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2014广西高考数学(理)

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2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)(附详细答案)

2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)(附详细答案)

2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[1，2）B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1] 3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）?g（x）是偶函数B．|f（x）|?g（x）是奇函数C．f（x）?|g（x）|是奇函数D．|f（x）?g（x）|是奇函数4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．m D．3m5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα＝，则（）A．3α﹣β＝B．3α+β＝C．2α﹣β＝D．2α+β＝9．（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：?（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：?（x，y）∈D，x+2y≥2p3：?（x，y）∈D，x+2y≤3p4：?（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p310．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3C．D．211．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6C．4D．4二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为．（用数字填写答案）14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λＳn﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n+2﹣a n=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．21．（12分）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．选修4-5：不等式选讲24．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．【解答】解：==﹣（1+i）=﹣1﹣i，故选：D．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[1，2）B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≥3或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵B=[﹣2，2），∴A∩B=[﹣2，﹣1]．故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）?g（x）是偶函数B．|f（x）|?g（x）是奇函数C．f（x）?|g（x）|是奇函数D．|f（x）?g（x）|是奇函数【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），f（﹣x）?g（﹣x）=﹣f（x）?g（x），故函数是奇函数，故A错误，|f（﹣x）|?g（﹣x）=|f（x）|?g（x）为偶函数，故B错误，f（﹣x）?|g（﹣x）|=﹣f（x）?|g（x）|是奇函数，故C正确．|f（﹣x）?g（﹣x）|=|f（x）?g（x）|为偶函数，故D错误，故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．m D．3m【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．【解答】解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，∴点F到C的一条渐近线的距离为=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题．5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【解答】解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为=．故选：D．【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3P：抽象函数及其应用．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择．【解答】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|=|cosx|?|sinx|=|sin2x|，其周期为T=，最大值为，最小值为0，故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【专题】5I：概率与统计．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2；第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；第三次循环M=+=，a=，b=，n=4．不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=．故选：D．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα＝，则（）A．3α﹣β＝B．3α+β＝C．2α﹣β＝D．2α+β＝【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】56：三角函数的求值．【分析】化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求．【解答】解：由tanα＝，得：，+cosα，即sinαcosβ=cosαsinβsin（α﹣β）=cosα=sin（），∵α∈（0，），β∈（0，），∴当时，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立．故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题．9．（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：?（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：?（x，y）∈D，x+2y≥2p3：?（x，y）∈D，x+2y≤3p4：?（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3【考点】2K：命题的真假判断与应用；7A：二元一次不等式的几何意义．【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．【分析】作出不等式组的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．【解答】解：作出图形如下：由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，p1：区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故：?（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；p2：在直线x+2y=2的右上方和区域D重叠的区域内，?（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：?（x，y）∈D，x+2y≥2正确；p3：由图知，区域D有部分在直线x+2y=3的上方，因此p3：?（x，y）∈D，x+2y ≤3错误；p4：x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：?（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；综上所述，p1、p2正确；故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题．10．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3C．D．2【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴不妨设直线PF的斜率为﹣=﹣2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），与y2=8x联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．11．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当x=时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（）=﹣3?+1＞0；故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D．【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题．12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6C．4D．4【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可．【解答】解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4，∴．AC==6，AD=4，显然AC最长．长为6．故选：B．【点评】本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为﹣20 ．（用数字填写答案）【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；5P：二项式定理．【分析】由题意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，项的系数，求和即可．【解答】解：（x+y）8的展开式中，含xy7的系数是：8．含x2y6的系数是28，∴（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为：8﹣28=﹣20．故答案为：﹣20【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为 A ．【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】5M：推理和证明．【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．故答案为：A．【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为90°．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论．【解答】解：在圆中若=（+），即2=+，即+的和向量是过A，O的直径，则以AB，AC为邻边的四边形是矩形，则⊥，即与的夹角为90°，故答案为：90°【点评】本题主要考查平面向量的夹角的计算，利用圆直径的性质是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；48：分析法；58：解三角形．【分析】由正弦定理化简已知可得2a﹣b2=c2﹣bc，结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc≤4，再利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC?（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c?2a﹣2b+ab﹣b2=c2﹣bc，又因为：a=2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2=bc?b2+c2﹣bc=a2?b2+c2﹣bc=4?bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λＳn﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n+2﹣a n=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．【考点】83：等差数列的性质；8H：数列递推式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）利用a n a n+1=λＳn﹣1，a n+1a n+2=λＳn+1﹣1，相减即可得出；（Ⅱ）假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．可得λ=a n+2﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，．得到λＳn=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵a n a n+1=λＳn﹣1，a n+1a n+2=λＳn+1﹣1，∴a n+1（a n+2﹣a n）=λａn+1∵a n+1≠0，∴a n+2﹣a n=λ．（Ⅱ）解：假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．则λ=a n+2﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，∴．∴，，∴λＳn=1+=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ=4．此时可得，a n=2n﹣1．因此存在λ=4，使得{a n}为等差数列．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题．18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据；（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），运用EX=np即可求得．【解答】解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，依题意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．【考点】M7：空间向量的夹角与距离求解公式；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5H：空间向量及应用．【分析】（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，可证B1C⊥平面ABO，可得B1C ⊥AO，B10=CO，进而可得AC=AB1；（2）以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．【解答】解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO?平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得又，所以，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（5分）（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，从而又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，设，则t＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…（12分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】15：综合题；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）=，只需证明g（x）min＞h（x）max，利用导数可分别求得g （x）min，h（x）max；【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+，由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x lnx+，∵f（x）＞1，∴e x lnx+＞1，∴lnx＞﹣，∴f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣．设函数h（x）=xe﹣x﹣，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．【点评】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．【考点】NB：弦切角；NC：与圆有关的比例线段．【专题】15：综合题；5M：推理和证明．【分析】（Ⅰ）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE为等边三角形．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=∠CBE，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形．【点评】本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合；QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．选修4-5：不等式选讲24．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．【考点】RI：平均值不等式．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得ab≥2，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．（Ⅱ）根据ab≥2及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号．∵a3+b3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4．（Ⅱ）∵2a+3b≥2=2，当且仅当2a=3b时，取等号．而由（1）可知，2≥2=4＞6，故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．。

2014年(大纲全国卷)数学(理科) 高考真题及答案解析

2014年(大纲全国卷)数学(理科) 高考真题及答案解析

函数是( ).
A.y=g(x) B.y=g(-x) C.y=-g(x) D.y=-g(-x)
【答案】D
【解析】因为函数 y=f(x)的图像与函数 y=g(x)的图像关于直线 x+y=0 对称,
而函数图像与其反函数的图像关于直线 y=x 对称,
所以这两个函数的反函数图像也关于直线 x+y=0 对称.
设函数 y=f(x)的反函数图像上任一点 P(x,y),
62
是
.
【答案】(-∞,2]
4
【解析】f(x)=cos 2x+asin x=1-2sin2x+asin x.
令 t=sin x,∵x∈
π,π
62
,∴t∈
1 2
,1
,
∴g(t)=1-2t2+at=-2t2+at+1
1 2
<
t
<
1
,
由题意知2×(-2)
≤
1 ,∴a≤2,
2
∴a 的取值范围为(-∞,2].
11.(2014 大纲全国,理 11)已知二面角α-l-β为 60°,AB⊂α,AB⊥l,A 为垂足,CD⊂β,C∈l,∠ACD=135°,则
异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为( ).
A.1
B. 2
C. 3
D.1
4
4
4
2
【答案】B
【解析】如图,在平面α内过 C 作 CE∥AB,
则∠ECD 为异面直线 AB 与 CD 所成的角或其补角,
【答案】C
【解析】∵a=sin 33°,b=cos 55°=sin 35°,c=tan 35°=csoins3355°°, ∴csoins3355°°>sin 35°>sin 33°. ∴c>b>a,选 C.

2014年广西高考数学试卷

2014年广西高考数学试卷

2014年普通高等学校统一考试（大纲）理科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分. 学科网在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设103i z i=+，则z 的共轭复数为（ ） A ．13i -+ B ．13i -- C ．13i + D ．13i -2.设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则MN =（ ） A ．(0,4] B ．[0,4) C ．[1,0)- D ．(1,0]-3.设0sin 33a =，0cos55b =，0tan 35c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>4.若向量,a b 满足：||1a =，()a b a +⊥，(2)a b b +⊥，则||b =（ ）A ．2BC ．1D ．25.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女学科网医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种6.已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F 2F 的直线l 交C于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为（ ）A ．22132x y +=B ．2213x y +=C ．221128x y +=D ．221124x y += 7.曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）A ．2eB ．eC ．2D ．18．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，学科网底面边长为2，则该球的表面积为（ ）A ．814π B ．16π C ．9π D ．274π 9.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若12||2||F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ）A ．14B ．13 C．4 D．310.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（ ）A ．6B ．5C ．4D ．311.已知二面角l αβ--为060，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，0135ACD ∠=，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ）A ．14 BCD ．12学科网 12.函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是（ ）A ．()y g x =B ．()y g x =-C ．()y g x =-D ．()y g x =--第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.8的展开式中22x y 的系数为 . 14.设x 、y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为 .15．直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为（1,3），则1l 与2l 的夹角的正切值等于 .16.若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文学科网字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3cos 2cos a C c A =，1tan 3A =，求B. 18. （本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .19. （本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影学科网D 在AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===.（1）证明：11AC A B ⊥；（2）设直线1AA 与平面11BCC B 的距离为1A AB C --的大小.20. （本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率学科网分别为0.60.50.50.4、、、，各人是否需使用设备相互独立.（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（2）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望.21. （本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =. （1）求C 的方程； （2）过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的学科网垂直平分线'l 与C 相较于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程.22. （本小题满分12分） 函数()ln(1)(1)ax f x x a x a=+->+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设111,ln(1)n n a a a +==+，证明：23+22n a n n <≤+.。

理 2014高考数学(理科)真题-大纲卷

理 2014高考数学(理科)真题-大纲卷

2014高考数学（理科）真题-大纲卷1.（5分）（2014•广西）设z=，则z的共轭复数为（）A.﹣1+3iB.﹣1﹣3iC.1+3iD.1﹣3i【答案】D【解析】∵z==，∴．2.（5分）（2014•广西）设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|0≤x≤5}，则M∩N=（）A.（0，4]B.[0，4）C.[﹣1，0）D.（﹣1，0]【答案】B【解析】集合．由x2﹣3x﹣4＜0，得﹣1＜x＜4．∴M={x|x2﹣3x﹣4＜0}={x|﹣1＜x＜4}，又N={x|0≤x≤5}，∴M∩N={x|﹣1＜x＜4}∩{x|0≤x≤5}=[0，4）．3.（5分）（2014•广西）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（）A.a＞b＞cB.b＞c＞aC.c＞b＞aD.c＞a＞b【答案】C【解析】三角函数的求值．由诱导公式可得b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35°，由正弦函数的单调性可知b＞a，而c=tan35°=＞sin35°=b，∴c＞b＞a4.（5分）（2014•广西）若向量、满足：||=1，（+）⊥，（2+）⊥，则||=（）A.2B.C.1D.【答案】B【解析】平面向量及应用．由题意可得，（+）•=+=1+=0，∴=﹣1；（2+）•=2+=﹣2+=0，∴b2=2，则||=，5.（5分）（2014•广西）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A.60种B.70种C.75种D.150种【答案】C【解析】排列组合．根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，再从5名女医生中选出1人，有C51=5种选法，则不同的选法共有15×5=75种；6.（5分）（2014•广西）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l 交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1【答案】A【解析】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．∵△AF1B的周长为4，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．7.（5分）（2014•广西）曲线y=xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A.2eB.eC.2D.1【答案】C【解析】导数的概念及应用．求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．函数的导数为f′（x）=e x﹣1+xe x﹣1=（1+x）e x﹣1，当x=1时，f′（1）=2，即曲线y=xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率k=f′（1）=2，8.（5分）（2014•广西）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A. B.16π C.9π D.【答案】A【解析】计算题；空间位置关系与距离．设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴R2=（4﹣R）2+（）2，∴R=，∴球的表面积为4π•（）2=．9．（5分）（2014•广西）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】圆锥曲线的定义、性质与方程．根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论．∵双曲线C的离心率为2，∴e=，即c=2a，点A在双曲线上，则|F1A|﹣|F2A|=2a，又|F1A|=2|F2A|，∴解得|F1A|=4a，|F2A|=2a，||F1F2|=2c，则由余弦定理得cos∠AF2F1===，10．（5分）（2014•广西）等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A.6B.5C.4D.3【答案】C【解析】等差数列与等比数列．由等比数列的性质可得a1•a8=a2•a7=…a4•a5=10，由对数的运算性质，整体代入计算可得．∵等比数列{a n}中a4=2，a5=5，∴a4•a5=2×5=10，∴数列{lga n}的前8项和S=lga1+lga2+…+lga8=lg（a1•a2…a8）=lg（a4•a5）4=4lg（a4•a5）=4lg10=411．（5分）（2014•广西）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A. B. C. D.首先作出二面角的平面角，然后再构造出异面直线AB与CD所成角，利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案．如图，过A点做AE⊥l，使BE⊥β，垂足为E，过点A做AF∥CD，过点E做EF⊥AE，连接BF，∵AB⊥l，∴∠BAE=60°，又∠ACD=135°，∴∠EAF=45°，在Rt△BEA中，设AE=a，则AB=2a，BE=a，在Rt△AEF中，则EF=a，AF=a，在Rt△BEF中，则BF=2a，∴异面直线AB与CD所成的角即是∠BAF，∴cos∠BAF===．12．（5分）（2014•广西）函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，则y=f（x）的反函数是（）A.y=g（x）B.y=g（﹣x）C.y=﹣g（x）D.y=﹣g（﹣x）【答案】D【解析】函数的性质及应用．设P（x，y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点，则P关于y=x的对称点P′（y，x）一点在y=f（x）的图象上，P′（y，x）关于直线x+y=0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y=g（x）图象上，代入解析式变形可得．设P（x，y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点，则P关于y=x的对称点P′（y，x）一点在y=f（x）的图象上，又∵函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，∴P′（y，x）关于直线x+y=0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y=g（x）图象上，∴必有﹣y=g（﹣x），即y=﹣g（﹣x）∴y=f（x）的反函数为：y=﹣g（﹣x）13．（5分）（2014•广西）的展开式中x2y2的系数为70．（用数字作答）【答案】70【解析】二项式定理．先求出二项式展开式的通项公式，再令x、y的幂指数都等于2，求得r的值，即可求得展开式中x2y2的系数．的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r••=•（﹣1）r••，令8﹣=﹣4=2，求得r=4，故展开式中x2y2的系数为=70，14．（5分）（2014•广西）设x、y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为_______．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．由约束条件作出可行域如图，联立，解得C（1，1）．化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式，得．由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大．此时z max=1+4×1=5．15．（5分）（2014•广西）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．【答案】．【解析】直线与圆．设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的变角关系求得sinθ=的值，可得cosθ、tanθ的值，再根据tan2θ=，计算求得结果．设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，且点A与圆心O之间的距离为OA==，圆的半径为r=，∴sinθ==，∴cosθ=，tanθ==，∴tan2θ===，16．（5分）（2014•广西）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是_______．【答案】（﹣∞，2]．【解析】函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令t=sinx换元，根据给出的x的范围求出t的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围．由f（x）=cos2x+asinx=﹣2sin2x+asinx+1，令t=sinx，则原函数化为y=﹣2t2+at+1．∵x∈（，）时f（x）为减函数，则y=﹣2t2+at+1在t∈（，1）上为减函数，∵y=﹣2t2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t=．∴，解得：a≤2．∴a的取值范围是（﹣∞，2]．17．（10分）（2014•广西）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B【答案】∵3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，∴3tanA=2tanC，∵tanA=，∴2tanC=3×=1，解得tanC=．∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+B）=﹣=﹣=﹣1，∵B∈（0，π），∴B=【解析】解三角形．由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[π﹣（A+B）]=﹣tan（A+B）即可得出．18．（12分）（2014•广西）等差数列{a n}的前n项和为S n．已知a1=10，a2为整数，且S n≤S4．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】（Ⅰ）由a1=10，a2为整数，且S n≤S4得a4≥0，a5≤0，即10+3d≥0，10+4d≤0，解得﹣≤d≤﹣，∴d=﹣3，∴{a n}的通项公式为a n=13﹣3n．（Ⅱ）∵b n==（﹣），∴T n=b1+b2+…+b n=（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）=．【解析】等差数列与等比数列．（Ⅰ）由题意得a4≥0，a5≤0，即10+3d≥0，10+4d≤0，解得d=﹣3，即可写出通项公式；（Ⅱ）利用裂项相消法求数列和即可．19．（12分）（2014•广西）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．【答案】（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC∴BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C，由三垂线定理可得AC1⊥A1B；（Ⅱ）∵BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1，∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1，作A1E⊥CC1，E为垂足，可得A1E⊥平面BCC1B1，又直线AA1∥平面BCC1B1，∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E=，∵A1C为∠ACC1的平分线，∴A1D=A1E=，作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F，由三垂线定理可得A1F⊥AB，∴∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，由AD==1可知D为AC中点，∴DF==，∴tan∠A1FD==，∴二面角A1﹣AB﹣C的大小为arctan【解析】空间位置关系与距离．（Ⅰ）由已知数据结合三垂线定理可得；（Ⅱ）作辅助线可证∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，解三角形由反三角函数可得．20．（12分）（2014•广西）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．【答案】（Ⅰ）D=，P（B）=0.6，P（C）=0.4，P（A i）=所以P（D）=P（）=P（A 1•B•C）+P（A2•B）+P（）=0.31（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4=（1﹣0.6）×0.52×（1﹣0.4）=0.06）=0.6×0.52×（1﹣0.4）+（1﹣0.6）×0.52×0.4+（1﹣0.6）×2×0.52×（1﹣0.4）=0.25P（X=4）=P（A2•B•C）=0.52×0.6×0.4=0.06，P（X=3）=P（D）﹣P（X=4）=0.25，P（X=2）=1﹣P（X=0）﹣P（X=1）﹣P（X=3）﹣P（X=4）=1﹣0.06﹣0.25﹣0.25﹣0.06=0.38．故数学期望EX=0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2【解析】概率与统计．记A i表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备，i=0，1，2，B表示事件：甲需要设备，C表示事件，丁需要设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备（Ⅰ）P（D）=P（），代入计算即可，（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出PX i，再利用数学期望公式计算即可．记A i表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备，i=0，1，2，B表示事件：甲需要设备，C表示事件，丁需要设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备21．（12分）（2014•广西）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．【答案】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px（p＞0），可得x0=，∵点P（0，4），∴|PQ|=．又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，∴+=×，求得p=2，或p=﹣2（舍去）．故C的方程为y2=4x．（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，设l的方程为x=my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，∴y1+y2=4m，y1•y2=﹣4．∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|=|y1﹣y2|=4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为x=﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，把线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4=，y3•y4=﹣4（2m2+3）．故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），∴|MN|=|y3﹣y4|=，∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，∴+DE2=MN2，∴4（m2+1）2++=，化简可得m2﹣1=0，∴m=±1∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0，或x﹣+y﹣1=0．【解析】圆锥曲线中的最值与范围问题．（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0=，根据|QF|=|PQ|求得p的值，可得C的方程．（Ⅱ）设l的方程为x=my+1（m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，求得m的值，可得直线l的方程．22．（12分）（2014•广西）函数f（x）=ln（x+1）﹣（a＞1）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a1=1，a n+1=ln（a n+1），证明：＜a n≤．【答案】（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），f′（x）=，①当1＜a＜2时，若x∈（﹣1，a2﹣2a），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，a2﹣2a）上是增函数，若x∈（a2﹣2a，0），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，0）上是减函数，②当a=2时，f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，③当a＞2时，若x∈（﹣1，0），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，0）上是增函数，若x∈（0，a2﹣2a），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（0，a2﹣2a）上是减函数，若x∈（a2﹣2a，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，+∞）上是增函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a=2时，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）＞f（0）=0，即f（x+1）＞，（x＞0），又由（Ⅰ）知，当a=3时，f（x）在（0，3）上是减函数，当x∈（0，3）时，f（x）＜f（0）=0，f（x+1）＞，下面用数学归纳法进行证明＜a n≤成立，①当n=1时，由已知，故结论成立．②假设当n=k时结论成立，即，则当n=k+1时，a n+1=ln（a n+1）＞ln（），a n+1=ln（a n+1）＜ln（），即当n=k+1时，成立，综上由①②可知，对任何n∈N•结论都成立．【解析】导数的综合应用．（Ⅰ）求函数的导数，通过讨论a的取值服务，即可得到f（x）的单调性；（Ⅱ）利用数学归纳法即可证明不等式．。

