《垂径定理》公开课教学设计【北师大版九年级数学下册】
北师大版九年级数学下册教案：3.3垂径定理
你想知道桥拱的半径是多少吗？我们认真探索垂径定理之后，相信你一定可以算出来！(板书课题：*3垂径定理)
处理方式：让学生倾听欢快的音乐，欣赏赵州桥优美的图片，惊叹古代人们设计桥梁的技术，感受古代人们的伟大智慧，思索“桥”中的数学问题．
这一环节主要是让学生在欣赏赵州桥图片的同时，惊叹古代人的智慧，引起好奇，激起学生探究桥拱半径的兴趣.
巩固训练(多媒体出示)
1．辨析：判断下列图形能否使用垂径定理．
图3－3－15
2.如图3－3－16，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接OA，OB，下列结论中不一定正确的是()
A.AE＝BE
B. ＝ 图3－3－16
C.OE＝DE
D.∠AOD＝∠BOD
处理方式：先让学生独立思考，然后找学生回答，师生共同纠错．注意：定理中的两个条件缺一不可——直径(半径)，垂直于弦．通过以上辨析，让学生对垂径定理的两个条件的必要性有更充分的认识.
图3－3－22图3－3－23图3－3－24
3.一条排水管的截面如图3－3－24所示，已知排水管的半径OB＝10cm，水面宽AB＝16cm，则截面圆心O到水面的距离OC是________．
处理方式：学生在练习本上完成后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错.
在题目的设计上，尽量地遵循由易到难、层次分明的原则．通过这3个题目达到落实新知的目的，又将知识进一步延伸，拓广学生的思维．
在教师的引导下探究了垂径定理，并要求学生能快速、准确地将该定理的三种语言进行转化．教学时要鼓励学生用多种方法进行探讨，体会研究图形的多种方法.
让学生理解证明的方法，培养学生熟练证明的能力，提高证明过程的准确性和推理的能力．借此培养学生的合作意识.
北师大版九年级数学(下)教案 垂径定理
3.3 垂径定理教学目标【知识与能力】1．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理；2．运用垂径定理及其逆定理解决问题．【过程与方法】经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．【情感态度价值观】1. 培养学生类比分析，猜想探索的能力．2. 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．教学重难点【教学重点】利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．【教学难点】垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线．课前准备多媒体实物投影三角板圆规纸片剪刀铅笔教学过程本节课设计了四个教学环节：类比引入，猜想探索，知识应用，归纳小结.第一环节类比引入活动内容：1.等腰三角形是轴对称图形吗？2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？3.形是否是轴对称图形呢？活动目的：通过等腰三角形的轴对称性向圆的轴对称性过渡，引导学生思考，培养学生类比分析的能力．第二环节猜想探索活动内容：1．如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由．条件：①CD是直径；②CD⊥AB结论（等量关系）：③AM =BM ；④⌒AC =⌒BC ；⑤⌒AD =⌒BD .证明：连接OA ,OB ,则OA =OB .在Rt △OAM 和Rt △OBM 中,∵OA =OB ，OM =OM ，∴Rt △OAM ≌Rt △OBM .∴AM =BM .∴点A 和点B 关于CD 对称.∵⊙O 关于直径CD 对称,∴当圆沿着直径CD 对折时, 点A 与点B 重合,⌒AC 和⌒BC 重合, ⌒AD 和⌒BD 重合.∴ ⌒AC =⌒BC ，⌒AD =⌒BD .2．证明完毕后，让学生自行用文字语言表述这一结论，最后提炼出垂径定理的内容——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．3．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？通过以上辨析，让学生对垂径定理的两个条件的必要性有更充分的认识．4．垂径定理逆定理的探索如图，AB 是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB 的直径CD ，交AB 于点M .（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.条件：① CD 是直径；② AM =BM结论（等量关系）：③CD ⊥AB ；④⌒AC =⌒BC ；⑤⌒AD =⌒BD .让学生模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理，并表述逆定理的内容——平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.5．辨析：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．”如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？反例：活动1类比、探索和证明获得新知，从而得到研究数学的多种方法的体会，获取经验；活动 2 的主要目的是让学生通过对定理表A述反复的语言提炼，锻炼学生的归纳能力和严谨的表述能力，并对定理的条件和结论有更深刻的理解和认识；活动3的主要目的是通过反例使学生对定理的严谨性有更深的认识；活动4的主要目的与活动1相似，并让学生与活动1类比，提高探索能力；活动5的主要目的与活动3相似．实际教学效果：在活动1中的证明时，学生对如何证明平分弦，可能会有一定困难，此时应引导学生类比等腰三角形，通过连接OA 、OB ，构造等腰三角形，并利用三角形全等的知识来证明；另外，在证明直径平分弦所对的弧，也是一个难点，学生会觉得比较难表述，这时应类比等腰三角形的轴对称性，运用圆的轴对称性启发引导；在活动2中，学生的说法可能不够准确、精炼，但教师应该鼓励学生坚持勇于尝试，让学生互相指出说法的不足和缺陷，互相加以修正，在反复的语言提炼中对定理的条件和结论有更深刻的理解和认识，这也是一个自主构建的过程；活动3是通过反例说明定理的条件的必要性和严谨性，要注意让学生学会通过反例找出对应缺失的条件，提高学生对定理的理解；在活动4中，学生已经有了活动1的经验，教师应放手让学生去猜想、类比、探索和证明，增加学生对数学知识的探索的领悟和经验；活动5与活动3相似．第三环节 知识应用活动内容：讲解例题及完成随堂练习．1．例：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中⌒CD ,点0是⌒CD 所在圆的圆心），其中CD =600m ，E 为⌒CD 上的一点，且OE⊥CD ，垂足为F ，EF =90m.求这段弯路的半径．解：连接OC ，设弯路的半径为R m,则OF =(R -90)m ．∵OE ⊥CD3006002121=⨯==∴CD CF 根据勾股定理，得OC ²=CF ² +OF ²即 R ²=300²+(R -90)².解这个方程，得R =545.所以，这段弯路的半径为545m.2．随堂练习1．1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2米，求桥拱所在圆的半径．（结果精确到0.1米）．3．随堂练习2．如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？ 有三种情况：（1）圆心在平行弦外；（2）圆心在其中一条弦上；（3）圆心在平行弦内．活动1、2的主要目的是让学生应用新知识构造直角三角形，并通过方程的方法去解决几何问题；活动3的主要目的是让学生通过作垂线段构造符合定理使用的条件，从而运用定理解决问题，以及培养学生解题中的分类思想．实际教学效果：在活动4中，对于例题和随堂练习1教师要引导学生如何够造可以应用垂径定理的几何构图，让学生积累如何添加辅助线的经验，以及体会到构造直角三角形并利用勾股定理列方程在解决几何问题中的作用，培养数形结合的思想．对于随堂练习2，教师要引导学生通过自行画图，探索分析符合条件图形有多少种情况：圆心在平行弦外，在其中一条弦上、在平行弦内，并通过添加辅助线构造可以应用垂径定理的条件，以及比较三种构图的共同点，得出说理的思路都是一样的结论．第四环节 归纳小结活动内容：学生交流总结1．利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理.2．解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.活动目的：通过回顾本节课的各个环节，鼓励学生交流自己的收获和感想，加深对本节课知识和探索方法的理解和掌握，培养学生养成归纳反思的学习习惯．实际教学效果：学生在互相交流中，对于归纳出来的内容，会有各种表述，大多都是围绕知识本身，教师应引导学生对探索知识的方法也能归纳反思．。
