高等量子力学-chapter6

各种不同单粒子函数的乘积
f ( x1 ) f ( xN )
1 N
构成 N 粒子态的完全集, 任意一个 N 粒子态 可以展开成
( x1 ,, xN ; t )
f1 ,, f N
c( f ,, f
1
N
, t ) f1 ( x1 ) f N ( xN )
全同粒子波函数具有对称性
f
波函数的归一化:
1 * ( x1 ,, x N ) ( x1 ,, x N )dx1 dx N
(n f ) 2 | ( , n , ) | f
可以把 看作是系统处于某一特定单粒子态 占据数分布状态的几率
| (, n f ,) |2
(二) 费米子 波函数是反对称的, 引入反对称化的函数乘积
c(, fi ,, f j ,; t ) c(, f j ,, fi ,; t )
(一) 玻色子
波函数是对称的, 引入对称化函数乘积
f f ( x1 ,, xN ) P f ( x1 ) f ( xN )
1 N
( P)
1
N
P 为对处于不同量子态的粒子置换
可以证明任意的对称波函数可写成 f1 f N 的线性组合
ˆ B
i , j , k ,l
ˆ | k, l b i, j | B
i
b j bl bk
引入所谓“量子化的波函数”
* ˆ ( x) bk k ( x) k
ˆ ( x) bkk ( x)
k
ˆ ( x), ˆ ( x)其实是Schrodinger场算符，则有
f f ( x1 ,, xN ) (1) P P f ( x1 ) f ( xN )
1 N
( P)
1
N
其中
(1)
P
1 1
P 为偶置换 P 为奇置换
这个函数可以表示成大家熟悉的行列式形式
f ( x1 ) f ( x1 )
1 2
f f ( x1 , , x N )
i
1 | (t ) [ i | T | j bi b j i, j | V | k , l bi b j bl bk ] t 2 n1 , n2 ,, n i , j i , j , k ,l
](n1 , n2 , , n , t ) | n1 , n2 , , n , t ˆ | (t ) H
1 1 2 2
n1 ,n
| n , n , , n
1 2

n1 , n2 ,, n | I
引入与时间无关的产生算符和消灭算符
[bk , bk ' ] kk ' [bk , bk ' ] [bk , bk '] 0
（玻色子对易关系）
这正是谐振子的产生和消灭算符的对易规则， 它具有性质：
N
| n1, n2 ,, n
即
( x1 , x2 , , x N , t )
(n f n f ( x1 , x2 , , x N )
其中 n ( x1, x2 ,, xN ) x1, x2 ,, xN | n1, n2 ,, n 即为前面讨论过的对称归一化基矢
ˆ i | T | j b b 1 i, j | V | k , l b b b b H i j i j l k 2 i , j , k ,l i, j
是占据数表象中的算符，它与产生算符和消灭 算符有关，即是哈密顿量的二次量子化形式
其中矩阵元
i | T | j i* ( x)T ( x) j ( x)dx i, j | V | k , l i* ( x1 ) * j ( x2 )V ( x1 , x2 )l ( x2 ) k ( x1 )dx 1dx2
函数组 n ( x1, xN ) 对不同的占据数组是 彼此正交的.
f
归一化后, 得到一组正交归一化对称函数系
n
( x1 ,, xN ) f
(n
f
f
!)
N!
n
f

( x1 ,, xN )
(n
f
f
!)
N!
P
( P)
f1
( x1 ) f N ( xN )
1 N
f ( xN ) f ( xN )
1 2


f ( x1 )
N
f ( xN )
N
• 函数 f ,, f 中有任意两个函数相同, 则反对称函数乘积恒等于0, 因此下标{ f1 ,, f N } 中没有二个是相同的. • 通过置换可使下标按从小到大排列 f1 f 2 f N
(, xi ,, x j ,, t ) (, x j ,, xi ,, t )
对称波函数(玻色子体系)

反对称波函数(费米子体系)
表示任意交换二个粒子坐标时, 波函数必须是 对称的, 或是反对称的.
由波函数的对称性要求给出: 展开系数自身 在交换相应量子数时, 也必须是对称或反对称的
bk bk | nk nk | nk
bk | nk
bk | nk
nk | nk 1 nk 1 | nk 1
| nk 是粒子数算符 bk bk
的本征态，本征值为 nk
nk (bk ) | nk |0 nk !
（
|0
为真空态）
推广到无穷多个所有量子态的情况
f
| (t )
i
满足的方程
| (t ) i (n1 , n2 ,, n , t ) | n1 , n2 ,, n t t n1 , n2 ,n
方程对时间的依赖关系都包含在系数 (n1, n2 ,, n , t )中 通过求出 (n1, n2 ,, n , t ) 所满足的方程，最终可以 得到Schrodinger方程的二次量子化形式
对称波函数可以按它们展开
( x1 , , x N )
(n f )
(, n
f
, ) n f ( x1 , , x N )
这就是二次量子化表象, 以占据数为自变量的 函数 (, n ,) 是二次量子化表象中的波函数.
f
存在关系式:
(, n f , ) c (, n f , ) c (, n f , ) c( f1 , , f N ) N! ( n f !)
它们构成反对称波函数空间的完备基 任意反对称波函数可展开为
( x1 , , x N )
(n f )
(, n
f
, ) n f ( x1 , , x N )
这是费米子系统的二次量子化表象, 展开系数 (n ) 就是二次量子化表象中的波函数
f
同样有:
(n f ) 2 | ( , n , ) | 1 f
1 N
记
f f ( x1,, xN ) n ( x1,, xN )
1 N f
对于不同的占据数组{n 是正交的
f
} 函数 n
f

