14.4全等三角形的判定
全等三角形的判定和性质
全等三角形的判定和性质在初中数学的学习中，全等三角形是一个非常重要的概念。
它不仅在几何证明中经常出现，而且对于培养我们的逻辑思维和空间想象力也有着重要的作用。
接下来，让我们一起深入了解全等三角形的判定和性质。
一、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
比如，三角形 ABC 全等于三角形 DEF，记作“△ABC≌△DEF”。
二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等这意味着，如果△ABC ≌△DEF，那么 AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF。
2、全等三角形的对应角相等即∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，∠C ＝∠F。
3、全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）相等例如，如果两个三角形全等，那么它们对应的角平分线长度相等，对应的中线长度相等，对应的高的长度也相等。
4、全等三角形的周长相等、面积相等因为全等三角形的对应边相等，所以它们的周长必然相等。
而由于对应边和对应高都相等，根据三角形面积公式（面积＝底×高÷2），可得它们的面积也相等。
三、全等三角形的判定1、 SSS（边边边）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
例如，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF，那么就可以判定△ABC ≌△DEF。
2、 SAS（边角边）如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
比如，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，那么△ABC ≌△DEF。
3、 ASA（角边角）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
假设在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，就能够得出△ABC ≌△DEF。
4、 AAS（角角边）如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
14.4 全等三角形的判定(5)
14.4 全等三角形的判定（5）[全等三角形判定方法的应用]第一组 14-231、在△ABC 和△A ’B ’C ’中，已知AB=A ’B ’，AC=A ’C ’，要使△ABC ≌△A ’B ’C ’，则还要增加条件（ ）A 、∠B=∠B ’ B 、∠C=∠C ’C 、∠A=∠A ’D 、BC=B ’C ’或A=A ’2、下列叙述中正确的是（ ）①三个内角对应相等的两个三角形全等 ②三条边对应相等的两个三角形全等③两条边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等 ④面积相等的两个三角形全等A 、①②B 、③④C 、②③D 、①④3、下列说法正确的是（ ）A 、有一个内角为60º的两个直角三角形全等B 、腰相等的两个等腰直角三角形全等C 、底边相等的两个等腰三角形全等D 、顶角相等的两个等腰三角形全等4、以下三对元素对应相等的两个三角形不能判定全等的是（ ）A 、一边两角B 、两边和夹角C 、三个角D 、三条边5、如图14-23-1，△ABD 和△BCE 都等边三角形，则∠1+∠2= 。
6、如图14-23-2，已知AB=AC ，要使△ABE ≌△ACD ，根据“S.A.S ”还要一个条件 。
图14 - 23 - 17、如图14-23-3，已知AB=AC，AD=AE，∠EAB=∠DAC。
（1）说明△ADB≌△AEC的理由；（2）若BD=16，求CE的长。
8、如图14-23-4，已知PA=PB，PC是∠PAB的中线，∠A=55º。
（1）说明PC⊥AB的理由；（2）求∠APC的度数。
9、如图14-23-5，已知∠C=∠E，BE=CD，说明△ABE与△ADC全等的理由，AB与AD相等吗？为什么？10、如图14-23-6，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90º，D为AB上一点。
试说明：△ACE和△BCD全等。
11、如图14-23-7，点E、F在DC上，DF=CE，DC//AB，且∠1=∠2，∠D=∠C。
全等三角形证明判定方法分类总结