北师大版九年级下册3.3垂径定理优秀教学案例
同时，我还注重培养学生的逻辑思维能力，引导学生从特殊到一般，从具体到抽象的思考问题，让学生在理解垂径定理的同时，能够灵活运用该定理解决实际问题。
（三）学生小组讨论
1.设计具有挑战性和综合性的小组合作任务，让学生在合作中思考、交流、探究，提高学生的学习效果。
2.组织学生进行小组讨论，鼓励学生提出问题、分享思路、互相启发、互相学习，培养学生的批判性思维和问题解决能力。
3.教师在小组讨论过程中给予及时的反馈和指导，帮助学生更好地理解和掌握垂径定理。
（四）反思与评价
1.引导学生对学习过程进行反思，培养学生自我评价和自我调整的能力。
2.设计具有针对性和全面性的评价指标体系，对学生的知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观进行全面评价。
3.利用自评、互评、师评等多种评价方式，给予学生客观、公正的评价，提高学生的自信心和积极性。
4.根据评价结果，调整教学策略和教学方法，为下一阶段的教学提供有益的参考。
北师大版九年级下册3.3垂径定理优秀教学案例
一、案例背景
北师大版九年级下册3.3垂径定理是圆的知识点中的一个重要定理，它揭示了圆中关于垂直于弦的直径的一系列性质。在本节课中，学生需要理解和掌握垂径定理的内容，并能够运用该定理解决相关问题。
在进行本节课的教学设计时，我充分考虑了学生的年龄特点和学习需求，以提高学生的几何思维能力和解决问题的能力为目标，力求通过丰富的教学活动和合理的教学设计，帮助学生理解和掌握垂径定理。
2.要求学生对自己的作业进行自我评价，培养学生的自我反思和自我调整能力。
北师大版九年级下册3.3垂径定理教学设计
2.证明过程：引导学生通过几何画板或实际操作，观察并思考如何证明垂径定理。在此基础上，给出严格的证明过程，强调证明方法与逻辑推理。
3.推论介绍：介绍垂径定理的两个重要推论，即弦的一半、弦心距和圆半径构成直角三角形，以及圆的弦垂直平分线相交于圆心。
4.通过对垂径定理及其推论的学习，使学生体会几何知识之间的联系，培养他们运用几何知识解决实际问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对几何学的兴趣，培养他们主动探究、积极思考的学习态度。
2.通过对垂径定理的学习，使学生体会数学的简洁美和逻辑美，提高他们对数学的审美能力。
3.培养学生的团队合作精神，使他们学会在合作中交流、分享和互助，共同解决问题。
3.情感态度培养：鼓励学生勇于提出问题、发表见解，培养他们的自信心和批判性思维。
4.课后作业布置：布置适量的课后作业，让学生巩固所学知识，为下一节课的学习打下基础。
五、作业布置
为了巩固学生对垂径定理的理解和应用，以及培养学生的独立思考能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：请同学们完成课本第63页的练习题1、2、3，这些题目主要考察对垂径定理基本概念的理解和简单应用。
5.请同学们按时提交作业，教师将及时批改、反馈，帮助大家查漏补缺，提高学习效果。
2.教学难点：垂径定理的证明过程，以及在实际问题中的应用。
-证明过程涉及严密的逻辑推理，对于部分学生来说可能存在理解上的困难。
-在实际应用中，学生需要能够灵活运用定理，结合其他几何知识，解决更为复杂的问题。
（二）教学设想
1.采定理及其推论。
-教师应以鼓励和表扬为主，营造积极向上的课堂氛围，让学生在轻松的环境中学习。
九年级数学下册3.3垂径定理教案北师大版
课题：3.3垂径定理教学目标：1.经历探索圆的轴对称性、垂径定理及其逆定理的过程.2.理解圆的轴对称性、垂径定理及其逆定理，并会运用其解决有关问题．3.在学习过程中让学生感受几何图形的对称美.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法. 教学重点与难点：重点：探索圆的轴对称性、垂径定理及其逆定理的过程． 难点：运用垂径定理及其逆定理解决有关问题． 教学过程：一、复习回顾，开辟道路我们知道圆是一个特殊的图形，既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形， 如图，AB 是⊙O 的一条弦.作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ． (1)此图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么? (2)图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由．处理方式：学生前后四人一组，分工合作，互相帮助，动手画圆、剪圆，按轴对称图形的探究方法探究，寻找活动过程中产生的直径、弦、弧等关系并总结.给学生留出充分的时间在小组内讨论、交流，教师要深入到小组中讨论、指导.我们组将这个图沿着直径CD 折叠，发现AM 与BM 重合，∠CMA 与∠CMB 重合，∠DMA 与∠DMB 重合，AC ⌒与BC ⌒ 重合，AD ⌒ 与BD ⌒ 重合，所以等量关系有:AM=BM, ∠CMA=∠CMB=900，∠DMA=∠DMB=900，AC ⌒ =BC ⌒ ，AD ⌒=BD ⌒ ．（板书）结合这个图形，该定理的符号语言如何叙述？垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧．设计意图：在教师的引导下探究了垂径定理，并要求学生能快速、准确的将该定理的三种语言进行转化.教学时要鼓励学生用多种方法进行探讨，体会研究图形的多种方法．二、例题讲解，学以致用已知：如图，AB 是⊙O 的一条弦.作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ．处理方式：求证：AM=BM ，AC ⌒ =BC ⌒ ，AD ⌒ =BD ⌒ 证明：连接OA ，OB ， 则OA=OB ． 在Rt △OAM 和Rt △OBM 中， ∵OA=OB ，OM=OM ， ∴Rt △OAM ≌Rt △OBM ． ∴AM=BM,∠AOC=∠BOC. ∴AC ⌒ =BC ⌒ AC ⌒ 与BC ⌒ . ∵∠AOD=180°-∠AOC, ∠BOD=180°-∠BOC ∴∠AOD=∠BOD °. ∴AD ⌒ =BD⌒ ． 处理方式：引导学生有意识的归纳、总结证明的方法，通过充分交流，让所有学生都能够对解决问题的基本策略进行反思，体会解决这类问题的基本思路，形成个人的解决问题的风格．设计意图：让学生理解证明的方法，培养学生熟练证明的能力，提高证明过程的准确性和推理的能力.借此培养学生合作意识. 三、尝试成功，探究创新活动内容：还是这个图形，如果我把条件稍微改变，你还能利用刚才的探究方法推导出一些新的结论吗？（多媒体出示）如图，AB 是⊙O 的一条弦（不是直径），作一条平分AB 的直径CD ，交AB于M ．