多元线性回归分析研

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例15.1：P210 SPSS的分析结果
Coefficientas
Unstandardized Standardized
Coefficients
Coefficients
Model
B
Std. Error
1
(Cons tant) 8.429
.607
Beta
t 13.893
x1
.126
.096
.112 1.305
注意：m-1个自变量对y的回归平方和由m-1个
自变量对y重新建立回归方程后计算得到，而
不能简单的在整个方程的基础上把biliy去掉后
得到。
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各偏回归平方和SS（Xi）及残差的计算
回归方程中包含的 自变量
SS回
SS（Xi）
X1 X2 X3 X4 X5 SS总
－
X2 X3 X4 X5
SS-1
方程的求解过程复杂，可借助于SPSS、SAS 等统计软件来完成
SPSS：Analyze→Regression→Linear regression→dependent：y
independent：x1-x5
SAS程序：PROC REG DATA=mr15-1;
MODEL y=x1-x5;
RUN;
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x2
.044
.008
.476 5.693
x3
.057
.009
.434 6.491
x4
.032
.006
.431 5.048
x5
-.017
.013
-.105 -1.318
a.Dependent Variable: y
Sig. .000 .201 .000 .000 .000 .196
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二、多元回归方程的假设检验
b.Dependent Variable: y
Sig. .000a
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2.偏回归系数的假设检验 方差分析法、t检验法
方差分析法：
F SS (X i) /1 SS残 /2
1 1 2 n-m-1
SS(Xi)为第i个自变量的偏回归平方和
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偏回归平方和:SS(Xi),表示模型中含有其它m-1 个自变量的条件下该自变量对Y的回归贡献， 相当于从回归方程中剔除该自变量后回归平方 和的减少量，或者在m-1个自变量的基础上增 加一个自变量后回归平方和的增加量。
SS总－ SS-1
X1 X3 X4 X5
SS-2
SS总－ SS-2
X1 X2 X4 X5
SS-3
SS总－ SS3
X1 X2 X3 X5
SS-4
SS总－ SS4
X1 X2 X3 X4
SS-5
SS总－ SS5
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2.偏回归系数的假设检验 t检验法：
ti
bi s bi
n-m-1
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F
SS回 S S 残 （/ n
/m m
1）
M S回 M S残
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ANOVbA
Sum of
Model
Squares
1
Regress4io8n.750
df Mean Square F
5
9.750 42.028
Residual 7.888
34
.232
Total 56.637
39
a.Predictors: (Constant), x5, x3, x1, x2, x4
表1 27名糖尿病人的血糖及有关变量的测量结果
总胆固醇 甘油三酯 胰岛素 糖化血红蛋白 血糖
序号
(mmol/L) (mmol/L) (U/ml)
(%)
(mmol/L)
i
X1
X2
X3
X4
Y
1
5.68
1.90
4.53
8.2
11.2
2
3.79
1.64
7.32
6.9
8.8
3
6.02
3.56
6.95
10.8
12.3
27
3.84
1.20
6.45
9.6
10.4
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2
➢ 人的体重与身高、胸围有关
➢ 人的心率与年龄、体重、肺活量有关
➢ 人的血压值与年龄、性别、劳动强度、饮 食习惯、吸烟状况、家族史等有关
➢ 射频治疗仪定向治疗脑肿瘤过程中，脑皮
质的毁损半径与辐射的温度、照射的时间
有关
➢…
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3
回归方程是否成立？ 各偏回归系数是否等于0？
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1.多元线性回归方程的假设检验： 方差分析法：SS总 = SS回 + SS残
H 0 : 1 2 m 0 H 1 : i (i 1, 2, , m )不 全 为 0
S S 回 b1l1Y b 2l2Y b m lm Y
SS残 SS总 SS回
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SPSS的结果
Coefficientas
Unstandardized Standardized
Coefficients
利用最小二乘法原理估计模型的参数： （使残差平方和最小）
l1b 1 1 l1b 2 l1 m b m l1 Y l2b 1 1l2b 22 l2m bml2Y lm 1 b 1 lm 2 b 2 lm b m m lmY
b 0 Y （ b 1 X 1 b 可2 编X 辑pp2 t b m X m ） 9
多元线性回归：简称为多元回归，分析一 个应变量与多个自变量间的线性关系。
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4Baidu Nhomakorabea
表2 多元回归分析数据格式
例号 X1
X2
Xm
Y
1
X11
X12
X1m
Y1
2
X21
X22
X2m
Y2
n
Xn1
Xn2
Xnm
Yn
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一、多元线性回归模型
一般形式为： Y=β0＋β1X1 ＋β2X2 ＋…＋βmXm ＋ε
1.根据样本数据求得模型参数的估计值，得到 应变量与自变量数量关系的表达式：
y ˆ b 0 b 1 x 1 b 2 x 2 .. .b .m x .m .
此公式称为多元线性回归方程
2.对回归方程及各自变量作假设检验，并对方 程的拟和效果及各自变量的作用大小作出评价
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多元线性回归方程的建立：
β0 ：常数项,又称为截距
β1,β2,…,βm: 偏 回 归 系 数 (Partial regression coefficient)简称回归系数，在
其它自变量保持不变时Xi(i=1,2,…,m)每改变 一个单位时，应变量Y的平均变化量
ε:去除m个自变量对Y的影响后的随机误差，
又称残差
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多元线性回归模型的应用条件：
1.线性趋势：Y与Xi间具有线性关系 2.独立性：应变量Y的取值相互独立
3.正态性：对任意一组自变量取值，因变量Y 服从正态分布
4.方差齐性：对任意一组自变量取值，因变 量y的方差相同
后两个条件等价于：残差ε服从均数为0、 方差为σ2的正态分布
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多元线性回归的分析步骤：