流体力学第六章流体动力学积分形式基本方程
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流体动力学基本方程
IV.本构方程 数学预备： 记，根据二阶张量定义，将坐标系旋转，从原坐标系到旋转后的坐标 系，二阶张量的张量元满足变换： ， 其中变换矩阵。 逆变换：。 本构方程的导出 1应力张量分解： ——偏应力张量，代表运动流体的应力张量与各向同性应力张量（记 为）的差异。记作；是对称二阶张量。 2线性假设（Newton粘性定律的推广，对于剪切流动，） 偏应力产生于速度场的不均匀性。 线性假设：假设偏应力张量各分量与速度梯度张量的各分量成线性关 系： 。 是四阶张量，满足变换关系。 是由81个系数组成的一组系数，这组系数确定了偏应力张量各张量元与 速度梯度张量各张量元之间的关系，由于偏应力张量和速度梯度张量都 满足二阶张量定义，于是有 可知。数学上定义，由81个元素组成的量，若其元素满足该变换的则称 之为四阶张量。 3各向同性流体及其四阶张量的表达式 3－1各向同性流体：若在原坐标系和旋转后的坐标系中偏应力张量分别 表示为和，若则应当有，于是要求。 ************************************************************************
例题1求流体作用于闸门上的力。（设渠宽） 解：取控制体如图所示，根据假定只需讨论动量方程的方向分量方程。
闸门受合力＝ 代入动量方程方程得 故 注：求时可直接设。 注 微分形式的动量定理也可由积分形式的动量定理导出，推导过程如 下： 其中，因而得到
。 上式表明：流体团总动量的变化率=组成该流体团的流体质点的动量变 化率之和。 另外，， 综上可得，再考虑到系统大小形状的任意性可得。 尽管得到了流动的动量方程，但是不像经典力学有了动量定理就可以求 解质点运动一样，流体运动的动量方程中应力张量等于什么我们还不知 道，并且速度的随体导数同时包含空间导数和时间导数，使得我们不仅 需要初始条件，还需要边界条件才能确定一个具体流动。 3兰姆—葛罗米柯形式的动量方程
例题1求流体作用于闸门上的力。（设渠宽） 解：取控制体如图所示，根据假定只需讨论动量方程的方向分量方程。
闸门受合力＝ 代入动量方程方程得 故 注：求时可直接设。 注 微分形式的动量定理也可由积分形式的动量定理导出，推导过程如 下： 其中，因而得到
。 上式表明：流体团总动量的变化率=组成该流体团的流体质点的动量变 化率之和。 另外，， 综上可得，再考虑到系统大小形状的任意性可得。 尽管得到了流动的动量方程，但是不像经典力学有了动量定理就可以求 解质点运动一样，流体运动的动量方程中应力张量等于什么我们还不知 道，并且速度的随体导数同时包含空间导数和时间导数，使得我们不仅 需要初始条件，还需要边界条件才能确定一个具体流动。 3兰姆—葛罗米柯形式的动量方程
第六章 流体动力学的积分方程分析
DE Q W Dt
(6-18)
18
第六章 流体动力学的积分方程分析
式中，E ed 是系统的总能量，单位质量流体所具有的能 ~ 、动能V2/2和重力势能gz(取z轴铅垂向上)，即 量包括内能 u
(6-19) 和 W 上的圆点表示对时间的导数，它们分别是 式(6-18)中 Q Q 传热功率和作功功率。 可以是单位时间内通过系统界面以 热传导形式传递给系统的热量，也可以是以辐射形式或内热 ， 为正。 Q 源传递给系统的热量；当外界传递热量给系统时 Q W 同样当外界对系统作功时，作功功率 为正。注意不要将 与体积流量Q相混淆。
17
第六章 流体动力学的积分方程分析
§6-3 能量方程
根据热力学第一定律，一个系统的内能变化等于外力对 该系统所作的功与外界传递给系统的热量之和。 热力学第一定律适用于初始状态静止，经过一系列变化 后又恢复静止状态的系统。由于流体处于连续的运动中，在 研究流体系统的能量守恒时需要对热力学第一定律加以修正， 考虑流体总能量(内能、动能与重力势能之和)的变化，即处 于流动中的一个流体系统的总能量的变化率等于外力对它的 作功功率和外界对该系统的传热功率之和，以数学公式表示 为
d d i AiVi out i AiVi in 0 dt i i
(6-11)
14
第六章 流体动力学的积分方程分析
d 定常流动 对于定常流动， d d 0，于是式（6 t dt 10）简化为
A
V ndA 0
Dt Dt
Dt
5
第六章 流体动力学的积分方程分析
一个体积为δτ的流体微元包含的物理量为δΦ= ρφ δτ，于是
(6-18)
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第六章 流体动力学的积分方程分析
式中，E ed 是系统的总能量，单位质量流体所具有的能 ~ 、动能V2/2和重力势能gz(取z轴铅垂向上)，即 量包括内能 u
(6-19) 和 W 上的圆点表示对时间的导数，它们分别是 式(6-18)中 Q Q 传热功率和作功功率。 可以是单位时间内通过系统界面以 热传导形式传递给系统的热量，也可以是以辐射形式或内热 ， 为正。 Q 源传递给系统的热量；当外界传递热量给系统时 Q W 同样当外界对系统作功时，作功功率 为正。注意不要将 与体积流量Q相混淆。
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第六章 流体动力学的积分方程分析
§6-3 能量方程
根据热力学第一定律，一个系统的内能变化等于外力对 该系统所作的功与外界传递给系统的热量之和。 热力学第一定律适用于初始状态静止，经过一系列变化 后又恢复静止状态的系统。由于流体处于连续的运动中，在 研究流体系统的能量守恒时需要对热力学第一定律加以修正， 考虑流体总能量(内能、动能与重力势能之和)的变化，即处 于流动中的一个流体系统的总能量的变化率等于外力对它的 作功功率和外界对该系统的传热功率之和，以数学公式表示 为
d d i AiVi out i AiVi in 0 dt i i
