专题：勾股定理的十种证明方法
勾股定理的十六种的证明方法
勾股定理的十六种的证明方法【证法1】（课本的证明）做g 个全等的宜角三角形，设它们的两条直角边长分别为注、b ,斜边长为6再做 三牛边长分别为已、氐C 的正方形，把它们®上图那样拼成两个正方形*从图上可以看到，这两个正方形的边长都是& + b-所以面枳相筹•即整理得/+护二口f 证法21 （邹元治证明）以包、b 为直角边，以亡为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积 等于2 •把这四个宜角三角形拼成如图所示形状，使乩E. B 三点在一条直线上，B. F 、 C 三点在一条直线上，C 、S D 三点在一条直线上.二ZAHE 二 ZBEF. T ZAEH - ZAHE 二 90° , 二 ZAEH 」 -ZBEF 二 90\ :• ZHEF = 180=90〃二 9' 0\ 二四边形EFGH 是一个边长为亡的 正方形. 它的面积等于 T Rt i GDH 空 Rt 2 HAE, 二 ZHGD ZEHA. T ZHGD ZGHD - 9(r 二 ZEHA ZGHD 二 90\ 又丁 ZGHE二 ZDHA QO° 亠％『二T RtMJAE 空抵扣澱,-ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于W-(fl +i) ' = 4x—di■ a ♦2【证法3】（赵爽证明〉以弘b为直角边Cb>a），以C为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角图所示形状-T RMDAH■wr*AMjn*4UU.二ZHDA 二■ / ZHAD +/. ZEAB +二ABCD是一个边长为C的正方形，它的面积等于c\ ■ / EF = FG =GH =HE 二b—a ,ZHEF = 90° —A EFGH是一个边长为b—自的正方形，它的面积等于0•由）1 ” 4x jait证法4] （1876年美国JS统Carfield证明）以窝、b为直角边，以C为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的使g. B三点在一条直线上.积尊于2 ,把这两个直角三角形拼成如图亦示形状,T RtAEAD 丝Rt A CBE.:、ZADE 二ZBEL■ : ZAED + ZADE 二90° ,:.ZAED + ZBEC 二90\/. ZDEC 二180° 一90〃二90〃・ /・卫§£提一个等©直角三角形，三角形的面积等于2 •把这H个直角三角形拼成如丝Rt A ABE,ZEAB.ZRAD =90〃，DB它的而积等于2.又丁ZDAE 二90% ZEBC 二:・ AD/ZBC・L &1+护二2 X —abA ABCD是一个直角梯形，它的面积等于朮口 +疔-:2 2 2,d十b'八t 证法5】(梅文鼎证明)做四个全等的直角三角形，段它们的两条直角边长分别为罕b ，斜边长为s 把它们拼 成如图那样的一个多边形，使D 、E. F 在一条亘线上•过C 作AC 的延长銭交DF 于点P.■ / D. E 、F 在一条直线上，且 RtAGEF 全 Rt A EBD, ■ HV—VWWVWMW-V.:・ ZEGF = ZBED,*/ ZEGF 亠 ZGEF 二 ，：* ZBED + ZGEF 二 9tr ,:.ZBEG 二 1SO 〃—90〃二 9(r ・又 T ・ 4B 二 BE 二 EG 二 GA 二c, g -ABEG 是一个边长为c 的正方形「 ;> ZABC + ZCBE 二 90\* 二 BxAXBOz :・ ZABC = ZEBD.:.ZEBD 十 ZCBE 二 90\即 ZCBD 二 9(r ・又 T ZBDE 二 90〃，ZBCP 二 9(7 , BC 二BD 二比 二 a *BDPC 是一亍边长为a 的正方形.同理，HPFG 是 一伞边长为b 的正方形〃设多边形GHCBE 的面积为&则L ■! ■时二5 斗 2 X i 血* r*设它们的两条直角边长分别为旦、b (b>a),斜边长为 把它们拼成如图所示的多边形，使臥A. C 三点在一条过点Q 作QP//BC,兗代匚于点F. 过点B 作册丄PQ,垂足为地再过点F 作FX 丄P0垂足为工T ZBCA - 9(r, QpyzBC,二 Z«PC 二 9 化T 创丄F0二 ZBMP 二 90\-BCP 订是一个矩形，即ZMBC 二■ / ZQBM + ZMBA = ZQBA 二 9『, ZMBA 二 ZN1BC 二 9(r,化 ZQBM 二 ZABC,又丁 Z5MP 二 90\ ZBCA 二迅 BQ 二 BA 二 c>二 Rt A B 订Q 旦 Et A BCA.同理可证S1295E -肚虫睡：从而箱问题转化为f 応落疔7梅文灿证明).，/+止_【证法6】(项明达证明〉做两个全等的直角三角形，再做硏个边长为C 的正方形.直线上. ZABC +FC BE在一条直线上，连结 °的?F 肯形护立们拼咸如團斫示形状，使乐C. BF. CD •过 C 作 CL±DE,交;m 于点此交DE 于点L,T AF 二 AC,・AB 二 AD,虫ZFAB 二 ZCAD,代・A 復&望T iFAB 的面积等于空“・乂吐的面积等于矩形ADLM 的面积的一半, 二矩形ADUI 的面积同理可证，矩形MLEB 的面积二戸.T 正方形ADEB 的面积二葩形ADUI 的面积+矩形MLEB 的面积/,护，即护+占V/*E 证法町（利用相似三竟形性质证明）如图，在肚丄A 匹中，设直角边AS 反的长度分别为点C a. b ・斜边AB 的长为Ga 作CD1AB,垂足是D*在i ADC 和iACE 中, V ZADC - ZACB 二 90〃， ZC.AD 二 ZB AC,二 AASC s A A®*AD : AC H AC : AB,艮卩HC ： =4D •一毎- 同理可证FASflS s二 HC*=（川 D + D£）・川占二討$1,即 o'+i ） i 二匚I 【证法9】（畅作玫证明）做两个全等的直角三角形•设它们的两条直角边长分别为吐、b Cb>a\斜边长为亡.再做 一个边长为U 的正方形•把它们拼成如图所示的多边形-过丄作AF 丄AG AF 交GT 于F ・・・IF 交 DT 于R.过B 作肝丄左F, 垂足为巴过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为 E, DE 交AF 于乩T ZBAD 二 90〃，ZPAC 二 W,二 ZDAH 二 ZEAC.又■/ ZDHA 二 90〃，ZBCA 二 9「，AD 二 AB 二 C ；二 Rt 业 DHA ◎ Rt 也 BCA.二 DH 二 BC 二 a, AH 二 AC 二 b・由作法可知，PECA 是一个矩形， 所以 R T A AFB 丝 RtAgCA.即 PB 二 CA二 b, AP 二 a,从而卩 H 二 b 一au*； Rt i DGT 瓷 Rt i BCA , g 卫與•奉廳2瞬二 Dtr^T?G 二 a™2S5?二 ZHDA ・ 又 T ZDGT 二 90° , ZDHF 二 W fB 三点C二愍空•匹I竺雛屯哪，二DGFH是一亍边故为a的止万形.二GF 二FH 二 a ・TF±AF. TF = GT-GF = b—a ・二TFPB是一个直角梯形，上底TF二b-E下底SP= b,高FP P +(b-G・用数字表示面积的编号(如图九则以C为边长的正方形的面积为G 二S] + Sj + Sj + S 耳 + S 了①** 场+ 昂 + Sq 二挣 + 0-口)」讥+0-13 ) ^--ab―* S, + S, = b*―ab—S,护-S] f 把②代入①，得=5 + 5] + F - S] F S J +S J +Sp-时+男+男-酹+/,-盼+沪二八【证法10] t李钱ffi明)设直角三角形两直角边的长分别为a・b (b>a)，斜边的长为二做三个边长分别为包、b. C 的正方形，把它忙I拼成如S所示形状，使爪E・G三点在一条直线上•用数字表示面积的编号（如图）.T ZTBE 二ZABH 二9tr :・ZTBH 二r 乙ABE.又T ZBTH 二BZBEABE - 人RtAHBT ^ORt, AHBBj 人HT二AE二比:、GH 二GT-HT 二b-a.又T ZGHF + ZBEI 二90\ZDBC + ZBHT 二ZTBH + 二ZGHF 二ZDBC J DB 二ER —ED二b-a>ZHGF 二ZBX 二9 呼，・•、gt A HGF 丝RtA. jBgC 即工二$2.过Q作Q蛆丄AL垂足是乩由ZBAQ二ZBEA二二ZQAM T而AB 二AQ 二0 9Cn 可知ZABER貯避•所以陆Ajj甲.公'Rt •斷以驰玉賤旦陆29迪••又5x2JSSI —細SE百屁卫滋又得QM二A£二a, ZAQM二ZBAE.ZHGF 二 ZBDC 二 90%二Rt A HGF 竺Rt A BDC.