《垂径定理》公开课教学设计【北师大版九年级数学下册】

《垂径定理》教学设计

圆是一种特殊图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形。该节内容分为2

课时。本节课是第1课时，学生通过前面的学习，能用折叠的方法得到圆是一个轴对称图形。其对称

轴是任一条过圆心的直线。 【知识与能力目标】

1．理解圆的轴对称性及其相关性质；

2

．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。 【过程与方法目标】

经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。 【情感态度价值观目标】

1． 培养学生独立探索，相互合作交流的精神。

2． 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。

【教学重点】

利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。 【教学难点】

和圆有关的相关概念的辨析理解。

（提前一天布置）

1. 每人制作两张圆纸片（最好用16K 打印纸）

2. 预习课本P 74~P 76内容 第一环节 复习提问

1、什么是轴对称图形？我们在学过哪些轴对称图形？

如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。

2、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?

归纳：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

第二环节讲授新课

活动内容：

（一）探索垂径定理。

做一做

1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折使圆的两半部分

重合。

2．得到一条折痕CD。

3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M

是两条折痕的交点，即垂足。

4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如右图

问题：（1）观察右图，它是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

（2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由。

在⊙O中，AB为弦，CD为直径,CD⊥AB

提问：你在图中能找到哪些相等的量？并证明你猜想的结论。

证明过程见PPT。

几何语言

如图∵CD是直径,CD⊥AB,

∴AM=BM,

==

,

AC BC AD BD

总结得出垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所

对的弧。

（二）讲解例题及完成随堂练习。

[例1]如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD，

点O是CD的圆心)，其中CD=600m，E为CD上一点，且OE⊥CD，

垂足为F，EF=90 m．求这段弯路的半径。

[分析]要求弯路的半径，连接OC，只要求出OC的长便可以了.因为已知OE⊥CD，所以CF＝CD＝300 cm，OF＝OE-EF，此时得到了一个Rt△CFO,利用勾股定理便可列出方程.

解答过程见PPT。

练习：

1、如图3－33所示，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为E，且CD＝22，BD＝3，则AB的长为 ( )

A．2 B．3

C．4 D．5

2、如图3－35所示，⊙O的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，CD＝6 cm，则直径AB的长是 ( )

A．23cm B．32cm

C．42cm D．43cm

3．如图所示，在⊙O中，AB和AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．且AB＝8 cm，AC＝6 cm，那么⊙O的半径OA的长为。

答案：1.B 2.D 3. 5 cm

（三）探索垂径定理逆定理并完成随堂练习。

想一想：

如下图示，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交

AB于点M。

同学们利用圆纸片动手做一做，然后回答：（1）上图是轴对称图形吗?如

果是，其对称轴是什么?（2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理

由。

总结得出垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

讨论

（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对优弧（5）平分弦所

对的劣弧。

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

练习：

1．下列命题：①圆心不同，直径相等的两圆是等圆；②长度相等的两弧是等弧；③圆

中最长的弦是直径；④圆的对称轴是圆的直径；⑤圆不是旋转对称图形．其中正确的有( )

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．P为⊙O内一点，且OP＝8 cm，过P的最长弦长为20 cm，则过P的最矩弦长

（3）

（1）

（2）

（4）

（5）

（2）

（3）

（1）

（4）

（5）

（1）

（4）

（3）

（2）

（5）

为。

3.如图是一大型圆形工件被埋在土里而露出地表的部分.为推测它的半径，小亮同学谈了他的做法：先量取弦AB的长，再量中点到AB的距离CD的长，就能求出这个圆形工件的半径.你认为他的做法合理吗？如不合理，说明理由；如合理，请你给出具体的数值，求出半径。