(6-11)
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第六章 流体动力学的积分方程分析
d 定常流动 对于定常流动， d d 0，于是式（6 t dt 10）简化为
A
V ndA 0
Dt Dt
Dt
5
第六章 流体动力学的积分方程分析
一个体积为δτ的流体微元包含的物理量为δΦ= ρφ δτ，于是
流体力学的基本方程式
流体力学的基本方程式流体力学是研究流体力学原理和现象的一门学科。
它主要研究流体的运动和变形规律，包括速度、压力、密度和温度等参数的分布及其相互关系。
流体力学的基本方程式包括连续性方程、动量方程和能量方程。
这些方程式用来描述流体的性质和运动，对于解决流体力学问题至关重要。
下面将逐一介绍这些方程式及其应用。
1. 连续性方程连续性方程描述了流体的质量守恒规律。
它基于质量守恒原理，即在流体中任意一点的质量净流入/流出率等于该点区域内质量的减少率。
连续性方程的数学表达式是：∂ρ/∂t + ∇•(ρV) = 0。
其中，ρ是流体的密度，t是时间，V是流体的流速矢量，∇•表示散度运算符。
连续性方程的应用范围广泛，例如用于描述气象学中的气流动力学、河流的水量和水质传输等。
2. 动量方程动量方程描述了流体的运动规律。
它基于牛顿第二定律，即流体的运动是由外力和内力共同作用的结果。
动量方程的数学表达式是：ρ(∂V/∂t + V•∇V) = -∇P + ∇•τ + ρg。
其中，P是压力，τ是应力张量，g是重力加速度。
动量方程是解决流体流动问题的关键方程，可以用于模拟气象学中的风场、水力学中的水流、航空航天中的气体流动等。
3. 能量方程能量方程描述了流体的能量转换和传递规律。
它基于能量守恒原理，即在流体中任意一点的能量净流入/流出率等于该点区域内能量的减少率。
能量方程的数学表达式是：ρCv(∂T/∂t + V•∇T) = ∇•(k∇T) + Q - P(∇•V) + ρg•V。
其中，Cv是比热容，T是温度，k是热传导系数，Q是体积热源项。
能量方程可用于模拟热传导、对流和辐射现象，例如地下水温场、燃烧室的工作原理等。
流体力学的基本方程式是解决各种流体流动问题的基础，通过对这些方程式的应用，可以揭示流体的行为和性质，为实际工程和科学研究提供指导。
在实际应用中，还可以结合数值模拟和试验数据，进一步分析和预测流体力学问题的解，为工程决策和科学研究提供依据。
第六章流体动力学的积分方程分析
2015/4/20
西安交通大学流体力学课程组
2
6.1 物质积分的随体导数—雷诺输运定理
系统
某一确定流体质点集合的总体
system
与外界无质量交换
随流体质点的运动而运动
边界形状、包围空间大小 随流体质点的运动而变化
拉格朗日方法下的概念
2015/4/20
西安交通大学流体力学课程组
3
系统2
物理定律通常应用于系统
第六章 流体动力学的积分方程分析
流体动力学
雷诺输运定理，积分形式控制方程组
基础知识
守恒定律、牛顿第二定律、物质导数、描述流 体运动的两种方法
2015/4/20
西安交通大学流体力学课程组
1
第六章 流体动力学的积分方程分析
雷诺输运定理
系统和控制体、雷诺输运定理
积分形式的控制方程
连续方程、能量方程、动量方程
单位体积流体的物理量分布函数
m
动量
k
mV
V
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西安交通大学流体力学课程组
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控制体
控制体
流场中某一确定的空间区域
control volume
与外界有质量交换
空间位置相对于某参照系不变
边界形状、包围空间大小一般是确定的
欧拉方法下的概念
control surface
控制面
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积分方法的优点
积分方法无需了解内部细节，甚至允许物理量在 内部发生间断，只利用 CV 和 CS，花很少时间就 能获得有价值的结果
方法简单，计算量小
适于研究大范围内的流体运动，特别是求解对有 限区域固体边界的总体作用
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流体动力学积分形式的基本方程
τ0
A0
即：
D ∫∫∫ ρVdτ 0 = ∫∫∫ ρ f dτ 0 + ∫∫ pn dA0 Dt τ 0 A0 τ0
n 作用面法线方向而非 pn 的方向
三、动量矩方程
DM 0 D = ∫∫∫ r × ρVdτ 0 = ∑ r × F Dt Dt τ 0 = ∫∫∫ ρ ( r × f )dτ 0 + ∫∫ ( r × pn )dA0
A
D ∂φ ∫∫∫) φ dτ 0 ( t ) = ∫∫∫ ∂t dτ + Dt τ 0 ( t τ
∫∫ ( V • n )φ dA − − − − − (1)
A
——输运公式，即系统导数的欧拉表达式
∇ • (φ V ) = φ∇ • V + V∇ • φ
由质点导数
Dφ ∂φ = + V∇ • φ Dt ∂t
τ0
A0
M 0 = ∫∫∫ ( r × V ) dτ 0
τ0
四、能量方程
⎛ V2 ⎞ DE D Q +W = = ∫∫∫ ρ ⎜ e + 2 ⎟ dτ 0 Dt Dt τ 0 ⎝ ⎠
●热传导
n qλ = qin q n 方向分量 q = − λ∆T ， 为外法 在
Q
q T ∆T 线方向， 由外向内为负， 外高里低 ， 指向温增 ● 热辐射 总辐射热 ∫∫∫ qR ρdτ 0
1 2 3
间的变化率
• 质点导数强调某一流体质点的物理量对时间 的变化率 • 以直角坐标为例：
已知速度场，t时刻空间点 点 V = V ( x, y, z, t )，经过 ∆t ，
p
p ( x, y , z )
上的流体质
p → p′( x + u ∆t , y + v∆t , z + w∆t , t )
A0
即：