（1)此图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么? （2）你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由． 处理方式：类比刚才的探究垂径定理的方法，学生先独立思考，然后让学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，达成共识．完后教师在课件上展示解题思路，让学生明白平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，就得加上一个限制条件，那么该结论如何叙述？平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．（板书） 它和垂径定理有什么区别？设计意图：在垂径定理的逆定理的环节的处理上，学生可以类比垂径定理的探讨方法，所以这里尽量的放给学生，并让学生再次体会研究图形的多种方法，教师此时只要起到辅助、提升的作用即可．四、例题讲解，学以致用活动内容：例1 如下图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD，点O是CD的圆心)，其中CD＝600m，E为CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝90m，求这段弯路的半径．处理方式：让学生明白要求弯路的半径，连结OC，只要求出OC的长便可以了．因为已知OE⊥CD，所以CF＝12CD＝300cm，OF＝OE－EF，此时就得到了一个Rt△CFO，解：连结OC，设弯路的半径为rm，则OF＝(r－90)m，∵OE⊥CD，∴CF＝12CD＝12×600＝300(m)．据勾股定理，得OC2＝CF2＋OF2，即r2＝3002＋(r－90)2，解这个方程，得r＝545．∴这段弯路的半径为545m．设计意图：引导学生通过解决垂径定理在生活中的应用问题，感受解决此类问题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解.教师点评学生在黑板上的解答，讲解时注意强调学生容易出错的地方．五、巩固提升展示自我活动内容：赵州桥是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？处理方式：学先让学生思考，完成练习后，再用课件展示图例,并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图：通过这道题目对学生的掌握情况进行反馈，发现学生在解决这类问题是存在的不足之处，如果学生感觉到困难，可以进行小组讨论或者教师加以引导点拨．五、总结概括，整理知识通过本节课的学习，哪些是你记忆深刻的？本节课的学习值得思考的还有是什么？处理方式：由学生进行课堂小结，要给学生充足的时间进行思考，得出结论后，再进行集体交流和课件展示.设计意图：充分交流学习心得，可以从知识与技能，过程与方法，情感态度价值观等方面进行，有利于学生总结概括所学的知识，形成完整的知识体系，有利于学生相互交流，相互学习，达到共同提高的目的，有利于学生明确自身的优点与不足，便于今后扬长避短.六、达标测试，反馈纠正1．如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB.则下列结论错误．．的是（）A、AD BDB、AF=BFC、OF=CFD、∠DBC=90°第1题第2题第3题2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，OP=3，则⊙O的半径为 .3．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是 .处理方式：学生在学案上做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图：在题目的设计上，我尽量的遵循由易到难、层次分明的原则．通过这3个题目达到落实新知的目的，又将知识进一步延伸，拓广学生的思维.七、布置作业，落实目标课本习题P76习题3.3 1，2板书设计：§3.3垂径定理中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的两边在坐标轴上，OB＝1，点A在函数y＝﹣2x（x＜0）的图象上，将此矩形向右平移3个单位长度到A1B1O1C1的位置，此时点A1在函数y＝kx（x＞0）的图象上，C1O1与此图象交于点P，则点P的纵坐标是（）A．53B．34C．43D．23【答案】C【解析】分析：先求出A点坐标，再根据图形平移的性质得出A1点的坐标，故可得出反比例函数的解析式，把O1点的横坐标代入即可得出结论．详解：∵OB=1,AB⊥OB,点A在函数2yx=-(x<0)的图象上，∴当x=−1时，y=2，∴A(−1,2).∵此矩形向右平移3个单位长度到1111A B O C的位置，∴B1(2,0)，∴A1(2,2).∵点A1在函数kyx=(x>0)的图象上，∴k=4，∴反比例函数的解析式为4yx=,O1(3,0)，∵C1O1⊥x轴，∴当x=3时,43y=，∴P4 (3,).3故选C.点睛：考查反比例函数图象上点的坐标特征, 坐标与图形变化-平移，解题的关键是运用双曲线方程求出点A 的坐标，利用平移的性质求出点A 1的坐标.2．如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P ．若点P 的坐标为（2a ，b+1），则a 与b 的数量关系为A ．a=bB ．2a+b=﹣1C ．2a ﹣b=1D ．2a+b=1【答案】B【解析】试题分析：根据作图方法可得点P 在第二象限角平分线上， 则P 点横纵坐标的和为0，即2a+b+1=0， ∴2a+b=﹣1．故选B ．3．若关于x ，y 的二元一次方程组59x y kx y k +=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程236x y +=的解，则k 的值为()A ．34-B ．34C ．43D ．43-【答案】B【解析】将k 看做已知数求出用k 表示的x 与y ，代入2x+3y=6中计算即可得到k 的值．【详解】解：59x y k x y k +=⎧⎨-=⎩①②，①+②得：214x k =，即7x k =，将7x k =代入①得：75k y k +=，即2y k =-， 将7x k =，2y k =-代入236x y +=得：1466k k -=，解得：34k =．故选：B ． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边成立的未知数的值．4．利用运算律简便计算52×（–999）+49×（–999）+999正确的是 A ．–999×（52+49）=–999×101=–100899 B ．–999×（52+49–1）=–999×100=–99900 C ．–999×（52+49+1）=–999×102=–101898 D ．–999×（52+49–99）=–999×2=–1998 【答案】B【解析】根据乘法分配律和有理数的混合运算法则可以解答本题． 【详解】原式=－999×（52+49-1）=－999×100=－1． 故选B ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 5．下列分式中，最简分式是（ ）A ．2211x x -+B ．211x x +-C ．2222x xy y x xy-+- D ．236212x x -+【答案】A【解析】试题分析：选项A 为最简分式；选项B 化简可得原式==；选项C 化简可得原式==；选项D 化简可得原式==，故答案选A.考点：最简分式.6．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 8=，BD 6=，DH AB ⊥于点H ，且DH 与AC 交于G ，则OG 长度为( )A ．92B ．94C ．352D ．