离散数学的谓词逻辑详解(课堂PPT)

样” x ┐ P(x)
“存在x， P(x)是真” “存在x， P(x)是真，并非这
“存在x， ┐ P(x)是真”
如: “有些有理数是整数。” 令Ｉ(x）：x是整数，
设x的个体域为有理数集合，则命题可表示为： x I(x）
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4. 论 域
含有量词的命题的表达式的形式，与论域有关。用量词量化 后的命题，其值也与论域有关。
谓词逻辑
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命题逻辑的局限性
苏格拉底三段论：
P：所有的人都是要死的。 Q：苏格拉底是人 。 R：所以苏格拉底要死 。
凭直觉知道这个结论是真的，推理是有效的。但是，借 助命题演算的推理理论，却不能推导出这个结论（无法 证明它的正确性）。Why ?
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此三段论的论断显然正确。 但是，在命题逻辑中无法得到正确性的反应: P∧QR 不是重言式！
究它们的形式结构及逻辑关系，总结出正确的推理形式和 规则，这就是一阶逻辑所研究的内容.
一阶逻辑也称谓词逻辑。谓词逻辑是一种表达能力更强的
逻辑。
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谓词逻辑
我们将介绍谓词逻辑的基本概念和符号。关于命题、 命题的真值、命题词、命题常量和命题变元以及逻辑 五个联结词其含意和在命题逻辑中的基本相同，
本章中只介绍谓词逻辑中新出现的基本概念和符号， 其中主要的是个体词，谓词，量词以及函词。
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例
(1) “所有的人都是要死的。”
(2) “有的人不怕死。”
1.当x的个体域为全体人组成的集合时，符号化上述命题。
解: 令D（x）：x是要死的，令G（x）：x怕死。
则（1）可表示为: x D(x)。
（2）可表示为: x ┐G(x)。
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论域为全域时
2. 当取x的个体域为全域时，必须引入一个特性谓词将 “人”从全域中分离出来。
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1.谓词与个体词
将简单命题分解成个体与谓词这样两个组成部分。谓词，通 常是用来描述个体的性质或特征，或者个体之间的关系。谓 词逻辑，是命题逻辑的扩充与发展 。
例1：下面两个命题 1. 张华是学生 2. 李明是学生
a: 张华 b:李明 H：是学生 ，则 H（x）:x是学生
1，2可分别表示成 H(a) ，H(b). 这样表示就揭示了两命题间有相同的谓语这一特征。
例 1 x（x=0) 若论域为整数集，则此命题值为真， 若论域为正整数集，则命题的值为假。
为了方便，引入全总个体域，记为：U，简称全域:
定义:宇宙间所有的个体聚集在一起所构成的集合称为全域。
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特性谓词
后面的讨论中，除特殊说明外，均使用全域。而对个 体变化的真正取值范围，用特性谓词加以限制。
一般地，对全称量词，特性谓词作蕴含的前件引入；而 对存在量词，特性谓词常作为合取项引入。
解:用个体词a，b，c分别表示武汉，重庆和上海，
谓词P(x，y，z)表示x位于y与z之间， 则该命题表示为:P(a，b，c).
例2：如果王英坐在李红的后面，则王英比李红高.
解：令 a:王英;b:李红;P(x，y):x坐在y的后面; G(x，y):x比y高.
则该命题表示为：P(a，b)G(a，b).
（1）对所有个体而言，如果它是人，则它是要死的。 （2）存在着个体，它是人并且它不怕死．
于是令 M（x）：x是人。 （1） x（M(x)→D(x)) （2） x (M（x）∧ ┐G（x））
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命题符号化(翻译)：
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3. 量词
使用前面介绍的概念，还不足以表达日常生活中的 各种命题。 例如： “ 所有的正整数都是素数 ” “ 有些正整数是素数 ”
两种量词: 全称量词和存在量词.
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全称量词:
1.全称量词 ： （任意，所有） x: “对一切x”，“对所有的x”， “对任一x”
如： x P(x) ┐ x P(x) x ┐ P(x)
定义：一个n元函词即是一个论域Ｄ上的一个n元函数．
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概念的讨论
❖ 变元在谓词中的次序直接影响了谓词的取值 。 如:设谓词P(x，y)为“x比y高”，
设张三为170cm，李四为180cm.
则: P(李四，张三)为真命题。 P(张三，李四)为假命题.
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命题的符号化
例1:武汉位于重庆与上海之间.
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2.个体词
❖个体是可以独立存在的实体，它可以是一个具体的 事物---个体常元，常用小写拉丁字母a，b，c等表
示。 也可以是一个抽象的概念（即没指定哪一个个体） ----个体变元，常用小写拉丁字母：x，y，z等表
示．
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函词
例：张华的哥哥比李明高 a:张华 b:李明 L(x，y):x高于y f(x):x的哥哥 则上述符号化为： L(f(a)，b) f称为函词
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例2：张华比李明高 令 a:张华 b:李明 L(x，y):x高于y 该命题可表示为： L(a，b)
例1和例2中的 H、L称为谓词， 其中H是一元谓词，表示个体的性质（是什么），
L是二元谓词，表示个体之间的关系。
注： （1）常用大写拉丁字母表示谓词. （2）谓词是用来刻划个体的性质或者个体之间
的关系的。
“对一切x，P(x)是真” “并非对一切x，P(x)是真” “对一切x， ┐ P(x) 是真”
如: “ 所有人都是要死的”
设x的个体域为全体人的集合，则可表示为 x D(x)
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存在量词:
2. 存在量词： （存在） x: “存在x“、 ”某些x“、 ”至少有一x”
如： x P(x) ┐x P(x)
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命题函数与命题
例: 令P(x)表示x为质数，则P(x)为一元谓词。 令 H(x，y)表示“x高于y”,则 H(x，y)为二元谓词。
则：H(张三，李四) 表示“张三高于李四”，是命题。
注意： P(x.y), H(x，y)为命题函数.
P(2)与 H(张三，李四)才是命题。
谓词中如果有n个变元则称为n元谓词. n元谓词反映了个体 之间的n元关系.
命题逻辑不能正确反映此三段论的推理过程。这 是命题逻辑的局限性!
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原因
在命题逻辑中无法将简单命题之间的内在联系反映出来。 命题逻辑中描述的上述三段论，即P∧Q→R，使R与命题P、 Q无关的独立命题。
但是，实际上R与命题P、Q是有关系的，只是这种关系 在命题逻辑中得不到反映。
要反映这种内在联系，需对简单命题作进一步分解，分解 出其中的成份，包括：个体词，谓词，量词，函词等，研