D ∫∫∫ ρVdτ 0 = ∫∫∫ ρ f dτ 0 + ∫∫ pn dA0 Dt τ 0 A0 τ0
n 作用面法线方向而非 pn 的方向
三、动量矩方程
DM 0 D = ∫∫∫ r × ρVdτ 0 = ∑ r × F Dt Dt τ 0 = ∫∫∫ ρ ( r × f )dτ 0 + ∫∫ ( r × pn )dA0
A
D ∂φ ∫∫∫) φ dτ 0 ( t ) = ∫∫∫ ∂t dτ + Dt τ 0 ( t τ
∫∫ ( V • n )φ dA − − − − − (1)
A
——输运公式，即系统导数的欧拉表达式
∇ • (φ V ) = φ∇ • V + V∇ • φ
由质点导数
Dφ ∂φ = + V∇ • φ Dt ∂t
τ0
A0
M 0 = ∫∫∫ ( r × V ) dτ 0
τ0
四、能量方程
⎛ V2 ⎞ DE D Q +W = = ∫∫∫ ρ ⎜ e + 2 ⎟ dτ 0 Dt Dt τ 0 ⎝ ⎠
●热传导
n qλ = qin q n 方向分量 q = − λ∆T ， 为外法 在
Q
q T ∆T 线方向， 由外向内为负， 外高里低 ， 指向温增 ● 热辐射 总辐射热 ∫∫∫ qR ρdτ 0
1 2 3
间的变化率
• 质点导数强调某一流体质点的物理量对时间 的变化率 • 以直角坐标为例：
已知速度场，t时刻空间点 点 V = V ( x, y, z, t )，经过 ∆t ，
p
p ( x, y , z )
上的流体质
p → p′( x + u ∆t , y + v∆t , z + w∆t , t )
积分形式的基本方程(1)流体力学
Q 5= 0.78Q1
求： Q2 及各管的平均速度 解： 取图中虚线所示控制体，有多个出入口。
血液按不可压缩流体处理
可得
Q Q out in
Q1 = Q 2 + Q 3 + Q 4 + Q 5 Q2 = Q 1－(Q 3 + Q 4 + Q 5）= Q 1－(0.07+0.04+0.78)Q
= 0.11Q1= 0.66 L / min
[例B4.2.1] 主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程(2-2) 各管的平均速度为
V 1π 4d Q 1 1 2π 4 2 6. 52 10 0 6 0 020.4cm /s V 2 π 4 Q d 2 2 2 4 π 0 .1 6 .6 1 2 1 6 0 0 0 0 1 1 .6 cm /s
v2 gz p 常数 (沿流线)
2
ρ
动能 常用形式
重力势能
压强势能
v212gz1p1 v222gz2p2 (沿流线)
B4.3.1 沿流线的伯努利方程(4-4)
伯努利方程的限制条件
条件的放宽
①沿流线
沿流束(B4.3.2)
12 V12g1zp 122 V22g2zp 2
(沿流束)
②定常流
不定常流(B4.3.4) （取α1＝α2＝1）
B4.1 流体系统的随体导数(4-3)
δ lt i0m 1 t[N C(tV t) N C(tV ) ][N 2 3(tt) ][N 4 5(tt)]
①
②
③
① t NCV
对τ 2 、τ 3 , v ·n < 0 (流进) , dτ =－ ( v ·n ) dAdtN d Biblioteka vndAdtAe(c)
求： Q2 及各管的平均速度 解： 取图中虚线所示控制体，有多个出入口。
血液按不可压缩流体处理
可得
Q Q out in
Q1 = Q 2 + Q 3 + Q 4 + Q 5 Q2 = Q 1－(Q 3 + Q 4 + Q 5）= Q 1－(0.07+0.04+0.78)Q
= 0.11Q1= 0.66 L / min
[例B4.2.1] 主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程(2-2) 各管的平均速度为
V 1π 4d Q 1 1 2π 4 2 6. 52 10 0 6 0 020.4cm /s V 2 π 4 Q d 2 2 2 4 π 0 .1 6 .6 1 2 1 6 0 0 0 0 1 1 .6 cm /s
v2 gz p 常数 (沿流线)
2
ρ
动能 常用形式
重力势能
压强势能
v212gz1p1 v222gz2p2 (沿流线)
B4.3.1 沿流线的伯努利方程(4-4)
伯努利方程的限制条件
条件的放宽
①沿流线
沿流束(B4.3.2)
12 V12g1zp 122 V22g2zp 2
(沿流束)
②定常流
不定常流(B4.3.4) （取α1＝α2＝1）
B4.1 流体系统的随体导数(4-3)
δ lt i0m 1 t[N C(tV t) N C(tV ) ][N 2 3(tt) ][N 4 5(tt)]
①
②
③
① t NCV
对τ 2 、τ 3 , v ·n < 0 (流进) , dτ =－ ( v ·n ) dAdtN d Biblioteka vndAdtAe(c)
2.4 流体运动的积分方程
量方程： d (V n )dS 0 t S
d 2 m 1 0 m dt
ρ τ=常数 ρw
2 m
1 m
§ 2.4.5 Euler型积分方程的应用
1 m 2 d m dt
wQ1 Q2 Q (w )
Vn dS 0
S
2
上述积分可用流入与流出的体积流 量Q表为：
Q1 Q2 0
Q1
S1
S2
或
Q1 Q2 ,
QC
说明：当密度等于常数时，流入控制体的体积流量 与流出的体积流量相等
§ 2.4.5 Euler型积分方程的应用
（2） 当流动为定常可压时，有：
V dS 0
n S
表示，得到 设质量流量用 m
1 m 2 m
或
C m
说明当流动定常时，流入控制体的质量流量与流 出的质量流量相等。
注意后一式表示流经控制面任一截面的流量为常数。
§ 2.4.5 Euler型积分方程的应用
（3）对于一维流动，控制体如图
ρ2 ρ1 V1 A1 A2
s V2
• 一维流动中，当密度等于常 数时，流入的体积流量等于流 出的体积流量，可表为
V1 A1 V2 A2 ,
VA c
