2015年上海市中考数学试卷及解析
2015年上海市中考真题数学
2015年上海市中考真题数学一、选择题1.下列实数中，是有理数的为( )C.πD.0是无理数，A 不正确；是无理数，B 不正确；π是无理数，C 不正确；0是有理数，D 正确.答案：D2.当a ＞0时，下列关于幂的运算正确的是( )A.a 0=1B.a -1=-aC.(-a)2=-a 2D.1221a a =解析：A 、a 0=1(a ＞0)，正确；B 、a -1=1a ，故此选项错误；C 、(-a)2=a 2，故此选项错误；D 、12a =＞0)，故此选项错误.答案：A3.下列y 关于x 的函数中，是正比例函数的为() A.y=x 2 B.y=2xC.y= 2xD.y=12x +解析：A 、y 是x 的二次函数，故A 选项错误；B 、y 是x 的反比例函数，故B 选项错误；C 、y 是x 的正比例函数，故C 选项正确；D、y是x的一次函数，故D选项错误.答案：C4.如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个多边形的边数是( )A.4B.5C.6D.7解析：根据正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等，这个多边形的边数是360÷72=5.答案：B5.下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是( )A.平均数B.众数C.方差D.频率解析：根据平均数、众数、中位数反映一组数据的集中趋势，而方差、标准差反映一组数据的离散程度或波动大小进行选择.能反映一组数据波动程度的是方差或标准差.答案：C6.如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是( )A.AD=BDB.OD=CDC.∠CAD=∠CBDD.∠OCA=∠OCB解析：∵在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，∴AD=DB，当DO=CD，则AD=BD，DO=CD，AB⊥CO，故四边形OACB为菱形.答案：B二、填空题7.计算：|-2|+2= .解析：先计算|-2|，再加上2即可.原式=2+2=4.答案：48.=2的解是 .，∴3x-2=4，∴x=2，当x=2时，左边=2，右边=2，∵左边=的解是：x=2. 答案：x=29.如果分式23xx+有意义，那么x的取值范围是 .解析：由题意得，x+3≠0，即x≠-3，答案：x≠-3.10.如果关于x的一元二次方程x2+4x-m=0没有实数根，那么m的取值范围是 . 解析：∵一元二次方程x2+4x-m=0没有实数根，∴△=16-4(-m)＜0，∴m＜-4.答案：m＜-4.11.同一温度的华氏度数y(℉)与摄氏度数x(℃)之间的函数关系是y=95x+32，如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是℉.解析：当x=25°时，y=95×25+32=77.答案：7712.如果将抛物线y=x2+2x-1向上平移，使它经过点A(0，3)，那么所得新抛物线的表达式是 .解析：设平移后的抛物线解析式为y=x2+2x-1+b，把A(0，3)代入，得3=-1+b，解得b=4，则该函数解析式为y=x2+2x+3.答案：y=x2+2x+3.13.某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加首次活动的概率是 .解析：∵学生会将从这50位同学中随机抽取7位，∴小杰被抽到参加首次活动的概率是：750.答案：7 5014.已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄与人数情况如下表所示：那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是 岁.解析：从小到大排列此数据，第27名成员的年龄是14岁，所以这个小组成员年龄的中位数是14.故答案为14.15.如图，已知在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、边AC 的中点，AB m =，AC n =，那么向量DE 用向量m ，n 表示为 .解析：∵AB m =，AC n =，∴BC AC AB n m =-=-，∵在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、边AC 的中点， ∴11112222DE BC n m n m ==-=-（）. 答案：1122n m -16.已知E 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，AE=AD ，过点E 作AC 的垂线，交边CD 于点F ，那么∠FAD= 度.解析：如图，在Rt △AEF 和Rt △ADF 中，AD AE AF AF =⎧⎨=⎩，，∴Rt △AEF ≌Rt △ADF ，∴∠DAF=∠EAF ， ∵四边形ABCD 为正方形，∴∠CAD=45°，∴∠FAD=22.5°.答案：22.5.17.在矩形ABCD 中，AB=5，BC=12，点A 在⊙B 上，如果⊙D 与⊙B 相交，且点B 在⊙D 内，那么⊙D 的半径长可以等于 .(只需写出一个符合要求的数)解析：∵矩形ABCD 中，AB=5，BC=12，∴AC=BD=13，∵点A 在⊙B 上，∴⊙B 的半径为5，∵如果⊙D 与⊙B 相交，∴⊙D 的半径R 满足8＜R ＜18，∵点B 在⊙D 内，∴R ＞13，∴13＜R ＜18，∴14符合要求(答案不唯一).答案：1418.已知在△ABC 中，AB=AC=8，∠BAC=30°，将△ABC 绕点A 旋转，使点B 落在原△ABC 的点C 处，此时点C 落在点D 处，延长线段AD ，交原△ABC 的边BC 的延长线于点E ，那么线段DE 的长等于 .解析：作CH ⊥AE 于H ，如图，∵AB=AC=8，∴∠B=∠ACB=12(180°-∠BAC)=12(180°-30°)=75°， ∵△ABC 绕点A 旋转，使点B 落在原△ABC 的点C 处，此时点C 落在点D 处，∴AD=AB=8，∠CAD=∠BAC=30°，∵∠ACB=∠CAD+∠E ，∴∠E=75°-30°=45°，在Rt △ACH 中，∵∠CAH=30°，∴CH=12AC=4，，∴，在Rt △CEH 中，∵∠E=45°，∴EH=CH=4，∴-4.答案：-4.三、解答题19.先化简，再求值：2214422x x x x x x x -÷-++++，其中-1. 解析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x 的值代入进行计算即可. 答案：原式=()222122x x x x x x +-⋅-++=122x x x x --++=12x +，当-1时，原式-1.20.解不等式组：4261193x xxx-⎧⎪-⎨≤+⎪⎩＞，，，并把解集在数轴上表示出来.解析：先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可.答案：4261193x xxx-⎧⎪⎨-≤+⎪⎩＞，，①②∵解不等式①得：x＞-3，解不等式②得：x≤2，∴不等式组的解集为-3＜x≤2，在数轴上表示不等式组的解集为：21.已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=43x的图象经过点A，点A的纵坐标为4，反比例函数y=mx的图象也经过点A，第一象限内的点B在这个反比例函数的图象上，过点B作BC∥x轴，交y轴于点C，且AC=AB.求：(1)这个反比例函数的解析式；(2)直线AB的表达式.解析：(1)根据正比例函数y=43x的图象经过点A，点A的纵坐标为4，求出点A的坐标，根据反比例函数y=mx的图象经过点A，求出m的值；(2)根据点A的坐标和等腰三角形的性质求出点B的坐标，运用待定系数法求出直线AB的表达式.答案：∵正比例函数y=43x的图象经过点A，点A的纵坐标为4，∴点A的坐标为(3，4)，∵反比例函数y=mx的图象经过点A，∴m=12，∴反比例函数的解析式为：y=12x.(2)如图，连接AC、AB，作AD⊥BC于D，∵AC=AB，AD⊥BC，∴BC=2CD=6，∴点B的坐标为：(6，2)，设直线AB的表达式为：y=kx+b，由题意得，3462k bk b+=⎧⎨+=⎩，，解得，236kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，，∴直线AB的表达式为：y=-23x+6.22.如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A 到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN=30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音(XRS)的影响.(1)过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？(2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？(精确到1米)(1.7)解析：(1)连接PA.在直角△PAH中利用勾股定理来求PH的长度；(2)由题意知，隔音板的长度是PQ的长度.通过解Rt△ADH、Rt△CDQ分别求得DH、DQ的长度，然后结合图形得到：PQ=PH+DQ-DH，把相关线段的长度代入求值即可.答案：(1)如图，连接PA.由题意知，AP=39m.在直角△APH中，=米).(2)由题意知，隔音板的长度是PQ 的长度.在Rt △ADH 中，DH=AH ·cot30°(米).在Rt △CDQ 中，DQ=391sin 302CQ =︒=78(米). 则114-15×1.7=88.5≈89(米).答：高架道路旁安装的隔音板至少需要89米.23.已知，如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 在边BC 的延长线上，且OE=OB ，连接DE.(1)求证：DE ⊥BE ；(2)如果OE ⊥CD ，求证：BD ·CE=CD ·DE.解析：(1)由平行四边形的性质得到BO=12BD ，由等量代换推出OE=12BD ，根据平行四边形的判定即可得到结论；(2)根据等角的余角相等，得到∠CEO=∠CDE ，推出△BDE ∽△CDE ，即可得到结论. 解析：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BO=12BD ， ∵OE=OB ，∴OE=12BD ，∴∠BED=90°，∴DE ⊥BE. (2)∵OE ⊥CD ，∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，∴∠CEO=∠CDE ，∵OB=OE ，∴∠DBE=∠CDE ，∵∠BED=∠BED ，∴△BDE ∽△DCE ，∴BD DE CD CE=，∴BD ·CE=CD ·DE.24.已知在平面直角坐标系xOy 中(如图)，抛物线y=ax 2-4与x 轴的负半轴(XRS)相交于点A ，与y 轴相交于点B ，P 在抛物线上，线段AP 与y 轴的正半轴交于点C ，线段BP 与x 轴相交于点D ，设点P 的横坐标为m.(1)求这条抛物线的解析式；(2)用含m的代数式表示线段CO的长；(3)当tan∠ODC=32时，求∠PAD的正弦值.解析：(1)根据已知条件先求出OB的长，再根据勾股定理得出OA=2，求出点A的坐标，再把点A的坐标代入y=ax2-4，求出a的值，从而求出解析式；(2)根据点P的横坐标得出点P的坐标，过点P作PE⊥x轴于点E，得出OE=m，PE=m2-4，从而求出AE=2+m，再根据OC AOPE AE=，求出OC；(3)根据tan∠ODC=32，得出OCOD=32，求出OD和OC，再根据△ODB∽△EDP，得出OD OBED EP=，求出OC，求出∠PAD=45°，从而求出∠PAD的正弦值.答案：(1)∵抛物线y=ax2-4与y轴相交于点B，∴点B的坐标是(0，-4)，∴OB=4，∵=2，∴点A的坐标为(-2，0)，把(-2，0)代入y=ax2-4得：0=4a-4，解得：a=1，则抛物线的解析式是：y=x2-4.(2)∵点P的横坐标为m，∴点P的坐标为(m，m2-4)，过点P作PE⊥x轴于点E，∴OE=m，PE=m2-4，∴AE=2+m，∵OC AOPE AE=，∴2242OCm m=-+，∴CO=2m-4.(3)∵tan∠ODC=32，∴OCOD=32，∴OD=23OC=23×(2m-4)=483m-，∵△ODB∽△EDP，∴OD OBED EP=，∴24843843mm m-=--，∴m1=-1(舍去)，m2=3，∴OC=2×3-4=2，∵OA=2，∴OA=OC，∴∠PAD=45°，∴sin∠PAD=sin45°=2.25.已知，如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P，Q分别在线段OC，CD上，且DQ=OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E，与弦CD相交于点F(点F与点C，D不重合)，AB=20，cos∠AOC=45，设OP=x，△CPF的面积为y.(1)求证：AP=OQ；(2)求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；(3)当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长.解析：(1)连接OD，证得△AOP≌△ODQ后即可证得AP=OQ；(2)作PH⊥OA，根据cos∠AOC=45得到OH=45PO=45x，从而得到S△AOP=12AO·PH=3x，利用△PFC∽△PAO得当对应边的比相等即可得到函数解析式；(3)分当∠POE=90°时、当∠OPE=90°时、当∠OEP=90°时三种情况讨论即可得到正确的结论.答案：(1)连接OD，在△AOP和△ODQ中，AO ODAOC C ODQOP DQ=⎧⎪∠=∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△AOP≌△ODQ，∴AP=OQ；(2)作PH⊥OA，∵cos∠AOC=45，∴OH=45PO=45x，∴S△AOP=12AO·PH=3x，又∵△PFC∽△PAO，∴2210AOPy CP xS PO x∆⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭==，整理得：y=2360300x xx-+，∵AP延长线与CD相交于点F，∴CF≤CD=12，易知△CPF∽△OPA，∴CP CFx AO=，∴x的定义域为：5011＜x＜10.(3)当∠POE=90°时，CQ=25cos2OCQCO=∠，PO=DQ=CD-CQ=72(舍)；当∠OPE=90°时，PO=AO`cos∠COA=8；当∠OEP=90°时，如图，由(1)知△AOP≌△ODQ，∴∠APO=∠OQD，∴∠AOQ=∠OQD=∠APO，∵∠AOQ＜90°，∠APO＞90°(矛盾)，∴此种情况不存在，∴线段OP的长为8.。
2015年上海市中考数学试卷答案与解析
2015年上海市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（4分）（2015•上海）下列实数中，是有理数的为(）A．B．C．πD．0考点：实数．分析：根据有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数进行判断即可．解答：解：是无理数，A不正确；是无理数，B不正确;π是无理数，C不正确；0是有理数，D正确；故选：D．点评:此题主要考查了无理数和有理数的区别，解答此题的关键是要明确：有理数能写成有限小数和无限循环小数,而无理数只能写成无限不循环小数．2．（4分）（2015•上海)当a＞0时，下列关于幂的运算正确的是（)A．a0=1 B．a﹣1=﹣a C．（﹣a)2=﹣a2D．a=考点：负整数指数幂；有理数的乘方；分数指数幂；零指数幂．分析：分别利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和分数指数幂的性质分别分析求出即可．解答：解：A、a0=1（a＞0），正确；B、a﹣1=,故此选项错误;C、（﹣a）2=a2，故此选项错误；D、a=(a＞0)，故此选项错误．故选：A．点评：此题主要考查了零指数幂的性质以及负指数幂的性质和分数指数幂的性质等知识，正确把握相关性质是解题关键．3．（4分）(2015•上海）下列y关于x的函数中，是正比例函数的为（）A．y=x2B．y=C．y=D．y=考点：正比例函数的定义．分析：根据正比例函数的定义来判断即可得出答案．解答：解：A、y是x的二次函数，故A选项错误;B、y是x的反比例函数，故B选项错误；C、y是x的正比例函数,故C选项正确;D、y是x的一次函数，故D选项错误；故选C．点评：本题考查了正比例函数的定义：一般地,两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数,且k≠0)的函数，那么y就叫做x的正比例函数．4．（4分)(2015•上海）如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个多边形的边数是（）A．4B．5C．6D．7考点: 多边形内角与外角．分析：根据正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等,列式计算即可．解答：解：这个多边形的边数是360÷72=5，故选：B．点评：本题考查的是正多边形的中心角的有关计算,掌握正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等是解题的关键．5．（4分）（2015•上海)下列各统计量中,表示一组数据波动程度的量是（）A．平均数B．众数C．方差D．频率考点：统计量的选择．分析：根据平均数、众数、中位数反映一组数据的集中趋势，而方差、标准差反映一组数据的离散程度或波动大小进行选择．解答：解：能反映一组数据波动程度的是方差或标准差,故选C．点评：本题考查了标准差的意义,波动越大，标准差越大，数据越不稳定，反之也成立．6．（4分）（2015•上海）如图，已知在⊙O中,AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（)A．A D=BD B．O D=CD C．∠CAD=∠CBD D．∠OCA=∠OCB考点: 菱形的判定；垂径定理．分析：利用对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，进而求出即可．解答：解：∵在⊙O中,AB是弦，半径OC⊥AB，∴AD=DB，当DO=CD，则AD=BD,DO=CD，AB⊥CO，故四边形OACB为菱形．故选：B．点评：此题主要考查了菱形的判定以及垂径定理,熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．二、填空题7．(4分)（2015•上海）计算：｜﹣2｜+2=4．考点：有理数的加法；绝对值．分析:先计算|﹣2｜，再加上2即可．解答：解:原式=2+2=4．故答案为4．点评：本题考查了有理数的加法，以及绝对值的求法，负数的绝对值等于它的相反数．8．（4分）（2015•上海）方程=2的解是x=2．考点：无理方程．分析：首先根据乘方法消去方程中的根号,然后根据一元一次方程的求解方法，求出x的值是多少,最后验根，求出方程=2的解是多少即可．解答：解：∵=2，∴3x﹣2=4，∴x=2，当x=2时，左边=,右边=2，∵左边=右边，∴方程=2的解是:x=2．故答案为：x=2．点评：此题主要考查了无理方程的求解，要熟练掌握,解答此题的关键是要明确：（1）解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法,配方法,因式分解法,设辅助元素法，利用比例性质法等．（2）注意：用乘方法(即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根,应注意验根．9．（4分）（2015•上海)如果分式有意义，那么x的取值范围是x≠﹣3．考点：分式有意义的条件．分析：根据分式有意义的条件是分母不为0,列出算式，计算得到答案．解答：解:由题意得，x+3≠0，即x≠﹣3，故答案为:x≠﹣3．点评：本题考查的是分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念:(1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零．10．(4分）（2015•上海）如果关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根,那么m的取值范围是m＜﹣4．考点：根的判别式．分析：根据关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，得出△=16﹣4（﹣m)＜0，从而求出m的取值范围．解答：解：∵一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，∴△=16﹣4(﹣m)＜0,∴m＜﹣4,故答案为m＜﹣4．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0,方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0,方程没有实数根．11．（4分）（2015•上海）同一温度的华氏度数y（℉)与摄氏度数x(℃）之间的函数关系是y=x+32,如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是77℉．考点：函数值．分析：把x的值代入函数关系式计算求出y值即可．解答：解：当x=25°时，y=×25+32=77，故答案为：77．点评:本题考查的是求函数值，理解函数值的概念并正确代入准确计算是解题的关键．12．（4分）（2015•上海)如果将抛物线y=x2+2x﹣1向上平移，使它经过点A（0,3），那么所得新抛物线的表达式是y=x2+2x+3．考点：二次函数图象与几何变换．分析：设平移后的抛物线解析式为y=x2+2x﹣1+b，把点A的坐标代入进行求值即可得到b 的值．解答：解：设平移后的抛物线解析式为y=x2+2x﹣1+b，把A(0,3）代入，得3=﹣1+b，解得b=4，则该函数解析式为y=x2+2x+3．故答案是：y=x2+2x+3．点评：主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．13．（4分）（2015•上海）某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加首次活动的概率是．考点：概率公式．分析：由某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动,首次活动需要7位同学参加,现有包括小杰在内的50位同学报名,直接利用概率公式求解即可求得答案．解答:解：∵学生会将从这50位同学中随机抽取7位，∴小杰被抽到参加首次活动的概率是：．故答案为：．点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．（4分）（2015•上海）已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄与人数情况如下表所示：年龄（岁）11 12 13 14 15人数 5 5 16 15 12那么“科技创新社团"成员年龄的中位数是14岁．