第三章 协方差传播率及权
第三章协方差传播律及权-2
S0
sin sin
L1 , L2
aAC a0 180 L1 L2 ,
xC xA S AC cos Ac,
yc y A S AC sin a AC .
现在提出这样一个问题：观测值的函数的中误差值的中 误差之间，存在着怎样的关系？观测值函数的协因数与观测 值的协因素之间，存大着怎样的关系？本节将导出这些关系 式，我们把这些关系式称为广义传播律。
m1
k20
km0
,
则上式可写为
Z K
m1 mn
X
n1
K0
m1
也就是要求Z的协方差阵DZZ。
因为Z 的数学期望为
EZ EKX K0 KX K0
所以，Z的协方差阵为
DZZ E Z EZ Z EZ T E KX KX KX K X T
KE X x X x T K T ,
所以
DZZ
2 z
KDXX K T .
将上式展1,1开成纯量形式，得
DZZ
2 Z
k12
2 22
kn2
2 nn
2k1k212 2k3k313
1,1
2k1kn1n 2kn1kn n1,n
第三章 协方差传播律及权
2020年1月31日星期五
1
第一节 协方差传播律
一、协方差传播律
在实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直
接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来
的，即常常遇到的某些量是观测值的函数。这类例子很多，
例如，在一个三角形中，观测了三内角L1、L2、L3，其闭合
第三章 协方差传播率及权
xy E( x y )
• 式中 x E( X ) X 和 真误差。
y E(Y ) Y
分别是 X和Y的
• 协方差则是这两种真误差所有可能取值的乘积的理 论平均值，即 lim [ x y ] lim 1 ( xy x n n
n n
ˆ xy [ x y ] n
12 0 2 0 2 Dxx 0 0 0 0 2 n
4.互协方差阵
设有观测值向量 Y。 为 和 r ,1
X n ,1
X
n ,1
和
Y
r ,1
，它们的数学期望分别
D XY DYY
令：
X Z Y
在测量工作中，直接观测得到的高差、距离、角 度、方向和三角高程测量求得的高差等，都认为 是独立观测值。 一般来说，独立观测值的各个函数之间是不独立 的，或者说是相关的，因而它们是相关观测值。 例如，当一个测站上的水平方向观测值是独立观 测值时，由这些方向值所算得的相邻角度就是相 关观测值；又如，三角网或导线网中根据观测角 度和边长求得的各点的坐标也是相关观测值。
2 r
D XY
X 1Y1 X Y 21 X nY1
XY X Y
1 2
2 2
X Y
n 2
X 1Yr X 2Yr X nYr
T DYX DXY
若有 X 的
t 个线性函数：
Z 1 k11 X 1 k12 X 2 k1n X n k10 Z 2 k 21 X 1 k 22 X 2 k 2 n X n k 20 Z t k t1 X 1 k t 2 X 2 k tn X n k t 0
第3章：《误差理论与测量平差基础》 - 山东科技大学泰安校区
0 0 0 n n
Z [k 1 , k 2 , kn ] X k0 KX k0
n ,1
DZZ KDXX K
T
例4、根据极坐标法测设P点的坐标，设已知 点无误差，测角中误差为m，边长中误差ms， 试推导P点的点位中误差。
2 j 2 0
Qii为Li的协因数。
Q jj为L j的协因数。
Qij为Li关于L j的协因数 或相关权倒数。
1 ji Qij 2 pi 0
变换形式为：
2 i2 0 Qii 2 2 j 0 Q jj 2 ji 0 Qij
不难得出：
DXX
12 12 1n Q11 Q12 Q1n Q 2 Q22 Q2 n 21 2 2 n 2 21 0 2 Qn1 Qn 2 Qnn n1 n 2 n
山东科技大学山东科技大学资源与土木工程系资源与土木工程系误差理论与测量平差基础第六章附有参数的条件平差第二章误差分布与精度指标第三章协方差传播律及权第五章条件平差第七章间接平差第一章绪论第八章附有限制条件的间接平差第九章概括平差函数模型第十章误差椭圆第四章平差数学模型与最小二乘原理教材内容第十二章近代平差概论第一节协方差传播律第二节协方差传播律的应用第三节权与定权的常用方法第四节第五节协因数传播律第六节由真误差计算中误差及其实际应用直接观测值间接观测值函数关系具有一定精度也应该具有一定精度根据函数关系提出问题
2 (二) 选定了 0 ，即对应一组权。
（三）权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较 精度的作用，一个问题只选一个0。
第三章 协方差传播率
第三章 协方差传播律一、 公式汇编广义传播律T YY XX T ZZ XX T YZ XX D FD F D KD K D FD K ⎫=⎪=⎬⎪=⎭220022002200()()()T YY XX T ZZ XX YZ XX Q F Q F Q K Q K Q F Q K σσσσσσ⎫=⎪⇒=⎬⎪=⎭T YY XX T ZZ XX YZ XX Q FQ F Q KQ K Q FQ K ⎫=⎪⇒=⎬⎪=⎭独立观测值权倒数22211221111Z n nf f f P L P L P L P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂=+++ ⎪⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭方差与协因数阵202020XX XX YY YY XY XYD Q D Q D Q σσσ===22022020i iij jj ji ijQ Q Q σσσσσσ===22100XX XX XX D Q P σσ-==权202i ip σσ=二、 解题指南1.观测值及其方差阵 写成向量、矩阵形式,XX X D2 按要求写出函数式，对函数式求全微分，写成矩阵形式 函数式),,2,1(),,,,(21n i X X X f Z n i i ==全微分写成矩阵形式：dZ KdX =3应用协方差传播律求方差或协方差阵。