说明：在密度不变的一维流动中，流管的粗细将 反映流速小大。
§ 2.4.5 Euler型积分方程的应用
• 一维流动中，当定常可压时，流入的质量 流量等于流出的质量流量，可表为：
1V1 A1 2V2 A2 ,
VA c'
说明：在定常一维可压流动中，密度ρ、速度 V 与截面积 A 的乘积为常数。 • 对 VA c 式取微分，可以得到定常一维流动质 量方程的微分形式：
d 2 m 1 0 m dt
ρ τ=常数 ρw
2 m
1 m
§ 2.4.5 Euler型积分方程的应用
1 m 2 d m dt
wQ1 Q2 Q (w )
Vn dS 0
S
2
上述积分可用流入与流出的体积流 量Q表为：
Q1 Q2 0
Q1
S1
S2
或
Q1 Q2 ,
QC
说明：当密度等于常数时，流入控制体的体积流量 与流出的体积流量相等
§ 2.4.5 Euler型积分方程的应用
（2） 当流动为定常可压时，有：
V dS 0
n S
表示，得到 设质量流量用 m
1 m 2 m
或
C m
说明当流动定常时，流入控制体的质量流量与流 出的质量流量相等。
注意后一式表示流经控制面任一截面的流量为常数。
§ 2.4.5 Euler型积分方程的应用
（3）对于一维流动，控制体如图
ρ2 ρ1 V1 A1 A2
s V2
• 一维流动中，当密度等于常 数时，流入的体积流量等于流 出的体积流量，可表为
V1 A1 V2 A2 ,
VA c
说明：在密度不变的一维流动中，流管的粗细将 反映流速小大。
§ 2.4.5 Euler型积分方程的应用
• 一维流动中，当定常可压时，流入的质量 流量等于流出的质量流量，可表为：
1V1 A1 2V2 A2 ,
VA c'
说明：在定常一维可压流动中，密度ρ、速度 V 与截面积 A 的乘积为常数。 • 对 VA c 式取微分，可以得到定常一维流动质 量方程的微分形式：
工程流体力学公式
工程流体力学公式1.流体静力学公式：(1) 压强公式：P = ρgh，其中P为压强，ρ为流体密度，g为重力加速度，h为液面高度。
(2)压力公式：P=F/A，其中P为压力，F为作用力，A为受力面积。
2.流体力学基本方程：(1)质量守恒方程：∂(ρ)/∂t+∇·(ρv)=0，其中ρ为密度，t为时间，v为速度矢量。
(2) 动量守恒方程：∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv) = -∇P + ∇·τ +ρg，其中P为压力，τ为应力张量，g为重力加速度。
(3) 能量守恒方程：∂(ρe)/∂t + ∇·(ρev) = -P∇·v +∇·(k∇T) + ρg·v，其中e为单位质量的总能量，T为温度，k为热传导系数。
3.流体动力学方程：(1)欧拉方程：∂v/∂t+(v·∇)v=-∇(P/ρ)+g，其中v为速度矢量，P为压力，ρ为密度，g为重力加速度。
(2)再循环方程：∂v/∂t+(v·∇)v=-∇(P/ρ)+g+F/M，其中F为体积力，M为质量。
4.流体阻力公式：(1) 粘性流体的阻力公式：F = 6πμrv，其中F为阻力，μ为粘度，r为流体直径，v为速度。
(2)粘性流体在管道中的流量公式：Q=(π/8)ΔP(R^4)/(Lμ)，其中Q为流量，ΔP为压差，R为半径，L为管道长度，μ为粘度。
5.流体力学定律：(1) Pascal定律：在封闭的液体容器中，施加在液体上的外力将均匀传递到液体的每一个点。
(2) Bernoulli定律：沿着流体流动方向，速度增大则压力减小，速度减小则压力增大。
除了上述公式之外，还有许多与特定问题相关的公式，如雷诺数、流体阻力系数、泵和液力传动公式等。
这些公式是工程流体力学研究和设计的基础，可以帮助工程师分析和解决与流体运动和相互作用有关的问题。
流体力学中三大基本方程
（ d t） d x d y d zd x d y d z d td x d y d z
t
t
单位时间内，微元体质量增量：
dtdxd/dyt dzdxdydz
t
t
（微团密度在单位时间内的变率及微团体积的乘积）
⑶根据连续性条件：
t x （ x ） y （ y） z （ z） 0
ax
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
ay
dy
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
az
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
⑷代入牛顿第二定律求得运动方程：
得x方向上的运动微分方程：
d d txd x d y d z p xd x d y d z fx d x d y d z
单位体积流体的运动微分方程：
dx
dt
同理可得在单位时间内沿y，z方向流出 及 流入控制体的质
量差为
vy
d
x
d
yd和z
vz
dxdydz
y
z
故单位时间内流出及流入微元体流体质量总变化为：
x （ x） y （ y） z（ z） dxdydz
⑵控制体内质量变化：
因控制体是固定的，质量变化是因密度变化引起的，dt时间内：
pxfx
单位质量流体的运动微分方程：
dx
dt
1
p x
fx
同理可得y,z方向上的：
流体力学基本方程
流体的本构关系
流体均匀各向同性 流体可承受正应力 静止流体不能承受剪切 运动流体不同速度层之间存在剪切力（粘性） 静止流体表面应力为
p ij
ij p ij dij
流体的本构关系
Resistentian, quae oritur ex defectu lubricitatis partuim fluidi, caeteris paribus, proportionalem esse velocitati, qua partes fluidi separantur ab invicem. Isaac Newton, 1687, From Section IX of Book II of his Principia
流体的输运系数
