拓扑空间、开集、闭集、闭包、聚点、邻域
第二章拓扑空间与连续映射一、教学目的与要求
第二章 拓扑空间与连续映射一、教学目的与要求本章是点集拓扑学的基础知识，在本章中建立了点集拓扑学许多最基本的概念，为学习点集拓扑学的核心内容打下基础。
本章应掌握的概念有：度量空间、开集、邻域、拓扑空间、映射在一点连续、连续映射、度量诱导的拓扑、可度量化空间、同胚、拓扑不变性质、邻域系、聚点、孤立点、闭集、闭包、内点、内部、边界点、边界、基、子基、邻域基、邻域子基、序列、序列的极限点、收敛、子序列。
学生还应该掌握：典型的拓扑和度量空间的例子、开集和邻域的性质、连续映射和同胚映射的性质、（集合的）内部的性质内部和边界和闭包之间关系、连续映射的等价条件（分别用开集、闭集、邻域来描述）、邻域系的性质和判定方法、基的判定法和子集族成为基（或子基）的条件、映射在一点连续的性质和判定法则、拓扑空间和度量空间中序列的性质。
二、教学重点与难点教学重点：拓扑空间和连续映射、导集、闭集、闭包、基与子基、拓扑空间中的序列。
教学难点：拓扑空间概念的建立、导集概念和基与子基概念的建立等。
三、课时安排与教学方法教学内容 （计划／实际）课时数课程类型／教学方法2.1,2.2 4/4 理论/讲授2.3,2.4 4/4 理论/讲授2.5,习题课 4/4 理论/讲授、讨论2.6,2.7 4/4 理论/讲授习题课 4/4 练习/讲授、讨论四、教学过程在这一章中我们首先将连续函数的定义域和值域的主要特征抽象出来用以定义度量空间, 将连续函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射. 然后将两者再度抽象, 给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射. 随后再逐步提出拓扑空间中的一些基本问题如邻域, 闭包, 内部, 边界, 基和子基, 序列等等.2.1度量空间与连续映射首先,我们从在数学分析中学过的连续函数出发, 抽象出度量和度量空间的概念.定义2.1.1 设是一个集合, X :X X R ρ×→.如果对于任何,,x y z X ∈,有(1) (正定性) (,)0,x y ρ≥并且(,)0x y ρ=当且仅当x y = ;(2) (对称性)(,)(,)x y y x ρρ=;(3) (三角不等式)(,)x z ρ≤(,)(,),x y y z ρρ+则称ρ是集合X 的一个度量.如果ρ是集合X 的一个度量,则称偶对(,)X ρ是一个度量空间或称,X 是一个对于度量ρ而言的度量空间.有时，或者度量ρ早有约定，或者在行文中已有交代,不提它不至于引起混淆，这时我们称X 是一个度量空间. 此外对于任意两点 ,,,x y ∈X 实数(,)x y ρ称为从点到点的距离.例2.1.1 实数空间 R .对于实数集合定义,R :R R Rρ×→如下：对于任意,,x y R ∈令(,).x y x y ρ−=容易验证ρ是的一个度量因此偶对R ,(,)R ρ是一个度量空间.这个度量空间特别地称为实数空间或直线.这里定义的度量,ρ称为的通常度量,并且常常略而不提，称为实数空间.R 例2.1.2维欧氏空间n .n R对于任意1212,,,,,,(),()nn n x x x x ,y y y y R ==∈……令(,)x y ρ=容易验证ρ是的一个度量,因此偶对nR (,)nRρ是一个度量空间.这个度量空间特别地成为维欧式空间.这里定义的度量n ,ρ称为的通常度量,并且称为维欧氏空间.nR nR n 例2.1.3Hilbert 空间H .记为平方收敛的所有实数序列的集合,即H2121,,,;{()}i i i x R i Z x H x x x ∞+=∈∈<∞==∑…定义:H H R ρ×→如下：对于任意1212,,,,(),()x x x y y y H ==……∈令(,)x y ρ=则偶对(,)H ρ是一个度量空间.这个空间特别地称为Hilbert 空间.例2.1.4 离散的度量空间.设(,)X ρ是一个度量空间.称(,)X ρ是离散的，或者称ρ是的一个离散度量，如果对于每一个X ,x X ∈存在一个实数0x δ>使得(,)xx y ρδ>对于任何,.y X y x ∈≠例如我们假定是一个集合,定义X:X X Rρ×→使得对于任何,,x y X ∈有(,)0,x y x y ρ==或(,)1,x y x y ρ=≠容易验证ρ是的一个离散的度量，因此度量空间是离散空间.X 定义2.1.2 设(,)X ρ是一个度量空间，.x X ∈对于任意给定的0,ε>集合(,){}x y y X ρε<∈记作(,),B x ε或，称为一个以()B x εx 为中心，以ε为半径的球形邻域，简称为x 的一个球形邻域，有时也称为x 的一个ε−邻域.定理2.1.1 度量空间(,)X ρ的球形邻域具有以下基本性质：(1)每一点x X ∈至少有一个球形邻域，并且点属于它的每一个球形邻域; x (2)对于点x X ∈的任意两个球形邻域，存在的一个球形邻域同时包含于两者;x (3) 如果y X ∈属于x X ∈的某一个球形邻域，则y 有一个球形邻域包含于的x那个球形邻域.定义2.1.3 设A 是度量空间的一个子集.如果X A 中的每一个点有一个球形邻域包含于A (即对于每一个存在实数,a A ∈0ε>使得(,)B a A ε⊂)，则称A 是度量空间中的一个开集.X 例2.1.5 实数空间中的开区间都是开集. R 定理2.1.2 度量空间中的开集具有以下性质：X (1) 集合本身和空集Φ都是开集; X (2) 任意两个开集的交是一个开集;(3) 任意一个开集族(即有开集构成的族)的并是一个开集。
关 于 拓 扑 空 间 的 定 义
”的八种定义，是彼此等价的 2. 主 要 定 理 ： “拓扑空间 拓扑空间”
）～（O3 ）的“开集拓扑空间”(X,T) 2．1 （1） （2） 适用公理（O1 O1） O3） 的邻域结构完全决定（X，T）自身