2014年高考理科数学全国卷2(含答案解析)

2014年高考理科数学全国卷2(含答案解析)

绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷2）理科数学使用地区：海南、宁夏、黑龙江、吉林、新疆、云南、内蒙古、青海、贵州、甘肃、西藏注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|(1)4,}M x x x =-<∈R ,{1,0,1,2,3}N =-,则MN = ( )A .{0,1,2}B .{1,0,1,2}-C .{1,0,2,3}-D .{0,1,2,3} 2.设复数z 满足(1i)2i z -=,则z =( )A .1i -+B .1i --C .1i +D .1i -3.等比数列{}n a 的前n 项和为n S .已知32110S a a =+,59a =,则1a =( )A .13B .13-C .19D .19-4.已知m ,n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足l m ⊥,l ⊥n ,l α⊄,l β⊄,则( )A .αβ∥且l α∥B .αβ∥且l β⊥C .α与β相交,且交线垂直于lD .α与β相交,且交线平行于l5.已知5(1)(1)ax x ++的展开式中的2x 的系数为5,则a = ( )A .4-B .3-C .2-D .1-6.执行如图的程序框图,如果输入的10N =,则输出的S = ( ) A .11112310++++B .11112!310++++！！C .11112311++++ D .11112311++++！！！7.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为( )8.设3log 6a =,5log 10b =,7log 14c =,则( )A .c b a >>B .b a c >>C .a c b >>D .a b c >>9.已知0a >,x ,y 满足约束条件1,3,(3).x x y y a x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥若2z x y =+的最小值为1,则a = ( )A .14B .12C .1D .210.已知函数32()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是( )A .0x ∃∈R ,0()0f x =B .函数()y f x =的图象是中心对称图形C .若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减D .若0x 是()f x 的极值点,则0()0f x '=11.设抛物线C :22(0)y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,||5MF =.若以MF 为直径的圆过点(0,2),则C 的方程为( )A .24y x =或28y x =B .22y x =或28y x =C .24y x =或216y x = D .22y x =或216y x =12.已知点(1,0)A -,(1,0)B ,(0,1)C ,直线(0)y ax b a =+>将ABC △分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是( )A .(0,1)B .21(1,)22-C .21(1,]23-D .11[,)32第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD =________. 14.从n 个正整数1,2,,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为114,则n =________.15.设θ为第二象限角,若π1tan()42θ+=,则sin cos θθ+=________. 16.等差数列{}n a 的前n 项和为n S .已知100S =,1525S =,则n nS 的最小值为________.三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）ABC △在内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知cos sin a b C c B =+.（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2b =,求ABC △面积的最大值. 18.（本小题满分12分） --------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________如图,直棱柱111ABC A B C -中,D ,E 分别是AB ,1BB 的中点,122AA AC CB AB ===. （Ⅰ）证明：1BC ∥平面1A CD ； （Ⅱ）求二面角1D AC E --的正弦值.19.（本小题满分12分）经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t 该产品获利润500元,未售出的产品,每1t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品.以X (单位：t ,100150X ≤≤)表示下一个销售季度内的市场需求量,T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. （Ⅰ）将T 表示为X 的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率；（Ⅲ）在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量[100,110)X ∈,则取105X =,且105X =的概率等于需求量落入[100,110)的频率),利润T 的数学期望.20.（本小题满分12分）平面直角坐标系xOy 中,过椭圆M :22221(0)x y a b a b+=>>右焦点的直线30x y +-=交M 于A ,B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12.（Ⅰ）求M 的方程；（Ⅱ）C ,D 为M 上的两点,若四边形ABCD 的对角线CD AD ⊥,求四边形ABCD 面积的最大值.21.（本小题满分12分）已知函数()e ln()xf x x m =-+.（Ⅰ）设0x =是()f x 的极值点,求m ,并讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）当2m ≤时,证明:()0f x >.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做，则按做的第一题积分.作答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲如图,CD 为ABC △外接圆的切线,AB 的延长线交直线CD 于点D ,E ,F 分别为弦AB 与弦AC 上的点,且BC AE DC AF =,B ,E ,F ,C 四点共圆.（Ⅰ）证明：CA 是ABC △外接圆的直径；（Ⅱ）若DB BE EA ==,求过B ,E ,F ,C 四点的圆的面积与ABC △外接圆面积的比值.23.（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程已知动点P ,Q 都在曲线C ：2cos ,2sin x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）上,对应参数分别为=t α与=2t α(02π)α<<,M 为PQ 的中点.（Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程；（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点.24.（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲设a ,b ,c 均为正数,且1a b c ++=.证明： （Ⅰ）13ab bc ca ++≤；（Ⅱ）2221a b c b c a++≥.2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷2）理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】解不等式2(14)x -<，得13x <<-，即|13{}M x x =<<-，而1,0,1,,3{}2N =-，所以0,}2{1,M N =，故选A ．【提示】求出集合M 中不等式的解集，确定出M ，找出M 与N 的公共元素，即可确定出两集合的交集．【考点】集合的基本运算（交集），解一元二次不等式． 2.【答案】A【解析】2i 2i 1i 22i 1i 1i 1i 21+i z (+)-+====-(-)(+)-． 【提示】根据所给的等式两边同时除以1i -，得到z 的表示式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到结果． 【考点】复数代数形式的四则运算． 3.【答案】C【解析】设数列{}n a 的公比为q ，若1q =，则由59a =，得19a =，此时327S =，而219+109a a =，不满足题意，因此1q ≠.∵1q ≠时，33111(1)1+10a S a a q q q --==，∴3+0111q qq =--，整理得29q =.（步骤1） ∵4519a a q ==，即1819a =，∴119a =．（步骤2） 【提示】设等比数列{}n a 的公比为q ，利用已知和等比数列的通项公式即可求出． 【考点】等比数列的通项和前n 项和． 4.【答案】D【解析】因为m α⊥，l m ⊥，l α⊄，所以l α∥．同理可得l β∥．又因为m ，n 为异面直线，所以α与β相交，且l 平行于它们的交线．故选D ．【提示】由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．【考点】直线与平面的位置关系． 5.【答案】D【解析】因为5(1+)x 的二项展开式的通项为5C 0)5(r rr r x ≤≤∈Z ，，则含x 2的项为221552C +C )0+5(1x ax x a x =，所以10+55a =，1a =-.【提示由题意利用二项展开式的通项公式求得展开式中2x 的系数为221552C +C )0+5(1x ax x a x =，由此解得a 的值．【考点】二项式定理 6.【答案】B【解析】由程序框图知，当1k =，0S =，1T =时，1T =，1S =；当2k =时，12T =，11+2S =； 当k =3时，123T =⨯，111+223S =+⨯；当k =4时，1234T =⨯⨯，1111+223234S =++⨯⨯⨯；；（步骤1）当k =10时，123410T =⨯⨯⨯⨯，1111+2!3!10!S =+++，k 增加1变为11，满足k N >，输出S ，所以B 正确．（步骤2）【提示】从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能． 【考点】循环结构的程序框图． 7.【答案】A【解析】如图所示，该四面体在空间直角坐标系O －xyz 的图象为下图：第7题图则它在平面zOx 上的投影即正视，故选A ．【提示】由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx 平面为投影面，则得到正视图即可． 【考点】空间直角坐标系，三视图． 8.【答案】D【解析】根据公式变形，lg6lg 21lg3lg3a ==+，lg10lg 21lg5lg5b ==+，lg14lg 21lg 7lg 7c ==+，因为lg 7lg 5g 3l >>，所以lg2lg2lg2lg7lg5lg3<<，即c b A <<．故选D ． 【提示】利用log ()log log (0)a a a xy x y x y =+>、，化简a ，b ，c 然后比较3log 2，5log 2，7log 2大小即可．【考点】对数函数的化简和大小的比较． 9.【答案】B【解析】由题意作出1,3x x y ≥⎧⎨+≤⎩所表示的区域如图阴影部分所示，作直线2+1x y =，因为直线2+1x y =与直线1x =的交点坐标为(1,)1-，结合题意知直线(3)y a x =-过点(1,)1-，代入得12a =，所以12a =．第9题图【提示】先根据约束条件画出可行域，设2z x y =+，再利用z 的几何意义求最值，只需求出直线2zx y=+过可行域内的点B 时，从而得到a 值即可． 【考点】二元线性规划求目标函数的最值．10.【答案】C【解析】由于2()32f x x ax b '=++是二次函数，()f x 有极小值点0x ，必定有一个极大值点1x ，若10x x <，则()f x 在区间0(,)x -∞上不单调递减，C 不正确．【提示】利用导数的运算法则得出()00f x '∆>∆≤，分与讨论，即可得出． 【考点】利用导数求函数的极值． 11.【答案】C【解析】设点M 的坐标为00(,)x y ，由抛物线的定义，得052|+MF x p ==|，则052x p =-．（步骤1）又点F 的坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以以MF 为直径的圆的方程为00+0()()2p x y x x y y ⎛⎫⎪-- ⎝⎭-=.（步骤2）将0x =，2y =代入得00+840px y -=，即02+2480y y -=，所以04y =. 由0202y px =，得16252p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解之得2p =，或8p =.（步骤3）所以C 的方程为24y x =或216y x =．故选C ．【提示】已知抛物线焦点到抛物线上点的线段的距离和以这条线段为直径的圆上的一点，求出抛物线的方程．【考点】抛物线的定义和抛物线的标准方程． 12.【答案】B【解析】根据题意画出图形，如图（1），由图可知，直线BC 的方程为1x y +=．由1,,x y y ax b +=⎧⎨=+⎩解得1,11b a b M a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭． 可求()0,N b ，,0b D a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．直线y ax b =+将△ABC 分割为面积相等的两部分，∴12S S =△△BDM ABC ．又12BOC ABC S S =△△，CMN ODN S S ∴=△△，即111(1)221b b b b a a -⎛⎫⨯-⨯=-⨯ ⎪+⎝⎭．整理得22(1)1b b a a -=+． 22(1)1b ab a-+∴=，11b ∴-=，11b =即b =，可以看出，当a 增大时，b 也增大．当a →+∞时，12b →，即12b <．当0a →时，直线+y ax b =接近于y b =．当y b =时，如图（2），2222(1)112CDM ABC S CN b S CO -===△△．1b ∴-1b =1b ∴>-． 由上分析可知1122b -<<，故选B ．第12题图（1） 第12题图（2）【提示】已知含有参数的直线将三角形分割为面积相等的两部分和点的坐标，求出参数的取值范围．【考点】函数单调性的综合应用．第Ⅱ卷二、填空题 13.【答案】2【解析】以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A 的坐标为(0,0)，点B 的坐标为(2,0)，点D 的坐标为(0,2)，点E 的坐标为(1,2)，则1(),2AE =，)2(2,BD =-，所以2AE BD =．第13题图【提示】结合几何的关系，求出向量的数量积． 【考点】平面向量的数量积运算． 14.【答案】8【解析】从1，2，…，n 中任取两个不同的数共有2C n 种取法，两数之和为5的有(1,4)，(2,3)2种，所以221C 14n =，即24111142n n n n ==(-)(-)，解得8n =.【提示】列出从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数的所有取法种数，求出和等于5的种数，根据取出的两数之和等于5的概率为114列式计算n 的值． 【考点】古典概型，排列组合的应用．15.【答案】 【解析】由π1tan 1tan 41tan 2θθθ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，得tan 13θ=-，即1s 3in cos θθ-=．（步骤1）将其代入22sin +cos 1θθ=，得210cos 19θ=．因为θ为第二象限角，所以10cos θ-=0in 1s θ=，sin +cos 5θθ=-．（步骤2）【提示】已知等式利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出tan θ的值，再根据θ为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出sin cos θθ与的值，即可求出sin cos θθ+的值．【考点】两角和与差的正切，同角三角函数的基本关系． 16.【答案】49-【解析】设数列{}n a 的首项为a 1，公差为d ，则110110910+210+450S a d d a =⨯==，① 1151151415215+10525a d a d S =⨯==+.②（步骤1） 联立①②，得13a =-，23d =，所以2(1)211032333n n n n n n S -=-+⨯=-．（步骤2）令()n f n nS =，则32110()33f n n n =-，220()3f n n n '=-．令()0f n '=，得0n =或203n =．（步骤3）当203n >时，()0f n '>，200<<3n 时，()0f n '<，所以当203n =时，()f n 取最小值，而n ∈N ＋，则(6)48f =-，(7)49f =-，所以当7n =时，()f n 取最小值－49.（步骤4）【提示】已知等差数列前10项和与前15项和，求出n 与前n 项和乘积的最小值． 【考点】等差数列的前n 项，利用导数求函数的最值． 三、解答题 17.【答案】（1）π4（2【解析】（1）由已知及正弦定理得sin sin cos +sin sin A B C C B =．①又()+A B C π=-，故sin sin +sin cos +co )s i (s n A B C B C B C ==．②由①，②和π()0,C ∈得sin cos B B =，即tan 1B =，又π()0,B ∈，所以π4B =．（步骤1） （2）△ABC的面积1sin 2S ac B ==． 由已知及余弦定理得22π2cos 44+ac a c =-．（步骤2）又22+2a c ac ≥，故ac ≤，当且仅当a c =时，等号成立．因此△ABC．（步骤3）【提示】（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，求出tan B 的值，由B 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B 的度数；（2）利用三角形的面积公式表示出三角形ABC 的面积，把sin B 的值代入，得到三角形面积最大即为ac 最大，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出ac 的最大值，即可得到面积的最大值．