T ZZ XX D KD K =三、 例题讲解在三角形ABC 中观测三个内角 ，将闭合差平均分配后得到各角值及其方差阵为：123ˆ4010'30"ˆˆ5005'20"ˆ8944'10"L L L L ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦ ˆˆ633363336LL D --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ 解：1.观测量 及其方差123ˆˆˆˆL L L L ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ˆˆ633363336LL D --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ 2.写出函数式12033ˆˆsin sin ˆˆsin sin a b L L S S S S LL==线性化01323ˆˆln ln ln sin ln sin ˆˆln ln ln sin ln sin a bS S L L S S LL =+-=+-11332233ˆˆˆˆcot cot ˆˆˆˆcot cot a a a bbbdS S L dL S L dL dS S L dL S L dL=-=-123ˆˆˆ,,LL L 已知边长S0=1500.000m,求Sa 、Sb 的长度及他们的协方差阵 Dss写成矩阵形式1133233ˆˆˆcot 0cot ˆˆˆ0cot cot ˆa a a b b b dLdS S L S L dS dL dS S L S L dL ⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦1313233ˆˆcot cot ˆ0ˆˆˆcot cot ˆ0a a a b b b S L S L dL dS dS dL dS S L S L dL ρρρρ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦133ˆ1146041ˆˆ09625ˆdL dL KdL dL ρ⎡⎤⎢⎥-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦3.应用协方差传播律求方差或协方差阵263311460114604136309620962533645Dss ρ--⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦21.860.770.77 1.32Dss cm -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦四、练习题1. 已知观测值1L ，2L 的中误差12σσσ==，120σ=，设11225,2X L Y L L =+=-，12Z L L =。
测量平差-获奖课件
2 X1
D XX
2 X
2
X1
2 X
n
X1
2 X1X 2
2 X2
2 XnX2
2 X1X n
2 X2Xn
2 Xn
若有X旳t个函数：
z1
Z
t1
z2
KX
K0
zt
k11 k12
K
tn
k21
k22
kt1 kt 2
1n
k2n
ktn
k10
K0
k20
t1 kt0
DZZ
1
xe
(
x)2 2 2
dx
2
数学期望旳传播规律：
常数c旳数学期望为E（c）=c
随机变量X乘以常数c，则有 ECX CEX
随机变量X1, X 2,, X之n 和旳数学期望为
EX1 X2 Xn EX1 EX2 EXn
相互独立旳随机变量 X1, X 2，，X 之n 积旳数学期望为：
二、协因数传播律
Y FX F 0 Z KX K 0
由协方差传播律得：
DYY F DXX F T DZZ K DXX K T DYZ F DXX K T
2 0
DYY
F
2 0
DXX
FT
2 0
DZZ
K
2 0
DXX
KT
2 0
DYZ
F
2 0
DXX
KT
即：
QYY F QXX F T QZZ K QXX K T QYZ F QXX K T
例4：设有函数， Z t ,1
F1
t,n
X
n,1
F1
t,r
3-协方差传播律及权
Xn
§3-2 协方差传播律
1. 误差的传递
（2）非线性函数误差的传递
%
f ( x1 , x2 ,L
, xn
)
f x1
x1
f x2
x2
L
f xn
xn
令
f X i
ki ,
i 1,2,L n
则非线性函数误差的传递公式为：
Y
注意：求偏 导后，代入观 测值xi
Y k1 X1 k2 X 2 ... kn Xn
f1
Z1
Z
2
M
Z
t
X 1 f2 X 1 L
ft
X1
f1 X 2 f2 X 2 L
ft X 2
L
L O L
f1
X
n
f2 X n
L
ft
X1
X
2
M
X
n
X n
Z Z X
t1
X n1
tn
Z
Z
t1
X
tn
X n1
例题：测定待定点G，需测量水平角β和边长s
1. 误差的传递
（3）函数向量误差的传递 若有t 个线性函数
Z1 k11 X1 k12 X 2 ... k1n X n k10
Z2
k21 X1
k22 X 2
...
k2n Xn
k20
... ... ... ...