即思产h ・过Q 作QNLLAG,垂足是底由ZBAQ 二ZBEA 二9化可知ZABE =ZQAM,而壷B 二AQ 二C.所以Rt AABE 竺 肚綁M -又RMHET 空Rt A ABE.所以Rt A HBT 竺班 色QM .即况二匹.由 Rt A ABE 竺 Rt A Q. W,又得 QM = AE = a, ZAQM 二 ZEAE.T ZAQM + ZFQM 二 90% ZBAE + ZCAR 二 90% ZAQM = NBAE,二 ZFQM 二ZCAR.又丁 ZQitF 二 ZARC 二 90% QM = AR = a ,二 Rt A q"fF 竺 Rt A ARC.即 $严耳-丁 亡 2=$1 +昂 + 爲+ S 斗+ 5； , /二S] + Ssj 二S ・ +S- + S,V ' *二A 易二壬乌二斗二宀 7/ =S\ +S5 + Sm + 斗 + 禺二 S] + rS 斗 + $2 + S j—r在d 磁中「设直珀边BC 二a, AC 二b,斜边AB 二c,如图 C, 径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于Ik E,则ED 二BE 二BC 二 C 在©B 上，所以扛是©B 的切线，由切割线是理，得t 证法12】（利用雾列米定理证明｝在R2ABC 中，设直角边BC 二a. AC 二b,斜边AB 二c （如图）*过点〃&作AD//CB,过 点B 作BD>ZCA,则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆，根据多列米定理，圆内接 四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有=JD*5C5£Z?,T AB 二 DC 二 c, AD - BC =乩AC 二 BD 二 b,二且0’二占c'+」c',即/吕口： +盼,「以0为圆心a 为半 孔比因为ZE 仙二90\点 屁;二毘£〉3二｛AS+SE’AS -SD ）-(c + d) (c 一d)二£?+, =/【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在吐黒照中，设直角边EC = a, AC二b,斜边託二切点C. 分W?D7E> F （如圏人设©0的半径为r.T AE 二AF, BF 二BD, CD = CE,二MC+ BC-AB二{AE+CE}+[SD +CD)—(討戸+EF)二CE + CD 二工 + 工=2丫,即a +二2r,r* a + b 二2F + f ・A ~ (2r + c) \gp ■”2aif = 4 (r* +rc) +c*又T Sg 厂匚沪Sae+Sse 二2 2 -（4 + 0 + 亡）严—{2r + C + c丿r/, 4 (宀n： )=4£sr,*・》4卜’+临）=2胡'「■ /+ 即+2 口& 二2e 占+（；'』【证法14】（利用反证法证明）如图，在§1卫匸中「设直角边AG阮的长度分别为已、点C作CD丄AE.垂足是D.假设/十护乂蔦即假设也'+證2厂护「则由二AJ*.』5 二M （a + AD）二A B• A D + AB• BDb・斜边啊的长为G过可知-心5扭-M,或者在AAK和1ACB中,肋・ED•即AD： AC^AC： AB•或者BD： BC?^BC：AB.丁ZA 二ZA,二若AD： AC^AC： AB,则ZADCH ZACE.在・AC咀和・A他中，T ZB 二ZE>二若BD： BC T^BC：AB X贝JZCDB^ZACB.C又T ZACB 二9Cr ,二Z： ADCH9 （r, ZCDEHgcr这与作法CD丄AB矛盾•所以「e +恥' *曲谢假设不能成立作吐丄Age的内切圆00,设直角三角形两直角边的长分别为已*，斜边的长为⑺作边长是a 吒的正方形ABCD*把 正方形ABB 划分咸上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的积为（》疔二/+护+滋•把正 方形.〈BCD 划分成上方右图所示的几个部分「则正方形ABCD 的 (a + 4 X —ab + T 面积为， 2 二2如i ・小十护十2aij = 2ab 十F, ［证法祐】（陈杰证明） 设直甬三角形两直角边的长分别为a. b b 的正方形<b>a ）.把它们拼成如图所示形状， 图）. 在EH - b 上截取ED - a,连结加、DC,. 则 AD 二 B T EH = EH + HM = b 十 a , ED = 二 DM 二 EM-ED 二（b + 切一 a 二 ZAED 三 9 少，CM 二 a. :・R t A A 鲍\ AE 二 b, A ZEAD V ZADE ZADE :.ZAX 二作AB/7DC, CB?/DA,则期5是一个边长为c 的正方激 '：ZBAF + ZFAD 二 ZDAE + ZFAD 二 9（r, ZMDC T D T= AD = c. ZAX+ ZMDC 二1SO\ ZMDC 二 ZADE - ZEAD A ZBAF 二ZD. \E, 连结FB,在厶ABF 和i ADE 中,（b>aX 斜边的长为B 做两亍边长分别为包、 砌积的縄用傲点在一条宜线上•用数字表 E 、 B b b E —b a, J MD G 1 二 90J 90\gs)+T 十 £十占 ■ os+ls 十 34 ■ • 8 •心 + •JS+GSHFSH—SHTSf EK 扌s+r s *+=・£:•叶・• ・ 「r i> ・law :抵八・u II % + qb aa ab a b方2 ab bb aA C Bb E。
勾股定理16种经典证明方法
证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a + b ,所以面积相等. 即整理得.【证法2】（邹元治证明）以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于•把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上， C G D三点在一条直线上••/ Rt △ HAE 也Rt △ EBF,••• / AHE = / BEF•/ / AEH + / AHE = 90o,•/ AEH + / BEF = 90 o.•/ HEF = 180o—90o= 90 o.•四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2.•/ Rt △ GDH B Rt △ HAE,•/ HGD = / EHA•/ / HGD + / GHD = 90o,•/ EHA + / GHD = 90o.又••• / GHE = 90o,•/ DHA = 90o+ 90 o= 180 o.•ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.【证法3】（赵爽证明）以a、b为直角边（b>a）,以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.•/ Rt △ DAH 也Rt △ ABE,•/ HDA = / EAB•/ / HAD + / HAD = 90o,•/ EAB + / HAD = 90o,•ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.•/ EF = FG =GH =HE = b —a ,/ HEF = 90 o.•EFGH是一个边长为b—a的正方形，它的面积等于.【证法4】（1876 年美国总统Garfield 证明）以a、b 为直角边,以c 为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A E、B三点在一条直线上.•/ Rt △ EAD 也Rt △ CBE,••• / ADE = / BEC•/ / AED + / ADE = 90o,•/ AED + / BEC = 90 o.•/ DEC = 180o—90o= 90 o.•△ DEC是一个等腰直角三角形, 它的面积等于.又••/ DAE = 90o, / EBC = 90 o,AD // BCABCD是一个直角梯形，它的面积等于【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.•/ D、E、F 在一条直线上,且Rt △ GEF 也Rt △ EBD,•/ EGF = / BED•/ / EGF + / GEF = 90 ° ,•/ BED+ / GEF = 90 ° ,•/ BEG =180o—90o= 90 o.又••• AB = BE = EG = GA = c ,•ABEG是一个边长为c的正方形.•/ ABC + / CBE = 90 o.•/ Rt △ ABC 也Rt △ EBD,•/ ABC = / EBD•/ EBD + / CBE = 90 o.