定义：设 X 是一个集合，T 是 X 的一个子集族，如果 T 满足如下条件： （O1）X， T；
1
上饶师范学院
优秀本科毕业论文
（O2）若 A，B T，则 A B T ； （O3）若 T1 T，则 UA∈T1A∈T. 则称 T 是 X 的一个开集拓扑。 定义：如果 T 是集合 X 的一个开集拓扑，则（X,T）称为开集拓扑空间,T 的每一个元 素都叫做开集拓扑空间（X,T）中的一个开集。 定义：设（X，T）是一个开集拓扑空间，x X，如果 U 是 X 的一个子集，满足条件 ： 存在一个开集 V T，使得 x V U，则称 U 是点 x 的一个 邻域 ，点 x 的所有 邻域构成的 X 的子集族称为点 x 的邻域系。 引理：开集拓扑空间 X 的一个子集 U 是开集的充分必要条件是 U 是它的每一点的邻 域,即只要 x U，U 便是 x 的一个邻域。 证明：定理中条件的必要性是明显的，以下证明充分性，如果 U 是空集 ，当然 U 是一个开集，下设 U≠ ，根据定理中的条件，对于每一个 x U 存在一个开 集 Ux 使得 x Ux U，因此 U= U x U{x} U x UUx U 故 U=U x UUx，根据开集拓扑的定义 U 是一个开集。 定理： （ X,T）是一个开集拓扑空间，记 ux 为点 x X 的邻域系，则 （U1）对于任何 x X，ux≠ ；并且如果 U ux，则 x U； （U2）如果 U，V ux，则 U V ux； （U3）如果 U ux，并且 U V，则 V ux； （ U4 ） 如果 U ux ，则存在 V ux ，满足条件： （i ） V U 和（ ii ）对于任何 y V，有 V uy. 证明：证（U1）:对于任何 x X，由于 X 是一个开集，所以显然 X ux，因此 ux≠ ， 此外根据邻域的定义，一个点的邻域必包含这个点本身。 证（U2）:设 U,V ux，则存在开集 U0 和 V0 使得 x U0 U 和 x V0 V 成 立 ， 从而我们有 x U0 V0 U V，由于 U0 V0 是一个开集，故 U V ux. 证（ U3 ） : 设 U ux ，并且有 U V，则存在开集 U0 使得 x U0 U，从而有 x U0 V，因此 V ux. 证（U4）:设 U ux，则存在 V 满足条件 x V U 的一个开集， V 已经满足条 件（i） ，根据引理，它也满足条件（ii）. 定理：如果{ux| x X}适合(U1) ~(U4),则在 X 上存在唯一的开集拓扑空间（X，T）,使 （X，T）在每一点 x X 的邻域系恰是 ux.
数学中的拓扑学分支
数学中的拓扑学分支数学是一门广泛而深奥的学科，涵盖了许多分支和领域。
其中，拓扑学作为数学的一个重要分支，主要研究集合和空间的性质及其之间的映射关系。
在本文中，我们将深入探讨数学中拓扑学的几个分支，包括点集拓扑学、代数拓扑学和微分拓扑学。
一、点集拓扑学点集拓扑学是拓扑学的最基础、最基本的分支，它研究的是点集及其子集的性质。
在点集拓扑学中，我们关注的是集合中的点及其之间的关系，而不考虑度量和距离。
通过引入开集、闭集、连通性等概念，点集拓扑学研究了集合的性质，如连通性、紧致性、分离性等。
例如，欧几里得空间中的开集是指任意一点存在一个足够小的邻域，使得该邻域中的所有点仍然属于该集合。
闭集则是指集合包含了所有其极限点。
通过对开集和闭集的研究，我们可以推导出许多重要的性质，如集合的交、并、差运算、闭包、内部等。
二、代数拓扑学代数拓扑学是拓扑学中的另一个重要分支，它结合了拓扑学和代数学的方法和思想，研究了在拓扑空间上定义的代数结构。
代数拓扑学的研究内容主要包括群论、环论、域论等代数结构与拓扑空间之间的关系。
代数拓扑学的一个重要应用是同伦论，它是研究拓扑空间中连续变形的方法。
同伦论通过引入同伦等价的概念，研究了拓扑空间之间的变形和形状不变性。
例如，同伦论可以用来研究环面和球面是否同胚，即它们是否具有相同的形状。
三、微分拓扑学微分拓扑学是拓扑学中应用最广泛的分支之一，它结合了微积分和拓扑学的知识，研究了光滑流形和向量场等对象的性质。
微分拓扑学主要关注的是流形及其上的微分结构和微分同胚。
光滑流形是一个具有光滑结构的拓扑空间，它可以用来描述现实世界中的各种物理现象。
微分拓扑学通过引入切空间、切丛和微分同胚等概念，研究了流形的性质，如维度、切空间的结构、流形的切向量场等。
微分拓扑学的一个重要结果是斯托克斯定理，它建立了微分形式在流形上的积分与边界的关系，是微分几何和微分拓扑学的基础。
总结起来，数学中的拓扑学分支涵盖了点集拓扑学、代数拓扑学和微分拓扑学三个重要方向。
第一章、拓扑学基础
第一章、拓扑学基础1.1拓扑空间概念拓扑空间是一个二元组(S, O)，这里S是给定集合，O是由S的一些子集构成的集类，其元素称为开集，并满足如下开集公理：T1 ∅, S∈O（即，∅, S是开集）；T2 若U1，U2∈O，则U1⋂U2∈O（即，O对有限交封闭）；T3 开集的任意并集还是开集（即，O对任意并封闭）。
註记满足上述开集公理的O，也称为集合S上的拓扑，（S, O）为相应的拓扑空间，也记为S。
例子实数集合ℝ上的标准拓扑：开集定义为若干个开区间的并集。
不难验证：这里定义的开集满足开集公理。
只需说明：两个开区间的交集为空集或开区间。
例子离散拓扑与平凡拓扑对给定的集合S，定义下列两个拓扑：(S,O1): O1由S的所有子集构成，它是S上的拓扑（最大拓扑）。
(S,O2): O2={∅，S}，它是S上的拓扑（最小拓扑）。
练习给出实数集合ℝ上三种不同的拓扑空间结构。
练习设S是一个集合，O由∅，S及S的某个固定子集A的所有子集构成。
验证O是S上的拓扑。
从而，(S，O)是一个拓扑空间。
概念设(S, O)是拓扑空间，称A⊂S是闭集，如果S\A是开集。
拓扑空间S的所有闭集构成集合，记为C。
命题拓扑空间S中的闭集满足闭集公理C1 ∅, S∈C；C2 若A1，A2∈C，则A1⋃A2∈C（即，C对有限并封闭）；C3 闭集的任意交集还是闭集（即，C对任意交封闭）。