考点: 中位数．分析：一共有53个数据，根据中位数的定义，把它们按从小到大的顺序排列,第27名成员的年龄就是这个小组成员年龄的中位数．解答：解:从小到大排列此数据,第27名成员的年龄是14岁，所以这个小组成员年龄的中位数是14．故答案为14．点评：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序,然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求,如果是偶数个则找中间两位数的平均数．15．（4分）（2015•上海)如图，已知在△ABC中，D、E分别是边AB、边AC的中点，=,=，那么向量用向量，表示为﹣．考点：*平面向量．分析：由=，=，利用三角形法则求解即可求得，又由在△ABC中，D、E分别是边AB、边AC的中点，可得DE是△ABC的中位线，然后利用三角形中位线的性质求解即可求得答案．解答：解:∵=，=，∴=﹣=﹣，∵在△ABC中,D、E分别是边AB、边AC的中点，∴==（﹣）=﹣．故答案为:﹣．点评:此题考查了平面向量的知识以及三角形中位线的性质．注意掌握三角形法则的应用．16．（4分）（2015•上海）已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE=AD，过点E作AC的垂线,交边CD于点F，那么∠FAD=22.5度．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：根据正方形的性质可得∠DAC=45°,再由AD=AE易证△ADF≌△AEF，求出∠FAD．解答：解：如图，在Rt△AEF和Rt△ADF中，∴Rt△AEF≌Rt△ADF,∴∠DAF=∠EAF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠CAD=45°,∴∠FAD=22.5°．故答案为:22.5．点评：本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质，求证Rt△AEF≌Rt△ADF是解本题的关键．17．（4分）（2015•上海）在矩形ABCD中，AB=5,BC=12,点A在⊙B上，如果⊙D与⊙B 相交，且点B在⊙D内，那么⊙D的半径长可以等于14（答案不唯一）．(只需写出一个符合要求的数）考点: 圆与圆的位置关系；点与圆的位置关系．专题：开放型．分析:首先求得矩形的对角线的长,然后根据点A在⊙B上得到⊙B的半径为5，再根据⊙D 与⊙B相交，得到⊙D的半径R满足8＜R＜18，在此范围内找到一个值即可．解答：解：∵矩形ABCD中，AB=5，BC=12，∴AC=BD=13，∵点A在⊙B上,∴⊙B的半径为5,∵如果⊙D与⊙B相交，∴⊙D的半径R满足8＜R＜18，∵点B在⊙D内,∴R＞13，∴13＜R＜18，∴14符合要求,故答案为：14（答案不唯一）．点评：本题考查了圆与圆的位置关系、点与圆的位置关系,解题的关键是首先确定⊙B的半径，然后确定⊙D的半径的取值范围，难度不大．18．（4分）（2015•上海）已知在△ABC中，AB=AC=8,∠BAC=30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处,延长线段AD，交原△ABC的边BC 的延长线于点E,那么线段DE的长等于4﹣4．考点: 解直角三角形；等腰三角形的性质．专题：计算题．分析：作CH⊥AE于H，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ACB=（180°﹣∠BAC）=75°，再根据旋转的性质得AD=AB=8，∠CAD=∠BAC=30°，则利用三角形外角性质可计算出∠E=45°，接着在Rt△ACH中利用含30度的直角三角形三边的关系得CH=AC=4，AH=CH=4，所以DH=AD﹣AH=8﹣4，然后在Rt△CEH中利用∠E=45°得到EH=CH=4，于是可得DE=EH﹣DH=4﹣4．解答：解：作CH⊥AE于H，如图，∵AB=AC=8，∴∠B=∠ACB=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣30°）=75°，∵△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，∴AD=AB=8,∠CAD=∠BAC=30°，∵∠ACB=∠CAD+∠E,∴∠E=75°﹣30°=45°，在Rt△ACH中，∵∠CAH=30°，∴CH=AC=4，AH=CH=4，∴DH=AD﹣AH=8﹣4，在Rt△CEH中，∵∠E=45°，∴EH=CH=4，∴DE=EH﹣DH=4﹣(8﹣4)=4﹣4．故答案为4﹣4．点评:本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质和旋转的性质．三、解答题19．（10分）（2015•上海）先化简，再求值：÷﹣，其中x=﹣1．考点：分式的化简求值．分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．解答：解：原式=•﹣=﹣=，当x=﹣1时，原式==﹣1．点评:本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．20．(10分）(2015•上海)解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．分析:先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．解答:解：∵解不等式①得：x＞﹣3，解不等式②得：x≤2，∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2，在数轴上表示不等式组的解集为:．点评：本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用,解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集，难度适中．21．(10分)(2015•上海）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=x的图象经过点A,点A的纵坐标为4，反比例函数y=的图象也经过点A,第一象限内的点B在这个反比例函数的图象上，过点B作BC∥x轴，交y轴于点C，且AC=AB．求：（1)这个反比例函数的解析式;（2）直线AB的表达式．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）根据正比例函数y=x的图象经过点A，点A的纵坐标为4，求出点A的坐标，根据反比例函数y=的图象经过点A，求出m的值;（2）根据点A的坐标和等腰三角形的性质求出点B的坐标,运用待定系数法求出直线AB的表达式．解答:解:∵正比例函数y=x的图象经过点A，点A的纵坐标为4，∴点A的坐标为（3，4），∵反比例函数y=的图象经过点A，∴m=12，∴反比例函数的解析式为：y=；（2)如图，连接AC、AB，作AD⊥BC于D，∵AC=AB，AD⊥BC，∴BC=2CD=6，∴点B的坐标为：（6，2)，设直线AB的表达式为：y=kx+b，由题意得，，解得，，∴直线AB的表达式为：y=﹣x+6．点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和一次函数与反比例函数的解得的求法,注意数形结合的思想在解题中的应用．22．（10分）（2015•上海）如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN=30°,假设汽车在高速道路上行驶时,周围39米以内会受到噪音（XRS）的影响．（1)过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶,当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米? （2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼,高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长?（精确到1米)（参考数据：≈1。
2015年上海数学中考题
C．（﹣a）2=﹣a2 D．
a=
考点：负整数指数幂；有理数的乘方；分数指数幂；零指数幂． 菁优网版 权所有
分析：分别利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和分数指数幂的性质分别分析求出即 可．
解答：解：A、a0=1（a＞0），正确； B、a﹣1= ，故此选项错误；
C、（﹣a）2=a2，故此选项错误；
D、a = （a＞0），故此选项错误． 故选：A． 点评：此题主要考查了零指数幂的性质以及负指数幂的性质和分数指数幂的性质等知识，正 确把握相关性质是解题关键．
2015 年上海市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（4 分）（2015•上海）下列实数中，是有理数的为（ ）
A．
B．
C．πΒιβλιοθήκη D．0考点：实数． 菁优网版 权所有
分析：根据有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数进行 判断即可．
解答：解： 是无理数，A 不正确；
是无理数，B 不正确；
∴AD=DB，
2
当 DO=CD， 则 AD=BD，DO=CD，AB⊥CO， 故四边形 OACB 为菱形． 故选：B． 点评：此题主要考查了菱形的判定以及垂径定理，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．
二、填空题 7．（4 分）（2015•上海）计算：|﹣2|+2= 4 ．
考点：有理数的加法；绝对值． 菁优网版 权所有
是多少，最后验根，求出方程
=2 的解是多少即可．
解答：解：∵
=2，
∴3x﹣2=4， ∴x=2， 当 x=2 时，
左边=
，
右边=2， ∵左边=右边，
∴方程
=2 的解是：x=2．
故答案为：x=2． 点评：此题主要考查了无理方程的求解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）解无
2015年上海市中考数学试卷和解析答案
2015年上海市中考数学试卷一、选择题1．（4分）下列实数中，是有理数地为（）A．B．C．πD．02．（4分）当a＞0时，下列关于幂地运算正确地是（）A．a0=1 B．a﹣1=﹣a C．（﹣a）2=﹣a2D．a=3．（4分）下列y关于x地函数中，是正比例函数地为（）A．y=x2 B．y= C．y= D．y=4．（4分）如果一个正多边形地中心角为72°，那么这个多边形地边数是（）A．4 B．5 C．6 D．75．（4分）下列各统计量中，表示一组数据波动程度地量是（）A．平均数B．众数C．方差D．频率6．（4分）如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（）A．AD=BD B．OD=CD C．∠CAD=∠CBD D．∠OCA=∠OCB二、填空题7．（4分）计算：|﹣2|+2=．8．（4分）方程=2地解是．9．（4分）如果分式有意义，那么x地取值范围是．10．（4分）如果关于x地一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，那么m地取值范围是．11．（4分）同一温度地华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间地函数关系是y=x+32，如果某一温度地摄氏度数是25℃，那么它地华氏度数是℉．12．（4分）如果将抛物线y=x2+2x﹣1向上平移，使它经过点A（0，3），那么所得新抛物线地表达式是．13．（4分）某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内地50位同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加首次活动地概率是．14．（4分）已知某校学生“科技创新社团”成员地年龄与人数情况如下表所示：那么“科技创新社团”成员年龄地中位数是岁．15．（4分）如图，已知在△ABC中，D、E分别是边AB、边AC地中点，=，=，那么向量用向量，表示为．16．（4分）已知E是正方形ABCD地对角线AC上一点，AE=AD，过点E作AC地垂线，交边CD于点F，那么∠FAD=度．17．（4分）在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点A在⊙B上，如果⊙D与⊙B相交，且点B在⊙D内，那么⊙D地半径长可以等于．（只需写出一个符合要求地数）18．（4分）已知在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC地点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC 地边BC地延长线于点E，那么线段DE地长等于．三、解答题19．（10分）先化简，再求值：÷﹣，其中x=﹣1．20．（10分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．21．（10分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=x地图象经过点A，点A地纵坐标为4，反比例函数y=地图象也经过点A，第一象限内地点B在这个反比例函数地图象上，过点B作BC∥x轴，交y轴于点C，且AC=AB．求：（1）这个反比例函数地解析式；（2）直线AB地表达式．22．（10分）如图，MN表示一段笔直地高架道路，线段AB表示高架道路旁地一排居民楼，已知点A到MN地距离为15米，BA地延长线与MN相交于点D，且∠BDN=30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音地影响．（1）过点A作MN地垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N地方向在MN 上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排地居民楼，那么此时汽车与点H地距离为多少米？（2）降低噪音地一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼地距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装地隔音板至少需要多少米长？（精确到1米）（参考数据：≈1.7）23．（12分）已知，如图，平行四边形ABCD地对角线相交于点O，点E在边BC 地延长线上，且OE=OB，连接DE．（1）求证：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=ax2﹣4与x轴地负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，AB=2，点P在抛物线上，线段AP与y轴地正半轴交于点C，线段BP与x轴相交于点D，设点P地横坐标为m．（1）求这条抛物线地解析式；（2）用含m地代数式表示线段CO地长；（3）当tan∠ODC=时，求∠PAD地正弦值．25．（14分）已知，如图，AB是半圆O地直径，弦CD∥AB，动点P，Q分别在线段OC，CD上，且DQ=OP，AP地延长线与射线OQ相交于点E，与弦CD相交于点F（点F与点C，D不重合），AB=20，cos∠AOC=，设OP=x，△CPF地面积为y．（1）求证：AP=OQ；（2）求y关于x地函数关系式，并写出它地定义域；（3）当△OPE是直角三角形时，求线段OP地长．2015年上海市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（4分）下列实数中，是有理数地为（）A．B．C．πD．0【分析】根据有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数进行判断即可．【解答】解：是无理数，A不正确；是无理数，B不正确；π是无理数，C不正确；0是有理数，D正确；故选：D．2．（4分）当a＞0时，下列关于幂地运算正确地是（）A．a0=1 B．a﹣1=﹣a C．（﹣a）2=﹣a2D．a=【分析】分别利用零指数幂地性质以及负指数幂地性质和分数指数幂地性质分别分析求出即可．【解答】解：A、a0=1（a＞0），正确；B、a﹣1=，故此选项错误；C、（﹣a）2=a2，故此选项错误；D、a=（a＞0），故此选项错误．故选：A．3．（4分）下列y关于x地函数中，是正比例函数地为（）A．y=x2 B．y= C．y= D．y=【分析】根据正比例函数地定义来判断即可得出答案．【解答】解：A、y是x地二次函数，故A选项错误；B、y是x地反比例函数，故B选项错误；C、y是x地正比例函数，故C选项正确；D、y是x地一次函数，故D选项错误；故选：C．4．（4分）如果一个正多边形地中心角为72°，那么这个多边形地边数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根据正多边形地中心角和为360°和正多边形地中心角相等，列式计算即可．【解答】解：这个多边形地边数是360÷72=5，故选：B．5．（4分）下列各统计量中，表示一组数据波动程度地量是（）A．平均数B．众数C．方差D．频率【分析】根据平均数、众数、中位数反映一组数据地集中趋势，而方差、标准差反映一组数据地离散程度或波动大小进行选择．【解答】解：能反映一组数据波动程度地是方差或标准差，故选：C．6．（4分）如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（）A．AD=BD B．OD=CD C．∠CAD=∠CBD D．∠OCA=∠OCB【分析】利用对角线互相垂直且互相平分地四边形是菱形，进而求出即可．【解答】解：∵在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，∴AD=DB，当DO=CD，则AD=BD，DO=CD，AB⊥CO，故四边形OACB为菱形．故选：B．二、填空题7．（4分）计算：|﹣2|+2=4．【分析】先计算|﹣2|，再加上2即可．【解答】解：原式=2+2=4．故答案为4．8．（4分）方程=2地解是x=2．【分析】首先根据乘方法消去方程中地根号，然后根据一元一次方程地求解方法，求出x地值是多少，最后验根，求出方程=2地解是多少即可．【解答】解：∵=2，∴3x﹣2=4，∴x=2，当x=2时，左边=，右边=2，∵左边=右边，∴方程=2地解是：x=2．故答案为：x=2．9．（4分）如果分式有意义，那么x地取值范围是x≠﹣3．【分析】根据分式有意义地条件是分母不为0，列出算式，计算得到答案．【解答】解：由题意得，x+3≠0，即x≠﹣3，故答案为：x≠﹣3．10．（4分）如果关于x地一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，那么m地取值范围是m＜﹣4．【分析】根据关于x地一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，得出△=16﹣4（﹣m）＜0，从而求出m地取值范围．【解答】解：∵一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，∴△=16﹣4（﹣m）＜0，∴m＜﹣4，故答案为m＜﹣4．11．（4分）同一温度地华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间地函数关系是y=x+32，如果某一温度地摄氏度数是25℃，那么它地华氏度数是77℉．【分析】把x地值代入函数关系式计算求出y值即可．【解答】解：当x=25°时，y=×25+32=77，故答案为：77．12．（4分）如果将抛物线y=x2+2x﹣1向上平移，使它经过点A（0，3），那么所得新抛物线地表达式是y=x2+2x+3．【分析】设平移后地抛物线解析式为y=x2+2x﹣1+b，把点A地坐标代入进行求值即可得到b地值．【解答】解：设平移后地抛物线解析式为y=x2+2x﹣1+b，把A（0，3）代入，得3=﹣1+b，解得b=4，则该函数解析式为y=x2+2x+3．故答案是：y=x2+2x+3．13．（4分）某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内地50位同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加首次活动地概率是．【分析】由某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内地50位同学报名，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵学生会将从这50位同学中随机抽取7位，∴小杰被抽到参加首次活动地概率是：．故答案为：．14．（4分）已知某校学生“科技创新社团”成员地年龄与人数情况如下表所示：那么“科技创新社团”成员年龄地中位数是14岁．【分析】一共有53个数据，根据中位数地定义，把它们按从小到大地顺序排列，第27名成员地年龄就是这个小组成员年龄地中位数．【解答】解：从小到大排列此数据，第27名成员地年龄是14岁，所以这个小组成员年龄地中位数是14．故答案为14．15．（4分）如图，已知在△ABC中，D、E分别是边AB、边AC地中点，=，=，那么向量用向量，表示为﹣．【分析】由=，=，利用三角形法则求解即可求得，又由在△ABC中，D、E分别是边AB、边AC地中点，可得DE是△ABC地中位线，然后利用三角形中位线地性质求解即可求得答案．【解答】解：∵=，=，∴=﹣=﹣，∵在△ABC中，D、E分别是边AB、边AC地中点，∴==（﹣）=﹣．故答案为：﹣．16．（4分）已知E是正方形ABCD地对角线AC上一点，AE=AD，过点E作AC地垂线，交边CD于点F，那么∠FAD=22.5度．【分析】根据正方形地性质可得∠DAC=45°，再由AD=AE易证△ADF≌△AEF，求出∠FAD．【解答】解：如图，在Rt△AEF和Rt△ADF中，∴Rt△AEF≌Rt△ADF，∴∠DAF=∠EAF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠CAD=45°，∴∠FAD=22.5°．故答案为：22.5．17．（4分）在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点A在⊙B上，如果⊙D与⊙B相交，且点B在⊙D内，那么⊙D地半径长可以等于14（答案不唯一）．（只需写出一个符合要求地数）【分析】首先求得矩形地对角线地长，然后根据点A在⊙B上得到⊙B地半径为5，再根据⊙D与⊙B相交，得到⊙D地半径R满足8＜R＜18，在此范围内找到一个值即可．【解答】解：∵矩形ABCD中，AB=5，BC=12，∴AC=BD=13，∵点A在⊙B上，∴⊙B地半径为5，∵如果⊙D与⊙B相交，∴⊙D地半径R满足8＜R＜18，∵点B在⊙D内，∴R＞13，∴13＜R＜18，∴14符合要求，故答案为：14（答案不唯一）．18．（4分）已知在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC地点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC 地边BC地延长线于点E，那么线段DE地长等于4﹣4．