1)B. (-1,0)C. (0,1)D. (0,+∞ )11、已知函数 f ( x ) = x 3 - 2ax 2 - bx 在 x = 1 处切线的斜率为 1 ，若 ab > 0 ，则 1 1a b（ ）⎡ 9 ⎫ ⎛ 9 ⎤ ⎡ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎤ ⎣ 2 ⎭⎝ 2 ⎦ ⎣ 2 ⎭ ⎝2 ⎦12、已知 a > b > c > 1 ，设 M = a - cN = a - bP = 2( a + b- ab ) 则 M 、 N 、 P 的大小2关系为（ ）A. P > N > MB. N > M > PC. M > N > P二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分） 13、下列的一段推理过程中，推理错误的步骤是_______ ∵ a < b∴ a + a < b + a 即 2a < b + a ……①∴ 2a - 2b < b + a - 2b 即 2(a - b ) < a - b ……②∴ 2(a - b )(a - b ) < (a - b )(a - b ) 即 2(a - b )2 < (a - b )2 ……③∵ (a - b )2 > 0∴ 可证得 2 < 1 ……④D. P > M > N14、已知曲线 y = x 2 4- 3ln x 在点（ x , f ( x ) 处的切线与直线 2 x + y - 1 = 0 垂直，则 x 的值为0 0 0________15、 f ( x ) = x +1( x > 2) 在 x = a 年取得最小值，则 a =________x - 216、设 a 、 b ∈ R ， a - b > 2 ，则关于实数 x 的不等式 x - a + x - b > 2 的解集是_______三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。
陕西省西安中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题
西安中学2023-2024学年度第二学期期末考试高二数学试题（时间：120分钟满分：100分）一、选择题（本题共8小题，每小题3.5分，共28分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．曲线2()3e xf x x =-在(0,1)-处的切线方程为（）A ．10x y ++=B ．10x y -+=C ．10x y --=D ．10x y +-=2．若随机变量~(3,9),(13)0.35N P ξξ<<=,则(5)P ξ>=（）A ．0.15B ．0.3C ．0.35D ．0.73．随机变量X 的分布列如下：X 2-12Pab12若()1E X =,则()D X =（）A ．0B ．2C ．3D ．44．若41x ⎫+⎪⎭的二项展开式中常数项为（）A ．1B ．2C ．4D ．65．甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙都单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（）A ．96种B ．132种C ．168种D ．204种6．某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”的国防知识竞赛，从中随机抽取200名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）①频率分布直方图中a 的值为0.005②估计这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80③估计这200名学生竞赛成绩的众数为78④估计总体中成绩落在[)60,70内的学生人数为150A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②④7．质数()prime number 又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件A =“这两个数都是素数”；事件B =“这两个数不是孪生素数”，则()P BA =∣（）A ．1115B ．3745C ．4345D ．41458．“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列如图所示，去除所有为1的项，依此构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5，…，则此数列的前45项的和为（）A ．2026B ．2025C ．2024D ．2023二、选择题（本题共3小题，每小题4分，共12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得4分，有选错的得0分，部分选对得2分．）9．某车间加工同一型号零件，第一、二台车床加工的零件分别占总数的30%，70%，各自产品中的次品率分别为6%，5%．记“任取一个零件为第i 台车床加工()1,2i =”为事件i A ，“任取一个零件是次品”为事件B ,则（）A ．()0.053P B =B ．()10.05P BA =∣C ．()20.035P A B =D ．()23553P A B =∣10．2024年6月18日，很多商场都在搞促销活动．西安市物价局派人对5个商场某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：x 9095100105110y1110865用最小二乘法求得y 关于x 的经验回归直线是ˆˆ0.32yx a =-+，相关系数0.9923r =-,则下列说法正确的有（）A ．变量x 与y 负相关且相关性较强B ．ˆ40a=C ．当85x =时，y 的估计值为13D ．相应于点(105,6)的残差为0.4-11．关于函数2()ln f x x x=+,下列判断正确的是（）．A ．2x =是()f x 的极小值点B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点C ．存在正实数k ,使得()f x kx >恒成立D ．对任意两个正实数12,x x ,且12x x >,若()()12f x f x =,则124x x +>三、填空题（本题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填在答题卡上的相应位置．）12．五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学、中医学和占卜方面，五行指金、木、水、火、土．现将“金、木、水、火、土”排成一排，则“木、土”相邻的排法种数是___________种．13．若函数2()ln f x x x a x =-+在(1,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为___________．14．已知二项式(1n +的二项式系数和为32．给出下列四个结论：①5n =②展开式中只有第三项的二项式系数最大③展开式各项系数之和是243④展开式中的有理项有3项其中，所有正确结论的序号是___________．四、解答题（本题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分8分）当前，以ChatGPT 为代表的AIGC （利用AI 技术自动生成内容的生产方式）领域一系列创新技术有了革命性突破．全球各大科技企业都在积极拥抱AGC ,我国的BAT （百度、阿里、腾讯3个企业的简称）、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷纷加码布局AIGC 赛道，某传媒公司准备发布《2023年中国AIGC 发展研究报告》，先期准备从上面7个科技企业中随机选取3个进行采访．记选取的3个科技企业中BAT 中的个数为X ,求X 的分布列与期望．16．（本小题满分8分）下表是某单位在2024年1~5月份用水量（单位：百吨）的一组数据：月份x 12345用水量y2.5344.55.2（1）从这5个月中任取2个月的用水量，求所取2个月的用水量之和不超过7（单位：百吨）的概率；（2）若由经验回归方程得到的预测数据与实际数据的误差不超过0.05，视为“预测可靠”，那么由该单位前4个月的数据所得到的经验回归方程预测5月份的用水量是否可靠？说明理由．参考公式：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ,其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()112211ˆˆˆ,n niii ii i nniii i x x y y x y nxybay bx x x xnx ====---===--∑∑∑∑．17．（本小题满分10分）2024年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网站从参与调查者中随机选出200人，数据显示关注此问题的约占45，并将这200人按年龄分组，第1组[)15,25，第2组[)25,35，第3组[)35,45，第4组[)45,55，第5组[]55,65，得到的频率分布直方图如图所示．（1）估计参与调查者的平均年龄；（2）把年龄在第1,2,3组的居民称为青少年组，年龄在第4,5组的居民称为中老年组，若选出的这200人中不关注民生问题的中老年人有10人，得到如下22⨯列联表．请将列联表补充完整填入答题卡，并回答：依据小概率值0.050α=的独立性检验，能否认为是否关注民生与年龄有关？关注民生问题不关注民生问题合计青少年中老年10合计200（3）将此样本频率视为总体的概率，从网站随机抽取4名青少年，记这4人中“不关注民生问题”的人数为Y ,求随机变量2Y =时的概率和随机变量Y 的数学期望()E Y ．附：22(),()()()()n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++．α0.0500.0100.0050.001x α3.8416.6357.87910.82818．（本小题满分10分）已知函数2()ln ()f x x a x a R =-∈．（1）若2a =,求()f x 的极值；（2）若函数()()(12)g x f x a x =+-恰有两个零点，求a 的取值范围．19．（本小题满分12分）某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为27；从第二次模球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为12，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为13．记该顾客第n 次摸球抽中奖品的概率为n P ．（1）求23P P 、的值；（2）探究数列{}n P的通项公式，并求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程．西安中学2023-2024学年度第二学期期末考试高二数学答案选择题1234567891011A ABC C BD A ACD ABD ABD 填空题12．4813．[1,)-+∞14．①③④．解答题15．解：易知X的所有可能取值为0,1,2,3，此时122133434433377741812(0),(1),(2)353535C C C CCP X P X P XC C C=========，33371(3)35CP XC===，4分则X的分布列为：X0123P43518351235135 6分此时4181219()0123353535357E X=⨯+⨯+⨯+⨯=．8分16．解：（1）从这5个月中任取2个月，包含的可能的情况有2510C=个，其中所取2个月的用水量之和不超过7（百吨）的可能情况有以下4个：(2.5,3),(2.5,4),(2.5,4.5),(3,4),故所求概率42105P==．4分（2）由该单位前4个月的数据所得到的经验回归方程，则由数据得1234 2.534 4.52.5,3.544x y++++++====由公式计算得41422142.56121835ˆ0.714916254i iiiix y xybx x==-+++-===+++--∑∑ˆˆ 1.75a y bx=-=,所以y关于x的经验回归方程为ˆ0.7 1.75y x=+,当5x =时，得估计值ˆ0.75 1.75 5.25y=⨯+=，而|5.2 5.25|0.050.05-=≤所以得到的经验回归方程是“预测可靠”的．8分17．解：0.0110200.01510300.03510400.0310500.010106041.5x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,∴估计参与调查者的平均年龄为：41.5岁．3分（2）选出的200人中，各组的人数分别为：第1组：2000.0101020⨯⨯=人，第2组：2000.0151030⨯⨯=人，第3组：2000.0351070⨯⨯=人，第4组：2000.0301060⨯⨯=人，第5组：2000.0101020⨯⨯=人，∴青少年组有203070120++=人，中老年组有20012080-=人，∵参与调查者中关注此问题的约占80%，∴有200(180%)40⨯-=人不关心民生问题，∴选出的200人中不关注民生问题的青少年有30人，22∴⨯列联表如下：关注民生问题不关注民生问题合计青少年9030120中老年701080合计160402005分零假设0H :假设关注民生问题与性别相互独立，22200(90107030) 4.6875 3.8411604080120χ⨯-⨯==>⨯⨯⨯,∴根据独立性检验，可以认为零假设0H 不成立，7分即能依据小概率值0.050α=的独立性检验，认为是否关注民生与年龄有关．（3）由题意，青少年“不关注民生问题”的频率为3011204=，将频率视为概率，每个青少年“不关注民生问题”的概率为14，因为每次抽取的结果是相互独立的，所以1~4,4Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，411()14,0,1,2,3,444kk P Y k C k k ⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以242241127(2)144128P Y C -⎛⎫⎛⎫==-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1()414E Y =⨯=．10分18．解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞,当2a =时，22()2ln ,()2f x x x f x x x'=-=-,令()0f x '=，得1x =,当(0,1)x ∈时，()0f x '<;当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>,所以()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以1x =是()f x 的极小值点，又(1)12ln11f =-=,故()f x 的极小值为1，无极大值；4分（2）由2()()(12)ln (12)g x f x a x x a x a x =+-=-+-得，(21)()()2(12)a x x a g x x a x x+-'=-+-=，当0a ≤时，()0g x '>,所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，则()g x 最多有一个零点，不合题意；6分当0a >时，当(0,)x a ∈时，()0g x '<,当(,)x a ∈+∞时，()0g x '>,所以()g x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，0,(),,()x g x x g x →→+∞→+∞→+∞所以：()g x 的极小值为22()ln (12)ln (1ln )0g a a a a a a a a a a a a a =-+-=--=--<,8分令()1ln ,0u a a a a =-->,则()1ln 0u a a a =--<1()10u a a'=--< ,所以()u a 在(0,)+∞上单调递减，又(1)1ln110u =--=,当01a <≤时，()0u a ≥，所以()g x 最多有一个零点，不合题意；当1a >时，()0u a <,所以当1a >时，函数()g x 恰有两个零点，10分综上，a 的取值范围是(1,)+∞．19．（1）记该顾客第()*N i i ∈次摸球抽中奖品为事件A ,依题意，127P =，()()()()()221211212121191737242P P A P A P A A P A P A A ⎛⎫==+=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭∣∣．3107252P =6分（2）因为()()()1111,,32n n n n n n P A A P A A P P A --===∣∣,所以()()()()()1111n n nn n nn P A P A P A A P A P A A ----=+∣∣,所以()111111113262n n n n P P P P ---=+-=-+，所以1313767n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，8分又因为127P =，则131077P -=-≠，所以数列37n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为17-，公比为16-的等比数列，故1311776n n P -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．10分证明：当n 为奇数时，131319776742n n P -=-<<⋅，当n 为偶数时，131776n n P -=+⋅,则n P 随着n 的增大而减小，所以，21942n P P ≤=．综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大．12分。
