(完整版)复变函数积分方法总结

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复变函数积分方法总结

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复变函数积分方法总结

数学本就灵活多变,各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势,同时也具有本来原函数的性质,也会有多类型的可积函数类型,也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数: z=x+iy i²=-1 ,x,y 分别称为z 的实部和虚部,记作x=Re(z),y=Im(z)。 arg z =θ₁ θ₁称为主值 -π<θ₁≤π ,Arg=argz+2k π 。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcos θ ,y=rsin θ,故z= rcos θ+i rsin θ;利用欧拉公式e i θ=cos θ+isin θ。z=re i θ。

1.定义法求积分:

定义:设函数w=f(z)定义在区域D 内,C 为区域D 内起点为A 终点为B 的一条光滑的有向曲线,把曲线C 任意分成n 个弧段,设分点为A=z 0 ,z 1,…,z k-1,z k ,…,z n =B ,在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…

n)上任取一点ξk 并作和式S n =∑f(ξk )n k−1(z k -z k-1)= ∑f(ξk )n k−1∆z k 记∆z k = z k - z k-1,弧段z k-1 z k 的长度 δ=max 1≤k≤n {∆S k }(k=1,2…,n),当 δ→0

时,不论对c 的分发即ξk 的取法如何,S n 有唯一的极限,则称该极限值为函数f(z)沿曲线C 的积分为:

∫f(z)dz c

=lim δ 0

∑f(ξk )n

k−1∆z k

设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f(z)dz c−.当C 为闭曲线时,f(z)的积分记作∮f(z)dz c

(C 圆周正方向为逆时针方向) 例题:计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。 (1) 解:当C 为闭合曲线时,∫dz c

=0.

∵f(z)=1 S n =∑f(ξk)n k−1(z k -z k-1)=b-a ∴lim n 0

Sn =b-a,即1)∫dz c

=b-a. (2)当C 为闭曲线时,∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续,则积分∫zdz c 存在,设ξk =z k-1,则

∑1= ∑Z n k−1(k −1)(z k -z k-1) 有可设ξk =z k ,则

∑2= ∑Z n k−1(k −1)(z k -z k-1)

因为S n 的极限存在,且应与∑1及∑2极限相等。所以

S n = (∑1+∑2)= ∑k−1n z k (z k

2−z k−12)=b 2-a 2

∴ ∫2zdz c

=b 2-a 2

1.2 定义衍生1:参数法:

f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy 带入∫f(z)dz c 得: ∫f(z)dz c = ∫udx c - vdy + i ∫vdx c + udy 再设z(t)=x(t)+iy(t) (α≤t ≤β)

∫f(z)dz c =∫f(z(t))z(t)́dt β

α

参数方程书写:z=z 0+(z 1-z 0)t (0≤t ≤1);z=z 0+re i θ,(0≤θ≤2π) 例题1: ∫z 2

dz 3+i 0

积分路线是原点到3+i 的直线段

解:参数方程 z=(3+i )t ∫z 2

dz 3+i 0

=∫[(3+i)t]2

[(3+i)t]′dt 1

=(3+i)3∫t 2

dt 1

=6+26

3

i

例题2: 沿曲线y=x 2计算∫(x 2+iy )dz 1+i

解: 参数方程 {x =t

y =t 2 或z=t+it 2 (0≤t ≤1)

∫(x 2

+iy )dz 1+i 0

=∫(t 2+it 2

)(1+2it)dt 1

=(1+i)[∫(t 2dt )dt 1

0 + 2i ∫t 3dt 1

] =-16+5

6

i

1.3定义衍生2 重要积分结果: z=z 0+ re i θ ,(0≤θ≤2π) 由参数法可得:

∮dz

(z−z 0)n+1c =∫

ire iθ

e i (n+1)θr n+12π0d θ=i r n ∫

e −inθ1+i 0

d θ ∮dz (z−z 0)

c

={

2πi n =0

0 n ≠0

例题1:∮dz z−2|z |=1 例题2:∮dz

z−1

|z |=1

解: =0 解 =2πi

2.柯西积分定理法:

2.1

柯西-古萨特定理:若f(z)dz 在单连通区域B 内解析,则

对B 内的任意一条封闭曲线有:

∮f(z)dz c

=0 2.2定理2:当f 为单连通B 内的解析函数是积分与路线无关,仅

由积分路线的起点z 0与终点z 1来确定。

2.3闭路复合定理:设函数f(z)在单连通区域D 内解析,C 与

C 1是

D 内两条正向简单闭曲线,C 1在C 的内部,且以复合闭路Γ=C+C 1

所围成的多连通区域G 全含于D 则有:

∮f(z)dz Γ=∮f(z)dz c +∮f(z)dz c

1

=0 即∮f(z)dz c =∮f(z)dz c

1

推论: ∮

f(z)dz c

=∑∮f(z)dz c

k

n k=1 例题:∮

2z−1z −z

dz c

C 为包含0和1的正向简单曲线。

解: 被积函数奇点z=0和z=1.在C 内互不相交,互不包含的正向曲线c 1和c 2。

∮2z−1z −z

dz c

=∮2z−1z (1−z)dz c1

+∮2z−1z (1−z)

dz c2

=∮1z−1+1

z

dz c1+∮1z−1

+1z

dz c2

=∮1z−1

dz c1

+∮1z

dz c1+∮1z−1

dz c2+∮1z

dz c2

=0+2πi+2πi+0

=4πi

2.4原函数法(牛顿-莱布尼茨公式):

定理2.2可知,解析函数在单连通域B 内沿简单曲线C 的积分只与起点z 0与终点z 1有关,即

∫f(ξ)c d ξ = ∫f(ξ)z1

z

d ξ 这里的z 1和z 0积分的上下限。当下限z 0固定,让上限z 1在B 内变动,则积分∫f(ξ)z1

z

d ξ在B

内确定

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