场论运算
场论基础
场论基础附1 Hamilton 算子∇在直角坐标系中定义Hamilton 算子∇为x y z∂∂∂=++∂∂∂ijk∇ （附1.1）这里，∇既可以看成是一个微分算子，作用到一个标量函数或者是一个矢量函数上；也可以看成是一个向量，和其他的向量进行普通的点乘( )运算和叉乘(⨯)运算。
附1.1 梯度运算grad u u =∇对于一个标量场(,,)u x y z ，我们定义相关的梯度运算为grad u u u u u x y z∂∂∂==++∂∂∂ijk∇ （附1.2）那么标量函数(,,)u x y z 的梯度运算结果grad u 为一向量。
下面我们来看梯度运算的数学意义。
对于函数(,,)u x y z 的方向导数u n∂∂，我们有cos(,)cos(,)cos(,)()()grad x y z u u x u y u z nx n y nz n u u u n x n y n z xyzu u u n n n uxyy∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂=++++=∂∂∂ijki j k n （附1.3）因此有grad cos(,)u u u n∂=∂n ∇ （附1.4）从中可以看到，当单位向量n 的方向和梯度grad u 的方向一致时，u n∂∂取到极大值，而极大值就为grad u 。
这就是说，梯度grad u 为函数(,,)u x y z 变化最快的方向，也是等值函数(,,)u x y z C =的外法线方向，梯度的大小为函数方向导数的最大值。
从上面的分析我们可以看到，梯度grad u 的定义和坐标系是无关。
梯度grad u 在数值计算方法中有很重要意义。
附1.2 散度运算div =A A ∇对于一个向量场(,,)x y z A ，沿某一个曲面S 的通量定义为d SS Φ=⎰⎰A n (附1.5)更进一步，如果S 是个封闭曲面，其所包围的区域Ω，体积为V ，那么当d div limlimd SV MSVVΦ→Ω→Ω==⎰⎰⎰⎰⎰A n A (附1.6)存在时，我们称相应的值为该向量的散度(此时区域Ω退化成一点M )。
场论的相关数学理论
1 / 27场论的相关数学理论场论是研究某些物理量在空间中的分布状态及其运动形式的数学理论，它的内容是进一步深入研究电磁场及流体等的运动规律的基础，也是学习某些后继课程的基础，本章主要介绍场论中几个基本概念（梯度、散度、旋度）以及它们的应用。
§2.1 场 1、 场的概念 设有一个区域（有限或无限）V ，如果V 内每一点M ，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在区域V 中确定了该物理量的一个场。
若该物理量是数量，则称此场为数量场；若是矢量，则称此场为矢量场。
例如温度场、密度场、电位场等为数量场，而力场、速度场等为矢量场。
此外，若物理量在场中各点处的对应值不随时间而变化，则称该场为稳定场；否则，称为不稳定场。
后面我们只讨论稳定场（当然，所得的结果也适合于不稳定场的每一瞬间情况）。
在数学上给定一个数量场就相当于给定了一个数性函数)(M u u =；同样，给定了一个矢量场就相当于给定了一个矢性函数A=A )(M ，其中M 表示区域V 中的点。
当取顶了直角坐标系Oxyz 以后，空间中的点M 由它的三个坐标x 、、y、所确定，因此，一个数量场可以用一个数性函数)(x 、、y、z u u = （2.1.1）来表示。
同样，一个矢量场可用一个矢性函数A=A )(x 、、y、 （2.1.2） 来表示。
从数学观点看，数量场的概念与点函数概念相比没有新的内容，向量场的概念与向量函数相比没有新的内容，但是为了强调场这个概念的起源与物理意义，我们仍用“场”的有关术语重述前面有关章节的内容，并赋予它新的含义。
2、 数量场的等值面在数量场中，为了直观地研究数量u 在场中的分布状况，我们引入等值面的概念。
所谓等值面，是指由场中使函数u 取相同数值的点所组成的曲面。
例如电位场中的等值面，就是由电位相同的点所组成的等值面。
显然，数量场u 的等值面方程为C x 、、y、u ==)(（C 为常数）。
由隐函数存在定理知道，在函数u 为单值，且连续偏导数z y x u 、u 、u '''不全为零时，这种等值面一定存在。
第二章 场论
第二章 场论2.1 场1.场的概念：若对全空间或其中的某一区域V 中每一点M ，都有一个数量（或矢量）与之对应，则称在V 上给定了一个数量场（或向量场）。
２.数量场的等值面、等值线设空间中的一数量场(,,)u x y z ,从后我们总假定它单值，连续且具有一阶连续的偏导数。
那么空间中u 取值相同的点在空间中是如何分布的呢？这些点满足方程 (,,)u x y z C ≡，其中Ｃ常数。