即 / CBD= 90o.又••• / BDE = 900,/ BCP = 90 o,BC = BD = a .•BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是—个边长为b的正方形.设多边形GHCB的面积为S,则【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ,斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP// BC,交AC于点P 过点B作BM L PQ垂足为M；再过点F作FN^ PQ垂足为N.•/ / BCA = 90 o, QP// BC•/MPC = 90o，•/ BM丄PQ•/BMP = 90o•BCPM是一个矩形，即/ MBC = 90o.•/ / QBM + / MBA = / QBA = 90o ,/ABC + /MBA = /MBC = 90o•/ QBM = / ABC又••• / BMP = 90o , / BCA = 90 o , BQ = BA = c ,•Rt △ BMQ B Rt △ BCA同理可证Rt △ QNF也Rt △ AEF从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H C、B三点在一条直线上，连结BF、CD 过C作CL丄DE 交AB于点M 交DE于点L.•/ AF = AC , AB = AD,/ FAB = / GAD••• △ FAB 也△ GAD••• △ FAB的面积等于，△ GAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，•矩形ADLM的面积=. 同理可证，矩形MLEB的面积=.•••正方形ADEB的面积=矩形ADLM勺面积+矩形MLEB的面积• ，即.【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在Rt△ ABC中，设直角边AC BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C作CDLAB,垂足是D. 在厶ADC^D^ ACB 中，•/ / ADC = / ACB = 90o,/ CAD = / BAC△ ADC s △ ACB AD： AC = AC : AB,即.同理可证，△ CDB s △ ACB从而有.• ，即.【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b （b>a）,斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A作AF丄AC AF交GT于F, AF交DT于R 过B作BP丄AF,垂足为P 过D作DE 与CB的延长线垂直，垂足为E , DE交AF于H•/ / BAD = 90o, / PAC = 90o,•/ DAH = / BAC又••• / DHA = 90o,/ BCA = 90 o,AD = AB = c ，•Rt △ DHA 也Rt △ BCA•DH = BC = a ，AH = AC = b .由作法可知，PBCA 是一个矩形，所以Rt △ APB 也Rt △ BCA 即PB = CA = b , AP= a，从而PH = b —a.•/ Rt △ DGT 也Rt △ BCA ,Rt △ DHA 也Rt △ BCA•Rt △ DGT 也Rt △ DHA .•DH = DG = a，/ GDT = / HDA .又••• / DGT = 90o , / DHF = 90 o ,/ GDH = / GDT + / TDH = / HDA+ / TDH = 90o ,•DGFH是一个边长为a的正方形.•GF = FH = a . TF丄AF, TF = GT —GF = b —a .•TFPB是一个直角梯形，上底TF=b—a,下底BP= b,高FP=a + （b—a）.用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为①T =,•= . ②把②代入① 得【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b （b>a）,斜边的长为c.做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.•/ / TBE = / ABH = 90o,••• / TBH = / ABE又••• / BTH = / BEA = 90 o,BT = BE = b ，•Rt △ HBT 也Rt △ ABE•HT = AE = a .•GH = GT —HT = b —a.又••• / GHF + / BHT = 90 o,/ DBC + / BHT = / TBH + / BHT = 90 o,•/ GHF = / DBC•/ DB = EB —ED = b —a,/ HGF = / BDC = 90o,•Rt △ HGF 也Rt △ BDC 即.过Q作QM L AG 垂足是M 由/BAQ = / BEA = 90 o,可知 / ABE=/ QAM 而AB = AQ = c，所以Rt △ ABE 也Rt △ QAM.又Rt △ HBT 也Rt △ ABE 所以Rt △ HBT 也Rt △ QAM.即.由Rt △ ABE 也Rt △ QAM 又得QM = AE = a，/ AQM = / BAE•/ / AQM + / FQM = 90o , / BAE + / CAR = 90o , / AQM = / BAE•/ FQM = / CAR又•••/ QMF = / ARC = 90o , QM = AR = a ,•Rt △ QMF B Rt △ ARC 即.•,,,又•••，，,【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt △ ABC中，设直角边BC = a , AC = b ,斜边AB = c .如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E,贝U BD = BE = BC = a .因为/ BCA = 90o,点C在O B上,所以AC是O B的切线.由切割线定理，得即，【证法12】（利用多列米定理证明）在Rt △ ABC中，设直角边BC = a , AC = b ,斜边AB = c （如图）.过点A作AD// CB过点B作BD// CA贝U ACBD 为矩形，矩形ACBD内接于一个圆.根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有•AB = DC = c AD = BC = a AC = BD = b ，•，即，【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在Rt △ ABC中，设直角边BC = a , AC = b，斜边AB = c.作Rt △ ABC的内切圆O O,切点分别为D E、F （如图），设O O的半径为r.•/ AE = AF , BF = BD , CD = CE,= = r + r = 2r, 即,即,又•••==【证法14】（利用反证法证明）如图，在Rt△ ABC中，设直角边AC BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C作CDLAB,垂足是D. 假设,即假设 ,则由可知，或者•即AD: AO AC: AB 或者BD: BC^ BC: AB在A ADC^D A ACB中,•/ / A = / A•••若AD: AC M AC: AB,贝U/ ADO / ACB在A CDB和A ACB中,•/ / B = / B,•若BD BC M BC: AB,贝U/ CDB^Z ACB又••• / ACB = 90o,• / ADO 90o,/ CD M 90o.这与作法CDL AB矛盾.所以，的假设不能成立.证法15】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为= .【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b （b>a）,斜边的长为c.做两个边长分别为a、b的正方形（b>a）,把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b 上截取ED = a ,连结DA、DC, 则AD = c .•/ EM = EH + HM = b + a , ED = a ,••• DM = EM —ED = —a = b .又••• / CMD = 90o, CM = a,/ AED = 90o, AE = b ,•Rt △ AED 也Rt △ DMC•/ EAD = / MDC DC = AD = c .•/ / ADE + / ADC+ / MDC =18Gb,/ ADE + / MDC = / ADE + / EAD = 90 o, / ADC = 90 o.•作AB// DC CB// DA 贝U ABCD是一个边长为c 的正方形.•/ / BAF + / FAD = / DAE + / FAD = 90 o,•/ BAF=/ DAE连结FB"A ABF和A ADE中,••• AB =AD = c , AE = AF = b，/ BAF=/ DAE• A ABF 也A ADE•/ AFB = / AED = 90o，BF = DE = a .•点B、F、G H在一条直线上.在Rt A ABF和Rt A BCG中,AB = BC = c , BF = CG = a , •Rt A ABF 也Rt A BCG•, , ,。