全等三角形（一）SSS【知识要点】1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质：（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等 （2）全等图形的面积相等3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于” 如DEF ABC ∆∆与全等，记作ABC ∆≌DEF ∆（2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等．（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．（4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS ”．如图，在ABC ∆和DEF ∆中⎪⎩⎪⎨⎧===DF AC EF BC DE ABABC ∆∴≌DEF ∆【典型例题】例1．如图，ABC ∆≌ADC ∆，点B 与点D 是对应点，︒=∠26BAC ，且︒=∠20B ，1=∆ABC S ，求A C D D C A D ∠∠∠,,的度数及ACD ∆的面积．例2．如图，ABC ∆≌DEF∆，cm CE cm BC A 5,9,50==︒=∠，求EDF ∠的度数及CF 的长．例3．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAD BAE ∠=∠例4．如图AB=DE ，BC=EF ，AD=CF ，求证：（1）ABC ∆≌DEF ∆ （2）AB//DE ，BC//EFA D例5．如图，在,90︒=∠∆C ABC 中D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且BE=BC ，DE=DC ，求证：（1）AB DE ⊥；（2）BD 平分ABC ∠ （角平分线的相关证明及性质）【巩固练习】1．下面给出四个结论：①若两个图形是全等图形，则它们形状一定相同；②若两个图形的形状相同，则它们一定是全等图形；③若两个图形的面积相等，则它们一定是全等图形；④若两个图形是全等图形，则它们的大小一定相同，其中正确的是（ ）A 、①④B 、①②C 、②③D 、③④2．如图，ABD ∆≌CDB ∆，且AB 和CD 是对应边，下面四个结论中 不正确的是（ ）A 、CDB ABD ∆∆和的面积相等 B 、CDB ABD ∆∆和的周长相等C 、CBD C ABD A ∠+∠=∠+∠ D 、AD//BC 且AD=BC3．如图，ABC ∆≌BAD ∆，A 和 B 以及C 和D 分别是对应点，如果︒=∠︒=∠35,60ABD C ，则BAD ∠的度数为（ ）A 、︒85B 、︒35C 、︒60D 、︒804．如图，ABC ∆≌DEF ∆，AD=8，BE=2，则AE 等于（ ） A 、6 B 、5 C 、4 D 、35．如图，要使ACD ∆≌BCE ∆，则下列条件能满足的是（ ） A 、AC=BC ，AD=CE ，BD=BE B 、AD=BD ，AC=CE ，BE=BD C 、DC=EC ，AC=BC ，BE=AD D 、AD=BE ，AC=DC ，BC=EC6．如图，ABE ∆≌DCF ∆，点A 和点D 、点E 和点F 分别是对应点，则AB= ，=∠A ，AE= ，CE= ，AB// ，若BC AE ⊥，则DF 与BC 的关系是 ．7．如图，ABC ∆≌AED ∆，若=∠︒=∠︒=∠︒=∠B A C C EA B B 则,45,30,40 ，=∠D ，=∠DAC ．8，AE=AD ，则A B E∆ ACD ∆，所以=∠AEB ，=∠BAE ，=∠BAD ．D 第4题图第5题图B第6题图第7题图 第8题图 第9题题图9．如图，ABC ∆≌DEF ∆，︒=∠90C ，则下列说法错误的是（ ） A 、互余与F C ∠∠ B 、互补与F C ∠∠C 、互余与E A ∠∠D 、互余与D B ∠∠10．如图，ACF ∆≌DBE ∆，cm CD cm AD ACF E 5.2,9,110,30==︒=∠︒=∠，求D ∠的度数及BC 的长．11．如图，在ABD ABC ∆∆与中，AC=BD ，AD=BC ，求证：ABC ∆≌ABD ∆全等三角形（一）作业1．如图，ABC ∆≌CDA ∆，AC=7cm ，AB=5cm.，则AD 的长是（ ） A 、7cm B 、5cm C 、8cm D 、无法确定2．如图，ABC ∆≌DCE ∆，︒=∠︒=∠62,48E A ，点B 、C 、E 在同一直线上，则ACD ∠的度数为（ ）A 、︒48B 、︒38C 、︒110D 、︒623．如图，ABC ∆≌DEF ∆，AF=2cm,CF=5cm ，则AD= ．4．如图，ABE ∆≌ACD ∆，︒=∠︒=∠25,100B A ，求BDC ∠的度数．5．如图，已知，AB=DE ，BC=EF ，AF=CD ，求证：AB//CDAB CDE6．如图，已知AB=EF ，BC=DE ，AD=CF ， 求证：①ABC ∆≌FED ∆②AB//EF7．如图，已知AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAE BAD ∠=∠FE全等三角形（二）【知识要点】定义：SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”，几何表示如图，在ABC ∆和DEF ∆中，ABC EF BC E B DE AB ∆∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=≌)(SAS DEF ∆【典型例题】【例1】 已知：如图，AB=AC ，AD=AE ，求证：BE=CD.【例2】 如图，已知：点D 、E 在BC 上，且BD=CE ，AD=AE ，∠1=∠2，由此你能得出哪些结论？给出证明.【例3】 如图已知：AE=AF ，AB=AC ，∠A=60°，∠B=24°，求∠BOE 的度数.【例4】 如图，B ，C ，D 在同一条直线上，△ABC ，△ADE 是等边三角形， 求证：①CE=AC+DC ； ②∠ECD=60°.【例5】如图，已知△ABC 、△BDE 均为等边三角形。
全等三角形的判定方法五种的证明
