一元二次不等式的应用题(附答案)
2.5 一元二次不等式的应用 3
解得
100 r 10 31
答:所求r的取值范围是[100/31，10]
2、国家为了加强对于烟酒生产的宏观管理，除了 应缴税收外，还征收附加税。
已知某种酒每瓶销售价为70元，不收附加税时，每 年大约产销100万瓶； 若征收附加税，每销100元要征附加税r元（叫做税率 r%）,则每年的产销量将减少10 r万瓶。 如果要使每年在此项经营中所收取的附加税不少于 112万元，那么r应如何确定？ 解：设产销量为每年 （万瓶），则销售收入每年 70 x （万元）, 从中征收附加税额为 70 xr % (万元)，并且
解：设月平均增长率为x
据题意得不等式：5+5(1+x)+5(1+x)2+43.45>60
整理后得：x2+3x-0.31>0 解得：（-∞，-3.1）∪（0.1，+∞） 因为增长率不为负，所以x>0.1 答： 月平均增长率为10%以上才能超额完成年计划
2、某旅店有200张床位，若每床一晚上租金27元， 则可全部出租；若将出租收费标准每晚提高10的 整数倍，则出租的床位会将减少10的相应倍数张。 若要是该旅店某晚的收入超过10000元，则每个 床位的出租价格应定在什么范围内？ 解：设将出租费用提高10的n倍
解：由题意，代理商每年可销售（8-0.62r）万件衬衫， 每件衬衫的价格为80/1-r%元， 80 因此，年销售额为 1 r %(8-0.62r)元
所以收取的年代理费为
80 (8 0.62r )r % 16 由题意可得： 1 r% 80 (8 0.62r )r % 1 r%
即 3.1r 2 41r 100 0
(200 3) (40t 200) 350
一元一次方程,二元一次方程,一元一次不等式,一元二次不等式应用题及答案
一元一次方程例1 某厂一车间有64人，二车间有56人．现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半．问需从第一车间调多少人到第二车间？解析：如果设从一车间调出的人数为x，那么有如下数量关系设需从第一车间调x人到第二车间，根据题意得：2（64-x）=56+x，解得x=24；答：需从第一车间调24人到第二车间二元一次方程例2两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。
解：设这艘轮船在静水中的速度x千米/小时,则水流速度y千米/小时，有：20（x-y）=28014（x+y）=280解得：x=17，y=3答：这艘轮船在静水中的速度17千米/小时、水流速度3千米/小时，一元一次不等式例3将不足40只鸡放入若干个笼中，若每个笼里放4只，则有一只鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，且最后一笼不足3只。
问有笼多少个？有鸡多少只？设笼有x个，那么鸡就有（4x+1）只，根据若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，且最后一笼不足3只，可列出不等式求解．解：设笼有x个．4x+1＞5(x?2) 4x+1＜5(x?2)+3 ，解得：8＜x＜11 x=9时，4×9+1=37x=10时，4×10+1=41（舍去）．故笼有9个，鸡有37只一元二次不等式例4用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空。
请问：有多少辆汽车？解：设有x辆汽车，则货物有(4x+20)吨，根据题意，有不等式组：4x+20﹤8x (1)4x+20﹥8(x-1) (2)解不等式(1)得：x﹥5解不等式(2)得：x﹤7所以，不等式组的解为 5﹤x﹤7因为x为整数，所以 x=6答：有6辆汽车。
高考常考题型：一元二次不等式在实际问题中的应用
高考常考题型：一元二次不等式在实际问题中的应用一、单选题1．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润,已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为( )A．12元B．16元C．12元到16元之间D．10元到14元之间二、填空题2．如果某厂扩建后计划后年的产量不低于今年的2倍，那么明后两年每年的平均增长率至少是__；三、解答题3．如图,在长为8m,宽为6m的矩形地面的四周种植花卉,中间种植草坪.如果要求花卉带的宽度相同,且草坪的面积不超过总面积的一半,那么花卉带的宽度应为多少米?4．十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作．该地区有100户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为2万元．为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员(0)x x>户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高2%x，而从事水果加工的农民平均每户收入将为92(),(0)50xa a->万元．（1）若动员x户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这100户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a的最大值．5．政府为了稳定房价，决定建造批保障房供给社会，计划用1600万的价格购得一块建房用地，在该土地上建10幢楼房供使用，每幢楼的楼层数相同且每层建10套每套100平方米，经测算第x 层每平方米的建筑造价y (元)与x 满足关系式800y kx =+(其中k 为整数且被10整除) ，根据某工程师的个人测算可知，该小区只有每幢建8层时每平方米平均综合费用才达到最低，其中每平方米+购地费用所有建筑费用平均综合费用=总的建筑面积. (1)求k 的值； (2)为使该小区平均每平方米的平均综合费用控制在1400元以内，每幢至少建几层?至多造几层?6．随着中国经济的腾飞，互联网的快速发展，网络购物需求量不断增大.某物流公司为扩大经营，今年年初用192万元购进一批小型货车，公司第一年需要付保险费等各种费用共计12万元，从第二年起包括保险费、维修费等在内的所需费用比上一年增加6万元，且该批小型货车每年给公司带来69万元的收入.（1）若该批小型货车购买n 年后盈利，求n 的范围；（2）该批小型货车购买几年后的年平均利润最大，最大值是多少？7．某地区上年度电价为0.8元/kW h ⋅，年用电量为 a kW h ⋅，本年度计划将电价降到0.55 元/kW h ⋅至0.75元/kW h ⋅之间，而用户期待电价为0.4元/kW h ⋅，下调电价后新增加的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为K )，该地区的电力成本为0.3元/kW h ⋅.(注：收益=实际用电量⨯（实际电价-成本价）），示例：若实际电价为0.6元/kW h ⋅，则下调电价后新增加的用电量为0.60.4K -元/kW h ⋅) （1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系； （2）设0.2K a =，当电价最低为多少仍可保证电力部门的收益比上一年至少增长20%？8．为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．某大学毕业生按照相关政策投资销售一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量y （单位：件）与销售单价x （单位：元）之间的关系近似满足一次函数：10500y x =-+．（1）设他每月获得的利润为w （单位：元），写出他每月获得的利润w 与销售单价x 的函数关系．（2）相关部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果他想要每月获得的利。
2022_2023学年新教材高中数学课时作业十六一元二次不等式的应用湘教版必修第一册
课时作业(十六) 一元二次不等式的应用1．一服装厂生产某种风衣，日产量为x(x∈N)件时，售价为p元/件，每天的总成本为R元，且p＝160－2x，R＝500＋30x，要使获得的日利润不少于1300元，则x的取值范围为( )A．{x∈N|0<x<45} B.{x∈N|0<x≤45}C．{x∈N|0<x≤20} D.{x∈N|20≤x≤45}2．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，则这批台灯的销售单价(单位：元)的取值范围是( ) A．[10，16) B.[12，18)C．[15，20) D.[10，20)3．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长 x(单位：m)的取值范围是( )A．15≤x≤30B．12≤x≤25C．10≤x≤30D．20≤x≤304．某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是( ) A．{t|1≤t≤3} B.{t|3≤t≤5}C．{t|2≤t≤4} D.{t|4≤t≤6}5．(多选)某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120 )时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为 L，其中k为常数，若汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L，欲使每小时的油耗不超过9 L，则速度x的值可为( )A．60 B.80 C．100 D.1206．某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是_______ _．7．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V的取值范围为________．8．某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？9．2020年11月23日，贵州宣布最后9个深度贫困县退出贫困县序列，这不仅标志着贵州省66个贫困县实现整体脱贫，这也标志着国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，全国脱贫攻坚目标任务已经完成．在脱贫攻坚过程中，某地县乡村三级干部在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后，为他家量身定制了脱贫计划，政府无息贷款10万元给该农户养羊，每万元可创造利润0.15万元．若进行技术指导，养羊的投资减少了x(x>0)万元，且每万元创造的利润变为原来的(1＋0.25x)倍．现将养羊少投资的x 万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为0.15(a－0.875x)万元，其中a>0.(1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求x的取值范围；(2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求a的最大值．10．为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入．据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名(x∈N且45≤x≤75)，调整后研发人员的年人均投入增加(4x)%，技术人员的年人均投入调整为a 万元．(1)要使这100－x名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？(2)是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入．若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由．课时作业(十六) 一元二次不等式的应用1．解析：设日利润为y元，则y＝(160－2x)·x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500，由y≥1300，解得20≤x≤45，即x的取值范围为{x∈N|20≤x≤45}．答案：D2．解析：设这批台灯的销售单价为x元，则[30－(x－15)×2]x>400，即x2－30x ＋200<0，因为方程x2－30x＋200＝0的两根为x1＝10，x2＝20，所以解x2－30x＋200<0得10<x<20，又因为x≥15，所以15≤x<20，因此，应将这批台灯的销售单价制定在15元到20元之间(包括15元但不包括20元)，才能使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．答案：C3．解析：设矩形的另一边长为y m，则由三角形相似知，＝ ，所以y＝40－x，因为xy≥300，所以x(40－x)≥300，即x2－40x＋300≤0，解得10≤x≤30.答案：C4．解析：由题意可得，×2400×≥900，整理可得t2－8t＋15≤0，解得3≤t≤5.答案：B5．解析：由汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L，∴＝11.5，解得k＝100，故每小时油耗为－20，由题意得－20≤9，解得：45≤x≤100，又60≤x≤120，故60≤x≤100，所以速度x的取值范围为[60，100].答案：ABC6．解析：根据题意，要使附加税不少于128万元，需×160×R%≥128，整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8].答案：[4，8]7．解析：第一次操作后，剩下的纯药液为V－10，第二次操作后，剩下的纯药液为V－10－×8，由题意可知：V－10－×8≤V·60%⇒V2－45V＋200≤0⇒5≤V≤40，因为V≥10，所以10≤V≤40.答案：10≤V≤408．解析：设提价后每本杂志的定价为x元，则销售总收入为·x≥200 000，即2x2－13x＋20≤0，解得2.5≤x≤4，所以，每本杂志的定价不低于2.5元且不超过4元时，提价后的销售总收入不低于20万元．9．解析：(1)由题意，得0.15(1＋0.25x)(10－x)≥0.15×10，整理得x2－6x≤0，解得0≤x≤6，又x>0，故0<x≤6.(2)由题意知网店销售的利润为0.15(a－0.875x)x万元，技术指导后，养羊的利润为0.15(1＋0.25x)(10－x)万元，则0.15(a－0.875x)x≤0.15(1＋0.25x)(10－x)恒成立，又0<x<10，∴a≤＋＋1.5恒成立，又＋≥5，当且仅当x＝4时等号成立，∴ 0<a≤6.5，即a的最大值为6.5.10．解析：(1)依题意可得调整后研发人员的年人均投入为[1＋(4x)%]a万元，则(100－x)[1＋(4x)%]a≥100a，(a>0 )解得0≤x≤75，∵45≤x≤75，所以调整后的技术人员的人数最多75人；(2)①由技术人员年人均投入不减少有a≥a，解得m≥＋1.②由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有(100－x)[1＋(4x) %]a≥xa，两边同除以ax得≥m－，整理得m≤＋＋3，故有＋1≤m≤＋＋3，因为＋＋3≥2＋3＝7，当且仅当x＝50时等号成立，所以m≤7，又因为45≤x≤75，当x＝75时，取得最大值7，所以m≥7，∴7≤m≤7，即存在这样的m满足条件，使得其范围为m∈{7}．。
高中数学一元二次不等式及其解法检测题(附答案)