证明：利用下列等式可证。
S\(A1⋃A2)=(S\A1)⋂(S\A2)，S\(B ii。
i)=(S\B i)註记开集公理与闭集公理是等价的：若S中的某些子集指定为闭集，并满足闭集公理。
则S是拓扑空间，其开集由闭集的余集所构成。
概念对拓扑空间S，点u∈S的开邻域是指包含u的开集U；子集A⊂S的开邻域是指包含A的开子集；一个点（或子集）的邻域是一个子集，它包含该点（或该子集）的一个开邻域。
例子对拓扑空间ℝ，U=(-1，1)是0的开邻域；W=[-1，1]是0的邻域。
拓扑空间、开集、闭集、闭包、聚点、邻域
第一章拓扑空间与拓扑不变量数学分析中的连续函数的定义与和值域都是欧氏空间（直线、平面或空间）或是其中的一部分。
本章将首先把连续函数的定义域和值域的主要特征抽象出来用以定义度量空间，将连续函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间的连续映射。
然后将两者再度抽象，给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射。
随后逐步提出拓扑空间的一些基本问题如邻域、开集、闭集、闭包、聚点、导集、内部、边界、序列、极限等。
进一步引入紧致性、连通性、可数性与分离性等重要的拓扑不变性§1.1拓扑空间、开集、闭集、聚点、闭包、邻域一、问题的引入数学分析里我们知道，在连续函数的定义中只涉及距离这个概念，定义域是一维欧氏空间,即实数空间，两点之间的距离d(x,y)=|x-y|,即两两实数之差的绝对值,定义域是n维欧氏空间，两点x=(x1 ,x2,…，x n),Y=(y1,y2,…，y n) 之间的距离。
无论是几维空间，它的距离都有下面的性质：1. d(x,y)≥0 , ∀x,y∈n R;2. d(x,y) = 0 ⇔x = y ;3. d(x,y) = d(y,x) ∀x,y∈n R;4. d(x,z) ≤d(x,y) + d(y,z) ,∀x,y,z∈n R;这些性质反映了距离的特征。
将n R推广为一般的集合，我们由距离可以抽象出度量以及度量空间的定义。
（一）度量空间1.定义定义1 设X是一个集合，ρ：X×X→R ,如果对于任何x,y,z∈X,有①（正定性）ρ（x,y）≥0 并且ρ(x,y) = 0 ⇔x = y ；②（对称性）ρ(x,y) = ρ(y,x) ；③（三角不等式）ρ(x,z) ≤ρ(x,y) + ρ (y,z)则称ρ是集合X中的一个度量。
如果ρ是集合X中的一个度量，则称偶对（X，ρ）是一个度量空间，或径称X 是一个度量空间。
而ρ（x,y ）称为从点X 到点Y 的距离。
2. 度量空间举例例2.1.1 实数空间R对实数集合，定义ρ：R×R →R 如下：∀x,y ∈R ，令ρ（x,y ）=|x-y| ,易知ρ是R 的一个度量。
考研拓扑知识点详解
考研拓扑知识点详解拓扑学是现代数学的一个重要分支，它研究的是空间中的性质，不依赖于度量、坐标系以及连续性的概念。
在考研数学中，拓扑学也是一个重要的知识点，涉及到许多基本概念和定理。
本文将对考研拓扑知识点进行详细解析，帮助考生深入理解和掌握这些知识。
一、拓扑空间与拓扑结构拓扑学研究的对象是拓扑空间，它是一个集合和在该集合上定义的一个拓扑结构的组合。
拓扑结构包括开集合和闭集合两个重要概念。
开集合是指拓扑空间中的一个子集，满足以下三个条件：首先，空集和整个拓扑空间本身都是开集合；其次，开集合的有限交集仍然是开集合；最后，开集合的任意并集仍然是开集合。
闭集合是指拓扑空间中的一个子集，满足以下三个条件：首先，空集和整个拓扑空间本身都是闭集合；其次，闭集合的有限并集仍然是闭集合；最后，闭集合的任意交集仍然是闭集合。
拓扑学中的一个基本定理是：一个集合与它的闭包唯一确定一个拓扑空间。
二、连续映射与同胚在拓扑学中，映射是指把一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
连续映射是指在两个拓扑空间之间的映射，满足以下条件：对于任意一个开集合，在映射之前和之后，它们的原像都是开集合。
同胚是指两个拓扑空间之间的一种映射关系，满足以下条件：首先，这个映射是双射的；其次，它是连续映射；最后，它的逆映射也是连续映射。
三、拓扑空间的性质拓扑空间具有许多性质，其中一些重要的性质如下：1. 连通性：一个拓扑空间是连通的，如果它不能表示为两个非空的、不相交的开集合的并。
连通性是拓扑空间的重要性质，可以帮助我们了解空间的整体性质。
2. 紧致性：一个拓扑空间是紧致的，如果它的任何一个开覆盖都有有限的子覆盖。
紧致性是拓扑空间的重要性质，它能够保证一些重要的定理成立。
3. 完备性：一个拓扑空间是完备的，如果它的任何柯西序列都收敛于该空间中的某个点。
完备性是拓扑空间的重要性质，它能够保证一些重要的定理成立。
四、拓扑基与拓扑生成拓扑基是指一个拓扑空间中的一个子集合，满足以下条件：首先，它可以表示拓扑空间的任意开集为它包含的基本开集的并集；其次，任意两个基本开集的交集都可以用其他基本开集表示。
拓扑学课件
显然，对于集合X来讲，粘合扑拓T ={X, }是X 上最粗的拓扑，离散拓扑T =P (X)是X上最细的拓扑.
当然，同集合上不可比较的拓扑是存在的，例如
X {a,b, c},T1 {{a},{a,b}, X ,} ,T2 {{b},{b, c}, X , }，那么 T1与 T2 就是X的两个不可比较的拓扑.
为一个离散空间,在离散空间中, X的每一个子集都
是开集.
例2.1.3 设X是一个三元素集合, X {a,b,c},我
们 X上可以构造不同的拓扑,下面我们介绍其中一些
拓扑.
T1 {, X}
T2 {{a},{a,b}, X ,}
T3 {{b},{a,b},{b,c}, X ,} T4 {{b}, X ,}
扑结构.但是,并不是X的每个子集族 都是X的拓扑.
例如，下面的两个X的子集族就不是X的拓扑.