若u 一阶偏导数不全为0（这也可作为默认的假设），由隐函数存在唯一性定理可知方程(,,)u x y z C ≡中(,)z f x y =，称这一曲面为数量场(,,)u x y z 的等值面，曲面上所有点均满足(,,)u x y z C ≡。
随着常数C 选取的变化，方程(,,)u x y z C ≡对应着不同的等值面，因为C 可取遍了u 值域中的每一个值，所以数量场(,,)u x y z 所在的空间将被这族等值面所充满，这些等值面彼此互不相交（若相交的话u 就不是单值函数了）。
若空间中数量场为平面数量场(,)u x y ，(,)u x y C ≡表示了一条平面曲线，称为数量场(,)u x y 的等值线，显然平面数量场(,)u x y 所在的平面区域被一族等势线充满，这些等值线彼此不相交。
3.矢量场的矢量线、矢量面、矢量管ˆˆˆ(,,)(,,)(,,)(,,)x y z A x y z A x y z i A x y z j A x y z k =++为空间的一矢量场，在空间中作这样的曲线，使得曲线的任一点M 处切线的放向数是()A M的三个分量，即曲线满足微分方程：x y zdx dy dzA A A ==则称这样的曲线为矢量场(,,)A x y z 的矢量线。
由微分方程理论（解的存在与唯一性定理）我们可知x y zdx dy dz A A A ==的解是矢量线族，这族矢量线不仅存在，并且也充满了矢量场所在的空间区域，而且互不相交。
场论知识点整理
*1.【圆函数】e (φ)=cos φi +sin φj .*2.a.弧长的微分ds =以点M 为界,当ds 位于s 增大一方时取正号;反之取负号.b.矢性函数的微分的模,等于(其矢端曲线的)弧微分的绝对值.矢性函数(其矢端曲线的)弧长s 的导数d r /ds 在几何上为一切单位矢量,恒指向s 增大的一方.+3.证明||.ds d d r t dt=证,d dx dy dz dtdt dtr i j k dt =++d dt r =由于ds 与dt 有相同的符号,故有.ds d dt dt r ===由此可知:矢端曲线的切向单位矢量.d d ds d d dt dt dt dtd r s r r r ==*4.【二重矢积】公式：a ×(b ×c )=(a ·c )b -(a ·b )c .+5.矢性函数A (t)的模不变的充要条件是.d d A A t•=0证假定|A |=常数,则有A 2=|A |2=常数.两端对t 求导[左端用导数公式],就得到.d d A A t •=0反之,若有.d d A A t •=0则有,d dt A =20从而有A 2=|A |2=常数.所有有|A |=常数.定常矢量A (t)与其导矢相互垂直.*6.''.A B A dt t B B A d ×=×+×∫∫''.A B A dt t B B A d •=•−•∫∫+7.一质点沿曲线r =rcos φi +rsin φj 运动,其中r,φ均为时间t 的函数.求速度v 在矢径方向及其垂直方向上的投影v r 和v φ.解将r 写成r =r e (φ),则有()().d dr d r dt dt v d r e e t ϕϕϕ==+1由此可知：,.r dr d v v r dt dtϕϕ==[使用圆函数e (φ)，则e (φ)及e 1(φ)之方向即为矢径方向及与之垂直的方向.]*8.【矢量线】A =A x i +A y j +A z k 为单值、连续且有一阶连续导数。
场论中的常用基本公式
3 3
是一个 R 到 R 的算子,从而我们考虑 ∇ 与 ∇ 的内积
3 3
∂ 2 ∂ 2 ∂ 2 ∇ ⋅∇ = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
+ + dxdydz ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫∫ ∂x ∂y ∂z
∂Ω Ω
∂P∂Q∂R Fra bibliotek(9)
′ cos )′是 ∂Ω 上的与诱导定向同方向的单位法向量,并记 dS 是曲面 若记 n = (cos ′, cos ,
∂Ω 的面积微分,那么投影面积向量微分为 dS = ndS .若再记体积微分 dxdydz 为 dV ,那么(9)
我们把 ∆ 定义为 ∇ ⋅∇ ,并称 ∆ = ∇ ⋅∇ =
∂2 ∂2 ∂2 为 Laplace 算子. + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
3 3
现在我们考虑更一般的情况,不妨设 R 到 R 的算子 Φ 为
Φ ( x, y, z ) = ( P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R ( x, y, z ) )