( x1 ,, xN )
归一化后, 得到一组正交归一化函数基:
1 n f ( x1 ,, xN ) n f ( x1 ,, xN ) N!
| n1 , n2 , , n | n1 | n2 | n 1
n1 n2 n (b1 ) (b2 ) (b ) |0
( n !)
i i
既占据数表象中基矢 | n , n ,, n 粒子数本征态的直接乘积
1 2


是某个量子态
下面考虑态矢量的满足的Schrodinger方程，令
第六章 二次量子化理论
研究由全同粒子构成的相互作用多粒子体系, 二次量子化方法是一种有效的方法 1. 波函数的二次量子化表象
考虑系统由N个相互作用的全同粒子组成 动能
1 N H T ( xk ) V ( xk , xl ) 2 k l 1 k 1
N
相互作用能
含时Schrodinger方程
1 N
任意一个反对称波函数 ( x1 ,, xN )可以表示为
( x1 ,, xN )
f1 f N
c( f ,, f
1
f
N
) f1 f N ( x1 ,, xN )
( f1 f 2 f N )
用占据数组 {n
nf
}
来表示 f f
1
N
表示
f
量子态在 { f1 ,, f N } 中出现的次数
与玻色统计中的关系式完全相似
2. 二次量子化表象中的Schrodinger方程 （一）玻色子系统的二次量子化 引入与时间无关的态矢量
| n1n2 n
表示在量子态 1 上有 n1个粒子，在 2 有 n2 个 粒子，等等 要求这组基矢是完备的和正交归一化的，即
' ' ' n1 , n2 ,, n | n1 , n2 ,, n n' n n' n n' n
c( f1 ,, f N ; t ) ( x1 ,, xN ; t ) f1 f N ( x1 ,, xN ) ( f1 ,, f N ) 1
( P)
函数 f f ( x1, xN ) 的性质:
1 N
•它对下标
( f1 ,, f N )
的任意一个置换是对称的;
ˆ H
是普通的c 数
其它任意力学量都可以在占据数表象中表示成 算符形式 例如，坐标表象中， ˆ ˆ (x ) A 单体算符 A
N k 1 k
二体算符
ˆ B
ˆ (x B
k l
N
k
, xl )
表示为二次量子化形式：
ˆ ˆ | j b b A i | A i j
i, j
i ( x1 , , x N , t ) H ( x1 , , xN , t ) t
ˆ 引入单粒子力学量完全集 f的共同本征函数 f ( x)
满足正交归一化和完备性条件 * f ( x ) f ' ( x ) dx
* f f
ff '
( x) f ( x' ) ( x x' )
| (, n f ,) |2 表示某一单粒子态分布出现的几率
既然 n f
n
0,1
, 则 n f ! 1, 所以有
( x1 , , x N ) f
(n
f
f
!)
N!
(1)
(P)
P
P f1 ( x1 ) f N ( x N )
( f1 f 2 f N )
| (t )
n1 ,n2 ,,n
(n , n ,, n
1 2
1 2

, t ) | n1 , n2 ,, n
写在x表象中
x1, x2 ,, xN | (t )
n1 ,n2 ,,n
(n , n ,, n , t) x , x ,, x
1 2
1 N
记函数 f
f
1 f N
为：
1 N
n ( x1 ,, xN ) f f ( x1 ,, xN )
P f1 ( x1 ) f N ( xN )
( P)
占据数
nf
可取任意正整数
n f 0, 1 ,2,
但应满足一个条件:
n
f
f
N
( N 为总粒子数)
•可以用一组整数 (n1 , n2 ,, n f ,) 来标记它,
其中 n1 表示在 ( f1 ,, f N )中遇到量子态 1的次数; n2 表示 … 量子态2的次数; n f 表示 … 量子态f 的次数;
•这组数 (n1, n2 ,, n f ,) 称为状态占据数， 函数 f f ( x1,, xN ) 完全被这组占据数确定
由于
f1 , , f N各不相同,
所以
0 nf 1
n f 0,1
f { f1 , , f N } f { f1 , , f N }
即在费米统计情况下: 并且
n
f
f
N
每一个可能的占据数分布与函数 f f ( x1,, xN ) ( f1 f 2 f N ) 一一对应