高中数学一元二次不等式及其解法检测题（附答案）1．下列不等式的解集是的为()A．x2＋2x＋10 B.x20C．(12)x－1＜0 D.1x－3＞1x答案：D2．若x2－2ax＋20在R上恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－2，2] B．(－2，2)C．[－2，2) D．[－2，2]解析：选D.＝(－2a)2－410，－22.3．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个实根，则实数m的取值范围是________．解析：由＝(m－3)2－4m0可得．答案：m1或m94．若函数y＝kx2－6kx＋k＋8的定义域是R，求实数k的取值范围．解：①当k＝0时，kx2－6kx＋k＋8＝8满足条件；②当k＞0时，必有＝(－6k)2－4k(k＋8)0，解得0＜k1.综上，01.一、选择题1．已知不等式ax2＋bx＋c＜0(a0)的解集是R，则()A．a＜0，＞0 B．a＜0，＜0C．a＞0，＜0 D．a＞0，＞0答案：B2．不等式x2x＋1＜0的解集为()A．(－1,0)(0，＋) B．(－，－1)(0,1)C．(－1,0) D．(－，－1)答案：D3．不等式2x2＋mx＋n0的解集是{x|x＞3或x＜－2}，则二次函数y＝2x2＋mx＋n的表达式是()A．y＝2x2＋2x＋12 B．y＝2x2－2x＋12C．y＝2x2＋2x－12 D．y＝2x2－2x－12解析：选D.由题意知－2和3是对应方程的两个根，由根与系数的关系，得－2＋3＝－m2，－23＝n2.m＝－2，n＝－12.因此二次函数的表达式是y＝2x2－2x－12，故选D.4．已知集合P＝{0，m}，Q＝{x|2x2－5x＜0，xZ}，若P，则m等于()A．1 B．2C．1或25 D．1或2X k b 1 . c o m解析：选D.∵Q＝{x|0＜x＜52，xZ}＝{1,2}，m＝1或2. 5．如果A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝，则实数a的集合为() A．{a|0＜a＜4} B．{a|0a＜4}C．{a|0＜a D．{a|04}解析：选D.当a＝0时，有1＜0，故A＝.当a0时，若A＝，则有a＞0＝a2－4a0＜a综上，a{a|04}．6．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，xN)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是()A．100台 B．120台C．150台 D．180台解析：选C.3000＋20x－0.1x225xx2＋50x－300000，解得x －200(舍去)或x150.二、填空题7．不等式x2＋mx＋m2＞0恒成立的条件是________．解析：x2＋mx＋m2＞0恒成立，等价于＜0，即m2－4m2＜00＜m＜2.答案：0＜m＜28．(2019年高考上海卷)不等式2－xx＋4＞0的解集是________．解析：不等式2－xx＋4＞0等价于(x－2)(x＋4)＜0，－4＜x＜2.答案：(－4,2)9．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程．若该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和与t之间的关系)式为s＝12t2－2t，若累积利润s超过30万元，则销售时间t(月)的取值范围为__________．解析：依题意有12t2－2t＞30，解得t＞10或t＜－6(舍去)．答案：t＞10三、解答题10．解关于x的不等式(lgx)2－lgx－2＞0.解：y＝lgx的定义域为{x|x＞0}．又∵(lgx)2－lgx－2＞0可化为(lgx＋1)(lgx－2)＞0，lgx＞2或lgx＜－1，解得x＜110或x＞100.原不等式的解集为{x|0＜x＜110或x＞100}．11．已知不等式ax2＋(a－1)x＋a－1＜0对于所有的实数x 都成立，求a的取值范围．解：当a＝0时，不等式为－x－1＜0x＞－1不恒成立．当a0时，不等式恒成立，则有a＜0，＜0，即a＜0a－12－4aa－1＜0a＜03a＋1a－1＞0a＜0a＜－13或a＞1a＜－13.即a的取值范围是(－，－13)．12．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24000元，为了减少耕地损失，政府决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t万亩，为了既可减少耕地的损失又可保证此项税收一年不少于9000万元，则t应在什么范围内？解：由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为(20－52t)万亩．则税收收入为(20－52t)24000t%.由题意(20－52t)24000t%9000，整理得t2－8t＋150，解得35.当耕地占用税率为3%～5%时，既可减少耕地损失又可保证一年税收不少于9000万元．。
一元二次不等式的解法应用
f(x)≥a恒成立，求a的取值范围. 解 方法一 此二次函数图象的对称轴为x=a, ①当a∈(-∞,-1)时，结合图象知，f(x)在[-1,+∞)
上单调递增，f(x)min=f(-1)=2a+3,
要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a, 即2a+3≥a,解得a≥-3,又a<-1, ∴-3≤a<-1.
11.解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax (a∈R).
解
原不等式变形为ax2+(a-2)x-2≥0.
(1)当a=0时，原不等式变为-2x-2≥0, 故其解集为{x|x≤-1}；
(2)当a≠0时，不等式即为(ax-2)(x+1)≥0.
2 ①当a>0时，不等式即为 ( x )( x 1) 0, a 2 故其解集为 {x | x 或x 1}; a
．
【例3】（12分）已知不等式mx2-2x-m+1<0.
（1）若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范 围； （2）设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立, 求x的取值范围. 思维启迪 （1）由于二次项系数含有字母，所以首 先讨论m=0的情况，而后结合二次函数图象求解. （2）转换思想将其看成关于m的一元一次不等式， 利用其解集为［-2，2］，求参数x的范围.
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【2】若不等式 (m-2)x2+2(m-2)x-4<0 对于 x∈[-1,1]恒成立,则实数m 的取值范围是_______.
令 f ( x ) ( m 2) x 2 2( m 2) x 4,
m 2 0 0 m 2 或 f (1) 0 f (1) 0
一元二次不等式的应用题(附答案)
一分配问题1。
把若干颗花生分给若干只猴子。
如果每只猴子分3颗，就剩下8颗;如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子虽分到了花生，但不足5颗.问猴子有多少只,花生有多少颗？2.把一些书分给几个学生，如果每人分3本,那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本。
问这些书有多少本？学生有多少人？3.某中学为八年级寄宿学生安排宿舍,如果每间4人，那么有20人无法安排,如果每间8人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数。
4。
一群女生住若干家间宿舍，每间住4人，剩下19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不满.⑴如果有x间宿舍，那么可以列出关于x的不等式组：⑵可能有多少间宿舍、多少名学生？你得到几个解？它符合题意吗？二速度、时间问题1 爆破施工时,导火索燃烧的速度是0。
8cm/s，人跑开的速度是5m/s,为了使点火的战士在施工时能跑到100m以外的安全地区，导火索至少需要多长？2。
王凯家到学校2。
1千米,现在需要在18分钟内走完这段路。
已知王凯步行速度为90米/ 分，跑步速度为210米/分,问王凯至少需要跑几分钟？3.抗洪抢险,向险段运送物资,共有120公里原路程，需要1小时送到,前半小时已经走了50公里后，后半小时速度多大才能保证及时送到？三工程问题1。
一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方,现在要比原计划至少提前两天完成，则以后平均每天至少要比原计划多完成多少方土？2.用每分钟抽1。
1吨水的A型抽水机来抽池水，半小时可以抽完；如果改用B型抽水机，估计20分钟到22分可以抽完.B型抽水机比A型抽水机每分钟约多抽多少吨水？3。
某工人计划在15天里加工408个零件，最初三天中每天加工24个，问以后每天至少要加工多少个零件,才能在规定的时间内超额完成任务?1。
商场购进某种商品m件，每件按进价加价30元售出全部商品的65％,然后再降价10%，这样每件仍可获利18元，又售出全部商品的25%.（1）试求该商品的进价和第一次的售价；（2)为了确保这批商品总的利润率不低于25%，剩余商品的售价应不低于多少元？2。
高中数学必修5一元二次不等式及其解法精选题目(附答案)
高中数学必修5一元二次不等式及其解法精选题目（附答案）1．一元二次不等式我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系表题型一：一元二次不等式解法1.解下列不等式：(1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2；(3)4x2＋4x＋1>0；(4)－x2＋6x－10>0.题型二：三个“二次”关系的应用2.若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，则a ＋b 的值为( )A ．14B ．－10C ．10D ．－143.已知一元二次不等式x 2＋px ＋q ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，求不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集．题型三：解含参数的一元二次不等式4.解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a ＜0.巩固练习：1．不等式6x 2＋x －2≤0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23或x ≥12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23 2．设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <a 或x >1a B ．{x |x >a } C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >a 或x <1aD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 3．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)4．不等式mx 2－ax －1>0(m >0)的解集可能是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >14 B ．R C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13<x <32 D ．∅5．函数y ＝17－6x －x 2的定义域为( )A ．[－7,1]B ．(－7,1)C ．(－∞，－7]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－7)∪(1，＋∞)6．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－1≥0}，则∁U A ＝________.7．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的图象与x 轴的两个交点为(－1,0)和(3,0)，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是________．8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x <0.若f (a )≤3，则a 的取值范围是________．9．解关于x 的不等式x 2－3ax －18a 2>0. 10．若函数f (x )＝2 018ax 2＋2ax ＋2的定义域是R ，求实数a 的取值范围．参考答案：1.[解] (1)Δ＝49>0，方程2x 2＋5x －3＝0的两根为x 1＝－3，x 2＝12， 作出函数y ＝2x 2＋5x －3的图象，如图①所示．由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <12.(2)原不等式等价于3x 2－6x ＋2≥0.Δ＝12>0，解方程3x 2－6x ＋2＝0，得x 1＝3－33，x 2＝3＋33，作出函数y ＝3x 2－6x ＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤3－33或x ≥3＋33. (3)∵Δ＝0，∴方程4x 2＋4x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝－12.作出函数y ＝4x 2＋4x ＋1的图象如图所示．由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－12，x ∈R.(4)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0，∵Δ＝－4<0， ∴方程x 2－6x ＋10＝0无实根，∴原不等式的解集为∅. 2.解：由已知得，ax 2＋bx ＋2＝0的解为－12，13，且a <0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12＋13，2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×13，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.3.解：因为x 2＋px ＋q ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，所以x 1＝－12与x 2＝13是方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实数根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧13－12＝－p ，13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝16，q ＝－16 .所以不等式qx 2＋px ＋1＞0即为－16x 2＋16x ＋1＞0，整理得x 2－x －6＜0，解得－2＜x ＜3.即不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集为{x |－2＜x ＜3}．4.[解] 方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a ，函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，则当a ＜－1时，原不等式解集为{x |a ＜x ＜－1}；当a ＝－1时，原不等式解集为∅；当a ＞－1时，原不等式解集为{x |－1＜x ＜a }． 5.设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2＋(1－2a )x －2>0.5.解：(1)当a ＝0时， 不等式可化为x －2>0，解得x >2，即原不等式的解集为{x |x >2}．(2)当a ≠0时，方程ax 2＋(1－2a )x －2＝0的两根分别为2和－1a .①当a <－12时，解不等式得－1a <x <2，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1a <x <2；②当a ＝－12时，不等式无解，即原不等式的解集为∅；③当－12<a <0时，解不等式得2<x <－1a ，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2<x <－1a ； ④当a >0时，解不等式得x <－1a 或x >2，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1a 或x >2. 练习：1.解析：选A 因为6x 2＋x －2≤0⇔(2x －1)·(3x ＋2)≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12. 2.解析：选A ∵a <－1，∴a (x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0⇔(x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0.又a <－1，∴1a >a ，∴x >1a 或x <a .3.解析：选B 由a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2＝x 2＋x －2<0，所以－2<x <1.4.解析：选A 因为Δ＝a 2＋4m >0，所以函数y ＝mx 2－ax －1的图象与x 轴有两个交点，又m >0，所以原不等式的解集不可能是B 、C 、D ，故选A.5.解析：选B 由7－6x －x 2>0，得x 2＋6x －7<0，即(x ＋7)(x －1)<0，所以－7<x <1，故选B.6.解析：∁U A ＝{x |x 2－1<0}＝{x |－1<x <1}． 答案：{x |－1<x <1}7.解析：根据二次函数的图象知所求不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)8.解析：当a ≥0时，a 2＋2a ≤3，∴0≤a ≤1；当a <0时，－a 2＋2a ≤3，∴a <0.综上所述，a 的取值范围是(－∞，1]．9.解：将x 2－3ax －18a 2>0变形得(x －6a )(x ＋3a )>0， 方程(x －6a )(x ＋3a )＝0的两根为6a ，－3a .所以当a >0时，6a >－3a ，原不等式的解集为{x |x <－3a 或x >6a }；当a ＝0时，6a ＝－3a ＝0，原不等式的解集为{x |x ≠0}； 当a <0时，6a <－3a ，原不等式的解集为{x |x <6a 或x >－3a }． 10.解：因为f (x )的定义域为R ，所以不等式ax 2＋2ax ＋2>0恒成立． (1)当a ＝0时，不等式为2>0，显然恒成立；(2)当a ≠0时，有⎩⎨⎧ a >0，Δ＝4a 2－8a <0，即⎩⎨⎧a >0，0<a <2，所以0<a <2.综上可知，实数a 的取值范围是[0,2)．。