【考点】正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，两角和与差的正弦． 18.【答案】（1）连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点． 又D 是AB 中点，连结DF ，则1BC DF ∥．因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD ．（步骤1） （2）由AC CB AB ==，得AC BC ⊥ 以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz ．设2CA =，则()1,1,0D ，()0,2,1E ，12,()0,2A ，(1),1,0CD =，(0),2,1CE =，12,0,2()CA =． 设111,(),n x y z =是平面A 1CD 的法向量，则10,0,n CD n CA ⎧=⎪⎨=⎪⎩即1111+0,2+20.x y x z =⎧⎨=⎩ 可取1),(,11n =--．（步骤2）同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，则10,0,m CE m CA ⎧=⎪⎨=⎪⎩可取2,1(),2m =-．（步骤3）从而3cos ,3||||n m m n n m <>==，故6sin ,3m n <>= 即二面角D －A 1C －E ．（步骤4）第18题图（1）【提示】（1）通过证明1BC 平行平面1ACD 内的直线DF ，利用直线与平面平行的判定定理证明11BC ACD 平面∥ （2）．由AC CB AB ==，得AC BC ⊥以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz ．设2CA =，111,(),n x y z =是平面A 1CD 的法向量，同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，由3cos ,3||||n m m n n m <>==，故6sin ,3m n <>=【考点】直线与平面的判定，空间直角坐标系，空间向量及其运算．19.【答案】（1）80039000,100130,65000,130150.X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩ （2）0.7（3）59400【解析】（1）当100[),130X ∈时，50030013()080039000T X X X =--=-，当130[],150X ∈时，50013065000T =⨯=. 所以80039000,10013065000,130150X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩（步骤1）（2）由（1）知利润T 不少于57000元当且仅当120150X ≤≤.由直方图知需求量120[],150X ∈的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7（步骤2）（3所以450000.1+530000.2+610000.3+650000.459400ET =⨯⨯⨯⨯=.（步骤3）【提示】（1）由题意先分段写出，当100[),130X ∈时，当130[],150X ∈时，和利润值，最后利用分段函数的形式进行综合即可．（2）由（1）知，利润T 不少于57000元，当且仅当120150X ≤≤再由直方图知需求量120[],150X ∈的频率为0.7，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T 不少于57000元的概率的估计值．（3）利用利润T 的数学期望=各组的区间中点值x 该区间的频率之和即得．【考点】频率分布直方图，分段函数的模型，离散型随机变量的数学期望．20.【答案】（1）22163x y +=（2 【解析】（1）设11(),A x y ，22(),B x y ，00(),P x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，21211y y x x -=--，由此可得22121221211b x x y y a y y x x (+)-=-=(+)-． 因为120+2x x x =，120+2y y y =，0012y x =，所以222a b =（步骤1）又由题意知，M的右焦点为，故223a b -=. 因此26a =，23b =.所以M 的方程为22163x y +=．（步骤2） （2）由220,1,63x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩因此||AB =．（步骤3） 由题意可设直线CD的方程为3y x n n ⎛=+-<< ⎝，设33(),C x y ，44(),D x y ．由22,163y x n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得223+4+260x nx n -=.于是3,4x （步骤4） 因为直线CD 的斜率为1，所以43|||x x CD - 由已知，四边形ACBD 的面积186||||29S CD AB ==．当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为．所以四边形ACBD ．（步骤5）【提示】（1）把右焦点(,0)c 代入直线可解得C ．设11(),A x y ，22(),B x y ，线段AB 的中点00(),P x y ，利用“点差法”即可得到a ，b 的关系式，再与222a bc =+联立即可得到a ，b ，c ．（2）把直线0x y +=与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长||AB ，由CD AB ⊥，可设直线CD 的方程为y x n =+，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长||CD ．利用1||||2ACBD S AB CD =四边形即可得到关于n 的表达式，利用二次函数的单调性即可得到其最大值．【考点】椭圆的方程、椭圆的简单几何性质、点差法的应用和直线与椭圆的位置关系． 21.【答案】（1）1()e x f x x m=-+． 由0x =是()f x 的极值点得(0)0f '=，所以1m =.于是ln +)1(()xf e x x =-，定义域为()1,+-∞，1()e 1xf x x =-+．（步骤1）函数1()e 1x f x x =-+在()1,+-∞单调递增，且(0)0f '=.因此当,0()1x ∈-时，()0f x '<； 当+()0,x ∈∞时，()0f x '>.所以()f x 在()1,0-单调递减，在(0,+)∞单调递增．（步骤2）（2）当2m ≤，,()+x m ∈-∞时，l ()()n +ln +2x m x ≤，故只需证明当2m =时，()0f x >. 当2m =时，函数1()e 2x f x x =-+在()2,+-∞单调递增． 又1()0f '-<，(0)0f '>，故()0f x '=在()2,+-∞有唯一实根x 0，且0)0(1,x ∈-．（步骤3） 当2+(),x ∈-∞时，()0f x '<；当0(),+x x ∈∞时，()0f x '>，从而当0x x =时，()f x 取得最小值．由0()0f x '=得001e 2x x =+，00ln +2()x x =-，故200000()()+11022f x f x x x x x ≥)=+++=(>. 综上，当2m ≤时，()0f x >.（步骤4）【提示】（1）求出原函数的导函数，因为0x =是函数()f x 的极值点，由极值点处的导数等于0求出m 的值，代入函数解析式后再由导函数大于0和小于0求出原函数的单调区间； （2）证明当2m ≤时，()0f x >，转化为证明当2m =时()0f x >求出当2m =时函数的导函数，可知导函数在(2,)-+∞上为增函数，并进一步得到导函数在(1,0)-上有唯一零点0x ，则当0x x =时函数取得最小值，借助于0x 是导函数的零点证出0()0f x >，从而结论得证． 【考点】利用导数求函数的单调区间和极值，利用导数解决不等式问题． 22.【答案】（1）因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以DCB A ∠=∠，由题设知BC DCFA EA=，故CDB AEF △∽△，所以DBC EFA ∠=∠．（步骤1）因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以CFE DBC ∠=∠，故90EFA CFE ∠=∠=︒．所以90CBA ∠=︒，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．（步骤2）（2）连结CE ，因为90CBE ∠=︒，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由DB BE =，有CE DC =，又222BC DB BA DB ==，所以222 2.4+6CA DB BC DB ==而2223DC DB D CE DA B ===，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12． （步骤3）第22题图【提示】（1）已知CD 为ABC △外接圆的切线，利用弦切角定理可得DCB A ∠=∠，及BC DCFA EA=，可知CDB AEF △∽△，于是DBC EFA ∠=∠．利用B 、E 、F 、C 四点共圆，可得CFE DBC ∠=∠，进而得到90EFA CFE ∠=∠=︒即可证明CA 是ABC △外接圆的直径；（2）要求过B 、E 、F 、C 四点的圆的面积与ABC △外接圆面积的比值．只需求出其外接圆的直径的平方之比即可．由过B 、E 、F 、C 四点的圆的直径为CE ，及DB BE =，可得CE DC =，利用切割线定理可得222BC DB BA DB ==，222 2.4+6CA DB BC DB ==，都用DB 表示即可．【考点】弦切角，圆内接四边形的性质．23.【答案】（1）cos cos 2,sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩0()2παα<<为参数， （2）d (02π)α<< M 的轨迹过坐标原点【解析】（1）依题意有2cos (n )2si P αα，，2cos2,2si 2()n Q αα，因此cos +cos2,sin +i ()s n2M αααα．M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩0()2παα<<为参数，．（步骤1）（2）M 点到坐标原点的距离d =(02π)α<<．当πα=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．（步骤2）【提示】（1）根据题意写出P ，Q 两点的坐标：2cos (n )2si P αα，，2cos2,2si 2()n Q αα，再利用中点坐标公式得PQ 的中点M 的坐标，从而得出M 的轨迹的参数方程；（2）利用两点间的距离公式得到M 到坐标原点的距离d 证当πα=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点． 【考点】参数方程，轨迹方程．24.【答案】（1）由22+2b a ab ≥，22+2b c bc ≥，22+2c a ca ≥，得222++++a b c ab bc ca ≥．（步骤1）由题设得21)++(a b c =，即222+++2+2+21a b c ab bc ca =.所以3+(+)1ab bc ca ≤，即1++3ab bc ca ≤．（步骤2） （2）因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a+≥，故222(++(2))a b c a b c a b c b c a +++++≥，（步骤3）即222++a b c a c a c b b ++≥． 所以2221a b c b c a++≥（步骤4）【提示】（1）依题意，由21)++(a b c =，即222+++2+2+21a b c ab bc ca =，利用基本不等式可得3+(+)1ab bc ca ≤，从而得证；（2）利用基本不等式可证得：22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥，三式累加即可证得结论．【考点】不等式证明，均值不等式．。

2014年高考真题——理科数学(全国大纲卷)解析版 Word版含解析

2014年高考真题——理科数学(全国大纲卷)解析版 Word版含解析

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设103i z i=+，则z 的共轭复数为 （ ）A ．13i -+B ．13i --C ．13i +D ．13i -2.设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N =I （ ）A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[1,0)-D ．(1,0]-3.设sin 33,cos55,tan 35,a b c =︒=︒=︒则 （ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>4.若向量,a b r r 满足：()()1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥r r r r r r r 则b =r （ ）A ．2B ．2C ．1D ．225.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种6.已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F 3，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为43C 的方程为 （ ）A ．22132x y +=B ．2213x y +=C ．221128x y +=D ．221124x y +=7.曲线1x y xe-=在点（1, 1）处切线的斜率等于（ ） A ．2e B ．e C ．2 D ．18．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ）A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π 【答案】A ．【解析】考点：1.球的内接正四棱锥问题；2. 球的表面积的计算．9.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ）A ．14B ．13C ．24D ．23 10.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 （ ）图2A ．6B ．5C ．4D ．311.已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为 （ ）A ．14B 2C 3D ．12【答案】B.【解析】12.函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是（ ）A ．()y g x =B ．()y g x =-C ．()y g x =-D ．()y g x =--第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 8y x 的展开式中22x y 的系数为 . 【答案】70.14.设,x y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为.15．直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则1l 与2l 的夹角的正切值等于 .2l的夹角的正切值：12124 tan13k kk kθ-==+．考点：1.直线与圆的位置关系（相切）；2.两直线的夹角公式．16.若函数()cos2sinf x x a x=+在区间(,)62ππ是减函数，则a的取值范围是.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）ABC∆的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3cos2cosa C c A=，1tan3A=，求B.18. （本小题满分12分）等差数列{}na的前n项和为nS，已知110a=，2a为整数，且4nS S≤.（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 19. （本小题满分12分） 如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===. （I ）证明：11AC A B ⊥； （II ）设直线1AA 与平面11BCC B 31A AB C --的大小.20. （本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.（I）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（II）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.21.（本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =. （I ）求C 的方程；（II ）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程.【答案】（I ）24y x =；（II ）直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=．22. （本小题满分12分）函数()()()ln 11ax f x x a x a=+->+. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）设111,ln(1)n n a a a +==+，证明：23+22n a n n <≤+. 【答案】（I ）（i ）当12a <<时，()f x 在()21,2a a --上是增函数，在()22,0a a -上是减函数，在()0,+∞上是增函数；（ii ）当2a =时,()f x 在()1,-+?上是增函数；（iii ）当2a >时，()f x 在是()1,0-上是增函数，在()20,2a a -上是减函数，在()22,a a -+∞上是增函数；（II）详见试题分析．1n k=+时有2333kak k<?++，结论成立．根据（i）、（ii）知对任何n N*Î结论都成立．考点：1．利用导数研究函数的单调性；2．利用数学归纳法证明数列不等式．。

2014高考数学(理科)真题-新课标Ⅱ

2014高考数学(理科)真题-新课标Ⅱ

2014高考数学(理科)真题-新课标Ⅱ（1）设集合M={0，1，2}，集合N={x|x 2-3x+2≤0},则M ∩N=A.{1}B.{2}C.{0，1}D.{1，2}【答案】D【解析】把M=｛0,1,2}中的数,代入不等式,023-2≤+x x 经检验x=1,2满足。