高二下学期期末考试数学试卷(含参考答案)
高中二年级学业水平考试数学（测试时间120分钟，满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知i 是虚数单位，若复数))((R a i a i ∈+-的实部与虚部相等，则=a （A ）2-（B ）1- （C ）1 （D ）2（2）若集合{}0,1,2A =，{}24,B x x x N =≤∈，则AB =（A ）{}20≤≤x x（B ）{}22≤≤-x x （C ）{0,1,2} （D ）{1,2}（3）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 没有公共点”是“平面α和平面β平行”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）若()1sin 3πα-=，且2παπ≤≤，则sin 2α的值为（A ）9-（B ）9-（C ）9（D ）9（5）在区间[]1,4-上随机选取一个数x ，则1≤x 的概率为 （A ）23 （B ）15 （C ）52 （D ）14（6）已知抛物线2y x =的焦点是椭圆22213x y a +=的一个焦点，则椭圆的离心率为（A ）37（B ）13（C ）14 （D ）17（7）以下函数，在区间[3,5]内存在零点的是（A ）3()35f x x x =--+ （B ）()24x f x =-图2俯视图侧视图主视图（C ）()2ln(2)3f x x x =-- （D ）1()2f x x=-+ （8）已知(2,1),(1,1)a b ==，a 与b 的夹角为θ，则cos θ=（A）10 （B）10 （C）5 （D）5（9）在图1的程序框图中，若输入的x 值为2，则输出的y 值为（A ）0 （B ）12 （C ）1- （D ）32- （10）某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的侧面积是（A ）76 （B ）70 （C ）64 （D ）62 （11）设2()3,()ln(3)xf x eg x x =-=+，则不等式(())(())11f g x g f x -≤的解集为（A ）[5,1]- （B ）(3,1]- （C ）[1,5]- （D ）(3,5]-(12) 已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x <，则a 的取值范围为（A ）∞（-,-2） （B ）1∞（-,-) （C ）(1,+)∞ （D ）(2,)+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）函数()cos f x x x =+的最小正周期为 ．（14）已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-3322y x y x x y ，则y x -2的最小值为 .（15）已知直线l ：0x y a -+=，点()2,0A -，()2,0B . 若直线l 上存在点P 满足AP BP ⊥，则实数a 的取值范围为 .（16）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2,b =3B π=，且△ABC 的面DC 1B 1CBA积S =a c += .三、解答题：本大题必做题5小题，选做题2小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足141,4a a ==；数列{}n b 满足12b a =，25b a =，数列{}n n b a -为等比数列． (Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (Ⅱ)求数列{}n b 的前n 项和n S ． （18）（本小题满分12分）某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地区某高级中学一兴趣小组由9名高二级学生和6名高一级学生组成，现采用分层抽样的方法抽取5人，组成一个体验小组去市场体验“共享单车”的使用.问：（Ⅰ）应从该兴趣小组中抽取高一级和高二级的学生各多少人；（Ⅱ）已知该地区有X ,Y 两种型号的“共享单车”，在市场体验中，该体验小组的高二级学生都租X 型车，高一级学生都租Y 型车.如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有1人在市场体验过程中租X 型车的概率.（19）（本小题满分12分）如图3，已知四棱锥11A CBB C -的底面为矩形，D 为1AC 的中点，AC ⊥平面BCC 1B 1． （Ⅰ）证明：AB//平面CDB 1; （Ⅱ）若AC=BC=1，BB 1（1）求BD 的长；（2）求三棱锥C-DB 1C 1的体积. 图3 （20）（本小题满分12分）已知过点(0,1)A 的动直线l 与圆C ：224230x y x y +---=交于M ，N 两点. （Ⅰ）设线段MN 的中点为P ，求点P 的轨迹方程; （Ⅱ）若2OM ON ⋅=-,求直线l 的方程. （21）（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =.（Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若对任意1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()213022f x x ax +++≤成立，求实数a 的取值范围． 请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的14，得曲线C . （Ⅰ）写出C 的参数方程；（Ⅱ）设直线l ：410x y ++=与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1 P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. （23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()|2|||f x x x a =-+-. （Ⅰ）若2a =-，解不等式5)(≥x f ；（Ⅱ）如果当x R ∈时，()3f x a ≥-，求a 的取值范围．数学参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：部分解析：（10）依题意知，该几何体是底面为直角梯形的直棱柱，故其侧面积为42+44+245=64⨯⨯⨯⨯.（11）(())(())11f g x g f x -≤即22(3)3211450x x x x +--≤⇒+-≤51x ⇒-≤≤，注意到30x +>，即3x >-，故31x -<≤.（12）当0a =时，函数2()31f x x =-+有两个零点，不符合题意，故0a ≠，2'()363(2)f x ax x x ax =-=-，令'()0f x =得0x =或2x a =，由题意知，0a >，且2()0f a>，解得2a >．二、填空题：（15）问题转化为求直线l 与圆2222x y +=有公共点时，a 的取值范围，数形结合易得a -≤.（16）由余弦定理得2222cos 4b a c ac B =+-=，即224a c ac +-=，1sin 24S ac B ac ===得4ac =，故2()164a c a c +=⇒+= 三、解答题：（17）解：（Ⅰ）由数列{}n a 是等差数列且141,4a a ==∴公差4113a a d -==， ------------------------------------------------------------------------------1分 ∴1(1)n a a n d n =+-=，------------------------------------------------------------------------------3分 ∵12b a ==2，25b a ==5，∴11221,3,b a b a -=-= ∴数列{}n n b a -的公比22113b a q b a -==-，-----------------------------------------------------------5分∴1111()3n n n n b a b a q ---=-=，∴13n n b n -=+；-------------------------------------------------------------------------------------------7分 (Ⅱ)由13n n b n -=+得21(12)(1333)n n S n -=++++++++--------------------------------------------------------9分(1)31231n n n +-=+- 3(1)12n n n ++-=------------------------------------------------------------------------------------ 12分 （18）解：（Ⅰ）依题意知，应从该兴趣小组中抽取的高一学生人数为56=29+6⨯， ------2分 高二学生的人数为:59=39+6⨯； -------------------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）解法1：记抽取的2名高一学生为12,a a ，3名高二的学生为123,,b b b ，------------5分 则从体验小组5人中任取2人的所有可能为：12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ，(a 2,b 1), (a 2,b 2), (a 2,b 3), (b 1,b 2), (b 1,b 3), (b 2,b 3)，共10种可能； ----------------------------------------------------------8分 其中至少有1人在市场体验过程中租X 型车的有：111213(,),(,),(,)a b a b a b ，212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b b b b b b b 共9种，------------------------------------------10分故所求的概率910P =.-----------------------------------------------------------------------------------------12分 【解法:2：记抽取的2名高一学生为12,a a ，3名高二的学生为123,,b b b ，------------------------5分 则从体验小组5人中任取2人的所有可能为：12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ，EABCB 1C 1D212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b b b b b b b 共10种可能；--------------------------------------8分其中所抽的2人都不租X 型车的有：12(,)a a 一种，-------------------------------------------------9分 故所求的概率1911010P =-=. ---------------------------------------------------------------------------12分 （19）解：（Ⅰ）证明：连结1BC 交1B C 于E ，连结DE ， ------------------------------------------1分 ∵D 、E 分别为1AC 和1BC 的中点，∴DE//AB,---------------------------------- --------------------2分 又∵DE ⊂平面1CDB ,AB ⊄平面1CDB ,∴AB//平面CDB 1;---------------------------------------------4分 （Ⅱ）（1）∵AC ⊥平面BCC 1B 1，BC ⊂平面11BCC B ， ∴BC AC ⊥, 又∵1BC CC ⊥,1ACCC C =，∴BC ⊥平面1ACC ， ∵CD ⊂平面1ACC ,∴BC CD ⊥,----------------------------------------------------------------------------------------------------6分 在Rt BCD ∆,∵BC=1，1112CD AC ===, ∴BD =分【注：以上加灰色底纹的条件不写不扣分！】 （2）解法1：∵BC ⊥平面1ACC ，BC//B 1C 1∴11B C ⊥平面1CC A ,-----------------------------------------------------------------------------------------10分 ∴111111113C DB C B CDC CDC V V S B C --∆==⋅111134=⨯⨯=. ---------------------------------12分 【解法2：取1CC 中点F,连结DF ，∵DF 为△1ACC 的中位线，∴DF//AC,-------------------------------------------------------------------9分 ∵AC ⊥平面11CBB C ，从而可得DF ⊥平面11CBB C ,----------------------------------------------10分∴11111113C DB C D CB C CB C V V S DF --∆==⋅1111322=⨯⨯=. --------------------------------12分 （20）解法（Ⅰ）将224230x y x y +---=化为标准方程得:222(2)(1)x y -+-=, ----------------------------------------------------------------------------1分可知圆心C 的坐标为(2,1),半径r =设点P 的坐标为(,)x y ,则(2,1),(,1)CP x y AP x y =--=-,---------------------------------------2分 依题意知CP AP ⊥,∴0CP AP ⋅=(2)(1)(1)0x x y y ⇒-+--=整理得:222210x y x y +--+=, ------------------------------------------------------------------------4分∵点A 在圆C 内部, ∴直线l 始终与圆C 相交,∴点P 的轨迹方程为222210x y x y +--+=.----------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ,若直线l 与x 轴垂直,则l 的方程为0x =,代入224230x y x y +---=得2230y y --=,解得1y =-或3y =,不妨设121,3y y =-=,则3OM ON ⋅=-,不符合题设, ------------------------------------------------7分 设直线l 的斜率为k ,则l 的方程为1y kx =+,由224230,1.x y x y y kx ⎧+---=⎨=+⎩消去y 得:22(1)440k x x +--=, --------------------------------8分 216(2)0k ∆=+>,则12122244,11x x x x k k+==-++,------------------------------------------------------------------------9分 由2OM ON ⋅=-得212121212(1)()12x x y y k x x k x x +=++++=-,∴22244(1)1211kk k k-+++=-++2410k k ⇒-+=,解得:2k =±分∴当2OM ON ⋅=-时,直线l 的方程为(21y x =++或(21y x =-+. --------------12分 （21）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， ∵()ln 1f x x '=+，令'()0f x =得1x e=，-------------------------------------------------------------2分 当10x e <<时'()0f x <，当1x e>时，'()0f x >， ∴函数()f x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增，----------------------------------------4分∴函数()f x 无极大值， 当1x e =时，函数()f x 在(0,)+∞有极小值，11()()f x f e e==-极小，--------------------------5分 （Ⅱ）当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()213022f x x ax +++≤，得3ln 22x a x x ≤---，--------------6分 记()3ln 22x g x x x =---，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()()()2231113222x x g x x x x +-'=--+=-， 当∈x 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，得'()0g x >，当∈x ()1,e 时， '()0g x <∴()g x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()1,e 上单调递减，---------------------------------------------------9分又113122e g e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()3122e g e e=---， ∵012)()1(<-+=-e e e g e g ，∴()1g g e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，-------------------------------------------------10分故()g x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1g e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故只需1a g e ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即实数a 的取值范围是13,122e e ⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦．------------------------------------------------------------12分 选做题：（22）解：（Ⅰ）由坐标变换公式1',4'.x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 得4','x x y y ==-------------------------------------2分 代入221x y +=中得2216''1x y +=，--------------------------------------------------------------------3分故曲线C 的参数方程为1cos ,4sin .x y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩(θ为参数）；----------------------------------------------------5分 （Ⅱ）由题知，121(,0),(0,1)4P P --，--------------------------------------------------------------------6分 故线段P 1 P 2中点11(,)82M --，---------------------------------------------------------------------------7分∵直线l 的斜率4k =-∴线段P 1 P 2的中垂线斜率为14，故线段P 1 P 2的中垂线的方程为111()248y x +=+------------------------------------------------------8分即832150x y --=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入得其极坐标方程为8cos 32sin 150ρθρθ--=----------------------------------------------------------10分 （23）解：(Ⅰ)当a ＝－2时，f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|， ①当2x ≤-时，原不等式化为：25,x -≥解得52x ≤-，从而52x ≤-；-------------------------1分 ②当22x -<≤时，原不等式化为：45≥，无解；---------------------------------------------------2分 ③当2x >时，原不等式化为：25,x ≥解得52x ≥，从而52x ≥；----------------------------------3分 综上得不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2525x x x 或.----------------------------------------------------------------5分(Ⅱ)当x R ∈时，|2||||2()||2|x x a x x a a -+-≥---=- ---------------------------------------7分 所以当x R ∈时，()3f x a ≥-等价于|2|3a a -≥------（*） 当2a ≥时，（*）等价于23,a a -≥-解得52a ≥，从而52a ≥；----------------------------------8分 当2a <时，（*）等价于23,a a -≥-无解；------------------------------------------------------------9分 故所求a 的取值范围为5[,+2∞）. --------------------------------------------------------------------------10分。
高二下学期期末数学试卷及答案
高二下学期期末数学试卷一、单项选择1、设，若直线与线段相交，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．2、已知点A （2，-3），B （-3，-2），直线l 方程为kx+y-k-1=0，且与线段AB 相交，求直线l的斜率k 的取值范围为（ ）A或 B C D 3、直线与曲线有两个不同的交点，则实数的k 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．4、已知圆，直线l ：，若圆上恰有4个点到直线l 的距离都等于1，则b 的取值范围为 A ．B ．C ．D ．5、若直线被圆截得弦长为，则） A ． B ． C6、设△ABC 的一个顶点是A （3，-1），∠B，∠C 的平分线方程分别是x=0，y=x ，则直线BC 的方程是（ ） A ．B ．C ．D ．7、已知圆：，则过点（1，2）作该圆的切线方程为（ ）A ．x+4y-4=0B ．2x+y-5=0C ．x=2D ．x+y-3=0 8、阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A 、B 间4k ≤-220(0,0)ax by a b -+=>>222410x y x y ++-+=494(0,1)k k k >≠的距离为,动点P、A、B不共线时，三角形PAB面积的最大值是（）ABD9、若圆上有个点到直线的距离为1，则等于（）A．2 B．1 C．4 D．310、圆的一条切线与圆相交于，两点，为坐标原点，则（）AB．C．2 D11、已知直线与圆相交，则的取值范围是（）A． B． C．D．12、古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点、距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点、的距离为3，动点满足，则点的轨迹围成区域的面积为（）.A．B．C．D．13、已知直线l1：（k-3）x+（4-k）y+1=0与l2：2（k-3）x-2y+3=0平行，则k的值是（）A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或214、我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上面的已知条件可求得该女子第4天所织布的尺数为( )A．B C D15、在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于（）A．B．C．D．16、设数列满足,记数列的前项之积为，则2P22:(5)(1)4C x y-++=n4320x y+-=n 221x y+=224x y+=()11,A x y()22,B x y O1212x x y y+=2-:cos sin1()l x yααα+=∈R222:(0)C x y r r+=>r 01r<≤01r<<1r≥1r>)0(>>ba{}na21=a n n S{}1na+nS 122n+-3n2n31n-（ ） A ．B ．C ．D ．17、已知公比不为的等比数列满足，若，则（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12 18、设等差数列的前项和为，已知，，则（ ）A ．B ．C ．D ．19、在等差数列中，若，是方程的两根，则的前11项的和为（ ）A ．22B ．-33C ．-11D ．1120、已知数列满足，数列前项和为，则( )ABCD21、已知数列满足，，是数列的前项和，则（ ）A ．B ．C ．数列是等差数列 D ．数列是等比数列22、已知等数差数列中，是它的前项和，若且,则当最大时的值为（ ）A ．9B ．10 C ．11 D ．1823、已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m 、a n ，使得a m a n =16a 12 ）1{}n a 15514620a a a a +=210m a =m ={}n a nnS ()()201920212017201720171201912000a a a -++-=()()20192021202020202020-1+201912038a a a +-=4036S =2019202020214036{}n a 2*1222...2()n n a a a n n N +++=∈n nS 12310...S S S S ⋅⋅⋅⋅={}n a n S n 180S >190S <n S nABCD ．不存在24、的内角，，所对的边分别是，，.已知，则的最小值为（ ） A ． B ．C ．D ．25、已知，，为的三个内角，，的对边，向量，，若，且，则角( )A ．B ．C ．D ．二、填空题26、点到直线的距离的最大值为________.27、已知点和圆，过点 作圆的切线有两条，则实数的取值范围是______28、已知直线l ：x+y-6=0，过直线上一点P 作圆x 2+y 2=4的切线，切点分别为A ，B ，则四边形PAOB 面积的最小值为______，此时四边形PAOB 外接圆的方程为______． 29、已知实数满足，则的取值范围为________.30、已知实数x ，y 满足6x+8y-1=0，则的最小值为______．31、等比数列的前n 项和为32、若等差数列满足，则数列的前项和取得最大值时_________ 33、已知数列满足，则数列的最大值为________.34、已知数列中，，是数列的前项和，且对任意的，都有，则=_____35、已知首项与公比相等的等比数列中，若，，满足，则()1,2P 222:20C x y kx y k ++++=P C k {}n a n S {}n a 7897100,a a a a a ++>+<{}n a n n S =n {}n a 11a =n S {}n a n *,r t N ∈n a的最小值为_____．36、在锐角三角形中，角的对边分别为，若，则的最小值是_______．37、在锐角中，角，，所对应的边分别为，，.则________；若，则的最小值为________. 38、若△ABC 的内角，则的最小值是 ． 39、已知分别是的内角的对边，，，则周长的最小值为_____。
高二下学期数学期末考试试卷及答案
高二下学期数学期末考试试卷及答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 若已知函数$f(x) = x^2 - 4x + 3$，则下列选项中$f(x)$的图像是正确的是：- A. 开口向上的抛物线- B. 开口向下的抛物线- C. 与x轴有两个交点- D. 与x轴有三个交点答案：D2. 已知等差数列的前5项和为25，则第10项是：- A. 5- B. 10- C. 15- D. 20答案：B3. 设函数$g(x) = \sqrt{1+x^2}$，则下列选项中$g(x)$的性质正确的是：- A. 在$x=0$处取得最小值- B. 在$x=0$处取得最大值- C. 为奇函数- D. 为偶函数答案：A4. 若$a$，$b$是方程$x^2 - 2ax + a^2 + 1 = 0$的两个根，则下列选项正确的是：- A. $a=0$- B. $b=0$- C. $a+b=2$- D. $a^2+b^2=2$答案：C5. 已知复数$z=3+4i$，则$|z|$的值是：- A. 5- B. 7- C. 9- D. 25答案：A二、填空题（每题5分，共25分）1. 若函数$h(x) = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$）的图像开口向上且顶点在y轴上，则满足的条件是______。
答案：$a > 0$，$b = 0$2. 已知数列$\{a_n\}$是等比数列，且$a_1 = 2$，$a_3 = 8$，则公比$q$是______。
答案：23. 函数$i(x) = \ln(x^2 + 1)$的定义域是______。
答案：$x \in \mathbb{R}$4. 若矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$，则$A$的行列式值是______。
答案：-25. 已知点$P(2, -1)$在直线$y=3x+1$上，则直线的斜率是______。
高二数学下学期期末考试试卷含答案(共3套)
B ．C ．D ．8．若 S = ⎰ 2 x 2dx ， S = ⎰ 2 dx， S = ⎰ 2 e x d x ，则 S , S , S 的大小关系为( )1 x 1 1高二年级下学期期末考试数学试卷(考试时间：120 分钟；满分：150 分)一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设 Z = 10i3 + i，则 Z 的共轭复数为( )A ． -1 + 3iB ． -1 - 3iC ．1+ 3iD ．1- 3i2．6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A ．144B ．120C ．72D ．24v v v v3．已知 a = (1- t,2 t - 1,0), b = (2, t, t ), 则 b - a 的 最小值是( )A ． 5B ． 6C ． 2D ． 3uuuv uuuv uuuv v4．已知正三棱锥 P - ABC 的外接球 O 的半径为1 ，且满足OA + OB + OC = 0, 则正三棱锥的体积为()A ．344 2 45．已知函数 f ( x ) = - x, 且a < b < 1,则 ( )e x A ．f (a) = f (b )B ． f (a) < f (b )C ． f (a) > f (b )D ． f (a)，f (b )大小关系不能确定6．若随机变量 X ~ B(n, p ), 且 E( X ) = 6, D( X ) = 3,则P( X = 1) 的值为()A ． 3 2-2B ． 2-4C ． 3 2-10D ． 2-8作检验的产品件数为()A．6B．7C．8D．91123123A．S<S<S123B．S<S<S213C．S<S<S231D．S<S<S3211A ． n + 1B ． 2nC ．D ． n 2 + n + 112．设点 P 在曲线 y = e x 上，点 Q 在曲线 y = ln(2 x) 上，则 PQ 的最小值为()13．已知复数 z = (i 是虚数单位) ，则 z = __________；15．二项式 (x- )8的展开式中，x 2 y 2的系数为 __________； 16．已知 f (n ) = 1 + + + … + (n ∈ N * ), 经计算得f (4) > 2, f (8) > , f (16) > 3 ，f (32) > , 则有__________(填上合情推理得到的式子)．17．已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ = 2cos(θ + ) ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x，9．平面内有 n 条直线，最多可将平面分成 f (n) 个区域，则 f (n) 的表达式为()n 2 + n + 2 210．设m 为正整数，( x + y)2m 展开式的二项式系数的最大值为 a ，( x + y)2m +1 展开式的二项式系数的最大值为 b .若13a = 7b ，则 m = ( )A ．5B ．6C ．7D ．811．已知一系列样本点 ( x , y ) (i = 1,2,3, … , n) 的回归直线方程为 y = 2 x + a, 若样本点 (r,1)与(1,s) ii的残差相同，则有( ) A ． r = s B ． s = 2r C ． s = -2r + 3 D ． s = 2r + 112A ．1- ln2B ． 2(1 - ln 2)C ．1+ ln2D ． 2(1 + ln2)二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）5i1 + 2i14．直线 2 ρcos θ = 1 与圆 ρ = 2cos θ 相交的弦长为__________；y y x1 1 1 52 3 n 272三、解答题（本大题共 6 小题，17 小题 10 分， 18-22 题每小题 12 分，共 70 分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）π 3轴的正半轴，且取相等的单位长度，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是⎧⎪ x = -1 - t, ⎨⎪⎩ y = 2 + 3t(t 是参数) 设点 P(-1,2) ．