A1={{a},{b},X, } A2={{a,b},{b,c},X, }
A 1不满足定义2.1.1条件(3), A 2不满足定义2.1.1条件(2) 例2.1.4 有限补拓扑时，在求补集运算时我们并不每次
扑空间X中的开集，因此拓扑空间X的定义可以理 解为：一个集合X的拓扑是X的一个开集族满足条件：
(1) X , 是开集
(2) 任意两个开集的交集是开集 (3) 任何开集族的并是开集.
T P (X ) 是X的拓扑的条件可以叙述为:
(1) X的任意有限开集族的交是开集.
(2) X的任意开集族的并是开集.
习 题 §2.1
1. 验证例2.1.5中集族Tc是X上的拓扑.
2. 对每一个正整数 n Z ，令 An {m Z | m n}，证明 T {An | n Z} {}是正整数集Z+的一个拓扑.
拓扑学的基本概念与拓扑空间
拓扑学的基本概念与拓扑空间拓扑学是数学的一个分支，研究的对象是空间的性质与结构，而不关注其度量或形状。
拓扑学的基本概念包括拓扑空间、连续映射、开集、闭集等，它们构成了拓扑学的基础。
一、拓扑空间的定义与基本性质拓扑空间是拓扑学中最基本的概念之一。
一个集合X，若其满足以下三个条件，则称X是一个拓扑空间：1. X本身与空集∅是开集；2. 任意多个开集的交集仍是开集；3. 有限多个开集的并集仍是开集。
在拓扑空间中，我们可以定义许多重要的概念和性质。
例如，连续映射是拓扑空间之间的一种映射，它在保持点与点之间的接近程度方面具有重要作用。
连续映射的定义是：若拓扑空间X和Y上的一个映射f满足对于任意开集V，其原像f^(-1)(V)是X上的开集，则称f是一个连续映射。
二、开集与闭集在拓扑学中，开集和闭集是两个基本的概念。
开集是指拓扑空间中的一个子集，满足其包含的每个点都是该空间中的一个内点。
闭集是指拓扑空间中的一个子集，满足其包含了该空间中的所有边界点。
开集和闭集具有一些基本的性质：1. 空集∅和整个拓扑空间X既是开集又是闭集；2. 有限个开集的并集是开集，有限个闭集的交集是闭集；3. 任意多个开集的交集是开集，任意多个闭集的并集是闭集。
三、拓扑基与拓扑生成拓扑基和拓扑生成是拓扑学中用于描述拓扑空间性质的重要工具。
拓扑基是指拓扑空间中的一个子集合，满足以下两个条件：1. 拓扑基中的每个元素都是开集；2. 对于任意开集U和任意元素x∈U，存在一个拓扑基中的元素B，使得x∈B且B⊆U。
通过拓扑基，我们可以用更简洁的方式描述拓扑空间中的开集。
拓扑基的定义有助于我们研究拓扑空间的性质和结构。
拓扑生成是指通过给定的拓扑生成集合，来定义拓扑空间中的开集。
拓扑生成集合是一个集合，满足以下两个条件：1. 拓扑生成集合中的每个元素都是开集；2. 对于任意开集U，其包含的点都属于拓扑生成集合中的某个元素。
拓扑基和拓扑生成的引入，使得我们可以根据拓扑空间的结构特点和需要，选择不同的刻画方式，方便地研究和构造拓扑空间。
拓扑学第2章拓扑空间连续映射
第二章 拓扑空间与连续映射本章是点集拓扑学基础中之基础, 从度量空间及其连续映射导入一般拓扑学中最基本的两个概念: 拓扑空间、连续映射, 分析了拓扑空间中的开集、邻域、聚点、闭集、闭包、内部、边界、基与子基的性质，各几种不同的角度生成拓扑空间，及刻画拓扑空间上的连续性.教材中先介绍度量空间概念，由于刚刚结束泛函分析课程，所以此节不讲，而补充如下内容。
§ 2-1 数学分析中对连续性的刻画由于映射的连续性是刻画拓扑变换的重要概念，所以，我们先回顾一下数学分析中函数的连续性是如何刻画的。
设11:f E E →是一个函数，10x E ∈，则f 在0x 处连续的定义有如下几种描述方法：（1）序列语言若序列1,2,{}n n x = 收敛于0x ，则序列1,2,{()}n n f x = 收敛于0()f x ；（2）εδ-语言对于0ε∀>，总可以找到0δ>，使当0x x δ-<时，有0()()f x f x ε-<（3）邻域语言若V 是包含0()f x 的邻域（开集），则存在包含0x 的邻域U ，使得()f U V ⊂。
解释：（1）和（2）中用到距离的概念，可用于度量空间映射连续性的描述； 对于没有度量的场合，可以用（3）来描述；所谓拓扑空间就是具有邻域（开集）结构的空间。
§ 2-2 拓扑空间的定义一、 拓扑的定义注：这是关于拓扑结构性的定义定义1 设X 是一非空集，X 的一个子集族2Xτ⊆称为X 的一个拓扑，若它满足（1）,X τ∅∈；（2）τ中任意多个元素（即X 的子集）的并仍属于τ；(3) τ中有限多个元素的交仍属于τ。
集合X 和它的一个拓扑τ一起称为一个拓扑空间，记(,)X τ。
τ中的元素称为这个拓扑空间的一个开集。
下面我们解释三个问题：(1)拓扑公理定义的理由； (2) 为什么τ中的元素称为开集；(3) 开集定义的完备性。
● 先解释拓扑定义的理由:① 从εδ-语言看：0x x δ-<和0()()f x f x ε-<分别为1E 上的开区间；② 从邻域语言看：,U V 是邻域，而()f U 是0()f x 的邻域，连续的条件是()f U V ⊂，即一个邻域包含了另一个邻域，也就是说，0()f x 是V 的内点，有内点构成的集合为开集。
通常拓扑定义
通常拓扑定义通常拓扑定义一、引言拓扑学是数学中的一个分支，研究空间和其变形的性质。
在拓扑学中，我们不考虑空间的度量和距离，而是关注空间内点之间的相对位置关系。
因此，拓扑学被称为“几何无度量”。
在数学、物理、化学、计算机科学等领域中，拓扑学都有着广泛的应用。