所以选D.（2）设复数z 1,z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1=2+i ，则z 1z 2=A.-5B.5C.-4+iD.-4-i【答案】A【解析】1122122,-2,-1-4-5,.z i z z z i z z A =+∴=+==与关于虚轴对称，故选(3)设向量a ,b 满足|a +ba -b,则a ·b =A.1B.2C.3D.5 【答案】A【解析】 2222||10,|-|6,210-26,1,.a b a b ab ab a b ab ab A +==∴++=+==，，联立方程解得故选(4)锐角三角形ABC 的面积是12则AC= 【答案】B【解析】ΔABC 222111sin 1sin 222sin 2π3ππ,.444ΔABC 3π4-2cos ,.S ac B B B B B B b a c ac B b B ==∙=∴=∴==∴==+=或当时，经计算为等腰直角三角形，不符合题意，舍去。

，使用余弦定理，解得(5)某地区空气资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45【答案】A【解析】,0.60.75,0.8,.p p p A =∙=设某天空气质量优良，则随后一个空气质量也优良的概率为则据题有解得故选(6)如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉的体积与原来毛坯体积的比值为A.1727 B.59 C.1027D.13 【答案】C 【解析】12369π654π.243 2.449π234π.54π-34π10.54π27.v v C π∴=∙=∴=∙+∙=∴==加工前的零件半径为，高，体积加工后的零件，左半部为小圆柱，半径，高，右半部为大圆柱，半径为，高为体积削掉部分的体积与原体积之比故选(7)执行右面的程序框图，如果输入的x,t 均为2，则输出的S=A.4B.5C.6D.7 【答案】D【解析】2,2, 1 3 12 5 22 7 3.x t M S KD ==变量变化情况如下：故选(8)设曲线y=ax-ln(x+1)在点（0，0）处的切线方程为y=2x,则a=A.0B.1C.2D.3 【答案】D【解析】()-ln(1),1()-.1(0)0,(0) 2.3..f x ax x f x a x f f a D =+'∴=+'∴===且联立解得故选(9)设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩,则z=2x-y 的最大值为A.10B.8C.3D.2【答案】B【解析】2--310-70(5,2),8..z x y x y x y z B =+=+==画出区域，可知区域为三角形，经比较斜率，可知目标函数在两条直线与的交点处取得最大值故选(10)设F 为抛物线C ：y 2=3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为C.6332D.94【答案】D【解析】ΔOAB 2,23322,224433(2226.139()..244A B AF m BF n m n m n m n S m n D ===∙=∙=+=∴+=∴=∙∙+=设点、分别在第一和第四象限，，则由抛物线的定义和直角三角形知识可得，，解得故选（11）直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，BAC=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1,则BM 与AN 所成角的余弦值为A.110B.45【答案】C【解析】111111,,2,(0,2,2),(2,0,2),(1,1,0),(0,1,0).(-1,1-2(0,-1-2cos θ.||||6C B C A C C X YZ AC BC C C A B M N BM AN BM AN C BM AN ===∴==∙===∙如图，分别以，，为轴，建立坐标系。

2014年全国统一高考数学试卷(理科)及答案

2014年全国统一高考数学试卷(理科)及答案

2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•河南）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣1，2）C．[﹣1，1]D．[1，2）2．（5分）（2014•河南）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）（2014•河南）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．f（x）g（x）是偶函数B．|f（x）|g（x）是奇函数C．f（x）|g（x）|是奇函数D．|f（x）g（x）|是奇函数4．（5分）（2014•河南）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．m D．3m5．（5分）（2014•河南）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）（2014•河南）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）（2014•河南）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．8．（5分）（2014•河南）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=9．（5分）（2014•河南）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3 p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p310．（5分）（2014•河南）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3C．D．211．（5分）（2014•河南）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）12．（5分）（2014•河南）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6C．4D．4二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（2014•河南）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为_________．（用数字填写答案）14．（5分）（2014•河南）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为_________．15．（5分）（2014•河南）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为_________．16．（5分）（2014•河南）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为_________．三、解答题17．（12分）（2014•河南）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n+2﹣a n=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．18．（12分）（2014•河南）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z﹣N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．19．（12分）（2014•河南）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．20．（12分）（2014•河南）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．21．（12分）（2014•河南）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．四、选做题（22-24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修4-1：集合证明选讲22．（10分）（2014•河南）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2014•河南）已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．选修4-5：不等式选讲24．（2014•河南）若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•河南）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣1，2）C．[﹣1，1]D．[1，2）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算即可得到结论．解答：解：A={x|x2﹣2x﹣3≥0}={x|x≥3或x≤﹣1}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B={x|﹣2≤x≤﹣1}，故选：A点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）（2014•河南）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．解答：解：==﹣（1+i）=﹣1﹣i，故选：D．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）（2014•河南）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．f（x）g（x）是偶函数B．|f（x）|g（x）是奇函数C．f（x）|g（x）|是奇函数D．|f（x）g（x）|是奇函数考点：函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得，|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，从而得出结论．解答：解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f（x）|g（x）|为奇函数，故选：C．点评：本题主要考查函数的奇偶性，注意利用函数的奇偶性规律，属于基础题．4．（5分）（2014•河南）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．m D．3m考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．解答：解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，∴点F到C 的一条渐近线的距离为=．故选：A．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题．5．（5分）（2014•河南）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．考点：等可能事件的概率．专题：计算题；概率与统计．分析：求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．解答：解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为=．故选：D．点评：本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．6．（5分）（2014•河南）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x 的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P 做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x 的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．考点：抽象函数及其应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择．解答：解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|=|cosx|•|sinx|=|sin2x|，其周期为T=，最大值为，最小值为0，故选C．点评：本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．7．（5分）（2014•河南）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．考点：程序框图．专题：概率与统计．分析：根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值．解答：解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2；第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；第三次循环M=+=，a=，b=，n=4．不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=．故选：D．点评：本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．8．（5分）（2014•河南）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求．解答：解：由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）=cosα．由等式右边为单角α，左边为角α与β的差，可知β与2α有关．排除选项A，B后验证C，当时，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立．故选：C．点评：本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题．9．（5分）（2014•河南）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3 p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3考点：命题的真假判断与应用．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．解答：解：作出图形如下：由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，显然，区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故A：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；在直线x+2y=2的右上方区域，：∃（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2正确；由图知，p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3错误；x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；综上所述，p1、p2正确；故选：C．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题．10．（5分）（2014•河南）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3C．D．2考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．解答：解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴直线PF的斜率为﹣2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），与y2=8x联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故选：B．点评：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．11．（5分）（2014•河南）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）考点：函数在某点取得极值的条件；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：分类讨论：当a≥0时，容易判断出不符合题意；当a＜0时，由于而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，可知：存在x0＞0，使得f（x0）=0，要使满足条件f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则必须极小值＞0，解出即可．解答：解：当a=0时，f（x）=﹣3x2+1=0，解得x=，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣6x=3ax=0，解得x=0或x=＞0，列表如下：x （﹣∞，0）0f′（x）+0 ﹣0 +f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增∵x→+∞，f（x）→+∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0，不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，应舍去．当a＜0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax=0，解得x=0或x=＜0，列表如下：0 （0，+∞）x（﹣∞，）f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，∴存在x0＞0，使得f（x0）=0，∵f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，∴极小值=，化为a2＞4，∵a＜0，∴a＜﹣2．综上可知：a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：C．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．12．（5分）（2014•河南）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6C．4D．4考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可．解答：解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4，∴．AC==6，AD=4，显然AC最长．长为6．故选：B．点评：本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（2014•河南）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为﹣20．（用数字填写答案）考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：由题意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，项的系数，求和即可．解答：解：（x+y）8的展开式中，含xy7的系数是：=8．含x2y6的系数是=28，∴（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为：8﹣28=﹣20．故答案为：﹣20点评：本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．14．（5分）（2014•河南）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为A．考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．解答：解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．故答案为：A．点评：本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．15．（5分）（2014•河南）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为90°．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论．解答：解：在圆中若=（+），即2=+，即+的和向量是过A，O的直径，则以AB，AC为临边的四边形是矩形，则⊥，即与的夹角为90°，故答案为：90°点评：本题主要考查平面向量的夹角的计算，利用圆直径的性质是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）（2014•河南）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理可得b2+c2﹣bc=4．再利用基本不等式可得bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，从而求得它的面积的值．解答：解：△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，∴利用正弦定理可得4﹣b2=（c﹣b）c，即b2+c2﹣bc=4．再利用基本不等式可得4≥2bc﹣bc=bc，∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，它的面积为==，故答案为：．点评：本题主要考查正弦定理的应用，基本不等式，属于中档题．三、解答题17．（12分）（2014•河南）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n+2﹣a n=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．考点：数列递推式；等差关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，相减即可得出；（Ⅱ）对λ分类讨论：λ=0直接验证即可；λ≠0，假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．可得λ=a n+2﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，．得到λS n=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ即可．解答：（Ⅰ）证明：∵a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，∴a n+1（a n+2﹣a n）=λa n+1∵a n+1≠0，∴a n+2﹣a n=λ．（Ⅱ）解：①当λ=0时，a n a n+1=﹣1，假设{a n}为等差数列，设公差为d．则a n+2﹣a n=0，∴2d=0，解得d=0，∴a n=a n+1=1，∴12=﹣1，矛盾，因此λ=0时{a n}不为等差数列．②当λ≠0时，假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．则λ=a n+2﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，∴．∴，，∴λS n=1+=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ=4．此时可得，a n=2n﹣1．因此存在λ=4，使得{a n}为等差数列．点评：本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题．18．（12分）（2014•河南）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z﹣N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据；（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），运用EX=np即可求得．解答：解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，依题意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．点评：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力．19．（12分）（2014•河南）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；空间向量的夹角与距离求解公式．专题：空间向量及应用．分析：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，可证B1C⊥平面ABO，可得B1C⊥AO，B10=CO，进而可得AC=AB1；（2）以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．解答：解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为点评：本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）（2014•河南）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设F（c，0），利用直线的斜率公式可得，可得c．又，b2=a2﹣c2，即可解得a，b；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2．与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出S△OPQ．通过换元再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：（Ⅰ）设F（c，0），∵直线AF的斜率为，∴，解得c=．又，b2=a2﹣c2，解得a=2，b=1．∴椭圆E的方程为；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2．联立，化为（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0时，即时，，．∴|PQ|===，点O到直线l的距离d=．∴S△OPQ==，设＞0，则4k2=t2+3，∴==1，当且仅当t=2，即，解得时取等号．满足△＞0，∴△OPQ的面积最大时直线l的方程为：．点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、椭圆的方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了换元法和转化方法，属于难题．21．（12分）（2014•河南）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x ﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）=，只需证明g（x）min＞h（x）max，利用导数可分别求得g（x）min，h（x）max；解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+，由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x lnx+，从而f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣．设函数h（x）=，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．点评：本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．四、选做题（22-24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修4-1：集合证明选讲22．（10分）（2014•河南）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；几何证明．分析：（Ⅰ）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE 为等边三角形．解答：证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=∠CBE，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形．点评：本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2014•河南）已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．解答：解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．点评：本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．选修4-5：不等式选讲24．（2014•河南）若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．考点：基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得ab≥4，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．（Ⅱ）根据ab≥4及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6．解答：解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号．∵a3+b3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4．（Ⅱ）由（1）可知，2a+3b≥2=2≥4＞6，故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．点评：本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．参与本试卷答题和审题的老师有：lincy；caoqz；wyz123；刘长柏；sxs123；wfy814；孙佑中；minqi5；清风慕竹；maths；qiss（排名不分先后）菁优网2014年6月23日。

2014年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含答案及解析)

2014年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含答案及解析)

2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2} 2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．54．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．15．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.456．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．78．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．39．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10B．8C．3D．210．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．【解答】解：z1=2+i对应的点的坐标为（2，1），∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），则对应的复数，z2=﹣2+i，则z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，故选：A．【点评】本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．5【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．【解答】解：∵|+|=，|﹣|=，∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，两式相减得4•=10﹣6=4，即•=1，故选：A．【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．1【考点】HR：余弦定理．【专题】56：三角函数的求值．【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值，分两种情况考虑：当B为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可．【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，∴S=acsinB=，即sinB=，当B为钝角时，cosB=﹣=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=，当B为锐角时，cosB==，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC=．故选：B．【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．5．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值．【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，解得p=0.8，故选：A．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．7【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．【解答】解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．8．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．3【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】52：导数的概念及应用．【分析】根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．【解答】解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=3．故选：D．【点评】本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10B．8C．3D．2【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即C（5，2）代入目标函数z=2x﹣y，得z=2×5﹣2=8．故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B 两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．【解答】解：由y2=2px，得2p=3，p=，则F（，0）．∴过A，B的直线方程为y=（x﹣），即x=y+．联立，得4y2﹣12y﹣9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y 1+y 2=3，y 1y 2=﹣．∴S△OAB =S △OAF +S△OFB =×|y 1﹣y 2|==×=．故选：D ．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题．11．（5分）直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ） A ．B ．C ．D ．【考点】LM ：异面直线及其所成的角．【专题】5F ：空间位置关系与距离．【分析】画出图形，找出BM 与AN 所成角的平面角，利用解三角形求出BM 与AN 所成角的余弦值．【解答】解：直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，如图：BC 的中点为O ，连结ON ，，则MN0B 是平行四边形，BM 与AN 所成角就是∠ANO ，∵BC=CA=CC 1，设BC=CA=CC 1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===， 在△ANO 中，由余弦定理可得：cos ∠ANO===．故选：C ．【点评】本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈Z，再由题意可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，可得m2 ＞m2+3，由此求得m的取值范围．【解答】解：由题意可得，f（x0）=±，即=kπ+，k∈z，即x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，即x02+3＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．求得m＞2，或m＜﹣2，故选：C．【点评】本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x7的系数，再根据x7的系数为15，求得a的值．【解答】解：（x+a）10的展开式的通项公式为T r=•x10﹣r•a r，+1令10﹣r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3•=120a3=15，∴a=，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为1．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sinx，从而求得函数的最大值．【解答】解：函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）=sin[（x+φ）+φ]﹣2sinφcos （x+φ）=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ=sin[（x+φ）﹣φ]=sinx，故函数f（x）的最大值为1，故答案为：1．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用，正弦函数的最值，属于中档题．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是（﹣1，3）．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到结论．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2）是解决本题的关键．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1] ．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】5B：直线与圆．【分析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．【考点】87：等比数列的性质；8E：数列的求和．【专题】14：证明题；54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即=常数，又首项不为0，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）将进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．【解答】证明（Ⅰ）==3，∵≠0，∴数列{a n+}是以首项为，公比为3的等比数列；∴a n+==，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当n≥2时，∵3n﹣1＞3n﹣3n﹣1，∴＜=，∴当n=1时，成立，当n≥2时，++…+＜1+…+==＜．时，++…+＜．∴对n∈N+【点评】本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列．属于中档题．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，（2分）EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，∴CD⊥MD．∵二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，∴PD=2，E为PD的中点．AE=1，∴DM=，CD==．三棱锥E﹣ACD的体积为：==．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】BK：线性回归方程．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．（Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，=×（1+2+3+4+5+6+7）=4，=×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，∴== =0.5，=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3．∴y关于t的线性回归方程为=0.5t+2.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得：=0.5×9+2.3=6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．【点评】本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，则，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．【分析】对第（Ⅰ）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；对第（Ⅱ）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在[0+∞）上为增函数即可，从而问题转化为“判断g′（x）＞0是否成立”的问题；对第（Ⅲ）问，根据第（Ⅱ）问的结论，设法利用的近似值，并寻求ln2，于是在b=2及b＞2的情况下分别计算，最后可估计ln2的近似值．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）得f′（x）=e x+e﹣x﹣2，即f′（x）≥0，当且仅当e x=e﹣x即x=0时，f′（x）=0，∴函数f（x）在R上为增函数．（Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，则g′（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣2）]=2[（e x+e﹣x）2﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣4）]=2（e x+e﹣x﹣2）（e x+e﹣x+2﹣2b）．①∵e x+e﹣x＞2，e x+e﹣x+2＞4，∴当2b≤4，即b≤2时，g′（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意．②当b＞2时，若x满足2＜e x+e﹣x＜2b﹣2即，得，此时，g′（x）＜0，又由g（0）=0知，当时，g（x）＜0，不符合题意．综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2．（Ⅲ）∵1.4142＜＜1.4143，根据（Ⅱ）中g（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，为了凑配ln2，并利用的近似值，故将ln即代入g（x）的解析式中，得．当b=2时，由g（x）＞0，得，从而；令，得＞2，当时，由g（x）＜0，得，得．所以ln2的近似值为0.693．【点评】1．本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题．2．从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口．3．本题的难点在于如何寻求ln2，关键是根据第（2）问中g（x）的解析式探究b的值，从而获得不等式，这样自然地将不等式放缩为的范围的端点值，达到了估值的目的．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【考点】N4：相似三角形的判定；NC：与圆有关的比例线段．【专题】17：选作题；5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程，利用cos2t+sin2t=1进而得出参数方程．（2）利用半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，则直线CD的斜率与直线l的斜率相等，即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标．【解答】解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，可得C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1（0≤y≤1）．可得C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tant=，t=．故D的直角坐标为，即（，）．【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2014年高考广西卷数学试题评价与解读 戴洪涛