十种方法证明勾股定理
十种方法证明勾股定理勾股定理是中学数学中最基本的定理之一，解决了数学中的许多问题。
它是一个既基础且实用的定理，有许多方法可以证明它，下面介绍十种方法：1.欧拉定理证明法：构造出一个直角三角形，把它的两条直角边对应的两个正方形放在直角三角形外面，另一条边对应的正方形放在直角三角形内部，再利用欧拉定理计算出三个正方形的面积，可以证明勾股定理。
2.代数证明法：利用代数的平方公式，把直角三角形的两条直角边平方相加，再把斜边平方，然后再将两者相减，得到一个等式，即可证明勾股定理。
3.数学归纳法证明：用数学归纳法证明勾股定理，证明当n为正整数时，定理成立。
4.相似三角形证明法：构造出相似的三角形，利用相似三角形的性质，可以推导出勾股定理。
5.向量证明法：用向量的几何意义证明勾股定理，首先利用向量的长度和夹角的公式计算出向量的长度和夹角，再利用向量的点积公式计算出勾股定理中的各个变量，最后推导出勾股定理。
6.割圆术证明法：利用割圆术将直角三角形对角线作为半径画圆，利用圆上弧角定理，可以得到勾股定理。
7.平面几何证明法：用平面几何证明勾股定理，利用平面几何图形的形状和大小关系，推导出勾股定理。
8.解析几何证明法：用解析几何证明勾股定理，利用平面直角坐标系，将三角形的三个点用坐标表示出来，推导出勾股定理。
9.三角函数证明法：用三角函数证明勾股定理，利用三角函数的性质，将三角形分离出直角三角形和非直角三角形，再用三角函数计算出各个变量，推导出勾股定理。
10.古希腊证明法：古希腊人对勾股定理有自己的证明方法，即利用几何图形的形状和大小，通过构造几何图形推导出勾股定理。
这些证明方法都可以证明勾股定理的正确性，它们有不同的适用范围和难度级别，可以根据自己的水平和兴趣选择合适的证明方法。
勾股定理的不同证明方法
勾股定理的不同证明方法1. 几何法证明最常见的勾股定理证明方法就是通过几何方法来证明。
这种方法是直观的，容易理解。
我们可以通过绘制一张直角三角形的图形，利用几何形状、角度、边长等性质来推导出勾股定理。
首先，我们假设直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c。
我们可以将这个三角形放在一个正方形内，正方形的一边等于直角边a，另一边等于直角边b，这样正方形的对角线就等于斜边c。
然后我们可以利用正方形的性质来推导出三角形的面积。
根据正方形的面积公式S=a^2，我们可以得到正方形的面积等于a^2+b^2。
而根据三角形的面积公式S=1/2*底*高，我们可以得到直角三角形的面积等于1/2*a*b。
由于正方形和直角三角形共用一条边，所以它们的面积是相等的，即a^2+b^2=1/2*a*b。
而根据勾股定理，a^2+b^2=c^2，所以我们可以得到勾股定理的等式：c^2=a^2+b^2。
这种方法是最常见的勾股定理证明方法，它通过几何形状的性质来进行推导，简单直观。
2. 代数法证明除了几何法证明外，我们还可以通过代数方法来证明勾股定理。
这种方法利用代数方程进行推导，比较抽象，但同样有效。
我们可以假设直角三角形的两个直角边分别为a、b，斜边为c。
然后我们可以利用代数方法来解决这个问题。
我们可以通过开根号的方式来求解方程。
首先我们可以假设直角三角形的两个直角边的长度的平方分别为a^2和b^2，斜边长度的平方为c^2。
根据勾股定理我们有a^2+b^2=c^2。
然后我们可以通过代数方法来推导出这个等式。
我们可以将a和b分别表示为x和y，然后将c表示为根号(x^2+y^2)。
这样我们可以得到一个代数方程：x^2+y^2=(x^2+y^2)^2。
通过求解这个代数方程，我们可以得到x^2+y^2=x^2+y^2，即勾股定理的等式成立。
这种方法比较抽象，但同样可以有效证明勾股定理的正确性。
3. 数学归纳法证明另外一种证明方法是利用数学归纳法来证明勾股定理。
勾股定理十种证明
勾股定理十种证明勾股定理，即建立在三角形中的根号三，是一个被越来越多的人所熟知的数学定理，它表明了任何一个正三角形的斜边的平方加上邻边的平方等于对角线的平方。
此定理也经常被用来解决三角形的面积，甚至有益于解决复杂的数学问题。
这里，我们会介绍十种有关勾股定理的证明，让大家可以更好地理解这个定理：第一种：边角平方法。
此法将三角形的斜边和邻边分别平方，并将它们相加，得出的结果也是对角线的平方。
第二种：相似三角形法。
这个方法建立在相似三角形的概念基础上，根据同比例的相似，将斜边和邻边分别乘以相应的比值，即可得出对角线平方的结果。
第三种：重心三角形法。
按照重心三角形的性质，将三角形的斜边和邻边分别乘以对应的比值，将它们相加，就可以得到对角线的平方。
第四种：字母替换法。
这种方法利用三角形的相关性，将斜边和邻边分别替换成字母a，b和c，然后将a的平方加上b的平方和c的平方替换回原来的数字，就可以得到对角线的平方。
第五种：四边形证明法。
这种方法是基于将一个正三角形分解成四个相等的小三角形，并且每个小三角形都满足勾股定理的要求。
第六种：变形法。
这种方法是基于将正三角形变形成其他图形，例如正方形、矩形或梯形，然后将斜边和邻边拆分成几部分，并将这些部分分别平方，加和，就可以得到对角线的平方。
第七种：勾股余弦定理法。
这种方法是基于勾股余弦定理，其基本思想是将三角形的夹角和边长之间的关系作出表达，然后将斜边和邻边分别平方，加和，就可以得到对角线的平方。
第八种：勾股坐标表达法。
这种方法是基于以坐标表示法表达勾股定理，其中将斜边、邻边和对角线分别表示成坐标形式，然后将坐标形式的斜边和邻边分别平方，加和，就可以得到对角线的平方。
第九种：向量表示法。
根据向量的性质，将三角形的斜边和邻边分别表示成向量形式，然后根据公式，将其分别平方后相加，就可以得到对角线的平方。
第十种：贝塞尔准则法。
根据贝塞尔准则，将三角形的斜边和邻边分别乘以各自的比例，将乘积相加，就可以得到对角线的平方。
勾股定理20种证明方法
勾股定理20种证明方法1. 最常见的勾股定理证明是基于三角形面积公式的。
利用三角形的底边与高的关系，可以将直角三角形分成两个三角形，然后应用面积公式进行计算得出勾股定理。
2. 通过向直角三角形内部引入一个圆形，利用圆的性质可以得到勾股定理。
3. 将直角三角形中的一条直角边平移到非直角边上，形成一个平行四边形，再利用平行四边形对角线的关系即可得到勾股定理。
4. 利用正弦定理和余弦定理进行推导，可以得出勾股定理。
5. 通过三角形内部的相似三角形进行推导得出勾股定理。
将直角三角形分成两个相似三角形，利用相似三角形的性质进行推导得出勾股定理。
6. 通过归纳法进行证明，即证明勾股定理对于所有自然数n都成立。
7. 利用勾股定理推导其他几何定理，例如正弦定理、余弦定理等，进而证明勾股定理。
8. 利用数学归纳法，可证勾股定理对于所有正整数n都成立。
9. 利用勾股定理证明勾股三角形的存在性，也就是存在一组自然数a、b、c，使得a²+b²=c²。
这可以通过暴力算法或递推算法来实现。
10. 利用反证法证明勾股定理。
假设勾股定理不成立，即假设存在一个直角三角形，其两条直角边的平方和不等于斜边的平方。
通过假设的前提，推导出矛盾的结论，从而证明勾股定理成立。
11. 利用勾股定理证明三角形的周长和面积公式。
将直角三角形分成两个直角三角形，利用勾股定理计算出直角边的长度，然后应用周长和面积公式。
12. 利用勾股定理证明三角形的内心与垂心之间的关系。
将直角三角形分成两个相似三角形，利用勾股定理计算出内心与垂心之间的距离。
13. 利用勾股定理证明三角形的外心与垂心之间的关系。
通过三角形的外接圆，证明外心与垂心之间的距离等于直角边之间距离的一半。
14. 利用圆的性质证明勾股定理。
将三角形中的一条直角边作为直径，表示成圆上的弦长，利用圆的定理得到勾股定理。
15. 通过三角形的相似性质，证明勾股定理。
将直角三角形分成两个与之相似的三角形，利用相似三角形的性质得到勾股定理。