Zt kt1 X1 kt 2 X 2 ... ktn X n kt0
db1
S3 a2
da2
S3 b2
db2
S3 a3
da3
S3 b3
db3
S3 cot a1da1 cot b1db1 cot a2da2 cot b2db2 cot a3da3 cot b3db3
协方差传播律应用平差
a
20
人生太短，聪明太晚(2)
当自己有足够的能力善待自己时，就立刻去做，老年 人有时候是无法做中年人或是青少年人可以做的事， 年纪和健康就是一大因素。小孩子从小就告诉他，养 你到高中，大学以后就要自立更生，要留学，创业， 娶老婆，自己想办法，自己要留多一点钱，不要为了 小孩子而活我们都老得太快却聪明得太迟，我的学长 去年丧妻。这突如其来的事故，实在叫人难以接受， 但是死亡的到来不总是如此。学长说他太太最希望他 能送鲜花给他，但是他觉得太浪费，总推说等到下次 再买，结果却是在她死后，用鲜花布置她的灵堂。这 不是太蠢愚了吗？！
a
14
a
15
a
16
大学课件出品 版权归原作者所有 联系QQ ：910670854 如侵权，请告知，吾即删 更多精品文档请访问我的个人主页
/611696569
a
17
附赠人生心语
a
18
人生太短，聪明太晚
a
19
人生太短，聪明太晚(1)
我们都老得太快 却聪明得太迟 把钱省下来，等待退休后再去享受 结果退休后，因为年纪大，身体差，行
2 km
,则
S公里观测高差的方差和中误差分别为
h2 Sk2m
h Skm
其估值公式为
ˆh2 Sˆk2m ˆh Sˆkm 例题
a
5
例题
水准测量中若要求每公里观测高差中误差不超过 10mm，水准路线全长高差中误差不超过60mm, 则该 水准路线长度不应超过多少公里？
解：由公式
h2 Sk2m
可得
S h2 602 36
测量平差教学课件PPT
Chapter.2 Error Distribution and Index of Precision
• 3、精确度： • 描述偶然误差、系统误差和粗差的集成，
精确度可用观测值的均方误差来描述，即：
• 当 时，即观测值中不存在系统误差，亦即 观测值中只存在偶然误差时，均方误差就 等于方差，此时精确度就是精度。
ZX,则 Z的方D 差 ZZ阵 D XX为 D XY
Y
D YX D YY
其中：DXY =E 为[XX 关(于u Y的X)互Y 协( 方u 差Y阵)T]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x1y1
DXY
x2
y1
...
xn y1
x1y2
...
x2 y2
...
... ...
xn y2
...
实用文档
x1yr
x2 yr
...
