【公开课教案】《函数的最大值和最小值》教学设计

函数的最大值和最小值

三维目标：

⒈ 知识与技能：理解函数的最大值和最小值的概念，了解函数最值与极值的联系与区别，会用导数求在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大或最小；

⒉ 过程与方法：通过函数图像的直观，让学生发现函数极值与最值间的联关，掌握利用导数求函数最值的方法和步骤

⒊ 情感、态度与价值观：渗透数形结合的思想，体会导数在求函数最值中的优越性，优化学生的思维品质，

教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．

教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．

教学过程：

一、复习引入：

1.当函数f(x)在X0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:

①如果在x0附近的左侧 0)(/>x f 右侧 0)(/

是极大值;

②如果在x0附近的左侧0)(/x f ,那么,f(x0)

是极小值.

2.注意以下几点：

（1）极值是一个局部概念并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 （2即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个

（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f （4）函数的极值点

而使函数取得最大值、最小值的点可能

在区间的内部，也可能在区间的端点.

二、讲解新课：

1.函数的最大值和最小值

观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ．

一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．

说明：

⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数x

x f 1)(=

在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值；

⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．

⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．

(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可 ⒉利用导数求函数的最值步骤:

由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．

设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：

⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；

⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值

三、讲解范例：

例1:求函数f(x)=x 4-2x 2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值.

例2求函数f(x) =2

1x+sinx , x ∈[0, 2π]的最值。

练习:

1、求下列函数在指定区间内的最大值和最小值: []

4,2,71862)()1(23-∈---=x x x x x f

2、求函数x x x x f --++=4325)( 的值域

例3：已知a 为实数，

（Ⅰ）求导数 )(x f ' ；

（Ⅱ）若 ，求 在[-2，2]上的最大值和最小值； （Ⅲ）若 在（-∞，-2]和[2，+∞）上都是递增的，求a 的取值范围

练习： 设213a <<,函数323()(11)2

f x x ax b x =-+-≤≤的最大值为1,

最小值为2-,求常数a,b 五、小结：

⑴函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；

⑵函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；

⑶闭区间[]b a ,上的连续函数一定有最值；开区间),(b a 内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值.

六、板书设计：（略）

七、作业P33 2，3, 4

补充题：

设f (x )=ax 3－6ax 2+b 在区间［－1，2］上的最大值为3，最小值为－29，且a >b ,则( )

A.a =2,b =29

B.a =2,b =3

C.a =3,b =2

D.a =－2,b =－3

))(4()(2a x x x f --=0)1(=-'f )

(x f )(x f