Ω ∂Ω
∂f
(16)
同理在(11)中令 Φ = f ∇g ,那么利用(13)就可以得到 Green 第二公式
∫∫∫ ( ∇f ⋅∇g + f ∆g ) dV = ∫∫ f ∂n dS
Ω ∂Ω
∂g
(17)
用(17)式减去(16)式可以得到
f − g dS ∫∫∫ ( f ∆g − g ∆f ) dV = ∫∫ ∂n ∂n
第03讲预备知识-场论1
e3
顺时针为负
置换符号说明： i、j 、k取值不同值时， εijk取1 或-1（6个），其余分量（21个）为零。即：
e2 e1 逆时针为正
ε 123 = ε 231 = ε 312 = 1
ε 132 = ε 213 = ε 321 = −1
置换法则：任意2个自由指标对换后差一个负号 正负取值规律：按右图中，逆时针取值为正，顺时针取值为负。
a = ax i + a y j + az k
任意一点M的矢径 矢径微分
r = xi + yj + z k
M z y o x
a
dr = dxi + dyj + dzk
dr × a = 0
r
叉积为零：
这就是向量线的微分方程(Differential Equation) 在直角坐标系(System Of Rectangular Coordinates)当中表示为
可以列表表示：
e1
′ e1
e2
e3
α 11 α12 α13 α 21 α22 α23
α 31 α 32 α 33
ei′ = α ij e j ei = α ji e ′j
e′ 2
′ e3
上述关系可简写为：
同理，老坐标的单位向量可用新坐标的单位向量表示：
根据上述单位向量的性质和关系可导出：
ei ⋅ e j = e′ ⋅ e′j i
a ⋅ bc = (a ⋅ b)c = (b ⋅ a )c = c (a ⋅ b)
ab ⋅ cd = a (b ⋅ c )d = (b ⋅ c )ad = ad (c ⋅ b) c ⋅ ab ⋅ d = (c ⋅ a )(b ⋅ d ) = (b ⋅ d )(c ⋅ a )
场论一些基本知识
在下面的公式中，r = xi + yj + zk 为矢径，r = r = x 2 + y 2 + z 2 是 r 的模，r = r r 是 单位矢径， f ( u ) 是 u 的复合函数。
两个矢量的数积(或称点积)
A 、 B 两矢量，夹角为 θ (≤ π ) ，其数积或点积定义为 Ai B = A B cos θ = Ax BxБайду номын сангаас+ Ay By + Az Bz
(A-1)
两矢量的数积中，既可将 B cos θ 看成是矢量 B 在 A 上的投影，也可将
A cos θ 看成是矢量 A 在 B 上的投影，因此，若 A 、 B 两大量相互垂直则必然有
ε ijk
上式表示 ε123 = ε 231 = ε 312 = 1 ， ε132 = ε 213 = ε 321 = −1 ，其余分量为 0。由此可知， ε ijk 中任 意两个自由指标对换，对应分量相差一个负号，如 ε132 = −ε123 故 ε ijk 称为置换符号。
二、哈密尔顿算子、梯度、散度、旋度及拉普拉斯算子
2.三种常见坐标系
柱坐标系、球坐标系及其速度分量 (a) 柱坐标系；(b) 球坐标系
1) x − y − z 直角坐标系 三个正交坐标轴的方向为 q1 = x, q2 = y, q3 = z 拉梅系数 h1 = h2 = h3 = 1
x, y, z 三个坐标方向的单位矢量为 e1 = i , e2 = j , e3 = k
速度矢量 v = vR eR + vθ eθ + vϕ eϕ
三、矢量与场论的基本定义与公式
A.1 矢量运算基本公式
直 角 坐 标 系 下 ， 任 意 矢 量 A 表 示 为 A = Ax i + Ay j + Az k ， 矢 量 A 的 模 为
场论拉普拉斯算子课件
05
拉普拉斯算子的应用 实例
一维波动方程
总结词
描述一维波动现象
详细描述
一维波动方程是描述一维波动现象的基本方 程，如弦的振动、波在固体中的传播等。拉 普拉斯算子在这个方程中起到关键作用，通 过求解该方程可以获得波的传播规律和特性 。
二维泊松方程
总结词
描述二维空间中的电荷分布问题
详细描述
二维泊松方程是描述电荷在二维空间中分布 的偏微分方程，常用于电场和电荷分布问题 的研究。拉普拉斯算子在求解这个方程中起 到重要作用，通过求解该方程可以获得电荷
分布的电场强度和电势。
高阶偏微分方程
总结词
描述更复杂的现象
详细描述
高阶偏微分方程可以描述更复杂的现象，如波动传播 、热传导、流体动力学等。在这些方程中，拉普拉斯 算子也扮演着重要的角色，通过求解这些方程可以深 入了解这些现象的内在规律和特性。
06
拉普拉斯算子的未来 发展与展望