全等三角形的判定方法五种的证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：全等三角形（即三角形的所有对应边和角都相等）在几何学中具有重要意义，因为它们有着很多共性特征和性质。
在实际问题中，我们常常需要判定两个三角形是否全等，以便解决一些几何问题。
下面我们将介绍五种判定方法，并给出它们的证明。
一、SSS法则（边边边全等）首先我们来介绍SSS法则，即如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，AC=DF，BC=EF。
我们要证明三角形ABC全等于三角形DEF。
【证明过程】由已知条件可知，三角形ABC和三角形DEF的三边分别相等。
所以可以得到以下对应关系：AB=DEAC=DFBC=EF三角形的两边之和大于第三边，所以我们有以下结论：AB+AC>BCDE+DF>EF由于AB=DE，AC=DF，BC=EF，所以根据上述两个不等式可得：AB+AC>BCAB+AC>BC所以三角形ABC与三角形DEF全等。
由于∠C=∠F，所以我们有以下结论：∠A+∠C+∠B=180°∠A+∠F+∠E=180°由于∠C=∠F，所以可以将两个等式相减，得到：∠B-∠E=0∠B=∠E四、HL法则（斜边-直角-斜边全等）由于∠A=∠D，∠B=∠E，所以可以使用AA法则证明三角形ABC 与三角形DEF全等。
我们介绍了五种全等三角形的判定方法以及它们的证明。
这些方法在解决几何问题中起着至关重要的作用，希望大家能够掌握并灵活运用这些方法。
如果遇到类似的题目，可以根据不同情况灵活选择合适的方法来判定三角形的全等关系。
通过不断练习和思考，相信大家能够在几何学习中取得更好的成绩。
【2000字】第二篇示例：全等三角形是指具有完全相同的三边和三角形的一种特殊情况。
在几何学中，全等三角形之间具有一些特殊的性质和关系。
正确判断两个三角形是否全等是解决几何问题的关键。
14.4全等三角形的判定(5)
E D
பைடு நூலகம்
A
1
2
B
C
例题点评： 本题需要先推导全等条件，再证明全等。
如图，已知BE与CD相交于点O，且 BO=CO，∠ADC=∠AEB，那么△BDO 与△CEO全等吗？为什么？
在△ABC中，已知点D、E、F分别在BC、 AC、AB上，且FD=DE，BF=CD， ∠FDE=∠B，那么∠B与∠C的大小关系如 何？为什么？
3.预习课本P102-P103,完成课后练习
1、完成课本后练习 2、如图，在△ABC中，以AB为一边向外作等边三 角形ADB，以AC为一边想外作等边三角形AEC，请 说明DC=BE的理由。
D A E
B
C
3、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是 ∠CAB的平分线，请说明AB=AC+CD的理由。
A
E C
D
B
4、如图，AB=AC，D、O、E为BC的四等分点， 指出图中的全等三角形并说明理由。
A
B
D
O
E
C
1、判定全等三角形需要选择适当的方法。 2、有的题目需要“伸头”，即先推导全等的 条件；有的题目要“伸脚”，即证完全等后 再推导出题目所要求的结论。 3、要学会说理的条理性和逻辑性，做到“言 必有据”，前后的知识要融会贯通，综合起 来解决问题。
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1.练习部分14.4(5) 2.一课一练P80-P81
三角形全等判定方法四种
三角形全等判定方法四种三角形，全世界都知道的形状，不管是在数学课堂上，还是在生活中，它们总是默默地存在。
今天，咱们就聊聊三角形全等的那些事儿。
这话说回来，三角形全等可不是随便说说的。
就好比朋友之间的关系，有时候就需要一点证明，才能让大家心服口服。
咱们的三角形全等判定法有四种，听上去好像有点严肃，但别担心，咱们把它讲得轻松点。
来聊聊边边边，全等的“BB”。
这个方法就像是看两个兄弟，一模一样，穿着一模一样的衣服。
只要三条边长都相同，嘿，这俩家伙就是全等的。
就像你跟你的小伙伴一起去买衣服，你们俩挑的同款、同色、同码。
虽然人不一定长得一样，但只要身上的衣服一模一样，谁还会说你们不一样呢？所以，边边边就能让三角形握手言和，成为好朋友。
再来聊聊角边角，这可是个有意思的方法。
想象一下，如果你有一位好友，他的脸蛋是圆圆的，笑容也特别好看。
只要他的一只眼睛、鼻子和嘴巴跟你一模一样，那你们俩肯定是同一个造型师。
三角形也是如此，只要有两条边长相等，夹着的角也相等，那么这两个三角形就能握手言和，互称兄弟。
就像是你跟你的小伙伴一起去理发，理发师把你俩的发型都修得漂漂亮亮，结果一看，哇，居然长得一模一样！咱们得提到角角边。
想象一下，在一个阳光明媚的下午，你跟朋友一起去野餐，结果不小心发现，你们俩的三明治做得一模一样。
那边的面包、夹的火腿、甚至上面的生菜都是一样的。
只要有两个角相等，夹着的边也相等，那这两个三角形肯定是同样的味道。
就像你们俩的三明治，虽然形状相似，但里面的配料可得相同才行，才能真正称得上是“全等”呀。
咱们不能不提的是直角三角形的全等判定。
直角三角形就像是数学界的小明星，一出现就吸引眼球。
只要它的斜边和一条直角边相等，那另一个直角三角形就不远了。
想想看，像篮球场上的对手，大家都知道谁跑得快，谁投篮准，只要这两点相同，胜负立刻见分晓。
所以，直角三角形的全等判定就像是运动场上的竞技，谁能跑得更快、跳得更高，谁就能成为全场的焦点。
全等三角形的判定方法五种证明
全等三角形的判定方法五种证明方法一：SSS判定法（边边边判定法）该方法基于全等三角形的定义，即三角形的三边相等。