(Ⅰ)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线 l 的参数方程化为普通方程；(Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 相交于 M , N 两点，求 PM PN 的值．已知从该班随机抽取1人为喜欢的概率是．（参考公式：K2=,其中n=a+b+c+d）20．已知数列{x}满足x=,xn+1=18．我校为了解学生喜欢通用技术课程“机器人制作”是否与学生性别有关，采用简单随机抽样的办法在我校高一年级抽出一个有60人的班级进行问卷调查，得到如下的2⨯2列联表：喜欢不喜欢合计男生18女生6合计6013(Ⅰ)请完成上面的2⨯2列联表；(Ⅱ)根据列联表的数据，若按90%的可靠性要求，能否认为“喜欢与否和学生性别有关”？请说明理由．参考临界值表：P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19．在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球，前后共掷3次，设a,a,a分别表123示甲，乙，丙3个盒中的球数．(Ⅰ)求a=2,a=1,a=0的概率；123(Ⅱ)记ξ=a+a,求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．1211n121+xn,其中n∈N*.（Ⅰ）写出数列{x}的前6项；n（Ⅱ）猜想数列{x}的单调性，并证明你的结论.2na21 ．如图，四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是梯形， AD / / B C ， AD > BC , ∠BAD = 900 ，P A ⊥ 底面ABCD, P A = AB, 点 E 是PB 的中点 ．(Ⅰ)证明： PC ⊥ AE ；(Ⅱ)若 AB = 1, AD = 3, 且P A 与平面 PCD 所成角的大小为 450 ，求二面角 A - PD - C 的正弦值．22．已知函数 g ( x ) =x, f ( x ) = g ( x ) - ax .ln x（Ⅰ）求函数 g ( x ) 的单调区间；（Ⅱ）若函数 f ( x ) 在 (1, +∞)上是减函数，求实数 的最小值；（Ⅲ）若 ∃x , x ∈ [e , e 2 ], 使f ( x ) ≤ f '( x ) + a(a > 0) 成立，求实数 a 的取值范围.12 1 2( x - )2 + ( y + )2 = 1 ；⎪⎪ (Ⅱ) 直线 l 的参数方程化为标准形式为 ⎨ (m 是参数) ，①19．解：由题意知，每次抛掷骰子，球依次放入甲,乙,丙盒中的概率分别为 , , ．下学期高二年级期末考试数学参考答案一、选择题题号答案1D 2D 3C 4A 5C 6C 7C 8B9C10B 11C 12B二、填空题13．514．315．7016． f (2n) >n + 22(n ≥ 2, n ∈ N * )三、解答题17 ． 解 ： ( Ⅰ ) 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 化 为 直 角 坐 标 方 程 为 ： x 2 + y 2 = x - 3 y，即1 32 2直线 l 的参数方程化为普通方程为： 3x + y + 3 - 2 = 0 ．⎧1 x = -1 - m ,2 ⎪ y = 2 +3 m ⎪⎩ 2将①式代入 x 2 + y 2 = x - 3 y ，得： m 2 + (2 3 + 3)m + 6 + 2 3 = 0 ，②由题意得方程②有两个不同的根，设 m , m 是方程②的两个根，由直线参数方程的几何意义知：1 2PM PN = m m = 6 + 2 3 ．1218．解：(Ⅰ)列联表如下；喜欢 男生 14 女生 6 合计20 不喜欢18 22 40 合计 32 28 60(Ⅱ)根据列联表数据，得到 K 2 = 60(14⨯ 22 - 6 ⨯18)2 32 ⨯ 28 ⨯ 20 ⨯ 40≈ 3.348 > 2.706,所以有 90%的可靠性认为“喜欢与否和学生性别有关”．1 1 16 3 2p=p(a=2,a=1,a=0)=C1()2()=．3633683323628 3626323328p(a=3,a=0,a=0)=．8期望E(ξ)=0⨯+1⨯+2⨯+3⨯=．20．解：（Ⅰ）由x=,得x==；21+x3由x=,得x==；31+x5由x=,得x==；51+x8由x=,得x==；81+x13由x=8,得x==；131+x21(Ⅰ)由题意知，满足条件的情况为两次掷出1点，一次掷出2点或3点，111123(Ⅱ)由题意知，ξ可能的取值是0，1，2，3．1p(ξ=0)=p(a=0,a=0,a=3)=,12311113 p(ξ=1)=p(a=0,a=1,a=2)+p(a=1,a=0,a=2)=C1()()2+C1()()2= 123123p(ξ=2)=p(a=2,a=0,a=1)+p(a=1,a=1,a=1)+p(a=0,a=2,a=1)123123123 11111113=C1()2()+A3()()()+C1()2()=3p(ξ=3)=p(a=0,a=3,a=0)+p(a=1,a=2,a=0)+p(a=2,a=1,a=0)+ 1231231231123故ξ的分布列为：ξ0123P13883818 1331388882112121213232315343518454113565（Ⅱ）由（Ⅰ）知x>x>x,猜想：数列{x}是递减数列.2462n下面用数学归纳法证明：①当n=1时，已证命题成立；（Ⅰ）证明： AE = ⎛ 0, b , b ⎫⎪ ， PC = (c, b , - b ) ， 所以 AE ⋅ PC = 0 ⨯ c + b ⋅ b + b ⋅ (-b ) = 0 ， r 由 ⎪⎨ur uuur即 ⎪⎨ 令 z = 1 ，得 m = ⎛ 1 , 1 - c , 1⎫⎪ ． ⎩ ⎩ 1 ⎛ c ⎫2 3 ⎝ 3 ⎭ ur AP r |②假设当 n = k 时命题成立，即 x > x2k 2k +2易知 x > 0 ，当 n = k + 1时，2k.x2k +2- x 2k +4=11 + x2k +1-11 + x2k +3==x- x2k +32k +1(1+ x)(1+ x)2k +12k +3x - x2k 2k +2(1+ x )(1+ x )(1+ x2k 2k +1 2k +2)(1+ x2k +3)> 0即 x2( k +1)> x2( k +1)+ 2.也就是说，当 n = k + 1时命题也成立.根据①②可知，猜想对任何正整数 n 都成立.21． 解：解法一（向量法）：建立空间直角坐标系 A - xyz ，如图所示．根据题设，可设 D(a, 0, 0), B(0, b , 0), P(0, 0, b ), C (c, b , 0) ，uuuruuu⎝2 2 ⎭ uuur uuur22uuur uuur所以 AE ⊥ PC ，所以 PC ⊥ AE ．uuur（Ⅱ）解：由已知，平面 P AD 的一个法向量为 AB = (0, 1, 0) ．ur设平面 PCD 的法向量为 m = ( x , y , z) ，ur uuur⎧m ⋅ PC = 0,⎪m ⋅ PD = 0,⎧cx + y - z = 0,⎪ 3x + 0 ⋅ y - z = 0,ur⎝ 3 3 ⎭uuur而 AP = (0, 0, 1) ，依题意 P A 与平面 PCD 所成角的大小为 45︒ ，ur uuur所以 sin 45︒ = 2 = | m ⋅ uuuu ，即 2 | m || AP | 1 1 = 2+ 1 - ⎪ + 17，, 1⎪⎪ ． 3 cos θ = ur uuur = PG ⋅ DF 3解得 BC = c = 3 - 2 （ BC = c = 3 + 2 舍去），所以ur ⎛ 1m = 3 ,⎝2 ⎫⎭设二面角 A - PD - C 的大小为 θ ，则ur uuur m ⋅ AB | m || AB | 2 31 2+ + 1 3 3= 3 ， 3所以 sin θ = 6 ，所以二面角 A - PD - C 的正 3弦值为6 3 ． 解法二（几何法）： Ⅰ）证明：因为 P A ⊥ 平面 ABCD ，BC ⊂ 平面 ABCD ，所以 BC ⊥ P A ．又由 ABCD 是梯形， AD ∥ BC ， ∠BAD = 90︒ ，知 BC ⊥ AB ，而 AB I AP = A ， AB ⊂ 平面 P AB ， AP ⊂ 平面 P AB ，所以 BC ⊥ 平面 P AB ．因为 AE ⊂ 平面 P AB ，所以 AE ⊥ BC ．又 P A = AB ，点 E 是 PB 的中点，所以 AE ⊥ PB ．因为 PB I BC = B ， PB ⊂ 平面 PBC ， BC ⊂ 平面 PBC ，所以 AE ⊥ 平面 PBC ．因为 PC ⊂ 平面 PBC ，所以 AE ⊥ PC ．（Ⅱ）解：如图 4 所示，过 A 作 AF ⊥ CD 于 F ，连接 PF ，因为 P A ⊥ 平面 ABCD ， CD ⊂ 平面 ABCD ，所以 CD ⊥ P A ，则 CD ⊥ 平面 PAF ，于是平面 PAF ⊥ 平面 PCD ，它们的交线是 PF ．过 A 作 AG ⊥ PF 于 G ，则 AG ⊥ 平面 PCD ，即 P A 在平面 PCD 上的射影是 PG ，所以 P A 与平面 PCD 所成的角是 ∠APF ．由题意， ∠APF = 45︒ ．在直角三角形 APF 中， P A = AF = 1 ，于是 AG = PG = FG = 2 ．2在直角三角形 ADF 中， AD = 3 ，所以 DF = 2 ．方法一：设二面角 A - PD - C 的大小为 θ ，则 cos θ = △S PDG △SAPD 2 = = 2=P A ⋅ AD 1⨯ 3 3⨯ 2，8x = ln x - 1，+ 2 = , 即 x = e 2时， f '( x ) max = - a .所以 - a ≤ 0, 于是a ≥, 故a 的最小值为 .=1+ a = . 4 4所以 sin θ = 6 ，所以二面角 A - PD - C 的正弦值为 6 ．33方法二：过 G 作 GH ⊥ PD 于 H ，连接 AH ，由三垂线定理，得 AH ⊥ PD ，所以 ∠AHG 为二面角 A - PD - C 的平面角，在直角三角形 APD 中， PD = P A 2 + AD 2 = 2 ， AH = P A ⋅ AD = 1⨯ 3 = 3 ．PD2 22在直角三角形 AGH 中， sin ∠AHG = AG = 2 = 6 ，AH 33 2所以二面角 A - PD - C 的正弦值为 6 ．322．解：由已知，函数 g ( x ) ， f ( x ) 的定义域为 (0,1) U (1,+∞),且 f ( x ) =x- ax .ln x（Ⅰ）函数 g '( x ) = 1ln x - x ⋅(ln x)2 (ln x)2当 0 < x < e 且x ≠ 1时，g '( x ) < 0 ；当 x > e 时，g '( x ) > 0 .所以函数 g ( x ) 的单调减区间是 (0,1),(1,e), 增区间是(e ， ∞) .（Ⅱ）因 f ( x ) 在 (1, +∞) 上为减函数，故 f '( x ) =所以当 x ∈ (1,+∞) 时， f '( x )max ≤ 0 .ln x - 1 (ln x)2- a ≤ 0 在 (1, +∞) 上恒成立.又 f '( x ) = ln x - 1 1 1 1 1 1- a = -( )2 + - a = -( - )2 + - a,(ln x) ln x ln x ln x 2 4故当1 1 1ln x 2 4 1 1 1 4 4 4（Ⅲ）命题“若 ∃x , x ∈ [e , e 2 ], 使f ( x ) ≤ f '( x ) + a 成立 ”等价于1212“当 x ∈ [e , e 2 ]时, 有f ( x ) min≤ f '( x )max + a ” .由（Ⅱ）知，当 x ∈ [e , e 2 ]时, 有f '( x )- a,∴ f '( x )max1min≤”.①当a≥时，由（Ⅱ）知，f(x)在[e,e2]上为减函数，=f(e)=-ae2≤,故a≥-②当0<a<时，由于f'(x)=-(-)2+-a在[e,e2]上为增函数，故f'(x)的值域为[f'(e),f'(e2)],即[-a,-a].,ln x -ax≤,x∈(e,e2).4->->-=,与0<a<综上，得a≥1问题等价于：“当x∈[e,e2]时,有f(x)1 41 4则f(x)min2e21112424e2. 1111 4ln x2414由f'(x)的单调性和值域知，∃唯一x∈(e,e2)使f'(x)=0，且满足：00当x∈(e,x)时,f'(x)<0,f(x)为减函数；当x∈(x,e2)时,f'(x)>0,f(x)为增函数；所以，f(x)min =f(x)=x001所以，a≥1ln x11111114x ln e24e2444矛盾，不合题意.1-24e2.1.已知集合 M = x x 2 < 2x + 3 ， N = x x < 2 ，则 M ⋂ N = (){}3⎩- log 2 ( x + 1) f ( x ) = ⎨ “ 12 ，则可以利用方程 x = 求得 x ，高二年级第二学期期末考试数学试题一、选择题（每小题 5 分，共 50 分）{ }A ．(-1，2)B ．(-3，2)C ．(-3，1)D ．(1，2)2.欧拉公式 e i x = cos x + i sin x （ i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天骄”。
2023年高二下学期数学期末试卷(有答案)
高二下学期数学期末试卷（考试时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分）i D、2 2－i C、 i B、－2 A、－2－i ） （Z ，则复数i 2i 11、若复数Z ++=+=、既不充分也不必要、充分必要、必要不充分、充分不必要）条件有实数解”的（”是“一元二次方程＜、“D CB A 0m x x 41m 22=++D、－1 C、1 B、－2 A、2 ） （，0，x 10lgx，x＞0{3、已知f（x）x =≤=））2则f（f（－－│x│232y 、D 1－x y 、C1│x│y 、B x A、y ）（）上单调递增的函数是偶函数又在（0，4、下列函数中，既是=+=+==∞+）（2， D、 （1,4） C、 B、（0,3） ，2）A、（－ ）的单调增区间是（ （x－3）e 5、函数f（x）x ∞+∞= a c b D c a b C b c a B c b a A 2c 3.0log b 0.3a 63.022＜＜、＜＜、＜＜、＜＜、），则（，，、已知===2D 21C 21B 2A a 01y ax 2,31x 1x y 7、－、－、、）等于（则垂直，）处的切线与直线在点（－、设曲线=+++=8.盒子中有大小相同的3只白球，1只为黑球，从中随机摸出两只球，则两球的颜色不同的概率是（ ）A.21B. 31C. 41D. 32 43D 31C 21B 32A cb 5:7bx 2y ,0b a 1by a x y 9221212222、、、、）为（两段，则的焦点分成物线被抛线段，）的左右焦点分别是＞＞（－、双曲线===F F F F），、），、（），、（），、（）的圆心为（、圆π471(D π451C π431B 4π1A ）4πcos （210+=θP34D 43C 34B 43A x sin 3y 2cos x {11、、、－、－）（所在直线的斜率之积为与在曲线上，则，点、轴的交点为为参数）与（、设曲线PN PM P N M θθθ==、不确定）316（）＞21－（、）316（）＜21－（、）316（）21－（、A ）系是（）的大小关316（）与21－（），则（2x x ）[2，4]时，f（x 且当x 2），f（x ）f（x），f（x－2）f（x）满足f（－x 可导函数定义在R上的、，2D f f C f f B f f f f 2f 12=+=∈+==12.定义在R 上的可导函数)(x f 满足)()(x f x f =-，)2()2(+=-x f x f ，且当[]4,2∈x 时，)2(2)(2f x x x f '+=，则)21(-f 与)316(f 的大小关系是（ ） A. )316()21(f f =- B. )316()21(f f ＜- C. )316()21(f f ＞- D.不确定 二、填空题（本题共4小题，每题5分）. 1a 0a a 1x ）必过定点且＞（－213、函数f（x）≠=+. 增区间是－2x－3）的单调递（x log 14、函数f（x）231=. 取值范围是 ，则α的处的切线的倾斜角是α3上的任意一点，P点x 3－x 15、设点P是曲线y 3+=. 的斜率K 垂直，则直线 交点处的切线相互2y交于两点，且两个与抛物线x 0）的直线16、经过点P（3,2==三、解答题（17题10分，18-22题每题12分）B.A)1}，求（C 2x 5{x│－2}，B （3－x）{x│log 17、已知集合A R 21 ≥+=≥=范围.R恒成立，求a的取值2a－1对一切x （2）若f（x） f（x）的图象（1）作出y │x－2││x－1│18、设函数f（x）∈≥=+=的方程.线PB│取得最小值时直（2）求│PA│·│ 的参数方程（1）求直线 A、B两点分别交于与x轴和y轴的正半轴倾斜角为α，又过点P（3,2），且19、已知直线f（x）的值域.4时，函数y （2）当a 义域(1）求f（x）的定 0的常数)－2）（其中a是大于x a lg（x ）20、已知函数f（x ==+=面积的最大值.，求ΔAOB 23的距离为 点，原点O到直线与椭圆C交于A、B两（2）设直线 （1）求椭圆C的方程3的距离为 点，短轴一个端点到右焦36心率为1（a＞b＞0）的离b y a x 21、已知椭圆C：2222 =+值范围.2ax下方，求a的取象恒在直线y 上，函数f（x）的图 )(2)若在区间(1, 值e]上的最大值与最小间[1,1时，求f（x）在区（1）当a R）lnx（a ）x 21（a－）22、已知函数f（x 2=+∞=∈+=v教师的职务是‘千教万教，教人求真’;学生的职务是‘千学万学，学做真人’。
浙江省嘉兴市2023-2024学年高二下学期6月期末检测数学试题2
8.已知函数 ，若 ，则 的最小值为（）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数 （其中 是虚数单位），则下列说法正确的是（）
A. 的虚部为
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
19.已知函数 .