数值计算方法的改进
总结词
研究三维空间中曲面上的几何对象和性质。
详细描述
在曲面几何中，拉普拉斯算子用于研究曲面上的曲线、切线和向量场的性质。通 过拉普拉斯算子，可以分析曲面上的曲率、切线方向和向量场的散度等，进一步 揭示曲面几何对象的微分性质和内在规律。
高维几何
总结词
研究高维空间中几何对象的性质和关系。
详细描述
在高维几何中，拉普拉斯算子用于研究高维空间中的超曲面、向量场和张量场的性质。通过拉普拉斯 算子，可以分析高维空间中的曲率、张量场的高阶导数等，进一步揭示高维几何对象的微分性质和内 在规律。
Δf = d^2f/dx^2 + d^2f/dy^2 + d^2f/dz^2 （ 在三维空间中）
场论基本公式范文
场论基本公式范文场论基本公式是描述物理领域中粒子相互作用的数学工具。
场论包括了量子场论和经典场论，其中量子场论是描述微观世界中基本粒子的相互作用的理论，而经典场论是描述宏观物理中连续介质的动力学方程的理论。
在这篇文章中，我将介绍一些场论中的基本公式，包括拉格朗日量、哈密顿量、场方程以及一些重要的对称性。
1. 拉格朗日量（Lagrangian）拉格朗日量是场论的一个重要概念，它描述了场的动力学。
对于一个标量场（scalar field），拉格朗日量可以写成：L=1/2(∂φ)^2-V(φ)其中，∂表示偏导数，φ是场变量，V(φ)是势函数。
拉格朗日量可以用来推导运动方程和守恒律。
2. 哈密顿量（Hamiltonian）哈密顿量是场论中描述能量和动量的重要量。
对于标量场，哈密顿量可以写成：H=∫d^3x(πφ-L)其中，π是场的共轭动量。
哈密顿量可以用来推导运动方程和量子态的演化。
3. 场方程（Field Equations）场方程是场论中描述场的运动的基本方程。
对于标量场，场方程可以由拉格朗日量导出：(∂^2/∂t^2-∇^2)φ=-∂V(φ)/∂φ其中，∂^2/∂t^2表示时间的二次偏导数，∇^2表示拉普拉斯算符。
场方程描述了场的演化。
4. 对称性（Symmetry）对称性在场论中起着重要的作用。
对称性的数学描述是场变换不改变物理系统的性质。
对称性可以导致守恒律和约束条件。
常见的对称性包括时间平移对称性、空间平移对称性和规范对称性。
以上是场论中的一些基本公式。
场论是描述自然界的重要理论，它在量子物理、高能物理、宇宙学等领域具有广泛应用。
深入理解场论的基本公式对于理解物理学的基本原理和解决实际问题是非常重要的。
矢量分析与场论
矢量分析与场论简介矢量分析与场论是研究物理学中的重要分支，广泛应用于电磁学、流体力学、力学等领域。
矢量分析用于描述和分析具有大小和方向的物理量，例如力、速度、加速度等。
场论则将物理量看作空间中的场，并通过场的分布和变化来描述物理现象。
本文将介绍矢量分析的基本概念和常见运算，并探讨场论的基本原理和应用。
矢量分析矢量的定义和表示矢量是具有大小和方向的物理量。
在二维空间中，矢量可以表示为有序对(x, y)，其中x和y分别表示矢量在x轴和y轴上的分量。
在三维空间中，矢量可以表示为有序三元组(x, y, z)，其中x、y和z分别表示矢量在x轴、y轴和z轴上的分量。
通常将矢量用粗体字母如A表示。
矢量的运算矢量之间可以进行加法、减法和数量乘法等运算。
矢量的加法两个矢量A和B的加法定义为将它们的相应分量相加，即：A +B = (Ax + Bx, Ay + By)两个矢量A和B的减法定义为将B的相应分量取负后与A相加，即：A -B = (Ax - Bx, Ay - By)数量乘法将矢量的每个分量乘以一个实数称为数量乘法，表示为：c A = (cAx, cAy)矢量的模和方向矢量的模表示矢量的大小，矢量的方向表示矢量的指向。
在二维空间中，矢量(x, y)的模可以通过勾股定理求得：||A|| = sqrt(x2 + y2)在三维空间中，矢量(x, y, z)的模可以通过类似的方法求得：||A|| = sqrt(x2 + y2 + z2)矢量的方向可以用一个角度来表示，通常用与x轴的夹角来表示，记为θ。
矢量的点积和叉积矢量的点积和叉积是矢量分析中常用的运算。
两个矢量A和B的点积定义为两个矢量的模相乘再乘以它们夹角的余弦值，表示为A·B：A·B = ||A|| ||B|| cos(θ)点积的结果是一个标量，即一个没有方向的量。
点积还满足交换律和分配律。
矢量的叉积两个矢量A和B的叉积定义为一个新的矢量，其模等于两个矢量模的乘积再乘以它们夹角的正弦值，表示为A×B：A×B = ||A|| ||B|| sin(θ) n其中n是一个垂直于A和B的单位矢量，它的方向由右手法则确定。
场论。数学方法简介
力
学
01:51:28
1.4散度
宇
下面介绍矢量场散度的概念:
航
推 进
首先定义矢量a通过面S的通量,有以下几种表示方法