勾股定理的十六种证明方法
勾股定理的十六种证明方法
勾股定理是数学中的重要定理之一，通常被描述为直角三角形的斜边平方等于两直角边平方之和。
这个定理的证明方法有很多种，以下是其中的十六种证明方法：
1. 几何证明法
2. 代数证明法
3. 三角函数证明法
4. 相似三角形证明法
5. 欧几里得算法证明法
6. 向量证明法
7. 反证法
8. 非欧几里得几何证明法
9. 外接圆证明法
10. 内切圆证明法
11. 黄桃算法证明法
12. 割圆法证明法
13. 梅涅劳斯定理证明法
14. 射影几何证明法
15. 连锁反应证明法
16. 矩阵证明法
每一种证明方法都有其独特的思路和技巧，可以通过对比和学习不同证明方法来更好地理解和掌握勾股定理。
10种勾股定理的证明方法
10种勾股定理的证明方法1什么是勾股定理勾股定理，又称勾股论，是基督教神学家和物理学家第乌里希（Pythagoras）在公元前6世纪提出的一个名言：在给定一个直角三角形中，直角两边的平法相加，等于直角边的平方。
也就是说，在一个直角三角形中，腰边的平方等于两个斜边的平方和。
2勾股定理的表示形式勾股定理可以用一下式子表示：a²+b²=c²，其中a和b是直角三角形的两个斜边，c是这个直角三角形的直角腰边。
3关于勾股定理的10种证明方法1.构造法：构造带有两个相等斜边a和b的两个直角三角形，以证明a²+b²=c²。
2.投影定理：利用投影定理将这些斜边投影，使两个三角形等同，从而证明勾股定理。
3.物理四边形法：采用正方形，梯形和菱形将这三角形组合成一个完整的四边形，证明了勾股定理。
4.三角不等式：根据直角三角形的三角不等式来证明a²+b²>c²。
5.毕达哥拉斯定理：该定理指出，在给定一个直角三角形时，斜边的平方和等于两个斜边相乘再乘以直角边的任何一个数字。
6.幂法：将a²+b²和c²都改写成几次幂的形式，然后将两个完整的当作可以对等的数字比较，从而证明勾股定理。
7.等差数列法：分别建立一个等差数列和一个等比数列，将它们相加，可以得到勾股定理的完整证明。
8.泰勒公式：根据勾股定理，a²+b²=c²,用泰勒公式解析勾股定理，就能得出正确的结论。
9.三角函数法：将勾股定理表示为正弦、余弦和正切的函数关系，根据不同的三角函数的关系证明勾股定理。
10.几何图表法：将斜边a、b、c绘制成一个两个直角三角形的示意图，并且两个三角形的直角边的和是刚好相等的，可以读出完整的证明。
4结论勾股定理是一个经典的定理，已被证明是绝对正确的，而证明它的方法也分多种。
从上面这10种证明方法中，我们可以看出，勾股定理可以通过计算、构造、投影和其它几何变换理论来证明。
勾股定理500种证明方法
勾股定理500种证明方法
勾股定理是数学中的基本定理之一，有着广泛的应用和许多证明方法。
下面介绍一些常见的证明方法：
1.几何证明法：利用几何图形构造，例如在直角三角形的两个直角边
上分别构造平方和的面积相等，然后利用面积的性质进行证明。
2.代数证明法：利用代数式推导和变换，例如假设直角三角形的三边
长度为a、b和c，然后将直角三角形的两边长度的平方相加，利用分配
律和可交换性进行推导。
3.数学归纳法：先证明三边全为整数的勾股三元组存在，然后利用数
学归纳法证明勾股三元组的通解存在。
4.平行四边形证明法：构造直角三角形的对角线，利用平行四边形的
性质推导得出结论。
5.等腰三角形证明法：构造以直角为顶点的等腰三角形，利用等腰三
角形的性质推导得出结论。
6.射影证明法：构造勾股定理三角形的高，利用射影的性质进行证明。
7.相似三角形证明法：构造与直角三角形相似的三角形，利用相似三
角形的性质进行证明。
8.三角函数证明法：利用正弦、余弦和正切函数的性质进行证明。
9.黎曼几何证明法：利用黎曼几何的相关定理和性质进行证明。
10.三角恒等式证明法：利用三角恒等式进行推导和变换，将勾股定
理转化为等式的形式进行证明。
还有许多其他的证明方法，如使用卡西尼恒等式、向量法等。
总共可能有上百种证明方法，每种方法都有其独特的思路和证明过程。
由于篇幅限制，无法一一详细介绍所有方法，但上述方法已经涵盖了常见的证明思路。
勾股定理十种证明
勾股定理十种证明勾股定理是数学历史上最有名的定理之一，它表明三角形的斜边之和等于其他两边的平方和，即：a2 + b2 = c2它的出现可追溯到古希腊，其中由毕达哥拉斯提出了该定理的最早对应，而后经由许多人的活跃研究，最终由哥白尼、笛卡尔等最终完善和形成了现在的标准形式。
一般来说，无论在什么地方，都有专家们提出这个定理的证明方法，并把它带入教学之中。
然而，大多数时候，专家们提出的证明方法是有限的，因为每个数学家都有自己喜欢的证明方法，他们并不一定能够知道其他专家提出的证明方法。
本文将介绍十种证明勾股定理的方法，以提高读者对勾股定理的理解。
二、十种证明勾股定理的方法1、几何法这是最常用的证明方法，它借助两个直角三角形构成的边构建的矩形的四边，由此可以证明勾股定理。
2、矩阵法这是一种更先进的方法，它借助矩阵相乘来证明勾股定理。
3、物理法这是一种利用物理定律、电磁定律等来证明勾股定理的方法，它充分利用物理定律中相关性的概念，从而证明勾股定理。
4、代数法这是一种运用代数计算证明勾股定理的方法，它把对勾股定理的证明拆分为两个小问题，包括求和等式的求解以及证明两个等式的等价性，从而证明勾股定理。
5、统计法这是一种利用统计理论、概率论等来证明勾股定理的方法，它借助描述性统计学、抽样分布等来说明勾股定理。
6、微积分法这是一种利用微积分来证明勾股定理的方法，它利用微积分的思想，分别定义勾股定理的三个边，并利用微积分中各种概念，从而证明勾股定理。
7、证明归纳法这是一种以归纳法证明勾股定理的方法，它运用归纳法的思想和归纳准则，从而证明勾股定理。
8、几何性质法这是一种利用几何性质来证明勾股定理的方法，它充分利用几何性质的概念，从而证明勾股定理。
9、变形法这是一种利用计算机上图形变形来证明勾股定理的方法，它通过利用计算机上图形变换的思想，从而证明勾股定理。
10、数学归纳法这是一种利用数学归纳法来证明勾股定理的方法，它运用数学归纳法的思想和归纳准则，从而证明勾股定理。
勾股定理十种证明方法
勾股定理十种证明方法嘿，朋友们！今天咱就来好好聊聊这大名鼎鼎的勾股定理呀！你们可别小瞧它，这可是数学世界里的一颗璀璨明珠呢！先来说说第一种证明方法，那就是拼图法。
想象一下，把几个图形巧妙地拼在一起，哇塞，就像变魔术一样，勾股定理就神奇地出现啦！是不是很有趣？还有面积法呢！通过计算不同图形的面积，然后在这过程中发现勾股定理的奥秘，就好像在一个大宝藏里寻找珍贵的宝石，充满了惊喜。
接着是作垂线法，就像给图形搭起了一座小桥，通过这小桥，我们就能清楚地看到勾股定理的真面目啦。
还有相似三角形法呀，通过相似三角形之间的关系，一点点地揭开勾股定理的神秘面纱，这感觉就像是在解一道超级有趣的谜题。
直角三角形内切圆法也很棒呢！内切圆在直角三角形里就像一个小精灵，带领我们找到勾股定理的真谛。
割补法也值得一提，把图形割开再补上，在这一割一补之间，勾股定理就乖乖现身啦，是不是很神奇？还有构造正方形法，用正方形来构建出勾股定理，就好像用积木搭出了一座漂亮的城堡。
构造矩形法也毫不逊色呀，矩形在其中发挥着重要的作用，让我们更清楚地理解勾股定理。
射影定理法也很厉害呢，通过射影定理的辅助，勾股定理就更清晰地展现在我们眼前啦。
最后是勾股数组法，一组组特别的数字组合，就像是打开勾股定理大门的钥匙。
朋友们，这十种证明方法是不是让你们对勾股定理有了更深的认识和理解呀？勾股定理就像一个无尽的宝藏，每一种证明方法都是挖掘宝藏的工具，让我们能更深入地探索它的奥秘。
数学的世界就是这么奇妙，充满了无数的惊喜和发现，难道不是吗？所以呀，大家可别小看了这些看似简单的定理和方法，它们可是数学大厦的基石呢！让我们一起在数学的海洋里尽情遨游，去发现更多的精彩吧！。
勾股定理的证明方法十种过程
勾股定理的证明方法十种过程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是几何学中最基础的定理之一。
它表明在直角三角形中，直角的两边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的证明方法有很多种，下面我将介绍十种常用的证明过程。
一、几何证明法1. 利用相似三角形的性质，构造辅助线，将直角三角形分割成两个直角三角形，再利用勾股定理的定义证明斜边的平方等于直角两边的平方和。
2. 利用平行线的性质，构造辅助线，形成四边形，再利用四边形的性质推导出勾股定理。
二、代数证明法1. 利用代数方法将直角三角形的三边长度表示成a，b，c，利用勾股定理的定义列出等式a^2 + b^2 = c^2，再进行变形推导得到结论。
2. 利用向量法，将三角形的三个顶点表示成二维向量，用向量的性质证明直角三角形满足勾股定理。