354【答案】B【解析】试题解析：在菱形ABCD 中，6AC =，8BD =，所以4OA =，3OD =，在Rt AOD △中，5AD =， 因为11641222ABDSBD OA =⋅⋅=⨯⨯=，所以1122ABDS AB DH =⋅⋅=，则245DH =，在Rt BHD 中，由勾股定理得，22222418655BH BD DH ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，由DOG DHB ∽可得，OG OD BH DH =，即3182455OG =，所以94OG =．故选B.732的值应该在（ ） A ．﹣1﹣0之间 B ．0﹣1之间C ．1﹣2之间D ．2﹣3之间【答案】A3 【详解】解：∵132， ∴1-232＜2-2， ∴-132＜0 3在-1和0之间． 故选A ． 【点睛】38．如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（ ）A．12B．24C．14D．13【答案】D【解析】过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．【详解】过C点作CD⊥AB，垂足为D．根据旋转性质可知，∠B′=∠B．在Rt△BCD中，tanB=13 CDBD，∴tanB′=tanB=13．故选D．【点睛】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．9．多项式ax2﹣4ax﹣12a因式分解正确的是（）A．a（x﹣6）（x+2）B．a（x﹣3）（x+4）C．a（x2﹣4x﹣12）D．a（x+6）（x﹣2）【答案】A【解析】试题分析：首先提取公因式a，进而利用十字相乘法分解因式得出即可．解：ax2﹣4ax﹣12a=a（x2﹣4x﹣12）=a（x﹣6）（x+2）．故答案为a（x﹣6）（x+2）．点评：此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确利用十字相乘法分解因式是解题关键．10．如果数据x1，x2，…，x n的方差是3，则另一组数据2x1，2x2，…，2x n的方差是（）A．3 B．6 C．12 D．5【答案】C【解析】根据题意，数据x 1，x 2，…，x n 的平均数设为a ，则数据2x 1，2x 2，…，2x n 的平均数为2a ，再根据方差公式进行计算：()()()()222221231n S x x x x x x x x n ⎡⎤=-+-+-++-⎣⎦即可得到答案． 【详解】根据题意，数据x 1，x 2，…，x n 的平均数设为a ，则数据2x 1，2x 2，…，2x n 的平均数为2a ，根据方差公式：()()()()222221231n S x a x a x a x a n ⎡⎤=-+-+-++-⎣⎦=3， 则()()()()22222123122222222n S x a x a x a x a n ⎡⎤=-+-+-++-⎣⎦=()()()()222212314444n x a x a x a x a n ⎡⎤-+-+-++-⎣⎦ =4×()()()()22221231n x a x a x a x a n ⎡⎤-+-+-++-⎣⎦ =4×3=12，故选C ．【点睛】本题主要考查了方差公式的运用，关键是根据题意得到平均数的变化，再正确运用方差公式进行计算即可．二、填空题（本题包括8个小题）11．若反比例函数y=1m x -的图象在每一个象限中，y 随着x 的增大而减小，则m 的取值范围是_____． 【答案】m>1【解析】∵反比例函数m 1y x-=的图象在其每个象限内，y 随x 的增大而减小， ∴m 1->0，解得：m>1，故答案为m>1. 12．已知x 1，x 2是方程x 2-3x-1=0的两根，则1211x x +=______． 【答案】﹣1．【解析】试题解析：∵1x ，2x 是方程2310x x --=的两根，∴123x x +=、121x x =-，∴1211x x +=1212x x x x +=31- =﹣1．故答案为﹣1． 13．已知点A （4，y 1），B （，y 2），C （-2，y 3）都在二次函数y=（x-2）2-1的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是.【答案】y3>y1>y2.【解析】试题分析：将A,B,C三点坐标分别代入解析式，得：y1=3,y2=5-4,y3=15,∴y3>y1>y2.考点：二次函数的函数值比较大小.14．某种商品两次降价后，每件售价从原来元降到元，平均每次降价的百分率是__________.【答案】【解析】设降价的百分率为x，则第一次降价后的单价是原来的（1−x），第二次降价后的单价是原来的（1−x）2，根据题意列方程解答即可．【详解】解：设降价的百分率为x，根据题意列方程得：100×（1−x）2＝81解得x1＝0.1，x2＝1.9（不符合题意，舍去）．所以降价的百分率为0.1，即10%．故答案为：10%.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．找到关键描述语，根据等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．15．如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为．【答案】7【解析】试题分析：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC．∴CD=BC－BD=9－3=6，；∠BAD+∠ADB=120°．∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°．∴∠DAB=∠EDC．又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD∽△DCE．∴AB DCBD CE=，即96CE23CE=⇒=．∴AE AC CE927=-=-=．16．将一副三角板如图放置，若20AOD ∠=，则BOC ∠的大小为______．【答案】160°【解析】试题分析：先求出∠COA 和∠BOD 的度数，代入∠BOC=∠COA+∠AOD+∠BOD 求出即可． 解：∵∠AOD=20°，∠COD=∠AOB=90°，∴∠COA=∠BOD=90°﹣20°=70°，∴∠BOC=∠COA+∠AOD+∠BOD=70°+20°+70°=160°，故答案为160°．考点：余角和补角．17．我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出8钱，则剩余3钱；如果每人出7钱，则差4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x 人，则可列方程为__________．【答案】8374x x -=+【解析】根据每人出8钱，则剩余3钱；如果每人出7钱，则差4钱，可以列出相应的方程，本题得以解决【详解】解：由题意可设有x 人,列出方程：8374xx +﹣＝， 故答案为8374xx +﹣＝． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．18．抛物线y=（x+1）2 - 2的顶点坐标是 ______ ．【答案】 (-1,-2)【解析】试题分析：因为y=（x+1）2﹣2是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，﹣2），故答案为（﹣1，﹣2）．考点：二次函数的性质．三、解答题（本题包括8个小题）19．某学校准备采购一批茶艺耗材和陶艺耗材.经查询，如果按照标价购买两种耗材，当购买茶艺耗材的数量是陶艺耗材数量的2倍时，购买茶艺耗材共需要18000元，购买陶艺耗材共需要12000元，且一套陶艺耗材单价比一套茶艺耗材单价贵150元.求一套茶艺耗材、一套陶艺耗材的标价分别是多少元？学校计划购买相同数量的茶艺耗材和陶艺耗材.