系
----
a dS a nds ands
流
S
S
S
体
y
n
力 学
ax cos(n, i ) ay cos(n, j) az cos(n, k ) ds dz
S
dy
axdydz aydzdx azdxdy
----
宇 第一章.数学方法简介
航 推 进 系
—矢量分析与场论
流 体 力 学
矢量分析与场论内容
宇 航
❖ 1.1 矢量运算
推 进
❖ 1.2 场的概念
系
❖ 1.3 梯度
----
❖ 1.4 散度
流 体
❖ 1.5 旋度
力 学
❖ 1.6 哈密尔顿算子
❖ 1.7 拉普拉斯算子与调和场
01:51:24
1.1矢量运算
系
化率最大？最大变化率是多少呢？
----
流
❖ 从方向导数的表达式可以看到，方向s的方向余弦
体
表示了所取的方向，而三个偏导数则由数量场唯一
力
确在定直。角坐标系中方向导数的表达式为:
学
cos(s, i ) cos(s, j) cos(s, k )
s x
y
z
x
i
y
j
z
k
cos(s,i )i
宇 航
❖ 混合积
推
进 系
a（b ca)（bc (ac)ba)c（(ab(cbc) a)bc (ca ab)
四元数,矢量运算规则,场论基础,并矢,算符,场量的Taylor展开,正交曲线坐标系,Delta函数
四元数quaternions复数对四则运算,代数运算,极限自封.四元数是复数的扩展.四元数有四个单元:k ,j ,i ,1.四元数定义dk cj bi a +++=α,其中R d ,c ,b ,a ∈ 另一四元数R 'd ,'c ,'b ,'a ,k 'd j 'c i 'b 'a ∈+++=β,则四元数加减法定义对应分量相加减;四元数乘法定义为)k 'd j 'c i 'b 'a )(dk cj bi a (++++++=αβk )'cb 'bc 'da 'ad (j )'bd 'db 'ca 'ac (i )'dc 'cd 'ba 'ab ()'dd 'cc 'bb 'aa (-+++-+++-+++---=四元数的单元间的运算规则: j ik ki ,i kj jk ,k ji ij ,1k j i 222=-==-==-=-===四元数加法适合结合律,交换律;,即)()(βγαγαβ=而一般βααβ≠.(βααβα=⇒∈R ) 对实数有效的运算规则对复数总有效,但对复数有效的运算规则对四元数不总有效,(如上述的乘法的交换律)！！！ 四元数的共轭: dk cj bi a :---=α,若dk cj bi a +++=α 性质:αβαβ=四元数的迹: R a 2:)(S ∈=+=ααα性质: )(S )(S )(S βαβα+=+四元数的模:R d c b a :)(N 2222∈+++==ααα性质: )(N )(N )(N βααβ⋅=,0)(N 0=⇔=αα证明: 0,oder ,00==⇒=βααβ00)(N 00)(N 00,und ,0=⇒⎭⎬⎫≠⇒≠=⇒=⇒≠=βααβαααβαααβ,即00,und ,0=⇒≠=βααβ,同理00,,0=⇒≠=αβαβund证明:若α是方程0)(N )(S x 2=+-αα的根,则α也是其根.因为,α是方程0)(N )(S x 2=+-αα的根0)()(2=++-⇒ααααα⇒=++-⇒0)()(2αααααα也是其根)四元数域内二次方程一般不止两个根,如最简单的方程1x 2-=就最少存在k ,j ,i ±±±6个根,实际上1x 2-=有无穷多个根,因为使1r q p 222=++成立的实数r ,q ,p 有无穷多个,而1)r q p ()rk qj pi (2222-=++-=++Halmiton 四元素体;第一个非交换体,1843 年 W.R.Hamilton 为建立三维复数空间,把复数x+iy 作为有序偶的实数,并定义规则,使i 在有明确意义: 4阶实方阵集H内方阵型如⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------a b c d b a d c c d a b d c b a ,令⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110011010011001011001101111K ;J ,E ,I ,则集H 内任意方阵可唯一表为dK cJ bE aI +++,即}R d ,c ,b ,a |dK cJ bE aI {H ∈+++=,H 对矩阵减法封闭;且I K J E -===222,;J KE ,E JK ,K EJ ===J EK ,E KJ ,K JE -=-=-=,矩阵乘法在H 内封闭,故H 对矩阵加,乘法构成环;H 的元素个数>1;I 是H 的单位元,又因I )d c b a ()dK cJ bE aI )(dK cJ bE aI (2222+++=---+++,且当0≠+++dK cJ bE aI 时,d ,c ,b ,a 不全为零,故02222>+++d c b a ,所以H 中非零元在H 内存在逆元,综上所述H 是非交换体,常称H 为四元数环,称H 内的元为四元数Quaterion : t+xi+yj+zk,其中t为数量部分/纯量部分,xi+yj+zk 为向量部分.