例如，在物理领域中，拓扑相变被广泛研究；在计算机科学领域中，拓扑数据分析被用于处理大数据。
本文将详细介绍通常拓扑定义。
二、基本概念1.集合在数学中，集合是由一些确定的对象组成的整体。
这些对象可以是数字、字母或其他任何事物。
2.点集点集是由一些确定的点组成的整体。
这些点可以是二维平面上的点或三维空间中的点。
3.邻域邻域指一个包含某个点及其周围所有点的开集。
4.开集开集指一个包含其内部所有点的集合。
5.闭集闭集指一个包含其边界及内部所有点的集合。
6.连通集连通集指一个不可分割的集合，即无法将其分为两个非空且互不相交的开集。
路径指一个从起点到终点的连续曲线。
8.同胚同胚是指两个拓扑空间之间存在一个连续双射，其逆映射也是连续的。
9.拓扑空间拓扑空间指一个集合及其上的一组拓扑结构，这组结构定义了该集合中点之间的相对位置关系。
三、拓扑定义1.开集定义给定一个拓扑空间X，称X中的子集U为开集，如果对于任意x∈U，都存在一个邻域V使得V⊆U。
2.闭集定义给定一个拓扑空间X，称X中的子集A为闭集，如果它的补集X-A是3.邻域基定义给定一个拓扑空间X和x∈X，称包含x的所有开球为x的邻域基。
4.极限点定义给定一个拓扑空间X和A⊆X，称x∈X是A的极限点，如果对于任意x所在的邻域V都有V∩(A-{x})≠Ø。
5.内部、外部、边界定义给定一个拓扑空间X和A⊆X，称x∈A的内部，如果存在一个开集U⊆A使得x∈U⊆A；称x∈A的外部，如果存在一个开集U不与A相交且x∈U；称x∈A的边界，如果对于任意x所在的邻域V都有V∩(A-{x})≠Ø且V∩(X-A-{x})≠Ø。
拓扑空间
拓扑空间是一个集合 和其上定义的拓扑结构“τ”组成的二元组。其中“τ”包括开集，闭集，邻域，开 核，闭包五个概念。“τ”可以用从这五个概念任一出发作出等价定义。最常见的定义是从开集开始。
的元素 通常称为拓扑空间
的点。
开集公理
的子集族 称为开集系（其中的元素称为开集），当且仅当其满足如下开集公理：
聚点，导集
X 中的点 x 称为 A 的聚点，当且仅当
（或者等价地，x 的任意邻域至少包含 x 以外的
A 的一个点）。A 的所有聚点组成的集合称为 A 的导集。
孤立点
A 中的点 x 称为 A 的孤立点，当且仅当它不是 A 的聚点。
孤点集，离散集
称 A 为孤点集或离散集，当且仅当 A 中所有的点都是 A 的孤立点。
O1：
，
。
O2：若 O3：若
闭集公理
（ ，则
），则
（对任意并运算封闭）。 。（对有限交运算封闭）。
的子集族 称为闭集系（其中的元素称为闭集），当且仅当其满足如下闭集公理：
C1：
，
。
C2：若 C3：若
（ ，则
），则
（显然，闭集是开集的对偶概念）。
邻域公理
（对任意交运算封闭）。 。（对有限并运算封闭）。
FO（从闭集定义开集）： 的子集 是开集，当且仅当
是闭集。
FA（从闭集定义闭包）： 的子集 的闭包 等于包含 A 的所有闭集之交。
AF（从闭包定义闭集）： 的子集 是闭集，当且仅当
。
AI（从闭包定义开核）： 的子集 的开核
。
IA（从开核定义闭包）： 的子集 的闭包
。
AU（从闭包定义邻域）： 的子集 是点 的邻域，当且仅当
详细分析拓扑空间的结构和性质
详细分析拓扑空间的结构和性质拓扑学是一门研究空间和它们之间的关系的学科，而拓扑空间则是这门学科的核心概念。
在拓扑学中，空间的性质不取决于空间自身的度量或距离，而是取决于其形状、连通性、能否被分割等其他特征。
相较于度量空间中的距离函数，拓扑空间中更关注空间内点的位置关系，从而形成了一套独特的结构和性质。
拓扑空间是由拓扑结构定义的。
拓扑结构包括空间中的开集和开集的运算规则，具体来说，对于任意拓扑空间X，其满足以下条件的子集A被称为开集：1.空集和X自身是开集；2.任意数量个开集的交集是开集；3.有限数量个开集的并集是开集。
基于开集的定义，我们可以推导出其他的拓扑结构，如闭集、紧集、连通集等等。
在拓扑空间中，最为基础的两个概念是邻域和极限点。
邻域指的是某个点的一个开集，包含这个点本身；极限点则指的是一个点的任意邻域中都包含有这个点以外的其他点。
这两个概念的重要性在于它们为我们提供了描述散布在空间内的点的方法。
邻域和极限点的定义很自然地引出了序列和极限的概念，即对于一个序列{Xn}，如果它的极限点存在，那么这个极限点就是这个序列的极限。
在拓扑空间中，一个很基础的问题是关于拓扑空间之间是否有同构的问题。
也就是说，如果两个拓扑空间具有相同的拓扑结构，那么它们就是同构的。
为了判断两个拓扑空间是否同构，我们可以依靠这个空间内的一些特征来进行比较。
其中一个特征是连通性。
对于某个拓扑空间X，如果它不能被表示成两个非空开集的不交并集，那么X就是连通的。
在拓扑空间中，连通性主要体现在其所涉及点的位置关系和连通性，因此我们可以通过研究序列以及极限点之间的关系来研究拓扑空间的连通性。
除了连通性之外，另一个重要的拓扑性质是紧性。
一个拓扑空间X被称为紧的，当且仅当X的每个开覆盖都有有限子覆盖。
这个定义可以看作连通性更进一步的推广，进一步关注了整个空间的特性。
在拓扑空间中，紧性是一个十分重要的性质，因为大多数时候通过紧性，我们可以在研究一个拓扑空间时减少样本空间的数量。
拓扑空间
2. 拓扑基与子 基
2.1. 拓扑基 2.2. 拓扑子基 2.3. 可数公理
3. 闭包、内部 和边界 4. 本章练习题
第二章拓扑空间第一节拓扑空间的概念
1. 拓扑空间的 概念
1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5.