粘性系数（动量输运）： 热传导率（能量输运）： k
( p, T ) k ( p, T )
n
幂函数公式：
T 0 T0
k T k0 T0
1.5
n
Sutherland公式：
T T0 Ts 0 T0 T T
0
Du p f Dt
Euler Equation
1 p U 2 C 2
Bernoulli’s Equation
涡量方程
u 0 : Du 2 p f u Dt
0:
Du p f Dt
Skk u
1 v u ( ) 2 x y v y 1 w v ( ) 2 y z
1 w u ( ) 2 x z 1 w v ( ) 2 y z w z
单位体积变化率（描述流体均匀膨胀，压缩）
流体力学基本方程
∂t
∂t
单位时段内控制体内流体质量的增量为：
∂ρ dtdxdydz / dt = ∂ρ dxdydz
(2)
∂t
∂t
− [∂(ρ vx ) + ∂(ρ vy ) + ∂(ρ vz )]dxdydz
(1)∂x∂y Nhomakorabea∂z
∂ρ + ∂(ρ vx ) + ∂(ρ vy ) + ∂(ρ vz ) = 0
∂t ∂x
系统：一团流体的集合，在运动过程中，系统始终包含着确定的这些流体 质点。有确定的质量，而这一团流体的表面常常是不断变形的。 控制体：控制体是流场中某一确定的空间区域，即相对于坐标系是固定不 变的。控制体的表面是控制面，控制体的形状是根据流体运动情况和边界 情况选定的。
7
第二节 流体运动的基本概念
一、定常流、非定常流
∂v = 2 ∂y
∂w = 4 ∂z
∂u + ∂v + ∂w = 6 + 2 + 4 = 12 ≠ 0 ∂x ∂y ∂z
对不可压缩流体，以上流动不存在。对可压缩流体，因密度的变化未给 出，故无法判断。
例题3：假定流管形状不随时间变化，设A为流管的横断面积，且在A断面 上流动物理量是均匀的，试证明连续性方程具有下述形式：
20
江苏大学
Jiangsu University
对于定常流动：控制体内的质量增量 ，所以流入 = 流出
单位时间内流入控制体的质量： ρ v1 A1 单位时间内流出控制体的质量： ρ v2 A2
v1 A1 = v2 A2 Q1 = Q2
例1：如上图所示，有二块平 行平板，上板以匀速v向下平 移，间隙中的油向左右挤出 ，前后油液无流动。间隙宽b ，高h(t)，求油的平均流速 随位置变化的关系u(x)。
流体力学第6章流体运动微分方程
代入式(5)可得
b p C1 2 x
C2 0
38
于是得速度分布
1 p 2 vx (by y ) 2 x
(2)上板以匀速U沿x方向运动 这时的边界条件为
vx | y 0 0, vx | y b U
39
代入式(5)可得
U b p C1 b 2 x
若此流场满足连续性方程和无旋条件，试求
A，B，C，D所满足的条件。不计重力影响。
13
解：由连续方程可知
u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0
u v 0 x y
则有
A D 0
又由于流动无旋，则有
则有
u v y x B C 0
14
练习： 有一个三维不可压流场，已知其x向和y向的分 速度为
yy
x
dx
17
对流体微团应用牛顿第二定律，则沿x轴 方向的运动微分方程为
xx f x dxdydz xx dydz ( xx dx)dydz x yx yx dzdx ( yx dy)dzdx zx dxdy y zx Dv x ( zx dz)dxdy dxdydz z Dt
代入上式的第一式并整理得：
20
Dv x vx vx vx 1 p fx ( 2 2 2 ) Dt x x y z
2 2 2
同 理 Dv z 1 p 2vz 2vz 2vz 得 fz ( 2 2 2 ) Dt z x y z
v x v y 0 x y
9
例题：不可压缩流体的二维平面流动，y方向 的速度分量为 2 y
v y yx
试求x方向的速度分量，假定x=0时，vx=0。
b p C1 2 x
C2 0
38
于是得速度分布
1 p 2 vx (by y ) 2 x
(2)上板以匀速U沿x方向运动 这时的边界条件为
vx | y 0 0, vx | y b U
39
代入式(5)可得
U b p C1 b 2 x
若此流场满足连续性方程和无旋条件，试求
A，B，C，D所满足的条件。不计重力影响。
13
解：由连续方程可知
u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0
u v 0 x y
则有
A D 0
又由于流动无旋，则有
则有
u v y x B C 0
14
练习： 有一个三维不可压流场，已知其x向和y向的分 速度为
yy
x
dx
17
对流体微团应用牛顿第二定律，则沿x轴 方向的运动微分方程为
xx f x dxdydz xx dydz ( xx dx)dydz x yx yx dzdx ( yx dy)dzdx zx dxdy y zx Dv x ( zx dz)dxdy dxdydz z Dt
代入上式的第一式并整理得：
20
Dv x vx vx vx 1 p fx ( 2 2 2 ) Dt x x y z
2 2 2
同 理 Dv z 1 p 2vz 2vz 2vz 得 fz ( 2 2 2 ) Dt z x y z
v x v y 0 x y
9
例题：不可压缩流体的二维平面流动，y方向 的速度分量为 2 y
v y yx
试求x方向的速度分量，假定x=0时，vx=0。
流体动力学基本方程 微分形式连续性方程
个坐标方向的投
影（不包括惯性
力）。
二、综合应用举例 【例】 水平放置在混凝土支座上的变直径弯管，弯管两端与等直径 管相连接处的断面1-1上压力表读数p1=17.6×104Pa，管中流量 qv=0.1m3/s，若直径d1=300㎜，d2=200㎜，转角Θ=600，如图3-25所 示。求水对弯管作用力F的大小
1) 能量形式
2) 压头形式 3) 水头形式
•伯努利方程的物理Байду номын сангаас义
