(完整版)复变函数积分方法总结

复变函数积分方法总结[键入文档副标题]acer[选取日期]复变函数积分方法总结数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。

就复变函数： z=x+iy i²=-1 ，x,y 分别称为z 的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。

arg z =θ₁ θ₁称为主值 -π＜θ₁≤π ，Arg=argz+2k π 。

利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcos θ ，y=rsin θ,故z= rcos θ+i rsin θ；利用欧拉公式e i θ=cos θ+isin θ。

z=re i θ。

1.定义法求积分：定义：设函数w=f(z)定义在区域D 内，C 为区域D 内起点为A 终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C 任意分成n 个弧段，设分点为A=z 0 ，z 1，…，z k-1，z k ，…，z n =B ，在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)上任取一点ξk 并作和式S n =∑f(ξk )n k−1(z k -z k-1)= ∑f(ξk )n k−1∆z k 记∆z k = z k - z k-1，弧段z k-1 z k 的长度 δ=max 1≤k≤n {∆S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时，不论对c 的分发即ξk 的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C 的积分为：∫f(z)dz c=lim δ 0∑f(ξk )nk−1∆z k设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f(z)dz c−.当C 为闭曲线时，f(z)的积分记作∮f(z)dz c(C 圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。

（1） 解：当C 为闭合曲线时，∫dz c=0.∵f(z)=1 S n =∑f(ξk)n k−1(z k -z k-1)=b-a ∴lim n 0Sn =b-a,即1)∫dz c=b-a. (2)当C 为闭曲线时，∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续，则积分∫zdz c 存在，设ξk =z k-1,则∑1= ∑Z n k−1（k −1）(z k -z k-1) 有可设ξk =z k ，则∑2= ∑Z n k−1（k −1）(z k -z k-1)因为S n 的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。

所以S n = (∑1+∑2)= ∑k−1n z k (z k2−z k−12)=b 2-a 2∴ ∫2zdz c=b 2-a 21.2 定义衍生1：参数法：f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy 带入∫f(z)dz c 得： ∫f(z)dz c = ∫udx c - vdy + i ∫vdx c + udy 再设z(t)=x(t)+iy(t) (α≤t ≤β)∫f(z)dz c =∫f(z(t))z(t)́dt βα参数方程书写：z=z 0+(z 1-z 0)t （0≤t ≤1）；z=z 0+re i θ，(0≤θ≤2π) 例题1： ∫z 2dz 3+i 0积分路线是原点到3+i 的直线段解：参数方程 z=（3+i ）t ∫z 2dz 3+i 0=∫[(3+i)t]2[(3+i)t]′dt 1=(3+i)3∫t 2dt 1=6+263i例题2： 沿曲线y=x 2计算∫（x 2+iy ）dz 1+i解： 参数方程 {x =ty =t 2 或z=t+it 2 (0≤t ≤1)∫(x 2+iy )dz 1+i 0=∫（t 2+it 2）(1+2it)dt 1=(1+i)[∫(t 2dt )dt 10 + 2i ∫t 3dt 1] =-16+56i1.3定义衍生2 重要积分结果： z=z 0+ re i θ ，(0≤θ≤2π) 由参数法可得：∮dz(z−z 0)n+1c =∫ire iθe i （n+1）θr n+12π0d θ=i r n ∫e −inθ1+i 0d θ ∮dz (z−z 0)c={2πi n =00 n ≠0例题1：∮dz z−2|z |=1 例题2：∮dzz−1|z |=1解： =0 解 =2πi2.柯西积分定理法：2.1柯西-古萨特定理：若f(z)dz 在单连通区域B 内解析，则对B 内的任意一条封闭曲线有：∮f(z)dz c=0 2.2定理2：当f 为单连通B 内的解析函数是积分与路线无关，仅由积分路线的起点z 0与终点z 1来确定。

2.3闭路复合定理：设函数f(z)在单连通区域D 内解析，C 与C 1是D 内两条正向简单闭曲线，C 1在C 的内部，且以复合闭路Γ=C+C 1所围成的多连通区域G 全含于D 则有：∮f(z)dz Γ=∮f(z)dz c +∮f(z)dz c1=0 即∮f(z)dz c =∮f(z)dz c1推论： ∮f(z)dz c=∑∮f(z)dz ckn k=1 例题：∮2z−1z −zdz cC 为包含0和1的正向简单曲线。

解： 被积函数奇点z=0和z=1.在C 内互不相交，互不包含的正向曲线c 1和c 2。

∮2z−1z −zdz c=∮2z−1z (1−z)dz c1+∮2z−1z (1−z)dz c2=∮1z−1+1zdz c1+∮1z−1+1zdz c2=∮1z−1dz c1+∮1zdz c1+∮1z−1dz c2+∮1zdz c2=0+2πi+2πi+0=4πi2.4原函数法(牛顿-莱布尼茨公式)：定理2.2可知，解析函数在单连通域B 内沿简单曲线C 的积分只与起点z 0与终点z 1有关，即∫f(ξ)c d ξ = ∫f(ξ)z1zd ξ 这里的z 1和z 0积分的上下限。