高中数学 第二章 等式与不等式 2.2.3 一元二次不等式的解法练习(含解析)新人教B版必修第一册-
2.2.3 一元二次不等式的解法最新课程标准：从函数观点看一元二次不等式．①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．②借助一元二次函数的图像，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.知识点二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系Δ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}{x|x≠－b2a}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅状元随笔一元二次不等式的解法：(1)图像法：一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图像简图；③由图像得出不等式的解集．对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p<q时，若(x－p)(x－q)>0，则x>q或x<p；若(x－p)(x－q)<0，则p<x<q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”．[基础自测]1．下列不等式中是一元二次不等式的是( )A．a2x2＋2≥0 B.1x2<3C．－x2＋x－m≤0 D．x3－2x＋1>0解析：选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．答案：C2．不等式x(x＋1)≤0的解集为( )A．[－1，＋∞) B．[－1,0)C．(－∞，－1] D．[－1,0]解析：解不等式得－1≤x≤0，故选D.答案：D3．函数y＝17－6x－x2的定义域为( )A．[－7,1]B．(－7,1)C．(－∞，－7]∪[1，＋∞)D．(－∞，－7)∪(1，＋∞)解析：由7－6x－x2>0，得x2＋6x－7<0，即(x＋7)(x－1)<0，所以－7<x<1，故选B. 答案：B4．不等式1＋2x＋x2≤0的解集为________．解析：不等式1＋2x＋x2≤0化为(x＋1)2≤0，解得x＝－1.答案：{－1}题型一解不含参数的一元二次不等式[教材P65例1 P66例3、例4]例1 (1)求不等式x2－x－2>0的解集．(2)求不等式x2－6x－1≤0的解集．(3)求不等式－x2＋2x－1<0的解集．【解析】(1)因为x2－x－2＝(x＋1)(x－2)，所以原不等式等价于(x＋1)(x－2)>0，因此所求解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．(2)因为x2－6x－1＝x2－6x＋9－9－1＝(x－3)2－10，所以原不等式可化为(x－3)2－10≤0，即(x－3)2≤10，两边开平方得|x－3|≤10，从而可知－10≤x－3≤10，因此3－10≤x≤3＋10，所以不等式的解集为[3－10，3＋10]．(3)原不等式可化为x2－2x＋1>0，又因为x2－2x＋1＝(x－1)2，所以上述不等式可化为(x－1)2>0.注意到只要x≠1，上述不等式就成立，所以不等式的解集为(－∞，1)∪(1，＋∞).教材反思我们以求解可化成ax2＋bx＋c>0(a>0)形式的不等式为例，用框图表示其求解过程．跟踪训练1 解下列不等式： (1)x 2－7x ＋12>0； (2)－x 2－2x ＋3≥0； (3)x 2－2x ＋1<0； (4)－2x 2＋3x －2<0.解析：(1)因为Δ＝1＞0，所以方程x 2－7x ＋12＝0有两个不等实根x 1＝3，x 2＝4.再根据函数y ＝x 2－7x ＋12的图像开口向上，可得不等式x 2－7x ＋12＞0的解集是{x |x ＜3或x ＞4}．(2)不等式两边同乘－1，原不等式可化为x 2＋2x －3≤0.因为Δ＝16＞0，所以方程x 2＋2x －3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝1.再根据函数y ＝x 2＋2x －3的图像开口向上，可得不等式－x 2－2x ＋3≥0的解集是{x |－3≤x ≤1}．(3)因为Δ＝0，所以方程x 2－2x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝1.再根据函数y ＝x 2－2x ＋1的图像开口向上，可得不等式x 2－2x ＋1＜0的解集为∅.(4)原不等式可化为2x 2－3x ＋2＞0，因此Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图像开口向上，所以原不等式的解集为R .状元随笔化二次项系数为正―→计算相应方程的判别式Δ及两根x 1，x 2――→函数图像结果题型二 三个“二次”之间的关系[经典例题]例2 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．【解析】 方法一 由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系可知b a ＝－5，c a ＝6.由a <0知c <0，b c ＝－56，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即x 2＋b c x ＋a c >0，即x 2－56x ＋16>0，解得x <13或x >12，所以不等式cx2＋bx ＋a <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 方法二 由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以ax 2＋bx ＋c ＝a (x －2)(x －3)＝ax 2－5ax ＋6a ⇒b ＝－5a ，c ＝6a ，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即6ax 2－5ax ＋a <0⇒6a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0，故原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 状元随笔由给定不等式的解集形式→确定a<0及关于a ，b ，c 的方程组→ 用a 表示b ，c →代入所求不等式→求解cx 2＋bx ＋a<0的解集 方法归纳一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．(2)若一元二次不等式的解集为R 或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图像与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的X 围．跟踪训练2 已知一元二次不等式x 2＋px ＋q <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，求不等式qx 2＋px ＋1>0的解集．解析：因为x2＋px ＋q <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，所以x 1＝－12与x 2＝13是方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实数根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧13－12＝－p ，13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝16，q ＝－16.所以不等式qx 2＋px ＋1>0即为－16x 2＋16x ＋1>0，整理得x 2－x －6<0，解得－2<x <3.即不等式qx 2＋px ＋1>0的解集为{x |－2<x <3}． 状元随笔观察给定不等式的解集形式→由根与系数的关系得p ，q 的方程组→确定p ，q 的值→求不等式qx 2＋px ＋1>0的解集题型三 含参数的一元二次不等式的解法[经典例题] 例3 解关于x 的不等式2x 2＋ax ＋2>0.【解析】 对于方程2x 2＋ax ＋2＝0，其判别式Δ＝a 2－16＝(a ＋4)(a －4)．①当a >4或a <－4时，Δ>0，方程2x 2＋ax ＋2＝0的两根为x 1＝14(－a －a 2－16)，x 2＝14(－a ＋a 2－16)．∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <14(－a －a 2－16)或x >14(－a ＋a 2－16). ②当a ＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x 1＝x 2＝－1， ∴原不等式的解集为{x |x ≠－1}．③当a ＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x 1＝x 2＝1， ∴原不等式的解集为{x |x ≠1}．④当－4<a <4时，Δ<0，方程无实根，∴原不等式的解集为R .状元随笔 二次项系数为2，Δ＝a 2－16不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数.方法归纳含参数一元二次不等式求解步骤(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图像的开口方向； (2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图像与x 轴交点的个数； (3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；(4)最后按照系数中的参数取值X 围，写出一元二次不等式的解集． 跟踪训练3 解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0.解析：原不等式可变形为(x －a )·(x －a 2)>0，则方程(x －a )(x －a 2)＝0的两个根为x 1＝a ，x 2＝a 2，(1)当a <0时，有a <a 2，∴x <a 或x >a 2，此时原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}； (2)当0<a <1时，有a >a 2，即x <a 2或x >a ，此时原不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }； (3)当a >1时，有a 2>a ，即x <a 或x >a 2，此时原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}； (4)当a ＝0时，有x ≠0；∴原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； (5)当a ＝1时，有x ≠1，此时原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠1}； 综上可知：当a <0或a >1时，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}； 当0<a <1时，原不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠1}．状元随笔不等式左边分解因式→讨论a 的X 围→ 比较a 与a 2的大小→写出不等式的解集题型四 一元二次不等式的实际应用[经典例题]例4 某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x (百台)，其总成本为g (x )万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入r (x )满足r (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋7x －10.5，0≤x ≤7，13.5，x ＞7.假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求： (1)要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么X 围？(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？【解析】 (1)依题意得g (x )＝x ＋3，设利润函数为f (x )，则f (x )＝r (x )－g (x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋6x －13.5，0≤x ≤7，10.5－x ，x ＞7，要使工厂有盈利，则有f (x )>0，因为f (x )>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，－0.5x 2＋6x －13.5＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞7，10.5－x ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，x 2－12x ＋27＜0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞7，10.5－x ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，3＜x ＜9或⎩⎪⎨⎪⎧x >7，x <10.5.则3＜x ≤7或7＜x ＜10.5，即3＜x ＜10.5，所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1 050台的X 围内．(2)当3＜x ≤7时，f (x )＝－0.5(x －6)2＋4.5，故当x ＝6时，f (x )有最大值4.5，而当x ＞7时，f (x )＜10.5－7＝3.5，所以当工厂生产600台产品时盈利最大.(1)求利润函数f(x)⇒解不等式f(x)>0⇒回答实际问题． (2)根据第(1)题所求X 围，分类讨论求函数最值⇒回答实际问题． 方法归纳解不等式应用题的四步骤(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系． (2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系． (3)求：解不等式． (4)答：回答实际问题．特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．跟踪训练4 某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x ≠0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点．(1)写出税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值X 围． 