能量意义： p gz V 2 常数
2 沿流线，(压力能＋势能＋动能)守恒
单位：J/kg
V 2 p gz 常数 单位： Pa 2 沿流线，(静压＋位压＋动压)守恒
几何意义：
p V2 z 常数 g 2g
【解】 水流经弯管，动量发生变化，必然产生作用力F。而F与管 壁对水的反作用力R平衡。管道水平放置在xoy面上，将R分解成Rx和Ry 两个分力。
取管道进、出两个截面和管内壁为控制面，如图所示，坐标按图示 方向设置。 1.根据连续性方程可求得：
v1
qV d 12
0 .1 4 1.42 2 0 .3
单位：mH 2 O
沿流线, (压力水头＋位置水头＋速度水头)＝总水头, 即：沿流线总水头守恒
恒定总流的动量方程
式中，Fx ,Fy ,Fz 为作用于控制体 上所有外力在三
qv ( 2 v2 x 1v1x ) Fx qv ( 2 v2 y 1v1 y ) Fy qv ( 2 v2 z 1v1z ) Fz
微分形式连续性方程
( u ) ( v ) ( w ) 0 t x y z
积分形式的基本方程(2)_流体力学
1. 沿流管的定常流动 CS = 流管侧面 + A1 + A2
CS v(v n)dA
(
(
A2
A1
) v (v n)dA
)vdm
A2
A1
2V2 m2 1V1m1
通常取β1=β2=1 。由一维定常流动连续性方程
m2 m1 m
可得一维定常流动动量方程
B4.4.1 固定的控制体(4-2)
对固定控制体的流体动量方程为
CV t ( v )d CS v( v n)dA
F
v为绝对速度。定常流动时
CS v(v n)dA F
上式表明:定常流动时,作用在固定控制体上的合外力＝ 从控制面上净流出的动量流量
B4.4.1 固定的控制体(4-3)
V12 p1 V22 p2 2 ρ 2 ρ
因p1=p2=0,故V1=V2=V.由不可压缩条件可得A1=A2=A.质流量为
m m1 m2 ρ Q ρ V A 1 03 4 5 4 01 0 4 1 8 0m/ s
[例B4.4.1C]自由射流冲击固定导流片：偏射角的影响(3-2)
(4) 动量方程中的负号是方程本身具有的, V 和 out
Vi n
在坐标轴上投影式的正负与坐标系选择有关
F (5) 包含所有外力 (大气压强见例B4.4.1).
[例B4.4.1]收缩喷管受力分析：关于大气压强合力(3-1) 已知: 下图示喷管流
求：固定喷管的力F
解： 1.大气压强作用
① 取右上图示控制体(1) (喷管＋水流) Fatm patm dA 0
Cp
p0 pL 1 ρU2 2
流体动力学微分形式的基本方程
r r q ( r , t0 ) = f ( r )
二、边界条件： 1、固体壁面：渗透、介质交换 无分离条件：理想流体，不可以渗透时法向速度为零。 r r (v 若物面静止不动： b ) ⋅ n = 0 设物面方程为 F ( x, y, z, t ) = 0 ，则物面上组成光滑流体面， DF =0 则 Dt 无滑移条件：粘性流体，沿壁面切向、法向速度均为零。
Dp ∂p r = + v ⋅∇p Dt ∂t
1 Dρ r ∇⋅v = − ρ Dt
Dp ∂p r v ⋅∇p = − Dt ∂t
§4-7 理想流体动力学的基本方程
D p ∂p r 所以： ∇ ⋅ ( Pv ) = − ρ + Dt ρ ∂t 代入能量方程中得：
r r D p v2 ∂p ρ e + + = ρ f ⋅ v + ρ qR + ρ 2 Dt ∂t r ρv ： 将动量方程两边乘以 r r r r D v2 r Dv ρv = ρ f ⋅ v − v ⋅∇p = ρ Dt Dt 2 因此有： Di 1 Dp = qR + Dt ρ Dt
§4-9 理想流体动力学的定解条件
3、自由面：流体质点的光滑面
r v∞ 2、无穷远或管道进口处的边界条件：一般给定管道进口及
p = const
τ τ τ τ
§4-7 理想流体动力学的基本方程
若积分号内均为连续函数，又因为积分区域的随意性： r r D v2 r ρ e + = ρ f ⋅ v + ∇ ( Pv ) + ρ qR + ∇ ⋅ ( λ∇T ) Dt 2 由于是理想流体： µ = 0 , λ = 0 . 因此 ∇ ⋅ ( λ∇T ) = 0 又在理想流体中： P = − pδ r r r r r ∇ ⋅ ( Pv ) = ∇ ⋅ ( − pδ v ) = ∇ ⋅ ( − pv ) = − p∇ ⋅ v − v ⋅∇p 因为： 1 Dρ r + ∇⋅v = 0 ρ Dt
二、边界条件： 1、固体壁面：渗透、介质交换 无分离条件：理想流体，不可以渗透时法向速度为零。 r r (v 若物面静止不动： b ) ⋅ n = 0 设物面方程为 F ( x, y, z, t ) = 0 ，则物面上组成光滑流体面， DF =0 则 Dt 无滑移条件：粘性流体，沿壁面切向、法向速度均为零。
Dp ∂p r = + v ⋅∇p Dt ∂t
1 Dρ r ∇⋅v = − ρ Dt
Dp ∂p r v ⋅∇p = − Dt ∂t
§4-7 理想流体动力学的基本方程
D p ∂p r 所以： ∇ ⋅ ( Pv ) = − ρ + Dt ρ ∂t 代入能量方程中得：
r r D p v2 ∂p ρ e + + = ρ f ⋅ v + ρ qR + ρ 2 Dt ∂t r ρv ： 将动量方程两边乘以 r r r r D v2 r Dv ρv = ρ f ⋅ v − v ⋅∇p = ρ Dt Dt 2 因此有： Di 1 Dp = qR + Dt ρ Dt
§4-9 理想流体动力学的定解条件
3、自由面：流体质点的光滑面
r v∞ 2、无穷远或管道进口处的边界条件：一般给定管道进口及
p = const
τ τ τ τ
§4-7 理想流体动力学的基本方程