三、三角函数证明法1. 利用正弦、余弦、正切等三角函数的关系，将直角三角形的三条边长和角度联系起来，通过三角函数的计算推导出勾股定理。
2. 利用三角函数的定义，将角度和边长关系转换成三角函数的等式，再通过化简和运算得到勾股定理。
五、解析几何证明法1. 利用直角三角形在坐标平面上的表示，用坐标的差和平方和表达斜边和直角两边之间的关系，进行运算保证两边相等。
2. 利用解析几何的方法，利用两直线间的距离公式和直线的斜率关系，推导出勾股定理成立的条件。
七、数学归纳法证明法1. 从一个特殊的直角三角形出发，比如3-4-5直角三角形，验证勾股定理成立。
然后假设勾股定理对于n=1的情况成立，推导出n=k+1的情况也成立，利用数学归纳法证明定理的普遍性。
2. 从勾股数列的性质入手，证明勾股定理的普遍性。
十、几何变换证明法1. 利用几何变换，比如平移、旋转等，将直角三角形变换成其他几何形状，再通过形状不变性证明勾股定理。
2. 利用相似性和对称性的变换，将直角三角形转化成其他几何形状，结合几何形状的性质证明勾股定理的成立。
勾股定理的十六种证明方法
勾股定理的十六种证明方法
1.几何法：构造一个直角三角形，利用勾股定理求出斜边长。
2. 代数法：将直角三角形三边的长度带入勾股定理的公式中，证明等式成立。
3. 数学归纳法：证明当斜边长为n时，勾股定理成立，再证明当斜边长为n+1时，勾股定理仍然成立。
4. 三角函数法：利用正弦、余弦、正切等三角函数的定义，证明勾股定理。
5. 相似三角形法：利用相似三角形的性质，证明勾股定理。
6. 矩形法：将一个直角三角形内切于一矩形中，从而证明勾股定理。
7. 差积公式法：利用差积公式(a+b)(a-b)=a-b，证明勾股定理。
8. 面积法：利用直角三角形的两条直角边构成一个矩形，证明勾股定理。
9. 旋转法：将一个直角三角形绕其斜边旋转，证明勾股定理。
10. 图像法：将勾股定理表示为x+y=z的图像，证明勾股定理。
11. 平行四边形法：将直角三角形内切于一个平行四边形中，从而证明勾股定理。
12. 三角形面积法：利用直角三角形的面积公式1/2ab，证明勾股定理。
13. 坐标法：将直角三角形的三个顶点的坐标表示出来，利用距离公式证明勾股定理。
14. 行列式法：利用行列式公式证明勾股定理。
15. 夹角法：通过两向量的夹角关系推导出勾股定理。
16. 对数法：利用对数函数的性质，证明勾股定理。
专题：勾股定理的十种证明方法
证明八（欧几里得《原本》
证明八
证明八
证明八
证明九
a2
b2
证明九
证明九
证明九
证明九
a2 + b2 = c2 c2
证明九
证明九
证明九
拼 图 游 戏
拼图游戏
无字证明
青出
青 入
青方
青 出
朱入
朱 朱方 出
青入
青出
④
⑤
b
c
a
③
①
②
无字证明
青朱出入图（刘徽）
青出
青 入
青方
青 出
c
b
a
可得: a2 + b2 = c2
大正方形的面积该怎样表示?
证明三
c2
a2 b2
对比两个图形,你能直接观察验 证出勾股定理吗？
a2
a2 c2 b2 a 2 + b 2 = c2
证明六 印度婆什迦羅的 證明
c b a
c2 = b2 + a2
美国总统的证明
• 加菲尔德 （James A.
朱入 朱入
朱 朱 出 朱方 出
青入
青出
证明十
II
I III
注意：
面积 I :面积II :面积III = a2 : b2 : c2
证明十
I
II III
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明十
I III II
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
• 1881 年成为美国第 20 任总统 • 1876 年提出有关证明 Garfield； 1831 1881）
勾股定理16种证明途径
勾股定理16种证明途径勾股定理是数学中一条重要的几何定理，它指出在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
本文将介绍勾股定理的16种证明途径。
1. 几何证明通过构造几何图形，利用平行线、相似三角形等几何性质来证明勾股定理。
2. 代数证明通过代数运算和方程的求解，将勾股定理转化为数学问题并证明。
3. 向量证明利用向量运算和向量的性质来证明勾股定理成立。
4. 科学计算证明利用计算机科学的方法，通过数值计算和模拟实验来论证勾股定理的正确性。
5. 几何相似证明通过几何相似的定义及相关性质，推导出勾股定理。
6. 枚举证明通过穷举直角三角形的边长组合，证明勾股定理在所有情况下都成立。
7. 数学归纳法证明通过归纳论证，证明勾股定理在特定情况下成立后，再扩展到所有情况。
8. 黎曼积分证明通过计算勾股定理中的三角函数的积分，证明定理的正确性。
9. 复数证明利用复数的性质和运算，推导出勾股定理成立。
10. 微积分证明通过对直角三角形某一边长的导数和其他边长的关系进行求导证明。
11. 数学逻辑证明通过数学逻辑推理，推导出勾股定理的正确性。
12. 平行四边形证明通过利用平行四边形的性质，将勾股定理转化为平行四边形的关系来证明。
13. 矩阵证明利用矩阵的乘法和特性，将勾股定理转化为矩阵运算的问题来证明。
14. 动态几何证明通过动态几何软件进行几何运算和构造，反复演示直角三角形的变化来证明定理。
15. 平面拓扑证明通过平面拓扑的理论，引入拓扑性质讨论直角三角形构造和斜边的关系。
16. 微分几何证明通过微分几何的定理和公式，推导出勾股定理的正确性。
以上是勾股定理的16种证明途径，每种途径都有其独特的证明思路和方法。
通过了解不同的证明方式，可以更好地理解和应用勾股定理。
勾股定理的十六种证明方法
勾股定理的证明【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即abc ab b a 214214222⨯+=⨯++， 整理得 222c b a =+.【证法2】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF ,∴ ∠AHE = ∠BEF .∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE , ∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +.∴()22214c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法3】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB .∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90º.∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2a b -.∴ ()22214c a b ab =-+⨯.∴ 222c b a =+. 【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE ,∴ ∠ADE = ∠BEC .∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠D EC = 180º―90º= 90º. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于221c .又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD ∥BC .∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()221b a +.∴ ()222121221c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P .∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD , ∴ ∠EGF = ∠BED ，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c ，∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD , ∴ ∠ABC = ∠EBD . ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º. 又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a .∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ，则,21222ab S b a ⨯+=+abS c 2122⨯+=, ∴ 222c b a =+.