解析：(1)降低税率后的税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万担，收购总金额为200a (1＋2x %)依题意得，y ＝200a (1＋2x %)(10－x )% ＝150a (100＋2x )(10－x )(0<x <10)． (2)原计划税收为200a ·10%＝20a (万元)． 依题意得，150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%，化简得x 2＋40x －84≤0， ∴－42≤x ≤2.又∵0＜x ＜10，∴0＜x ≤2. ∴x 的取值X 围是{x |0＜x ≤2}．状元随笔 根据题意，列出各数量之间的关系表，如下：原计划 降税后 价格(元/担)200 200税率 10% (10－x)%(0<x<10)收购量(万担) a a(1＋2x%) 收购总金额(万元) 200a 200·a(1＋2x%) 税收y(万元)200a·10%200·a(1＋2x%)(10－x)%课时作业 12一、选择题1．不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1<x <13 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <1C ．∅D ．R解析：因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝－8<0，所以抛物线y ＝3x 2－2x ＋1开口向上，与x 轴无交点，故3x 2－2x ＋1>0恒成立，即不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为R .答案：D2．设m ＋n >0，则关于x 的不等式(m －x )(n ＋x )>0的解集是( ) A ．{x |x <－n 或x >m } B ．{x |－n <x <m } C ．{x |x <－m 或x >n } D ．{x |－m <x <n }解析：不等式(m －x )(n ＋x )>0可化为(x －m )(x ＋n )<0，方程(x －m )(x ＋n )＝0的两根为x 1＝m ，x 2＝－n .由m ＋n >0，得m >－n ，则不等式(x －m )(x ＋n )<0的解集是{x |－n <x <m }，故选B.答案：B 3．不等式ax2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <12，则a ，c 的值分别为( ) A ．a ＝6，c ＝1 B ．a ＝－6，c ＝－1 C ．a ＝1，c ＝1 D ．a ＝－1，c ＝－6解析：由题意知，方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两根为x 1＝13，x 2＝12，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝13＋12＝－5a ，x 1·x 2＝13×12＝ca.解得a ＝－6，c ＝－1.答案：B4．若不等式x 2＋mx ＋m2>0的解集为R ，则实数m 的取值X 围是( )A ．(2，＋∞) B．(－∞，2) C ．(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(0,2)解析：由题意知原不等式对应方程的Δ<0，即m 2－4×1×m2<0，即m 2－2m <0，解得0<m <2，故答案为D.答案：D 二、填空题5．不等式(2x －5)(x ＋3)<0的解集为________．解析：方程(2x －5)(x ＋3)＝0的两根为x 1＝52，x 2＝－3，函数y ＝(2x －5)(x ＋3)的图像与x 轴的交点坐标为(－3,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，所以不等式(2x －5)(x ＋3)<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <52.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －3<x <52 6．不等式2x －12x ＋1<0的解集为________． 解析：原不等式可以化为(2x －1)(2x ＋1)<0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<0， 故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x <12. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x <12 7．用一根长为100 m 的绳子能围成一个面积大于600 m 2的矩形吗？若“能”，当长＝________ m ，宽＝________ m 时，所围成的矩形的面积最大．解析：设矩形一边的长为x m ，则另一边的长为(50－x )m,0<x <50.由题意，得x (50－x )>600，即x 2－50x ＋600<0，解得20<x <30.所以，当矩形一边的长在(20,30)的X 围内取值时，能围成一个面积大于600 m 2的矩形．用S 表示矩形的面积，则S ＝x (50－x )＝－(x －25)2＋625(0<x <50)．当x ＝25时，S 取得最大值，此时50－x ＝25.即当矩形的长、宽都为25 m 时，所围成的矩形的面积最大．答案：25 25三、解答题8．解下列不等式：(1)x 2＋2x －15>0；(2)x 2－3x ＋5>0；(3)4(2x 2－2x ＋1)>x (4－x )．解析：(1)x 2＋2x －15>0⇔(x ＋5)(x －3)>0⇔x <－5或x >3，所以不等式的解集是{x |x <－5或x >3}．(2)因为Δ＝(－3)2－4×1×5＝－11<0，再根据函数y ＝x 2－3x ＋5图像的开口方向，所以原不等式的解集为R .(3)由原不等式得8x 2－8x ＋4>4x －x 2.∴原不等式等价于9x 2－12x ＋4>0.解方程9x 2－12x ＋4＝0，得x 1＝x 2＝23.结合二次函数y ＝9x 2－12x ＋4的图像知，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠23. 9．若关于x的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <13或x >12，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，13＋12＝－b a ，13×12＝c a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，b ＝－56a >0，c ＝16a <0， 代入不等式cx 2－bx ＋a >0中得16ax 2＋56ax ＋a >0(a <0)． 即16x 2＋56x ＋1<0，化简得x 2＋5x ＋6<0， 所以所求不等式的解集为{x |－3<x <－2}． [尖子生题库] 10．解关于x 的不等式x 2－ax －2a 2<0.解析：方程x 2－ax －2a 2＝0的判断式Δ＝a 2＋8a 2＝9a 2≥0，得方程两根x 1＝2a ，x 2＝－a .(1)若a >0，则－a <x <2a ，此时不等式的解集为{x |－a <x <2a }；(2)若a <0，则2a <x <－a ，此时不等式的解集为{x |2a <x <－a }；(3)若a ＝0，则原不等式即为x 2<0，此时解集为∅.综上所述，原不等式的解集为：当a >0时，{x |－a <x <2a }；当a <0时，{x |2a <x <－a }；当a ＝0时，∅.。
(精选试题附答案)高中数学第二章一元二次函数方程和不等式典型例题
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第二章一元二次函数方程和不等式典型例题单选题1、已知函数y =x −4+9x+1(x >−1)，当x =a 时，y 取得最小值b ，则a +b =（）A ．−3B ．2C ．3D ．8答案：C分析：通过题意可得x +1>0，然后由基本不等式即可求得答案解：因为x >−1，所以9x+1>0,x +1>0，所以y =x −4+9x+1=x +1+9x+1−5≥2√(x +1)⋅9x+1−5=1,当且仅当x +1=9x+1即x =2时，取等号，所以y 的最小值为1，所以a =2,b =1，所以a +b =3，故选：C2、已知a,b 为正实数且a +b =2，则b a +2b 的最小值为（ ）A ．32B ．√2+1C ．52D ．3答案：D分析：由题知b a +2b =2(1a +1b )−1，再结合基本不等式求解即可.解：因为a,b 为正实数且a +b =2，所以b =2−a ，所以，b a +2b =2−a a +2b =2a +2b −1=2(1a +1b )−1 因为2a +2b =2(1a +1b )=(a +b )(1a +1b )=2+b a +a b ≥2+2=4，当且仅当a =b =1时等号成立；所以b a +2b =2−a a +2b =2a +2b −1≥3，当且仅当a =b =1时等号成立； 故选：D3、若不等式ax 2+bx −2<0的解集为{x|−2<x <1}，则a +b =（ ）A ．−2B ．0C ．1D ．2答案：D分析：根据一元二次不等式与一元二次方程的关系以及韦达定理列方程组，可解出答案．不等式ax 2+bx −2<0的解集为{x|−2<x <1}，则方程ax 2+bx −2=0根为−2、1，则{−b a =−2+1−2a =−2×1，解得a =1,b =1，∴a +b =2， 故选：D4、权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a ，b ，x ，y >0，则a 2x +b 2y ≥(a+b )2x+y ，当且仅当a x =b y 时等号成立．根据权方和不等式，函数f(x)=2x +91−2x (0<x <12)的最小值为（ ）A ．16B ．25C ．36D ．49答案：B分析：将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答.因a ，b ，x ，y >0，则a 2x +b 2y ≥(a+b )2x+y ，当且仅当a x =b y 时等号成立， 又0<x <12，即1−2x >0，于是得f(x)=222x +321−2x ≥(2+3)22x+(1−2x)=25，当且仅当22x =31−2x ，即x =15时取“=”，所以函数f(x)=2x +91−2x (0<x <12)的最小值为25.故选：B5、不等式x−1x+2<0的解集为（ ）A ．{x|x >1}B ．{x|x <−2}C ．{x|−2<x <1}D ．{x|x >1或x <−2}答案：C解析：由x−1x+2<0等价于(x −1)(x +2)<0，进而可求出不等式的解集.由题意，x−1x+2<0等价于(x −1)(x +2)<0，解得−2<x <1，所以不等式x−1x+2<0的解集为{x|−2<x <1}.故选：C.小提示：本题考查分式不等式的解集，考查学生的计算能力，属于基础题.6、关于x 的不等式ax 2−(a 2+1)x +a <0的解集为{x|x 1<x <x 2}，且x 2−x 1=1，则a 2+a −2=（）A ．3B ．32C ．2D ．23答案：A分析：根据一元二次不等式与解集之间的关系可得x 1+x 2=a +1a 、x 1x 2=1，结合(x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2计算即可.由不等式ax 2−(a 2+1)x +a <0的解集为{x |x 1<x <x 2}，得a >0，不等式对应的一元二次方程为ax 2−(a 2+1)x +a =0，方程的解为x 1、x 2，由韦达定理，得x 1+x 2=a 2+1a =a +1a ，x 1x 2=1，因为x 2−x 1=1，所以(x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=1，即(a +1a )2−4=1，整理，得a 2+a −2=3.故选：A7、已知x >0，y >0，x +2y =1，则1x +1y 的最小值为（ ）A．3+2√2B．12C．8+4√3D．6答案：A分析：根据基本不等中“1”的用法，即可求出结果. 因为x>0，y>0，x+2y=1，所以(1x +1y)(x+2y)=3+2yx+xy≥3+2√2，当且仅当2yx =xy，即x=√2−1,y=2−√22时，等号成立.故选：A.8、已知x∈R，则“(x−2)(x−3)≤0成立”是“|x−2|+|x−3|=1成立”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要答案：C分析：先证充分性，由（x−2）(x−3）≤0求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简|x−2|+|x−3|即可，再证必要性，若|x−2|+|x−3|=1，即|x−2|+|x−3|=|（x−2）−（x−3）|，再根据绝对值的性质可知（x−2）(x−3）≤0．充分性：若（x−2）(x−3）≤0，则2≤x≤3，∴|x−2|+|x−3|=x−2+3−x=1，必要性：若|x−2|+|x−3|=1，又∵|（x−2）−（x−3）|=1，∴|x−2|+|x−3|=|（x−2）−（x−3）|，由绝对值的性质：若ab≤0，则|a|+|b|=|a−b|，∴（x−2）(x−3）≤0，所以“（x−2）(x−3）≤0成立”是“|x−2|+|x−3|=1成立”的充要条件，故选：C．9、已知x,y,z都是正实数，若xyz=1，则(x+y)(y+z)(z+x)的最小值为（）A．2B．4C．6D．8答案：D分析：均值定理连续使用中要注意等号是否同时成立.由x>0,y>0,z>0可知x+y≥2√xy>0（当且仅当x=y时等号成立）y+z≥2√yz>0（当且仅当y=z时等号成立）x+z≥2√xz>0（当且仅当x=z时等号成立）以上三个不等式两边同时相乘，可得(x+y)(y+z)(z+x)≥8√x2y2z2=8（当且仅当x=y=z=1时等号成立）故选：D10、已知关于x的不等式(2a+3m)x2−(b−3m)x−1>0(a>0,b>0)的解集为(−∞,−1)∪(12,+∞)，则下列结论错误的是（）A．2a+b=1B．ab的最大值为18C．1a +2b的最小值为4D．1a+1b的最小值为3+2√2答案：C分析：根据不等式的解集与方程根的关系，结合韦达定理，求得2a+3m=2，b−3m=−1，可判定A正确；结合基本不等式和“1”的代换，可判断B正确，C错误，D正确.由题意，不等式(2a+3m)x2−(b−3m)x−1>0的解集为(−∞,−1]∪[12,+∞)，可得2a+3m>0，且方程(2a+3m)x2−(b−3m)x−1=0的两根为−1和12，所以{−1+12=b−3m2a+3m−1×12=−12a+3m，所以2a+3m=2，b−3m=−1，所以2a+b=1，所以A正确；因为a>0，b>0，所以2a+b=1≥2√2ab，可得ab≤18，当且仅当2a=b=12时取等号，所以ab的最大值为18，所以B正确；由1a +2b=(1a+2b)(2a+b)=4+ba+4ab≥4+2√ba⋅4ab=4+4=8，当且仅当ba =4ab时，即2a=b=12时取等号，所以1a+2b的最小值为8，所以C错误；由1a +1b=(1a+1b)(2a+b)=3+ba+2ab≥3+2√ba⋅2ab=3+√2，当且仅当ba =2ab时，即b=√2a时，等号成立，所以1a +1b的最小值为3+2√2，所以D正确．故选：C．填空题11、已知实数x≥y>0,z>0，则2x+3y+4z2x+y +2xy+2z的最小值为_________．答案：4√33+1分析：依题意可得2x+3y+4z2x+y +2xy+2z=1+2(y+2z2x+y+xy+2z)，利用基本不等式及x与y的关系计算可得；解：因为x≥y>0,z>0，所以2x+3y+4z2x+y +2xy+2z=2x+y+2(y+2z)2x+y+2xy+2z=1+2(y+2z2x+y+xy+2z)≥1+2×2√y+2z2x+y⋅xy+2z=1+4√x2x+y=1+4√12+yx因为x≥y>0，所以yx≤1，所以原式≥1+4√12+1=1+43√3，当且仅当x=y=(√3+1)z时取等号．所以答案是：4√33+112、已知a为常数，若关于x的不等式2x2−6x+a<0的解集为(m,2)，则m=______．答案：1分析：根据给定条件可得m ，2是方程2x 2−6x +a =0的两个根，借助韦达定理计算作答.因关于x 的不等式2x 2−6x +a <0的解集为(m,2)，则m ，2是方程2x 2−6x +a =0的两个根，因此有{m +2=32m =a 2，解得m =1,a =4，所以m =1.所以答案是：113、已知正实数x ，y 满足1x +1y =1，则x +4y 最小值为______．答案：9分析：利用基本不等式的性质直接求解即可.