四元数系构成了以实数域为系数域的有限维可除代数,是向量代数和向量分析基础. 矢量运算规则两矢的内积:)b ,a cos(|b ||a |b a ∧=⋅ R V ,V →两矢的外积: )b ,a sin(|b ||a ||b a |∧=⨯, b ,a )b a ( ⊥⨯ V )V ,V (→ 物理意义: b ,a 两矢内积是功; b ,a 两矢外积的模是以b ,a两矢的为边平行四边形的面积. 故内积可交换,外积可反交换外积和内积的关系:)b ,a (sin |b ||a |))b ,a (cos 1(|b ||a |)b a (|b ||a ||b a |2222222222∧∧=-=⋅-=⨯ 即)b ,a sin(|b ||a ||b a |∧=⨯推论 22b a b b a a )b a ()b a (;b a )b a ()b a (-=⋅-⋅=+⋅-⨯=+⨯-四元数和两重积间的联系:两四元数k a j a i a 321++=α,k b j b i b 321++=β;两矢量)a ,a ,a (a 321=,)b ,b ,b (b 321= 间关系βα↔↔b ,a 两矢内积和四元数间的关系:两量积)Re()Re()(21)(21b a αββαβαβααββα-==+=+=⋅ ,即两矢内积b ,a 对应于四元数βα的实部.两矢外积和四元数间的关系:矢量内积)Im()Re()(21b a αβαβαβαβαβ=-=-=⨯ ,即两矢外积b a ⨯对应于四元数αβ的非实部.两矢内积,外积和四元数间的关系:αβ=⋅-⨯b a b a三矢内积)c b (a c )b a (:]c ,b ,a [ ⨯⋅≡⋅⨯=,R V ,V ,V → 物理意义: c ,b ,a 三矢的内积是以c ,b ,a三矢为边的平行六面体的体积性质:b )c a (a )b c (c )a b (b )a c (a )c b (c )b a (⋅⨯-=⋅⨯-=⋅⨯-=⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯推论:0]q c ,p b ,r a []p c ,r b ,q a []r c ,q b ,p a [=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯2]c ,b ,a []a c ,c b ,b a [ =⨯⨯⨯ 三矢外积c )b a ()c a (b )c b (a⋅-⋅=⨯⨯V )V ,V ,V (→c)b a (b )c a (c c c )b a b a b a (b b b )c a c a c a (c )b a b a b a (b )c a c a c a (c )b a b a b a (b )c a c a c a (c )b a b a b a (b )c a c a c a ()c b c b (a )c b c b (a )c b c b (a )c b c b (a )c b c b (a )c b c b (a c b c b c b c b c b c b a a a )c b (a 321332211321332211333221133322112332211233221113322111332211233223113112211233233113312212122131132332321⋅-⋅=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-++++-++++-++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯⨯推论0)b a (c )a c (b )c b (a=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯四矢内积:)c b )(d a ()d b )(c a (db cb d a ca )d c ()b a (⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⨯⋅⨯R )V ,V ,V ,V (→)c b )(d a ()d b )(c a (a )d )c b (c )d b ((a ))d c (b ()d c ()b a (三矢外积三矢内积 ⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅=⋅⨯⨯=⨯⋅⨯四矢外积:a ]b ,d ,c [b ]a ,d ,c [d ]c ,b ,a [c ]d ,b ,a [)d c ()b a (-=-=⨯⨯⨯ V )V ,V ,V ,V (→ a ]b ,d ,c [b ]a ,d ,c [a )b )d c ((b )a )d c (()d c ()b a (;d ]c ,b ,a [c ]d ,b ,a [d )c )b a ((c )d )b a (()d c ()b a (三矢外积三矢外积 -=⋅⨯-⋅⨯=⨯⨯⨯-=⋅⨯-⋅⨯=⨯⨯⨯推论c ]c ,b ,a []d ,b ,a [b ]c ,b ,a []c ,d ,a [a ]c ,b ,a []c ,b ,d [d 0]c ,b ,a [ ++=→≠ )d a )(c b ()c a )(d b ()}d c (b {a ⨯⋅-⨯⋅=⨯⨯⨯流线 等X 面/线 通量 环流量 散度 旋度 方向导数 梯度为形象描述矢量场)z ,y ,x (f 定义)z ,y ,x (f 的流线f.为形象描述标量场)z ,y ,x (ϕ定义)z ,y ,x (ϕ的等X 面/线.S d 为开/闭有向曲面S 上一面元,矢量f 在面元S d 上的元通量S d f d f⋅=Φ,面积分得矢量场)z ,y ,x (f 在曲面S 上的通量(标)⎰⋅=ΦSf S d fl d 为开/闭有向曲线l 上一面元,矢量f 在线元l d 上的元环量l d f d f⋅=Θ,线积分得矢量场)z ,y ,x (f 在曲线l 上的环量(标)⎰⋅=Θlfl d f 矢量场)z ,y ,x (f的散度(标):描述有源场源/汇强度. 正/负/零散度对应于源/汇/无源无汇闭合曲面S 包围体积V ∆,0V →∆时f 在S上的通量与V ∆比的极限称为矢量场)z ,y ,x (f 的散度V /S d f lim f div S 0V ∆⋅=⎰→∆矢量场)z ,y ,x (f的旋度(矢):描述有旋场旋涡强度和旋涡法矢方向. 旋度的法向分量的模的大小顺比于涡旋场旋涡程度.闭合曲线l 包围有向曲面S ∆,0S |S |→∆=∆ 时f 在l 上的环量与S ∆的比的极限称为矢量场)z ,y ,x (f 的旋度f rot 沿S∆法向的分量S /l d f lim )f rot (l 0S n ∆⋅=⎰→∆ 等效于0S →∆时S )f rot (l d f ∆⋅=⋅⎰标量场)z ,y ,x (ϕ的梯度(矢):描述标量场各点空间变化率及方向.某场点的梯度的方向是标量场变化最快的方向,其模是标量场单位长度的变化率.场)z ,y ,x (ϕ沿l d 向改变ϕd ,称dl d ϕ为ϕ沿l d 向的方向导数,dl d ϕ等于ϕ的梯度的l d 向分量l d )grad (d dld )grad (l ⋅=⇔=ϕϕϕϕ积分变换公式Gauss 定律: ⎰⎰∂⋅=⋅∇VV dS f n dV f(f 的散度对体积V 体积分 ←转换→ f 对V 的包面的闭面积分)Stokes 定律: ⎰⎰∂⋅=⋅⨯∇SS l d f dS n )f ((f 对有向曲线S ∂的闭线积分 ←转换→ f 的旋度对以S∂为边的有向曲面S 的面积分)Green 恒等式:⎰⎰⎰⎰⎰∂∂∂∂∂=⋅∇=⋅∇=∇⋅∇=∇+∇⋅∇V V V V V 2dS ndS n )(S d )(dV )(dV )(ψφψφψφψφψφψφ (n ∂∂:外法线方向导数)Green 定理:⎰⎰⎰⎰⎰∂∂∂∂∂-∂∂=⋅∇-∇=⋅∇-∇=∇-∇⋅∇=∇-∇VV V V V 22dS )n n (dS n )ˆˆ(S d )ˆˆ(dV )ˆˆ(ˆdV )ˆˆ(φψψφφψψφφψψφφψψφφψψφ ⎰⎰⨯∇=⨯∂V V dV A A S d (⎰⎰⎰⎰⎰⎰⨯∇⋅=⨯⋅⇔⨯∇⋅=⨯⋅∇=⨯⋅=⨯⋅∂∂∂VV V V V V dV )A (C )A S d (C dV )A (C dV )C A ()C A (S d )A S d (C) ⎰⎰∇=∂VVdV S d ψψ (⎰⎰⎰⎰⎰⎰∇⋅=⋅⇔∇⋅=⋅∇=⋅=⋅∂∂∂VVVVVVdV C )S d (C dV C dV )C (S d C )S d (C ψψψψψψ)⎰⎰∂=∇⨯SSl d S d ψψ(⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂⋅=⋅∇⨯⇔⋅=⋅⨯∇=⋅⨯∇=⋅∇⨯SSSSSSl d C C )S d (l d C S d )C (S d )C (C )S d (ψψψψψψ)并矢 及其运算标量是零阶张量,矢量是一阶张量,二阶三维张量借助于直角坐标转动矩阵定义:矢量i T 在坐标架转动满足变换关系i mi m T R T =,坐标转动矩阵miR 即二阶张量.