【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ） ，斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上. 过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P .过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点F 作FN ⊥PQ ，垂足为N . ∵ ∠BCA = 90º，QP ∥BC ， ∴ ∠MPC = 90º， ∵ BM ⊥PQ ， ∴ ∠BMP = 90º， ∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90º.∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴ ∠QBM = ∠ABC ，又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c ， ∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA .同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF . 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结 BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE ，交AB 于点M ，交DE 于点L .∵ AF = AC ，AB = AD ， ∠FAB = ∠GAD ， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ，∵ ΔFAB 的面积等于221a ， ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，∴ 矩形ADLM 的面积 =2a . 同理可证，矩形MLEB 的面积 =2b .∵ 正方形ADEB 的面积 = 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积 ∴ 222b a c += ，即 222c b a =+.【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º， ∠CAD = ∠BAC ， ∴ ΔADC ∽ ΔACB .AD ∶AC = AC ∶AB ，即 AB AD AC •=2. 同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB ，从而有 AB BD BC •=2.∴ ()222AB AB DB AD BC AC =•+=+，即 222c b a =+.【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R . 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P . 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H .∵ ∠BAD = 90º，∠P AC = 90º， ∴ ∠DAH = ∠BAC . 又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º， AD = AB = c ，∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA .∴ DH = BC = a ，AH = AC = b .由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA . 即PB = CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a .∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA ,Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . T F ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为 543212S S S S S c ++++= ①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+•-+=++21438 =ab b 212-， 985S S S +=，∴ 824321S ab b S S --=+=812SS b -- . ② 把②代入①，得98812212S S S S b S S c ++--++== 922S S b ++ = 22a b +. ∴ 222c b a =+.【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE .又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º，BT = BE = b ，∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . ∴ HT = AE = a . ∴ GH = GT ―HT = b ―a .又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠∴ ∠GHF = ∠DBC .∵ DB = EB ―ED = b ―a ，∠HGF = ∠BDC = 90º，∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC . 即 27S S =.过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M . 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE= ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58S S =.由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE .∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE ， ∴ ∠FQM = ∠CAR .又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a ， ∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC . 即64S S =.∵ 543212S S S S S c ++++=，612S S a +=，8732S S S b ++=，又∵ 27S S =，58S S =，64S S =，∴8736122S S S S S b a ++++=+ =52341S S S S S ++++=2c ，即 222c b a =+.【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 如图，以B 为圆心a 为半径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于D 、E ，则BD = BE = BC = a . 因为∠BCA = 90º，点C 在⊙B 上，所以AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理，得AD AE AC •=2=()()BD AB BE AB -+ =()()a c a c -+= 22a c -，即222a c b -=， ∴ 222c b a =+.【证法12】（利用多列米定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c （如图）. 过点A 作AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有BD AC BC AD DC AB •+•=•， ∵ AB = DC = c ，AD = BC = a ，AC = BD = b ，∴ 222AC BC AB +=，即 222b a c +=，∴ 222c b a =+.【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 作Rt ΔABC 的内切圆⊙O ，切点分别为D 、E 、F （如图），设⊙O 的半径为r .