若积分号内均为连续函数，又因为积分区域的随意性： r r D v2 r ρ e + = ρ f ⋅ v + ∇ ( Pv ) + ρ qR + ∇ ⋅ ( λ∇T ) Dt 2 由于是理想流体： µ = 0 , λ = 0 . 因此 ∇ ⋅ ( λ∇T ) = 0 又在理想流体中： P = − pδ r r r r r ∇ ⋅ ( Pv ) = ∇ ⋅ ( − pδ v ) = ∇ ⋅ ( − pv ) = − p∇ ⋅ v − v ⋅∇p 因为： 1 Dρ r + ∇⋅v = 0 ρ Dt
流体力学基本方程
质量守恒定律备注使用输运定律连续性方程质量守恒定律运用高斯公式引入物质导数分量形不可压流线迹线引入势函数movingfluidstokesassumptionnsfluiddensity非惯性坐标系基本定律能量守恒定律高斯公式物质导数积分形式引入熵bernoullisequation
流体力学基本方程：
a constant in both the continuity and the momentum equations, except in the gravity term.
引入物质导数
本构方程
The stress in a moving fluid
引入 与速度的关系
不可压
Without using Stokes assumption
Stokes assumption
N-S方程
可压
不可压
不可压
When the fluid density is constant
无粘
角动量定理
tion of sound or shock waves is not considered, the vertical scale of the flow is not too large,
and the temperature differences in the fluid are small. Then the density can be treated as
雷诺输运定理展开
非惯性坐标系
基本定律
能量守恒定律
备注
输运定律：
高斯公式
物质导数
积分形式
拉氏描述
使用输运定律
欧拉描述
拉氏描述下的质量守恒定律运用高斯公式
引入物质导数
流体力学基本方程：
a constant in both the continuity and the momentum equations, except in the gravity term.
引入物质导数
本构方程
The stress in a moving fluid
引入 与速度的关系
不可压
Without using Stokes assumption
Stokes assumption
N-S方程
可压
不可压
不可压
When the fluid density is constant
无粘
角动量定理
tion of sound or shock waves is not considered, the vertical scale of the flow is not too large,
and the temperature differences in the fluid are small. Then the density can be treated as
雷诺输运定理展开
非惯性坐标系
基本定律
能量守恒定律
备注
输运定律：
高斯公式
物质导数
积分形式
拉氏描述
使用输运定律
欧拉描述
拉氏描述下的质量守恒定律运用高斯公式
引入物质导数
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
第三节 动量矩方程
例题6.3 如图6.4所示，离心压缩机叶轮转
速为 ，带动流体一起旋转，圆周速度
为 u ，流体沿叶片流动速度为w ，流量
为Q，流体密度为 ，求叶轮传递给流体
的功率。
解：流体绝对速度为 c u w
当叶片足够多时，可认为流动是稳定的。取
则控制体内流体内能的增量将由辐射热提供，于是有
qR d
de dt
d
d dt
ed
qR
de dt
，即 （6.11）
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
第四节 能量方程
据系统导数公式（输运公式），有
d dt
ed
t
ed
A w
nedA
稳定流动时由式（6.11）、（6.12）可得
（6.12）
d
u
t
d
（b）
第4页
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
第二节 动量方程
将式（a），（b）代入式（6.4）得到
A wr nwrdA u
A wr ndA
Fd
A pndA
t
wrd
u t
d
u t
d
（c）
由连续性方程可知
u
t
d
uA
wr
ndA
0
，则（c）式变为
Awr nwrdA
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
第一节 连续性方程
如图6.1所示，令 为控制体体积，A为控制面面积，n为 dA 控制面外
法线单位向量，w和分别为流体速度和密度。将质量守恒定律应用于控
制体 可知，单位时间内流入控制体的质量等于控制体内质量的增加，
其数学表达式为
A
w
ndA
t
d
（6.1）
mf
dU dt
现在考虑火箭壳体的受力，火箭的质
A
p
w
量为mR、受阻力Fd（图6.3（c）），
(a)
则
Fx
Fd
mR g
mR
dU dt
mRg A
p
w (b)
mp
(c)
图6.3 垂直上升的火箭
第6页
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
第二节 动量方程
由于燃烧室内气体的质量相对于火箭总质量为一微量，则由上面两式可 以求得火箭运动的加速度为
作用于控制面上的力矩为
A R pndA
作用于控制体上的力矩为
通过控制面流入控制体的动量矩为
R
Fd
Aw
nR
wdA
单位时间内控制体内动量矩的增量 按动量矩守恒定律得到其数学表达式为
t
R
wd
Aw
nR
wdA
A
R
pndA
R
Fd
t
R
wd
（6.7）
（6.7）式称为积分形式的动量矩方程，对于定常流动，（6.7）式等号
第二节 动量方程