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）当 时，求证： 在区间 有唯一的极值点；
（3）若对于任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 的面积.
17.如图， 和 都垂直于平面 ，且 .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）当平面 与平面 的夹角为 时，求几何体 的体积.
18.为了了解某市市民平均每天体育锻炼 时间，在该市随机调查了 位市民，将这 位市民每天体育锻炼的时间（单位：分钟）分为 五组，得到如图所示的频率分布直方图：
嘉兴市2023~2024学年第二学期期末检测
高二数学试题卷
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合 ，则 （）
A. B. C. D.
2. 的展开式中 的系数为（）
A. B. C. D.
3.已知 ， 是两个不同 平面，直线m满足 ，则“ ”是“ ”的（）
14.已知 为球 的球面上四个点，且满足 ， 平面 ，则球 的表面积的最小值为__________.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
2023-2024学年度第二学期期末质量监测高二数学参考答案
2023-2024学年度第二学期期末质量监测高二数学参考答案及评分标准一．单项选择题（每小题5分，共40分）1-4、CBAD5-8、BDCA二．多项选择题（每小题6分，共18分）9.AC10.ACD11、ABD三．填空题（每小题5分，共15分）12.0.313.711714.3(,)2e+∞四．解答题（本大题5小题，共77分）15.（1）由PA AC ⊥，,D E 分别为棱,PC AC 的中点，得//,DE PA DE AC⊥AB BC ==,,D E F 分别为棱,,PC AC AB的中点，且1,EF DE DF ===222DF DE EF =+，DE EF ⊥，EF ⊂平面ABC ,AC ⊂平面ABC ,EF AC E ⋂=,DE ∴⊥平面ABC ……4分DE ⊂平面DEF所以平面DEF ⊥平面ABC .……5分（2）由（1）知DE ⊥平面ABC ，又ABC ∆是等腰直角三角形，E 是AC 中点，BE AC ∴⊥，以E 为原点，EA ，EB ，ED 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，……6分则(0,2,0),(0,0,1),(0,0,0),(2,0,0),(2,0,2)B D E C P -,则(2,2,2),(4,0,2),P P C B =--=--……7分设平面PBC 的法向量(m x =，y ，)z ，则·2220·420m x y z x P PC z B m ⎧=-+-=⎨=--=⎩，取1x =，得(1,1,2)m =--，……9分设平面BDE 的法向量(1,0,0)n =， (10)分6cos ,||||m n m n n m ⋅∴<>===⋅，……12分记平面PBC 与平面BDE 所成角为θsin 6θ∴===∴平面PBC 与平面BDE……13分16.（1）由题意知：当1n =时：1122a q a =+①当2n =时：21112()2a q a a q =++② (4)分联立①②，解得12,3a q ==.所以数列{}n a 的通项公式123n n a -=⨯.……7分（2）由（1）知123n n a -=⨯，123n n a +=⨯.所以1(21)n n n a a n d +=++-.所以114311n n n n a a d n n -+-⨯==++.……9分设数列{}n d 中存在3项m d ，k d ，p d ，（其中m ，k ，p 成等差数列）成等比数列.则2=k m p d d d ⋅，……10分所以2111434343111k m p k m p ---⎛⎫⨯⨯⨯=⋅ ⎪+++⎝⎭，即212243431(1)(1)k m p k m p -+-⎛⎫⨯⨯=⎪+++⎝⎭.……11分又因为m ，k ，p 成等差数列,所以2k m p=+……12分所以2(1)(1)(1)k m p +=++化简得22k k mp m p+=++所以2k mp=……14分又2k m p =+，所以k m p ==与已知矛盾.所以在数列{}n d 中不存在3项m d ，k d ，p d 成等比数列.……15分由()()()()P A B P B P B A P A ⋅=⋅，解得()6P B A =所以.6P B A =……2分则()()()()()P A P B P A B P B P A B =⋅+⋅，解得1()6P A B =.……4分（2）个性化错题本期末统考中的数学成绩合计及格A 不及格A建立B 20424未建立B 4812合计241236……6分根据列联表中的数据，经计算得到()2236208449 6.63524121224χ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯.……8分所以有99%的把握认为期末统考中的数学成绩是否及格与建立个性化错题本有关.……9分（3）从该班不及格的学生中按照分层抽样的方法随机抽取6人进行座谈，其中建立个性化错题本的学生人数为2人，不建立个性化错题本的学生人数为4人。
2022-2023学年人教A版高二下数学期末试卷(含解析)
2022-2023学年高中高二下数学期末试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 复数满足，那么 A.B.C.D.2. 下列结论正确的是 （ ）A.B.单项式的系数是—C.使式子有意义的的取值范围是D.若分式的值等于，则3. “，，成等比”是“”( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件4. 下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程为，那么表中的值为( )z (2−i)z =1+i |z|=()2–√5152510−−√53b −a =2a 2b 2−x 21x +2−−−−−√x x >−2−1a 2a +10a =±1a b c =ac b 2x y y x =0.7x +0.35yˆmA.B.C.D.5. 被除所得的余数为，则( )A.B.C.D.6. 在三棱锥中，，则三棱锥的外接球球心到平面的距离为（ ）A.B.C.D.7. 已知，则，，的大小关系为（ ）A.B.C.D.8. 已知抛物线的焦点为 ，是该抛物线上一动点，点，则的最小值是( )A.x 4567y 1.5m 42.543.854.88.8220219t (t ∈,1≤t ≤10)N ∗t =4567A −BCD BD =BC =CD =AD =AC =1,AB =2–√A −BCD O ACD 6–√66–√33–√312a =,b =8,c =log 516log 230.4αb c a >b >ca >c >bb >a >cb >c >a=12x y 2F P A (4,1)|PA|+|PF|4B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 设，，为实数，且，则下列不等式中正确的是（ ）A.B.C.D.10. 设，同时为椭圆与双曲线，的左、右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为，，为坐标原点，若( )A.，则B.，则C.，则的取值范围是D.，则的取值范围是11. 如图，在正方体中，点在线段上运动，则（ ）A.直线平面71012a b c a >b >0<1a 1ba >bc 2c 2<()12a ()12blg >lg(ab)a 2F 1F 2:+=1(a >b >0)C 1x 2a 2y 2b 2:−=1(>0C 2x 2a 21y 2b 21a 1>0)b 1C 1C 2M C 1C 2e 1e 2O ||=2|MO|F 1F 2+=1e 211e 222–√||=2|MO|F 1F 2+=21e 211e 22||=4|M |F 1F 2F 2e 1e 2(,)2332||=4|M |F 1F 2F 2e 1e 2(,2)23ABCD −A 1B 1C 1D 1P C B 1B ⊥D 1DA 1C 1πB.二面角的大小为C.三棱锥的体积为定值D.异面直线与所成角的取值范围是12. 已知，若，则下列说法正确的是（ ）A.B.C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 甲、乙两个小组各名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示．现从这名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件；“抽出的学生英语口语测试成绩不低于分”记为事件．则的值是________．14. 一直线被两直线和截得的线段的中点恰好是坐标原点，则直线的方程为________．16. 若，则的取值范围为________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 在中，，，分别是角，，的对边，已知．若，求的大小；−CD −B B 1π2P −D A 1C 1AP D A 1[,]π4π2=(1,2),=(4,k)a →b →(+2)//(3−)a →b ¯¯a →b →k =8||=4b →5–√//a →b→⋅=12a →b →1020A 85B P(A |B)l :4x +y +6=0l 1:3x −5y −6=0l 2MN P l =2|a|log 21aa △ABC abc A B C 3(+)=b 2c 23+2bc a 2(1)sin B =cos C 2–√tan C =–√若，的面积，且，求，． 18. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，分别为，的中点．（1）证明：直线平面；（2）证明：平面平面．19. 年月，我国各地出现了以武汉为中心的新冠肺炎疫情，在全国人民的共同努力下，月疫情得到初步控制．下表是某地疫情监控机构从月日到月日每天新增病例的统计数据．日期新增病例人数若月日新增病例中有名男性，现要从这天新增病例中按性别分层抽取人，再从所抽取的人中随机抽取人作流行病学分析，求这人中至少有名女性的概率；该疫情监控机构对月日和日这五天的位新增病例的治疗过程，进行了跟踪监测，其中病症轻微的只经过一个疗程治愈出院，病症严重的最多经过三个疗程的治疗痊愈出院，统计整理出他们被治愈的疗程数及相应的人数如下表：疗程数相应的人数已知该地疫情未出现死亡病例，现用上述疗程数的频率作为相应事件的概率，该机构要从被治疗痊愈的病例中随机抽取位进行病毒学分析，记表示所抽取的位病例被治愈的疗程数之和，求的分布列及期望． 20. 已知数列的前项和为，且求的通项公式；数列满足，求数列的前项和；若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围．（方法规律总结）根据题第二问和本题第二问总结数列求和的常用方法.21. 椭圆中，的面积为，.求椭圆的方程；设是椭圆上一点，，是椭圆的左右两个焦点，直线，分别交于，，是否存在点，使，若存在，求出点的横坐标，若不存在，请说明理由．22. 已知函数.若，求曲线在点处的切线方程；若在上单调递增，求实数的取值范围.(2)a =2△ABC S =2–√2b >c b c S −ABCD ABCD SA ⊥ABCD M N SA CD MN //SBC SBD ⊥SAC 2020133135x 12345y 3225272016(1)341255221(2)3151201236040202ξ2ξ{}a n n =−n T n 32n 212+2+3=0(n ∈)a n log 4b n N ∗(1){}b n (2){}c n =⋅c n a n b n {}c n n S n (3)≤+m −1c n 14m 2n m (4)17C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b2A (a,0),B (0,b),O (0,0),△OAB 1|AB|=5–√(1)C (2)P C F 1F 2P F 1P F 2x =4M N P =5S △PMN S △P F 1F 2P f(x)=−+2ax e x x 2(1)a =1y =f(x)(1,f(1))(2)f(x)R a参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二下数学期末试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】D【考点】复数的模复数代数形式的混合运算【解析】【解答】解：∵，∴，∴，∴.故选．2.【答案】B【考点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】解：项，根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，进行运算可得．故项错误．项，单项式中的数字因数叫做它的系数，所以的系数为．故项正确．(2−i)z =1+i z ===1+i 2−i (1+i)(2+i)51+3i 5z =+i 1535|z|==(+(15)235)2−−−−−−−−−−√10−−√5D A 3b −b =2b a 2a 2a 2A B −x 2−1B C项，由二次根式的概念可知，二次根式被开方数大于或等于零，故，解得．故项错误．项，欲使分式有意义，则分母不为，故，即．故项错误．故本题正确答案为．3.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断等比中项【解析】根据等比数列的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若，，成等比数列，则一定有 ，即充分性成立；当时，满足，但，，成等比数列不成立，即必要性不成立；故“，，成等比”是“”的充分非必要条件.故选.4.【答案】D【考点】求解线性回归方程【解析】首先根据表格，求出，再利用回归直线必过样本中心，列出的方程进行求解．【解答】解： ，，又回归直线必过样本点的中心，所以，解得，故选.5.C x +2≥0x ≥−2C D 0a +1≠0a ≠−1D B a b c =ac b 2a =c =b =0=ac b 2a b c a b c =ac b 2A ,x ¯¯¯y¯¯¯m ==5.5x¯¯¯4+5+6+74==y ¯¯¯ 1.5+m +4+2.54m +84(,)x ¯¯¯y ¯¯¯=0.7×5.5+0.35m +84m =8.8DB【考点】二项式定理的应用【解析】，利用二项展开式的通项进行求解即可.【解答】解：，∵能被整除，除以的余数为，∴被除所得的余数为，∴.故选.6.【答案】A【考点】柱体、锥体、台体的体积计算球的表面积和体积【解析】【解答】7.