2014年高考广西卷数学试题评价与解读 戴洪涛
于是an-a1=n2-2n，即an=n2-2n +1+a1.
k 1 k 1
n
n
又a1=1，所以{an}的通项公式为an=n2-2n+2.
18.(文19题）（本小题满分12分） 等差数列{a }的前n项和为 ,已知 ,a 为 Sn a1 10 n 2 整数，且 S S . n 4 （I）求{a }的通项公式； n （II）设 b 1 ，求数列 {b }的前n项和 T .
1 A． 4
B．
2 4
3 C． 4
1 D． 2
【答案】B. 考查异面直线所成的角
12.函数y f ( x)的图象与函数 y g ( x) 的图象关于直线 x y 0 对称，则 y f ( x) 的反函数是（ ）
A． y g ( x ) B．
y g ( x) y g ( x)
A. 31 B. 32 C. 63 D. 64
【答案】C 考查比数列前n项和的性质（顺次等段求和成 等比数列）
11.已知二面角 l 为 60, AB , AB l ,A 为垂足, CD , C l , ACD 135, 则异面直线AB 与CD所成角的余弦值为（ ）
解：（1）由an+2=2an+1-an+2；得
an+2- an+1=an+1-an+2，
即bn+1=bn+2,又b1=a2-a1=1.
所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列；
（2）由（1）得bn=1+2（n-1），
即an+1-an=2n-1.于是 (ak 1 ak ) (2k 1)
C．9

2014年高考广西理科数学试题及答案(word解析版)

2014年高考广西理科数学试题及答案(word解析版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广西卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2014年广西，理1，5分】设10i3iz =+，则z 的共轭复数为（ ）（A ）13i -+ （B ）13i -- （C ）13i + （D ）13i - 【答案】D【解析】∵()()()10i 3i 10i 1030i 13i 3i 3i 3i 10z -+====+++-，∴13i z =-，故选D ． 【点评】本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．（2）【2014年广西，理2，5分】设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N =（ ）（A ）(0,4] （B ）[0,4) （C ）[1,0)- （D ）(1,0]- 【答案】B【解析】由2340x x --<，得14x -<<．∴{}{}234014M x x x x x =--<=-<<，又{}05N x x =≤≤，∴{}{}[)14050,4MN x x x x =-<<≤≤=，故选B ．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题． （3）【2014年广西，理3，5分】设0sin33a =，0cos55b =，0tan35c =，则（ ）（A ）a b c >> （B ）b c a >> （C ）c b a >> （D ）c a b>> 【答案】C【解析】由诱导公式可得()cos55cos 9035sin 35b =︒=︒-︒=︒，由正弦函数的单调性可知b a >，而sin35tan35sin35cos35c b ︒=︒=>︒=︒，∴c b a >>，故选C ．【点评】本题考查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性，属基础题．（4）【2014年广西，理4，5分】若向量,a b 满足：||1a =，()a b a +⊥，(2)a b b +⊥，则||b =（ ）（A ）2 （B （C ）1 （D 【答案】B【解析】由题意可得，2()10a b a a a b a b +⋅=+⋅=+⋅=，∴1a b ⋅=-；()222220a b b a b b b +⋅=⋅+=-+=，∴22b =， 则||2b =，故选B ．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量垂直，则它们的数量积等于零，属于基础题． （5）【2014年广西，理5，5分】有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）（A ）60种 （B ）70种 （C ）75种 （D ）150种 【答案】C【解析】根据题意，先从6名男医生中选2人，有2615C =种选法，再从5名女医生中选出1人，有155C =种选法，则不同的选法共有15×5=75种，故选C ．【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．（6）【2014年广西，理6，5分】已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为（ ）（A ）22132x y += （B ）2213x y += （C ）221128x y += （D ）221124x y +=【答案】A【解析】∵1AF B ∆的周长为43，∴443a =，∴3a =，∵离心率为33，∴1c =，∴222b a c =-=， ∴椭圆C 的方程为22132x y +=，故选A ．【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题． （7）【2014年广西，理7，5分】曲线1x y xe -=在点()1,1处切线的斜率等于（ ）（A ）2e （B ）e （C ）2 （D ）1 【答案】C【解析】函数的导数为()()1111x x x f x e xe x e ---'=+=+，当1x =时，()12f '=，即曲线1x y xe -=在点()1,1处切线的斜率()12k f '==，故选C ．【点评】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础． （8）【2014年广西，理8，5分】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）（A ）814π （B ）16π （C ）9π （D ）274π【答案】A【解析】设球的半径为R ，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴()()22242R R =-+，∴94R =，∴球的表面积为2981444ππ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，故选A ．【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题． （9）【2014年广西，理9，5分】已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若12||2||F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ）（A ）14 （B ）13（C ）24 （D ）23【答案】A【解析】∵双曲线C 的离心率为2，∴2ce a==，即2c a =，点A 在双曲线上，则12||||2F A F A a -=，又12||2||F A F A =，∴解得14F A a =，22F A a =，122F F c =，则由余弦定理得222222222222212121221244164123431cos 22228244AF F F AF a c a c a c a a a AF F AF F F a c ac ac a +-+----∠======⋅⨯⨯，故选A ．【点评】本题主要考查双曲线的定义和运算，利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力．（10）【2014年广西，理10，5分】等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（ ） （A ）6 （B ）5 （C ）4 （D ）3 【答案】C【解析】∵等比数列{}n a 中42a =，55a =，∴452510a a ⋅=⨯=，∴数列{}lg n a 的前8项和 ()()()41281284545lg lg lg lg lg 4lg 4lg104S a a a a a a a a a a =+++=⋅=⋅=⋅==，故选C ．【点评】本题考查等比数列的性质，涉及对数的运算，属中档题． （11）【2014年广西，理11，5分】已知二面角l αβ--为060，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，0135ACD ∠=，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ）（A ）14 （B ）24 （C ）34 （D ）12【答案】B【解析】如图，过A 点做AE l ⊥，使BE β⊥，垂足为E ，过点A 做//AF CD ，过点E 做EF AE ⊥，连接BF ，∵AB l ⊥，∴60BAE ∠=︒，又135ACD ∠=︒，∴45EAF ∠=︒，在Rt BEA ∆中，设AE a =，则2AB a =，3BE a =，在Rt AEF ∆中，则EF a =，2AF a =，在Rt BEF ∆ 中，则2BF a =，∴异面直线AB 与CD 所成的角即是BAF ∠，()()()2222222222cos 24222a aa AB AF BF BAF AB AF a a+-+-∴∠===⋅⨯⨯，故选B ． 【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角，关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角，考查了学生的空间想想能力和作图能力，属于难题．（12）【2014年广西，理12，5分】函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是（ ）（A ）()y g x = （B ）()y g x =- （C ）()y g x =- （D ）()y g x =-- 【答案】D【解析】设(),P x y 为()y f x =的反函数图象上的任意一点，则P 关于y x =的对称点(),P y x '一点在()y f x =的图象上，又∵函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，∴(),P y x '关于直线0x y +=的对称点(),P x y ''--在()y g x =图象上，∴必有()y g x -=-，即()y g x =--，∴()y f x =的反函数为：()y g x =--，故选D ．【点评】本题考查反函数的性质和对称性，属中档题．第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）【2014年广西，理13，5分】8()x y y x -的展开式中22x y 的系数为 ．【答案】70【解析】8x y y x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()833842218811rr r rr r r r r x y T C C x y y x ---+⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅⋅=⋅-⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令3384222r r-=-=，求得4r =，故展开式中22x y 的系数为4870C =．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．（14）【2014年广西，理14，5分】设x 、y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为 ．【答案】5【解析】由约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩作出可行域如图，联立023x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得()1,1C ．化目标函数4z x y =+为直线方程的斜截式，得144zy x =-+．由图可知，当直线144zy x =-+过C 点时，直线在y 轴上的截距最大，z 最大．此时max 1415z =+⨯=．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． （15）【2014年广西，理15，5分】直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则1l 与2l的夹角的正切值等于____________． 【答案】43【解析】设1l 与2l 的夹角为2θ，由于1l 与2l 的交点()1,3A 在圆的外部，且点A 与圆心O之间的距离为OA =r =sin r OA θ==，cos θ=，sin 1tan cos 2θθθ==，22tan 14tan 211tan 314θθθ===--． 【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题．（16）【2014年广西，理16，5分】若函数()cos2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 ．【答案】(],2-∞【解析】由()2cos 2sin 2sin sin 1f x x a x x a x =+=-++，令sin t x =，则原函数化为221y t at =-++．∵(,)62x ππ∈时()f x 为减函数，则221y t at =-++在1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上为减函数，∵221y t at =-++的图象开口向下，且对称轴方程为4a t =．∴142a ≤，解得：2a ≤．∴a 的取值范围是(],2-∞．【点评】本题考查复合函数的单调性，考查了换元法，关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置，是中档题．三、解答题：本大题共6题，共75分． （17）【2014年广西，理17，10分】ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3cos 2cos a C c A =，1tan 3A =，求B ．解：根据正弦定理，由3cos 2cos 3sin cos 2sin cos a C c A A C C A =⇒=sin sin 323tan 2tan cos cos A CA C A C⇒⨯=⨯⇒=因为1tan 3A =，所以1132tan tan 32C C ⨯=⇒=，所以11tan tan 32tan()1111tan tan 132A C A C A C +++===--⨯ 因为0A C π<+<，所以4A C π+=，由三角形的内角和可得344B πππ=-=．【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．（18）【2014年广西，理18，12分】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，而110a =，从而有10(1)n a n d =+-若，0d =，10n S n =，此时4n S S ≤不成立；若0d >，数列{}n a 是一个单调递增数列，n S 随着n 的增大而增大，也不满足4n S S ≤；当0d <时， 数列{}n a 是一个单调递减数列，要使4n S S ≤，则须满足5400a a ≤⎧⎨≥⎩，即1040105103032d d d +≤⎧⇒-≤≤-⎨+≥⎩，又因 为21a a d =+为整数，所以d Z ∈，所以3d =-，此时103(1)133n a n n =--=-．（2）由（1）可得1111111()(133)(103)(313)(310)3133103n n n b a a n n n n n n +====-⨯------， 所以111111111(())(())()31073743133103n T n n =---+---++-⨯--1111111111(()()())()31077431331031031010(310)n n n n n =---+---++-=--=-----．【点评】本题主要考查数列通项公式及数列和的求法，考查学生对裂项相消求和的能力及运算能力，属中档题． （19）【2014年广西，理19，12分】如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===．（1）证明：11AC A B ⊥；（2）设直线1AA 与平面11BCC B 的距离为3，求二面角1A AB C --的大小． 解：解法一： （1）因为1A D ⊥平面ABC ，1A D ⊆平面11AAC C ，故平面11AA C C ⊥平面ABC ． 又BC AC ⊥，所以BC ⊥平面11AA C C ．连结1A C ．因为侧面11AA C C 为菱形，故11AC A C ⊥． 由三垂线定理得11AC A B ⊥．（2）BC ⊥平面11AA C C ，BC ⊆平面11BCC B ，故平面11AA C C ⊥平面11BCC B ．作11A E CC ⊥，E 为垂足，则1A E ⊥平面11BCC B ．又直线1//A A 平面11BCC B ，因而1A E 为直线1A A与平面11BCC B 的距离，13A E =．因为1A C 为11A CC ∠的平分线，故113A D A E ==．作DF AB ⊥， F 为垂足，连结1A F ．由三垂线定理得1A F AB ⊥，故1A FD ∠为二面角1A AB C --的平面角．由22111AD AA A D =-=得D 为C A 中点，15=25AC BC DF AB ⨯⨯=，11tan 15A D A FD DF ∠==． 所以二面角1A AB C --的大小为arc tan 15． 解法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 的长为单位长，建立如图所示的空间直角 坐标系C xyz -，由题设知1A D 与x 轴平行，z 轴在平面11AA C C 内（1）设1(,0,)A a c ，由题设有2,(2,0,0),(0,1,0)a A B ≤，则(2,1,0),(2,0,0)AB AC =-=-，1(2,0,)AA a c =-，111(4,0,),(,1,)AC AC AA a c BA a c =+=-=-………………2分由221||2(2)2AA a c =⇒-+=，即2240a a c -+=①于是221140AC BA a a c ⋅=-+=，所以11AC A B ⊥． ……………………5分 （2）设平面11BCC B 的法向量(,,)m x y z =，则1,m CB m BB ⊥⊥，所以10,0m CB m BB ⋅=⋅=，因11(0,1,0),(2,0,)CB BB AA a c ===-，所以0(2)0y a x cz =⎧⎨-+=⎩，令x c =，则2z a =-，(,0,2)m c a ∴=-， 点A 到平面11BCC B 的距离为2222222|||cos ,|2||(2)44CA m c c cCA m CA c m c a a a c ⋅⋅<>=====+--++， 又依题设，A 到平面11BCC B 的距离为3，所以3c =代入①解得3a =（舍去）或1a = ……8分 于是1(1,0,3)AA =-，设平面1ABA 的法向量(,,)n p q r =，则1,n AA n AB ⊥⊥所以10,0n AA n AB ⋅=⋅=，所以3303202p r r p p q q p⎧⎧-+==⎪⎪⇒⎨⎨-+=⎪⎩⎪=⎩，令3p =，则23,1,(3,23,1)q r n ===，又(0,0,1)p =为平面ABC的法向量，故22211cos ,4||||(3)(23)11n p n p n p ⋅<>===⋅++⨯，所以二面角1A AB C --的大小为1arccos 4． ………………………………………………………12分【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题． （20）【2014年广西，理20，12分】设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.60.50.50.4、、、，各人是否需使用设备相互独立．（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（2）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．解：记i A 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，0,1,2i =，B 表示事件：甲需使用设备，C 表示事件：丁需使用设备，D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备（1）122D A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅，22()0.6,()0.4,()0.5,0,1,2ii P B P C P A C i ====，所以122()()P D P A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅122()()()P A B C P A B P A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅122()()()()()()()()P A P B P C P A P B P A P B P C =++0.31=．（2） X 的可能取值为0，1，2，3，4，0(0)()P X P B C A ==⋅⋅0()()()P B P C P A =2(10.6)(10.4)0.50.06=-⨯-⨯=001001222(1)()()()()()()()()()()0.60.5(10.4)(10.6)0.50.4(10.6)20.5(10.4)0.25P X P B A C B A C B A C P B P A P C P B P A P C P B P A P C ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++=⨯⨯-+-⨯⨯+-⨯⨯⨯-=2(4)()P X P B C A ==⋅⋅2()()()P B P C P A =20.50.60.40.06=⨯⨯=，(3)()(4)0.25P X P D P X ==-==，(2)1(0)(1)(3)(4)0.38P X P X P X P X P X ==-=-=-=-== 所以X(X)(2)0(0)1(1)2(3)3(3)4(4)E P X P X P X P X P X P X ===⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=0.2520.3830.2540.06=+⨯+⨯+⨯2=．【点评】本题主要考查了独立事件的概率和数学期望，关键是找到独立的事件，计算要有耐心，属于难题． （21）【2014年广西，理21，12分】已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =．（1）求C 的方程；（2）过的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程．解：（1）设0(,4)Q x ，代入22y px =得08x p =，所以8PQ p =，822p p p QF x p=+=+，由题设得85824p p p+=⨯．解得2p =-或2p =，所以C 的方程为24y x =．（2）依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为1x my =+（0m ≠），代入24y x =得2440y my --=设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124y y m +=，124y y =-，故AB 的中点为2(21,2)D m m +．214(1)AB y m =-=+，又'l 的斜率为m -，所以'l 的方程为2123x y m m=-++将上式代入24y x =，并整理得2244(23)0y y m m+-+=，设33(,)M x y ，44(,)N x y ，则344y y m +=-，2344(23)y y m =-+故MN 的中点为2222(23,)E m m m++-．3MN y =-= 由于MN 垂直平分AB ，故A 、M 、B 、N 四点在同一圆上等价于12AE BE MN ==，从而2221144AB DE MN +=，即2222222222224(1)(21)4(1)(2)(2)m m m m m m m +++++++=，化简得210m -=，解得1m =或1m =-，所求直线l 的方程为：10x y --=或10x y +-=．【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．（22）【2014年广西，理22，12分】函数()ln(1)(1)axf x x a x a=+->+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）设111,ln(1)n n a a a +==+，证明：23+22n a n n <≤+． 解：（1）()f x 的定义域为(1,)-+∞，2'2[(2)]()(1)()x x a a f x x x a --=++，（i ）当12a <<时，若2(1,2)x a a ∈--，则'()0f x >，()f x 在2(1,2)a a --上是增函数；若2(2,0)x a a ∈-，则'()0f x <，()f x 在2(2,0)a a -上是减函数； 若(0,)x ∈+∞，则'()0f x >，()f x 在(0,)+∞上是增函数；（ii ）当2a =时，'()0f x ≥，'()0f x =成立当且仅当0x =，()f x 在(1,)-+∞上是增函数； （iii ）当2a >时，若(1,0)x ∈-，则'()0f x >，()f x 在(1,0)-上是增函数；若2(0,2)x a a ∈-，则'()0f x <，()f x 在2(0,2)a a -上是减函数；若2(2,)x a a ∈-+∞，则'()0f x >，()f x 在2(2,)a a -+∞上是增函数．（2）由（1）知，当2a =时，()f x 在(1,)-+∞上是增函数，当(0,)x ∈+∞时，则()(0)0f x f >=，2ln(1)(0)2xx x x +>>+．又由（1）知，当3a =时，()f x 在[)0,3上是减函数．当(0,3)x ∈时，则()(0)0f x f <=，即3ln(1)(03)3xx x x +<<<+．下面用数学归纳法证明23+22n a n n <≤+． （i ）当1n =时，由已知1213a <=，故结论成立；（ii ）设当n k =时结论成立，即23+22k a k k <≤+．当1n k =+时，成立当且仅当0x =，()f x 在(1,)-+∞ 上是增函数；12222+2ln(1)ln(1)2+23+2+2k k k a a k k k +⨯=+>+>=+，13333+2ln(1)ln(1)3+23+3+2k k k a a k k k +⨯=+≤+<=+， 即当1n k =+时有123+33k a k k +<≤+，结论成立． 根据（i ）、（ii ）知对任何*n N ∈结论都成立．【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及利用数学归纳法证明不等式，综合性较强，难度较大．。