火箭发动机喷嘴的截面积为A，燃烧
室内气体的质量为mf ，排出气体的
U
质量流率为 mp 、相对速度为w、压
力为p，火箭壳体对气体的作用力为
Fx
Fd
Fx
Fx，大气压力为pa，如图6.3（b）所 示。若燃烧室内的流动是稳定的，
pa
mR
pa
则由（6.6）式可以得到
Fx
A( p
pa ) mpw
如流体是不可压缩的，则（6.2）式可写成
w1 A1 w2 A2 Q
（6.3）
第2页
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
第一节 连续性方程
式中Q为流管内的体积流量 （m3/s）。应该指出，对不可压 缩流体，
应该指出，对不可压缩流体，
适用于不定
常流动。
w1
n pn w
如图6.1所示， q 为外部给予控制面dA上单位时间单位面积的传导热
，qR 为外部给予控制体 d上单位时间单位质量流体非热传导的热, 如辐
射热、化学生成热等，e为单位质量流体的广义内能，如热力学中的内
能，电磁能等，z为向上度量的铅垂高度，其它符号意义同前。将能量
守恒定律应用于控制体可知：单位时间内流入控制体的能量，外部传入
第二节 动量方程
按照动量守恒定律可写出静止控制体的动量方程：
A w
nwdA
Fd
A
pndA
t
wd
对于定常流动
t
wd
0，则（6.4）式变为
（6.4）
Aw nwdA Fd A pndA
（6.5）
（6.5）式表示定常流动时作用于控制面和控制体上的力之和等于单位
时间内流出控制体的动量。
例题6.1 如图6.2所示，不可压流体定常流过截面积为A的等截面弯管，求 流体作用于弯管上的力F。已知进出口截面流动均匀，忽略质量力，且已
第4页
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
第四节 能量方程
例题6.4 如图6.5所示一容器体积为V，通过管 道充气，容器入口处的压力为 pi ，温度为 Ti ，质量流量为mi ，容器内初始状态为 p0 、T0 ，
p0，T0，V
绝热，不计重力及进口动能，求容器内温度的
变化规律。
解：取容器内气体为控制体。
Fd
A pndA t
wrd
u t
d
（6.6）
（6.6）式称为运动控制体的动量方程。
例题6.2 求如图6.3（a）所示的以速度U垂直上升的火箭的加速度。 解：首先求火箭发动机排出气体对火箭壳体的作用力。选取燃烧室内的
气体作为控制体，由于火箭不需要空气，所以控制面没有进口。
第5页
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
面的总能量的代数和为零。重力场中U gz 称为单位质量的位能。
对于细小流管，其截面上参数可认为是均匀的，于是由（6.9）式可得到
e w2 p U const
（6.10）
2
（6.10）式可理解为定常绝热理想流体质量力有势条件下，沿流线单 位质量流体的总能量保持不变。这就是伯努利方程。
对于质量力为重力、理想不可压缩流体非绝热定常流动，若满足q 0
w u wr ，参照静止控制体的动量方程（6.4），可推导出 运动控制体的 动量方程。 流入控制体的动量为
Aw nwdA A wr un wrdA A wr nwrdA uA wr ndA （a）
单位时间内控制体内动量的增加
t
wd
t
wr
ud
t
wrd
t
ud
t
wrd
u t
第三节 动量矩方程
上式化简得到 M Qc2 cos2r2 c1 cos1r1
因为 N M 所以所求叶轮传递给流体的功率为
N Qc2 cos2r2 c1 cos1r1 Qc2u2 cos2 c1u1 cos1
第3页
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
第四节 能量方程
一、能量方程的建立
的热量以及外力所作的功的总和等于单位时间内控制体内能量的增加。
其数学表达式为
AqdA
qR d
A pn wdA
F wd
w
A
n e
w2 2
dA
t
e
w2 2
d
（6.8）
（6.8）式称为积分形式的能量方程。
第1页
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
第四节 能量方程
二、能量方程的简化
对于定常（ 0 ）、绝热（ q qR 0）、质量力有势（ F U ）、
t
理想流体（ pn np ）的流动，（6.8）式简化为
A np
wdA
U
wd
Aw
n e
w2 2
dA
0
但
U wd Uwd U wd
而
Uwd A n UwdA
（广义高斯定理）
由连续性方程，定常流动时 w 0 ，因而 U wd 0 。于是有
dU mpw ( p pa ) A Fd mR g
dt
mR
第7页
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第六章 流体动力学积分形式基本方程
第三节 动量矩方程
如图6.1所示，o为某一参考点，R为o点到控制面 dA或控制体d
的向径，其它符号同前。将动量矩守恒定律应用于控制体 可知：单
位时间内流入控制体的动量以及作用于控制体与控制面上的外力对参 考点o之矩等于单位时间内控制体内对同一点的动量矩的增量。
1 2 ，A1 A2 ， gd 0 ， p1
F
Ab
pndA
，这里Ab为弯管壁面
w1
面积，代入（6.5）式得
y
p2
w2
Fy
Fx
o
x
图6.2 流体流过等截面弯管
p1A1i p2 A2 i cos jsin F w12 A1i w22 A2 i cos jsin
又由连续性方程（6.3）可知
由连续性方程
t
d
A(w n)dA
pi mi Ti
即
dm dt
mi
图6.5 充气中的容器
上式积分得到t时刻容器内流体的质量为：m m0 mit 由理想气体状态方程
p0V
m0 M
RT0
得到
第5页
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第六章 流体动力学积分形式基本方程