拓扑 拓扑 闭集族 邻域系 度量空间 由度量诱导的
Example （余 有限拓扑 ）设 X 是集 合，T = {A|X \A为 有限 集} ∪ {∅}，则T 为X 的 拓扑， 叫余有 限拓扑 ．当X 为有限 集 时，余有限拓扑即为离散拓扑；装备了余有限拓扑的集合 叫余有限拓扑空间． Examples （余 可数拓扑 ）设 X 是集 合，T = {A|X \A为 可数 集} ∪ {∅}，则T 为X 的 拓扑， 叫余可 数拓扑 ．当X 为可数 集 时，余可数拓扑即为离散拓扑．装备了余可数拓扑的集合 叫余可数拓扑空间．
A∈A
A∈T，
3. 闭包、内部 和边界 4. 本章练习题
则称T 为X 上的一个拓扑，而T 的成员叫X 的开集．装备了 拓扑 T 的集 合X 叫 拓扑空 间，记 为(X , T )，有 时也简 记 为X ．
第二章拓扑空间第一节拓扑空间的概念
Example
1. 拓扑空间的 概念
1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5.
2. 拓扑基与子 基
2.1. 拓扑基 2.2. 拓扑子基 2.3. 可数公理
3. 闭包、内部 和边界 4. 本章练习题
第二章拓扑空间 第一节拓扑空间的概念
Definition
1. 拓扑空间的 概念
1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5.
拓扑 拓扑 闭集族 邻域系 度量空间 由度量诱导的
2. 拓扑基与子 基
拓扑学基础
拓扑学基础拓扑学，作为数学的一个分支，主要研究空间中点与点之间的相对位置关系。
它不关心距离和角度的具体数值，而是关注空间的内在性质，例如连通性、紧致性等。
拓扑学在许多科学领域都有广泛的应用，如物理学、生物学、计算机科学等。
拓扑空间的基本概念开集与闭集在拓扑空间中，开集是构建空间结构的基础。
一个集合被称为开集，如果对集合内的任意一点，都存在一个半径足够小的邻域，该邻域完全包含于集合内。
闭集则是开集的补集，在某种意义上，闭集可以视为“不开”的集合。
连续映射拓扑学中的连续映射保持了空间中点的邻近关系。
具体来说，如果两个拓扑空间之间存在一个映射，且该映射将一个空间中的开集映射到另一个空间中的开集，那么这个映射就被称为连续映射。
拓扑性质的探讨连通性连通性是拓扑空间的一个重要属性。
一个空间被称为连通的，如果不能被分成两个或多个非空、互不相交的开集。
直观上，连通空间中的任何两点都可以通过空间内的路径相连。
紧致性紧致性关注的是空间的一种“有界性”。
在拓扑学中，一个空间被称为紧致的，如果它的每个开覆盖都有一个有限的子覆盖。
这意味着无论我们用多少开集来“覆盖”这个空间，总能找到有限的几个开集来实现同样的覆盖效果。
拓扑学的应用举例在物理学中的应用拓扑学在量子力学和相对论中扮演着重要角色。
例如，拓扑绝缘体是一种特殊物质状态，它的电子态具有非平凡的拓扑性质，导致其表面存在无法被局部扰动破坏的导电通道。
在生物学中的应用拓扑学也被用于研究生物分子的结构，特别是在DNA超螺旋结构的研究中。
通过分析DNA双螺旋的拓扑性质，科学家能更好地理解遗传信息的复制和表达过程。
拓扑学以其独特的视角，为我们提供了理解和探索世界的新工具。
虽然它的概念可能初看起来抽象难懂，但通过不断的学习和实践，我们可以逐渐揭开它神秘的面纱，发现其背后的美妙和深刻。
拓扑学中的基本概念
拓扑学是数学的一个分支，研究的是空间和其中对象的性质，其中涉及了许多基本概念。
了解和理解这些基本概念对于学习和应用拓扑学至关重要。
本文将介绍一些拓扑学中的基本概念。
拓扑空间是拓扑学中的一个核心概念，它为我们研究和描述空间提供了基本的工具。
一个拓扑空间由一个集合和集合中的一些子集构成，并且满足一些特定的性质。
这些子集被称为开集，它们满足以下三个条件：（1）空集和整个集合是开集；（2）有限个开集的并集是开集；（3）任意多个开集的交集是开集。
一个拓扑空间中的开集可以用来定义拓扑性质，如连通性、紧性、完备性等。
与开集相对应的是闭集。
闭集是拓扑空间的补集中的开集。
也就是说，一个集合是闭集，当且仅当它的补集是开集。
闭集也满足三个条件：（1）空集和整个集合是闭集；（2）有限个闭集的交集是闭集；（3）任意多个闭集的并集是闭集。
闭集的概念在拓扑学中非常重要，它可以用来定义和研究一些性质，如连通性、紧致性等。
一个拓扑空间中另一个重要的概念是连通性。
一个空间是连通的，当且仅当它不可分割为两个非空的不相交开集。
直观地说，连通性意味着空间的各个点可以通过一条连续的曲线连接起来，没有任何隔离的地方。
例如，平面上的直线段是连通的，而两个互不相交的直线段则是不连通的。
连通性是拓扑空间中一个非常有用的概念，它可以用来刻画空间的结构和性质。
紧致性也是拓扑学中的一个重要概念。
一个空间是紧致的，当且仅当它中的任意开覆盖都有有限个子覆盖。
直观地说，紧致性意味着空间在某种意义下是有限的，可以在有限范围内进行研究。
例如，一个闭区间是紧致的，而整个实数轴则是不紧致的。
紧致性是拓扑学中一个非常重要的概念，它与收敛性和连续性有着密切的联系。
此外，还有一些其他的基本概念，如完备性、同胚性、分离性等。
这些概念都是拓扑学中的重要基础，它们帮助我们理解和研究空间的结构和性质。
在实际应用中，拓扑学的概念和方法也被广泛地应用于物理、工程、计算机科学等领域，为解决问题提供了有力工具和途径。
点集拓扑知识点总结