假设有两个三角形ABC和DEF，若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则可以得出两个三角形全等。
证明：假设有两个三角形ABC和DEF，且已知AB=DE，BC=EF，AC=DF。
通过图形可以发现，若容器DAB将图形DEF旋转并平移后完全重合于ABC，则两个三角形全等。
因此，通过旋转和平移操作，将DEF旋转至直线AC上的点F与C匹配，同时将点F移动至点C。
由于线段DE和线段AC相等，而由已知条件可知线段DF与线段AC相等，所以线段DC也与线段AC相等。
因此，可以得出点C与点D重合，即三角形DEF重合于三角形ABC，证明了两个三角形全等。
方法二：SAS判定法（边角边判定法）该方法基于全等三角形的定义，即当两个三角形的两边和夹角分别相等时，它们全等。
假设有两个三角形ABC和DEF，若AB=DE，角A=角D，BC=EF，则可以得出两个三角形全等。
证明：假设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，角A=角D，BC=EF。
根据已知条件可以得出角D与角A相等，以及线段DE与线段AB相等。
通过这两个已知条件可以得出点D与点A重合，即三角形DEF与三角形ABC重合，证明了两个三角形全等。
方法三：ASA判定法（角边角判定法）该方法基于全等三角形的定义，即当两个三角形的两角和一边分别相等时，它们全等。
假设有两个三角形ABC和DEF，若角A=角D，角B=角E，AB=DE，则可以得出两个三角形全等。
证明：假设有两个三角形ABC和DEF，已知角A=角D，角B=角E，AB=DE。
根据已知条件可以得出角D与角A相等，角E与角B相等，以及线段AB与线段DE相等。
通过这三个已知条件可以得出三角形DEF与三角形ABC完全重合，证明了两个三角形全等。
方法四：HL判定法（斜边和高判定法）该方法基于全等三角形的定义，即当两个三角形的斜边和高分别相等时，它们全等。
《三角形全等的判定》 知识清单
《三角形全等的判定》知识清单一、三角形全等的概念两个三角形能够完全重合，就说这两个三角形全等。
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
二、三角形全等的判定方法1、“边边边”（SSS）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
例如：在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF，那么三角形 ABC 全等于三角形 DEF。
这个判定方法是三角形全等判定的基础，因为三条边确定了，三角形的形状和大小也就确定了。
2、“边角边”（SAS）如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
比如：在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，AB ＝ DE，∠A ＝∠D，AC ＝ DF，那么三角形 ABC 全等于三角形 DEF。
需要注意的是，这里的角必须是两条边的夹角。
3、“角边角”（ASA）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
假设在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，∠C ＝∠F，那么三角形 ABC 全等于三角形 DEF。
同样，这里的边必须是两个角的夹边。
4、“角角边”（AAS）如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
例如：在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，那么三角形 ABC 全等于三角形 DEF。
这一判定方法是由“角边角”推导而来的。
三、直角三角形全等的特殊判定方法1、“斜边、直角边”（HL）对于两个直角三角形，如果斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
比如在直角三角形 ABC 和直角三角形 DEF 中，∠C ＝∠F ＝ 90°，AB ＝ DE，AC ＝ DF，那么直角三角形 ABC 全等于直角三角形 DEF。
四、三角形全等判定的应用1、证明线段相等如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等。
全等三角形的判定
∠A=∠A'，那么△ABC≌△A'B'C'？
A
A'
B
C
B'
C'
叠合法：把△ABC放到△A'B'C'上，使∠A的顶点与∠A'
的顶点重合；△ABC≌△A'B'C'
判定
全等三角形判定方法一:
在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，
那么这两个三角形全等。（简记为S.A.S)
A
在ABC与ABC中
AB AB A=∠A AC AC
全等三角形的 判定
课前回顾
三角形的六个元素中，给定哪三个元素就可以确定三 角形的形状和大小？ 1. 三条边； 2. 两边及其夹角； 3. 两角及其夹边； 4. 两角及其对边. 如果两个三角形满足上述三个元素对应相等，
那么他们就是全等三角形。
新课探索
为什么“两边及其夹角对应相等”的两个三角形全等？ 如图，在△ABC和△A'B'C'中，已知AB=A'B'，AC=A'C'，
新课探索
为什么“两角及其夹边对应相等”的两个三角形全等？
如图，在△ABC和△A'B'C'中，已知∠A=∠A' ， ∠B=∠B ‘ ，AB=A ' B ' ,那么△ABC≌△A'B'C'？