【答案】D【考点】对数值大小的比较指数式、对数式的综合比较=4×=4×2202123×673(9−1)673=4×=4×2202123×673(9−1)673=4(−++⋯+−)C 06739673C 16739672C 26739671C 67267391C 673673=4(−++⋯−)+4(−)C 06739673C 16739672C 26739671C 67267391C 67267391C 6736734(−++⋯−)C 06739673C 16739672C 26739671C 6726739194(−)=4(673×9−1)=24224C 67267391C 673673952202195t =5B此题暂无解析【解答】【解析】因为，所以．故选．8.【答案】B【考点】直线与抛物线结合的最值问题【解析】根据题意，由抛物线的方程分析可得抛物线的准线方程以及焦点的坐标，过向准线作垂线，垂足为，设到准线的距离为，则由抛物线的定义可得，分析可得，计算|的值，即可得答案．【解答】解：∵抛物线的方程为，∴点在抛物线开口内部，抛物线的准线方程为：，焦点为.过向准线作垂线，垂足为，如图所示，设到准线的距离为，则有，则.故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,C,DD a =<0,b =8=3,c =,(0,3)log 516log 230.4b >c >a D A B P d |PF|=d |PA|+|PF|=|PA|+d ≥|AB|ABI =y 212x A (4,1)x =−3F (3,0)A B P d |PF|=d |PA|+|PF|=|PA|+d ≥|AB|=7B不等式比较两数大小不等式的基本性质不等式性质的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：对于，因为，所以，所以正确；对于，当时，不成立，所以错误；对于，因为，函数是上的减函数，所以，所以正确；对于，因为，所以，因为是上的增函数，所以，所以正确.故选．10.【答案】B,D【考点】椭圆的定义和性质双曲线的标准方程双曲线的定义椭圆的离心率双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，A a >b >0<1a 1b A B c =0a >b c 2c 2B C a >b >0y =()12x R <()12a ()12bC D a >b >0>ab >0a 2y =lgx (0,+∞)lg >lg(ab)a 2D ACD设，，焦距为，由椭圆定义可得，由双曲线定义可得，解得，，当时，则，所以，即，由离心率的公式可得，故正确；当时，可得，即，可得，由，可得，可得，即，则，可设，则，由在上单调递增，可得，则，故正确．故选．11.【答案】A,C【考点】直线与平面所成的角棱柱的结构特征点、线、面间的距离计算直线与平面垂直的判定直线与平面平行的判定|M |=m F 1|M |=n F 22c m +n =2am −n =2a1m =a +a 1n =a −a 1||=2|MO|F 1F 2∠M =F 1F 290∘+=4m 2n 2c 2+=2a 2a 21c 2+=21e 211e 22B||=4|M |F 1F 2F 2n =c 12a −=c a 112−=1e 11e 2120<<1e 1>11e 1>1e 2121<<2e 2=e 1e 22e 222+e 22+=t (3<t <4)e 2==2(t +−4)2e 222+e 22(t −2)2t 4tf (t)=t +−44t (3,4)f (t)∈(,1)13∈(,2)e 1e 223D BD【解析】无【解答】解：在中，如图，∵，，，∴平面，∴，同理，．∵，∴直线平面，故正确；在中，由正方体可知平面不垂直平面，故错误；在中，∵，平面，平面，∴平面．∵点在线段上运动，∴到平面的距离为定值，又的面积是定值，∴三棱锥的体积为定值，故正确；在中，当点与线段的端点重合时，异面直线与所成角取得最小值为，故异面直线与所成角的取值范用是，故错误．故选．12.【答案】A,B,C【考点】平面向量数量积的运算平面向量的坐标运算平行向量（共线向量）向量的模【解析】【解答】解：因为，，所以，，因为，所以，则，故正确；A ⊥A 1C 1B 1D 1⊥B A 1C 1B 1∩B =B 1D 1B 1B 1⊥A 1C 1BB 1D 1⊥B A 1C 1D 1D ⊥B C 1D 1∩D =A 1C 1C 1C 1B ⊥D 1D A 1C 1A B CD B 1ABCD B C D//C A 1B 1D ⊂A 1D A 1C 1C ⊂B 1D A 1C 1C//B 1D A 1C 1P C B 1P D A 1C 1△D A 1C 1P −D A 1C 1C D P C B 1AP D A 1π3AP D A 1[,]π3π2D AC =(1,2)a →=(4,k)b →+2=(1,2)+(8,2k)=(9,2+2k)a →b →3−=(3,6)−(4,k)=(−1,6−k)a →b →(+2)//(3−)a →b →a →b →9(6−k)=(−1)(2+2k)k =8A |==4→，故正确；由于，故，故正确；，故错误．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】条件概率与独立事件【解析】由茎叶图，确定，，，再利用条件概率公式，即可求得结论．【解答】从这名学生中随机抽取一人，基本事件总数为个．将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件，则事件包含的基本事件有，故；“抽出学生的英语口语测试成绩不低于分”记为事件，则事件包含的基本事件有，，故事件包含的基本事件有，故，故．14.【答案】【考点】两条直线的交点坐标【解析】截得的线段的中点恰好是坐标原点．直线与，的交点关于原点对称，交点适合两直线，联立方程，又直线过原点，因而消去常数可得所求直线方程．【解答】||==4b →+4282−−−−−−√5–√B 1×8=2×4//a →b →C ⋅=1×4+2×8=20a →b →D ABC 59P(A)=12P(B)=920P(AB)=142020A A 10P(A)=1285B B 9P(B)=920AB 5P(AB)=14P(A |B)==P(AB)P(B)59x +6y =0l :4x +y +6=0L 1:3x −5y −6=0L 2l l A A(,)解：设所求直线与、的交点分别是、，设．∵、关于原点对称，∴．又∵、分别在、上，∴①+②得，即点在直线上，又直线过原点，∴直线的方程是．故答案为：．15.【答案】[【考点】利用导数研究函数的最值【解析】首先令＝，＝，判断的单调性．因为存在唯一的整数使得．即．所以结合图形知：【解答】令＝，＝，∵＝＝，∴当时，，则函数在上单调递减；当时，，则函数在上单调递增；而＝，＝；因为存在唯一的整数使得．即．所以结合图形知： 或即：或 解得或；16.【答案】【考点】指数函数的性质l 1l 2A B A(,)x 0y 0A B B(−,−)x 0y 0A B l 1l 2{4++6=0①x 0y 0−3+5−6=0②x 0y 0+6=0x 0y 0A x +6y =0x +6y =0l x +6y =0x +6y =0g(x)(2x −1)e x h(x)a(x −1)g(x)x 0f()<0x 0(2−1)<a(−1)x 0e x x 0a >0g(−1)≥h(−1)−1<h(0)<0g(x)(2x −1)e x h(x)a(x −1)g (x)′(2x −1)+2e x e x (2x +1)e x x <−12g (x)<0′g(x)(−∞,−)12x >−12g (x)>0′g(x)(−,+∞)12g(−1)−3e −1g(0)−1x 0f()<0x 0(2−1)<a(−1)x 0e x x 0 a >0g(−1)≥h(−1)−1<h(0)<0{ h(2)>g(2)h(3)<g(3) a >0−3≥−2a e −1−1<−a <0{ a >3e 22a <5e 3≤a <132e 3<a <e 252e 30<a ≤1讨论的取值范围，利用指数恒等式和对数的基本运算公式进行计算即可．【解答】解：若，则等式，等价为，此时等式恒成立．若，则等式，等价为，此时等式恒成立．若，则等式，等价为，解得，此时等式不成立．综上：.故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：∵，∴，∴，∴.∵，∴，∴，∴，∴.∵的面积，∴，∴.①∵，∴由余弦定理可得，∴.②∵，∴联立①②可得，．a 0<a <1=2|a|log 21a ===2−a log 22log 21a 1a 1aa =1=2|a|log 21a =2011a >1=2|a|log 21a =a =2a log 21a a =10<a ≤10<a ≤1(1)3(+)=b 2c 23+2bc a 2=+−b 2c 2a 22bc 13cos A =13sin A =22–√3sin B =cos C 2–√sin(A +C)=cos C 2–√cos C +sin C =cos C 22–√3132–√cos C =sin C 2–√313tan C =2–√(2)ABC S =2–√2bc sin A =122–√2bc =32a =24=+−2bc ×b 2c 213+=b 2c 25b >c b =32–√2c =2–√2余弦定理三角函数的恒等变换及化简求值正弦定理【解析】Ⅰ由＝，利用余弦定理，可得，根据，即可求的大小；Ⅱ利用面积及余弦定理，可得、的两个方程，即可求得结论．【解答】解：∵，∴，∴，∴.∵，∴，∴，∴，∴.∵的面积，∴，∴.①∵，∴由余弦定理可得，∴.②∵，∴联立①②可得，．18.【答案】()3(+)b 2c 23+2bc a 2cos A sin B =cos C 2–√tan C ()b c (1)3(+)=b 2c 23+2bc a 2=+−b 2c 2a 22bc 13cos A =13sin A =22–√3sin B =cos C2–√sin(A +C)=cos C 2–√cos C +sin C =cos C 22–√3132–√cos C =sin C 2–√313tan C =2–√(2)ABC S =2–√2bc sin A =122–√2bc =32a =24=+−2bc ×b 2c 213+=b 2c 25b >c b =32–√2c =2–√2SB CE（1）证明：如图，取中点，连接、，因为为的中点，所以，且，…因为为菱形边的中点，所以，且，…所以，，所以四边形是平行四边形，所以，…又因为平面，平面，所以直线平面．…（2）证明：如图，连接、，交于点，因为底面，所以．…因为四边形是菱形，所以．…又，所以平面．…又平面，所以平面平面．…【考点】直线与平面平行的判定直线与平面垂直的判定【解析】（1）取中点，连接、，由三角形中位线定理、菱形性质得四边形是平行四边形，由此能证明直线平面．（2）连接、，交于点，由线面垂直得，由菱形性质得，由此能证明平面平面．【解答】（1）证明：如图，取中点，连接、，因为为的中点，所以，且，…因为为菱形边的中点，所以，且，…所以，，所以四边形是平行四边形，所以，…又因为平面，平面，所以直线平面．…（2）证明：如图，连接、，交于点，因为底面，所以．…因为四边形是菱形，所以．…又，所以平面．…又平面，所以平面平面．…19.【答案】解：由题意得月日新增病例中有名男性，名女性，按性别从中分层抽取人，其中有名男性，名女性，SB E ME CE M SA ME //AB ME =AB 12N ABCD CD CN //AB CN =AB 12ME //CN ME =CN MECN MN //EC EC ⊂SBC MN ⊂SBC MN //SBC AC BD O SA ⊥ABCD SA ⊥BD ABCD AC ⊥BD SA ∩AC =A BD ⊥SAC BD ⊂SBD SBD ⊥SAC SB E ME CE MECN MN //SBC AC BD O SA ⊥BD AC ⊥BD SBD ⊥SAC SB E ME CE M SA ME //AB ME =AB 12N ABCD CD CN //AB CN =AB 12ME //CN ME =CN MECN MN //EC EC ⊂SBC MN ⊂SBC MN //SBC AC BD O SA ⊥ABCD SA ⊥BD ABCD AC ⊥BD SA ∩AC =A BD ⊥SAC BD ⊂SBD SBD ⊥SAC (1)34128532===0.7+C 1C 1C 2∴这人至少有名女性的概率．由题意得占所有可能的取值分别为，，，，，，，，，，∴的分布列为∴．【考点】古典概型及其概率计算公式离散型随机变量的期望与方差【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得月日新增病例中有名男性，名女性，按性别从中分层抽取人，其中有名男性，名女性，∴这人至少有名女性的概率．由题意得占所有可能的取值分别为，，，，，，，，，，∴的分布列为∴．20.21P ===0.7+C 12C 13C 22C 25710(2)23456P (ξ=2)=×6012060120=14P (ξ=3)=××26012040120=13P (ξ=4)=××2+×60120201204012040120=518P (ξ=5)=××24012020120=19P (ξ=6)=×2012020120=136ξξ23456P 141351819136Eξ=2×14+3×13+4×518+5×19+6×136=103(1)3412853221P ===0.7+C 12C 13C 22C 25710(2)23456P (ξ=2)=×6012060120=14P (ξ=3)=××26012040120=13P (ξ=4)=××2+×60120201204012040120=518P (ξ=5)=××24012020120=19P (ξ=6)=×2012020120=136ξξ23456P 141351819136Eξ=2×14+3×13+4×518+5×19+6×136=103【答案】解：由，易得，代入到，根据对数的运算性质化简.，∴，∴，两式相减整理得.，∴，∴当时，，当时，，即，∴当时，取最大值是，又对一切正整数恒成立，∴，即，解得：或．数列求和的常用方法为有公式法、错位相减法、裂项法、倒序相加法、分组法、数学归纳法、通项化归、并项求和.【考点】数列与不等式的综合数列的求和数列递推式【解析】（1）由，先求数列的通项公式；代入到根据对数的运算性质化简即可求出的通项公式；（2）把第一问求出的两数列的通项公式代入中，确定出的通项公式，从而求数列的前项和；（3）表示出，判断得到其差小于，故数列为递减数列，令求出数列的最大值，然后原不等式的右边大于等于求出的最大值，列出关于的一元二次不等式，求出不等式的解集即为实数的取值范围．【解答】解：由，易得，(1)=−n T n 32n 212=3n −2a n +2+3=0(n ∈)a n log 4b n N ∗=((n ∈)b n 14)n N ∗(2)=⋅=(3n −2)×(c n a n b n 14)n =1×+4×(+⋯+(3n −2)×(S n 1414)214)n =1×(+4×(+⋯+(3n −2)×(14S n 14)214)314)n+1=−×(S n 233n +2314)n (3)=⋅=(3n −2)⋅(c n a n b n 14)n −=(3n +1)⋅(−(3n −2)⋅(c n+1c n 14)n+114)n =9(1−n)⋅((n ∈)14)n+1N ∗n =1==c 2c 114n ≥2<c n+1c n =>>...