∵正数x ，y 满足：1x +1y =1，∴ x +4y =(x +4y )⋅(1x +1y )=5+4y x +x y ≥5+2√4y x ⋅x y =9， 当且仅当4y x =x y，即x =2y ，x =3，y =32时 “=”成立， 所以答案是：9.14、为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为V 的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V 的取值范围为___________.答案：10≤V ≤40分析：根据题意列出不等式，最后求解不等式即可.第一次操作后，利下的纯药液为V −10，第二次操作后，利下的纯药液为V −10−V−10V ×8，由题意可知： V −10−V−10V ×8≤V ⋅60%⇒V 2−45V +200≤0⇒5≤V ≤40，因为V ≥10，所以10≤V ≤40，所以答案是：10≤V ≤4015、方程x 2−(2−a )x +5−a =0的两根都大于2，则实数a 的取值范围是_____．答案：−5<a ≤−4分析：根据一元二次方程根的分布即可求解.解：由题意，方程x 2－(2－a)x +5－a =0的两根都大于2，令f(x)=x 2－(2－a)x +5－a ，可得{△≥0f(2)>02−a 2>2 ，即{a 2≥16a +5>02−a >4 ，解得－5<a ≤－4． 所以答案是：−5<a ≤−4.解答题16、某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本（即需另增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数为R =5x −12x 2(0≤x ≤5)，其中x 是产品生产并售出的数量（单位：百台）.（1）把利润表示为产量的函数.（2）产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）；（3）产量为多少时，企业所得利润最大？答案：（1）y ={−12x 2+194x −12(0≤x ≤5)12−14x(x >5)；（2）年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本；（3）年产量为475台时，企业所得利润最大.分析：（1）依题意对0≤x ≤5与x >5分类讨论，分别求出函数解析式，再写成分段函数形式即可；（2）要使企业不亏本，则y ≥0，根据（1）中函数解析式分类讨论，分别解得即可；（3）根据二次函数的性质计算可得；解：（1）设利润为y 万元，当0≤x ≤5时，y =5x −12x 2−0.25x −0.5，当x >5时y =5×5−12×52−0.25x −0.5=12−14x ， 综上可得y ={−12x 2+194x −12(0≤x ≤5)12−14x(x >5)； （2）要使企业不亏本，则y ≥0.即{0≤x ≤5,−12x 2+4.75x −0.5≥0 或{x >5,12−0.25x ≥0, 得0.11≤x ≤5或5<x ≤48，即0.11≤x ≤48.即年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本.（3）显然当0≤x ≤5时，企业会获得最大利润，此时，y =−12(x −4.75)2+10.78125，∴x =4.75，即年产量为475台时，企业所得利润最大.17、设2<a <7，1<b <2，求a +3b ，2a −b ，a b 的范围. 答案：5<a +3b <13，2<2a −b <13，1<a b <7分析：根据不等式的基本性质，先求出a +3b 与2a −b 的范围，再由可乘性得出a b 的范围即可.∵2<a <7，1<b <2，∴4<2a <14，3<3b <6，−2<−b <−1，12<1b <1，∴5<a +3b <13，2<2a −b <13，∴1<a b <7.故5<a +3b <13，2<2a −b <13，1<a b <7． 18、（1）已知正数a 、b 满足1a +2b =1，求ab 的最小值；（2）已知x <1，求函数f(x)=x +1x−1的最大值．答案：（1）8；（2）－1分析：（1）运用基本不等式由1a +2b≥2√2ab，可求得ab的最小值；（2）原式可变形为f(x)=(x−1)+1x−1+1，运用基本不等式可求得f(x)=x+1x−1的最大值．（1）因为正数a，b满足1a +2b=1，所以1a +2b≥2√1a⋅2b=2√2ab，得ab≥8，当且仅当1a =2b时，即a=2,b=4时取等号，则ab的最小值为8；（2）因为x<1，所以x−1<0，所以f(x)=x+1x−1=(x−1)+1x−1+1≤−2√(x−1)⋅1x−1+1=−1当且仅当x−1=1x−1，即x=0时取等号，所以f(x)=x+1x−1的最大值为－1．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．19、已知关于x的不等式2kx2+kx−38<0，k≠0（1）若k=18，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为R，求k的取值范围．答案：（1）(−32,1)；（2）(−3,0)分析：（1）将k=18代入不等式，根据一元二次不等式的解法即可求解.（2）根据关于x的不等式2kx2+kx−38<0的解集为R．又因为k≠0，利用判别式法求解.（1）将k =18代入不等式，可得14x 2+18x −38<0，即2x 2+x −3<0 所以−32和1是方程2x 2+x −3=0的两个实数根， 所以不等式的解集为{x |−32 <x <1} 即不等式的解集为(−32,1)．（2）因为关于x 的不等式2kx 2+kx −38<0的解集为R ． 因为k ≠0所以{2k <0,Δ=k 2+3k <0，解得−3<k <0， 故k 的取值范围为(−3,0)．。
一元二次不等式的应用含答案
课时作业17 一元二次不等式的应用时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．不等式(1－|x |)(1＋x )>0的解集为( ) A ．{x |x <1} B ．{x |x <－1} C ．{x |－1<x <1} D ．{x |x <－1或－1<x <1} 【答案】 D 【解析】原不等式可化为⎩⎨⎧x ≥0且x ≠1(1－x )(1＋x )>0，或⎩⎨⎧x <0且x ≠－1(1＋x )(1＋x )>0.即0≤x <1或x <0且x ≠－1.∴x <1且x ≠－1，故选D.2．如果方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是( )A ．(－2，2)B ．(－2,0)C ．(－2,1)D ．(0,1)【答案】 D【解析】 令f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋m 2－2，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)<0f (－1)<0，∴⎩⎨⎧m 2＋m －2<0m 2－m <0，∴0<m <1.3．已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】(0,8)【解析】不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，即Δ＝(－a)2－8a<0，∴0<a<8，即a的取值范围是(0,8)．4．解不等式：(1)(x＋2)(x＋1)(x－1)(x－2)≤0.(2)3x－5x2＋2x－3≤2.【分析】(1)本题考查高次不等式的解法．应用等价转化的方法显得较繁琐，可利用数轴标根法来解．(2)考查分式不等式的解法．给出的不等式并非分式不等式的标准形式，要通过移项、通分的办法将其化为标准形式再解．【解析】(1)设y＝(x＋2)(x＋1)(x－1)(x－2)，则y＝0的根分别是－2，－1,1,2，将其分别标在数轴上，其画出示意图如下：∴不等式的解集是{x|－2≤x≤－1或1≤x≤2}．(2)原不等式等价变形为3x－5x2＋2x－3－2≤0，即－2x2－x＋1x2＋2x－3≤0，即2x2＋x－1x2＋2x－3≥0，即⎩⎨⎧(2x 2＋x －1)(x 2＋2x －3)≥0，x 2＋2x －3≠0，即等价变形为⎩⎨⎧(2x －1)(x ＋1)(x ＋3)(x －1)≥0，x ≠－3且x ≠1.画出示意图如下：可得原不等式的解集为 {x |x <－3或－1≤x ≤12或x >1}．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分) 1．不等式x －3x ＋2<0的解集为( )A ．{x |－2<x <3}B ．{x |x <－2}C ．{x |x <－2或x >3}D ．{x |x >3}【答案】 A【解析】 不等式x －3x ＋2<0可转化为(x ＋2)(x －3)<0，解得－2<x <3.2．不等式(x 2－4x －5)(x 2＋4)<0的解集为( ) A ．{x |0<x <5} B ．{x |－1<x <5} C ．{x |－1<x <0} D ．{x |x <－1或x >5} 【答案】 B【解析】 原不等式等价于x 2－4x －5<0.3．不等式x ＋ax 2＋4x ＋3≥0的解集为{x |－3<x <－1或x ≥2}，则a的值为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12【答案】 B【解析】 原不等式可化为x ＋a (x ＋1)(x ＋3)≥0，等价于⎩⎨⎧(x ＋a )(x ＋1)(x ＋3)≥0(x ＋1)(x ＋3)≠0，由题意得对应方程的根为－3，－1，2，∴a＝－2.4．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．－4≤a ≤4B ．－4<a <4C ．a ≥4或a ≤－4D ．a <－4或a >4【答案】 D【解析】 不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16>0，∴a <－4或a >4，故选D.5．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集是( )A ．[－3，12]B ．[－12，3]C ．[12，1)∪(1,3] D ．[－12，1)∪(1,3]【答案】 D【解析】 ∵(x －1)2>0， 由x ＋5(x －1)2≥2可得：x ＋5≥2(x －1)2，且x ≠1. ∴2x 2－5x －3≤0且x ≠1，∴－12≤x ≤3且x ≠1. ∴不等式的解集是[－12，1)∪(1,3]． 6．不等式x ＋2x －1>－2的解集是( )A ．(－1,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(－1,1)∪(1，＋∞)【答案】 B【解析】 不等式移项通分，得x (x －1)＋2－(－2)(x －1)x －1>0，整理得x (x ＋1)x －1>0，不等式等价于⎩⎨⎧x －1>0，x (x ＋1)>0(1)，或⎩⎨⎧x －1<0，x (x ＋1)<0(2)，解(1)得，x >1；解(2)得，－1<x <0. 所以不等式的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．7．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(0，12]恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3【答案】 C【解析】 x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(0，12]恒成立，等价于a ≥－x －1x 时对一切x ∈(0，12]恒成立．设f (x )＝－x －1x .∵f (x )在(0，12]上单调递增， ∴f (x )max ＝f (12)＝－52. ∴a ≥－52.∴a 的最小值为－52，故选C.8．定义运算：a *b ＝a ·(2－b )，若不等式(x －m )*(x ＋m )<1对任意实数x 都成立，则( )A ．－1<m <0B ．0<m <2C ．－32<m <12D ．－12<m <32【答案】 B【解析】 因为a *b ＝a ·(2－b )，所以(x －m )*(x ＋m )＝(x －m )·(2－x －m )＝－(x －m )[x －(2－m )]，所以(x －m )*(x ＋m )<1可化为x 2－2x －m 2＋2m ＋1>0，令x 2－2x －m 2＋2m ＋1＝0，所以Δ＝4＋4(m 2－2m－1)＝4(m 2－2m )<0，即0<m <2，故选B.二、填空题(每小题10分，共20分) 9．不等式x －2x 2－1<0的解集为________．【答案】 {x |x <－1或1<x <2}【解析】 因为不等式x －2x 2－1<0等价于(x ＋1)(x －1)·(x －2)<0，所以该不等式的解集是{x |x <－1或1<x <2}．10．函数f (x )＝kx 2－6kx ＋(k ＋8)的定义域为R ，则实数k 的取值范围为________．【答案】 [0,1]【解析】 kx 2－6kx ＋(k ＋8)≥0恒成立， 当k ＝0时，满足．当k ≠0时，⎩⎨⎧k >0，Δ＝(－6k )2－4k (k ＋8)≤0⇒0<k ≤1.∴0≤k ≤1.三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．若不等式x 2－8x ＋20mx 2＋2(m ＋1)x ＋9m ＋4>0对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围．【解析】 ∵x 2－8x ＋20＝(x －4)2＋4＞0∴要使不等式x 2－8x ＋20mx 2＋2(m ＋1)x ＋9m ＋4＞0对任意实数x 恒成立，只要mx 2＋2(m ＋1)x ＋9m ＋4＞0对于任意实数x 恒成立．①当m ＝0时，2x ＋4＞0，x ＞－2，此时原不等式对于x ＞－2的实数x 成立，∴m ＝0不符合题意．②当m ≠0时，要使不等式对任意实数x 恒成立，须⎩⎨⎧m ＞0Δ＜0解得：m ＞14.∴m 的取值范围是{m |m ＞14}．12．实数m 取何范围的值时，方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的两根满足：(1)都是正数；(2)都在(0,2)内．【解析】 (1)设方程的两根为x 1，x 2，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－10m ＋9≥0x 1＋x 2＝3－m ＞0x 1·x 2＝m ＞0，解得m 的取值范围是(0,1]．(2)设f (x )＝x 2＋(m －3)x ＋m ，由题意得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧Δ＝m 2－10m ＋9≥0f (0)＝m ＞00＜3－m 2＜2f (2)＝3m －2＞0，解得m 的取值范围是(23，1]。
4-3一元二次不等式的应用-22-23学年高一上学期数学北师大版(19)必修第一册
( +
)( − ) ≥ × . %，
化简得 + − ≤ ，解得− ≤ ≤ .
又∵ < < ，∴ < ≤ ，∴的取值范围是 < ≤ .
探究1：利用一元二次不等式解决与几何有关的实际问题
【例2】如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，小明利用旧墙和长为100米
令− −
+ ≥ . ，整理得 − + ≤ ，解得 ≤ ≤ .
因此，当研发利润率不低于190%时，月研发经费的取值范围是 ≤ ≤ .
【方法小结】一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，有时结合“双勾函数”；涉及最值时往
往利用均值定理或“双勾函数”的单调性求解.
【针对训练】某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率
为10个百分点)，计划可收购万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将
征税率降低( ≠ )个百分点，预测收购量可增加个百分点.
(1)写出税收(万元)关于的函数关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定的取值范围.
3.某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划
四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，
设花卉带宽度为，则的取值范围是
.
1.某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，
则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售
为2.25米.
【问题1】如何确定水流在第一象限的轨迹的表达式?