【分析】作CH⊥AE于H，根据等腰三角形地性质和三角形内角和定理可计算出∠ACB=（180°﹣∠BAC）=75°，再根据旋转地性质得AD=AB=8，∠CAD=∠BAC=30°，则利用三角形外角性质可计算出∠E=45°，接着在Rt△ACH中利用含30度地直角三角形三边地关系得CH=AC=4，AH=CH=4，所以DH=AD﹣AH=8﹣4，然后在Rt△CEH中利用∠E=45°得到EH=CH=4，于是可得DE=EH﹣DH=4﹣4．【解答】解：作CH⊥AE于H，如图，∵AB=AC=8，∴∠B=∠ACB=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣30°）=75°，∵△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC地点C处，此时点C落在点D处，∴AD=AB=8，∠CAD=∠BAC=30°，∵∠ACB=∠CAD+∠E，∴∠E=75°﹣30°=45°，在Rt△ACH中，∵∠CAH=30°，∴CH=AC=4，AH=CH=4，∴DH=AD﹣AH=8﹣4，在Rt△CEH中，∵∠E=45°，∴EH=CH=4，∴DE=EH﹣DH=4﹣（8﹣4）=4﹣4．故答案为4﹣4．三、解答题19．（10分）先化简，再求值：÷﹣，其中x=﹣1．【分析】先根据分式混合运算地法则把原式进行化简，再把x地值代入进行计算即可．【解答】解：原式=•﹣=﹣=，当x=﹣1时，原式==﹣1．20．（10分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．【分析】先求出每个不等式地解集，再根据找不等式组解集地规律找出不等式组地解集即可．【解答】解：∵解不等式①得：x＞﹣3，解不等式②得：x≤2，∴不等式组地解集为﹣3＜x≤2，在数轴上表示不等式组地解集为：．21．（10分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=x地图象经过点A，点A地纵坐标为4，反比例函数y=地图象也经过点A，第一象限内地点B在这个反比例函数地图象上，过点B作BC∥x轴，交y轴于点C，且AC=AB．求：（1）这个反比例函数地解析式；（2）直线AB地表达式．【分析】（1）根据正比例函数y=x地图象经过点A，点A地纵坐标为4，求出点A地坐标，根据反比例函数y=地图象经过点A，求出m地值；（2）根据点A地坐标和等腰三角形地性质求出点B地坐标，运用待定系数法求出直线AB地表达式．【解答】解：∵正比例函数y=x地图象经过点A，点A地纵坐标为4，∴点A地坐标为（3，4），∵反比例函数y=地图象经过点A，∴m=12，∴反比例函数地解析式为：y=；（2）如图，连接AC、AB，作AD⊥BC于D，∵AC=AB，AD⊥BC，∴BC=2CD=6，∴点B地坐标为：（6，2），设直线AB地表达式为：y=kx+b，由题意得，，解得，，∴直线AB地表达式为：y=﹣x+6．22．（10分）如图，MN表示一段笔直地高架道路，线段AB表示高架道路旁地一排居民楼，已知点A到MN地距离为15米，BA地延长线与MN相交于点D，且∠BDN=30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音地影响．（1）过点A作MN地垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N地方向在MN 上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排地居民楼，那么此时汽车与点H地距离为多少米？（2）降低噪音地一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼地距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装地隔音板至少需要多少米长？（精确到1米）（参考数据：≈1.7）【分析】（1）连接PA．在直角△PAH中利用勾股定理来求PH地长度；（2）由题意知，隔音板地长度是PQ地长度．通过解Rt△ADH、Rt△CDQ分别求得DH、DQ地长度，然后结合图形得到：PQ=PH+DQ﹣DH，把相关线段地长度代入求值即可．【解答】解：（1）如图，连接PA．由题意知，AP=39m．在直角△APH中，PH===36（米）；（2）由题意知，隔音板地长度是PQ地长度．在Rt△ADH中，DH=AH•cot30°=15（米）．在Rt△CDQ中，DQ===78（米）．则PQ=PH+HQ=PH+DQ﹣DH=36+78﹣15≈114﹣15×1.7=88.5≈89（米）．答：高架道路旁安装地隔音板至少需要89米．23．（12分）已知，如图，平行四边形ABCD地对角线相交于点O，点E在边BC 地延长线上，且OE=OB，连接DE．（1）求证：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．【分析】（1）由平行四边形地性质得到BO=BD，由等量代换推出OE=BD，根据平行四边形地判定即可得到结论；（2）根据等角地余角相等，得到∠CEO=∠CDE，推出△BDE∽△CDE，即可得到结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=OD，∵OE=OB，∴OE=OD，∴∠OBE=∠OEB，∠OED=∠ODE，∵∠OBE+∠OEB+∠OED+∠ODE=180°，∴∠BEO+∠DEO=∠BED=90°，∴DE⊥BE；（2）∵OE⊥CD∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，∴∠CEO=∠CDE，∵OB=OE，∴∠DBE=∠CDE，∵∠BED=∠BED，∴△BDE∽△DCE，∴，∴BD•CE=CD•DE．24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=ax2﹣4与x轴地负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，AB=2，点P在抛物线上，线段AP与y轴地正半轴交于点C，线段BP与x轴相交于点D，设点P地横坐标为m．（1）求这条抛物线地解析式；（2）用含m地代数式表示线段CO地长；（3）当tan∠ODC=时，求∠PAD地正弦值．【分析】（1）根据已知条件先求出OB地长，再根据勾股定理得出OA=2，求出点A地坐标，再把点A地坐标代入y=ax2﹣4，求出a地值，从而求出解析式；（2）根据点P地横坐标得出点P地坐标，过点P作PE⊥x轴于点E，得出OE=m，PE=m2﹣4，从而求出AE=2+m，再根据=，求出OC；（3）根据tan∠ODC=，得出=，求出OD和OC，再根据△ODB∽△EDP，得出=，求出OC，求出∠PAD=45°，从而求出∠PAD地正弦值．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2﹣4与y轴相交于点B，∴点B地坐标是（0，﹣4），∴OB=4，∵AB=2，∴OA==2，∴点A地坐标为（﹣2，0），把（﹣2，0）代入y=ax2﹣4得：0=4a﹣4，解得：a=1，则抛物线地解析式是：y=x2﹣4；（2）方法一：∵点P地横坐标为m，∴点P地坐标为（m，m2﹣4），过点P作PE⊥x轴于点E，∴OE=m，PE=m2﹣4，∴AE=2+m，∵=，∴=，∴CO=2m﹣4；方法二：∵点P在抛物线上，∴P（m，m2﹣4），设PA地直线方程为：y=kx+b，∴⇒，∴l PA：y=（m﹣2）x+2m﹣4，∴CO=2m﹣4；（3）方法一：∵tan∠ODC=，∴=，∴OD=OC=×（2m﹣4）=，∵△ODB∽△EDP，∴=，∴=，∴m1=﹣1（舍去），m2=3，∴OC=2×3﹣4=2，∵OA=2，∴OA=OC，∴∠PAD=45°，∴sin∠PAD=sin45°=．方法二：∵P（m，m2﹣4），B（0，﹣4），∴l PB：y=mx﹣4，∴D（，0），tan∠ODC=⇒，OC=2m﹣4，∴OD=，∵线段AP与y轴地正半轴交于点C，∴OC=2m﹣4（m＞2），∴，经整理：m2﹣2m﹣3=0，∴m1=﹣1（舍去），m2=3，∴P（3，5），∴l PA：y=x+2，∴∠PAD=45°，∴sin∠PAD=．25．（14分）已知，如图，AB是半圆O地直径，弦CD∥AB，动点P，Q分别在线段OC，CD上，且DQ=OP，AP地延长线与射线OQ相交于点E，与弦CD相交于点F（点F与点C，D不重合），AB=20，cos∠AOC=，设OP=x，△CPF地面积为y．（1）求证：AP=OQ；（2）求y关于x地函数关系式，并写出它地定义域；（3）当△OPE是直角三角形时，求线段OP地长．【分析】（1）连接OD，证得△AOP≌△ODQ后即可证得AP=OQ；（2）作PH⊥OA，根据cos∠AOC=得到OH=PO=x，从而得到S△=AO•PH=3x，利用△PFC∽△PAO得当对应边地比相等即可得到函数解析式；AOP（3）分当∠POE=90°时、当∠OPE=90°时，当∠OEP=90°时三种情况讨论即可得到正确地结论．【解答】解：（1）连接OD，在△AOP和△ODQ中，，∴△AOP≌△ODQ，∴AP=OQ；（2）作PH⊥OA，∵cos∠AOC=，∴OH=PO=x，∴S=AO•PH=3x，△AOP又∵△PFC∽△PAO，∴==（）2，整理得：y=，∵AP延长线与CD相交于点F，∴CF≤CD=16，易知△CPF∽△OPA，∴，∴x地定义域为：＜x＜10；（3）当∠POE=90°时，CQ==，PO=DQ=CD﹣CQ=（舍）；当∠OPE=90°时，PO=AO•cos∠COA=8；当∠OEP=90°时，如图，由（1）知△AOP≌△ODQ，∴∠APO=∠OQD，∴∠AOQ=∠OQD=∠APO，∵∠AOQ＜90°，∠APO＞90°（矛盾），∴此种情况不存在，∴线段OP地长为8．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
上海市中考数学真题试题(含扫描答案)
2015年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷一、选择题：(每题4分，共24分) 1、下列实数中，是有理数的为………………………………………………………………（ ） A 、2； B 、34； C 、π； D 、0．2、当a ＞0时，下列关于幂的运算正确的是………………………………………………（ ） A 、a 0＝1； B 、a －1＝－a ； C 、(－a )2＝－a 2； D 、2211aa=． 3、下列y 关于x 的函数中，是正比例函数的为…………………………………………（ ） A 、y ＝x 2； B 、y ＝x 2； C 、y ＝2x ； D 、y ＝21+x ． 4、如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是……………………（ ）A 、4；B 、5；C 、6；D 、7．5、下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是……………………………………（ ） A 、平均数； B 、众数； C 、方差； D 、频率．6、如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径OC ⊥AB ，垂足为点D ，要使四边形OACB 为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是………………………………………………（ ） A 、AD ＝BD ； B 、OD ＝CD ；C 、∠CAD ＝∠CBD ； D 、∠OCA ＝∠OCB ．二、填空题：(每题4分，共48分) 7、计算：=+-22_______．8、方程223=-x 的解是_______________． 9、如果分式32+x x有意义，那么x 的取值范围是____________． 10、如果关于x 的一元二次方程x 2＋4x －m ＝0没有实数根，那么m 的取值范围是________． 11、同一温度的华氏度数y (℉)与摄氏度数x (℃)之间的函数关系是y ＝59x ＋32．如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是________℉．12、如果将抛物线y ＝x 2＋2x －1向上平移，使它经过点A (0，3)，那么所得新抛物线的表达式是_______________．13、某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加首次活动的概率是__________．14那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是_______岁．15、如图，已知在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、边AC 的中点，=，D CBAO EDAn AC =，那么向量DE 用向量m 、n表示为______________．16、已知E 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，AE ＝AD ，过点E 作AC 的垂线，交边CD 于点F ，那么∠FAD ＝________度．17、在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝12，点A 在⊙B 上．如果⊙D 与⊙B 相交，且点B 在⊙D 内，那么⊙D 的半径长可以等于___________．(只需写出一个符合要求的数)18、已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝8，∠BAC ＝30°．将△ABC 绕点A 旋转，使点B 落在原△ABC 的点C 处，此时点C 落在点D 处．延长线段AD ，交原△ABC 的边BC 的延长线于点E ，那么线段DE 的长等于___________．三、解答题19、(本题满分10分)先化简，再求值：2124422+--+÷++x x x x x x x ，其中12-=x ．20、(本题满分10分)解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧+≤-->9131624x x x x ，并把解集在数轴上表示出来．21、(本题满分10分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分) 已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数y ＝34x 的图像经过点A ，点A 的纵坐标为4，反比例函数y ＝xm的图像也经过点A ，第一象限内的点B 在这个反比例函数的图像上，过点B 作BC ∥x 轴，交y 轴于点C ，且AC ＝AB ．y求：(1)这个反比例函数的解析式； (2)直线AB 的表达式．22、(本题满分10分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分)如图，MN 表示一段笔直的高架道路，线段AB 表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A 到MN 的距离为15米，BA 的延长线与MN 相交于点D ，且∠BDN ＝30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．(1)过点A 作MN 的垂线，垂足为点H ．如果汽车沿着从M 到N 的方向在MN 上行驶，当汽车到达点P 处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H 的距离为多少米？ (2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点Q 时，它与这一排居民楼的距离QC 为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？(精确到1米) (参考数据：3≈1.7)23、(本题满分12分，每小题满分各6分)已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 在边BC 的延长线上，且OE ＝OB ，联结DE ．(1)求证：DE ⊥BE ； (2)如果OE ⊥CD ，求证：BD ·CE ＝CD ·DE ．O ED BA24、(本题满分12分，每小题满分各4分)已知在平面直角坐标系xOy 中(如图)，抛物线y ＝ax 2－4与x 轴的负半轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，AB ＝25．点P 在抛物线上，线段AP 与y 轴的正半轴交于点C ，线段BP 与x 轴相交于点D ．设点P 的横坐标为m ．(1)求这条抛物线的解析式；(2)用含m 的代数式表示线段CO 的长； (3)当tan ∠ODC ＝23时，求∠PAD 的正弦值．25、(本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分) 已知：如图，AB 是半圆O 的直径，弦CD ∥AB ，动点P 、Q 分别在线段OC 、CD 上，且DQ ＝OP ，AP 的延长线与射线OQ 相交于点E 、与弦CD 相交于点F (点F 与点C 、D 不重合)，AB ＝20，cos ∠AOC ＝54．设OP ＝x ，△CPF 的面积为y ． (1)求证：AP ＝OQ ；(2)求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域； (3)当△OPE 是直角三角形时，求线段OP 的长．Q F ED C DC。
上海市中考数学试题解析
2015 年上海市初中毕业一致学业考试数学试卷一、选择题： (每题 4 分，共 24 分 )1、以下实数中， 是有理数的为 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, A 、2 ；B 、 3 4 ；C 、 π；D 、 0．【答案】 D【解析】整数或有限小数是有理数，无量不循环小数为无理数，应选 D 。
2、当 a ＞0 时，以下对于幂的运算正确的选项是 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,1（）（）A 、 a 0＝ 1；B 、 a －1＝－ a ；C 、 (－ a)2＝－ a 2；D 、 a2【答案】 A.【解析】除了 0 之外，任何数的 0 次都等于 1，由于 a ＞ 0，所以， a 0＝ 13、以下 y 对于 x 的函数中，是正比率函数的为 ,,,,,,,,,,,,,,,,（A 、 y ＝x 2；B 、 y ＝ 2；C 、 y ＝ x；D 、y ＝x 1．x22【答案】 C【解析】 yx 1x ，是正比率函数，选C 。
221a 2．）4、假如一个正多边形的中心角为 72°，那么这个正多边形的边数是,,,,,,,,A 、4；B 、 5；C 、 6；D 、7．【答案】 B.【解析】边数为 n360＝ 5。
725、以下各统计量中，表示一组数据颠簸程度的量是 ,,,,,,,,,,,,,,（A 、均匀数；B 、众数；C 、方差；D 、频次．【答案】 C（ ））【解析】方差反响数据颠簸程度，方差大，颠簸大，方差小，颠簸小，坚固。
6、如图，已知在⊙ O 中， AB 是弦，半径 OC ⊥AB ，垂足为点 D ，要使四边形 OACB 为 菱 形 ， 还 需 要 添 加 一 个 条 件 ， 这 个 条 件 可 以是,,,,,,,,,,,,,,,,,, （）A 、 AD ＝ BD ；B 、 OD ＝ CD ；AC 、∠ CAD ＝∠ CBD ； D 、∠ OCA ＝∠ OCB ．【答案】 BODBC【解析】因 OC ⊥ AB ，由垂径定理，知 AD ＝ BD ，若 OD ＝ CD ，则对角线相互垂直且均分，所以， OACB为菱形。
2015上海中考数学试卷解析
【答案】
16. 已知 E 是正方形 ABCD 的对角线 AC 上一点，
AE AD ，过点 E 作 AC 的垂线，交边 CD
于点 F ，那么 FAD 度； 【答案】如图所示，可得△ AEF ≌△ ADF ， ∴ FAD FAE 22.5 度 17. 在矩形 ABCD 中， AB 5 ， BC 12 ，点 A 在 B 上，如果 D 与 B 相交，且点 B 在 D 内，那么 D 的半径长可以等于 ； （只需写出一个符合要求的数）
那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是 【答案】14 15. 如图，已知在△ ABC 中， D 、 E 分别是边
AB 、 AC 的中点， AB m ， AC n ，那 么向量 DE 用向量 m 、 n 表示为 ；
1 1 n m 2 2
在高速道路上行驶时，周围 39 米以内会受到噪音的影响； （1）过点 A 作 MN 的垂线，垂足为点 H ，如果汽车沿着从 M 到 N 的方向在 MN 上行驶， 当汽车到达点 P 处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点 H 的距离为多少 米？ （2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点 Q 时，它与这一排 居民楼的距离 QC 为 39 米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多 少米长？（精确到 1 米） （参考数据： 3 1.7 ） 【答案】 （1）∵ AP 39 ， AH 15 ∴ PH
0
）
1
2 2
B. a
1
a
C. ( a) a
D. a 2
1 a2
2 x
C. y
x 2
D. y
x 1 2
B. OD CD D. OCA OCB
2015年上海市中考数学试卷+答案