2014年全国高考大纲版数学(理)试卷及答案【精校版】

2014年全国高考大纲版数学(理)试卷及答案【精校版】

2014年普通高等学校统一考试（大纲）理科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设103iz i=+，则z 的共轭复数为 （ ）A ．13i -+B ．13i --C ．13i +D ．13i - 【答案】D ．2.设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N =（ ）A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[1,0)-D ．(1,0]- 【答案】B.3.设sin33,cos55,tan35,a b c =︒=︒=︒则 （ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >> 【答案】C ．4.若向量,a b 满足：()()1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥则b = （ ）A ．2BC ．1D ．2【答案】B ．5.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种 【答案】C ．6.已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F 2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为 （ ）A ．22132x y += B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y += 【答案】A ． 7.曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）A ．2eB ．eC ．2D ．1 【答案】C ．8．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ） A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π【答案】A ．9.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ）A ．14 B ．13C ．4D ．3【答案】A ．10.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 （ ）A ．6B ．5C ．4D ．3 【答案】C ．11.已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ）A ．14 BCD ．12【答案】B.12.函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是（ ）A ．()y g x =B ．()y g x =-C ．()y g x =-D ．()y g x =-- 【答案】D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.8⎛⎫的展开式中22x y 的系数为 .（用数字作答） 【答案】70.14.设,x y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为 .【答案】5.15．直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则1l 与2l 的夹角的正切值等于 . 【答案】43． 16.若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 . 【答案】(],2-∞．三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3cos 2cos a C c A =，1tan 3A =，求B .解：由题设和正弦定理得13sin cos 2sin cos ,3tan cos 2sin .tan ,cos 2sin ,3A C C A A C C A C C =\==\= ()()1tan tan tan ,tan tan 180tan 1,2tan tan 1A C CB AC A C A C +轾\=\=?+=-+==-臌-又0180,135B B?<癨??．18. （本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤. （I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 解：（I ）由110a =，2a 为整数知，等差数列{}n a 的公差d 为整数．又4n S S ≤，故450,0,a a ≥≤于是1030,1040d d +≥+≤，解得10532d -＃-，因此3d =-，故数列{}n a 的通项公式为133n a n =-．（II ）()()11111331033103133n b n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭，于是()12111111111137104710313331031010103n n n T b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．19. （本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===.（I ）证明：11AC A B ⊥；（II ）设直线1AA 与平面11BCC B ，求二面角1A AB C --的大小.1解：解法一：（I ）1A D ^平面ABC ，1A D Ì平面11AAC C ，故平面11AAC C ^平面ABC ．又BC AC ^，BC \^平面11AAC C ．连结1AC ，∵侧面11AAC C 为菱形，故11AC AC ^，由三垂线定理得11AC A B ^；（II ）BC ^平面11,AAC C BC Ì平面11BCC B ，故平面11AAC C ^平面11BCC B ．作11,A E CC E ^为垂足，则1A E ^平面11BCC B ．又直线1AA ∥平面11BCC B ，因而1AE 为直线1AA 与平面11BCC B 的距离，1AE =．∵1AC 为1ACC Ð的角平分线，故11A D A E ==．作,DF AB F ^为垂足，连结1A F ，由三垂线定理得1A F AB ^，故1AFD Ð为二面角1A ABC --的平面角．由1AD =得D 为AC 的中点，111tan 2A DAC BCDF A FD AB DF´=??=∴二面角1A AB C --的大小为1解法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -．由题设知1A D 与z 轴平行，z 轴在平面11AAC C 内． （I）设()1,0,A a c，由题设有()()2,2,0,0,0,1,a A B £则()()()()()11112,1,0,2,0,0,2,0,,4,0,,,1,.AB AC AA a c AC AC AA a c BA a c =-=-=-=+=-=-由12AA =得2，即2240a a c -+=（①）．于是22111140,AC BA a a c AC A B ?-+=\^．（II ）设平面11BCC B 的法向量(),,,m xy z =则1,,m CB m BB ^^即10,0m CBm BB ??．()0,1,0,CB =()112,0,,BB AA a c ==-故0y =，且()20a x cz -+=．令x c =，则()2,,0,2z a m c a =-=-，点A到平面11BCC B 的距离为c os ,C A m C A mC A c m×?==．又依题设，点A 到平面11BCC B的距离为,c \=3a =（舍去）或1a =．于是(11,0AA =-．设平面1ABA 的法向量(),,n p q r =，则1,n AA n AB ^^，即10,0,0n AA n AB p r ??\-=，故且20p q -+=．令p =则1,q r ==()3,23n =．又()0,0,1p =为平面ABC 的法向量，故1cos ,4n p n p n p⋅==⋅，∴二面角1A AB C --的大小为1arccos 4．20. （本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.（I ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（II ）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望.解：记i A 表示事件：同一工作日乙、丙恰有i 人需使用设备，0,1,2i =；B 表示事件：甲需使用设备；C 表示事件：丁需使用设备；D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备． （I ）122D A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅，又()()()()220.6,0.4,0.5,0,1,2.ii P B P C P A C i P D ===⨯=∴=()()()()()()()()()()()()1221221220.31.P A B C A B A B C P A B C P A B P A B C P A P B P C P A P B P A P B P C ⋅⋅+⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅+⋅⋅=++=（II ）X 的可能取值为0，1，2，3，4．()()()()()()()200010.60.510.40.06P X P B A C P B P A P C ==⋅⋅==-⨯⨯-=，()()()()()()()()()()()200100110.60.5P X P B A C B A C B A C P B P A P C P B P A P C P B P A P C ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++=⨯()()()()()()22210.410.60.50.410.620.510.40.25,4P X P A B C ⨯-+-⨯⨯+-⨯⨯⨯-===⋅⋅=()()()()()()()(220.50.60.40.06,340.25,210P A P B P C P X P D P X P X P X =⨯⨯===-====-=()()()13410.060.250.250.060.38.P X P X P X -=-=-==----=∴数学期望()()()()()00112233440.2520.3830.2540.062.EX P XP XP XP XP X=?+?+?+?+?=+???21. （本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =. （I ）求C 的方程；（II ）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程. 解：（I ）设()0,4Q x ，代入22y px =，得00888,,.22p p x PQ QF x p p p=\==+=+．由题设得85824p p p+=?，解得2p =-（舍去）或2p =，∴C 的方程为24y x =；（II ）由题设知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为()10x my m =+?，代入24y x =得2440y my --=．设()()1122,,,,A x y B x y 则124,y y m +=124y y =-．故AB 的中点为()()221221,2,41D m m AB y m +=-=+．又l ¢的斜率为,m l ¢-\的方程为2123x y m m=-++．将上式代入24y x =，并整理得()2244230y y m m+-+=．设()()3344,,,,M x y Bx y 则()234344,423y y y y m m+=-=-+．故MN的中点为(223422412223,,m E m MN y mmm+骣÷ç++-=-=÷ç÷ç桫 由于MN 垂直平分线AB ，故,,,A M B N 四点在同一圆上等价于12AE BE MN ==，从而22211,44AB DE MN +=即()()()2222222244121224122m m m m m m m ++骣骣鼢珑+++++=鼢珑鼢珑桫桫，化简得210m -=，解得1m =或1m =-．所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=．22. （本小题满分12分）函数()()()ln 11axf x x a x a=+->+. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）设111,ln(1)n n a a a +==+，证明：23+22n a n n <≤+. 解：（I ）()f x 的定义域为()()()()()2221,,1x x a a f x x x a ⎡⎤--⎣⎦'-+∞=++．（i ）当12a <<时，若()21,2x a a ∈--，则()()0,f x f x '>在()21,2a a --上是增函数；若()22,0,x a a ∈-则()()0,f x f x '<在()22,0aa -上是减函数；若()0,,x ∈+∞则()()0,f x f x '>在()0,+∞上是增函数． （ii ）当2a =时,()()0,0f x f x ⅱ?成立当且仅当()0,x f x =在()1,-+?上是增函数．（iii ）当2a >时，若()1,0x ?，则()()0,f x f x '>在是()1,0-上是增函数；若()20,2x a a ∈-，则()()0,f x f x '<在()20,2a a -上是减函数；若()22,x a a ∈-+∞，则()()0,f x f x '>在()22,a a -+∞上是增函数．（II ）由（I ）知，当2a =时，()f x 在()1,-+?是增函数．当()0,x ??时，()()00f x f >=，即()()2ln 102xx x x +>>+．又由（I ）知，当3a =时，()f x 在[)0,3上是减函数；当()0,3x Î时，()()00f x f <=，即()()3l n 1033xx x x +<<<+．下面用数学归纳法证明2322n a n n <?++． （i ）当1n =时，由已知1213a <=，故结论成立；（ii ）假设当n k =时结论成立，即2322k a k k <?++．当1n k =+时，()()112323223322ln 1ln 1,ln 1ln 12323232322k k k k k k a a a a k k k k k k ++创骣骣++鼢珑=+>+>==+?<=鼢珑鼢珑桫桫++++++++，即当1n k =+时有2333k a k k <?++，结论成立．根据（i ）、（ii ）知对任何n N *Î结论都成立．。

2014年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)

2014年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)