A
A'
B
C
B'
C'
叠合法：把△ABC放到△A'B'C'上，使AB与A'B'重合；
△ABC≌△A'B'C'
全等判定定理
全等判定定理全等判定定理，又称全等三角形判定定理，是几何学中重要的基本定理之一。
它可以用来判定两个三角形是否全等。
全等三角形是指具有相同边长和相同内角的三角形。
全等判定定理的应用范围广泛，不仅在几何学中有重要地位，也被应用到其他学科中。
我们来了解一下全等三角形的定义和性质。
全等三角形的定义是指两个三角形的对应边长相等，并且对应内角相等。
根据全等三角形的性质，我们可以得出以下四个判定条件：SSS判定条件、SAS判定条件、ASA判定条件和AAS判定条件。
其中，SSS判定条件是指两个三角形的三边分别相等；SAS判定条件是指两个三角形的两边和夹角分别相等；ASA判定条件是指两个三角形的两个角和一边分别相等；AAS判定条件是指两个三角形的两个角和一边分别相等。
接下来，我们来详细介绍全等判定定理的应用。
首先是SSS判定条件。
当我们已知两个三角形的三边分别相等时，我们可以使用SSS 判定条件来判断它们是否全等。
例如，已知三角形ABC的边长分别是AB=3cm，BC=4cm，AC=5cm，已知三角形DEF的边长分别是DE=3cm，EF=4cm，DF=5cm。
根据SSS判定条件，我们可以得出三角形ABC和三角形DEF全等。
其次是SAS判定条件。
当我们已知两个三角形的两边和夹角分别相等时，我们可以使用SAS判定条件来判断它们是否全等。
例如，已知三角形ABC的边长分别是AB=3cm，BC=4cm，夹角∠BAC=60°，已知三角形DEF的边长分别是DE=3cm，EF=4cm，夹角∠DEF=60°。
根据SAS判定条件，我们可以得出三角形ABC和三角形DEF全等。
再次是ASA判定条件。
当我们已知两个三角形的两个角和一边分别相等时，我们可以使用ASA判定条件来判断它们是否全等。
例如，已知三角形ABC的两个角分别是∠BAC=60°，∠ABC=30°，边AC=5cm，已知三角形DEF的两个角分别是∠DEF=60°，∠DFE=30°，边DF=5cm。
核心素养指向的数学学科教学设计改进策略——以“14.4（4）全等三角形的判定”为例
核心素养指向的数学学科教学设计改进策略——以“ 14.4（4）全等三角形的判定”为例发布时间：2023-01-09T08:20:15.749Z 来源：《中小学教育》2022年8月16期作者：王素敏[导读] 教育总是随着社会的进步而发展的王素敏上海理工大学附属实验初级中学 200093摘要：教育总是随着社会的进步而发展的，《义务教育课程标准（2022年版）》[1]指出：在课程实施方面需要深化教育改革，主要体现在坚持素养导向、强化学科实践、推进综合学习以及落实因材施教。
初中数学是以课堂教学为主导的学科，课堂教学的质量，决定了整个课程教学的质量。
因此，在新课改之下，初中数学教学需要对课堂教学设计进行合理的优化，行合理的优化，保证课堂教学能够达到最的效果。
《义务教育数学课程标准（2022年版）》[2]指出：有效的教学活动是学生学和教师教的统一、学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。
学生的学习应是一个主动的过程，认真听讲、独立思考、动手实践、自主探究、合作交流等是学习数学的主要方式。
同时标准指出课程目标以学生发展为本。
以核心素养为导向，进一步强调使学生获得数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验（简称“四基”）的获得与发展。
因此，加强教学设计研究，注重核心素养的培养是初中数学教师的当务之急，需要教师把学习理论与教学实践联系起来，优化课程教学设计，优化教学过程，切实提高课堂教学效率。
笔者认为可以从以下几个方面入手：关键词：探究教学；数学核心素养；数学思想方法；最近发展区；一、设置情景，融合探究教学探究教学在初中数学课堂教学中的作用毋庸置疑，因此，在优化课堂教学设计的过程中，教师也同样可以在课堂中适当的融合探究教学的理念，通过探究教学来进一步激发学生的探究意识，进一步开拓学生的思维，同时可以提高学生的实践动手能力，因此，笔者在数学中会根据教学的需要，在课堂上引导学生开展探究活动。
以沪教版七年级下册第14章《14.4（4）全等三角形的判定》为例，三角形全等的判定是初中平面几何学习中的基础和核心内容，是今后研究线段相等、角相等的重要方法，是今后研究几何图形不可或缺的工具与方法。
14-4全等三角形的判定(ASA、AAS)(第2课时)(课件)-七年级数学下册同步精品课堂(沪教版)
随堂检测
1.如图，已知： ∠E= ∠C，EO=CO． (1)试说明 △BEO≌ △DCO 的理由。 (2)联结EC,试说明 △BEC≌ △DCE 的理由。
B E
D
解：在△BEO 和△DCO中 ∠E= ∠C（已知）
O
EO=CO （已知）
C ∠BOE= ∠DOC（对顶角相等）
∴ △BEO ≌ △ DCO（ ASA ）
解：在△ABC和△ADE中， ∠B=∠D（已知） ， ∠A=∠A （公共角） ， AE=AC （已知） ，
∴ △DEA≌ △BCA （ A.A.S ）
课本练习
练习14.4(2)
1.判定下列各对三角形是否全等,如果全等,请说出理由
2.如图,小明不慎把三角形模具打碎为三块,他是否可 以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原 来一样的三角形模具呢?如果可以,应该带哪块去? 为 什么?
