线面角与二面角的向量解法

线面角与二面角的向量解法
广州市第65中学 朱星如 510450
几何中的距离和角是初等几何学的核心问题，是新旧教材的教学重点，也是高考常考点。

近几年来，各种数学杂志发表了不少用向量解几何题的文章，笔者觉得有些方法在实际解题中，操作起来并不方便，在教学中效果不佳。

如线面角论及得较少；而用法向量求二面角的平面角时，两法向量的夹角与二面角的平面角是相等或互补，但不易确定取哪种关系。

本文就这两个问题的解答方法作一介绍，但愿对同行的教学有所裨益。

先推导一个线面角公式。

设PQ 是平面a 的一条斜线段，P 、Q 均
不为斜足，线段PQ 所在直线与平面α交于点Q '，直线PQ 与平 面α所成的角为q ，见图1。

P '为直线PQ 上的一点，作P 'Q a ^
于H ，连H Q '，则P Q H q ⅱ?。

设平面a 的法向量为n r
，则有： 90HP Q
q ⅱ+?o
，,HP Q n PQ ⅱ
?uuu
r r 或,n PQ p -uuu
r r ，
sin cos cos ,HP Q
n PQ q ⅱ=?=uuu r r
PQ n PQ n
×uuu r r
g uuu r r ，从而
arcsin (1)PQ n
PQ n
q =×uuu r r g L uuu r r 。

注：当Q 点为斜足或点P 、Q 在平面α的异侧时本公式也适用。

我们改编一个91年全国的高考题例说公式（1）的应用。

例1：已知正方形ABCD 的边长为4,PA ⊥平面ABCD ，PA =2,E 、F 分别为BC 、 CD 的中点。

求直线EB 、FB 分别与平面PEF 所成的角（见图2）。

解：以A 为原点，AD 所在的直线为x 轴，AB 所在的直线为y 轴，AP 所在的 直线为z 轴，建立空间右手直角坐标系。

则有 B （0，4，0），C （4，4，0），D （4，0，0），P （0，0，2）。

用中点坐标公式
可得E （2，4，0），F （4，2，0）。

(2,2,0),(2,4,2)E F E P =-=--u u u r u u u r ，(2,0,0)EB =-u u u r
， (4,2,0)FB =-u u u r 。

设平面PEF 的法向量为(),,n x y z =r
，则有
0,0n EF n EP ==u u u r u u u r r r g
g ，由此得：220,2420x y x y z -=--+=，可解出： ,3y x z x ==，取1x =得()1,1,3n =r
，
记直线BE 、BF 与平面PEF 所成的角分别为1θ、2θ，则由公式（1）得
1sin n EB
n EB
q ==
=uuu r r g uuu r r
，1arcsin q =
22sin arcsin n FB n FB
q q ==
==uu u
r r g uu u r r 。

处理线面角问题用公式（1），可回避找斜线在平面内的射影之苦，从而提高学生的学习效率，真正为学生减负。

()
A O B
D
图 2
P '
Q '
θ
图1
再来看二面角的平面角一种程序式的求法（见图3）。

在二面角l αβ--的两个半面内各取一个与二面角的棱l 垂直的向量12v ,v ，它们的指向分别与二面角的两个半平面的伸展方向相同，则二面角l αβ--的平面角
12
1212
2v v AOB v ,v arccos
()v v ∠==。

下面再以04年辽宁省高考题例说公式（2）的应用。

例2：已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是菱形，60DAB ?o ，PD ^平面ABCD ，PD =AD ，E 为AB 的中点。

（1）略；（2）求二面角P AB F
--的平面角的余弦值（见图4）。

解：在平面ABCD 内作DE 垂直BC ，垂足为E ，可令PD AD ==2，则有 2sin 60DE ==o 1EC =。

以DA 所在直线为x
轴，DE 所在直线为y 轴，DP 所在直线为z 轴，建立右手直角坐标系，则有A （2，0，
0），B （10），C
（1-0），(0,0,2)P 。