商家告知，因为周年庆，茶艺耗材的单价在标价的基础上降价2m 元，陶艺耗材的单价在标价的基础降价150元，该校决定增加采购数量，实际购买茶艺耗材和陶艺耗材的数量在原计划基础上分别增加了2.5m %和m ％，结果在结算时发现，两种耗材的总价相等，求m 的值.【答案】（1）购买一套茶艺耗材需要450元，购买一套陶艺耗材需要600元；（2）m 的值为95.【解析】（1）设购买一套茶艺耗材需要x 元，则购买一套陶艺耗材需要()150x +元，根据购买茶艺耗材的数量是陶艺耗材数量的2倍列方程求解即可；（2）设今年原计划购买茶艺耗材和陶艺素材的数量均为a ，根据两种耗材的总价相等列方程求解即可.【详解】（1）设购买一套茶艺耗材需要x 元，则购买一套陶艺耗材需要()150x +元，根据题意，得18000120002150x x =⨯+. 解方程，得450x =.经检验，450x =是原方程的解，且符合题意150600x ∴+=.答：购买一套茶艺耗材需要450元，购买一套陶艺耗材需要600元.（2）设今年原计划购买茶艺耗材和陶艺素材的数量均为a ，由题意得：()()45021 2.5%m a m -⋅+ ()()6001501%a m =-⋅+整理，得2950m m -=解方程，得195m =，20m =（舍去）.m ∴的值为95.【点睛】本题考查了分式方程的应用及一元二次方程的应用，找出等量关系，列出方程是解答本题的关键，列方程解决实际问题注意要检验与实际情况是否相符.20．如图，已知⊙O 经过△ABC 的顶点A 、B ，交边BC 于点D ，点A 恰为BD 的中点，且BD ＝8，AC ＝9，sinC ＝13，求⊙O 的半径．【答案】⊙O的半径为256．【解析】如图，连接OA．交BC于H．首先证明OA⊥BC，在Rt△ACH中，求出AH，设⊙O的半径为r，在Rt△BOH中，根据BH2+OH2＝OB2，构建方程即可解决问题。
《垂径定理》(北师大)参考教案
《垂径定理》教学设计圆是一种特殊图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形。
该节内容分为2课时。
本节课是第1课时，学生通过前面的学习，能用折叠的方法得到圆是一个轴对称图形。
其对称轴是任一条过圆心的直线。
【知识与能力目标】1．理解圆的轴对称性及其相关性质；2．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。
【过程与方法目标】经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。
【情感态度价值观目标】1． 培养学生独立探索，相互合作交流的精神。
2． 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。
【教学重点】利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。
【教学难点】和圆有关的相关概念的辨析理解。
（提前一天布置）1. 每人制作两张圆纸片（最好用16K 打印纸）2. 预习课本P 74~P 76内容 第一环节 复习提问1、什么是轴对称图形？我们在学过哪些轴对称图形？如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。
如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。
2、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?归纳：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
第二环节讲授新课活动内容：（一）探索垂径定理。
做一做1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折使圆的两半部分重合。
2．得到一条折痕CD。
3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足。
4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如右图问题：（1）观察右图，它是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由。
在⊙O中，AB为弦，CD为直径,CD⊥AB提问：你在图中能找到哪些相等的量？并证明你猜想的结论。
数学北师大版九年级下册垂径定理教案
猜想：可能出现的位置关系是：线段AE和线段BE重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合。可能出现的数量关系是：AE=BE弧AC=弧BC
弧AD=弧BD
教学内容
教师活动
学生活动
（二）分析垂径定理的条件和结论
1、练习：在下列图形中，能使用垂径定理的图形有哪些？
（三）例题
2、引入新知：如图，AB是⊙O的弦，直径CD与弦AB相交，那么沿直径CD所在的直线折叠之后，图形可以重合吗？AB是⊙O的弦，直径CD⊥AB,垂足为E。此时再沿直径CD所在直线折叠，图形可以重合吗？
二、新课（一）猜想，证明，形成垂径定理
1、提问：继续观察图（2）的右图，根据圆的对称性，把圆沿直径CD所在的直线折叠之后，圆中的线段和弧会出现怎样的位置关系？
引申定理：定理中垂直于弦的直径可以是直径、半径，也可以是过圆心的直线线段
总结：在圆有关的问题时，常常构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理相结合的方法来解决。
思考解题
学生各抒己见，谈学习收获
作业
设置
课本P88习题l、2并预习内容：P
等级评价
（A/B/C/D）
检查
签阅
第周，应备课时实备课时，共课时
3、证明：利用等腰三角形三线合一的性质或者三角形全等的知识来证明线段AE与线段BD相等，利用圆的对称性证明对应弧相等。板书：
若将⊙O沿直径AB对折，观察两部分是否重合？
说明此图也是轴对称图形，称这种处于特殊位置的直径称为垂直于弦的直径），引出本节课题
4、引导学生归纳总结垂径定理的文字表述，板书：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
重点
难点
教学重点：使学生掌握垂径定理、记住垂径定理的题设和结论。
2024北师大版数学九年级下册3.3《垂径定理》教学设计
2024北师大版数学九年级下册3.3《垂径定理》教学设计一. 教材分析《垂径定理》是北师大版数学九年级下册第3.3节的内容，本节课主要介绍垂径定理及其应用。
垂径定理是指：圆中，如果一条直径垂直于一条弦，那么这条直径把这条弦平分。
这个定理是圆的基本性质之一，对于解决与圆有关的问题具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念、性质以及一些基本的运算。
但是，对于证明一个定理，他们可能还不是很熟悉。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、推理等方法，逐步理解并证明垂径定理。
三. 教学目标1.理解垂径定理的内容，并掌握其证明过程。
2.能够运用垂径定理解决与圆有关的问题。
3.培养学生的观察能力、思考能力和推理能力。
四. 教学重难点1.教学重点：垂径定理的内容及其证明过程。
2.教学难点：如何引导学生通过观察、思考、推理等方法，证明垂径定理。
五. 教学方法1.引导法：通过提问、引导，激发学生的思考，帮助他们理解垂径定理。
2.推理法：引导学生通过观察、推理，证明垂径定理。
3.实例法：通过具体的例子，让学生学会如何运用垂径定理解决实际问题。
六. 教学准备1.教学PPT：包括垂径定理的定义、证明过程以及应用实例。
2.教学素材：一些与圆有关的问题，用于巩固和拓展学生的知识。
3.黑板：用于板书重要的概念和证明过程。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的与圆有关的问题，引导学生复习之前学过的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）介绍垂径定理的定义和证明过程。