2.已知： ∠1＝ ∠2， ∠E= ∠C,AC=AE 试说明AB=AD ，∠B＝ ∠D的理由。
A 12 B
E
解： ∵ ∠1＝ ∠2
∴ ∠1＋ ∠EAC= ∠2+ ∠EAC
∴ ∠BAC= ∠DAE D 在△BAC和 △DAE中
∠BAC= ∠DAE AC=AE（已知） ∠C= ∠E（已知）
∴△ BAC ≌△ DAE （ASA） C ∴AB=AD(全等三角形的对应边相等）
∠B＝∠D (全等三角形的对应边相等)
3.已知： ∠1＝ ∠2，∠E= ∠C,AC=AE，D、A、B在一 条直线上；试说明点A的位置，并说明理由。
D
A
12 3
C
E
解：∵ ∠1＝ ∠2
B ∴ ∠1＋ ∠3= ∠2+ ∠3
∴ ∠ DAE = ∠ BAC 在△DAE和△BAC中
14.4全等三角形的判定的六大知识点与五大考点
14.4全等三角形的判定的六大知识点与五大考点知识点一：“边角边”公理全等三角形判定方法一：_________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 例题1已知AB=A ’B ’,AC=A ’C ’,∠A=∠A ’，请根据全等三角形的定义，证明：△ABC ≌△A ’B ’C ’练习1如图，已知AB=AC,AD=AE,求证△ABE ≌△ACD知识点二：“角边角”公理全等三角形判定方法二：_________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 例题2已知AB=A ’B ’,∠A=∠A ’,∠B=∠B ’请根据全等三角形的定义，证明：△ABC ≌△A ’B ’C ’练习2 如图，已知AB=AC,∠B=∠C,求证BD=CE知识点三：“角角边”公理全等三角形判定方法三：_________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 如图：已知∠BAC=∠DAE, ∠ABD=∠ACE,BD=CE,求证：AB=ACB知识点四：“边边边”公理全等三角形判定方法四：_________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 例题：如图：已知AB=AC,AD=AE,BD=CE,求证：∠CAB=∠EAD知识点五：“斜边、直角边定理”全等三角形判定方法五：在直角三角形中，___________________________________________ _______________________________________________________________________________ 如图：已知AD ⊥DB,BC ⊥CA,AC,BD 相交于点O ，且AC=BD,求证：AD=BC.知识点六：三角形的稳定性：______________________________________________________练习：如图，在△ABC 中，AB=AC,CE 和BD 是高，试说明CE=BD练习：如图，已知AB=AC,AD=AE,∠EAB=∠DAC ，若BD=16，求CE 的长度EBB D考点一：两头凑证线段相等如图,AB=AC,点D 、E 分别在AC 、AB 上，AG ⊥BD,AF ⊥CE,垂足分别为G 、F ，且AG=AF 求证：AD=AF考点二：倍长中线法构造全等三角形如图，已知在△ABC 中，AD 为△ABC 的中线，且AB=8cm,AC=5cm,求中线AD 的取值范围.考点三：倍长法证明不等式如图，在△ABC 中，BD=DC ，ED ⊥DF,求证：BE+CF ＞EFB考点四：截长补短证明线段和的问题如图，已知E 为AD 中点，AB ∥CD,BE 平分∠ABC, CE 平分∠BCD,求证：BC=AB+CD考点五：在动态几何中探究线段“和差”问题综合说理题：（1）如图①，已知∠BAC=90°,AB=AC ，AE 是过点A 的一条直线，且点B 、C 在AE 的异侧，BD ⊥AE 于点D ，CE 垂直AE 于点E,求证：BD=DE+CE（2）若直线AE 绕点A 旋转到图②位置时（BD<CE ），其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何？请给予证明；（2）若直线AE 绕点A 旋转到图③位置时（BD>CE ），其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何？请直接给出结果，不需证明；① ② ③。
全等三角形的判定方法五种的证明
全等三角形的判定方法五种的证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：全等三角形是指具有相同形状但是大小不同的三角形。
在几何学中，全等三角形是一种非常重要的概念，它们具有许多重要的性质和特征。