>c 1c 2c 3c n n =1c n 14≤+m −1c n 14m 2n +m −1≥14m 214+4m −5≥0m 2m ≥1m ≤−5(4)=−n T n 32n 212{}a n +2+3=0(n ∈)a n log 4b n N ∗{}b n =⋅c n a n b n c n {}c n n S n −c n+1c n 0{}c n n =1{}c n m m (1)=−n T n 32n 212=3n −2a n +2+3=0(n ∈)log b N ∗代入到，根据对数的运算性质化简.，∴，∴，两式相减整理得.，∴，∴当时，，当时，，即，∴当时，取最大值是，又对一切正整数恒成立，∴，即，解得：或．数列求和的常用方法为有公式法、错位相减法、裂项法、倒序相加法、分组法、数学归纳法、通项化归、并项求和.21.【答案】解：由题意得，，，∵，，，椭圆的方程为．设，与轴交，过做轴的垂线交轴于，，，，，，，，，或，又，+2+3=0(n ∈)a n log 4b n N ∗=((n ∈)b n 14)n N ∗(2)=⋅=(3n −2)×(c n a n b n 14)n =1×+4×(+⋯+(3n −2)×(S n 1414)214)n =1×(+4×(+⋯+(3n −2)×(14S n 14)214)314)n+1=−×(S n 233n +2314)n (3)=⋅=(3n −2)⋅(c n a n b n 14)n −=(3n +1)⋅(−(3n −2)⋅(c n+1c n 14)n+114)n =9(1−n)⋅((n ∈)14)n+1N ∗n =1==c 2c 114n ≥2<c n+1c n =>>...>c 1c 2c 3c n n =1c n 14≤+m −1c n 14m 2n +m −1≥14m 214+4m −5≥0m 2m ≥1m ≤−5(4)(1)=ab =1S △OAB 12+=5a 2b 2a >b >0∴a =2b =1∴C +=1x 24y 21(2)P(,)x 0y 0x =4x D(4,0)P x x Q(,0)x 0(−,0)F 13–√(,0)F 23–√∵=5S △PMN S △PF 1F 2∴|PM|⋅|PN|sin ∠MPN =5×|P |⋅|P |sin ∠P 1212F 1F 2F 1F 2∴|PM|⋅|PN|=5|P |⋅|P |F 1F 2∴=5|PM||P |F 1|P |F 2|PN|∴=5|QD||Q |F 1|Q |F 2|QD|∴=5|4−|x 0+∣x 03–√∣−∣x 03–√∣|4−|x 0∴+8−31=04x 02x 0−8+1=06x 02x 0−2<<2x 0=∈(0,2)−2−−√∈(0,2)4±−−√或，存在点，使，点的横坐标为或或．【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题椭圆的标准方程【解析】（1）本题考查椭圆的方程求法以及直线与椭圆的位置关系的探索性问题；属于经常考查题目．（2）由题意，设出坐标，利用已知线段的关系，得到坐标的关系解答即可.【解答】解：由题意得，，，∵，，，椭圆的方程为．设，与轴交，过做轴的垂线交轴于，，，，，，，，，或，∴=∈(0,2)x 0−235−−√2=∈(0,2)x 04±10−−√6∴P =5S △PMN S △P F 1F 2P −235−−√24+10−−√64−10−−√6P (1)=ab =1S △OAB 12+=5a 2b 2a >b >0∴a =2b =1∴C +=1x 24y 21(2)P(,)x 0y 0x =4x D(4,0)P x x Q(,0)x 0(−,0)F 13–√(,0)F 23–√∵=5S △PMN S △PF 1F 2∴|PM|⋅|PN|sin ∠MPN =5×|P |⋅|P |sin ∠P 1212F 1F 2F 1F 2∴|PM|⋅|PN|=5|P |⋅|P |F 1F 2∴=5|PM||P |F 1|P |F 2|PN|∴=5|QD||Q |F 1|Q |F 2|QD|∴=5|4−|x 0+∣x 03–√∣−∣x 03–√∣|4−|x 0∴+8−31=04x 02x 0−8+1=06x 02x 0又，或，存在点，使，点的横坐标为或或．22.【答案】解：∵，∴.又，∴所求切线方程为，即..∵在上单调递增，∴在上恒成立，∴在上恒成立.令，则，令，则.∵在上，，在上，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，∴，∴实数的取值范围为.【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴.又，∴所求切线方程为，即.−2<<2x 0∴=∈(0,2)x 0−235−−√2=∈(0,2)x 04±10−−√6∴P =5S △PMN S △P F 1F 2P −235−−√24+10−−√64−10−−√6(1)(x)=−2x +2f ′e x (1)=e f ′f(1)=e +1y −(e +1)=e(x −1)ex −y +1=0(2)(x)=−2x +2a f ′e x f(x)R (x) 0f ′R a x −e x 2R g(x)=x −e x 2(x)=1−g ′e x 2(x)=0g ′x =ln 2(−∞,ln 2)(x)>0g ′(ln 2,+∞)(x)<0g ′g(x)(−∞,ln 2)(ln 2,+∞)g(x =g(ln 2)=ln 2−1)max a ln 2−1a [ln 2−1,+∞)(1)(x)=−2x +2f ′e x (1)=e f ′f(1)=e +1y −(e +1)=e(x −1)ex −y +1=0(2)(x)=−2x +2af ′x，∵在上单调递增，∴在上恒成立，∴在上恒成立.令，则，令，则.∵在上，，在上，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，∴，∴实数的取值范围为.(2)(x)=−2x +2a f ′e x f(x)R (x) 0f ′R a x −e x 2R g(x)=x −e x 2(x)=1−g ′e x 2(x)=0g ′x =ln 2(−∞,ln 2)(x)>0g ′(ln 2,+∞)(x)<0g ′g(x)(−∞,ln 2)(ln 2,+∞)g(x =g(ln 2)=ln 2−1)max a ln 2−1a [ln 2−1,+∞)。
学高二第二学期期末考试理科数学试题及答案.docx
试卷类型： A高二数学（理科）试题注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共5 页。
2. 答题前，考生务必在答题卡上用直径毫米的黑色字迹签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚， 并粘好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、 姓名和科目。
3. 答第Ⅰ卷时， 选出每题答案后， 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在本试卷上无效。
4. 答第Ⅱ卷时，请用直径毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。
答在本试卷上无效。
5. 第（ 22）、（ 23）小题为选考题，请按题目要求从中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。
6. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
附：回归方程 y? bx?a?中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为：? bnn( x i x)( y i y)x i y i n x yi 1i 1 ?nn， a? y b x( x i x) 2x i 22nxi 1i1第Ⅰ卷一、 选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（ 1）已知复数z22i，其中 i 是虚数单位，则z的模等于1i（ A）2(B) 3 (C)4(D)2（2）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a,b, c中恰有一个偶数”正确的反设为(A)a, b, c (C)a, b, c 中至少有两个偶数(B)a, b, c 中至少有两个偶数或都是奇数都是奇数(D)a,b, c 都是偶数（ 3）用数学归纳法证明：对任意正偶数n ，均有11111（11134...n2n 42n 1n 2 1...)，在验证n 2 正确后，归纳假设应写成（ A）假设n k(k N * ) 时命题成立（B）假设n k (k N * ) 时命题成立（ C）假设2(* )（）假设*n k k N 时命题成立n 2( k 1)(k N ) 时命题成立D(4)从 3 男 4 女共 7 人中选出 3 人，且所选 3 人有男有女，则不同的选法种数有（ A） 30 种(B) 32种(C) 34种(D) 35种(5) 曲线y e x在点 2， e2处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(A) 2e2(B)e2(C)e2(D)9e224(6)已知随机变量 X 服从正态分布 N 3,2，且 P( X 1) 1 P( X3) ，则 P( X5) 等于4(A)1 (B) 5 (C) 3 (D) 788 48(7) 已知 a2 3sin xdx ，曲线 f ( x) ax1ln( ax 1) 在点 1, f (1) 处的切线的斜率为 k ，则ak 的最小值为(A) 1(B)3 (C)2(D)32（ 8） 甲、乙、丙三人独立参加体育达标测试，已知甲、乙、丙各自通过测试的概率分别为2 3 . 若三人中只有甲通过的概率为1，3 ， , p ，且他们是否通过测试互不影响164则甲、丙二人中至少有一人通过测试的概率为(A)7 (B)3 (C)5 (D)68487（ 9）函数 f ( x) x 3 2xf (1) ，则函数 f (x) 在区间2,3 上的值域是(A)[ 4 2 ,9](B)[ 4 2 ,4 2](C) [ 4,4 2 ] (D)4,9(10) 设 1x 5 a 0 a 1 (1 x) a 2 1 x 2 ... a 5 (1 x) 5 ，则 a 0 a 2 a 4 等于(A) 242 (B) 121 (C) 244 (D)122(11) 已知函数 f ( x)e x (x 2bx)(b R) . 若存在 x1,2 ，使得 f ( x) xf ( x)0 ，则实数x2b 的取值范围是(A),5(B),8(C)3 , 5 (D)8 ，632 63(12)中国南北朝时期的着作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究 . 设a, b, m(m 0)为整数，若 a 和b被 m 除得的余数相同，则称 a 和b对模 m 同余，记为 a b(mod m) .如9和21 被6除得的余数都是 3 ，则记921(mod 6) .若a C200 C 2012 C 202 22...C2020 220， a b(mod 10) ，则b的值可以是(A) 2011(B) 2012 (C) 2013 (D) 2014第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2021年高二下学期期末质量检测数学(理)(A卷)试题 含答案
2021年高二下学期期末质量检测数学（理）（A卷）试题含答案说明：1．本卷共有三个大题，21个小题，全卷满分150分,考试时间120分钟．2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．不给分．．．．．一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若复数的实部与虚部相等，则实数（）A． B． C． D．2. 命题“存在R，0”的否定是（）A．不存在R, >0 B．存在R, 0C．对任意的R, 0 D．对任意的R, >03. “”是“方程表示双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4. 观察下边数表规律，可得从数2 013到2 014的箭头方向是（）A．→B．→ C．→D．→5. 以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（）A．B．C．D．6. 一个几何体的三视图如图所示，主视图和左视图都是等边三角形，该几何体的四个点在空间坐标系中的坐标分别为，则第5个顶点的空间坐标可能为（）A． B．C． D．7.已知为的导函数，则的图象大致是（）A8.在三棱锥中，底面，，，，，则到平面的距离是（）A． B． C． D．9. 如图，，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与双曲线C交于A，B两点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A. B. C . D.10.已知函数在区间(0,1)内任取两个实数,，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请将正确答案填在答题卷相应位置．．．．．．．．．．．．．．．）11.．12. 抛物线的焦点坐标为．13. 若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点、与点、，则三角形面积之比为：若从点O所作的不在同一个平面内的三条射线OP、OQ和OR上分别有点、与点、和、，则类似的结论为．14.已知函数有零点，则的取值范围是．15.下列四个命题中，真命题的是（写出所有正确的序号）．①若，则在点处的切线方程为；②若对,可以推出，那么可以推出；③若，则；④已知A(,),B(,),C(,)，椭圆过A,B两点且以C为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线；⑤方程表示的曲线是一条直线和一个椭圆.三、解答题（本大题共6小题，共75分。
河南省数学高二下学期理数期末考试试卷A卷
12-1、
二、 填空题 (共5题；共19分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、答案：略
17-2、答案：略
17-3、答案：略
三、 解答题 (共5题；共85分)
18-1、答案：略
18-2、答案：略
18-3、答案：略
18-4、答案：略
19-1、
20-1、
20-2、
20-3、
20-4、
A .பைடு நூலகம்p∧q
B . ￢p∧q
C . p∧￢q
D . ￢p∧￢q
4. （2分） (2016高二下·潍坊期末) 全称命题：∀x∈R，x2＞0的否定是（ ）
A . ∀x∈R，x2≤0
B . ∃x∈R，x2＞0
C . ∃x∈R，x2＜0
D . ∃x∈R，x2≤0
5. （2分） 函数 的定义域为（ ）
A .