2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[1，2）B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1] 2．（5分）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．m D．3m5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β= 9．（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3 10．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3C．D．211．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6C．4D．4二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为．（用数字填写答案）14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．﹣a n=λ（Ⅰ）证明：a n+2（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．21．（12分）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．选修4-5：不等式选讲24．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[1，2）B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≥3或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵B=[﹣2，2），∴A∩B=[﹣2，﹣1]．故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．【解答】解：==﹣（1+i）=﹣1﹣i，故选：D．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），f（﹣x）•g（﹣x）=﹣f（x）•g（x），故函数是奇函数，故A错误，|f（﹣x）|•g（﹣x）=|f（x）|•g（x）为偶函数，故B错误，f（﹣x）•|g（﹣x）|=﹣f（x）•|g（x）|是奇函数，故C正确．|f（﹣x）•g（﹣x）|=|f（x）•g（x）|为偶函数，故D错误，故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．m D．3m【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．【解答】解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，∴点F到C的一条渐近线的距离为=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题．5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【解答】解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为=．故选：D．【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3P：抽象函数及其应用．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择．【解答】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|=|cosx|•|sinx|=|sin2x|，其周期为T=，最大值为，最小值为0，故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【专题】5I：概率与统计．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2；第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；第三次循环M=+=，a=，b=，n=4．不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=．故选：D．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】56：三角函数的求值．【分析】化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求．【解答】解：由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）=cosα=sin（），∵α∈（0，），β∈（0，），∴当时，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立．故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题．9．（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3【考点】2K：命题的真假判断与应用；7A：二元一次不等式的几何意义．【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．【分析】作出不等式组的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．【解答】解：作出图形如下：由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，p1：区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；p2：在直线x+2y=2的右上方和区域D重叠的区域内，∃（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2正确；p3：由图知，区域D有部分在直线x+2y=3的上方，因此p3：∀（x，y）∈D，x+2y ≤3错误；p4：x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；综上所述，p1、p2正确；故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题．10．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3C．D．2【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴不妨设直线PF的斜率为﹣=﹣2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），与y2=8x联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．11．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当x=时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（）=﹣3•+1＞0；故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D．【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题．12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6C．4D．4【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可．【解答】解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4，∴．AC==6，AD=4，显然AC最长．长为6．故选：B．【点评】本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为﹣20．（用数字填写答案）【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；5P：二项式定理．【分析】由题意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，项的系数，求和即可．【解答】解：（x+y）8的展开式中，含xy7的系数是：8．含x2y6的系数是28，∴（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为：8﹣28=﹣20．故答案为：﹣20【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为A．【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】5M：推理和证明．【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．故答案为：A．【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为90°．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论．【解答】解：在圆中若=（+），即2=+，即+的和向量是过A，O的直径，则以AB，AC为邻边的四边形是矩形，则⊥，即与的夹角为90°，故答案为：90°【点评】本题主要考查平面向量的夹角的计算，利用圆直径的性质是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；48：分析法；58：解三角形．【分析】由正弦定理化简已知可得2a﹣b2=c2﹣bc，结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc≤4，再利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC⇒（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c⇒2a﹣2b+ab﹣b2=c2﹣bc，又因为：a=2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2=bc⇒b2+c2﹣bc=a2⇒b2+c2﹣bc=4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n﹣a n=λ+2（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．【考点】83：等差数列的性质；8H：数列递推式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）利用a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，相减即可得出；（Ⅱ）假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．可得λ=a n+2﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，．得到λS n=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，∴a n（a n+2﹣a n）=λa n+1+1≠0，∵a n+1∴a n﹣a n=λ．+2（Ⅱ）解：假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，则λ=a n+2∴．∴，，∴λS n=1+=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ=4．此时可得，a n=2n﹣1．因此存在λ=4，使得{a n}为等差数列．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题．18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据；（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），运用EX=np即可求得．【解答】解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，依题意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．【考点】M7：空间向量的夹角与距离求解公式；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5H：空间向量及应用．【分析】（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，可证B1C⊥平面ABO，可得B1C ⊥AO，B10=CO，进而可得AC=AB1；（2）以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．【解答】解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得又，所以a=2，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（5分）（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，从而又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，设，则t＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…（12分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】15：综合题；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）=，只需证明g（x）min＞h（x）max，利用导数可分别求得g （x）min，h（x）max；【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+，由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x lnx+，∵f（x）＞1，∴e x lnx+＞1，∴lnx＞﹣，∴f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣．设函数h（x）=xe﹣x﹣，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．【点评】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．【考点】NB：弦切角；NC：与圆有关的比例线段．【专题】15：综合题；5M：推理和证明．【分析】（Ⅰ）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE为等边三角形．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=∠CBE，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形．【点评】本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合；QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．选修4-5：不等式选讲24．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．【考点】RI：平均值不等式．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得ab≥2，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．（Ⅱ）根据ab≥2及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号．∵a3+b3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4．（Ⅱ）∵2a+3b≥2=2，当且仅当2a=3b时，取等号．而由（1）可知，2≥2=4＞6，故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．。

2014年全国高考数学分类汇编--数列

2014年全国高考数学分类汇编--数列

全国2014年高考数学(理科)分类汇编1(2014福建理){}n a 的前n 项和n S ，假设132,12a S ==，则6a =( ).8A .10B .12C .14D2(2014广西理){}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于( )A ．6B ．5C ．4D ．33(2014广西文){}n a 的前n 项和为n S ，假设243,15,S S ==则6S =〔 〕 A ．31 B ．32 C ．63 D ．644(2014重庆文){}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a = 〔 〕.5A .8B .10C .14D5(2014辽宁文理){}n a 的公差为d ，假设数列1{2}n a a为递减数列，则〔 〕 A.0d < B.0d > C.10a d < D.10a d >6(2014天津文)5.设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和，假设，，，421S S S 成等比数列，则1a = 〔 〕A.2B.-2C.12D .12-7(2014课标2文)〔5〕等差数列{}n a 的公差为2，假设2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n s = ( ) 〔A 〕 ()1n n + 〔B 〕()1n n - 〔C 〕()12n n + (D) ()12n n -8(2014重庆理){}n a ,以下说法一定正确的选项是 〔 〕139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列9(2014安徽理){}a n 是等差数列，假设1a 1+，3a 3+，5a 5+构成公比为q 的等比数列，则q =________.10(2014安徽文)12.如图，学科网在等腰直角三角形ABC 中，斜边22BC =过点A 作BC 的垂线，垂足为1A ；过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作1A C的垂线，垂足为3A ；…，以此类推，设1BA a =，12AA a =，123A A a =，…，567A A a =，则7a =________.11(2014北京理)9.假设等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =______ 时{}n a 的前n 项和最大.12(2014广东理)13．假设等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则=+++n a a a 221ln ln ln .13(2014广东文){}n a 的各项均为正数，且154a a =,则212223log log log a a a ++2425log log a a ++=14(2014江苏文理)7.在各项均为正数的等比数列}{n a 中,,12=a 4682a a a +=,则6a 的值 是 .15(2014江西文)14.在等差数列{}n a 中，17a =，公差为d ，前n 项和为{}n a ，当且仅当8=n 时n S 取最大值，则d 的取值范围_______.16(2014天津理)〔11〕设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________.17(2014课标2文)〔16〕数列{}n a 满足111n na a +=-，2a =2，则1a =_________.【答案】 CCCBC DAD 9.1 10.1411.812.5n 13.5 14.4 15.7(1,)8-- 16.17.12全国2014年高考数学(文史)分类汇编1(2014重庆文)16.已知{}n a 是首项为1， 公差为2的等差数列，n S 表示{}n a 的前n 项和. 〔I 〕求n a 及n S ；〔Ⅱ〕设{}n b 是首项为2的等比数列，公比q 满足()24410q a q S -++=，求{}n b 的通项公式 及其前n 项和n T .【点拨】(I)221,n n a n S n =-=;(Ⅱ)由()24410q a q S -++=得4q =,所以2122,(41)3n n n n b T -==-2(2014重庆理)22.设111,(*)n a a b n N +==∈(1)假设1b =，求23,a a 及数列{}n a 的通项公式；(2)假设1b =-，问：是否存在实数c 使得221n n a c a +<<对所有*n N ∈成立？证明你的结论.【点拨】(1)12341,2,1,1,a a a a ==猜想1n a (可数归完成);(2)设函数()1f x ,令()f x x =得不动点14x =.仿(1)得1231,0,1,a a a ==用数学归纳法可证明:22114n n a a +<<.事实上,2311.1014n a a ==<=当时,显然成立. 2.假定当22114k k a a n k +<<=时,成立,那么当1n k =+时,2221()1k k a f a ++=22222221221(1)(1)1(1)(1)14k k k a a a ++++=-+⇒+<-+2214n a +<.又2223222322()(1)(1)1k k k k a f a a a ++++=⇒+=-+ 3222321(1)(114)14k k a a ++∴+>->+⇒这就是说当1n k =+时,222314k k a a ++<<也成立.…3(2014浙江文)19、已知等差数列{}n a 的公差0d >，设{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2336S S ⋅=.〔1〕求d 及n S ；〔2〕求,m k 〔*,m k N ∈〕的值，使得 1265m m m m k a a a a +++++++=【点拨】(1)22,n d S n ==;〔2〕(1)21,(1)(21)2652m k ka m k m +=-∴+-+⨯= (1)(21)513k m k ++-=⨯{{15421135k k m k m +==⇒⇒+-==….4(2014浙江理)19.已知数列{}n a 和{}n b 满足12(2)()nb n a a a n N *=∈.假设{}n a 为等比数列，且1322,6a b b ==+ (1)求n a 与n b ；(2)设11()n n nc n N a b *=-∈.记数列{}n c 的前n 项和为n S .〔i 〕求n S ；〔ii 〕求正整数k ，使得对任意n N *∈，均有k n S S ≥. 【点拨】(1)12312,a a a a a 两式相除得38a =.从而332,2n n n q a a q -=∴=⋅=.由(1)212(2)2,(1)nn n b n n a a a b n n +=⇒∴=+(2)11111()12n nn n c a b n n =-=--+.所以 123111(i)2n n n S c c c c n =++++=-+(分组裂项)(ii)(1)211(1)2(1)2n n n nn n c n n n n +-=-=++⋅,易见10c =, 234,,0,50n c c c n c >≥<当时,.可见4S 最大,即 4.4n k S S ≥∴=.5(2014课标2理){}n a 满足1a =1，131n n a a +=+. 〔Ⅰ〕证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕证明：1231112n a a a ++<…+.【点拨】〔Ⅰ〕在131n n a a +=+中两边加12:1113()22n n a a -+=+,可见数列{}12n a +是以3为公比,以13122a +=131223312n nn a -=⨯--=.〔Ⅱ〕法1(放缩法)1231n n a =-123123123311112222313131312121212131131131131131(1)()23 23nn n a a a a ∴++++=++++----++++≤++++-+-+-+-+=-<本用的"加糖"是定理点题 法2(数学归纳法)先证一个条件更強的结论: 1123311111223n n a a a a -++++≤-⨯.事实上,10131211.123123n a ===--⨯当时,,等号成立.112531141243223n a a =+=<=-⨯当时,,新命题成立.2.假定对于n 新命题成立,即11111311111223n a a a a -++++≤-⨯,那么对于1n +的情形,我们有: 123111111111131222331331211222331123n n n n n n n a a a a a +-+-++++++≤-+⨯-+<-+=-⨯-+⨯ …所以1111133111112223n a a a a -++++≤-<⨯6(2014天津文理)19.已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合{}0,1,2,1,q M =-，集合{}112,,1,2,,n n i A x x x x q x q x M i n -+∈===++ 〔Ⅰ〕当2q =，3n =时，用列举法表示集合A ； 〔Ⅱ〕设,s tA ，112n n s a a q a q -=+++，112n n t b b q b q -=+++，其中,i i a b M ∈，1,2,,i n =. 证明：假设n n a b <，则s t .【点拨】〔Ⅰ〕解：当2q =，3n =时，{}0,1M =，{}12324,,1,2,3i A x x x x x M x i ==+∈=+.其中123,,x x x 的分布:可得，{}0,1,2,3,4,5,6,7A =.〔Ⅱ〕证明：由,s tA ，112n n s a a q a q -=+++，112n n t b b q b q -=+++，,i i a b M ∈，1,2,,i n =及n n a b <，可得 ()()()()21122111 .n n n n n n s t a b a b q a b q a b q -----=-+-++-+-()()()21111n n q q q q q q --≤-+-++--()()11111n n q q q q----=--10=-<.所以，s t .7(2014四川文)19.设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上〔n N *∈〕. 〔Ⅰ〕证明：数列{}n b 为等比数列；〔Ⅱ〕假设11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln2-，求数列2{}n n a b 的前n 项和n S .【点拨】〔Ⅰ〕11222n nan d a n b b ++==… 〔Ⅱ〕()22x f x ln '=，222a k ln =切.切线方程 222222()a a y ln x a -=-,依题设有211222a ln ln -=-22a ∴=,24b =.从而24nn n a b n =⋅(等比差数列,乘公比、错位相减)得1(31)449n n n S +-+=8(2014四川理)19．设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上〔*n N ∈〕. 〔1〕假设12a =-，点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，求数列{}n a 的前n 项和n S ；〔2〕假设11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln2-，求数列{}n na b 的前n 项和n T .【点拨】〔1〕8872774222a a a b b -=⇒== 2d ⇒=.23n S n n ∴=-;〔2〕()22x f x ln '=，222a k ln =切.切线方程123123 0 0 0 0 1 10 0 1 1 0 10 1 0 1 1 01 0 0 1 1 1x x x x x x222222()a a y ln x a -=-,依题设有211222a ln ln -=-22a ∴=,24b =.从而2n nn a n b = (等比差数列,乘公比、错位相减)得222n n n T +=-9(2014上海文)23.已知数列{}n a 满足1113,,13n n n a a a n N a *+≤≤∈=(1)假设2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；(2)假设{}n a 是等比数列，且11000m a =，求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{}n a 的公比；(3)假设12100,,,a a a 成等差数列，求数列12100,,,a a a 的公差的取值范围.【点拨】(1)由232343133[3,6]133a a a x a a a ⎧≤≤⎪⇒∈⎨≤≤⎪⎩;(2)易见0,n a >1113333n n n a a a q +≤≤⇒≤≤又11111()810003m m m a q m --==⨯≥⇒≥,8m =.q ∴.(3)①1111111,33n a a a d a ==∴≤+≤⇒当时, 223d -≤≤. 11111001,33n n n n a a a a --≤≤=≤≤⇒当2时,②221d n -≥-取2100,199n d -=≥. 综上22199d -≤≤.10(2014上海理)23.已知数列{}n a 满足 1113,,13n n n a a a n N a *+≤≤∈=.(1)假设2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；(2)没{}n a 是公比为q 等比数列，123n n S a a a a =++++，113,3n n n S S S n N *+≤≤∈求q 的取值范围；(3)假设12,,,k a a a 成等差数列，且121000k a a a +++=，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a 的公差.【点拨】(1)由232343133[3,6]133a a a x a a a ⎧≤≤⎪⇒∈⎨≤≤⎪⎩;(2)由1113,1333n n n a a q a a q ≤≤=⇒≤≤，结合1111113,233S S a q S q ≤+≤⇒≤≤.下面证明任意的2n ≥,上式都成立. ①当1q =时,显然成立. ②当1q ≠时,11(1)1(1)1(1)13,3111n n nq q q q q q +⋅---⨯≤≤⨯---其中左不等式 显然成立.对于右不等式等价于: 13201n n q q q +-+≥-.令132()(1),1x x q q f x x q+-+=≥-ln ()(3)01x q q f x q q⋅'=->-,要使()0f x ≥,只需(1)0f ≥即232021q q q q-+≥⇒≤-.结合13q ≥, 所以123q ≤≤.(3) ①1111111,33n a a a d a ==∴≤+≤⇒当时, 223d -≤≤. 11111,33n n n n k a a a a --≤≤=≤≤⇒2,②当时221d n -≥-取2,21n k d k -=≥-. 1(1)(1)210002221k k k k k a d k k ---=⋅+⋅≥+⋅-,1999k ⇒≤,从而当219991999k q ==-时,.11(2014山东文) (19)在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项.〔Ｉ〕求数列{}n a 的通项公式；〔II 〕设(1)2n n n b a +=，记1234n T b b b b =-+-+-…(1)nn b +-，求n T .【点拨】〔Ｉ〕12a =,2n a n =〔Ⅱ〕(1)n b n n =+(分奇偶讨论求和) 2(1) ()2(2) ()2n n n T n n +⎧-⎪=⎨+⎪⎩奇偶为数为数12(2014山东理)19.已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且124,,S S S 成等比数列.〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕令114(1)n n n n n b a a -+=-，求数列{}n b 的前n 项和n T .得到【点拨】〔Ⅰ〕11,21n a a n ==-;〔Ⅱ〕11(1)[]2121nn b n n =-+-+(分奇偶讨论,最后合并)21(1)2nn mn T ++-=.13(2014课标1文)17.已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。