在本文中，我们将介绍全等三角形的判定方法，并给出五种不同的证明方式。
我们来回顾一下全等三角形的定义。
两个三角形如果它们的对应的三边和对应的三个角分别相等，则这两个三角形是全等的。
换句话说，如果三角形ABC和三角形DEF满足以下条件：AB=DE, AC=DF, BC=EF，并且∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F,那么我们可以说三角形ABC 全等于三角形DEF。
现在，让我们来看一下全等三角形的判定方法及其证明：1. SSS法则SSS法则是说如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
证明：设三角形ABC和三角形DEF满足AB=DE, AC=DF,BC=EF。
我们需要证明∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F。
根据余弦定理，我们可以得到：cos A = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bccos D = (e^2 + f^2 - d^2) / 2ef由于AB=DE, AC=DF, BC=EF，则有：b = e,c = f, a = d带入余弦定理的公式中，得：cos A = cos Dcos B = cos Ecos C = cos F由于余弦函数是单调递减的，所以当两个角的余弦值相等时，这两个角必然相等。
根据余弦函数的性质，我们可以得出∠A=∠D,∠B=∠E, ∠C=∠F。
从而证明了SSS法则。
根据正弦定理，我们可以得到：sin C / sin F = a / d根据辅助线法，我们可以构造AE || BF，连接CE。
则有∠AEC = ∠B, ∠EFC = ∠C。
由于∠A=∠D, AB=DE，根据AAS法则，我们可以得到三角形AEC 全等于三角形BFC。
我们介绍了全等三角形的判定方法及其五种不同的证明方式。
三角形全等的判定格式
三角形全等的那些事儿嘿，大伙儿好！今天咱们来聊聊一个数学里挺有意思的话题——三角形全等的判定格式。
别一听数学就头疼，我保证，今儿咱们不讲那些高深莫测的公式推导，也不抠字眼儿地背定理，就纯粹用咱们平时说话的方式，来捋一捋这三角形怎么就能一模一样，也就是全等的那些门道。
咱们先说说啥是三角形全等。
想象一下，你有两块三角形的饼干，大小形状都一样，能完美拼在一起，那这俩三角形就是全等的。
在数学上，全等的意思就是两个三角形能够完全重合，不多也不少，就像孪生兄弟似的。
现在，咱们进入正题，看看判定三角形全等的几种常见方法。
这些方法啊，就像是侦探破案的手段，通过找到一些关键的线索，就能确定两个三角形是不是“亲兄弟”。
第一种方法，咱们叫它“SSS”，也就是“三边相等”。
这个最容易理解了，就像你有两把尺子，分别量了两个三角形的三条边，结果都是一模一样的，那这俩三角形肯定就是全等的。
想象一下，你做了一个三角形的风筝，然后又做了一个跟它一模一样的，你量量这个风筝的三条边，再量量那个，如果都一样长，那你就可以确信，这两个风筝的三角形部分是完全一样的。
第二种方法，咱们叫它“SAS”，就是“两边及夹角相等”。
这个稍微复杂点儿，但想想也不难。
比如，你有两个三角形，你量了它们的两条边，发现一样长，然后又量了这两条边之间的夹角，发现角度也一样，那这俩三角形也是全等的。
这就像是你有两个门框，你量了门框的两边和它们之间的夹角，如果都一样，那你就可以确定，这两个门框能装上同样大小的门。
第三种方法，咱们叫它“ASA”，就是“两角及夹边相等”。
这个得稍微动动脑筋。
想象一下，你有两个三角形，你先量了两个角，发现它们一样大，然后又量了这两个角之间的那条边，发现长度也一样，那这俩三角形也是全等的。
这就像是你有两个帽子，你先看了看帽顶和帽檐的角度，发现一样，然后又量了量帽顶到帽檐的那条线的长度，发现也一样，那你就可以确定，这两个帽子的大小形状是一样的。
全等三角形的判定(2)教学设计
114.4全等三角形的判定（2）教学设计【教学目标】：1.掌握全等三角形判定方法2、3；初步运用“边角边”、“角角边”条件判定两个三角形全等。
2.在说明两个三角形全等的过程中，体会说理表达的严密性及规范性。
3.在自主学习与合作学习的过程中，逐步养成主动探索、勇于创新的学习品质。
【教学重点难点】：教学重点：掌握全等三角形判定方法2、3．教学难点：运用三角形全等的性质和判定方法进行简单的逻辑推理．【教学过程】：学前准备：操作：画ABC ∆，使=60A ∠︒，=45B ∠︒，5AB cm =。
剪下所画的三角形并在小组间比较一下你们所画的三角形能否重合。
一、 复习引入回顾全等三角形判定方法1，引出课题。
二、 新课探究（一）、探究：“两角及其夹边对应相等”的两个三角形全等。