考点练习(必修五)：一元二次不等式的解法与求参(附答案)
一元二次不等式的解法与求参一、一元二次不等式的解法1. 已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝( )A ．[－2，－1]B ．[－1,2)C ．[－1,1]D ．[1,2)2. 设集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，则M ∩N ＝( )A ．{1}B ．{2}C ．{0,1}D ．{1,2}3. 已知集合M ＝{x |x (4-x )＜0}，N ＝{x |（(x -1)(x -6)＜0,x ∈Z}，则M∩N ＝( )A.（1，6）B.（4，6）C. {4，5，6}D. {5}4. 不等式－6x 2＋2＜x 的解集是________．5. 函数y =的定义域是 .6. 不等式组(2)0||1x x x +>⎧⎨<⎩的解集为（ ）.A ．{|21}x x -<<-B ．{|10}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|1}x x >7. 解不等式：(1)2x 2－3x －2>0； (2)－3x 2＋6x －2>0； (3)4x 2－4x ＋1≤0； (4)x 2－2x ＋2>0.8. 解下列不等式：(1)x 2－5x －6>0； (2)－x 2＋7x >6.(3)(2－x )(x ＋3)<0； (4)4(2x 2－2x ＋1)>x (4－x )．9. 下列命题中，真命题是（ ）A ．x ∀∈R ，210x --<B ．0x ∃∈R ，2001x x +=-C ．x ∀∈R ，2104x x -+> D ．0x ∃∈R ，200220x x ++<10. 解下列不等式：(1)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)0＜x 2－x －2≤4；11. 不等式组221030x x x ⎧-<⎪⎨-<⎪⎩的解集是（ ）A ．{}1<1x x -<｜B ．{}| 03x x <<C ．{}01x x ｜＜＜D ．{}1<3x x -<｜12. 在R 上定义运算a c ad bcb d =-，若32012x x x <-成立，则x 的取值范围是（ ） A ．()4,1-B ．()1,4-C ．()(),41,-∞-+∞D ．()(),11,-∞-+∞二、含参一元二次不等式的解法1. 若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是()A．[－4,1] B．[－4,3]C．[1,3] D．[－1,3]2. 解关于x的不等式：ax2－(a+1)x+1＜0.3. 求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．4. 解关于x的不等式：ax2＋2x-1<0；5. 已知a∈R，解关于x的方程ax2－(a＋2)x＋2＜0.6. 解不等式：2++>x ax220.7. 解下列关于x 的不等式（1）x 2-2ax ≤-a 2+1； （2）x 2-ax +1>0； （3）x 2-(a +1)x +a <0；8. 解关于x 的不等式：)0(01)1(2≠<++-a x aa x9. 对于函数()f x ，若存在0x ∈R ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点．已知()2f x x bx c =++，（1）当2b =，6c =-时，求函数()f x 的不动点；（2）已知()f x 有两个不动点为()y f x =的零点； （3）在（2）的条件下，求不等式()0f x >的解集．10. 已知集合{}2|540A x x x =-+≤与{}2|220B x x ax a =-++≤，若B A ⊆，求a 的取值范围．11. 已知函数f (x )＝13ax 3－14x 2＋cx ＋d (a ，c ，d ∈R)满足f (0)＝0，f ′(1)＝0，且f ′(x )≥0在R 上恒成立．(1)求a ，c ，d 的值；(2)若h (x )＝34x 2－bx ＋b 2－14，解不等式f ′(x )＋h (x )<0.三、已知解集情况1. 已知集合M ＝{x |x 2－4x >0}，N ＝{x |m <x <8}，若M ∩N ＝{x |6<x <n }，则m ＋n ＝( )A ．10B ．12C ．14D ．162. 若(x －1)(x －2)＜2，则(x ＋1)(x －3)的取值范围是( )A ．(0,3)B ．[－4，－3)C ．[－4,0)D ．(－3,4]3. 已知不等式220ax x c ++>的解是1132x -<<，则关于x 的不等式220cx x a -+->的解集为（ ）A.B.C.D.4. 若不等式ax 2－bx ＋c ＜0的解集是(－2,3)，则不等式bx 2＋ax ＋c ＜0的解集是________．5. 若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c >2ax 的解集为( )A ．{x |－2<x <1}B ．{x |x <－2或x >1}C ．{x |0<x <3}D ．{x |x <0或x >3}6. 不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )7. 已知一元二次不等式f (x )＞0的解集为x ＜－1或x ＞12，则f (10x )＞0的解集为( )A ．{x |x ＜－1或x ＞lg 2}B ．{x |－1＜x ＜lg 2}C ．{x |x ＞－lg 2}D ．{x |x ＜－lg 2}8. 若关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )A.52B.72C.154D.1529. 已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6.(1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．10. 已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R)的值域为(－∞，0]，若关于x 的不等式f (x )＞c －1的解集为(m －4，m ＋1)，则实数c 的值为________．11. 已知函数()()1||f x x a x =+． 设关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A ， 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦， 则实数a 的取值范围是（ ）. A ．12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ B．12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．130,⎛+ ⎝⎫⎪⎪⎝⎭⎭ D ．⎛- ⎝⎭∞参考答案一元二次不等式的解法与求参一、一元二次不等式的解法1. 解析：选A A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，故A ∩B ＝[－2，－1]．2. 解析：选D N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，又M ＝{0,1,2}，所以M ∩N ＝{1,2}．3. 【答案】D【解析】在化简集合M 时注意将x （4―x ）＜0化为x （x ―4）＞0． 通解:由M ＝{x |x （4―x ）＜0}得M ＝|x |x ＜0或x ＞4}．又N ＝{2，3，4，5}， 所以M∩N ＝{5}．故选D ．优解:由N 中x ∈Z 排除A ，B ，又4∉M ，故选D ．4. 解析：不等式－6x 2＋2＜x 可化为6x 2＋x －2＞0，即(3x ＋2)(2x －1)＞0，解不等式得x <－23或x >12，所以该不等式的解集是⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞5. []3,1- 解析 由题意得2320x x --…，解得31x-剟，因此定义域为[]3,1-.6. 略7. 【解析】(1)方程2x 2－3x －2＝0的解是x 1＝－12，x 2＝2.因为函数是开口向上的抛物线，所以不等式的解集是122x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或.(2)不等式可化为3x 2－6x ＋2<0.因为3x 2－6x ＋2＝0的判别式Δ＝36－4×3×2＝12>0，所以方程3x 2－6x ＋2＝0的解是x 1＝1x 2＝1因为函数y ＝3x 2－6x ＋2是开口向上的抛物线，所以不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪1－33<x <1＋33.(3)方程4x 2－4x ＋1＝0的解是x 1＝x 2＝12，函数y ＝4x 2－4x ＋1是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集是12x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.(4)因为x 2－2x ＋2＝0的判别式Δ<0，所以方程x 2－2x ＋2＝0无解． 又因为函数y ＝x 2－2x ＋2是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集为R .8. 【解析】(1)方程x 2－5x －6＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝6.结合二次函数y ＝x 2－5x －6的图象知，原不等式的解集为{x |x <－1或x >6}． (2)原不等式可化为x 2－7x ＋6<0. 解方程x 2－7x ＋6＝0得，x 1＝1，x 2＝6. 结合二次函数y ＝x 2－7x ＋6的图象知，原不等式的解集为{x |1<x <6}． (3)原不等式可化为(x －2)(x ＋3)>0. 方程(x －2)(x ＋3)＝0两根为2和－3.结合二次函数y ＝(x －2)(x ＋3)的图象知，原不等式的解集为{x |x <－3或x >2}． (4)由原不等式得8x 2－8x ＋4>4x －x 2. ∴原不等式等价于9x 2－12x ＋4>0. 解方程9x 2－12x ＋4＝0，得x 1＝x 2＝23.结合二次函数y ＝9x 2－12x ＋4的图象知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠23.9. 【答案】A【解析】逐个判断．因为210x +>，所以x ∀∈R ，210x --<，故A 正确；因为x ∀∈R ，210x x ++>恒成立，故B 错误； 因为12x ∃=，2104x x -+=，故C 错误； 因为x ∀∈R ，2220x x ++>恒成立，故D 错误．10. [解] (1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0. 解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2≤x ≤43. (2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －x ＋＞0，x －x ＋⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，故原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3.11. 【答案】C【解析】原不等式等价于：211103(3)0x x x x x -<<⎧<⎧⇒⇒⎨⎨<<-<⎩⎩01.x <<12. 【答案】A【解析】由新定义可得：()232210x x --<⨯-⨯， 化为2340x x +-<， 变为()()410x x --<， 所以41x -<<．所以x 的取值范围是()4,1-，故选A ．二、含参一元二次不等式的解法1. 解析：选B 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.2. 【解析】若a =0，原不等式⇔－x +1＜0⇔x ＞1；若a ＜0，原不等式⇔211(1)0x x a a -++>11()(1)0x x x a a ⇔-->⇔<或x ＞1； 若a ＞0，原不等式⇔2111(1)0()(1)0x x x x aa a-++<⇔--<， 其解的情况应由1a与1的大小关系决定，故 （1）当a =1时，原不等式⇔x ∈∅； （2）当a ＞1时，原不等式⇔11x a<<； （3）当0＜a ＜1时，原不等式⇔11x a<< 综上所述：当a ＜0，解集为1{|1}x x x a<>或； 当a =0时，解集为{x |x ＞1}；当0＜a ＜1时，解集为1{|1}x x a<<； 当a =1时，解集为∅； 当a ＞1时，解集为1{|1}x x a<<. 3. 【答案】当a ＞0时，不等式的解集为{|-}43a a x x x <>或； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； 当a ＜0时，不等式的解集为{|-}34a a x x x <>或.4. 【答案】当a =0时，)21,(-∞∈x . 当a ≠0时，Δ=4+4a =4(a +1)，①a >0时，则Δ>0，)11,11(aaa a x ++-+--∈.②a <0时，若a <0，△<0， 即a <-1时，x ∈R ； 若a <0，△=0， 即a =-1时，x ∈R 且x ≠1；若a <0，△>0， 即 -1<a <0时， ),11()11,(+∞+--++--∞∈aaa a x .5. 解：原不等式等价于(ax －2)(x －1)＜0.(1)当a ＝0时，原不等式为－(x －1)＜0，解得x ＞1. 即原不等式的解集为(1，＋∞)．(2)若a ＞0，则原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x －1)＜0，对应方程的根为x ＝1或x ＝2a . 当2a ＞1，即0＜a ＜2时，不等式的解为1＜x ＜2a ； 当a ＝2时，不等式的解集为∅；当2a ＜1，即a ＞2时，不等式的解为2a ＜x ＜1. (3)若a ＜0，则原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x －1)＞0， 所以2a ＜1，所以不等式的解为x ＞1或x ＜2a .综上，当a ＝0时，不等式的解集为(1，＋∞)． 当0＜a ＜2时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫1，2a . 当a ＝2时，不等式的解集为∅. 当a ＞2时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫2a ，1.当a ＜0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，2a ∪(1，＋∞)． 6.216,a ∆=-∴①当0,∆<即44a -<<时，不等式的解集为R ；②当0,∆≥即4a ≥或4a ≤-时，方程2220x ax ++=的两根为((1211,.44x a x a =-=-+当4a =时，不等式的解集为 {}|1x x ≠-；当4a =-时，不等式的解集为{}|1x x ≠；当4a <-或4a >时，不等式的解集为(1|,4x x a ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或(1|4x x a ⎧⎫>-+⎨⎬⎩⎭7. 【解析】(1) 22210[()1][()1]011x ax a x a x a a x a -+-≤⇒---+≤⇒-≤≤+ ∴原不等式的解集为{|11}x a x a -≤≤+. (2) Δ=a 2-4当Δ>0，即a >2或a <-2时，原不等式的解集为}2424|{22--<-+>a a x a a x x 或当Δ=0，即a =2或-2时，原不等式的解集为{|}2ax x ≠. 当Δ<0，即-2<a <2时，原不等式的解集为R. （3）(x -1)(x -a )<0当a >1时，原不等式的解集为{x |1<x <a } 当a <1时，原不等式的解集为{x |a <x <1} 当a =1时，原不等式的解集为Φ.8. 【答案】原不等式化为0)1)((<--ax a x ①a =1或a =-1时，解集为； ②当0<a <1 或a <-1时，a a 1<，解集为：1{|}x a x a <<； ③当a >1或 -1<a <0时，a a 1>，解集为：1{|}x x a a<<.9. 【答案】（1）2或3-（2）2x =-或1x =（3）()(),21,-∞-+∞【解析】（1）函数解析式为()226f x x x =+-， 若()f x x =，即260x x +-=，解得2x =或3x =-， 所以()f x 的不动点为2或3-．（2）()f x 有两个不动点()f x x =有两个根所以()210x b x c +-+=有两个根1b =-，c ，解得1b =，2c =-， 所以()22f x x x =+-．令()0f x =，即()()210x x +-=，解得2x =-或1x =， 所以()f x 的零点为1x =或2x =-．（3）()0f x >，即()()210x x +->．解得1x >或2x <-， 所以()0f x >的解集为()(),21,-∞-+∞．10. 