2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(理科)—新课标Ⅱ卷

2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(理科)—新课标Ⅱ卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（新课标卷Ⅱ）第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合0,1,2M =｛｝，2{|320}N x x x =-+≤，则M N =( )A ．{1}B ．{2}C ．{0,1}D ．{1,2}2．设复数12,z z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ）A ．5-B ．5C ．4i -+D ．4i -- 3．设向量,a b 满足||10a b +=，||6a b -=，则a b ⋅=( )A ．1B ．2C ．3D ．54．钝角三角形ABC 的面积是12，1AB =，BC ，则AC =( )A ．5B ．2 D ．15．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是075．，连续两天优良的概率是06．，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A ．08．B ．075．C ．06．D ．045． 6．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A ．1727 B ． 59 C ． 1027D ． 13 7．执行右图程序框图，如果输入的,x t 均为2，则输出的S =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．78．设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0,0)处的切线方程为2y x =，则a =（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．39．设,x y 满足约束条件70,310,350.x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩则2z x y =-的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．3D ．210．设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交C 于,A B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为（ ）A C ．6332 D ．9411．直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，M N ,分别是1111A B AC ,的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）A ．110 B ．25 C12．设函数()xf x mπ=．若存在()f x 的极值点0x 满足22200[()]x f x m +<，则m 的取值范围是（ ）A ．()(),66,-∞-⋃∞B ．()(),44,-∞-⋃∞C ．()(),22,-∞-⋃∞D ．()(),14,-∞-⋃∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答． 二．填空题13．10()x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________．(用数字填写答案) 14．函数()sin(2)2sin cos()f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________．15．已知偶函数()f x 在[0,)+∞单调递减，(2)0f =．若(1)0f x ->，则x 的取值范围是______．16．设点0(,1)M x ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是____．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+．（Ⅰ）证明1{}2n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：1211132n a a a +++<． 18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ABCD ⊥平面 ，E 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：PB AEC ∥平面；（Ⅱ）设二面角D AE C --为60°，1AP = ，AD =，求三棱锥E ACD - 的体积．19． （本小题满分12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的（Ⅰ）求关于的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121niii ni i t t y y b t t ∧==--=-∑∑，ˆˆa y bt=- 20．（本小题满分12分）设12,F F 分别是椭圆22221x y a b+= （0a b >> ）的左右焦点，M 是C上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ．（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N =，求,a b ． 21．（本小题满分12分）已知函数()2x x f x e e x -=--。

2014年全国统一高考数学试卷(理科)(全国一卷)

2014年全国统一高考数学试卷(理科)(全国一卷)

2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[1，2）B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1] 2．（5分）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．m D．3m5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β= 9．（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3 10．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3C．D．211．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6C．4D．4二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为．（用数字填写答案）14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．﹣a n=λ（Ⅰ）证明：a n+2（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．21．（12分）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．选修4-5：不等式选讲24．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．。

2014年全国一卷高考理科数学试卷及答案

2014年全国一卷高考理科数学试卷及答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I 理科数学第Ⅰ卷 (选择题 共60分）一．选择题:共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合A={x |2230x x --≥｝，B={x |－2≤x ＜2＝,则A B ⋂=A .［—2，—1]B 。

[-1，2）C .[-1,1］D .[1,2） 2.32(1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C 。

1i -+ D .1i --3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R,且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B 。

|()f x |()g x 是奇函数C .()f x ｜()g x ｜是奇函数D .|()f x ()g x ｜是奇函数4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A .3B 。

3C 。

3mD 。

3m5。

4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C 。

58D 。

786.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π］上的图像大致为7。

执行下图的程序框图,若输入的,,a b k 分别为1，2,3,则输出的M =A 。

203 B 。

165 C .72D 。

1588。

设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈,且1sin tan cos βαβ+=，则 A .32παβ-=B .22παβ-=C 。

32παβ+=D .22παβ+=9.不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D 。

2014年高考新课标I卷数学(理科)试题及参考答案(含解答题评分标准)

2014年高考新课标I卷数学(理科)试题及参考答案(含解答题评分标准)

2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I理科数学第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ⋂=A .[-2,-1]B .[-1,2）C .[-1,1]D .[1,2） 2.32(1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i --3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A B .3 C D .3m5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18 B .38 C .58 D .786.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203 B .165 C .72 D .1588.设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则 A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=9.不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-， 2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤， 4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3pB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3p 10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =，则||QF =A .72B .52C .3D .2 11.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为 A .（2，+∞） B .（-∞，-2） C .（1，+∞） D .（-∞，-1）12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A .B .C .6D .4第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两个部分。

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2014高考数学【大纲理】一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．设103iz i=+，则z 的共轭复数为（ ） A ．13i -+ B ．13i -- C ．13i + D ．13i - 2．设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N =（ ）A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[1,0)-D ．(1,0]- 3．设sin 33a =︒，cos55b =︒，tan 35c =︒，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >>4．若向量,a b 满足：||1a =，()a b a +⊥，(2)a b b +⊥，则||b =（ ）A ．2BC ．1D 5．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种6． 已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为（ ）A ．22132x y +=B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y +=7．曲线1x y xe-=在点(1,1)处切线的斜率等于（ ）A ．2eB ．eC ．2D ．18．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A ．814π B ．16π C ．9π D ．274π 9．已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若12||2||F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ）A ．14 B ．13C D10．等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．311．已知二面角l αβ--为60，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，0135ACD ∠=，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ） A ．14 BCD ．1212．函数()y f x =的图像与函数()y g x =的图像关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是（ ） A ．()y g x = B ．()y g x =- C ．()y g x =- D ．()y g x =-- 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．8的展开式中22x y 的系数为 ． 14． 设x 、y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为 ．15． 直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为(1,3)，则1l 与2l 的夹角的正切值等于 ．16． 若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 ． 三、解答题 （本大题共6小题． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3cos 2cos a C c A =，1tan 3A =，求B ． 18． 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19．如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，90ACB ∠=，11,2BC AC CC ===．（1）证明：11AC A B ⊥；（2）设直线1AA 与平面11BCC B，求二面角1A AB C --的大小．120．设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（2）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．21． 已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =． （1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线'l 与C 相交于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程．22． 函数()ln(1)(1)axf x x a x a=+->+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）设111,ln(1)n n a a a +==+，证明：23+22n a n n <≤+．参考答案一、选择题 1． D【解析】因为1010(3)10(3)(3)133(3)(3)10i i i i i z i i i i i i --====-=+++-，所以z 的共轭复数为13z i =-，故选D .【考点】1.复数的四则运算；2.复数的基本概念——共轭复数. 2．B【解析】因为{}{}2{|340}|(4)(1)0|14(1,4)M x x x x x x x x =--<=-+<=-<<=-，而{|05}[0,5]N x x =≤≤=，所以{}{}||04[0,4)M N x x M x N x x ⋂=∈∈=≤<=且，故选B .【考点】1.一元二次不等式；2.集合的交集运算. 3．C【解析】因为sin 33a =︒，cos55cos(9035)sin35b =︒=︒-︒=︒，sin 35tan 35cos35c ︒=︒=︒，由0cos351<︒<，可得sin 35tan 35sin 35cos35c ︒=︒=>︒︒，而正弦函数sin y x =在[,]22ππ-单调递增，所以sin35sin33︒>︒，所以c b a >>，故选C .【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数的基本关系式；3.正弦函数的单调性. 4．B【解析】因为()a b a +⊥，所以()=0a b a +⋅，即2=0a a b +⋅，所以2||1a b a ⋅=-=-，又因为(2)a b b +⊥，所以22(2)=02022||2a b b a b b b a b b +⋅⇒⋅+=⇒=-⋅=⇒=，故选B .【考点】1.平面向量垂直的充要条件；2.平面向量的数量积运算. 5．C【解析】第一步：先从6名男医生中选出2名男医生有2615C =种选法；第二步：从5名女医生中选出1名，有155C =种选法，根据分步计数原理可知选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组的不同选法共有216515575C C =⨯=，故选C .【考点】1.分步计数原理；2.组合问题. 6．A【解析】如下图，1AF B ∆的周长为111221||||||||||||||AF AB F B AF AF F B F B ++=+++1221(||||)(||||)224AF AF F B F B a a a a =+++=+==⇒=33331333c e c a a ==⇒=⨯=⨯=，所以222312b a c =-=-=，从而所求椭圆的方程为22132x y +=，故选A .【考点】1.椭圆第一定义的应用；2.椭圆的几何性质；3.椭圆的标准方程的求法. 7．C【解析】因为1x y xe-=，所以111(1)x x x y exe e x ---'=+=+，根据导数的几何意义可知曲线1x y xe -=在点(1,1)处切线的斜率111|(11)2x k y e -='==+=，故选C.【考点】导数的几何意义. 8．A【解析】如下图，正四棱锥P ABCD -中，PE 为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心O 必在正四棱锥的高线PE 所在的直线上，延长PE 交球面于一点F ，连接,AE AF ，由球的性质可知PAF ∆为直角三角形且AE PF ⊥，根据平面几何中的射影定理可得2PA PF PE =⋅，因为222222222AB BC AE ++===，所以侧棱长222421832PA PE AE =+=+==，2PF R =，所以2189(32)2484R R =⨯⇒==，所以球的表面积为2818144164S R πππ==⨯=，故选A.【考点】1.球的内接正棱锥的问题；2.平面几何中的射影定理；3.球队表面积计算公式. 9．A【解析】如下图，设21||,||2AF m AF m ==，则根据双曲线的第一定义可得12||||22F A F A m m m a -=-==，所以21||2,||4AF a AF a ==，又因为离心率22ce ca a==⇒=，所以12||4F F a =，在12AF F ∆中，由余弦定理得222222212121212||||||416161cos 2||||2244AF F F AF a a a AF F AF F F a a +-+-∠===⨯⨯，故选A.【考点】1.双曲线的几何性质；2.余弦定理. 10．C【解析】依题意可得5452a q a ==，所以44452()2n n n a a q --==⨯，所以425510lg lg[2()]lg 2(4)lg lg 2(4)lg lg 2(4)(12lg 2)222n n a n n n -=⨯=+-=+-=+--(12lg 2)9lg 24n =-+-，所以数列{lg }n a 为等差数列，从而所求的前8项和为8[((12lg 2)9lg 24)((12lg 2)89lg 24)]818422S -+-+-⨯+-⨯⨯===，故选C .【考点】1.等比数列的通项公式；2.等差数列的前n 项和公式. 11．B【解析】如下图，作BE β⊥于E ，连结AE ，过A 作//AG CD ，作EG AG ⊥于G ，连结BG ，则BG AG ⊥，设2AB a =，在ABE ∆中，60,90BAE AEB ∠=︒∠=︒，所以AE a =，在Rt AEG ∆中，222cos 24aAG BAG AB a ∠===，所以异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24，故选B.【考点】1.三垂线定理及其逆定理；2.异面直线成角的计算. 12．D【解析】设()y f x =的反函数图像上的任意一点(,)x y ，则该点关于直线y x =对称的点为(,)y x ，该点在函数()y f x =的图像上，而点(,)y x 关于直线0x y +=的对称点为(,)x y --，该点在函数()y g x =的图像上，所以()y g x -=-即()y g x =--，这就是(,)x y 应该满足的关系式，这也就是函数()y f x =的反函数.【考点】1.函数图像的对称性；2.反函数的图像与性质. 二、填空题 13．70【解析】根据二项展开式可得展开式的通项为833884822221888()()r r r r r r r r r r rr T C C x y C x y y x-------+===，令38242rr -=⇒=，所以4222241870T C x y x y +==，所求的系数为70. 【考点】二项式定理. 14．5【解析】根据约束条件作出平面区域，如下图中阴影部分，1444zz x y y x =+⇒=-+，由此可知，要使z 最大，则要求直线144z y x =-+的纵截距最大，由图可知，当直线144zy x =-+经过点(1,1)B 时，直线的纵截距最大，此时z 取得最大值145+=.【考点】1.二元一次不等式组所表示的平面区域问题；2.线性目标函数最值的求解.15．43【解析】根据题中条件易判断到直线12,l l 的斜率都存在，设过点(1,3)的切线方程为3(1)y k x -=-即30kx y k -+-=，则由圆心(0,0)7k ==-或1k =，设两直线的夹角为θ，由两直线的夹角计算公式可得2112174tan ||||1173k k k k θ-+===+-.【考点】1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离公式；3.两直线的夹角公式. 16．(,2]-∞【解析】因为()2sin 2cos 4sin cos cos cos (4sin )f x x a x x x a x x x a '=-+=-+=-+，而(,)62x ππ∈时，函数()f x 单调递减，所以()0f x '<在(,)62x ππ∈恒成立，即cos (4sin )0x x a -+<恒成立，因为cos 0x >，所以4sin 0x a -+<即4sin a x <在(,)62x ππ∈恒成立，从而min (4sin )a x <，因为4sin ()62y x x ππ=<<的值域为(4sin ,4sin )62ππ即(2,4)，所以2a ≤.【考点】1.三角函数的图像与性质；2.函数的单调性与导数. 17．34π. 【解析】根据正弦定理，由3cos 2cos 3sin cos 2sin cos a C c A A C C A =⇒=sin sin 323tan 2tan cos cos A CA C A C⇒⨯=⨯⇒= 因为1tan 3A =，所以1132tan tan 32C C ⨯=⇒=所以11tan tan 32tan()1111tan tan 132A C A C A C +++===--⨯ 因为0A C π<+<，所以4A C π+=由三角形的内角和可得344B πππ=-=.【考点】1.正弦定理；2.两角和的正切公式；3.三角形的内角和定理. 18．（1）133n a n =-；（2）10(310)n nT n =--.【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，而110a =，从而有10(1)n a n d =+- 若0d =，10n S n =，此时4n S S ≤不成立若0d >，数列{}n a 是一个单调递增数列，n S 随着n 的增大而增大，也不满足4n S S ≤ 当0d <时，数列{}n a 是一个单调递减数列，要使4n S S ≤，则须满足540a a ≤⎧⎨≥⎩即1040105103032d d d +≤⎧⇒-≤≤-⎨+≥⎩，又因为21a a d =+为整数，所以d Z ∈，所以3d =- 此时103(1)133n a n n =--=- （2）由（1）可得1111111()(133)(103)(313)(310)3133103n n n b a a n n n n n n +====-⨯------ 所以111111111(())(())()31073743133103n T n n =---+---++-⨯--1111111111(()()())()31077431331031031010(310)nn n n n ---+---++-=--=-----.【考点】1.等差数列的通项公式及其前n 项和；2.数列的求和——裂项相消法求和. 19．（1）证明详见解析；（2）二面角1A AB C --的大小为arc tan 或1arccos4. 【解析】法一：（1）因为1A D ⊥平面ABC ，1A D ⊆平面11AAC C ，故平面11AAC C ⊥平面ABC .又BC AC ⊥，所以BC ⊥平面11AAC C .连结1A C .因为侧面11AAC C 为菱形，故11AC AC ⊥.由三垂线定理得11AC A B ⊥.（2）BC ⊥平面11AAC C ，BC ⊆平面11BCC B ，故平面11AAC C⊥平面11BCC B . 作11A E CC ⊥，E 为垂足，则1A E ⊥平面11BCC B .又直线1A A 平面11BCC B ，因而1A E 为直线1A A 与平面11BCC B 的距离，1A E =.因为1A C 为11A CC∠的平分线，故11A D A E ==.作DF AB ⊥，F 为垂足，连结1A F .由三垂线定理得1A F AB ⊥， 故1A FD ∠为二面角1A AB C--的平面角. 由1AD ==得D 为C A中点，1=2AC BC DF AB ⨯⨯=，11tan A D A FD DF ∠==所以二面角1A AB C --的大小为arc tan 。

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