首先，让学生观察一些与圆有关的几何图形，引导他们发现其中的规律。
然后，通过推理和论证，得出垂径定理的结论。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试用垂径定理解决一些与圆有关的问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）针对学生的讨论结果，进行讲解和分析，巩固他们对垂径定理的理解。
同时，通过一些具体的例子，让学生学会如何运用垂径定理解决实际问题。
北师大版九年级数学下册：3.3《垂径定理》教学设计
北师大版九年级数学下册：3.3《垂径定理》教学设计一. 教材分析《垂径定理》是北师大版九年级数学下册第3章第3节的内容。
本节主要介绍圆中的垂径定理及其应用。
垂径定理是圆的基本性质之一，对于解决与圆相关的问题具有重要意义。
通过学习垂径定理，学生能够更深入地理解圆的性质，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了圆的基本概念和性质，具备了一定的观察、分析和推理能力。
但在学习垂径定理时，学生可能对定理的理解和应用还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，引导学生逐步理解并掌握垂径定理。
三. 教学目标1.理解垂径定理的内容及证明过程。
2.能够运用垂径定理解决与圆相关的问题。
3.培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：垂径定理的理解和应用。
2.难点：垂径定理的证明过程。
五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生观察、分析、推理，发现垂径定理。
2.实例讲解法：教师通过具体例子，讲解垂径定理的应用。
3.合作交流法：学生分组讨论，分享学习心得和解决问题的方法。
六. 教学准备1.教学PPT：包含垂径定理的定义、证明和应用。
2.实例图片：用于讲解垂径定理的应用。
3.练习题：巩固所学内容。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾圆的基本性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师展示PPT，介绍垂径定理的定义、证明和应用。
引导学生观察、分析，理解垂径定理的意义。
3.操练（10分钟）教师提出几个与垂径定理相关的问题，让学生分组讨论，共同解决问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）学生独立完成几道练习题，巩固所学内容。
教师选取部分题目进行讲解，分析解题思路。
5.拓展（10分钟）教师提出一些拓展问题，引导学生运用垂径定理解决实际问题。
学生分组讨论，分享解题方法。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，回顾学习过程，分享学习心得。
第3章3.3垂径定理(教案)2023-2024学年九年级下册数学(教案)(北师大版)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与垂径定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示垂径定理的基本原理。
5.培养学生养成良好的学习习惯，提高自主学习、探究学习的能力，形成终身学习的观念。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解垂径定理的概念：垂径定理是圆的基本性质之一，对于圆的认识具有重要意义。教学过程中应重点讲解垂径定理的定义，使学生明确垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
-掌握垂径定理的证明方法：通过运用勾股定理和圆周角定理，引导学生理解并掌握垂径定理的证明过程，培养学生严谨的逻辑推理能力。
此外，在总结回顾环节，学生们能够较好地掌握垂径定理的基本概念和应用。但我也注意到，部分学生在提问环节显得较为拘况，我将在课堂上鼓励学生大胆提问，充分表达自己的观点，同时给予他们更多的肯定和鼓励。
最后，针对本节课的教学，我认为以下方面需要改进：
a.引导学生观察图形，发现垂径定理的规律。
b.分步骤解释证明过程，强调勾股定理和圆周角定理的应用。
c.通过提问和互动，了解学生在证明过程中遇到的难点，并针对性地进行解答。
d.组织学生进行小组讨论，共同解决证明过程中的问题，培养学生的团队合作能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《垂径定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要找到圆中某个点，使得从这个点到圆周上某点的距离最短的情况？”（例如：如何在一张纸上剪出一个最大的圆）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索垂径定理的奥秘。
北师大版九年级数学下册《三章 圆 3 垂径定理》公开课教案_1
《垂径定理》教学设计一、教学目标：知识与技能：1．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理；2．运用垂径定理及其逆定理解决问题．过程与方法：1．经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．情感与态度：1. 培养学生类比分析，猜想探索的能力．2. 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．二、教学重难点：重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线．三、教法设计：合作探究四、教学过程：本节课设计了四个教学环节：类比引入，猜想探索，知识应用，归纳小结.第1环节：类比引入活动内容：1.等腰三角形是轴对称图形吗？2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，得到的图形是否是轴对称图形呢？第2环节猜想探索活动内容：1．如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ．（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由．条件：① CD 是直径；② CD ⊥AB结论（等量关系）：③AM =BM ；④⌒AC=⌒BC ；⑤⌒AD =⌒BD . 证明：连接OA ,OB ,则OA =OB .在Rt △OAM 和Rt △OBM 中,∵OA =OB ，OM =OM ，∴Rt △OAM ≌Rt △OBM .∴AM =BM .∴点A 和点B 关于CD 对称.∵⊙O 关于直径CD 对称,∴当圆沿着直径CD 对折时, 点A 与点B 重合,⌒AC 和⌒BC 重合,⌒AD和⌒BD 重合. ∴ ⌒AC=⌒BC ，⌒AD =⌒BD . 2．证明完毕后，让学生自行用文字语言表述这一结论，最后提炼出垂径定理的内容——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．3．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦．通过以上辨析，让学生对垂径定理的两个条件的必要性有更充分的认识．4．垂径定理逆定理的探索如图，AB 是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB 的直径CD ，交AB 于点M .条件：① CD 是直径；② AM =BM结论（等量关系）：③CD ⊥AB ；④⌒AC=⌒BC ；⑤⌒AD =⌒BD .