2015年上海市中考数学试卷一、选择题1．（4分）下列实数中，是有理数的为（）A．B．C．πD．02．（4分）当a＞0时，下列关于幂的运算正确的是（）A．a0=1 B．a﹣1=﹣a C．（﹣a）2=﹣a2D．a=3．（4分）下列y关于x的函数中，是正比例函数的为（）A．y=x2 B．y= C．y= D．y=4．（4分）如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个多边形的边数是（）A．4 B．5 C．6 D．75．（4分）下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是（）A．平均数B．众数C．方差D．频率6．（4分）如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（）A．AD=BD B．OD=CD C．∠CAD=∠CBD D．∠OCA=∠OCB二、填空题7．（4分）计算：|﹣2|+2=．8．（4分）方程=2的解是．9．（4分）如果分式有意义，那么x的取值范围是．10．（4分）如果关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是．11．（4分）同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数关系是y=x+32，如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是℉．12．（4分）如果将抛物线y=x2+2x﹣1向上平移，使它经过点A（0，3），那么所得新抛物线的表达式是．13．（4分）某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加首次活动的概率是．14．（4分）已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄与人数情况如下表所示：那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是岁．15．（4分）如图，已知在△ABC中，D、E分别是边AB、边AC的中点，=，=，那么向量用向量，表示为．16．（4分）已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE=AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD=度．17．（4分）在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点A在⊙B上，如果⊙D与⊙B相交，且点B在⊙D内，那么⊙D的半径长可以等于．（只需写出一个符合要求的数）18．（4分）已知在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC 的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于．三、解答题19．（10分）先化简，再求值：÷﹣，其中x=﹣1．20．（10分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．21．（10分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=x的图象经过点A，点A的纵坐标为4，反比例函数y=的图象也经过点A，第一象限内的点B在这个反比例函数的图象上，过点B作BC∥x轴，交y轴于点C，且AC=AB．求：（1）这个反比例函数的解析式；（2）直线AB的表达式．22．（10分）如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN=30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．（1）过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN 上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到1米）（参考数据：≈1.7）23．（12分）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC 的延长线上，且OE=OB，连接DE．（1）求证：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=ax2﹣4与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，AB=2，点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴交于点C，线段BP与x轴相交于点D，设点P的横坐标为m．（1）求这条抛物线的解析式；（2）用含m的代数式表示线段CO的长；（3）当tan∠ODC=时，求∠PAD的正弦值．25．（14分）已知，如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P，Q分别在线段OC，CD上，且DQ=OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E，与弦CD相交于点F（点F与点C，D不重合），AB=20，cos∠AOC=，设OP=x，△CPF的面积为y．（1）求证：AP=OQ；（2）求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长．2015年上海市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（4分）下列实数中，是有理数的为（）A．B．C．πD．0【分析】根据有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数进行判断即可．【解答】解：是无理数，A不正确；是无理数，B不正确；π是无理数，C不正确；0是有理数，D正确；故选：D．【点评】此题主要考查了无理数和有理数的区别，解答此题的关键是要明确：有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数．2．（4分）当a＞0时，下列关于幂的运算正确的是（）A．a0=1 B．a﹣1=﹣a C．（﹣a）2=﹣a2D．a=【分析】分别利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和分数指数幂的性质分别分析求出即可．【解答】解：A、a0=1（a＞0），正确；B、a﹣1=，故此选项错误；C、（﹣a）2=a2，故此选项错误；D、a=（a＞0），故此选项错误．故选：A．【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及负指数幂的性质和分数指数幂的性质等知识，正确把握相关性质是解题关键．3．（4分）下列y关于x的函数中，是正比例函数的为（）A．y=x2 B．y= C．y= D．y=【分析】根据正比例函数的定义来判断即可得出答案．【解答】解：A、y是x的二次函数，故A选项错误；B、y是x的反比例函数，故B选项错误；C、y是x的正比例函数，故C选项正确；D、y是x的一次函数，故D选项错误；故选：C．【点评】本题考查了正比例函数的定义：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数．4．（4分）如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个多边形的边数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根据正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等，列式计算即可．【解答】解：这个多边形的边数是360÷72=5，故选：B．【点评】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算，掌握正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等是解题的关键．5．（4分）下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是（）A．平均数B．众数C．方差D．频率【分析】根据平均数、众数、中位数反映一组数据的集中趋势，而方差、标准差反映一组数据的离散程度或波动大小进行选择．【解答】解：能反映一组数据波动程度的是方差或标准差，故选：C．【点评】本题考查了标准差的意义，波动越大，标准差越大，数据越不稳定，反之也成立．6．（4分）如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（）A．AD=BD B．OD=CD C．∠CAD=∠CBD D．∠OCA=∠OCB【分析】利用对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，进而求出即可．【解答】解：∵在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，∴AD=DB，当DO=CD，则AD=BD，DO=CD，AB⊥CO，故四边形OACB为菱形．故选：B．【点评】此题主要考查了菱形的判定以及垂径定理，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．二、填空题7．（4分）计算：|﹣2|+2=4．【分析】先计算|﹣2|，再加上2即可．【解答】解：原式=2+2=4．故答案为4．【点评】本题考查了有理数的加法，以及绝对值的求法，负数的绝对值等于它的相反数．8．（4分）方程=2的解是x=2．【分析】首先根据乘方法消去方程中的根号，然后根据一元一次方程的求解方法，求出x的值是多少，最后验根，求出方程=2的解是多少即可．【解答】解：∵=2，∴3x﹣2=4，∴x=2，当x=2时，左边=，右边=2，∵左边=右边，∴方程=2的解是：x=2．故答案为：x=2．【点评】此题主要考查了无理方程的求解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．（2）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．9．（4分）如果分式有意义，那么x的取值范围是x≠﹣3．【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0，列出算式，计算得到答案．【解答】解：由题意得，x+3≠0，即x≠﹣3，故答案为：x≠﹣3．【点评】本题考查的是分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．10．（4分）如果关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是m＜﹣4．【分析】根据关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，得出△=16﹣4（﹣m）＜0，从而求出m的取值范围．【解答】解：∵一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，∴△=16﹣4（﹣m）＜0，∴m＜﹣4，故答案为m＜﹣4．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．11．（4分）同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数关系是y=x+32，如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是77℉．【分析】把x的值代入函数关系式计算求出y值即可．【解答】解：当x=25°时，y=×25+32=77，故答案为：77．【点评】本题考查的是求函数值，理解函数值的概念并正确代入准确计算是解题的关键．12．（4分）如果将抛物线y=x2+2x﹣1向上平移，使它经过点A（0，3），那么所得新抛物线的表达式是y=x2+2x+3．【分析】设平移后的抛物线解析式为y=x2+2x﹣1+b，把点A的坐标代入进行求值即可得到b的值．【解答】解：设平移后的抛物线解析式为y=x2+2x﹣1+b，把A（0，3）代入，得3=﹣1+b，解得b=4，则该函数解析式为y=x2+2x+3．故答案是：y=x2+2x+3．【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．13．（4分）某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加首次活动的概率是．【分析】由某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位同学报名，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵学生会将从这50位同学中随机抽取7位，∴小杰被抽到参加首次活动的概率是：．故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．（4分）已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄与人数情况如下表所示：那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是14岁．【分析】一共有53个数据，根据中位数的定义，把它们按从小到大的顺序排列，第27名成员的年龄就是这个小组成员年龄的中位数．【解答】解：从小到大排列此数据，第27名成员的年龄是14岁，所以这个小组成员年龄的中位数是14．故答案为14．【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．15．（4分）如图，已知在△ABC中，D、E分别是边AB、边AC的中点，=，=，那么向量用向量，表示为﹣．【分析】由=，=，利用三角形法则求解即可求得，又由在△ABC中，D、E分别是边AB、边AC的中点，可得DE是△ABC的中位线，然后利用三角形中位线的性质求解即可求得答案．【解答】解：∵=，=，∴=﹣=﹣，∵在△ABC中，D、E分别是边AB、边AC的中点，∴==（﹣）=﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了平面向量的知识以及三角形中位线的性质．注意掌握三角形法则的应用．16．（4分）已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE=AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD=22.5度．【分析】根据正方形的性质可得∠DAC=45°，再由AD=AE易证△ADF≌△AEF，求出∠FAD．【解答】解：如图，在Rt△AEF和Rt△ADF中，∴Rt△AEF≌Rt△ADF，∴∠DAF=∠EAF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠CAD=45°，∴∠FAD=22.5°．故答案为：22.5．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，求证Rt△AEF≌Rt△ADF是解本题的关键．17．（4分）在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点A在⊙B上，如果⊙D与⊙B相交，且点B在⊙D内，那么⊙D的半径长可以等于14（答案不唯一）．（只需写出一个符合要求的数）【分析】首先求得矩形的对角线的长，然后根据点A在⊙B上得到⊙B的半径为5，再根据⊙D与⊙B相交，得到⊙D的半径R满足8＜R＜18，在此范围内找到一个值即可．【解答】解：∵矩形ABCD中，AB=5，BC=12，∴AC=BD=13，∵点A在⊙B上，∴⊙B的半径为5，∵如果⊙D与⊙B相交，∴⊙D的半径R满足8＜R＜18，∵点B在⊙D内，∴R＞13，∴13＜R＜18，∴14符合要求，故答案为：14（答案不唯一）．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系、点与圆的位置关系，解题的关键是首先确定⊙B的半径，然后确定⊙D的半径的取值范围，难度不大．18．（4分）已知在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC 的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于4﹣4．【分析】作CH⊥AE于H，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ACB=（180°﹣∠BAC）=75°，再根据旋转的性质得AD=AB=8，∠CAD=∠BAC=30°，则利用三角形外角性质可计算出∠E=45°，接着在Rt△ACH中利用含30度的直角三角形三边的关系得CH=AC=4，AH=CH=4，所以DH=AD﹣AH=8﹣4，然后在Rt△CEH中利用∠E=45°得到EH=CH=4，于是可得DE=EH﹣DH=4﹣4．【解答】解：作CH⊥AE于H，如图，∵AB=AC=8，∴∠B=∠ACB=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣30°）=75°，∵△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，∴AD=AB=8，∠CAD=∠BAC=30°，∵∠ACB=∠CAD+∠E，∴∠E=75°﹣30°=45°，在Rt△ACH中，∵∠CAH=30°，∴CH=AC=4，AH=CH=4，∴DH=AD﹣AH=8﹣4，在Rt△CEH中，∵∠E=45°，∴EH=CH=4，∴DE=EH﹣DH=4﹣（8﹣4）=4﹣4．故答案为4﹣4．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质和旋转的性质．三、解答题19．（10分）先化简，再求值：÷﹣，其中x=﹣1．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=•﹣=﹣=，当x=﹣1时，原式==﹣1．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．20．（10分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．【分析】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．【解答】解：∵解不等式①得：x＞﹣3，解不等式②得：x≤2，∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2，在数轴上表示不等式组的解集为：．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集，难度适中．21．（10分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=x的图象经过点A，点A的纵坐标为4，反比例函数y=的图象也经过点A，第一象限内的点B在这个反比例函数的图象上，过点B作BC∥x轴，交y轴于点C，且AC=AB．求：（1）这个反比例函数的解析式；（2）直线AB的表达式．【分析】（1）根据正比例函数y=x的图象经过点A，点A的纵坐标为4，求出点A的坐标，根据反比例函数y=的图象经过点A，求出m的值；（2）根据点A的坐标和等腰三角形的性质求出点B的坐标，运用待定系数法求出直线AB的表达式．【解答】解：∵正比例函数y=x的图象经过点A，点A的纵坐标为4，∴点A的坐标为（3，4），∵反比例函数y=的图象经过点A，∴m=12，∴反比例函数的解析式为：y=；（2）如图，连接AC、AB，作AD⊥BC于D，∵AC=AB，AD⊥BC，∴BC=2CD=6，∴点B的坐标为：（6，2），设直线AB的表达式为：y=kx+b，由题意得，，解得，，∴直线AB的表达式为：y=﹣x+6．【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和一次函数与反比例函数的交点的求法，注意数形结合的思想在解题中的应用．22．（10分）如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN=30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．（1）过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN 上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到1米）（参考数据：≈1.7）【分析】（1）连接PA．在直角△PAH中利用勾股定理来求PH的长度；（2）由题意知，隔音板的长度是PQ的长度．通过解Rt△ADH、Rt△CDQ分别求得DH、DQ的长度，然后结合图形得到：PQ=PH+DQ﹣DH，把相关线段的长度代入求值即可．【解答】解：（1）如图，连接PA．由题意知，AP=39m．在直角△APH中，PH===36（米）；（2）由题意知，隔音板的长度是PQ的长度．在Rt△ADH中，DH=AH•cot30°=15（米）．在Rt△CDQ中，DQ===78（米）．则PQ=PH+HQ=PH+DQ﹣DH=36+78﹣15≈114﹣15×1.7=88.5≈89（米）．答：高架道路旁安装的隔音板至少需要89米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理的应用．根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．23．（12分）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC 的延长线上，且OE=OB，连接DE．（1）求证：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．【分析】（1）由平行四边形的性质得到BO=BD，由等量代换推出OE=BD，根据平行四边形的判定即可得到结论；（2）根据等角的余角相等，得到∠CEO=∠CDE，推出△BDE∽△CDE，即可得到结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=OD，∵OE=OB，∴OE=OD，∴∠OBE=∠OEB，∠OED=∠ODE，∵∠OBE+∠OEB+∠OED+∠ODE=180°，∴∠BEO+∠DEO=∠BED=90°，∴DE⊥BE；（2）∵OE⊥CD∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，∴∠CEO=∠CDE，∵OB=OE，∴∠DBE=∠CDE，∵∠BED=∠BED，∴△BDE∽△DCE，∴，∴BD•CE=CD•DE．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟记定理是解题的关键．24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=ax2﹣4与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，AB=2，点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴交于点C，线段BP与x轴相交于点D，设点P的横坐标为m．（1）求这条抛物线的解析式；（2）用含m的代数式表示线段CO的长；（3）当tan∠ODC=时，求∠PAD的正弦值．【分析】（1）根据已知条件先求出OB的长，再根据勾股定理得出OA=2，求出点A的坐标，再把点A的坐标代入y=ax2﹣4，求出a的值，从而求出解析式；（2）根据点P的横坐标得出点P的坐标，过点P作PE⊥x轴于点E，得出OE=m，PE=m2﹣4，从而求出AE=2+m，再根据=，求出OC；（3）根据tan∠ODC=，得出=，求出OD和OC，再根据△ODB∽△EDP，得出=，求出OC，求出∠PAD=45°，从而求出∠PAD的正弦值．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2﹣4与y轴相交于点B，∴点B的坐标是（0，﹣4），∴OB=4，∵AB=2，∴OA==2，∴点A的坐标为（﹣2，0），把（﹣2，0）代入y=ax2﹣4得：0=4a﹣4，解得：a=1，则抛物线的解析式是：y=x2﹣4；（2）方法一：∵点P的横坐标为m，∴点P的坐标为（m，m2﹣4），过点P作PE⊥x轴于点E，∴OE=m，PE=m2﹣4，∴AE=2+m，∵=，∴=，∴CO=2m﹣4；方法二：∵点P在抛物线上，∴P（m，m2﹣4），设PA的直线方程为：y=kx+b，∴⇒，∴l PA：y=（m﹣2）x+2m﹣4，∴CO=2m﹣4；（3）方法一：∵tan∠ODC=，∴=，∴OD=OC=×（2m﹣4）=，∵△ODB∽△EDP，∴=，∴=，∴m1=﹣1（舍去），m2=3，∴OC=2×3﹣4=2，∵OA=2，∴OA=OC，∴∠PAD=45°，∴sin∠PAD=sin45°=．方法二：∵P（m，m2﹣4），B（0，﹣4），∴l PB：y=mx﹣4，∴D（，0），tan∠ODC=⇒，OC=2m﹣4，∴OD=，∵线段AP与y轴的正半轴交于点C，∴OC=2m﹣4（m＞2），∴，经整理：m2﹣2m﹣3=0，∴m1=﹣1（舍去），m2=3，∴P（3，5），∴l PA：y=x+2，∴∠PAD=45°，∴sin ∠PAD=．【点评】此题考查了二次函数的综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值，关键是根据题意作出辅助线，构造相似三角形．25．（14分）已知，如图，AB 是半圆O 的直径，弦CD ∥AB ，动点P ，Q 分别在线段OC ，CD 上，且DQ=OP ，AP 的延长线与射线OQ 相交于点E ，与弦CD 相交于点F （点F 与点C ，D 不重合），AB=20，cos ∠AOC=，设OP=x ，△CPF 的面积为y ．（1）求证：AP=OQ ；（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当△OPE 是直角三角形时，求线段OP 的长．【分析】（1）连接OD ，证得△AOP ≌△ODQ 后即可证得AP=OQ ；（2）作PH ⊥OA ，根据cos ∠AOC=得到OH=PO=x ，从而得到S △AOP =AO•PH=3x ，利用△PFC ∽△PAO 得当对应边的比相等即可得到函数解析式；（3）分当∠POE=90°时、当∠OPE=90°时，当∠OEP=90°时三种情况讨论即可得到正确的结论．【解答】解：（1）连接OD，在△AOP和△ODQ中，，∴△AOP≌△ODQ，∴AP=OQ；（2）作PH⊥OA，∵cos∠AOC=，∴OH=PO=x，=AO•PH=3x，∴S△AOP又∵△PFC∽△PAO，∴==（）2，整理得：y=，∵AP延长线与CD相交于点F，∴CF≤CD=16，易知△CPF∽△OPA，∴，∴x的定义域为：＜x＜10；（3）当∠POE=90°时，CQ==，PO=DQ=CD﹣CQ=（舍）；当∠OPE=90°时，PO=AO•cos∠COA=8；当∠OEP=90°时，如图，由（1）知△AOP≌△ODQ，∴∠APO=∠OQD，∴∠AOQ=∠OQD=∠APO，∵∠AOQ＜90°，∠APO＞90°（矛盾），∴此种情况不存在，∴线段OP的长为8．【点评】本题考查了圆的综合知识、相似三角形的判定及性质等知识，综合性较强，难度较大，特别是第三题的分类讨论更是本题的难点．。