（correlation observation） 实用文档
Chapter 3. spread of covariance
一、观测值线性函数的方差 +两观测值线性函数的协方差 设观测向量L及其期望和方差为：
实用文档
Chapter 3. spread of covariance
实用文档
Chapter 3. spread of covariance
5直接应用协方差传播律得出所求问题的方差协方差矩阵第三章协方差传播律八权及定权的常用方法权的概念一定的观测条件对应着一定的误差分布而一定的误差分布就对应着一个确定的方差方差是表征精度的一个绝对的数字指标为了比较各观测值之间的精度除了可以应用方差之外还可以通过方差之间的比例关系来衡量观测值之间的精度的高低这种表示各观测值方差之间的比例关系的数字特征成为权所以权是表征精度的相对的数字指标第三章协方差传播律权的概念权是权衡轻重的意思其应用比较广泛应用到测量上可作为衡量精度的标准如有一组观测值是等精度的那么在平差时应该将他们同等对待因此说这组观测值是等权的而对于一组不等精度的观测值在平差时就不能等同处理容易理解精度高的观测值在平差结果中应占较大的比重或者说应占较大的权所以平差时对于一组不等精度的观测值应给予不同的权
4第三章 协方差传播律_第二部分
令： Y1 L1
F1 23
1 3
13
得： Y1F1X1F10
L1
X
1
L
2
L 3
F 0 60o 1
根据协方差传播公式：
21ຫໍສະໝຸດ 003得：
D YYL 21F 1D XXFT
2 3
=7
同理可求
2 L2
2 L3
9
1 3
1 3
0 0
2 0
0
1 3
1
1
3
§1协方差传播律
二、多个观测值线性函数的协方差阵
{[Ssin(0 )]2[Scos(0 )]2}2
2 s
S2
2
2
点位误差另一个计算公式：
c2
s2
S2
2
2
§3 非线性函数的广义传播律
求函数协方差的步骤小结
38
§4 广义传播律在测量中的应用
① 水准测量的精度 ② 一个量独立等精度观测算术中数的中误差 ③ 三角高程测量的精度 ④ 距离丈量的精度
39 39
K 称为单位距离高差的中误差 或每公里高差中误差。
b2
h2
P2
h
mh nm nS s
mh
m s
S
mh K S
§4 广义传播律在测量中的应用
一、水准测量的精度
例2：如图所示水准路线，由两已知水准点测两高差确定 P 点
高程。要求 P 点高程的中误差小于等于10mm。问每公里的观
解测高：H 差中P A误 差1 2 应H 限8kP 定m1在 h1什H 么P 2 范围 P 内1 2 ？H （已A 8 知kmh 点1 高 程H 无B B误 差h ）2
第三章_协方差传播律及权
(3-2-6)
通常将（ ）、（3-2-5）和（3-2-6）诸式称为协方差传播律。 协方差传播律。 通常将（3-2-4）、（ ）、（ ） ）诸式称为协方差传播律 其中（ 其中（3-2-6）式是（3-2-5）式的特例。 ）式是（ ）式的特例。
的地图上， 【例题1】在1:500的地图上，量得某两点间的距离是d = 23.4 mm，d的量距 例题 】 的地图上 的量距 求两点间的实地距离S和其精度 和其精度σ 误差是 σ d = ±0.2 mm 。求两点间的实地距离 和其精度 S。 解：
第三章
协方差传播律及权
本章学习要点： 本章学习要点： 1、数学期望的传播 、 2、协方差传播定律 、 3、协因数和协因数传播律 、 4、由真误差计算中误差的方法 、 5、系统误差的传播 、
在实际测量工作中，往往有些未知量不是直接测定， 在实际测量工作中，往往有些未知量不是直接测定，而是由观测值 按一定函数关系计算出来的，即某些未知量是直接观测值的函数。 按一定函数关系计算出来的，即某些未知量是直接观测值的函数。
1.96 − 1 − 1 = 1.92( ′′)2 σ = KDββ K = (− 1 − 1) − 1 1.96 − 1
2 x T
σ x = ±1.4 ′′
图3-2
二、多个观测值线性函数的协方差阵 1、 设有观测值 X，它的数学期望 µX与协方差阵DXX ， n1
D XX
σ 12 σ 12 2 σ 21 σ 2 = L L σ n1 σ n 2
L σ 1n L σ 2n L L 2 L σn
(3-2-7)
L k1n k10 L k2n k , K0 = 20 , L L t 1 M L ktn kt 0
协方差传播律
协方差传播律1. 引言协方差是统计学中用来衡量两个随机变量之间关系的指标。
在金融领域，协方差被广泛应用于风险管理和资产组合优化等方面。
协方差传播律（Covariance Propagation Law）是指在多个随机变量之间存在关联时，如何计算它们之间的协方差。
2. 协方差的定义和性质协方差衡量了两个随机变量之间的线性关系程度。
对于两个随机变量X和Y，其协方差定义为：Cov(X,Y)=∑(X i−X‾)ni=1(Y i−Y‾)n−1其中，X i和Y i分别表示第i次观测到的X和Y的取值，X‾和Y‾分别表示X和Y的均值。
协方差具有以下性质：•对称性：Cov(X,Y)=Cov(Y,X)•线性性：Cov(aX+bY,Z)=a Cov(X,Z)+b Cov(Y,Z)，其中a和b为常数，X、Y和Z为随机变量。