点集拓扑知识点总结点集拓扑是数学中一个重要的分支，研究的是空间中的点和点之间的关系。
在点集拓扑中，我们主要关注的是点集之间的连通性、紧致性以及开放性等性质。
本文将从基础概念、连通性、紧致性和开放性等方面对点集拓扑进行总结。
1. 基础概念•点：点集拓扑的基本元素，可以是任意维度的对象，如点、线、面等。
•集合：由多个点组成的集合，可以是有限的也可以是无限的。
•空间：点集拓扑研究的对象，可以是欧氏空间、度量空间等。
•区域：空间中的一个开集，可以是任意维度的对象，如开区间、开球、开盘等。
2. 连通性在点集拓扑中，连通性是一个重要的概念，用来描述一个空间是否可以被分割成多个不相交的部分。
•连通集：一个空间中，如果不存在非空的开集既是它的一个子集，又是它的补集，那么这个空间就是连通的。
•连通分支：一个连通集的极大连通子集称为连通分支。
一个空间可能有多个连通分支。
•非连通集：一个空间中，如果可以被分割成多个不相交的连通集，那么这个空间就是非连通的。
3. 紧致性紧致性是点集拓扑中的另一个重要概念，用来描述一个空间中的点集是否可以被覆盖。
•紧集：一个空间中的点集，如果它的任意开覆盖都存在有限子覆盖，那么这个点集就是紧致的。
•有界集：一个空间中的点集，如果它存在一个有界的开覆盖，那么这个点集就是有界的。
4. 开放性与闭包开放性与闭包是点集拓扑中用来描述点集性质的重要概念。
•开集：在一个空间中，如果一个点集的所有点都是内点，那么这个点集就是开集。
•闭集：在一个空间中，如果一个点集包含了它的所有极限点，那么这个点集就是闭集。
•内点：在一个点集中，如果存在一个开集包含于该点集，那么这个点就是内点。
•极限点：在一个点集中，如果每一个邻域都包含除该点本身之外的点，那么该点就是极限点。
•闭包：一个点集的闭包指的是这个点集加上它的所有极限点。
5. 拓扑空间拓扑空间是点集拓扑的基础，它是由一个点集和该点集上的拓扑结构组成的。
•拓扑结构：一个点集上的拓扑结构由这个点集上的所有开集组成。
拓扑学初步
拓扑学初步
拓扑学是数学中的一个分支，研究空间中的形状、结构、连通性等性质的学科。
在拓扑学中，空间被定义为具有一定结构的集合，而不考虑距离、角度等具体的度量。
拓扑学研究的是空间中的形状和结构，而不是具体的度量情况。
拓扑学主要研究的内容包括拓扑空间、连续映射、同胚、开集、闭集、拓扑基、拓扑公理、紧性、连通性、紧致性、分离性等概念。
拓扑学的应用非常广泛，包括在物理学、化学、生物学等领域都有重要的应用。
在地理学中，拓扑学也可以用来研究地形、地貌等问题。
在计算机科学中，拓扑学也被用来研究网络拓扑、数据结构等问题。
总的来说，拓扑学是一门抽象的数学学科，但它在解决各种实际问题中起着重要的作用。
拓扑空间聚点定义
拓扑空间聚点定义
一、拓扑空间聚点的定义
设(X, τ)为拓扑空间，A⊂eq X，点x∈ X称为集合A的聚点，如果对于x的任意开邻域U（即U∈τ且x∈ U），都有(U - {x})∩ A≠varnothing。
二、理解聚点定义的要点
1. 开邻域的概念
- 在拓扑空间中，开邻域是定义聚点的关键概念。
开邻域是包含点x的一个开集。
例如，在实数空间R（其拓扑为通常拓扑，开集是开区间的并集）中，对于点x = 2，开区间(1,3)就是2的一个开邻域。
2. 与集合的关系
- 聚点是从集合与拓扑结构的关系角度来定义的。
如果一个点是集合A的聚点，意味着在这个点的任意小的开邻域（除了这个点自身）都能找到集合A中的点。
- 例如，在拓扑空间X = R，集合A=(0,1)，对于点x = 0，它是A的聚点。
因为对于0的任意开邻域U（比如U=(-varepsilon,varepsilon)，其中varepsilon>0），(U - {0})∩ A≠varnothing。
3. 与极限点概念的联系（在度量空间中）
- 在度量空间（度量空间是一种特殊的拓扑空间）中，聚点和极限点的概念有一定联系。
如果{x_n}是度量空间中的一个点列，且x_nto x（nto∞），那么x是点列
{x_n}的值域（把点列看成一个集合）的聚点。
但要注意，在一般拓扑空间中，没有度量（距离函数）的概念，聚点是基于开邻域的定义。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
拓扑空间、开集、闭集、闭包、聚点、邻域
吉首大学数理统计学院点集拓扑学教学计划
第一章拓扑空间和拓扑不变量
数学分析中连续函数的定义和和域是欧几里德空间(直线、平面或空间)或其一部分。
本章将首先抽象连续函数的定义域和值域的主要特征来定义度量空间，然后抽象连续函数的主要特征来定义度量空间的连续映射。
然后将两者再次抽象，给出了拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射。
然后是拓扑空间的一些基本问题，如邻域、开集、闭集、闭包、聚集点、导集、内部、边界、序列、极限等。
都是一步步提出来的。
此外，还介绍了重要的拓扑不变性，如紧性、连通性、可数性和可分性
1.1拓扑空间，开集，闭集，聚集点，闭包，邻域
一、问题介绍
在数学分析中，我们知道在连续函数的定义中只涉及距离的概念。
该域是一维欧几里德空间，即实空间。
距离d(x，y)=|x-y|，即两个实数之差的绝对值。
该域是n维欧几里德空间。
两点x=(x1，x2，？，xn)，Y=(y1，y2，？，yn) d(x，y)= 1
(x1？y1)2？…+(xn？yn)2 .
