高二数学答案-朝阳区2018-2019学年第二学期期末

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北京市朝阳区2018-2019学年度第二学期期末质量检测 高二年级数学参考答案 2019.7
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分） （1） C （2）B （3）A （4）B （5）C （6） D
（7）D
（8）B
（9）C （10）C
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （11）5 （12）(,1]-∞- （13）54
125
（14
（15）
203；()3sin()2(0)206
≥H t t t ππ
=++ （16）1-；[0,1) 三、解答题（共5小题，共70分） （17）（共14分）
解：
（Ⅰ）因为2()sin cos f x x x x =+
11cos2sin 222x
x +=+
1sin 22x x =++
sin(2)32
x π=++
． 所以()f x 的最小正周期为22
T π
=
=π． ………………… 7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知()sin(2)3f x x π=++．
由 πππ2π22π232≤≤k x k -++()k ∈Z ，5ππ
2π22π66
≤≤k x k -+()k ∈Z ， 得 5ππ
ππ1212
≤≤k x k -
+
()k ∈Z ． 所以()f x 的单调递增区间为5ππ
[π,π]1212
k k -
+ ()k ∈Z ． 要使得函数()f x 在[0,]m 上单调递增，只需5ππ
[0,][,]1212
m ⊆-
．
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所以(0,
]12m π∈，m 的最大值为π
12
． ………………… 14分 （18）（共14分）
解：（Ⅰ）设事件A ：“从20092018这十年中随机选取一年，该年手机网民人数占网民
总人数比值超过80%”.
由题意可知63
()105
P A =
=. ………………… 5分 （Ⅱ）网民人数超过6亿的年份有2013
2018共六年，
其中手机网民普及率超过50% 的年份有2016,2017,2018这3年.所以X 的取值为012,,.
所以232631(0)155C P X C ====， 1133263(1)5C C P X C ===， 2
32
61
(2)5
C P X C ===. 随机变量X 的分布列为
0121555
EX =⨯+⨯+⨯=. ………………… 12分
（Ⅲ）22
12s s <. ………………… 14分
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）当3a =时，32
()441f x x x x =-++，
所以2
()384f x x x '=-+．
所以(1)2f =，(1)1f '=-．
所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=． ………… 4分 （Ⅱ）因为3
21()(1)413
f x ax a x x =
-+++， 所以2
()2(1)4(2)(2)f x ax a x ax x '=-++=--．
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（1） 当0a =时，因为()2(2)f x x '=--，
由()0f x '>得2x <， 由()0f x '<得2x >，
所以()f x 在区间(,2)-∞内单调递增，在区间(2,)+∞内单调递减．
（2）当0a ≠时，令()0f x '=，得12x =，22x a
=
． ① 当0a <时，
由()0f x '>得2
2x a <<； 由()0f x '<得2
x a <或2x >．
所以()f x 在区间2(,2)a 内单调递增，在区间2
(,)a
-∞和(2,)+∞内单调递减．
② 当01a <<时， 由()0f x '>得2x <或2
x a
>； 由()0f x '<得22x a
<<
． 所以()f x 在区间(,2)-∞和2(,)a +∞内单调递增，在区间2
(2,)a
内单调递减．
③ 当1a =时， 因为2
()(2)0≥f x x '=-，
所以()f x 在区间(,)-∞+∞内单调递增． ④ 当1a >时，由()0f x '>得2
x a
<
或2x >； 由()0f x '<得
2
2x a
<<． 所以()f x 在区间(2,)a -∞和(2,)+∞内单调递增，在区间2
(,2)a
内单调递减．
综上可知，当0a =时，()f x 在区间(,2)-∞内单调递增，在区间(2,)+∞内单调递减；
当0a <时，()f x 在区间2(,2)a 内单调递增，在区间2
(,)a -∞和(2,)+∞内单调递减；
当01a <<时，()f x 在区间(,2)-∞和2(,)a +∞内单调递增，在区间2
(2,)a
内单调递减；
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当1a =时，()f x 在区间(,)-∞+∞内单调递增；
当1a >时，()f x 在区间(2,)a -∞和(2,)+∞内单调递增，在区间2
(,2)a 内单调递减．… 14分
（20）（共14分） 解：（Ⅰ）当
0a =时， ()e e x f x x =-，()e e x f x '=-
当(,1)x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 在区间(,1)-∞上单调递减． 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间(1,)+∞上单调递增．
故当1x =时，min ()(1)0f x f ==．
………… 4分
（Ⅱ） 由2
()e (e)x f x a x ax =+--可知，(0)1f =，(1)0f =． 当0a <时，()e e (12)x f x a x '=-+-．
设()()g x f x '=，则()e 20x
g x a '=->．
所以()g x 在区间(0,1)内单调递增，即()f x '在区间(0,1)内单调递增． 又(0)1e 0f a '=-+<，(1)0f a '=->． 故存在唯一0(0,1)x ∈，使得0()0f x '=．
当0(,1)x x ∈时，()0f x '>．
所以()f x 在区间0(,1)x 内单调递增，此时0)1()(=<f x f ． 当),0(0x x ∈时，0)(<'x f ， 所以()f x 区间),0(0x 上单调递减． 又因为0)(,01)0(0<>=x f f ，
故函数()f x 在区间),0(0x 内有唯一零点．
所以函数()f x 在区间(0,1)内存在唯一零点． …………… 14分
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（21）（共14分）
（Ⅰ）解： {1,2,5,6,7,9}E =具有性质Ω，如可取{1,2}A =,{5,7}B =,{6,9}C =；
{1,2,3,4,5,6}F =不具有性质Ω；理由如下：
对于F 中的元素6，651=+或者642=+， 如果651=+，那么剩下3个元素4,3,2,不满足条件； 如果642=+，那么剩下3个元素5,3,1,也不满足条件．
因此，集合{1,2,3,4,5,6}F =不具有性质Ω. ………… 6分
（Ⅱ）证明：对4{1,2,3,
,11,12}M =，有{2,1,3,5},{4,9,8,7},{6,10,11,12}A B C ===
符合条件，即集合4M 具有性质Ω，故存在m ，集合m M 具有性质Ω； 假设符合条件的m M 只有有限个，设其中元素个数最多的为0m M . 对于0m M ，由题设可知，存在012{,,
,}m A a a a =，012{,,,}m B b b b =，
012{,,
,}m C c c c =满足条件. 构造如下集合
{
}
11202,2,
,2,1,3,,61
m A a a a m =-，
{
}
01120002,2,,2,9,91,
,61m B b b b m m m =-+，
{
}
01120002,2,
,2,91,92,
,12m C c c c m m m =++，
由于}3,,3,2,1{},,,,,,,,,,,{021*******m c c c b b b a a a m m m =，
所以}6,,6,4,2{}2,,2,2,2,,2,2,2,,2,2{021*******m c c c b b b a a a m m m =． 易验证1A ，1B ，1C 对集合040{1,2,,12}m M m =⋅⋅⋅满足条件，而004m m >， 也就是说存在比0m M 的元素个数更多的集合04m M 具有性质Ω，与假设矛盾． 因此具有性质Ω的集合m M 有无穷多个. ………………… 14分
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