2015年上海市中考数学试卷及答案
数学试卷 第1页（共16页） 数学试卷 第2页（共16页）绝密★启用前上海市2015年初中毕业生学业考试数学 .............................................................................. 1 上海市2015年初中毕业生学业考试数学答案解析 .. (4)上海市2015年初中毕业生学业考试数学本试卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共24分)一、选择题(本大题共6小题,每小题4分,共24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列实数中,是有理数的为( ) ABC .πD .0 2.当0a ＞时,下列关于幂的运算正确的是( ) A .01a =B .1a a -=-C .22()a a -=-D .1221a a-= 3.下列y 关于x 的函数中,是正比例函数的为( )A .2y x =B .2y x=C .2x y =D .12x y += 4.如果一个正多边形的中心角为72,那么这个正多边形的边数是( ) A .4B .5C .6D .7 5.下列各统计量中,表示一组数据波动程度的量是( ) A .平均数B .众数C .方差D .频率6.如图1,已知O 中,AB 是弦,半径OC AB ⊥,垂足为点D 要使四边形OACB 为菱形,还需添加一个条件,这个条件可以是( )A .AD BO =B .OD CD =C .CAD CBD ∠=∠ D .OCA OCB ∠=∠第Ⅱ卷(非选择题 共126分)二、填空题(本大题共12小题,每小题4分,共48分.把答案填写在题中的横线上) 7.计算：|2|2-+= . 8.2=的解是 . 9.如果分式23xx +有意义,那么x 的取值范围是 . 10.如果关于x 的一元二次方程240x x m +-=没有实数根,那么m 的取值范围是 .11.同一温度的华氏温度(F)y 与摄氏度()x ℃之间的函数关系是9325y x =+,如果某一温度的摄氏度数是25℃,那么它的华氏度数是F .12.如果将抛物线221y x x =+-向上平移,使它经过点(0,3)A ,那么所得新抛物线的表达式是 .13.某校学生会倡议双休日到养老院参加服务活动,首次活动需要7位同学参加,现有包括小杰在内的50位同学报名,因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加首次活动的概率是 .14那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是 岁. 15.如图,已知在ABC △中,,D E 分别是边AB ,边AC 的中点,AB m =,AC n =,那么向量DE 用向量,m n 表示为 .16.已知E 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点,AE AD =,过点E毕业学校_____________ 姓名________________考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共16页） 数学试卷 第4页（共16页）作AC 的垂线,交边CD 于点F ,那么FAD ∠= 度. 17.在矩形ABCD 中,5AB =,12BC =,点A 在B 上,如果D 与B 相交,且点B 在D 内,那么D 的半径长可以等于 (只需写出一个符合要求的数).18.已知在ABC △中,8AB AC ＝＝,30BAC ∠＝,将ABC △绕点A 旋转,使点B 落在原ABC △的点C 处,此时点C 落在点D 处.延长线段AD ,交原ABC △的边BC 的延长线于点E ,那么线段DE 的长等于 .三、解答题(本大题共7小题,78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(本小题满分10分)先化简,再求值：221,4422x x x x x x x -÷-++++其中1x -.20.(本小题满分10分)解不等式组：426,11,39x x x x -⎧⎪-+⎨⎪⎩＞≤并把解集在数轴上表示出来.21.(本小题满10分)已知：如图,在平面直角坐标系xOy 中,正比例函数43y x =的图像经过点A ,点A 的纵坐标为4,反比例函数xy m=的图像也经过点A ,第一象限内的点B 在这个反比例函数的图像上,过点B 作BC x ∥轴,交y 轴于点C ,且AC AB =.求： (1)这个反比例函数的解析式； (2)直线AB 的表达式.22.(本小题满分10分)如图,MN 表示一段笔直的高架道路,线段AB 表示高架道路旁的一排居民楼.已知点A 到MN 的距离为15米,BA 的延长线与MN 相交于点D ,且30BDN ∠=，假设汽车在高架道路上行驶时,周围39米以内会受到噪音的影响.(1)过点A 作MN 的垂线,垂足为点H .如果汽车沿着从M 到N 的方向在MN 上行驶,当汽车到达点P 处时,噪音开始影响这一排居民楼,那么此时汽车与点H 的距离为多少米？(2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板.当汽车行驶到点Q 时,它与这一排居民楼的距离QC 为39米,那么对于这一排居民楼,高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？(精确到1米)(1.7)23.(本小题满分12分)已知：如图,平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ,点E 在边BC 的延长线上,且OE OB =,连接DE .(1)求证：DE BE ⊥；数学试卷 第5页（共16页） 数学试卷 第6页（共16页）(2)如果OE CD ⊥,求证：BD CE CD DE =.24.(本小题满分12分)已知在平面直角坐标系xOy 中(如图),抛物线24y ax =-与x 轴的负半轴交于点A ,与y 轴相交于点B,AB =,点P 在抛物线上,线段AP 与y 轴的正半轴相交于点C ,线段BP 与x 轴相交于点D ,设点P 的横坐标为m .(1)求这条抛物线的表达式；(2)用含m 的代数式表示线段CO 的长；(3)当3tan 2ODC ∠=时,求PAD ∠的正弦值.25.(本小题满分14分)已知：如图,AB 是半圆O 的直径,弦CD AB ∥,动点,P Q 分别在线段,OC CD 上,且DQ OP =,AP 的延长线与射线OQ 相交于点E ,与弦CD 相交于点F (点F 与点,C D 不重合),20AB =,4cos 5AOC ∠=设OP x =,CPF △的面积为y .(1)求证：AP OQ =；(2)求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域； (3)当OPF △是直角三角形时,求线段OP 的长.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________。
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2015年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1． 下列实数中，是有理数的为（ ）A ；B ；C ．π；D ．0．2． 当0a >时，下列关于幂的运算正确的是（ ） A ．01a =； B ．1a a -=-； C ．()22a a -=-； D ．1221a a =．3． 下列y 关于x 的函数中，是正比例函数的为（ ） A ．2y x =； B ．2y x =； C ．2xy =；D ．12x y +=．4． 如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是（ ） A ．4；B ．5；C ．6；D ．7．5． 下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是（ ） A ．平均数；B ．众数；C ．方差；D ．频率．6． 如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径OC AB ⊥，垂足为点D ，要使四边形OACB 为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）A ．AD BD =；B ．OD CD =；C ．CAD CBD ∠=∠； D ．OCA OCB ∠=∠．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7． 计算：22-+= ．8． 方程322x -=的解是 ．9． 如果分式23xx +有意义，那么x 的取值范围是 ．10．如果关于x 的一元二次方程没有实数根，那么m 的取值范围是 ．11．同一温度的华氏度数()y F 与摄氏度数()x C 之间的函数关系是9325y x =+．如果某一温度的摄氏度数 是25C ，那么它的华氏度数是 F ．12．如果将抛物线221y x x =+-向上平移，使它经过点A （0，3），那么所得新抛物线的表达式是 ．13．某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位 同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加此次活动的概率是 ．14．已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄与人数情况如下表所示：那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是 岁．15．如图，已知在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、边AC 的中点，AB m =，AC n =，那么向量DE 用向 量m 、n 表示为 ．16．已知E 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，AE AD =，过点E 作AC 的垂线，交边CD 于点F ，那 么FAD ∠= 度．17．在矩形ABCD 中，5AB =，12BC =，点A 在⊙B 上．如果⊙D 与⊙B 相交，且点B 在⊙D 内，那么 ⊙D 的半径长可以等于 ．（只需写出一个符号要求的数）18．已知在△ABC 中，8AB AC ==，30BAC ∠=．将△ABC 绕点A 旋转，使点B 落在原△ABC 的点C 处，此时点C 落在点D 处．延长线段AD ，交原△ABC 的边BC 的延长线于点E ，那么线段DE 的长等于 ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）先化简，再求值：2214422x x x x x x x -÷-++++，其中1x =．20．（本题满分10分）解不等式组：4261139x xx x>-⎧⎪-+⎨≤⎪⎩，并把解集在数轴上表示出来．21．（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数43y x=的图像经过点A，点A的纵坐标为4，反比例函数myx=的图像也经过点A，第一象限内的点B在这个反比例函数的图像上，过点B作BC∥轴，交轴于点C，且AC AB=．求：（1）这个反比例函数的解析式；（2）直线AB的表达式．图3图422．（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）如图，MN 表示一段笔直的高架道路，线段AB 表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A 到MN 的距离为15米，BA 的延长线与MN 相交于点D ，且30BDN ∠=，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．（1）过点A 作MN 的垂线，垂足为点H ．如果汽车沿着从M 到N 的方向在MN 上行驶，当汽车到达点P 处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H 的距离为多少米（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q 时，它与这一排居民楼的距离QC 为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长（精确到1米）（参考数据：1.7）图23．（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 在边BC 的延长线上，且OE OB =，联结DE ．（1）求证：DE BE ⊥；（2）如果OE CD ⊥，求证：BD CE CD DE ⋅=⋅．图624．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分4分）已知在平面直角坐标系中（如图），抛物线24y ax =-与x 轴的负半轴相交于点A ，与y 轴相交于点B，AB =P 在抛物线上，线段AP 与y 轴的正半轴相交于点C ，线段BP 与x 轴相交于点D ．设点P 的横坐标为m ．（1）求这条抛物线的解析式；（2）用含m 的代数式表示线段CO 的长度； （3）当32tan ODC ∠=时，求PAD ∠的正弦值．图7备用图25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）已知：如图，AB 是半圆O 的直径，弦CD ∥AB ，动点P 、Q 分别在线段OC 、CD 上，且DQ OP =，AP 的延长线与射线OQ 相交于点E ，与弦CD 相交于点F （点F 与点C 、D 不重合），20AB =，45cos AOC ∠=．设OP x =，△CPF 的面积为y ．（1）求证：AP OQ =；（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域； （3）当△OPE 是直角三角形时，求线段OP 的长．2015年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷参考答案一、选择题1、D；2、A；3、C；4、B；5、C；6、B二、填空题7、4； 8、2； 9、； 10、； 11、77； 12、； 13、；14、14； 15、； 16、； 17、14等（大于13且小于18 的数）； 18、．三、解答题19．解：原式当时，原式20．解：由，得由，得原不等式组的解集是.21．解：（1）∵正比例函数的图像经过点A，点A的纵坐标为4，∴∴∴点A的坐标是∵反比例函数的图像经过点A，∴，∴反比例函数的解析式为（2）∵，∴点A在线段BC的中垂线上.∵轴，点C在y轴上，点A的坐标是，∴点B的横坐标为6.∵点B在反比例函数的图像上，∴点B的坐标是.设直线AB的表达式为，将点A、B代入表达式得：解得∴直线AB的表达式为.22．解：（1）联结AP.由题意得 .在中，得.答：此时汽车与点H的距离为36米.（2）由题意可知，PQ段高架道路旁需要安装隔音板，，.在中，.在中，，∴.答：高架道路旁安装的隔音板至少需要89米长.23．证明：（1）∵.∵平行四边形的对角线相交于点O，∴.∴. ∴.在中，∵∴即.（2）∵，∵.又∵在和中：∴∴∴24．（1）由抛物线与y轴相交于点B，得点B的坐标为(0,-4)∵点A在x轴的负半轴上，，∴点A的坐标为(-2,0)∵抛物线与x轴相交于点A，∴∴这条抛物线的表达式为（2）∵点P在抛物线上，它的横坐标为m，∴点P的坐标为由题意，得点P在第一象限内，因此过点P作PH⊥x轴，垂足为H∵CO∥PH，∴∴，解得（3）过点P作PG⊥y轴，垂足为点G∵OD∥PG，∴∴，即在Rt△ODC中，∵∴，解得或（舍去）。
2015年上海中考数学试卷及答案
12015年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1． 下列实数中，是有理数的为（ ）． A ．2；B ．34；C ．π；D ．0．2． 当0>a 时，下列关于幂的运算正确的是（ ）． A ．10=a ；B ．a a -=-1； C ．22)(a a -=-； D ．2211aa =． 3． 下列y 关于x 的函数中，是正比例函数的为（ ）． A ．2x y =；B ．x y 2=； C ．2xy =； D ．21+=x y ． 4． 如果一个正多边形的中心角为︒72，那么这个正多边形的边数是（ ）． A ．4； B ．5；C ．6；D ．7．5． 下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是（ ）．A ．平均数；B ．众数；C ．方差；D ．频率．6． 如图1，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径AB OC ⊥，垂足为点D ，要使 四边形OACB 为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）． A ．BD AD =； B ．CD OD =； C ．CBD CAD ∠=∠； D ．OCB OCA ∠=∠．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7． 计算：=+-22 ． 8． 方程223=-x 的解是 ． 9． 如果分式32+x x有意义，那么x 的取值范围是 ． 10．如果关于x 的一元二次方程042=-+m x x 没有实数根，那么m 的取值范围是 ． 11．同一温度的华氏度数)(F y ︒与摄氏度数)(C x ︒之间的函数关系是3259+=x y ．如果某一温度的摄氏度数是C ︒25，那么它的华氏度数是 F ︒．图1图212．如果将抛物线122-+=x x y 向上平移，使它经过点)3,0(A ，那么所得新抛物线的表达式是 ． 13．某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加此次活动的概率是 ． 14．已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄与人数情况如下表所示：那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是 岁． 15．如图2，已知在ABC ∆中，D 、E 分别是边AB 、边AC 的中点， m AB =，n AC =，那么向量DE 用向量m 、n 表示为 ． 16．已知E 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，AD AE =，过点E 作AC 的 垂线，交边CD 于点F ，那么=∠FAD 度．17．在矩形ABCD 中，5=AB ，12=BC ，点A 在⊙B 上．如果⊙D 与⊙B 相交，且点B 在⊙D 内，那么⊙D 的半径长可以等于 ． （只需写出一个符号要求的数）18．已知在ABC ∆中，8==AC AB ，︒=∠30BAC ．将ABC ∆绕点A 旋转，使点B 落在原ABC ∆的点C处，此时点C 落在点D 处．延长线段AD ，交原ABC ∆的边BC 的延长线于点E ，那么线段DE 的长等于 ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）先化简，再求值：2124422+--+÷++x x x x x x x ，其中12-=x ．3图320．（本题满分10分）解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧+≤-->9131624x x x x ，并把解集在数轴上表示出来．21．（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）已知，如图3，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数x y 34=的图像经过点A ，点A 的纵坐标为4，反比例函数xmy =的图像也经过点A ，第一象限内的点B 在这个反比例函数的图像上，过点B 作BC ∥x 轴，交y 轴于点C ，且AB AC =．求：（1）这个反比例函数的解析式； （2）直线AB 的表达式．图422．（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）如图4，MN 表示一段笔直的高架道路，线段AB 表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A 到MN 的距离为15米，BA 的延长线与MN 相交于点D ，且︒=∠30BDN ，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．（1）过点A 作MN 的垂线，垂足为点H ．如果汽车沿着从M 到N 的方向在MN 上行驶，当汽车到达点P 处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H 的距离为多少米？（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q 时，它与这一排居民楼的距离QC 为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到1米） （参考数据：7.13≈）5图5已知：如图5，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 在边BC 的延长线上，且OB OE =，联结DE ．（1）求证：BE DE ⊥；（2）如果CD OE ⊥，求证：DE CD CE BD ⋅=⋅．图6已知在平面直角坐标系xOy 中（如图6），抛物线42-=ax y 与x 轴的负半轴相交于点A ，与y 轴相 交于点B ，52=AB ．点P 在抛物线上，线段AP 与y 轴的正半轴相交于点C ，线段BP 与x 轴相交于点D ．设点P 的横坐标为m ．（1）求这条抛物线的解析式；（2）用含m 的代数式表示线段CO 的长度； （3）当23tan =∠ODC 时，求PAD ∠的正弦值．7图7 备用图25．（本题满分14分，其中第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）已知：如图7，AB 是半圆O 的直径，弦CD ∥AB ，动点P 、Q 分别在线段OC 、CD 上，且OP DQ =，AP 的延长线与射线OQ 相交于点E ，与弦CD 相交于点F （点F 与点C 、D 不重合），20=AB ，54cos =∠AOC ．设x OP =，CPF ∆的面积为y ． （1）求证：OQ AP =；（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域； （3）当OPE ∆是直角三角形时，求线段OP 的长．911。