3. 协方差传播律的推导在实际问题中，我们经常需要计算多个随机变量之间的关系。
假设有n个随机变量X1,X2,...,X n，它们与另一个随机变量Y之间存在关联。
我们希望计算Y与这n个随机变量的协方差。
根据协方差的线性性质，我们可以将Y表示为这n个随机变量的线性组合：Y=a1X1+a2X2+...+a n X n其中a1,a2,...,a n为常数。
现在我们来计算Y与任意两个随机变量X i和X j之间的协方差Cov(Y,X i)和Cov(Y,X j)。
根据协方差的定义：Cov(Y,X i)=∑(Y k−Y‾)mk=1(X ik−X i‾)m−1其中，Y k表示第k次观测到的Y的取值，X ik表示第k次观测到的X i的取值，Y‾和X i‾分别表示Y和X i的均值，m为样本数量。
将Y的表达式代入上述公式：Cov(Y,X i)=∑(a1X1k+a2X2k+...+a n X nk−Y‾)mk=1(X ik−X i‾)m−1展开并整理上式：Cov(Y,X i)=a1∑(X1k−X1‾)mk=1(X ik−X i‾)m−1+a2∑(X2k−X2‾)mk=1(X ik−X i‾)m−1+...+a n∑(X nk−X n‾)mk=1(X ik−X i‾)m−1可以看出，Cov(Y,X i)可以表示为n个随机变量X j与X i之间协方差的线性组合。
第三章 协方差传播律及权
1弧度=206 264.806247秒
第三章 协方差传播率及权
第三章 协方差传播率及权
§3-3 协方差传播率的应用 1）水准测量的精度 2）同精度独立观测值平均值的精度 3）若干独立误差的联合影响 4）交会定点的精度
第三章 协方差传播率及权
水准测量
a2 a1
1（s)
b2 a
2(s)
b aN
bN
6、多个观测向量非线性函数的方差—协方差矩阵
基本思想：a、利用泰勒级数展开，略去二次以上项， 得到函数的线性表达式；b、应用协方差传播律。 设观测向量的t个非线性函数为：
Z1 f1 X 1 , X 2 , , X n Z t f t X 1 , X 2 , , X n Z 2 f 2 X 1 , X 2 , , X n
已知X的协方差矩阵DXX，求函数Z的方差DZZ
基本思想：a、利用泰勒级数展开，略去二次以上项， 得到函数的线性表达式；b、应用协方差传播律。
第三章 协方差传播率及权
将Z按台劳级数在X0处展开： 0 0 Z f ( X 10 , X 2 , X n )
f f f 0 0 0 ( )0 ( X 1 X 1 ) ( )0 ( X 2 X 2 ) ( )0 ( X n X n ) X 1 X 2 X n (二次以上项）
又协方差传播率，x的方差为：
第三章 协方差传播率及权
第三章 协方差传播率及权
应用协方差传播律时应注意的问题 （1） 根据实际测量，正确地列出函数式； （2） 全微分所列函数式，并用观测值计算偏导 数值； （3） 计算时注意各项的单位要统一； （4） 将微分关系写成矩阵形式； （5） 直接应用协方差传播律，得出所求问题的 方差—协方差矩阵。
误差理论与测量平差基础第三章协方差传播律及权
参数估计可采用最小二乘法或加权最小二乘法。在选择方 法时，需根据实际问题的特点和需求进行权衡。
算法性能评估指标选取
精度指标
精度指标是衡量算法性能的重要指标之一。常用的精度指标包括均方误差、均方根误差、 中误差等，可用于评估算法的估计精度和稳定性。
可靠性指标
可靠性指标用于评估算法在复杂环境和噪声干扰下的性能表现。常用的可靠性指标包括失 败率、误警率、漏警率等。
误差传递规律探讨
误差传递概念
在测量过程中，由于各种因素的影响，观测值会存在一定 的误差。这些误差在传播过程中会遵循一定的规律，即误 差传递规律。
线性函数误差传递
对于线性函数Z=aX+bY（其中a、b为常数），其误差传 递公式为D(Z)=a^2D(X)+b^2D(Y)+2abcov(X,Y)。可以 看出，误差传递与观测值的方差和协方差有关。
的线性相关程度。
对称性
Cov(X,Y) = Cov(Y,X)
加法性
Cov(aX+b, cY+d) = acCov(X,Y)
独立性
若X与Y独立，则Cov(X,Y) = 0
传播律意义与作用
传播律意义
协方差传播律描述了随机变量经过线 性变换后，其协方差矩阵如何变化。 这对于理解和分析复杂系统的误差传 递机制具有重要意义。
权重因子的选择应根据实际情况和测量任务的要求进行，要综合考虑观测值的 精度、稳定性、可靠性等因素。
使用方法
在平差计算中，应根据所选权重因子对观测值进行加权处理，以充分利用观测 值的信息并提高平差结果的精度和可靠性。同时，要注意避免过度加权或欠加 权的情况，以免对结果产生不良影响。
04
基于协方差传播律和权的平差算法设
误差平差：协方差传播定律及权
非线性函数的线性化
如果函数 f ( x) 在 x 0的某一邻域内具有直到n+1阶的导数，则 在该邻域内 f ( x) 的泰勒公式为
f ′′(x0 ) f (x) = f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 ) + (x − x0 )2 +L 2! f (n) (x0 ) + (x − x0 )n +L +L n!