在平面ABF 内作FK AB ^于K ，在平面ABP 内作PH AB ^于H ，则有
,HP K F uuu r uuu r
就是所求二面角的平面角的大小（实质上H 、K 两点重合，但对下面的
计算无影响，这正是这种解法的优越性）。

()10AB =-u u u r
，
HP A P A H
A P xA
B =-
=-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r
=()()()2,0,2102,,2x x ---=--
，由0HP A B =uuu
r
uuu r g
得230x x --=，即1
2x =
，从而(
)142
HP =-uuu r 。

()()()2,0,1102,,1KF AF AK AF yAB y y =-=-=---=--
u u u
r u u u r u u u r u u u r u u u r ，同理，
由0KF A B =uuu r uuu r g ，得1
2
y =，
即()1
3,3
,22
KF =--uuu r ，
cos ,HP KF =
=
u u u r u u u r
公式（2）中的1v r
、2v r 的求法有一个程序化的方法：
如图5，在二面角l αβ--的棱l 上找两已知点C 、D （例2 中是A 、B 两点），并连成一个向量，再分别在两个半平面内
各找一已知点P 、Q （在例2中，在半平面PAB 内是点是点P ，在半平面FAB 内是点F ），并分别与二面角的棱上的一点（C 点或D 点）连成一向量，在半平面a 内，
1v HP =u u u r r
=CP CH CP xCD -=-uu u r uuu r uu u r uu u r ，由10CD v =可求得x ，
从而求得1v r。

在半平面b 内，用同样的方法有
2v KQ CQ CK CQ yCD ==-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r
，由20CD v =u u u r r g 可求得y ，从而求得2v r 。

这样就求到了公式（2）中的两个向量。

再看04全国高考题：如图，已知四棱锥P ABCD -，PB AD ^，则面PAD 为边 长为2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角
A
O
β
1
v 2
v 图
C
H
K
2
v
为120o 。

(1)求点P 到平面ABCD 的距离；(2)求面APB 与面CPB 所成二面角的大小。

解：（1）取AD 的中点E ，连PE 、BE ，AD PE,AD PB ⊥⊥
PB ，PE 是平面PEB 内的两相交直线，AD ∴⊥平面PBE 。

BE ⊂平面PBE ，AD BE ∴⊥，从而60DAB ∠=，
且PEB ∠是二南角P AD B --的平面角，
120PEB ∠=。

AD ⊥平面PEB ，∴平面PEB ⊥平面
ABCD ，作AH BE ⊥交BE 的延长线于H ，因为PH ⊂平面PBE ，平面PBE 平面ABCD =BE ，所以PH ⊥平面ABCD ，
且60PEB ∠=，在R t P A E 中，2603PE sin ==在Rt PHE 中，3
602
PH PE sin ==。

（2）以EB 为x 轴，以ED 为y 轴，过点E 平行于PH 的直线为z 轴，建立右手直角坐标系。

则有01000A(,,,)-，
20,)，010D(,,)，302P ,⎫⎪⎪⎝⎭。

在等腰PAB 中取底边PB 的中点M ，有AM PB,⊥且MA = 作CK PB ⊥于K ，KC BC BK BC xBP =-=-=
由0KC BP =得x = ，从而得KC =
二面角A PB C --的平面角MA,KC θ==，
MA KC cos MA KC
θ=
=
笔者考证了04年全国各省的14个高考立体几何综合题，有12 个题用这种方法解答很方便，这说明在高三复习时很有必要介绍这种方法。

本人在高二年级就引入这一方法，实践证明绝大部分同学都能在探究和比较中较快地掌握它，同时也复习了高一《平面向量》。

参考文献：
1、数学教学 2005年第3期：利用向量解决点到平面的距离问题 杨丽婷
2、数学通报2005 年第3期 ：例谈利用向量求解2004年高考立几综合题 黄爱民等。