2015年上海市中考数学试卷和答案
2015年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷一、选择题：(每题4分，共24分) 1、下列实数中，是有理数的为………………………………………………………………（ ） A 、2； B 、34； C 、π； D 、0．2、当a ＞0时，下列关于幂的运算正确的是………………………………………………（ ） A 、a 0＝1； B 、a －1＝－a ； C 、(－a )2＝－a 2； D 、2211aa=． 3、下列y 关于x 的函数中，是正比例函数的为…………………………………………（ ） A 、y ＝x 2； B 、y ＝x 2； C 、y ＝2x ； D 、y ＝21+x ． 4、如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是……………………（ ）A 、4；B 、5；C 、6；D 、7．5、下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是……………………………………（ ） A 、平均数； B 、众数； C 、方差； D 、频率．6、如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径OC ⊥AB ，垂足为点D ，要使四边形OACB 为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是………………………………………………（ ） A 、AD ＝BD ； B 、OD ＝CD ；C 、∠CAD ＝∠CBD ； D 、∠OCA ＝∠OCB ．二、填空题：(每题4分，共48分) 7、计算：=+-22_______．8、方程223=-x 的解是_______________． 9、如果分式32+x x有意义，那么x 的取值范围是____________． 10、如果关于x 的一元二次方程x 2＋4x －m ＝0没有实数根，那么m 的取值范围是________． 11、同一温度的华氏度数y (℉)与摄氏度数x (℃)之间的函数关系是y ＝59x ＋32．如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是________℉．12、如果将抛物线y ＝x 2＋2x －1向上平移，使它经过点A (0，3)，那么所得新抛物线的表达式是_______________．13、某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加首次活动的概率是__________．14那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是_______岁．15、如图，已知在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、边AC 的中点，D CBAOEDA=，=，那么向量用向量、表示为______________．16、已知E 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，AE ＝AD ，过点E 作AC 的垂线，交边CD 于点F ，那么∠FAD ＝________度．17、在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝12，点A 在⊙B 上．如果⊙D 与⊙B 相交，且点B 在⊙D 内，那么⊙D 的半径长可以等于___________．(只需写出一个符合要求的数)18、已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝8，∠BAC ＝30°．将△ABC 绕点A 旋转，使点B 落在原△ABC 的点C 处，此时点C 落在点D 处．延长线段AD ，交原△ABC 的边BC 的延长线于点E ，那么线段DE 的长等于___________．三、解答题19、(本题满分10分)先化简，再求值：2124422+--+÷++x x x x x x x ，其中12-=x ．20、(本题满分10分)解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧+≤-->9131624x x x x ，并把解集在数轴上表示出来．21、(本题满分10分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分) 已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数y ＝34x 的图像经过点A ，点A 的纵坐标为4，反比例函数y ＝xm的图像也经过点A ，第一象限内的点B 在这个反比例函数的图像上，过点B 作BC ∥x 轴，交y 轴于点C ，且AC ＝AB ．y求：(1)这个反比例函数的解析式； (2)直线AB 的表达式．22、(本题满分10分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分)如图，MN 表示一段笔直的高架道路，线段AB 表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A 到MN 的距离为15米，BA 的延长线与MN 相交于点D ，且∠BDN ＝30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．(1)过点A 作MN 的垂线，垂足为点H ．如果汽车沿着从M 到N 的方向在MN 上行驶，当汽车到达点P 处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H 的距离为多少米？ (2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点Q 时，它与这一排居民楼的距离QC 为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？(精确到1米) (参考数据：3≈1.7)23、(本题满分12分，每小题满分各6分) 已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 在边BC 的延长线上，且OE ＝OB ，联结DE ．(1)求证：DE ⊥BE ； (2)如果OE ⊥CD ，求证：BD ·CE ＝CD ·DE ．OEDBA24、(本题满分12分，每小题满分各4分)已知在平面直角坐标系xOy 中(如图)，抛物线y ＝ax 2－4与x 轴的负半轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，AB ＝25．点P 在抛物线上，线段AP 与y 轴的正半轴交于点C ，线段BP 与x 轴相交于点D ．设点P 的横坐标为m ． (1)求这条抛物线的解析式；(2)用含m 的代数式表示线段CO 的长； (3)当tan ∠ODC ＝23时，求∠PAD 的正弦值．25、(本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分)已知：如图，AB 是半圆O 的直径，弦CD ∥AB ，动点P 、Q 分别在线段OC 、CD 上，且DQ ＝OP ，AP 的延长线与射线OQ 相交于点E 、与弦CD 相交于点F (点F 与点C 、D 不重合)，AB ＝20，cos ∠AOC ＝54．设OP ＝x ，△CPF 的面积为y ． (1)求证：AP ＝OQ ；(2)求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域； (3)当△OPE 是直角三角形时，求线段OP 的长．Q F EDCDC。
上海市2015年中考数学真题试题(含解析)
D CBAO2015年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷一、选择题：(每题4分，共24分)1、下列实数中，是有理数的为………………………………………………………………（ ） A 、2； B 、34； C 、π； D 、0． 【答案】D【解析】整数或有限小数是有理数，无限不循环小数为无理数，故选D 。
2、当a ＞0时，下列关于幂的运算正确的是………………………………………………（ ） A 、a 0＝1； B 、a －1＝－a ； C 、(－a )2＝－a 2； D 、2211aa =． 【答案】A.【解析】除了0以外，任何数的0次都等于1，因为a ＞0，所以，a 0＝13、下列y 关于x 的函数中，是正比例函数的为…………………………………………（ ） A 、y ＝x 2； B 、y ＝x 2； C 、y ＝2x ； D 、y ＝21+x ．【答案】C 【解析】122x y x ==，是正比例函数，选C 。
4、如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是……………………（ ） A 、4； B 、5； C 、6； D 、7． 【答案】B. 【解析】边数为36072n =＝5。
5、下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是……………………………………（ ） A 、平均数； B 、众数； C 、方差； D 、频率． 【答案】C【解析】方差反应数据波动程度，方差大，波动大，方差小，波动小，稳定。
6、如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径OC ⊥AB ，垂足为点D ，要使四边形OACB 为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是………………………………………………（ ） A 、AD ＝BD ； B 、OD ＝CD ； C 、∠CAD ＝∠CBD ； D 、∠OCA ＝∠OCB ． 【答案】B【解析】因OC ⊥AB ，由垂径定理，知AD ＝BD ，若OD ＝CD ，则对角线互相垂直且平分，所以，OACB为菱形。
2015年中考真题精品解析 数学(上海卷)精编word版(解析版)
掌门1对1教育 初中数学一、选择题：(每题4分，共24分)1、下列实数中，是有理数的为………………………………………………………（ ）. A 、2； B 、34； C 、π； D 、0． 【答案】D考点：有理数和无理数的概念.2、当0a >时，下列关于幂的运算正确的是………………………………………（ ）. A 、01a =； B 、1a a -=-； C 、22()a a -=-； D 、1221a a=． 【答案】A 【解析】试题分析：选项B 应为：11a a-=；选项C 应为：22()a a -=；选项D 应为：12a a =.考点：幂的基本运算.3、下列y 关于x 的函数中，是正比例函数的为……………………………………（ ）. A 、2y x =； B 、2y x =； C 、2x y =； D 、12x y +=． 【答案】C考点：基本初等函数的定义与判断.4、如果一个正多边形的中心角为72，那么这个正多边形的边数是……………（ ）. A 、4； B 、5； C 、6； D 、7． 【答案】B 【解析】试题分析：根据正多边形的中心角与边数的关系，其边数为360725÷=.考点：正多边形的中心角定义及求法.5、下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是………………………………（ ）. A 、平均数； B 、众数； C 、方差； D 、频率． 【答案】C 【解析】试题分析：平均数表示一组数据的平均程度，众数表示一组数据中出现次数最多的数，反映数据的聚散程度，而方差和标准差反映是一组数据的波动程度. 考点：基本统计量的意义.[来源:学.科.网Z.X.X.K]6、如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径OC AB ⊥，垂足为点D ，要使四边形OACB 为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是…………………………………………（ ）.A 、AD BD =；B 、OD CD =；C 、CAD CBD ∠=∠； D 、OCA OCB ∠=∠．D CBAO【答案】B考点：1.垂径定理；2.菱形的判定.二、填空题：(每题4分，共48分)7、计算：22-+=_______． 【答案】4 【解析】试题分析：22224-+=+=.考点：1.绝对值的定义；2.有理数的基本运算. 8、方程322x -=的解是_______________． 【答案】2x =考点：解无理方程. 9、如果分式23xx +有意义，那么x 的取值范围是____________． 【答案】3x ≠- 【解析】试题分析：分式有意义的条件是分母不为零，故30x +≠，解得3x ≠-. 考点：分式有意义的条件.10、如果关于x 的一元二次方程240x x m +-=没有实数根，那么m 的取值范围是________．【答案】4m <-考点：根的判别式.11、同一温度的华氏度数y (℉)与摄氏度数x (℃)之间的函数关系是9325y x =+，如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是________℉． 【答案】77 【解析】试题分析：将25x =代入9325y x =+，得92532775y =⋅+=，故华氏度数为77F . 考点：求代数式的值.12、如果将抛物线221y x x =+-向上平移，使它经过点(0,3)A ，那么所得新抛物线的表达式是_______________． 【答案】223y x x =++考点：1.抛物线平移的含义；2.求抛物线的函数解析式.13、某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加首次活动的概率是__________．[来源学科网]【答案】750【解析】试题分析：根据题意中“随机抽取”，可知为等可能事件，将数据代入概率公式：750n P N ==. 考点：等可能事件的概率公式.14、已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄与人数情况如下表所示：那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是_______岁．[来源:Z+xx+]【答案】14 【解析】试题分析：根据中位数的定义，将一组数据从小到大排列好之后，位于最中间的那个数据即为中位数.题中共有53人，故中位数应该是从小到大排在27位的那个数，为14. 考点：基本统计量中位数的定义.15、如图，已知在ABC ∆中，D 、E 分别是边AB 、边AC 的中点，AB m = ，AC n =，那么向量DE 用向量m、n 表示为______________．【答案】1122m n -+考点：平面向量的基本运算.16、已知E 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，AE AD =，过点E 作AC 的垂线，交边CD 于点F ，那么FAD ∠=________度． 【答案】22.5 【解析】年龄(岁) 11 12[om]13 14 15 人数5516 15 12试题分析：作出简图，B CAD EF 由题意知，ADF ∆≌AEF ∆（HL ），故12FAD FAE DAE ∠=∠=∠，因为AC 是正方形的对角线，故45DAE ∠=，故22.5FAD ∠=. 考点：1.正方形的性质；2.全等直角三角形的判定；3.全等三角形的性质.17、在矩形ABCD 中，5AB =，12BC =，点A 在B 上．如果D 与B 相交，且点B 在D 内，那么D 的半径长可以等于___________．(只需写出一个符合要求的数) 【答案】14（答案不唯一，只要大于13，小于18即可）考点：1.矩形的性质；2.勾股定理；3.圆相交的性质.18、已知在ABC ∆中，8AB AC ==，30BAC ∠=．将ABC ∆绕点A 旋转，使点B 落在原ABC ∆的点C处，此时点C 落在点D 处．延长线段AD ，交原ABC ∆的边BC 的延长线于点E ，那么线段DE 的长等于___________． 【答案】434- 【解析】试题分析：？30°30°888F E ABCD如图，由旋转的性质知，8AD AC ==，30CAD ∠=，过C 作CF AE⊥交AE 于F ，而142CF AC ==，43AF =，故843DF =-.在ABC ∆中，易求得75B ∠= ，故45E ∠= ，CEF ∆为等腰直角三角形，4EF CF ==，所以4(843)434DE EF DF =-=--=-.考点：1.旋转的性质；2.含30的直角三角形的性质；3.三角形的内角和.三、解答题19、(本题满分10分)先化简，再求值：2124422+--+÷++x x x x x x x ，其中12-=x ．【答案】化简得12x +，代入求值得21-考点：1.分式的化简；2.代数式求值. 20、(本题满分10分)解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧+≤-->9131624x x x x ，并把解集在数轴上表示出来．【答案】解集为32x -<≤，在数轴上的表示如下：【解析】试题分析：根据不等式的性质，分别解出两个不等式，再在数轴上表示出解集，取其公共部分，即为不等式组的解集.端点取不到时用空心点表示，端点能取到时用实心点表示.试卷解析：由第一个不等式得3x >-，由第二个不等式得3(1)1x x -≤+，2x ≤，[来源:学科网ZXXK]∴原不等式组的解集为32x -<≤，在数轴上的表示如下：考点：1.解一元一次不等式组；2.不等式组的解集在数轴上的表示. 21、(本题满分10分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分) 已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数43y x =的图像经过点A ，点A 的纵坐标为4，反比例函数my x=的图像也经过点A ，第一象限内的点B 在这个反比例函数的图像上，过点B 作//BC x 轴，交y 轴于点C ，且AC AB =．求：（1）这个反比例函数的解析式；（2）直线AB 的表达式．【答案】（1）12y x =；（2）263y x =-+ 【解析】试题分析：（1）先根据A 在正比例函数图像上求出点A 的坐标，再根据A 在反比例函数图像上，代入求得反比例函数解析式；（2）根据B 在反比例函数图像上，假设出点B 坐标，再根据//BC x 轴，得到点C 坐标.结合AC AB =，代入两点间距离公式，得到方程，解出即得点B 坐标.再利用待定系数法，将A 、B 坐标代入，求出直线AB 的解析式.[来源:学科网ZXXK]试卷解析：（1）设(,4)A x ，∵43y x =经过点A ，∴443x =，∴3x =，∴(3,4)A ， ∵m y x =经过点A ，∴43m =，∴12m =，∴反比例函数的解析式为12y x =；考点：1.点在函数图像上的意义；2.勾股定理；3.待定系数法求函数解析式. 22、(本题满分10分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分)如图，MN 表示一段笔直的高架道路，线段AB 表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A 到MN 的距离为15米，BA 的延长线与MN 相交于点D ，且30BDN ∠= ，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．（1）过点A 作MN 的垂线，垂足为点H ．如果汽车沿着从M 到N 的方向在MN 上行驶，当汽车到达点P 处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H 的距离为多少米？（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点Q 时，它与这一排居民楼的距离QC 为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？(精确到1米) (参考数据：3 1.7≈)NQ H P M D CBA【答案】（1）36米；（2）89米 【解析】试题分析：（1）联结AP ，直接在Rt APH ∆中利用勾股定理解出PH 即可；（2）从题中可得到的信息是39PA CQ m ==，因此需要安装的隔音板至少要包含PQ 这一段.第（1）小题中已解得PH ，故需要求出HQ ，在Rt DHA ∆和Rt DQC ∆中用两次30 的三角函数，即可解得DH 和DQ ，代入PQ PH DQ DH =+-计算即可.[来源:学科网]试卷解析：（1）联结AP ，由题意得39AP m =，15AH m =，故在Rt APH ∆中，2222391536PH AP AH m =-=-=；考点：1.勾股定理；2.解直角三角形；3.对实际应用题的分析解决能力. 23、(本题满分12分，每小题满分各6分)已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 在边BC 的延长线上，且OE OB =，联结DE ． (1)求证：DE BE ⊥； (2)如果OE CD ⊥，求证：BD CE CD DE ⋅=⋅．OEDC BA【答案】（1）根据等腰三角形性质及三角形内角和，证明过程略；（2）证明CED ∆∽DEB ∆，证明过程略 【解析】试题分析：（1）由平行四边形性质知，OB OD OE ==，在两个等腰三角形OBD ∆和ODE ∆中，得到两组角相等，再在BDE ∆中利用三角形内角和定理，即可求得90BDE ∠=，得证；（2）根据要证明的结论，易想到证明三角形相似，即CED ∆∽DEB ∆，图中已有一组公共角，故只需证明另一组对角相等.结合条件OE CD ⊥，可通过同角的余角相等，证明EDC OEB ∠=∠，从而有EDC OBE ∠=∠，得证. 试卷解析：（1）∵OB OE =，∴OEB OBE ∠=∠，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB OD =，∴OD OE =，∴OED ODE ∠=∠.∵在BED ∆中，180OEB OBE OED ODE ∠+∠+∠+∠= ，∴22180OED OEB ∠+∠= ，∴90OEB OED ∠+∠= ，即90BED ∠=，∴DE BE ⊥.考点：1.平行四边形性质；2.