故：
D = [ F 0] DXX [ 0 K] YZ = FD KT 12
T
协方差传播律小节 求函数（也可是向量）的方差（方差阵）； 求函数（也可是向量）的方差（方差阵）； 适用于各观测为相关观测情况； 适用于各观测为相关观测情况； 定律的通式为： 定律的通式为：
若 则
F = KX + K 0 DFF = KDXX K
L
1
ˆ
L2
ˆ
L3
1 8 00 3（ L1 + L2 + L3 − = L− ） 1 1 8 00 3 ） = L2 − （ L1 + L2 + L3 − 1 1 8 00 3 − （ L + L2 + L3 − 1 3 = L ）
1
试求各函数的方差
ˆ σ L，σ Lˆ ，σ
1 2
ˆ
L 3
DLˆ Lˆ
误差理论与测量平差基础
—协方差传播定律及权
第三章 协方差传播律及权
本章内容包括： 本章内容包括：
§3-1 §3-2 §3-3 §3-4 §3-5 §3-6 数学期望的传播 协方差传播律 协方差传播律的应用 权与定权的常用方法 协因数和协因数传播律 由真误差计算中误差及其实际应用
834误差理论与测量平差基础大纲(2012年版)
《误差理论与测量平差基础》考研复习大纲（2012年）第一章、绪论（4分）了解系统误差、偶然误差、粗差及其处理方法；掌握测量平差学科的研究对象；理解测量平差任务；了解本课程的任务和内容。
第二章、误差分布与精度指标（6分）理解偶然误差的特性；掌握衡量精度的绝对指标和相对指标，精度、准确度与精确度；理解测量不确定度。
第三章、协方差传播律及权（20分）理解数学期望的传播；掌握方差协方差阵、权、权阵、协因数、协因数阵的概念及其表示方法；掌握协方差传播律及其应用；熟练掌握权与定权的常用方法，协因数、协因数传播律及其应用，理解由观测值函数的真误差估计中误差的方法；了解系统误差的传播。
第四章、平差数学模型与最小二乘原理（10分）掌握各种平差问题必要观测数，多余观测数的确定方法；掌握测量平差的函数模型，函数模型的线性化，掌握参数估计与最小二乘平差准则。
第五章、条件平差（20分）熟练掌握条件数的确定，条件平差原理；掌握各种平差问题条件方程的建立；掌握法方程的组成与解算，精度评定。
第六章、附有参数的条件平差（15分）了解附有参数的条件平差函数模型和随机模型的建立；掌握法方程的组成与解算，精度评定。
第七章、间接平差（20分）掌握间接平差原理，误差方程的建立；掌握法方程的组成与解算，精度评定；掌握间接平差应用（直接平差，三角网坐标平差，导线网间接平差，GPS 网平差）。
第八章、附有限制条件的间接平差（15分）掌握附有限制条件的间接平差原理；掌握误差方程、条件方程列立；掌握法方程的组成与解算，精度评定。
第九章、概括平差函数模型（10分）熟悉基本平差方法的概括函数模型；附有限制条件的条件平差原理，精度评定；熟悉各种平差方法的共性与特征；理解平差结果的统计性质。
第十章、误差椭圆（10分）了解点位中误差概念以及计算方法；掌握任意方向的位差计算；点位误差的极大值和极小值的计算；理解误差曲线的基本概念；掌握误差椭圆要素计算；理解点位落入误差椭圆内的概率；第十一章、平差系统的统计假设检验（10分）熟悉统计假设检验的基本方法；了解误差分布的假设检验；掌握平差模型正确性的统计检验；理解平差参数的统计检验和区间估计；了解粗差检验的数据探测法。
测量平差4
-7-
第三章 协方差传播律 2 同精度独立观测值算术平均值的精度 3
若干独立误差的联合影响
例6 水准路线长度 S AB 4km ，每公里观测高差精度相同，已知
往返观测高差中误差为72mm，求每公里观测高差中误差。如 果以同样精度观测 S CD 10km 长的高差，求高差中误差。
-8-
第三章 协方差传播律 八、权及定权的常用方法
则：
dZ kdX
由误差传播定律得： D KD K T ZZ XX
由以上推导知，求非线性函数的方差—协方差矩阵比求线性函数的 方差—协方差矩阵只多一个求全微分的步骤。
-4-
第三章 协方差传播律
6 0 0 0 2 0 D 例2 设有观测向量 3L ，已知其协方差阵为， ,1 3, 3 0 0 3
综合方差 系统误差的传播
z k1 L1 k n L k 0
z k1 1 k n n
E ( z ) E ( k1 1 ) E ( k n n )
E ( z ) k1 E ( 1 ) k n E ( n ) k1 1 k n n
4.0("2 ) ，边长观测值为