【答案】181,7⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】{}254(4)(1)0,14,|14x x x x x A x x -+=--≤≤≤∴=≤≤ 设222y x ax a =-++（*）当B =Ø，即方程（*）无解，显然B A ⊆成立，由0∆<得244(2)0a a -+<，解得12(1)a -<<当B ≠Ø，且B A ⊆成立，即：{}{}12||14x x x x x x ≤≤⊆≤≤，根据性质得出： 2212120424202142a a a a a⎧⎪-⋅++≥⎪-⋅++≥⎨⎪-⎪≤≤⎩-，解得181(2)7a ≤≤综合（1）（2）两式，得a 的取值范围为181,7⎛⎤- ⎥⎝⎦．11. 解：(1)∵f (0)＝0，∴d ＝0.∵f ′(x )＝ax 2－12x ＋c . 又f ′(1)＝0，∴a ＋c ＝12.∵f ′(x )≥0在R 上恒成立，即ax 2－12x ＋12－a ≥0恒成立，显然当a ＝0时，上式不恒成立，∴a ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，⎝⎛⎭⎫－122－4a ⎝⎛⎭⎫12－a ≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－12a ＋116≤0，解得a ＝14，c ＝14. (2)由(1)知，f ′(x )＝14x 2－12x ＋14. 由f ′(x )＋h (x )<0，得14x 2－12x ＋14＋34x 2－bx ＋b 2－14<0，即x 2－⎝⎛⎭⎫b ＋12x ＋b2<0，即(x －b )⎝⎛⎭⎫x －12<0. 当b >12时，解集为⎝⎛⎭⎫12，b . 当b <12时，解集为⎝⎛⎭⎫b ，12. 当b ＝12，解集为∅.三、已知解集情况1. 解析：选C ∵M ＝{x |x 2－4x >0}＝{x |x >4或x <0}，N ＝{x |m <x <8}，由于M ∩N ＝{x |6<x <n }，∴m ＝6，n ＝8，∴m ＋n ＝14.2. 解析：选C 解不等式(x －1)(x －2)＜2，可得0＜x ＜3，(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3，由二次函数的性质可得(x ＋1)(x －3)的取值范围是[－4,0)．3. 【答案】B【解析】由的解集是知∴的图象开口向下，且是方程的两个根，故由韦达定理，有；.∴，代入所求不等式即∴解集为4. 解析：∵不等式ax 2－bx ＋c ＜0的解集是(－2,3)，∴a ＞0，且对应方程ax 2－bx ＋c ＝0的实数根是－2和3，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧ca ＝－2×3，ba ＝－2＋3，即c a ＝－6，ba＝1， ∴b ＞0，且a b ＝1，cb ＝－6，∴不等式bx 2＋ax ＋c ＜0可化为x 2＋x －6＜0，解得－3＜x ＜2，∴该不等式的解集为(－3,2)． 答案：(－3,2)5. 解析：选C 由题意a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c >2ax ，整理得ax 2＋(b －2a )x ＋(a ＋c －b )>0 ①，又不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，则a <0， 且－1,2分别为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系得⎩⎨⎧－1＋2＝－ba ，－＝c a，即⎩⎨⎧ba＝－1，ca ＝－2②，将①两边同除以a 得x 2＋⎝⎛⎭⎫b a －2x ＋⎝⎛⎭⎫1＋c a －ba <0， 将②代入得x 2－3x <0，解得0<x <3.6. 解析：选B 由根与系数的关系得1a ＝－2＋1，－ca＝－2，得a ＝－1，c ＝－2，∴f (x )＝－x 2－x ＋2(经检验知满足题意)，∴f (－x )＝－x 2＋x ＋2，其图象开口向下，对称轴为x ＝12，结合图象知选B.7. 解析：选C 一元二次不等式f (x )＞0的解集为xx ＜－1或x ＞12，则不等式f (10x )＞0可化为10x ＜－1或10x ＞12，解得x ＞lg 12，即x ＞－lg 2，所以所求不等式的解集为{x |x ＞－lg 2}．8. 解析：选A 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0，(a >0)的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2，故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，解得a ＝52.9. 解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6，∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3，∴原不等式可化为a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3. ∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，故⎩⎨⎧－1＋3＝a －a3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.10. 解析：∵函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R)的值域为(－∞，0]，∴Δ＝a 2＋4b ＝0，∴b ＝－a 24.∵关于x 的不等式f (x )＞c －1的解集为(m －4，m ＋1)， ∴方程f (x )＝c －1的两根分别为m －4，m ＋1， 即－x 2＋ax －a 24＝c －1的两根分别为m －4，m ＋1，∵－x 2＋ax －a 24＝c －1的根为x ＝a2±1－c ，∴两根之差为：21－c ＝(m ＋1)－(m －4)，解得c ＝－214. 答案：－21411. 略。
人教A版高中数学第一册(必修1)课时作业1：2.3 第2课时 一元二次不等式在实际问题中的应用练习题
第2课时 一元二次不等式在实际问题中的应用1．不等式3x －12－x≥1的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪34≤x ≤2 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪34≤x <2 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >2或x ≤34 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥34 『答 案』 B『解 析』 不等式3x －12－x ≥1，移项得3x －12－x －1≥0，即x －34x －2≤0，可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x －34≥0，x －2<0或⎩⎪⎨⎪⎧x －34≤0，x －2>0，解得34≤x <2，则原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪34≤x <2， 故选B.2．与不等式x －32－x ≥0同解的不等式是( )A ．(x －3)(2－x )≥0B ．0<x －2≤1 C.2－x x －3≥0 D ．(x －3)(2－x )>0『答 案』 B『解 析』 解不等式x －32－x≥0，得2<x ≤3，A ．不等式(x －3)(2－x )≥0的解是2≤x ≤3，故不正确．B ．不等式0<x －2≤1的解是2<x ≤3，故正确．C ．不等式2－xx －3≥0的解是2≤x <3，故不正确．D ．不等式(x －3)(2－x )>0的解是2<x <3，故不正确．故选B.3．若关于x 的不等式ax －b >0的解集为{x |x >1}，则关于x 的不等式ax ＋bx －2>0的解集为( )A ．{x |x >1或x <－2}B ．{x |1<x <2}C ．{x |x >2或x <－1}D ．{x |－1<x <2}『答 案』 C『解 析』 x ＝1为ax －b ＝0的根，∴a －b ＝0，即a ＝b ， ∵ax －b >0的解集为{x |x >1}， ∴a >0，故ax ＋b x －2＝a (x ＋1)x －2>0， 等价为(x ＋1)(x －2)>0. ∴x >2或x <－1.4．已知不等式－x 2＋4x ≥a 2－3a 在R 上有解，则实数a 的取值范围为( ) A ．{a |－1≤a ≤4} B ．{a |－1<a <4} C ．{a |a ≥4或a ≤－1} D ．{a |－4≤a ≤1}『答 案』 A『解 析』 由题意知，原不等式可化为－(x －2)2＋4≥a 2－3a 在R 上有解， ∴a 2－3a ≤4，即(a －4)(a ＋1)≤0， ∴－1≤a ≤4，故选A.5．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x (单位：元)的取值范围是( ) A ．{x |10≤x <16} B ．{x |12≤x <18} C ．{x |15<x <20} D ．{x |10≤x <20}『答 案』 C『解 析』 设这批台灯的销售单价为x 元， 则『30－(x －15)×2』x >400， 即x 2－30x ＋200<0，∴10<x <20， 又∵x >15，∴15<x <20.故选C.6．若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2a ＋b x＋c >bx 的解集为________．『答 案』 {x |x <0}『解 析』 由题意知，－1,2为ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ，c ＝－2a 且a <0， ∴不等式2a ＋b x ＋c >bx 可化为a x －2a >－ax ，∵a <0，即1x －2<－x ，即(x －1)2x <0，∴x <0.7．现有含盐7%的食盐水200克，生产含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x 克，则x 的取值范围是________． 『答 案』 {x |100<x <400}『解 析』 5%<x ·4%＋200·7%x ＋200<6%，解得x 的取值范围是{x |100<x <400}．8．某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m 和汽车车速x km/h 有如下关系：s ＝118x ＋1180x 2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于40m ，那么这辆汽车刹车前的车速不低于________km/h. 『答 案』 80『解 析』 根据题意，得118x ＋1180x 2≥40.移项整理，得x 2＋10x －7200≥0.显然Δ>0，x 2＋10x －7200＝0有两个实数根， 即x 1＝80，x 2＝－90，然后，根据二次函数y ＝x 2＋10x －7200的图象(图略)， 得不等式的解集为{x |x ≤－90或x ≥80}．在这个实际问题中，x >0，所以这辆汽车刹车前的车速不低于80km/h. 9．解关于x 的不等式a －xx ＋1>0(a ∈R )．解 原不等式可化为x －ax ＋1<0，即(x ＋1)(x －a )<0， ①当a ＝－1时，x ∈∅； ②当a >－1时，{x |－1<x <a }； ③当a <－1时，{x |a <x <－1}． 综上，a ＝－1时，不等式的解集为∅， a >－1时，不等式的解集为{x |－1<x <a }， a <－1时，不等式的解集为{x |a <x <－1}．10．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ 解 (1)由题意得y ＝『12(1＋0.75x )－10(1＋x )』×10000×(1＋0.6x )(0<x <1)， 整理得y ＝－6000x 2＋2000x ＋20000(0<x <1)． (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有⎩⎪⎨⎪⎧y －(12－10)×10000>0，0<x <1，即⎩⎪⎨⎪⎧－6000x 2＋2000x >0，0<x <1，解得0<x <13，所以投入成本增加的比例x 应在0<x <13的范围内．11．不等式x 2－x －2x －2>0的解集为( )A ．{x |x >－1且x ≠2}B ．{x |x >－1}C ．{x |－1<x <2}D ．{x |x <－1或x >2}『答 案』 A『解 析』 原不等式可化为(x －2)(x ＋1)x －2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －2≠0，∴x >－1且x ≠2.故选A.12．若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1b 或x >1a B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1a <x <1b C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1a 或x >1b D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1b <x <0或0<x <1a 『答 案』 A『解 析』 原不等式可化为⎩⎨⎧1x>－b ，1x <a ，即⎩⎪⎨⎪⎧bx ＋1x >0，ax －1x >0，可得⎩⎨⎧x <－1b或x >0，x <0或x >1a，故不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1b 或x >1a . 13．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( )A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2}『答 案』 A『解 析』 ∵x 2＋x ＋1>0恒成立，∴原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0， ∴x ≠－2.∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．14．在一个限速40km /h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ．又知甲、乙两种车型的刹车距离s m 与车速x km/h 之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2.这次事故的主要责任方为________． 『答 案』 乙车『解 析』 由题意列出不等式s 甲＝0.1x ＋0.01x 2>12， s 乙＝0.05x ＋0.005x 2>10. 分别求解，得 x 甲<－40或x 甲>30. x 乙<－50或x 乙>40.由于x >0，从而得x 甲>30km /h ，x 乙>40 km/h. 经比较知乙车超过限速，应负主要责任．15．某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，六月份的销售额为500万元，七月份的销售额比六月份增加x %，八月份的销售额比七月份增加x %，九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等，若一月份至十月份的销售总额至少为7000万元，则x 的最小值为________． 『答 案』 20『解 析』 由题意得七月份的销售额为500(1＋x %)万元，八月份的销售额为500(1＋x %)2万元，记一月份至十月份的销售总额为y 万元，则y ＝3860＋500＋2『500(1＋x %)＋500(1＋x %)2』≥7000， 解得1＋x %≤－115(舍去)或1＋x %≥65，即x %≥20%，所以x min ＝20.16．某工厂生产商品M ，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M 征收的税率为P %(即每百元征收P 元)时，每年的销售量减少10P 万件，据此，问：(1)若税务部门对商品M 每年所收税金不少于96万元，求P 的取值范围；(2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P 值； (3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P 值．解 税率为P %时，销售量为(80－10P )万件， 即销售额为y 1＝80(80－10P )， 税金为y 2＝80(80－10P )·P %， 其中0<P <8.(1)由⎩⎪⎨⎪⎧80(80－10P )·P %≥96，0<P <8，解得2≤P ≤6.(2)∵y 1＝80(80－10P )(2≤P ≤6)，∴当P ＝2时，y 1取最大值，为4800万元． (3)∵0<P <8，y 2＝80(80－10P )·P %＝－8(P －4)2＋128，∴当P ＝4时，国家所得税收金额最高为128万元．。
《 一元二次不等式在实际问题中的应用》(第2课时)
若 a=-2,则不等式变为-1≥0,解集为⌀;当 a2-4≠0 时,
- < ,
要使解集为⌀,则有
解得-2<a< .