让学生模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理，并表述逆定理的内容 ——平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.5．辨析：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．”如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？反例：第3环节 知识应用活动内容：讲解例题及完成随堂练习．例：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中⌒CD,点0是⌒CD 所在圆的圆心），其中CD =60m ，E 为⌒CD上的一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF =10m.求这段弯路的半径．解：连接OC ，设弯路的半径为R m,则OF =(R -10)m ． ∵OE ⊥CD30602121=⨯==∴CD CF 根据勾股定理，得OC ²=CF ² +OF ²即 R ²=30²+(R -10)².解这个方程，得R =50.所以，这段弯路的半径为50m.第5环节 达标检测：1. 在⊙O 中，OC 垂直于弦AB ，AB = 8，OA = 5，则AC=，OC = .2.在⊙O中，OC平分弦AB，AB = 16，OA = 10，则∠OCA = °，OC = .3、（襄阳·中考）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于D点，且AB ＝6cm，OD＝4cm，则DC的长为（）第6环节归纳小结第7环节拓展提高第8环节布置作业。
3.3垂径定理教学设计2023--2024学年北师大版九年级数学下册
课题：
科目：
班级：
课时：计划1课时
教师：
单位：
一、教学内容分析
1. 本节课的主要教学内容为“垂径定理”。教学内容选自2023--2024学年北师大版九年级数学下册第3章第3节，主要包括垂径定理的定义、性质及其应用。
2. 教学内容与学生已有知识的联系：学生在八年级已经学习了圆的性质、圆的方程以及圆的切线，对圆的基本概念有了较为深入的理解。在此基础上，本节课将引导学生探索垂径定理，使学生进一步掌握圆的性质，并为后续学习圆的弦、弧等相关知识奠定基础。通过本节课的学习，学生将能更好地理解圆的相关性质，提高解决问题的能力。
3. 学生在学习垂径定理过程中可能遇到的困难和挑战有：理解并掌握垂径定理的证明过程，将定理应用于解决具体问题，特别是在涉及多步骤、综合性的几何问题时，可能会感到困惑。此外，对定理的灵活运用和拓展也可能会给学生带来挑战。
四、教学方法与手段
教学方法：
1. 讲授法：通过讲解垂径定理的定义、性质和证明过程，帮助学生建立清晰的知识体系。
2. 讨论法：组织学生分组讨论垂径定理的应用实例，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
3. 实验法：引导学生通过画图、实际测量等实验方式，直观感受垂径定理的成立和运用。
教学手段：
1. 多媒体设备：运用PPT、动画等展示垂径定理的证明过程和应用实例，提高学生的学习兴趣。
2. 教学软件：利用几何画板等教学软件，让学生动手操作，加深对垂径定理的理解。
3. 垂径定理的性质：
a. 圆的直径平分弦，并且垂直于弦。
b. 圆的直径平分弦所对的两条弧。
c. 圆的半径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
北师大版数学九年级下册3.3垂径定理教学设计
（一）教学重难点
1.重点：理解并掌握垂径定理及其证明过程，能够灵活运用垂径定理解决相关问题。
2.难点：
（1）从具体实例中抽象出垂径定理，理解其几何本质。
（2）运用逻辑推理证明垂径定理，培养学生的逻辑思维和推理能力。
（3）将垂径定理应用于解决与圆相关的实际问题，提高学生的应用能力。
5.小组合作题：安排一道需要团队合作完成的题目，要求学生在小组内部分工合作，共同解决问题。这样的题目有助于提高学生的沟通协作能力，同时也能让学生在合作中发现问题、解决问题。
作业要求：
1.学生需独立完成作业，书写规范，保持卷面整洁。
2.对于提高拓展题和实践应用题，鼓励学生尝试不同的解题方法，注重解题过程的逻辑性和思维的创造性。
为了巩固学生对垂径定理的理解和应用，以及提高他们的数学思维能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：请学生完成课后练习题中与垂径定理相关的前三题，旨在帮高拓展题：选择两道具有一定难度的题目，要求学生在理解垂径定理的基础上，结合其他几何知识，如圆周角定理、相似三角形等，解决问题。这样的题目旨在培养学生的综合解题能力和逻辑思维。
4.教学策略：
（1）注重分层教学，针对不同水平的学生，设计不同难度的教学任务，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
（2）鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的表达和倾听能力。
（3）关注学生的情感态度，营造轻松愉快的学习氛围，激发学生的学习兴趣。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.复习引入：首先，引导学生复习圆的基本概念，如半径、直径、弦、弧等。通过提问方式，让学生回顾这些概念的定义及性质，为新课的学习打下基础。
3.小组合作题需明确每个成员的责任，确保每个学生都能积极参与，共同完成任务。
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《垂径定理》教学设计圆是一种特殊图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形。
该节内容分为2课时。
本节课是第1课时，学生通过前面的学习，能用折叠的方法得到圆是一个轴对称图形。
其对称轴是任一条过圆心的直线。
【知识与能力目标】1．理解圆的轴对称性及其相关性质；2．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。
【过程与方法目标】经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。
【情感态度价值观目标】1． 培养学生独立探索，相互合作交流的精神。
2． 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。
【教学重点】利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。
【教学难点】和圆有关的相关概念的辨析理解。
（提前一天布置）1. 每人制作两张圆纸片（最好用16K 打印纸）2. 预习课本P 74~P 76内容 第一环节 复习提问1、什么是轴对称图形？我们在学过哪些轴对称图形？如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。
如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。
2、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?归纳：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
第二环节讲授新课活动内容：（一）探索垂径定理。
做一做1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折使圆的两半部分重合。
2．得到一条折痕CD。
3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足。
4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如右图问题：（1）观察右图，它是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由。