500m，其方差为 0.5(cm 2 ) ，求C点的点位精度。
-5-
第三章 协方差传播律
六、应用协方差传播律时应注意的问题 （1）根据测量实际，正确地列出函数式； （2）全微分所列函数式，并用观测值计算 偏导数值； （3）计算时注意各项的单位要统一； （4）将微分关系写成矩阵形式； （5）直接应用协方差传播律，得出所求问题的方差-协方 差矩阵。
例4：求算术平均值的权. 例5：求加权平均值的权. 例6：对某一角度进行同精度独立观测，已知一次观测
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
同理：
T DZY KD XX F T DYZ t r
教材：例 3－4，3－5，P30上角例题
习题：3.2.14
第三章 协方差传播率及权
5、观测向量非线性函数的方差—协方差矩阵
设观测向量 X 的非线性函数为：
n1
Z f X1 , X 2 , , X n
已知X的协方差矩阵DXX，求函数Z的方差DZZ
f f f dZ X dX 1 X dX 2 X dX n KdX 1 0 2 0 n 0
因此只要对非线性函数求全微分，获得系数矩阵即 可应用协方差传播率
第三章 协方差传播率及权
Z k1 X1 k2 X 2 kn X n k0
第三章 协方差传播率及权
如果令：
dXi X i X i0
i 1,2,, n
T
dX dX1 dX2 dXn
0 0 dZ Z Z 0 Z f X10 , X 2 ,, X n
也可写为：
则其方差——协方差矩阵定义为：
第三章 协方差传播率及权
DLL E L E ( L) L E ( L)
nn
T
式中： T E(L) E(l1 ) E(l2 ) E(ln ) 为观测向量的期望； l2 D(li ) E(li E(li ))2 为第i组观测值的方差；
则由误差传播定律得：
DZZ KD XX K T
由以上推导知，求非线性函数的方差——协方差矩阵 比求线性函数的方差——协方差矩阵只多一个求全微 分的步骤。 教材：例 3－6、3－7 ， P33上角例题
习题：3.2.07(2)，3.2.11(2)，3.2.13
第三章 协方差传播率及权
§3-3 协方差传播率的应用
第三章 协方差传播率及权
第三章 协方差传播律及权
§3-1 观测向量及其方差—协方差矩阵
§3-2 协方பைடு நூலகம்传播率
§3-3 协方差传播律的应用 §3-4 权与定权的常用方法 §3-5 协因数和协因数传律 §3-6 由真误差计算中误差及其实际应用
§3-7 系统误差的传播
第三章 协方差传播率及权
§3-1 观测向量及其方差—协方差矩阵
Z的方差为
DZZ E[(Z E ( Z ))(Z E ( Z ))T ] E[(KX k0 KE ( X ) k0 )(KX k0 KE ( X ) k0 )T ] KE[( X E ( X ))(X E ( EX ))T ]K T KDXX K T
测值的协方差，协方差用来描述第i个观测值与第j个观 测值之间的相关程度。
第三章 协方差传播率及权
§3-2 协方差传播率
1、协方差传播律的作用 （图3－1示例）
计算观测向量函数的方差—协方差矩阵，从而评定观 测向量函数的精度。
2、预备公式
E(C) C , E(CX ) CE( X ) , E( X Y ) E( X ) E(Y )
水准测量的精度 同精度独立观测值平均值的精度 若干独立误差的联合影响 交会定点的精度 GIS线元要素的方差 时间观测序列平滑平均值的方差
1) 2) 3) 4) 5) 6)
习题：3.3.24，3.3.25，3.3.26
第三章 协方差传播率及权
应用协方差传播律时应注意的问题 （1） 根据实际测量，正确地列出函数式； （2） 全微分所列函数式，并用观测值计算偏导 数值； （3） 计算时注意各项的单位要统一； （4） 将微分关系写成矩阵形式； （5） 直接应用协方差传播律，得出所求问题的 方差—协方差矩阵。
第三章 协方差传播率及权
3、观测向量线性函数的方差
设观测向量X及其期望和方差为：
X ( X1 X 2 X n )T , E( X ) ( E( X 1 ) E( X 2 ) E( X n ))T
12 12 T E ( X E ( X ))(X E ( X )) 1n
E( X 1 X 2 X n ) E( X 1 ) E( X 2 ) E( X n )