< ,
综上,-2≤a< .
十年寒窗磨利剑，
一朝折桂展宏图！
(2)欲保证本年度的利润比上年度有所增加,
-(.-) × > ,
则
< < ,
- + > ,
即
解得 0<x<.
< < ,
所以,为保证本年度的年利润比上年度有所增加,
投入成本增加的比例 x 应满足 0<x< .
反思感悟
1.解决本题的关键是利用题目给出的等量关系,即年利润=(出
D.p=-1,q=-6
解析:由不等式x2+px+q<0的解集是{x|-3<x<2},知-3,2是方程
x2+px+q=0的两根,由根与系数的关系得p=1,q=-6.
答案:C
3.某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数
解析式为y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N),若每台产品的售
市场需要,计划提高产品档次,适度增加投入成本,若每辆车投
入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应提高的比例为
0.75x,同时预计年销量增加的比例为0.6x,已知年利润=(出厂
价-投入成本)×年销售量.
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x之间
的关系式;
(2)为使本年度的利润比上年度有所增加,则投入成本增加的
《一元二次不等式及其解法》用 (2)
数，
f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2， f(x)＞0恒成立，即f(x)min＝b2－b－2＞0恒成立， 解得b＜－1或b＞2.
答案：C
1．(2010· 大连模拟)设函数f(x)＝ 则不等 式f(x)＞f(1)的解集是 ( )
足开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解，
即 ，则m无解．
综上可知不存在这样的m.
(2)从形式上看，这是一个关于x 的一元二次不等式，可
以换个角度，把它看成关于m的一元一次不等式，并且
已知它的解集为[－2,2]，求参数x的范围． 设f(m)＝(x2－1)m＋(1－2x)， 则其为一个以m为自变量的一次函数，其图象是直线， 由题意知该直线当－2≤m≤2时线段在x轴下方，
(2)计算相应的判别式；
(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的两根；
(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解
集．
2．对于解含有参数的二次不等式，一般讨论的顺
序是：
(1)讨论二次项系数是否为0，这决定此不等式是
否为二 次不等式；
(2)当二次项系数不为0时，讨论判别式是否大于0；
(3)当判别式大于0时，讨论二次项系数是否大于0，
【答案】 C
[自主体验] 已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，
b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，
若当x∈[－1,1]时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范 围是 ( A．－1＜b＜0 C．b＜－1或b＞2 ) B．b＞2 D．不能确定
解析：由f(1－x)＝f(1＋x)，知f(x)的对称轴为x＝
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一分配问题1.把若干颗花生分给若干只猴子。
如果每只猴子分3颗，就剩下8颗；如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子虽分到了花生，但不足5颗。
问猴子有多少只，花生有多少颗？2.把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本。
问这些书有多少本？学生有多少人？3.某中学为八年级寄宿学生安排宿舍，如果每间4人，那么有20人无法安排，如果每间8人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数。
4.一群女生住若干家间宿舍，每间住4人，剩下19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不满。
⑴如果有x间宿舍，那么可以列出关于x的不等式组：⑵可能有多少间宿舍、多少名学生？你得到几个解？它符合题意吗？二速度、时间问题1 爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s，人跑开的速度是5m/s，为了使点火的战士在施工时能跑到100m以外的安全地区，导火索至少需要多长？2.王凯家到学校2.1千米，现在需要在18分钟内走完这段路。
已知王凯步行速度为90米/ 分，跑步速度为210米/分，问王凯至少需要跑几分钟？3.抗洪抢险，向险段运送物资，共有120公里原路程，需要1小时送到，前半小时已经走了50公里后，后半小时速度多大才能保证及时送到？三工程问题1.一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成，则以后平均每天至少要比原计划多完成多少方土？2.用每分钟抽1.1吨水的A型抽水机来抽池水，半小时可以抽完；如果改用B型抽水机，估计20分钟到22分可以抽完。
B型抽水机比A型抽水机每分钟约多抽多少吨水？3.某工人计划在15天里加工408个零件，最初三天中每天加工24个，问以后每天至少要加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？1.商场购进某种商品m件，每件按进价加价30元售出全部商品的65%，然后再降价10%，这样每件仍可获利18元，又售出全部商品的25%。
(1)试求该商品的进价和第一次的售价；(2)为了确保这批商品总的利润率不低于25%，剩余商品的售价应不低于多少元？2.水果店进了某中水果1t，进价是7元/kg。
售价定为10元/kg，销售一半以后，为了尽快售完，准备打折出售。
如果要使总利润不低于2000元，那么余下的水果可以按原定价的几折出售？3. 某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人月工资分别为600元和1000元.现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍,问甲、乙两种工种各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？4．学校图书馆准备购买定价分别为8元和14元的杂志和小说共80本，计划用钱在750元到850元之间（包括750元和850元），那么14元一本的小说最少可以买多少本？1.有一个两位数，其十位上的数比个位上的数小2，已知这个两位数大于20且小于40，求这个两位数2.一次知识竞赛共有15道题。
竞赛规则是：答对1题记8分，答错1题扣4分，不答记0分。
结果神箭队有2道题没答，飞艇队答了所有的题，两队的成绩都超过了90分，两队分别至少答对了几道题？3.某公司需刻录一批光盘（总数不超过100张），若请专业公司刻录，每张需10元（包括空白光盘费）；若公司自刻，除设备租用费200元以外，每张还需成本5元（空白光盘费）。
问刻录这批光盘，是请专家公司刻录费用省，还是自刻费用省？4.有红、白颜色的球若干个，已知白球的个数比红球少，但白球的两倍比红球多，若把每一个白球都记作数2，每一个红球都记作数3，则总数为60，求白球和红球各几个？六方案选择与设计1．某厂有甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的费用不超过72元，（1）设需用x千克甲种原料，写出x应满足的不等式组。
（2）按上述的条件购买甲种原料应在什么范围之内？3.某工厂接受一项生产任务，需要用10米长的铁条作原料。
现在需要截取3米长的铁条81根，4米长的铁条32根，请你帮助设计一下怎样安排截料方案，才能使用掉的10米长的铁条最少？最少需几根？4.某校办厂生产了一批新产品，现有两种销售方案，方案一：在这学期开学时售出该批产品，可获利30000元，然后将该批产品的投入资金和已获利30000元进行再投资，到这学期结束时再投资又可获利4.8％;方案二:在这学期结结束时售出该批产品,可获利35940元,但要付投入资金的0.2％作保管费，问：（1）当该批产品投入资金是多少元时，方案一和方案二的获利是一样的？（2）按所需投入资金的多少讨论方案一和方案二哪个获利多。
5.某园林的门票每张10元，一次使用，考虑到人们的不同需要，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买年票”的方法。
年票分为A、B、C三种：A年票每张120元，持票进入不用再买门票；B类每张60元，持票进入园林需要再买门票，每张2元，C类年票每张40元，持票进入园林时，购买每张3元的门票。
⑴果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式。
⑵一年中进入该园林至少多少时，购买A类年票才比较合算。
一分配问题1.把若干颗花生分给若干只猴子。
如果每只猴子分3颗，就剩下8颗；如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子虽分到了花生，但不足5颗。
问猴子有多少只，花生有多少颗？解：设有x只猴子和y颗花生，则：y-3x=8，①5x-y＜5，②由①得：y=8+3x，③③代入②得5x-(8+3x)＜5, ∴x＜6.5因为y与x都是正整数，所以x可能为6，5，4，3，2，1，相应地求出y的值为26，23，20，17，14，11.经检验知，只有x=5，y=23和x=6，y=26这两组解符合题意.答：有五只猴子，23颗花生，或者有六只猴子，26颗花生.2.把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本。
问这些书有多少本？学生有多少人？解：设有X名学生，那么有（3X+8）本书，于是有0≤(3x+8)-5(x-1)<30≤-2x+13<3-13≤-2x<-105<x≤6.5因为x整数，所以X=6。
即有6名学生，有26本书。
3.某中学为八年级寄宿学生安排宿舍，如果每间4人，那么有20人无法安排，如果每间8人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数。
解：设宿舍间数为x 寄宿学生人数为y则y=4x+204x+20<8x x>5当x=6时，总人数为4x+20=44当x=7时总人数为4x+20=48 不满足“如果每间8人，那么有一间不空也不满”所以宿舍间数为6 寄宿学生人数为444.一群女生住若干家间宿舍，每间住4人，剩下19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不满。
⑴如果有x间宿舍，那么可以列出关于x的不等式组：（4x+19）－6（x-1）≥1（4x+19）－6（x-1）＜6⑵可能有多少间宿舍、多少名学生？你得到几个解？它符合题意吗？解得：9.5＜x≤12当x=10时，4x+19=59（人）当x=11时，4x+19=63（人）当x=12时，4x+19=67（人）二速度、时间问题1 爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s，人跑开的速度是5m/s，为了使点火的战士在施工时能跑到100m以外的安全地区，导火索至少需要多长？解：设有X m长X/0.8>=100/5X>=16X要16m2.王凯家到学校2.1千米，现在需要在18分钟内走完这段路。
已知王凯步行速度为90米/ 分，跑步速度为210米/分，问王凯至少需要跑几分钟？解：设至少要跑x分钟.210x+90（18-x)≥2100210x-90x≥2100-1620120x≥480x≥4答：至少4分钟3.抗洪抢险，向险段运送物资，共有120公里原路程，需要1小时送到，前半小时已经走了50公里后，后半小时速度多大才能保证及时送到？解：设后半小时的速度至少为x千米/小时50+（1-1/2）x≥12050+1/2x≥1201/2x≥70x≥140答：后半小时的速度至少是140千米/小时。
三工程问题1.一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成，以后几天平均每天至少要完成多少土方？解：设以后几天平均每天完成x土方．2.用每分钟抽1.1吨水的A型抽水机来抽池水，半小时可以抽完；如果改用B型抽水机，估计20分钟到22分可以抽完。
B型抽水机比A型抽水机每分钟约多抽多少吨水？解：设B型抽水机比A型抽水机每分钟多抽X吨水，则池子有1.1×30=330吨水.20×（1.1+X）≤33 ①22×（1.1+X）≥33 ②由①得X≤0.55由②得X≥0.4∴0.4≤X≤0.55答：B型比A型每分钟多抽0.4到0.55吨水。
3.某工人计划在15天里加工408个零件，最初三天中每天加工24个，问以后每天至少要加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？解：设以后每天至少加工x个零件，根据题意得：3*24+（15-3）*x>40812x>336x>28答;以后每天至少加工28个零件，才能在规定时间内超额完成任务。
四价格问题1.商场购进某种商品m件，每件按进价加价30元售出全部商品的65%，然后再降价10%，这样每件仍可获利18元，又售出全部商品的25%。
(1)试求该商品的进价和第一次的售价；解：设进价是x元，则第一次的售价为x+30元(x+30)*(1-10%)=x+18x=90x+30=120答：该商品的进价为90元，第一次的售价为120元。
(2)为了确保这批商品总的利润率不低于25%，剩余商品的售价应不低于多少元？解：设剩余商品售价应不低于y元(90+30)*m*65%+(90+18)*m*25%+(1-65%-25%)*m*y≥90*m*(1+25%)120*0.65+108*0.25+0.1y≥90*1.2578+27+0.1y≥112.50.1y≥7.5y≥75答：剩余商品的售价应不低于75元。
2.水果店进了某中水果1t，进价是7元/kg。
售价定为10元/kg，销售一半以后，为了尽快售完，准备打折出售。
如果要使总利润不低于2000元，那么余下的水果可以按原定价的几折出售？解：设按原价的X折出售500*3+(10x-7)*500≥2000x≥83. 某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人月工资分别为600元和1000元.现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍,问甲、乙两种工种各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？解：设甲工种招聘x人，则乙工种招聘（150－x）人，由题意： 150－x≥2x，x≤50 设每月所付工资为y元. 则 y=600x+1000(150-x) =150000-400x当x越大时,y越小. ∴x=50,y=150000-400×50=130000 答:当甲,乙两种工人各为50人,100人时,所付工资最少.每月最少工资为130000元. 4．学校图书馆准备购买定价分别为8元和14元的杂志和小说共80本，计划用钱在750元到850元之间（包括750元和850元），那么14元一本的小说最少可以买多少本？解：设14元一本的小说可以买x本，则8元一本的小说可以买（80-x）本。