无论它是多维空间，它的距离都有以下属性:
1.d(x，y)≥0，？x，y∈R；
2.d(x，y) = 0？x = y。
3.d(x，y) = d(y，x)？x，y∈R；
4.d(x，z) ≤ d(x，y) + d(y，z)，？x，y，z∈R；这些属性反映了距离的特征。
通过将R推广到一般集合，我们可以从距离中抽象出度量和度量空间的定义。
Nnnn (1)度量空间
1.定义
定义1设X是一个集合，ρ: x x x → r，如果对于任何X，y，z∈X，有①(正定性)ρ(x，y)≥0且ρ (x，y) = 0？x = y。
(2)(对称性)ρ (x，y) = ρ (y，x)；
(3)(三角形不等式)ρ (x，z) ≤ρ (x，y)+ρ (y，z)在集合x中称为ρ a测度。
1
吉首大学数理统计学院点集拓扑学教学计划
如果ρ是集合x中的度量，那么偶对(x，ρ)是度量空间，或者直径x 是度量空间。
ρ(x，y)叫做从x点到y点的距离。
2.度量空间的例子2.1.1实数空间R
对于一组实数，ρ: r× r → r定义如下:x，y∈R，设ρ(x，y)=|x-y|，很容易知道ρ是R的度量，所以(R，ρ)是一个度量空间。
显然，度量空间是实数空间的推广，度量是距离的推广。
示例2.1.1 n维欧洲空间r
对于实数集R的n重笛卡儿积，R=R×R×？X r，定义为ρ: r x r → r 如下:对于任意两点x=(x1，x2，？，xn)，Y=(y1，y2，？，yn) ∈R，设ρ(x，y)= 1
nnnnnn？(xi？1ni？yi)2，
N可以证明ρ是R的度量，偶对(R，ρ)被称为N维欧氏空间。
有时
直径r被称为n维欧氏空间。
当n=2时，R2常被称为欧几里得平面或平面。
例2.1.2希尔伯特空间h
记住，H是一组平方收敛的实数序列，也就是说，H={ x=(x1，x2，？，xn) | xi ∈R，i∈Z+，
？xi？1？2h→R如下:对于任何x=(x1，x2，？什么？？}，定义ρ: h x ？xn)，Y=(y1，y2，？，yn) ∈H，设ρ(x，y)= 1
？？(xi？1i？易)2 .这个定义的合理性和检验
证书？(xi？12岁？y)ii？？并验证ρ是H的度量，参见P49附录。
因此(H，ρ)
这是一个度量空间，叫做希尔伯特空间。
示例2.1.3离散度量空间
设(X，ρ)是一个度量空间，(X，ρ)是一个离散的度量空间或ρ是一
2
吉首大学数理统计学院点集拓扑学教学计划
对于每个离散测度，每个x∈X是否有一个实数？x？0表示ρ(x，y)>？对于任何y∈X，y ≠ x成立。
例如，让X是一个集合，定义ρ: x x x → r，这样对于任何X，y∈X，都有
？(x，y)？？离散的。
思考问题
？0如果x？很容易知道ρ是X的离散度量，度量空间(X，ρ)是
1如果x？y。
例2.1.5使X= C ([a，b]) = {f: [a，b]→R |f在[a，b]上连续，对于任何f，g ∈C ([a，b])，使d(f，g)= 1
？|f(x)-g(x)|dx，d是C ([a，b)的度量吗？
Ab(答案:d是C的度量([a，b)，所以(C ([a，b)，d)是度量空间)
3.邻域，开放集
(1)度量空间的球面邻域及其基本性质
定义2。
设(X，ρ)是一个度量空间，x∈X，对于任何ε>0，
B(x，ε)={y∈X |ρ(x，y)定理1.0.1度量空间(X，ρ)的球面邻域具有以下性质:①每个点x∈X至少有一个邻域，X属于每个邻域；
(2)对于点x∈X的任意两个球面邻域，都包含一个球面邻域；
(3)如果y∈X属于X的球面邻域，则y具有包含在X的球面邻域中的球面邻域
证明:？？
⑵度量空间的开集及其基本性质
定义3。
让x是一个度量空间，a？x，如果呢？a。
杜。
？？0，使B(a，ε)
？那么a是x的开集。
根据定理2.1.1，x的球面邻域是开集。
3
吉首大学数理统计学院点集拓扑学教学计划
例2.1.7实数空间R中的开区间都是开集，而半开半闭区间和闭区间不是开集。
两个开放区间的并集也是一个开放集。
可见，度量空间的开集是实空间开集的推广。
定理1.0.2度量空间X 的开集具有以下性质:①集X本身和空集ф都是开集；(2)任意两个开集的交集都是开集；(3)任何开集族都不是开集。
证书？？
推导出U是度量空间开集的充要条件，U是该空间中几个球面邻域的并。
⑶度量空间中点X的球面邻域的扩展
定义4。
设X是一个度量空间，x∈X，U？x，如果有一个开集V，那么x∈V？u是x的邻域。
注:根据定义，开集V是每个点的邻域，但邻域不一定是开集。
例如，[0，2]是1的邻域，但它不是开集。
定理1.0.3让X是一个度量空间，x∈X，U？那么u是x的邻域？救援
在B(x，ε)？美国.
证明:？？
这个定理为邻域提供了一个等价的陈述。
演绎x是一个度量空间，u？那么u是x的开集？u是其中每个点的邻域。
根据定义2.1.3和定理2.1.3的证明。
(2)度量空间之间的连续映射
定义5设x和y是两个度量空间，f: x → y和x0 ∈x。
如果对于f (x0)的任何球面邻域b (f (x0)，ε)，存在x0的某个球面邻域B(x0，δ)，使得f (B(x0，δ))？B(f(x0)，ε)，那么映射f在x0是连续的。
4
吉首大学数理统计学院点集拓扑学教学计划
如果映射f在x的每一点都是连续的，那么f就是一个连续函数。
显然，这个定义是数学分析中连续函数定义的一个纯粹形式上的扩展。
定理1.0.4如果x和y是两个度量空间，f: x → y，那么
(1) F在x0处是连续的？f (x0)的每个邻域的原始图像是x0的邻域；
(2) f是连续的？y中每个开集的原始图像是x中的开集。
证据:①”？”如果f在点x0是连续的，让u是f (x0)的邻域。
根据第2.1.3节，有B(f(x0)，ε)？因为f在点x0处是连续的，所以存在B(x0，δ)，使得f (B(x0，δ))而f-1 [b (f (x0，ε)]？F-1(U)和B(x0，δ)？f-1 [B(f(x0)，ε)]，？B(f(x0)，ε)，
那么B(x0，δ)呢？F-1(U)，意思是f-1(U)是x0的邻域。
“？假设f (x0)的每个邻域的原始图像是x0的一个邻域，并给出f (x0)的任意邻域b (f (x0)，ε)，则f-1 [B(f(x0)，ε)]是x0的一个邻域，并且根据TH2.1.3，x0有一个球面邻域B(x0，δ)？F-1·[B(f(x0)，ε)]，那么f·[B(x0，δ)]？B(f(x0)，ε)，所以f在x0是连续的。
②”？”设f是连续的，因此V是y中的开集，U= f-1(V)。
因为v是开集，v是f(x)的邻域。
因为f在每个点x上是连续的，u是x的邻域，从上面的推论，u是开集。
“？设y中每个开集的原像是x中的开集，并证明f在x ∈x的任何一点都是连续的。
设u是f(x)的邻域，也就是说，有一个开集V，使得f(x) ∈V？那么x ∈f-1(V)呢？F-1(U)，因为条件f-1(V)是x中的
开集，所以f-1(U)是x的邻域，那么(1)中的必要条件成立。
所以f在点x ∈x处是连续的。
因为x的任意性，f是连续的映射。
5。