∵ AE = AF ，BF = BD ，CD = CE ，∴ ()()()BF AF CD BD CE AE AB BC AC +-+++=-+= CD CE += r + r = 2r,即 r c b a 2=-+， ∴ c r b a +=+2.∴ ()()222c r b a +=+，即 ()222242c rc r ab b a ++=++，∵ ab S ABC 21=∆，∴ ABC S ab ∆=42，又∵ AOC BOCAOB ABC S S S S ∆∆∆∆++= = br ar cr 212121++ = ()r c b a ++21= ()r c c r ++221= rc r +2，∴()ABC S rc r ∆=+442， ∴ ()ab rc r242=+，∴ 22222c ab ab b a +=++， ∴ 222c b a =+. 【证法14】（利用反证法证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .假设222c b a ≠+，即假设 222AB BC AC ≠+，则由AB AB AB •=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB •+•可知 AD AB AC •≠2，或者 BD AB BC •≠2. 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：BC ≠BC ：AB .在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠A = ∠A ， ∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB ，则 ∠ADC ≠∠ACB . 在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵ ∠B = ∠B ，∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB ，则 ∠CDB ≠∠ACB . 又∵ ∠ACB = 90º，∴ ∠ADC ≠90º，∠CDB ≠90º.这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以，222AB BC AC ≠+的假设不能成立.∴ 222c b a =+.【证法15】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c . 作边长是a+b 的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +.∴ 22222c ab ab b a +=++,∴ 222c b a =+.【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做两个边长分别为a 、b 的正方形（b>a ），把它们拼成如图所示形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b 上截取ED = a ，连结DA 、DC ，则 AD = c .∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ，∴ DM = EM ―ED = ()a b +―a = b . 又∵ ∠CMD = 90º，CM = a ， ∠AED = 90º， AE = b ，∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC . ∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c . ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º， ∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º，∴ ∠ADC = 90º.∴ 作AB ∥DC ，CB ∥DA ，则ABCD 是一个边长为c 的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º， ∴ ∠BAF=∠DAE .连结FB ，在ΔABF 和ΔADE 中，∵ AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠BAF=∠DAE ， ∴ ΔABF ≌ ΔADE .∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a . ∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上. 在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中， ∵ AB = BC = c ，BF = CG = a ， ∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG .∵ 54322S S S S c +++=， 6212S S S b ++=， 732S S a +=，D D76451S S S S S +===， ∴6217322S S S S S b a ++++=+ =()76132S S S S S ++++=5432S S S S +++=2c ∴ 222c b a =+.。
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朱 朱 出 朱方 出
青入
青出
证明十
II
I III
注意：
面积 I :面积II :面积III = a2 : b2 : c2
证明十
I
II III
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明十
I III II
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
c c
a
(2)
(a-b)2 (3) (2) c
证 明 一
1 ab 2
c (3)
(a-b)2
(4)
=
C2－4×
a2+b2－2ab = c2－2ab
可得：a2 + b2 = c2
b
a
c b (a+b )2
证 明 二
a
c
c
1 = c 4 2 ab
2
a2 + b2 + 2ab = c2+2ab
b a
证明十
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明十
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明十
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明十
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2 由此得，面积 I + 面积 II = 面积 III 因此，a2 + b2 = c2 。
• 1881 年成为美国第 20 任总统 • 1876 年提出有关证明 Garfield； 1831 1881）
证明七 “总统”证法
a
b
c c b
½(a + b)(b + a) = ½c2 + 2×½ab a2 + 2ab + b2 = c2 +2 ab
a
a2 + b2 = c2
证明八（欧几里得《原本》
专题：勾股定理的十种证明方法
勾股定理:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
a2+b2=c2
b2 a2
1
1
美丽的勾股树
2002年，在北京举行的国际 数学家大会会标
早在公元3世纪，我国 数学家赵爽就用左边的图 形验证了“勾股定理” 思考:你能验证吗？
赵爽的“弦图”
b
C
(1)
想一想：这四个直角三角形还能怎样拼？
证明八（欧几里得《原本》
证明八
证明八
证明八
证明九
a2
b2
证明九
Байду номын сангаас明九
证明九
证明九
a2 + b2 = c2 c2
证明九
证明九
证明九
拼 图 游 戏
拼图游戏
无字证明
青出
青 入
青方
青 出
朱入
朱 朱方 出
青入
青出
④
⑤
b
c
a
③
①
②
无字证明
青朱出入图（刘徽）
青出
青 入
青方
青 出
c
b
a
可得: a2 + b2 = c2
大正方形的面积该怎样表示?
证明三
c2
a2 b2
对比两个图形,你能直接观察验 证出勾股定理吗？
a2
a2 c2 b2 a 2 + b 2 = c2
证明六 印度婆什迦羅的 證明
c b a
c2 = b2 + a2
美国总统的证明
• 加菲尔德 （James A.