相似三角形的判定及性质. 24、(本题满分12分，每小题满分各4分)已知在平面直角坐标系xOy 中（如图），抛物线24y ax =-与x 轴的负半轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，25AB =．点P 在抛物线上，线段AP 与y 轴的正半轴交于点C ，线段BP 与x 轴相交于点D ．设点P 的横坐标为m ．（1）求这条抛物线的解析式；（2）用含m 的代数式表示线段CO 的长； （3）当3tan 2ODC ∠=时，求PAD ∠的正弦值．【答案】（1）24y x =-；（2）24OC m =-；（3）2sin 2PAD ∠=【解析】试题分析：（1）先根据勾股定理求得OA 的长度，从而确定A 的坐标，代入抛物线解析式即可；（2）可借助三角形相似，BOD ∆∽PHD ∆，利用对应边成比例得到OC 的表达式；（3）再一次利用三角形相似，BOD ∆∽PHD ∆，先求出OD 的表达式，结合3tan 2ODC ∠=，求出m 的值，进而得到P 坐标以及相关的线段长度，再将PAD ∠的正弦值放到Rt PAH ∆中求解即可.试卷解析：作图如下：（1）∵25AB =，4OB =，∴2OA =，即(2,0)A -，∵A 在抛物线上，∴440a -=，∴1a =，∴抛物线的解析式为24y x =-；（2）由（1）得2(,4)P m m -（2m >），∴24PH m =-，OH m =，∵//OC PH ，∴A O C ∆∽AHP ∆，∴CO AO PH AH =，即2242CO m m=-+，∴2(2)24CO m m =-=-；考点：1.待定系数法求函数解析式；2.三角形相似的判定与性质；3.锐角三角函数.[来源:学|科|网]25、(本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分)已知：如图，AB 是半圆O 的直径，弦//CD AB ，动点P 、Q 分别在线段OC 、CD 上，且DQ OP =，AP 的延长线与射线OQ 相交于点E 、与弦CD 相交于点F （点F 与点C 、D 不重合），20AB =，4cos 5AOC ∠=．设OP x =，CPF ∆的面积为y ． （1）求证：AP OQ =；（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域； （3）当OPE ∆是直角三角形时，求线段OP 的长．【答案】（1）通过证明AOP ∆≌ODQ ∆，过程略；（2）236030050(10)13x x y x x -+=<<；（3）8OP =（3）分成三种情况讨论，充分利用已知条件4cos 5AOC ∠=、以及（1）（2）中已证的结论，注意要对不符合（2）中定义域的答案舍去. 试卷解析：（1）联结OD ，∵OC OD =，∴OCD ODC ∠=∠，∵//CD AB ，∴OCD COA ∠=∠，∴POA QDO ∠=∠.在AOP ∆和ODQ ∆中，OP DQ POA QDO OA DO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOP ∆≌ODQ ∆，∴AP OQ =；(2)作PH OA ⊥，交OA 于H ，∵4cos 5AOC ∠=，∴4455OH OP x ==，35PH x =， ∴132AOP S AO PH x ∆=⋅=.∵//CD AB ，∴PFC ∆∽PAO ∆， ∴2210()()AOP yCP x S OP x∆-==，∴2360300x x y x -+=，当F 与点D 重合时， ∵42cos 210165CD OC OCD =⋅∠=⋅⋅=，∴101016x x =-，解得5013x =， ∴2360300x x y x -+=50(10)13x <<； （3）①当90OPE ∠= 时，90OPA ∠= ，∴4cos 1085OP OA AOC =⋅∠=⋅=；②当90POE ∠= 时，1010254cos cos 25OC CQ QCO AOC ====∠∠， ∴252OP DQ CD CQ CD ==-=-2571622=-= ，∵501013OP <<，∴72OP =（舍）； ③当90PEO ∠= 时，∵//CD AB ，∴AOQ DQO ∠=∠，∵AOP ∆≌ODQ ∆，∴DQO APO ∠=∠，∴AOQ APO ∠=∠，∴90AEO AOP ∠=∠= ，此时弦CD 不存在，故这种情况不符合题意，舍；综上，线段OP 的长为8.考点：1.三角形全等的判定及性质；2.锐角三角函数的综合应用；3.圆的综合应用.。
2015年上海市中考数学试卷及答案解析
2015年上海市中考数学试卷及答案解析一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）1．下列实数中，是有理数的为（）A．√2B．√43C．πD．0解：√2是无理数，A不正确；√43是无理数，B不正确；π是无理数，C不正确；0是有理数，D正确；故选：D．2．当a＞0时，下列关于幂的运算正确的是（）A．a0＝1B．a﹣1＝﹣a C．（﹣a）2＝﹣a2D．a 12=1a2解：A、a0＝1（a＞0），正确；B、a﹣1=1a，故此选项错误；C、（﹣a）2＝a2，故此选项错误；D、a 12=√a（a＞0），故此选项错误．故选：A．3．下列y关于x的函数中，是正比例函数的为（）A．y＝x2B．y=2x C．y=x2D．y=x+12解：A、y是x的二次函数，故A选项错误；B、y是x的反比例函数，故B选项错误；C、y是x的正比例函数，故C选项正确；D、y是x的一次函数，故D选项错误；故选：C．4．如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个多边形的边数是（）A．4B．5C．6D．7解：这个多边形的边数是360÷72＝5，故选：B．5．下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是（）A．平均数B．众数C．方差D．频率解：能反映一组数据波动程度的是方差或标准差，故选：C．6．如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（）A．AD＝BD B．OD＝CD C．∠CAD＝∠CBD D．∠OCA＝∠OCB 解：∵在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，∴AD＝DB，当DO＝CD，则AD＝BD，DO＝CD，AB⊥CO，故四边形OACB为菱形．故选：B．二、填空题7．计算：|﹣2|+2＝4．解：原式＝2+2＝4．故答案为4．8．方程√3x−2=2的解是x＝2．解：∵√3x−2=2，∴3x﹣2＝4，∴x＝2，当x＝2时，左边=√3×2−2=2，右边＝2，∵左边＝右边，∴方程√3x−2=2的解是：x＝2．故答案为：x＝2．9．如果分式2xx+3有意义，那么x的取值范围是x≠﹣3．解：由题意得，x+3≠0，即x≠﹣3，故答案为：x≠﹣3．10．如果关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0没有实数根，那么m的取值范围是m＜﹣4．解：∵一元二次方程x2+4x﹣m＝0没有实数根，∴△＝16﹣4（﹣m）＜0，∴m＜﹣4，故答案为m＜﹣4．11．同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数关系是y=95x+32，如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是77℉．解：当x＝25°时，y=95×25+32＝77，故答案为：77．12．如果将抛物线y＝x2+2x﹣1向上平移，使它经过点A（0，3），那么所得新抛物线的表达式是y＝x2+2x+3．解：设平移后的抛物线解析式为y＝x2+2x﹣1+b，把A（0，3）代入，得3＝﹣1+b，解得b＝4，则该函数解析式为y＝x2+2x+3．故答案是：y＝x2+2x+3．13．某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加首次活动的概率是750．解：∵学生会将从这50位同学中随机抽取7位，∴小杰被抽到参加首次活动的概率是：750．故答案为：750．14．已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄与人数情况如下表所示：年龄（岁）11 12 13 14 15 人数 5 5 16 15 12那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是 14 岁．解：从小到大排列此数据，第27名成员的年龄是14岁，所以这个小组成员年龄的中位数是14．故答案为14．15．如图，已知在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、边AC 的中点，AB →=m →，AC →=n →，那么向量DE →用向量m →，n →表示为 12n →−12m →．解：∵AB →=m →，AC →=n →，∴BC →=AC →−AB →=n →−m →，∵在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、边AC 的中点，∴DE →=12BC →=12（n →−m →）=12n →−12m →． 故答案为：12n →−12m →． 16．已知E 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，AE ＝AD ，过点E 作AC 的垂线，交边CD于点F ，那么∠F AD ＝ 22.5 度．解：如图，在Rt △AEF 和Rt △ADF 中，{AD =AE AF =AF∴Rt△AEF≌Rt△ADF，∴∠DAF＝∠EAF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠CAD＝45°，∴∠F AD＝22.5°．故答案为：22.5．17．在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，点A在⊙B上，如果⊙D与⊙B相交，且点B在⊙D 内，那么⊙D的半径长可以等于14（答案不唯一）．（只需写出一个符合要求的数）解：∵矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，∴AC＝BD＝13，∵点A在⊙B上，∴⊙B的半径为5，∵如果⊙D与⊙B相交，∴⊙D的半径R满足8＜R＜18，∵点B在⊙D内，∴R＞13，∴13＜R＜18，∴14符合要求，故答案为：14（答案不唯一）．18．已知在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于4√3−4．解：作CH⊥AE于H，如图，∵AB＝AC＝8，∴∠B＝∠ACB=12（180°﹣∠BAC）=12（180°﹣30°）＝75°，∵△ABC 绕点A 旋转，使点B 落在原△ABC 的点C 处，此时点C 落在点D 处， ∴AD ＝AB ＝8，∠CAD ＝∠BAC ＝30°，∵∠ACB ＝∠CAD +∠E ，∴∠E ＝75°﹣30°＝45°，在Rt △ACH 中，∵∠CAH ＝30°，∴CH =12AC ＝4，AH =√3CH ＝4√3，∴DH ＝AD ﹣AH ＝8﹣4√3，在Rt △CEH 中，∵∠E ＝45°，∴EH ＝CH ＝4，∴DE ＝EH ﹣DH ＝4﹣（8﹣4√3）＝4√3−4．故答案为4√3−4．三、解答题19．（10分）先化简，再求值：x 2x 2+4x+4÷x x+2−x−1x+2，其中x =√2−1． 解：原式=x 2(x+2)2•x+2x −x−1x+2 =x x+2−x−1x+2=1x+2，当x =√2−1时，原式=1√2−1+2=√2−1． 20．（10分）解不等式组：{4x ＞2x −6x−13≤x+19，并把解集在数轴上表示出来．解：{4x ＞2x −6①x−13≤x+19②∵解不等式①得：x ＞﹣3，解不等式②得：x ≤2，∴不等式组的解集为﹣3＜x ≤2，在数轴上表示不等式组的解集为：．21．（10分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数y =43x 的图象经过点A ，点A 的纵坐标为4，反比例函数y =m x 的图象也经过点A ，第一象限内的点B 在这个反比例函数的图象上，过点B 作BC ∥x 轴，交y 轴于点C ，且AC ＝AB ．求：（1）这个反比例函数的解析式；（2）直线AB 的表达式．解：∵正比例函数y =43x 的图象经过点A ，点A 的纵坐标为4，∴点A 的坐标为（3，4），∵反比例函数y =m x 的图象经过点A ， ∴m ＝12，∴反比例函数的解析式为：y =12x ； （2）如图，连接AC 、AB ，作AD ⊥BC 于D ，∵AC ＝AB ，AD ⊥BC ，∴BC ＝2CD ＝6，∴点B 的坐标为：（6，2），设直线AB 的表达式为：y ＝kx +b ，由题意得，{3k +b =46k +b =2，解得，{k=−23 b=6，∴直线AB的表达式为：y=−23x+6．22．（10分）如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN＝30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．（1）过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到1米）（参考数据：√3≈1.7）解：（1）如图，连接P A．由题意知，AP＝39m．在直角△APH中，PH=√AP2−AH2=√392−152=36（米）；（2）由题意知，隔音板的长度是PQ的长度．在Rt△ADH中，DH＝AH•cot30°＝15√3（米）．在Rt△CDQ中，DQ=CQsin30°=3912=78（米）．则PQ＝PH+HQ＝PH+DQ﹣DH＝36+78﹣15√3≈114﹣15×1.7＝88.5≈89（米）．答：高架道路旁安装的隔音板至少需要89米．23．（12分）已知，如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 在边BC 的延长线上，且OE ＝OB ，连接DE ．（1）求证：DE ⊥BE ；（2）如果OE ⊥CD ，求证：BD •CE ＝CD •DE ．证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BO ＝OD ，∵OE ＝OB ，∴OE ＝OD ，∴∠OBE ＝∠OEB ，∠OED ＝∠ODE ，∵∠OBE +∠OEB +∠OED +∠ODE ＝180°，∴∠BEO +∠DEO ＝∠BED ＝90°，∴DE ⊥BE ；（2）∵OE ⊥CD∴∠CEO +∠DCE ＝∠CDE +∠DCE ＝90°，∴∠CEO ＝∠CDE ，∵OB ＝OE ，∴∠DBE ＝∠CDE ，∵∠BED ＝∠BED ，∴△BDE ∽△DCE ，∴BD CD =DE CE ，∴BD •CE ＝CD •DE ．24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y＝ax2﹣4与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，AB＝2√5，点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴交于点C，线段BP与x轴相交于点D，设点P的横坐标为m．（1）求这条抛物线的解析式；（2）用含m的代数式表示线段CO的长；（3）当tan∠ODC=32时，求∠P AD的正弦值．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣4与y轴相交于点B，∴点B的坐标是（0，﹣4），∴OB＝4，∵AB＝2√5，∴OA=√AB2−OB2=2，∴点A的坐标为（﹣2，0），把（﹣2，0）代入y＝ax2﹣4得：0＝4a﹣4，解得：a＝1，则抛物线的解析式是：y＝x2﹣4；（2）方法一：∵点P 的横坐标为m ，∴点P 的坐标为（m ，m 2﹣4），过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，∴OE ＝m ，PE ＝m 2﹣4，∴AE ＝2+m ，∵OC PE =AO AE ， ∴OC m −4=22+m ，∴CO ＝2m ﹣4；方法二：∵点P 在抛物线上，∴P （m ，m 2﹣4），设P A 的直线方程为：y ＝kx +b ，∴km +b =m 2−4−2k +b =0}⇒{k =m −2b =2m −4， ∴l P A ：y ＝（m ﹣2）x +2m ﹣4，∴CO ＝2m ﹣4；（3）方法一：∵tan ∠ODC =32，∴OC OD =32， ∴OD =23OC =23×（2m ﹣4）=4m−83， ∵△ODB ∽△EDP ，∴OD ED =OB EP ，∴4m−838−m 3=4m −4，∴m 1＝﹣1（舍去），m 2＝3，∴OC ＝2×3﹣4＝2，∵OA ＝2，∴OA ＝OC ，∴∠P AD ＝45°，∴sin ∠P AD ＝sin45°=√22．方法二：∵P （m ，m 2﹣4），B （0，﹣4），∴l PB ：y ＝mx ﹣4，∴D （4m ，0）， tan ∠ODC =32⇒OC OD =32，OC ＝2m ﹣4， ∴OD =4m−83， ∵线段AP 与y 轴的正半轴交于点C ，∴OC ＝2m ﹣4（m ＞2），∴4m−83=4m ，经整理：m 2﹣2m ﹣3＝0，∴m 1＝﹣1（舍去），m 2＝3，∴P （3，5），∴l P A ：y ＝x +2，∴∠P AD ＝45°，∴sin ∠P AD =√22．25．（14分）已知，如图，AB 是半圆O 的直径，弦CD ∥AB ，动点P ，Q 分别在线段OC ，CD 上，且DQ ＝OP ，AP 的延长线与射线OQ 相交于点E ，与弦CD 相交于点F （点F与点C ，D 不重合），AB ＝20，cos ∠AOC =45，设OP ＝x ，△CPF 的面积为y ．（1）求证：AP ＝OQ ；（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当△OPE 是直角三角形时，求线段OP 的长．解：（1）连接OD ，在△AOP 和△ODQ 中，{AO =OD∠AOC =∠C =∠ODQ OP =DQ，∴△AOP ≌△ODQ ，∴AP ＝OQ ；（2）作PH ⊥OA ，∵cos ∠AOC =45，∴OH =45PO =45x ，∴S △AOP =12AO •PH ＝3x ，又∵△PFC ∽△P AO ，∴yS △AOP =(CP PO )2=（10−x x ）2，整理得：y =3x 2−60x+300x， ∵AP 延长线与CD 相交于点F ，∴CF ≤CD ＝16，易知△CPF ∽△OP A ，∴CP x =CF AO ，∴x 的定义域为：5013＜x ＜10；（3）当∠POE＝90°时，CQ=OCcos∠QCO=252，PO＝DQ＝CD﹣CQ=72（舍）；当∠OPE＝90°时，PO＝AO•cos∠COA＝8；当∠OEP＝90°时，如图，由（1）知△AOP≌△ODQ，∴∠APO＝∠OQD，∴∠AOQ＝∠OQD＝∠APO，∵∠AOQ＜90°，∠APO＞90°（矛盾），∴此种情况不存在，∴线段OP的长为8．。
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2015年上海市中考数学试卷一、选择题1．（4分）（2015•上海）下列实数中，是有理数的为（）A ．B．C．πD．2．（4分）（2015•上海）当a＞0时，下列关于幂的运算正确的是（）A ．a0=1 B．a﹣1=﹣a C．（﹣a）2=﹣a2D．a=3．（4分）（2015•上海）下列y关于x的函数中，是正比例函数的为（）A ．y=x2B．y=C．y=D．y=4．（4分）（2015•上海）如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个多边形的边数是（）A ．4 B．5 C．6 D．75．（4分）（2015•上海）下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是（）A ．平均数B．众数C．方差D．频率6．（4分）（2015•上海）如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（）A ．AD=BD B．OD=CD C．∠CAD=∠CBD D．∠OCA=∠OCB二、填空题7．（4分）（2015•上海）计算：|﹣2|+2= ．8．（4分）（2015•上海）方程=2的解是．9．（4分）（2015•上海）如果分式有意义，那么x的取值范围是．10．（4分）（2015•上海）如果关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是．11．（4分）（2015•上海）同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数关系是y=x+32，如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是℉．12．（4分）（2015•上海）如果将抛物线y=x2+2x﹣1向上平移，使它经过点A（0，3），那么所得新抛物线的表达式是．13．（4分）（2015•上海）某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加首次活动的概率是．14．（4分）（2015•上海）已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄与人数情况如下表所示：年龄（岁）11 12 13 14 15人数 5 5 16 15 12那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是岁．15．（4分）（2015•上海）如图，已知在△ABC中，D、E分别是边AB、边AC的中点，=，=，那么向量用向量，表示为．16．（4分）（2015•上海）已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE=AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD= 度．17．（4分）（2015•上海）在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点A在⊙B上，如果⊙D与⊙B相交，且点B在⊙D内，那么⊙D的半径长可以等于．（只需写出一个符合要求的数）18．（4分）（2015•上海）已知在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE 的长等于．三、解答题19．（10分）（2015•上海）先化简，再求值：÷﹣，其中x=﹣1．20．（10分）（2015•上海）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．21．（10分）（2015•上海）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=x的图象经过点A，点A的纵坐标为4，反比例函数y=的图象也经过点A，第一象限内的点B在这个反比例函数的图象上，过点B作BC∥x轴，交y轴于点C，且AC=AB．求：（1）这个反比例函数的解析式；（2）直线AB的表达式．22．（10分）（2015•上海）如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN=30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音（XRS）的影响．