(完整版)复变函数积分方法总结
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复变函数积分方法总结
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复变函数积分方法总结
数学本就灵活多变,各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势,同时也具有本来原函数的性质,也会有多类型的可积函数类型,也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数: z=x+iy i²=-1 ,x,y 分别称为z 的实部和虚部,记作x=Re(z),y=Im(z)。 arg z =θ₁ θ₁称为主值 -π<θ₁≤π ,Arg=argz+2k π 。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcos θ ,y=rsin θ,故z= rcos θ+i rsin θ;利用欧拉公式e i θ=cos θ+isin θ。z=re i θ。
1.定义法求积分:
定义:设函数w=f(z)定义在区域D 内,C 为区域D 内起点为A 终点为B 的一条光滑的有向曲线,把曲线C 任意分成n 个弧段,设分点为A=z 0 ,z 1,…,z k-1,z k ,…,z n =B ,在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…
n)上任取一点ξk 并作和式S n =∑f(ξk )n k−1(z k -z k-1)= ∑f(ξk )n k−1∆z k 记∆z k = z k - z k-1,弧段z k-1 z k 的长度 δ=max 1≤k≤n {∆S k }(k=1,2…,n),当 δ→0
时,不论对c 的分发即ξk 的取法如何,S n 有唯一的极限,则称该极限值为函数f(z)沿曲线C 的积分为:
∫f(z)dz c
=lim δ 0
∑f(ξk )n
k−1∆z k
设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f(z)dz c−.当C 为闭曲线时,f(z)的积分记作∮f(z)dz c
(C 圆周正方向为逆时针方向) 例题:计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。 (1) 解:当C 为闭合曲线时,∫dz c
=0.
∵f(z)=1 S n =∑f(ξk)n k−1(z k -z k-1)=b-a ∴lim n 0
Sn =b-a,即1)∫dz c
=b-a. (2)当C 为闭曲线时,∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续,则积分∫zdz c 存在,设ξk =z k-1,则
∑1= ∑Z n k−1(k −1)(z k -z k-1) 有可设ξk =z k ,则
∑2= ∑Z n k−1(k −1)(z k -z k-1)
因为S n 的极限存在,且应与∑1及∑2极限相等。所以
S n = (∑1+∑2)= ∑k−1n z k (z k
2−z k−12)=b 2-a 2
∴ ∫2zdz c
=b 2-a 2
1.2 定义衍生1:参数法:
f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy 带入∫f(z)dz c 得: ∫f(z)dz c = ∫udx c - vdy + i ∫vdx c + udy 再设z(t)=x(t)+iy(t) (α≤t ≤β)
∫f(z)dz c =∫f(z(t))z(t)́dt β
α
参数方程书写:z=z 0+(z 1-z 0)t (0≤t ≤1);z=z 0+re i θ,(0≤θ≤2π) 例题1: ∫z 2
dz 3+i 0
积分路线是原点到3+i 的直线段
解:参数方程 z=(3+i )t ∫z 2
dz 3+i 0
=∫[(3+i)t]2
[(3+i)t]′dt 1
=(3+i)3∫t 2
dt 1
=6+26
3
i
例题2: 沿曲线y=x 2计算∫(x 2+iy )dz 1+i
解: 参数方程 {x =t
y =t 2 或z=t+it 2 (0≤t ≤1)
∫(x 2
+iy )dz 1+i 0
=∫(t 2+it 2
)(1+2it)dt 1
=(1+i)[∫(t 2dt )dt 1
0 + 2i ∫t 3dt 1
] =-16+5
6
i
1.3定义衍生2 重要积分结果: z=z 0+ re i θ ,(0≤θ≤2π) 由参数法可得:
∮dz
(z−z 0)n+1c =∫
ire iθ
e i (n+1)θr n+12π0d θ=i r n ∫
e −inθ1+i 0
d θ ∮dz (z−z 0)
c
={
2πi n =0
0 n ≠0
例题1:∮dz z−2|z |=1 例题2:∮dz
z−1
|z |=1
解: =0 解 =2πi
2.柯西积分定理法:
2.1
柯西-古萨特定理:若f(z)dz 在单连通区域B 内解析,则
对B 内的任意一条封闭曲线有:
∮f(z)dz c
=0 2.2定理2:当f 为单连通B 内的解析函数是积分与路线无关,仅
由积分路线的起点z 0与终点z 1来确定。
2.3闭路复合定理:设函数f(z)在单连通区域D 内解析,C 与
C 1是
D 内两条正向简单闭曲线,C 1在C 的内部,且以复合闭路Γ=C+C 1
所围成的多连通区域G 全含于D 则有:
∮f(z)dz Γ=∮f(z)dz c +∮f(z)dz c
1
=0 即∮f(z)dz c =∮f(z)dz c
1
推论: ∮
f(z)dz c
=∑∮f(z)dz c
k
n k=1 例题:∮
2z−1z −z
dz c
C 为包含0和1的正向简单曲线。
解: 被积函数奇点z=0和z=1.在C 内互不相交,互不包含的正向曲线c 1和c 2。
∮2z−1z −z
dz c
=∮2z−1z (1−z)dz c1
+∮2z−1z (1−z)
dz c2
=∮1z−1+1
z
dz c1+∮1z−1
+1z
dz c2
=∮1z−1
dz c1
+∮1z
dz c1+∮1z−1
dz c2+∮1z
dz c2
=0+2πi+2πi+0
=4πi
2.4原函数法(牛顿-莱布尼茨公式):
定理2.2可知,解析函数在单连通域B 内沿简单曲线C 的积分只与起点z 0与终点z 1有关,即
∫f(ξ)c d ξ = ∫f(ξ)z1
z
d ξ 这里的z 1和z 0积分的上下限。当下限z 0固定,让上限z 1在B 内变动,则积分∫f(ξ)z1
z
d ξ在B
内确定