河南省数学高二下学期理数期末考试试卷A卷
姓名:________班级:________ 成绩:________
一、 单选题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2016高二上·三原期中) 不等式 ＜0的解集为（ ）
A . {x|﹣2＜x＜3}
B . {x|x＜﹣2}
C . {x|x＜﹣2或x＞3}
参考公式： ，其中 .
临界值表
0.10
0.05
0.025
0.010
2.706
3.841
5.024
6.635
19. （5分） 已知函数f（x）是R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=﹣x2+2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在如图的直角坐标系中画出函数求f（x）的图象，并求不等式f（x）≥0的解集．
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高二第二学期数学期末测试题（120分钟，150分）一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）（1）若32420=++++nn n n n C C C C ，则n 等于（ ）．A ．4B ．5C ．6D ．10 （2）两条异面直线所成角为θ，则θ的取值范围是（ ）． A ．[0，2π] B ．[0，)2π C ．（0，]2π D ．（0，2π） （3）设有三个命题：甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； 乙：底面是矩形的平行六面体是长方体； 丙：直四棱柱是直平行六面体． 以上命题中，真命题的个数是（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3（4）两位投球手投篮的命中率均为21，两人各投一次，恰有一人投中的概率是（ ）． A ．21 B ．31 C ．41 D ．43（5）已知436m m C A =，则m 等于（ ）．A ．6B ．7C ．BD ． 9（6）如果三棱锥ABC S -的底面不是等边三角形，侧面与底面所成二面角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在△ABC 内，那么O 是△ABC 的（ ）．A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心（7）已知三个球的半径之比为1∶2∶3，则最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（ ）． A ．1倍 B ．2倍 C ．541倍 D ．431倍 （8）棱长都等于2的直平行六面体1111D C B A ABCD -中，∠BAD ＝60°，则对角线C A 1与侧面11D DCC 所成角的正弦值为（ ）． A ．21B ．22C ．23D ．43（9）计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ）．A ．5544A A ⋅种 B ．554433A A A ⋅⋅种 C ．554413A A C ⋅⋅种 D ．554422A A A ⋅⋅种（10）对于直线m 、n 和平面α、β，βα⊥的一个充分条件是（ ）． A ．n m ⊥，α//m ，β//n B ．n m ⊥，m =βα ，≠⊂αnC ．n m //，α⊥m ，β⊥nD ．n m //，β⊥n ，≠⊂αm （11）以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体共有（ ）． A ．6个 B ．12个 C ．18个 D ．30个（12）设6622106)21(x a x a x a a x ++++=- ，则||||||610a a a +++ 的值为（ ）．A ．1B ．64C ．243D ．729 二、填空题（每小题4分，共16分）（13）5个不同的小球放入4个不同的盒子中，每盒中至少放一个球，共有________种不同的放法（用数字作答）． （14）一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长是15，则其体积为________．（15）一名射手击中目标的概率为54，他射击3次，恰有1次未击中目标的概率为________． （16）在等边△ABC 中，AD 是BC 边上的高，将△ABC 沿AD 折成60°的二面角C AD B --'，则AC B '∠cos 等于________．三、解答题 （17）（10分）一袋中有8个白球，4个红球，另一袋中有9个白球，3个红球，从每袋中任取一球，求取得颜色相同的球的概率是多少？（18）（12分），在正方体1111D C B A ABCD -中，EF 是对角线D A 1和11D B 的公垂线，求证：1//AC EF ．（19）（12分）已知n a a)3(3-展开式的各项系数之和等于53)514(b b -的展开式中的常数项，求na a)3(3-展开式中1-a 项的二项式系数．（20）（12分）如图，二面角D BC A --为60°，13==AC AB ，20==CD BD ，24=BC ．求AD 的长．（21）（14分）如图，已知ABC C B A -111是正三棱柱，D 是AC 中点． （Ⅰ）证明：//1AB 平面1DBC ；（Ⅱ）假设11BC AB ⊥，2=BC ，求线段1AB 在侧面11BCC B 上的射影长．（22）（14分）如图，在正方体1111D C B A ABCD -，E 、F 分别是1BB 、CD 的中点．（Ⅰ）证明：F D AD 1⊥； （Ⅱ）求AE 与F D 1所成的角； （Ⅲ）证明：平面⊥AED 平面11FD A ；（Ⅳ）设21=AA ，求三棱锥F AA E 1-的体积F AA E V 1-．参考答案一、选择题（1）C ．514202322===++++-n n n n n n C C C C ，51=-n ．（2）C ．当异面直线垂直时，2π=θ． （3）B ．甲是真命题．（4）A ．2121)211()211(21=-+-=⋅P ． （5）B ．1234)3)(2)(1(6)2)(1(⋅⋅⋅⋅---=--m m m m m m m ，7=m ．（6）D ．在底面ABC 内作AB OD ⊥，BC OE ⊥，CA OF ⊥，连结SD 、SE 、SF ．由三垂线定理得AB SD ⊥，BC SE ⊥，CA SF ⊥，∠SDO 、∠SEO 、∠SFO 是各侧面与底面所成的二面角．因为三个角相等，则OF OE OD ==，∴ O 是△ABC 的内心．（7）C ．设三个球的半径分别为r ，2r ，3r ，最大球的表面积22π36)3(π4r r S ==大，两个小球的表面积之和22222π20π16π4)2(π4π4r r r r r S =+=+=．（8）D ．在平面1111D C B A 上作111C D E A ⊥，连结EC ．因为平面⊥11D DCC 平面1111D C B A ，则⊥AE 平面11D DCC ，故CE A 1∠为C A 1与平面11D DCC 所成的角．在11ΔED A 中，211=D A ，=∠E D A 1160°，则3=AE ，连结AC ，32=AC ，42211=+=AC AA C A ，43sin 11==∠C A AE CE A ． （9）D ．4幅油画全排列有44A 种方法，国画全排列，有55A 种方法，将这两类画看作两张画，排列在水彩画的左右位置，有22A 种方法，根据分步计数原理可得554422A A A ⋅⋅．（10）C ．由n m //，（11）B ．12346=-C ．（12）D ．令1-=x ，则729)21(66543210=+=+-+-+-a a a a a a a ．0)2(1161<-=C a ，0)2(3363<-=C a ，0)2(5565<-=C a ，同理00>a ，02>a ，04>a ，06>a ，729||||||6210610=+-+-=+++a a a a a a a ．二、填空题（13）240．将5个球中的任意两个球看作一个球，有25C 种方法，将这4个“球”投入到4个不同盒子中，有44A 种方法，故共有2404425=⋅A C 种方法．（14）9．底面边长为6，外接圆半径3262332==⋅⋅r ，由侧棱长为15，得棱锥的高31215=-=h ，体积93)643(312=⨯⨯=⋅V ． （15）12548．所求概率12548)541()54(223=-=⋅C P ． （16）87．设△ABC 边长为2，由已知DC B '∠＝60°，1===DC D B C B ''，2=AB ，2=AC ，87222122cos 222=-+=∠⋅⋅AC B '．三、解答题（17）从第一个袋中取出一个红球的概率为31124=，取出白球的概率为32128=；从第二个袋中取出一个红球的概率为41123=，取出白球的概率为43129=．从中各取出一球，得颜色相同的球的概率为12743324131=⨯+⨯． （18）连结BD 、B A 1．由三垂线定理有BD AC ⊥1，D A AC 11⊥，则⊥1AC 平面DB A 1．∵ 11D B EF ⊥，BD D B //11，∴ BD EF ⊥．∵ D A EF 1⊥，∴ ⊥EF 平面BD A 1．∴ 1//AC EF ．（19）对于53)514(bb -展开式中，r r rr r r C bb C T )1()51)4(55351-=(-=-+r -⋅54 651025r rb--⋅．令06510=-r ，则2=r ．得常数项为7132253254)1(=-=-⋅⋅C T ．令1=a ，则n a a)3(3-展开式各项系数之和为n2，依题意722=n，∴7=n ．于是对73)3(a a-展开式中62157737713)1()()3(---+⋅-=-=r r r r rr r r aC a aC T ．令16215-=-r ，得3=r ．∴ 73)3(a a-的展开式中1-a 项的二项式系数为3537=C ．（20）取BC 中点E ，连结AE 、DE ．∴ AC AB =，∴ BC AE ⊥．同理BC DE ⊥， ∴ ∠AED 为二面角D BC A --的平面角，∴ ∠AED ＝60°，在Rt ΔABE 中，∵ 13=AB ，12=BE ，∴ 5=AE ．在Rt ΔDEC 中，∵ 12=EC ，20=DC ， ∴16=DE ．在ΔADE 中，∵ 5=AE ，16=DE ，=∠AED 60°，∴ cos 1652165222⨯⨯⨯-+=AD 60°＝201，∴ 201=AD ．（21）（Ⅰ）∵ ABC C B A -111是正三棱柱，∴ 四边形11BCC B 是矩形，连结C B 1交1BC 于E ，则EC E B =1．连结DE ．在△C AB 1中，∵ DC AD =．∴ 1//AB DE ，∵ ⊄1AB 平面1DBC ，≠⊂DC 平面1DBC ，∴ //1AB 平面1DBC ．（Ⅱ）作BC AF ⊥，垂足为F ．∵ 面⊥ABC 面11BCC B ．∴ ⊥AF 平面11BCC B ，连结F B 1，则F B 1是1AB 在平面11BCC B 内的射影．∵ 11AB BC ⊥，∴ F B BC 11⊥，∵ 四边形11BCC B 是矩形，∴11BCC BF B ∠=∠＝90°，又BC C B FB 11∠=∠，∴ BF B 1∆∽1BCC ∆．∴BB BFCC F B BC B B 1111==．又F 是正三角形ABC 的BC 边的中点，∴ 22121=⨯==⋅BC BF B B ，于是322121=+=BF B B F B ，∴31=F B ．（22）（Ⅰ）∵ 1111D C B A ABCD -是正方体，∴ ⊥AD 面1DC ．∴≠⊂F D 1面1DC ，∴ F D AD 1⊥．（Ⅱ）取AB 中点G ，连结G A 1、FG ．易证11A GFD 是平行四边形．F D G A 11//．设G A 1与AE 相交于点H ，1AHA ∠是AE 与F D 1所成的角．∵ E 是1BB 的中点，∴ Rt △AG A 1≌Rt △ABE ，GAH A GA ∠=∠1，∴ =∠1AHA 90°，即AE 与F D 1所成的角为直角．（Ⅲ）由（Ⅰ）知F D AD 1⊥，由（Ⅱ）得F D AE 1⊥，∵A AE AD = ，∴ ⊥F D 1面AED ．∵ ≠⊂F D 1面11FD A ，∴ 面⊥AED 面11FD A ．（Ⅳ）∵ 体积E AA F F AA E V V 11--=，又⊥FG 面11A ABB ，三棱锥E AA F 1-的高21==AA FG ，面积2221212Δ111=⨯==A ABB E AA S S 正方形． ∴ 3422313111Δ=⨯⨯=⨯⨯=-FG S V E AA F AA E ．。