在⊙O中，AB为弦，CD为直径,CD⊥AB提问：你在图中能找到哪些相等的量？并证明你猜想的结论。
证明过程见PPT。
几何语言如图∵CD是直径,CD⊥AB,∴AM=BM,==,AC BC AD BD总结得出垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
（二）讲解例题及完成随堂练习。
[例1]如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD，点O是CD的圆心)，其中CD=600m，E为CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m．求这段弯路的半径。
[分析]要求弯路的半径，连接OC，只要求出OC的长便可以了.因为已知OE⊥CD，所以CF＝CD＝300 cm，OF＝OE-EF，此时得到了一个Rt△CFO,利用勾股定理便可列出方程.解答过程见PPT。
练习：1、如图3－33所示，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为E，且CD＝22，BD＝3，则AB的长为 ( )A．2 B．3C．4 D．52、如图3－35所示，⊙O的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，CD＝6 cm，则直径AB的长是 ( )A．23cm B．32cmC．42cm D．43cm3．如图所示，在⊙O中，AB和AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．且AB＝8 cm，AC＝6 cm，那么⊙O的半径OA的长为。
答案：1.B 2.D 3. 5 cm（三）探索垂径定理逆定理并完成随堂练习。
想一想：如下图示，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M。
同学们利用圆纸片动手做一做，然后回答：（1）上图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么?（2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由。
总结得出垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
讨论（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对优弧（5）平分弦所对的劣弧。
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
练习：1．下列命题：①圆心不同，直径相等的两圆是等圆；②长度相等的两弧是等弧；③圆中最长的弦是直径；④圆的对称轴是圆的直径；⑤圆不是旋转对称图形．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个2．P为⊙O内一点，且OP＝8 cm，过P的最长弦长为20 cm，则过P的最矩弦长（3）（1）（2）（4）（5）（2）（3）（1）（4）（5）（1）（4）（3）（2）（5）为。
3.如图是一大型圆形工件被埋在土里而露出地表的部分.为推测它的半径，小亮同学谈了他的做法：先量取弦AB的长，再量中点到AB的距离CD的长，就能求出这个圆形工件的半径.你认为他的做法合理吗？如不合理，说明理由；如合理，请你给出具体的数值，求出半径。
答案：1．B2．12 cm ［提示：过P 的最长弦为直径，即直径等于20 cm ，最短弦为过P 且垂直OP 的弦，利用勾股定理可求最短弦的一半长为6 cm ，则弦长为12 cm ．]3．分析：由CD 平分弧AB 且垂直于AB ,得CD 经过圆心O ,连AO ,由垂径定理得AD =1/2AB , 设圆形工件半径为r ,OD =OC -CD =r -CD ,在直角三角形AOD 中，由勾股定理，求出r 。
解、小亮的做法合理.取AB =8 m ，CD =2 m , 设圆形工件半径为r , ∴r 2=(r －2)2+42. 得r =5(m ).活动目的：内容（一）的主要目的就是通过学生动手实验，采用折叠的方法认识圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；内容（二）的主要目的就是让学生弄清和圆有关的这些概念，便于以后内容的学习研究；内容（三）的主要目的就是通过学生做一做，观察，猜想，验证等的过程得到新知，同时也培养学生合作交流的能力，以及再次体会研究图形的多种方法。
内容（四）的主要目的让学生应用新知识构造直角三角形，并通过方程的方法去解决几何问题。
内容（五）的主要目的与内容（三）相似。
实际教学效果：对于活动（一），学生在探索圆是轴对称图形时，应该把机会留给学生，让他们相互交流，发表自己的想法；对于活动（二），要注意让学生借助图形去认识，并弄清他们之间的联系和区别，还应该注意补充一些概念，如半圆，劣弧，优弧等；对于活动（三），师生要按四个步骤共同操作，逐步引导学生通过观察，猜想到理论验证垂径定理，并帮助学生去理解和记忆垂径定理，如推理格式：如图所示 CO ⊥AB ，CD 为⊙O 的直径 AM =BM ，AD =BD ，AC =BC 。
另外在证明垂径定理时，学生对如何证明平分弦所对的弧会较难表述。
教师要运用轴对称性启发引导。
对于活动（四）， 教师要引导学生如何应用垂径定理去更好衔接上，至于这一逆 定理的探索过程与前面垂径定理的探索过程类似，在完成随堂练习时，教师要提示学生，符合条件图形有三种情况：圆心在平行弦外，在其中一条弦上、在平行弦内，但说理的思路都是一样。
O ABC DE第三环节课堂小结活动内容：师生互相交流总结：1.本节课我们探索了圆的轴对称性；2.利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理；3.垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题。
活动目的：通过回顾本节课经历的各个环节，鼓励学生畅谈自己的收获和感想，培养学生良好的学习习惯。
实际教学效果：学生在互相交流中，对于归纳出来的内容，会有各种表述，只要合理，教师都应该鼓励。
中考链接1．如图3－36所示，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D，已知AB＝2CD，AB 的弦心距等于CD长的一半，那么大圆与小圆的半径之比是 ( )A．3∶2 B．5∶2C．5∶2D．5∶42.⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为____.最大值为____________。
3．如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是AB弧的中点。
（1）求证：AB平分∠OAC；（2）延长OA至P使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长。
答案：1．C[提示：AB与CD的弦心距相同．2.分析：当OM垂直于AB时OM最小，当M于A或B重合时，OM最大解：当OM垂直于AB时OM最小，这时AM=1/2AB=4,连AO得直角三角形AOM，由勾股定理得，OM=3,当M于A或B重合时，OM最大为半径53．解答：（1）证明：连接OC，∵∠AOB=120°，C是AB弧的中点，∴∠AOC=∠BOC=60°，∵OA=OC，∴△ACO是等边三角形，∴OA=AC，同理OB=BC，∴OA=AC=BC=OB，∴四边形AOBC是菱形，∴AB平分∠OAC；（2）解：连接OC，∵C为弧AB中点，∠AOB=120°，∴∠AOC=60°，∵OA=OC，∴OAC是等边三角形，∵OA=AC，∴AP=AC，∴∠APC=30°，∴△OPC是直角三角形，∴。
第四环节课后作业1.课本习题3.2，1，2。
试一试12.预习课本P78~81内容。
略。