1、操作：画ABC ∆，使=60A ∠︒，=45B ∠︒，5AB cm =。
剪下所画的三角形在小组间比较一下你们所画的三角形能否重合。
猜想：具备怎样条件的两个三角形也能够全等呢？2、验证：利用叠合法进行说明3、得出结论：全等三角形判定方法2及符号语言注：这个全等的条件可以简写成“角边角”，“A.S.A ”。
特别注意的是，“角边角”中的“边”必须是“两角的夹边”。
在用符号语言书写的时候大括号中的三个条件也要按照这个顺序来书写（二）、探究：“两角及其中一角的对边对应相等”的两个三角形全等。
1、思考：在ABC ∆和'''A B C ∆中，'A A ∠=∠，'B B ∠=∠，''AC A C =，ABC ∆和'''A B C ∆全等吗？2、说明：利用三角形内角和的性质得到第三个角也相等，就能转化到两角及其夹边对应相等，利用“A.S.A ”的判定方法进行说明这两个三角形全等。
260°57°57°60°44CA O DB E AC OD B3、得出结论：全等三角形判定方法3及符号语言注： 这个条件我们可以简写成“角角边”或“A.A.S ”,注意的是这里的“边”必须是“其中一个角的对边”，所以我们不能写在两角的中间位置，我们把它写在第三个位置。
全等三角形的四种判定方法
全等三角形的四种判定方法
1.SSS判定法（边-边-边）：
SSS判定法是通过比较两个三角形的边长来判断它们是否全等。
当三
个边的长度完全相等时，两个三角形就是全等的。
这是最直观的方法，也
是最易判定的方法之一
2.SAS判定法（边-角-边）：
SAS判定法是通过比较两个三角形的边长和夹角来判断它们是否全等。
当两个三角形的一对相邻边和它们之间的夹角相等时，这两个三角形就是
全等的。
3.ASA判定法（角-边-角）：
ASA判定法是通过比较两个三角形的两个角度和它们之间的夹边来判
断它们是否全等。
当两个三角形的两个角度和它们之间的夹边相等时，这
两个三角形就是全等的。
4.AAS判定法（角-角-边）：
AAS判定法是通过比较两个三角形的两个角度和一个非夹角边来判断
它们是否全等。
当两个三角形的两个角度和一个非夹角边相等时，这两个
三角形就是全等的。
这些判定方法都基于三角形的重要性质：对于两个全等的三角形，它
们的对应边长相等，对应角度相等。
因此，通过比较两个三角形的边长和
角度可以判断它们是否全等。
在实际应用中，这些判定方法可以用来解决各种问题，比如计算三角形的面积、寻找相似三角形等。
此外，全等三角形的概念也是其他几何学概念的基础，比如正方形和正五边形都是全等三角形的特殊情况。
综上所述，全等三角形的判定方法有四种：SSS、SAS、ASA和AAS。
通过比较边长和角度的相等性可以确定两个三角形是否全等。
这些方法在解决几何问题中非常有用，并且为其他几何学概念的理解提供了基础。
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课前复习
课前复习
三角形的六个元素中，给定哪三个元素就可以确定三角 形的形状和大小？ 1.三条边； 2.两边及其夹角；
3.两角及其夹边；
4.两角及其对边. 如果两个三角形满足上述三个元素对应相等，那么他们 就一定是全等三角形。
新课探索
为什么““两两边边及及其其夹夹角角对对应应相相等等””的两个三角形为全等三 角形？
ABC与 DCB全等的理由.
A
D
B
C
课内练习
3．如图，已知AB=AC，AD=AE.
说明 ABD与 AC全E等的理由
解：在 ABD与 ACE中，
AB AC（已知）
BAD
CAE（公共角）
AD AE（已知）
所以 ABD ACE (S.A.S )
课内练习
(2)那么AB与CD相等吗？
课堂小结
•全等三角形的判定方法一； •图形中可能隐藏一些公共角、公共边；平行线 会 有角相等。
4 、已知：如图所示，AD=AE，点D、E在BC上，
BD=CE，∠1=∠2。
试说明：AB=AC。
A
1
2
BD
EC
课内练习
5、如图所示，∠C=70°，BD平分∠ABC，BC=BE， 求∠AED的度数。
A
E D
B
C
课内例题
例3：如图，E、F是AC上的两点，AE=CF，BF=DE， DE // BF.
(1)说明 ABF≌ CD的E理由.
？
方法：
性质
全等三角形的判定方法一: 在两个三角形中，如果有两条边及其它们的夹角对应相 等，那么这两个三角形全等。（简记为SAS)
课内例题
例1：如图，已知 AB=AD，AC=AE， BAC D，A说E 明
与 AB全C等的理A由E.D
课内练习
2．如图，已知A、D、C、F在同一条直线上，AC =FD，
AB=FE，
BAC ,请DF说E明
与ABC
FED全等的理由.
解：在 ABC与
BAC DFE（已知）
AC FD（已知）
所以 ABC FED (S.A.S )
课内例题
例2：如图，已知AB=CD ， ABC DCB,说明