拓扑空间、开集、闭集、闭包、聚点、邻域

拓扑空间、开集、闭集、闭包、聚点、邻域

吉首大学数理统计学院点集拓扑学教学计划

第一章拓扑空间和拓扑不变量

数学分析中连续函数的定义和和域是欧几里德空间(直线、平面或空间)或其一部分。本章将首先抽象连续函数的定义域和值域的主要特征来定义度量空间，然后抽象连续函数的主要特征来定义度量空间的连续映射。然后将两者再次抽象，给出了拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射。然后是拓扑空间的一些基本问题，如邻域、开集、闭集、闭包、聚集点、导集、内部、边界、序列、极限等。都是一步步提出来的。此外，还介绍了重要的拓扑不变性，如紧性、连通性、可数性和可分性

1.1拓扑空间，开集，闭集，聚集点，闭包，邻域

一、问题介绍

在数学分析中，我们知道在连续函数的定义中只涉及距离的概念。该域是一维欧几里德空间，即实空间。距离d(x，y)=|x-y|，即两个实数之差的绝对值。该域是n维欧几里德空间。两点x=(x1，x2，？，xn)，Y=(y1，y2，？，yn) d(x，y)= 1

(x1？y1)2？…+(xn？yn)2 .

无论它是多维空间，它的距离都有以下属性:

1.d(x，y)≥0，？x，y∈R；

2.d(x，y) = 0？x = y。

3.d(x，y) = d(y，x)？x，y∈R；

4.d(x，z) ≤ d(x，y) + d(y，z)，？x，y，z∈R；这些属性反映了距离的特征。

通过将R推广到一般集合，我们可以从距离中抽象出度量和度量空间的定义。

Nnnn (1)度量空间

1.定义

定义1设X是一个集合，ρ: x x x → r，如果对于任何X，y，z∈X，有①(正定性)ρ(x，y)≥0且ρ (x，y) = 0？x = y。(2)(对称性)ρ (x，y) = ρ (y，x)；

(3)(三角形不等式)ρ (x，z) ≤ρ (x，y)+ρ (y，z)在集合x中称为ρ a测度。1

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如果ρ是集合x中的度量，那么偶对(x，ρ)是度量空间，或者直径x 是度量空间。ρ(x，y)叫做从x点到y点的距离。

2.度量空间的例子2.1.1实数空间R

对于一组实数，ρ: r× r → r定义如下:x，y∈R，设ρ(x，y)=|x-y|，很容易知道ρ是R的度量，所以(R，ρ)是一个度量空间。

显然，度量空间是实数空间的推广，度量是距离的推广。

示例2.1.1 n维欧洲空间r

对于实数集R的n重笛卡儿积，R=R×R×？X r，定义为ρ: r x r → r 如下:对于任意两点x=(x1，x2，？，xn)，Y=(y1，y2，？，yn) ∈R，设ρ(x，y)= 1

nnnnnn？(xi？1ni？yi)2，

N可以证明ρ是R的度量，偶对(R，ρ)被称为N维欧氏空间。有时

直径r被称为n维欧氏空间。当n=2时，R2常被称为欧几里得平面或平面。

例2.1.2希尔伯特空间h

记住，H是一组平方收敛的实数序列，也就是说，H={ x=(x1，x2，？，xn) | xi ∈R，i∈Z+，

？xi？1？2h→R如下:对于任何x=(x1，x2，？什么？？}，定义ρ: h x ？xn)，Y=(y1，y2，？，yn) ∈H，设ρ(x，y)= 1

？？(xi？1i？易)2 .这个定义的合理性和检验

证书？(xi？12岁？y)ii？？并验证ρ是H的度量，参见P49附录。因此(H，ρ)

这是一个度量空间，叫做希尔伯特空间。

示例2.1.3离散度量空间

设(X，ρ)是一个度量空间，(X，ρ)是一个离散的度量空间或ρ是一

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对于每个离散测度，每个x∈X是否有一个实数？x？0表示ρ(x，y)>？对于任何y∈X，y ≠ x成立。

例如，让X是一个集合，定义ρ: x x x → r，这样对于任何X，y∈X，都有

？(x，y)？？离散的。

思考问题

？0如果x？很容易知道ρ是X的离散度量，度量空间(X，ρ)是

1如果x？y。例2.1.5使X= C ([a，b]) = {f: [a，b]→R |f在[a，b]上连续，对于任何f，g ∈C ([a，b])，使d(f，g)= 1

？|f(x)-g(x)|dx，d是C ([a，b)的度量吗？

Ab(答案:d是C的度量([a，b)，所以(C ([a，b)，d)是度量空间)

3.邻域，开放集

(1)度量空间的球面邻域及其基本性质

定义2。设(X，ρ)是一个度量空间，x∈X，对于任何ε>0，

B(x，ε)={y∈X |ρ(x，y)定理1.0.1度量空间(X，ρ)的球面邻域具有以下性质:①每个点x∈X至少有一个邻域，X属于每个邻域；

(2)对于点x∈X的任意两个球面邻域，都包含一个球面邻域；

(3)如果y∈X属于X的球面邻域，则y具有包含在X的球面邻域中的球面邻域

证明:？？

⑵度量空间的开集及其基本性质

定义3。让x是一个度量空间，a？x，如果呢？a。杜。？？0，使B(a，ε)

？那么a是x的开集。

根据定理2.1.1，x的球面邻域是开集。

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例2.1.7实数空间R中的开区间都是开集，而半开半闭区间和闭区间不是开集。两个开放区间的并集也是一个开放集。

可见，度量空间的开集是实空间开集的推广。定理1.0.2度量空间X 的开集具有以下性质:①集X本身和空集ф都是开集；(2)任意两个开集的交集都是开集；(3)任何开集族都不是开集。证书？？

推导出U是度量空间开集的充要条件，U是该空间中几个球面邻域的并。

⑶度量空间中点X的球面邻域的扩展

定义4。设X是一个度量空间，x∈X，U？x，如果有一个开集V，那么x∈V？u是x的邻域。

注:根据定义，开集V是每个点的邻域，但邻域不一定是开集。例如，[0，2]是1的邻域，但它不是开集。

定理1.0.3让X是一个度量空间，x∈X，U？那么u是x的邻域？救援

在B(x，ε)？美国.

证明:？？

这个定理为邻域提供了一个等价的陈述。

演绎x是一个度量空间，u？那么u是x的开集？u是其中每个点的邻域。

根据定义2.1.3和定理2.1.3的证明。

(2)度量空间之间的连续映射

定义5设x和y是两个度量空间，f: x → y和x0 ∈x。如果对于f (x0)的任何球面邻域b (f (x0)，ε)，存在x0的某个球面邻域B(x0，δ)，使得f (B(x0，δ))？B(f(x0)，ε)，那么映射f在x0是连续的。