当随机变量 X 1 , X 2 ,, X n 两两独立时，有
E( X 1 X 2 X n ) E( X 1 ) E( X 2 )E( X n )
X、Y相互独立时：
E( X , Y ) E( X ) E(Y )
定权的常用方法
1、水准测量的权 2、同精度观测值之算术平均值的权
教材：例 3－8，3－9 习题：3.4.35， 3.4.40， 3.4.41， 3.4.43， 3.4.44
第三章 协方差传播率及权
§3-5 协因数与协因数传播律
协因数与协因数阵
权与方差成反比，但习惯上总是找一个与方 差成正比的量，并称这个量为协因数。
则令
Z1 k11 Z2 k 21 Z , K t 1 t n Z k t t1 k12 k1n k10 k 22 k 2 n k 20 , K0 t 1 k k t 2 k tn t0
D XX
观测向量线性函数为
T D XX 2 2n n
12 1n 2 2 2n
Z KX k0
式中： K k1 k2 kn , k 0 为常数。
第三章 协方差传播率及权
Z的期望为
E(Z ) E( KX k0 ) KE ( X ) k0
i
i j
l2l1 lnl1
2 l1
l l l2 l l
12
2
n 2
l1ln l 2l n 2 ln
T
l2l E (li E (li ))(l j E (l j )) 为第i组观测值关于第j组观
第三章 协方差传播率及权
则有：
而
r t
T DYY FDXX F T DYY r r
DYZ E[(Y E (Y ))(Z E ( Z ))T ] E[(FX F0 FE( X ) F0 )(KX k 0 KE ( X ) k 0 ) T ] FE[( X E ( X ))(X E ( EX ))T ]K T FDXX K T
Z 2 f 2 X 1 , X 2 , , X n
第三章 协方差传播率及权
对上式求全微分，得
f1 f1 f1 dZ1 dX dX X 1 X 2 X 1 2 n f 2 f 2 f 2 dZ2 dX1 dX 2 X X 1 X 2 n f t f t f t dZt dX dX X 1 X 2 X 1 2 n dX n dX n dX n
6、多个观测向量非线性函数的方差—协方差矩阵
基本思想：a、利用泰勒级数展开，略去二次以上项， 得到函数的线性表达式；b、应用协方差传播律。 设观测向量的t个非线性函数为：
Z1 f1 X 1 , X 2 , , X n Z t f t X 1 , X 2 , , X n Z 2 f 2 X 1 , X 2 , , X n
第三章 协方差传播率及权
对上式求全微分，得
f1 f1 f1 dZ1 dX1 dX 2 X X 1 X 2 n f 2 f 2 f 2 dZ2 X dX1 X dX 2 X 1 2 n f t f t f t dZt dX1 dX 2 X X 1 X 2 n dX n dX n dX n
第三章 协方差传播率及权
于是，观测向量的多个线性函数可写为 Z KX K 0 故有 DZZ KD XX K T
T 式中：DZZ DZZ为对称方阵。 若还有观测向量的另外r个线性函数 Y1 f11 X 1 f12 X 2 f1n X n f10 Y2 f 21 X 1 f 22 X 2 f 2 n X n f 20 Yr f r1 X 1 f r 2 X 2 f rn X n f r 0 其矩阵形式为： Y FX F0
即
DZZ KDXX K T
万能公式
教材：例 3－1，3－2，3－3 P25下角例题
习题：3.2.07(1)，3.2.11(1)
第三章 协方差传播率及权
4、多个观测向量线性函数的方差—协方差矩阵
若观测向量的多个线性函数为 Z1 k11 X 1 k12 X 2 k1n X n k10 Z 2 k 21 X 1 k 22 X 2 k 2 n X n k 20 Z t kt1 X 1 kt 2 X 2 ktn X n kt 0
第三章 协方差传播率及权
§3-4 权与定权的常用方法
权的概念
表达观测值方差之间比例关系的数字特征 观测值所占的比重，精度越高，比重越大，即与方差大小成反比。
02 pi 2 i
权的定义
权的意义，不在于其数值的大小，重要的是它们之间的比例关系。
单位权中误差的概念
权为1的观测值所对应的中误差，称为单位权中误差。
0 1
0 2
0 n
f f 0 0 X X X X 2 n 二次以上项 X 2 X n 2 0 n 0