场论运算

之间的距离，R 的方向规定为源点指向场点，试分别对场点
和源点求R的梯度。
场源点
R
场点（观察点）
ห้องสมุดไป่ตู้
r
o 坐标原点
大理大学工程学院 罗凌霄编写
r
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第一种情况：
源点固定，R是场点的函 数，对场点求梯度，则有
场源点
R
场点（观察点）
r
o 坐标原点
r
R ( x x)2 ( y y)2 ( z z)2
R ( y y) 同理可得： , y R R ( z z) z R
故得到： R ex R ey R ez R ex ( x x) ey ( y y) ez ( z z) x y z R R R

1 r r R e ( x x ) e ( y y ) e ( z z ) eR R x y z R R R
计算 r 的散度
x y z r 3 x y z r x y z 0 x y z
计算 R 的散度
R (r r ) r r 3 0 3
R (r r ) r r 0 3 3
ex r x x ex
ey y y ey y y
ez 0 z z ez 0 z z
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计算 r 的旋度
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r
x x
计算 R 的旋度
场源点
R
场点（观察点）
r
o 坐标原点
R (r r ) r r 0
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计算r的梯度
r ex r r r ey ez x y z
场源点
R
场点（观察点）
r
o 坐标原点
r
r x2 y 2 z 2
r 1 2 x ( x y 2 z 2 )1 2 2 x x 2 r
同理可得：
r y , y r
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计算 r 的散度
r r x y z 3 x y z x y z 0 x y z
场源点
R
场点（观察点）
r
o 坐标原点
r
r ex x e y y e z z r e x x e y y e z z
r ex r r r ey ez x y z
场源点
R
场点（观察点）
r
o 坐标原点
r
r x2 y2 z2
r 1 2 x ( x y2 z2 )1 2 2 x x 2 r
同理可得：
r y , y r
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计算 r 的旋度
ex r x x ex r x x ey y y ey y y ez 0 z z ez 0 z z
场源点
R
场点（观察点）
r
o 坐标原点
r
r ex x e y y e z z r e x x e y y e z z
r z z r
故得到： r ex x ey y ez z 1 (ex x ey y ez z ) r er
r r r r r
容易证明： r ex
r r r ey ez 0 x y z
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计算r'的梯度
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第二种情况：
场点固定，R是源点的函 数，对源点求梯度，则有
场源点
R
场点（观察点）
r
o 坐标原点
r
R ( x x)2 ( y y)2 ( z z)2
R ex
R R R ey ez x y z
R 1 ( x x) 2 2 2 1 2 ( x x ) ( y y ) ( z z ) 2( x x )(1) x 2 R
场论运算
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一阶微分运算
将算符 直接作用于标量场和矢量场，即分别得到梯度、
散度和旋度，即 , A , A 这些都叫一阶微分运算。
举例：设 R ( x x) 2 ( y y ) 2 ( z z ) 2 为源点 r 与场点 r
r z z r
故得到：
r ex
x y z 1 r ey ez (ex x ey y ez z) er r r r r r
r r r ey ez 0 x y z
容易证明： r ex
故得到： R ex R ey R ez R ex ( x x) ey ( y y) ez ( z z) x y z R R R

1 r r R e ( x x ) e ( y y ) e ( z z ) eR x y z R R R
R ex
R R R ey ez x y z
R 1 ( x x) 2 2 2 1 2 ( x x ) ( y y ) ( z z ) 2( x x ) x 2 R
同理可得：
R ( y y) , y R R ( z z) z R