（1）过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到1米）（参考数据：≈1.7）23．（12分）（2015•上海）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．（1）求证：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．24．（12分）（2015•上海）已知在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=ax2﹣4与x轴的负半轴（XRS）相交于点A，与y轴相交于点B，AB=2，点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴交于点C，线段BP与x轴相交于点D，设点P的横坐标为m．（1）求这条抛物线的解析式；（2）用含m的代数式表示线段CO的长；（3）当tan∠ODC=时，求∠PAD的正弦值．25．（14分）（2015•上海）已知，如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P，Q分别在线段OC，CD 上，且DQ=OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E，与弦CD相交于点F（点F与点C，D不重合），AB=20，cos∠AOC=，设OP=x，△CPF的面积为y．（1）求证：AP=OQ；（2）求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长．2015年上海市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（4分）（2015•上海）下列实数中，是有理数的为（）A ．B．C．πD．考点：实数．分析：根据有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数进行判断即可．解答：解：是无理数，A不正确；是无理数，B不正确；π是无理数，C不正确；0是有理数，D正确；故选：D．点评：此题主要考查了无理数和有理数的区别，解答此题的关键是要明确：有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数．2．（4分）（2015•上海）当a＞0时，下列关于幂的运算正确的是（）A ．a0=1 B．a﹣1=﹣a C．（﹣a）2=﹣a2D．a=考点：负整数指数幂；有理数的乘方；分数指数幂；零指数幂．分析：分别利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和分数指数幂的性质分别分析求出即可．解答：解：A、a0=1（a＞0），正确；B、a﹣1=，故此选项错误；C、（﹣a）2=a2，故此选项错误；D、a=（a＞0），故此选项错误．故选：A．点评：此题主要考查了零指数幂的性质以及负指数幂的性质和分数指数幂的性质等知识，正确把握相关性质是解题关键．3．（4分）（2015•上海）下列y关于x的函数中，是正比例函数的为（）A ．y=x2B．y=C．y=D．y=考点：正比例函数的定义．分析：根据正比例函数的定义来判断即可得出答案．解答：解：A、y是x的二次函数，故A选项错误；B、y是x的反比例函数，故B选项错误；C、y是x的正比例函数，故C选项正确；D、y是x的一次函数，故D选项错误；故选C．点评：本题考查了正比例函数的定义：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数．4．（4分）（2015•上海）如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个多边形的边数是（）A ．4 B．5 C．6 D．7考点：多边形内角与外角．分析：根据正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等，列式计算即可．解答：解：这个多边形的边数是360÷72=5，故选：B．点评：本题考查的是正多边形的中心角的有关计算，掌握正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等是解题的关键．5．（4分）（2015•上海）下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是（）A ．平均数B．众数C．方差D．频率考点：统计量的选择．分析：根据平均数、众数、中位数反映一组数据的集中趋势，而方差、标准差反映一组数据的离散程度或波动大小进行选择．解答：解：能反映一组数据波动程度的是方差或标准差，故选C．点评：本题考查了标准差的意义，波动越大，标准差越大，数据越不稳定，反之也成立．6．（4分）（2015•上海）如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（）A ．AD=BD B．OD=CD C．∠CAD=∠CBD D．∠OCA=∠OCB考点：菱形的判定；垂径定理．分析：利用对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，进而求出即可．解答：解：∵在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，∴AD=DB，当DO=CD，则AD=BD，DO=CD，AB⊥CO，故四边形OACB为菱形．故选：B．点评：此题主要考查了菱形的判定以及垂径定理，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．二、填空题7．（4分）（2015•上海）计算：|﹣2|+2= 4 ．考点：有理数的加法；绝对值．分析：先计算|﹣2|，再加上2即可．解答：解：原式=2+2 =4．故答案为4．点评：本题考查了有理数的加法，以及绝对值的求法，负数的绝对值等于它的相反数．8．（4分）（2015•上海）方程=2的解是x=2 ．考点：无理方程．分析：首先根据乘方法消去方程中的根号，然后根据一元一次方程的求解方法，求出x的值是多少，最后验根，求出方程=2的解是多少即可．解答：解：∵=2，∴3x﹣2=4，∴x=2，当x=2时，左边=，右边=2，∵左边=右边，∴方程=2的解是：x=2．故答案为：x=2．点评：此题主要考查了无理方程的求解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．（2）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．9．（4分）（2015•上海）如果分式有意义，那么x的取值范围是x≠﹣3 ．考点：分式有意义的条件．分析：根据分式有意义的条件是分母不为0，列出算式，计算得到答案．解答：解：由题意得，x+3≠0，即x≠﹣3，故答案为：x≠﹣3．点评：本题考查的是分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．10．（4分）（2015•上海）如果关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是m ＜﹣4 ．考点：根的判别式．分析：根据关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，得出△=16﹣4（﹣m）＜0，从而求出m的取值范围．解答：解：∵一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，∴△=16﹣4（﹣m）＜0，∴m＜﹣4，故答案为m＜﹣4．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．11．（4分）（2015•上海）同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数关系是y=x+32，如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是77 ℉．考点：函数值．分析：把x的值代入函数关系式计算求出y值即可．解答：解：当x=25°时，y=×25+32=77，故答案为：77．点评：本题考查的是求函数值，理解函数值的概念并正确代入准确计算是解题的关键．12．（4分）（2015•上海）如果将抛物线y=x2+2x﹣1向上平移，使它经过点A（0，3），那么所得新抛物线的表达式是y=x2+2x+3 ．考点：二次函数图象与几何变换．分析：设平移后的抛物线解析式为y=x2+2x﹣1+b，把点A的坐标代入进行求值即可得到b 的值．解答：解：设平移后的抛物线解析式为y=x2+2x﹣1+b，把A（0，3）代入，得3=﹣1+b，解得b=4，则该函数解析式为y=x2+2x+3．故答案是：y=x2+2x+3．点评：主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．13．（4分）（2015•上海）某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加首次活动的概率是．考点：概率公式．分析：由某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位同学报名，直接利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：∵学生会将从这50位同学中随机抽取7位，∴小杰被抽到参加首次活动的概率是：．故答案为：．点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．（4分）（2015•上海）已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄与人数情况如下表所示：年龄（岁）11 12 13 14 15人数 5 5 16 15 12那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是14 岁．考点：中位数．分析：一共有53个数据，根据中位数的定义，把它们按从小到大的顺序排列，第27名成员的年龄就是这个小组成员年龄的中位数．解答：解：从小到大排列此数据，第27名成员的年龄是14岁，所以这个小组成员年龄的中位数是14．故答案为14．点评：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．15．（4分）（2015•上海）如图，已知在△ABC中，D、E分别是边AB、边AC的中点，=，=，那么向量用向量，表示为﹣．考点：*平面向量．分析：由=，=，利用三角形法则求解即可求得，又由在△ABC中，D、E分别是边AB、边AC的中点，可得DE是△ABC的中位线，然后利用三角形中位线的性质求解即可求得答案．解解：∵=，=，答：∴=﹣=﹣，∵在△ABC中，D、E分别是边AB、边AC的中点，∴==（﹣）=﹣．故答案为：﹣．点评：此题考查了平面向量的知识以及三角形中位线的性质．注意掌握三角形法则的应用．16．（4分）（2015•上海）已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE=AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD= 22.5 度．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：根据正方形的性质可得∠DAC=45°，再由AD=AE易证△ADF≌△AEF，求出∠FAD．解答：解：如图，在Rt△AEF和Rt△ADF中，∴Rt△AEF≌Rt△ADF，∴∠DAF=∠EAF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠CAD=45°，∴∠FAD=22.5°．故答案为：22.5．点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，求证Rt△AEF≌Rt△ADF是解本题的关键．17．（4分）（2015•上海）在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点A在⊙B上，如果⊙D与⊙B相交，且点B 在⊙D内，那么⊙D的半径长可以等于14（答案不唯一）．（只需写出一个符合要求的数）考点：圆与圆的位置关系；点与圆的位置关系．专题：开放型．分析：首先求得矩形的对角线的长，然后根据点A在⊙B上得到⊙B的半径为5，再根据⊙D 与⊙B相交，得到⊙D的半径R满足8＜R＜18，在此范围内找到一个值即可．解答：解：∵矩形ABCD中，AB=5，BC=12，∴AC=BD=13，∵点A在⊙B上，∴⊙B的半径为5，∵如果⊙D与⊙B相交，∴⊙D的半径R满足8＜R＜18，∵点B在⊙D内，∴R＞13，∴13＜R＜18，∴14符合要求，故答案为：14（答案不唯一）．点评：本题考查了圆与圆的位置关系、点与圆的位置关系，解题的关键是首先确定⊙B的半径，然后确定⊙D的半径的取值范围，难度不大．18．（4分）（2015•上海）已知在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE 的长等于4﹣4 ．考点：解直角三角形；等腰三角形的性质．专题：计算题．分析：作CH⊥AE于H，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ACB=（180°﹣∠BAC）=75°，再根据旋转的性质得AD=AB=8，∠CAD=∠BAC=30°，则利用三角形外角性质可计算出∠E=45°，接着在Rt△ACH中利用含30度的直角三角形三边的关系得CH=AC=4，AH=CH=4，所以DH=AD﹣AH=8﹣4，然后在Rt△CEH中利用∠E=45°得到EH=CH=4，于是可得DE=EH﹣DH=4﹣4．解答：解：作CH⊥AE于H，如图，∵AB=AC=8，∴∠B=∠ACB=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣30°）=75°，∵△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，∴AD=AB=8，∠CAD=∠BAC=30°，∵∠ACB=∠CAD+∠E，∴∠E=75°﹣30°=45°，在Rt△ACH中，∵∠CAH=30°，∴CH=AC=4，AH=CH=4，∴DH=AD﹣AH=8﹣4，在Rt△CEH中，∵∠E=45°，∴EH=CH=4，∴DE=EH﹣DH=4﹣（8﹣4）=4﹣4．故答案为4﹣4．点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质和旋转的性质．三、解答题19．（10分）（2015•上海）先化简，再求值：÷﹣，其中x=﹣1．考点：分式的化简求值．分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．解答：解：原式=•﹣=﹣=，当x=﹣1时，原式==﹣1．点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．20．（10分）（2015•上海）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．分析：先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．解答：解：∵解不等式①得：x＞﹣3，解不等式②得：x≤2，∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2，在数轴上表示不等式组的解集为：．点评：本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集，难度适中．21．（10分）（2015•上海）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=x的图象经过点A，点A的纵坐标为4，反比例函数y=的图象也经过点A，第一象限内的点B在这个反比例函数的图象上，过点B作BC∥x轴，交y轴于点C，且AC=AB．求：（1）这个反比例函数的解析式；（2）直线AB的表达式．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）根据正比例函数y=x的图象经过点A，点A的纵坐标为4，求出点A的坐标，根据反比例函数y=的图象经过点A，求出m的值；（2）根据点A的坐标和等腰三角形的性质求出点B的坐标，运用待定系数法求出直线AB的表达式．解答：解：∵正比例函数y=x的图象经过点A，点A的纵坐标为4，∴点A的坐标为（3，4），∵反比例函数y=的图象经过点A，∴m=12，∴反比例函数的解析式为：y=；（2）如图，连接AC、AB，作AD⊥BC于D，∵AC=AB，AD⊥BC，∴BC=2CD=6，∴点B的坐标为：（6，2），设直线AB的表达式为：y=kx+b，由题意得，，解得，，∴直线AB的表达式为：y=﹣x+6．点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和一次函数与反比例函数的解得的求法，注意数形结合的思想在解题中的应用．22．（10分）（2015•上海）如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN=30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音（XRS）的影响．（1）过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到1米）（参考数据：≈1.7）考点：解直角三角形的应用；勾股定理的应用．分析：（1）连接PA．在直角△PAH中利用勾股定理来求PH的长度；（2）由题意知，隔音板的长度是PQ的长度．通过解Rt△ADH、Rt△CDQ分别求得DH、DQ的长度，然后结合图形得到：PQ=PH+DQ﹣DH，把相关线段的长度代入求值即可．解答：解：（1）如图，连接PA．由题意知，AP=39m．在直角△APH中，PH===36（米）；（2）由题意知，隔音板的长度是PQ的长度．在Rt△ADH中，DH=AH•cot30°=15（米）．在Rt△CDQ中，DQ===78（米）．则PQ=PH+HQ=PH+DQ﹣DH=36+78﹣15≈114﹣15×1.7=88.5≈89（米）．答：高架道路旁安装的隔音板至少需要89米．点评：本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理的应用．根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．23．（12分）（2015•上海）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．（1）求证：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质．专题：证明题．分析：（1）由平行四边形的性质得到BO=BD，由等量代换推出OE=BD，根据平行四边形的判定即可得到结论；（2）根据等角的余角相等，得到∠CEO=∠CDE，推出△BDE∽△CDE，即可得到结论．解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=BD，∵OE=OB，∴OE=BD，∴∠BED=90°，∴DE⊥BE；（2）∵OE⊥CD∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，∴∠CEO=∠CDE，∵OB=OE，∴∠DBE=∠CDE，∵∠BED=∠BED，∴△BDE∽△CDE，∴，∴BD•CE=CD•DE．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟记定理是解题的关键．24．（12分）（2015•上海）已知在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=ax2﹣4与x轴的负半轴（XRS）相交于点A，与y轴相交于点B，AB=2，点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴交于点C，线段BP与x轴相交于点D，设点P的横坐标为m．（1）求这条抛物线的解析式；（2）用含m的代数式表示线段CO的长；（3）当tan∠ODC=时，求∠PAD的正弦值．考二次函数综合题．点：分析：（1）根据已知条件先求出OB的长，再根据勾股定理得出OA=2，求出点A的坐标，再把点A的坐标代入y=ax2﹣4，求出a的值，从而求出解析式；（2）根据点P的横坐标得出点P的坐标，过点P作PE⊥x轴于点E，得出OE=m，PE=m2﹣4，从而求出AE=2+m，再根据=，求出OC；（3）根据tan∠ODC=，得出=，求出OD和OC，再根据△ODB∽△EDP，得出=，求出OC，求出∠PAD=45°，从而求出∠PAD的正弦值．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2﹣4与y轴相交于点B，∴点B的坐标是（0，﹣4），∴OB=4，∵AB=2，∴OA==2，∴点A的坐标为（﹣2，0），把（﹣2，0）代入y=ax2﹣4得：0=4a﹣4，解得：a=1，则抛物线的解析式是：y=x2﹣4；（2）∵点P的横坐标为m，∴点P的坐标为（m，m2﹣4），过点P作PE⊥x轴于点E，∴OE=m，PE=m2﹣4，∴AE=2+m，∵=，∴=，∴CO=2m﹣4；（3）∵tan∠ODC=，∴=，∴OD=OC=×（2m﹣4）=，∵△ODB∽△EDP，∴=，∴=，∴m1=﹣1（舍去），m2=3，∴OC=2×3﹣4=2，∵OA=2，∴OA=OC，∴∠PAD=45°，∴sin∠PAD=sin45°=．点评：此题考查了二次函数的综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值，关键是根据题意作出辅助线，构造相似三角形．25．（14分）（2015•上海）已知，如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P，Q分别在线段OC，CD 上，且DQ=OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E，与弦CD相交于点F（点F与点C，D不重合），AB=20，cos∠AOC=，设OP=x，△CPF的面积为y．（1）求证：AP=OQ；（2）求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长．考点：圆的综合题．分析：（1）连接OD，证得△AOP≌△ODQ后即可证得AP=OQ；（2）作PH⊥OA，根据cos∠AOC=得到OH=PO=x，从而得到S△AOP=AO•PH=3x，利用△PFC∽△PAO得当对应边的比相等即可得到函数解析式；（3）分当∠POE=90°时、当∠OPE=90°时、当∠OEP=90°时三种情况讨论即可得到正确的结论．解答：解：（1）连接OD，在△AOP和△ODQ中，，∴△AOP≌△ODQ，∴AP=OQ；（2）作PH⊥OA，∵cos∠AOC=，∴OH=PO=x，∴S△AOP=AO•PH=3x，又∵△PFC∽△PAO，∴==（）2，整理得：y=（＜x＜10）；（3）当∠POE=90°时，CQ==，PO=DQ=CD﹣CQ=（舍）；当∠OPE=90°时，PO=AO•cos∠COA=8；当∠OEP=90°时，∠AOQ=∠DQO=∠APO，∴∠AOC=∠AEO，即∠OEP=∠COA，此种情况不存在，∴线段OP的长为8．点评：本题考查了圆的综合知识、相似三角形的判定及性质等知识，综合性较强，难度较大，特别是第三题的分类讨论更是本题的难点．。