当下限z 0固定，让上限z 1在B 内变动，则积分∫f(ξ)z1zd ξ在B内确定了一个单值函数F(z),即F(z)= ∫f(ξ)z1zd ξ 所以有 若f(z)在单连通区域B 内解析，则函数F(z)必为B 内的解析函数，且F(z) ́=f(z).根据定理2.2和2.4可得∫f(z)z 1zdz = F(z 1) - F(z 0). 例题：求∫zcosz 10dz 解： 函数zcosz 在全平面内解析∴∫zcosz 10dz =zsinz |0i -∫sinz 1dz = isin i+cosz |0i =isin i+cos i-1 =ie −1−12i+e −1+12i-1=e -1-1此方法计算复变函数的积分和计算微积分学中类似的方法，但是要注意复变适合此方法的条件。

2.5柯西积分公式法：设B 为以单连通区域，z 0位B 中一点，如f(z)在B 内解析，则函数f(z)z−z 0在z 0不解析，所以在B 内沿围绕z 0的闭曲线C 的积分∫f(z)z−z 0dz c一般不为零。

取z 0位中心，以δ>0为半径的正向圆周|z −z 0|=δ位积分曲线c δ，由于f(z)的连续性，所以∫f(z)z−z 0dz c=∫f(z)z−z 0dz cδ=2πif(z 0)2.5.1定理：若f(z)在区域D 内解析，C 为D 内任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D ，z 0为C 内的任一点，有：f(z 0)=12πi∮f(z)z−z 0dz例题：1）∮|z |=22）∮z (9−z 2)(z+i)dz |z |=2解：=2π isin z|z=0=0 解： =∮z9−z 2z−(−i)dz |z |=2=2πi z9−z2|z=-i=π52.6解析函数的高阶导数：解析函数的导数仍是解析函数，它的n阶导数为f(n)(z0)=n!2πi ∮f(z)(z−z0)n+1dz(n=1,2…)其中C为f(z)的解析区域D内围绕z0的任一条正向简单闭曲线，而它的内部全含于D.例题：∮e zz5dzcC:|Z|=1解：由高阶导数的柯西积分公式：原式=2πi∙14!(e z)(4)|z=π2=πi123.解析函数与调和函数：定义：（1）调和函数：如果二元实函数φ(x,y)在区域D内具有二阶连续函数，且满足拉普拉斯方程：∂2φ∂x2+∂2φ∂y2=0，则称φ(x,y)为区域D内的调和函数。

若f(z)=u+iv为解析函数，则u和v都是调和函数，反之不一定正确（2）共轭调和函数:u(x，y)为区域内给定的调和函数，我们把是u+iv在D内构成解析函数的调和函数v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和函数。

若v是u的共轭调和函数，则-u是v的共轭调和函数关系：任何在区域D内解析的函数，它的实部和虚部都是D内的调和函数；且虚部为实部的共轭调和函数。

3.1求解方法：（1）偏积分法：若已知实部u=u(x,y),利用C-R方程先求得v的偏导数∂u∂x=∂v ∂y，两边对y 积分得v=∫∂u ∂x dy +g(x).再由∂u ∂y =−∂v∂x又得∂∂x ∫∂v∂x dy +g(x)́=- ∂u ∂y 从而g(x)=∫[−∂u ∂y −∂∂x ∫∂u ∂xdy]dx + C v=∫∂u ∂xdy + ∫[−∂u ∂y−∂∂x∫∂u∂x dy]dx + C 同理可由v(x,y)求u(x,y).3.2不定积分法：因为f(z)́=U x +i V x = U x -iU y = V y +iV X 所以f(z)=∫U (z )dz +c f(z)=∫V (z )dz +c3.3线积分法：若已知实部u=u(x,y),利用C-R 方程可得的dv=∂v∂x dx+∂v ∂ydy=-∂u∂ydx+∫∂u∂xdy 故虚部为v=∫−∂u∂ydx +（x ，y ）（x0，y 0，）∂u ∂xdy +C该积分与路径无关，可自选路径，同理已知v(x,y)也可求u(x,y). 例题：设u=x 2-y 2+xy 为调和函数，试求其共轭函数v(x,y)级解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 解：利用C-R 条件∂u ∂x=2x+y∂u ∂y=-2y+x∂2u ∂x 2=2∂2u ∂y 2=-2所以满足拉普拉斯方程，有∂v ∂x=−∂u ∂y=2y-x∂v ∂y=∂u ∂x=2x+y所以v=∫(2y −x)dx +φ(y)=2xy- x 22+φ(y)∂v ∂y=2x+φ(y)́=2x+y φ(y)́=y φ(y)=y 22+c v(x,y)=2xy- x 22+y 22+cf(z)=u(x,y)+iv(x,y)=12(2-i)z 2+iC4.留数求积分：留数定义：设z 0为函数f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在去心邻域、 0<|z −z 0|<δ ,我们把f(z)在z 0处的洛朗展开式中负一次幂项系数c -1称为f(z)在z 0处的留数，记为Res[f(z),z 0]即Res[f(z),z 0]=c -1 或者Res[f(z),z 0]=12πi∮f (z )dz c C 为0<|z −z 0|<δ 4.1留数定理：设函数f(z)在区域D 内除有限个孤立奇点z 1z 2…z n,其中z k 表示函数f (z )的孤立奇点4.2孤立奇点：定义：如果函数f (z )在z 0不解析，但在z 0某个去心邻域0<|z −z 0|<δ内解析，则称z 0为f (z )的孤立奇点。