二阶张量ij T 满足变换关系ij nj mi mn T R R T =.由两矢B A ,并列放置且之间无运算则构成并矢B A,含9个分量,记为j i B A ,由于i A 和j B 分别满足:i mi m A R A =,j nj m B R B =,故并矢B A满足j i nj mi B A R R B A = ,故并矢是二阶张量的一种形式,显然三个矢量的并矢具有三阶张量的变换关系. ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=≡><≡⊗≡z z z z z z y y y y y y x x x x x x z y x z y x v v g f g f g f g f g f g f g f g f g f g g g f f f g f g f g f g f || , 单位并矢(单位二阶张量)ij ij kk jj ii r δ=I =++=∇=I,性质:X X X =⋅I =I ⋅;(X 为矢量或算符); 2:∇=∇∇ I ; ϕϕ∇=⋅∇)(I ; )(:T Spur T T I ii ==; g f g f I ⋅=:;并矢-矢量点乘区分左右:右点乘p g f p g f )(⋅=⋅;左点乘)(f p g f p g⋅=⋅,这样,三矢外积可用并矢表示)()(p g g p f p g f -⋅=⨯⨯两二阶张量B A ,间的双点乘:ji ij B A B A = :(或))(()(:)(q f p g q p g f⋅⋅=)双点乘得到的标量是两矩阵积的迹.并矢的微分运算要注意是对那个张量进行的,一般需加括号.g f f g g f)()()(∇⋅+⋅∇=⋅∇g f g f g f)()()(∇⨯-⨯∇=⨯∇f r f r r f ⋅+⋅∇=⋅∇2)(22f r f r f +⋅∇=⋅∇)()(f r r f r r f r r f++⋅∇=⋅∇)()( ⎰⎰⎰∂∂⋅I =I ⋅=I ⋅∇VV V S d dS n dV⎰⎰∂I ⨯=I ⨯∇VV dS n dV⎰⎰∂=∇V V dS f n dV f⎰⎰∂⋅=⋅∇VVS d g f dV g f)()(根据以上矢量运算定理,可把Gauss 定理⎰⎰∂=∇VV n S d dV 和Stokes 定理⎰⎰∂=∇⨯SS l d n dS 的运算推广到对标量,矢量,张量的各种运算∇算符具有:矢量性和算符性.∇对矢量左/右/点/叉乘不可交换,矢量运算规则也适于∇,但需调整∇在结果中的位置,使等式左右量同型. f )g (g )f ()g f ( ⋅⨯∇-⋅⨯∇=⨯⋅∇ (第一式点和叉换位,取正;第二式交换第一式中的两矢量次序,取负)f )f ()f (2 ∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇ (按c )b a ()c a (b )c b (a⋅-⋅=⨯⨯写结果,再调整次序,使右端得矢量)ψϕϕψϕψ∇+∇=∇ )( f f )()f ( ⋅∇+⋅∇=⋅∇ϕϕϕf f )()f (⨯∇+⨯∇=⨯∇ϕϕϕ 2f 21f )f ()f f (f )f (f )f ( ∇-⋅∇=⋅∇-⋅∇=⨯⨯∇]g )f ()f (g []f )g ()g (f [)g f (∇⋅+⋅∇-∇⋅+⋅∇=⨯⨯∇ )f (g )g (f f )g (g )f ()g f (⨯∇⨯+⨯∇⨯+∇⋅+∇⋅=⋅∇3r =⋅∇ ; I r r =⊗∇≡∇; r e r r r ==∇;0e r r =⨯∇=⨯∇; r 2e r =⋅∇ 2r 3re r r r 1 -=-=∇ r e dr df r ˆdr df )r (f ˆ =∇=∇ ⎩⎨⎧=∞≠=-=-∇=-∇=∇)0(,)0(,0)(4ˆˆ1ˆ232r r r r e r r r r πδ Coulomb 定理的微分式:Green 函数|'r r |141)'r ,r (G ),r (4r e ˆ02r -==∇πεπδ标量场的梯度场无旋0)(≡∇⨯∇ϕ无旋场必可表为一标量场的梯度ϕ∇=⇒=⨯∇f 0f矢量场的旋度场无源0)f (≡⨯∇⋅∇ 涡旋场必可表为一矢量场的旋度A f 0f⨯∇=⇒=⋅∇a,0E ,k 为常矢a r )a ()r a ( =∇⋅=⋅∇ r r a r a ⋅=∇⋅ r a]e )e a (a [r 1e )a (r r r ⊥=⋅-=∇⋅ 533r r )r a (3r a r r )a ( ⋅-=∇⋅ 0a )r (r )a ()r a (=⋅⨯∇-⋅⨯∇=⨯⋅∇a 2r )a ()r (a )a (r a )r ()r a ()r a ()r a (r a =∇⋅-⋅∇+⋅∇-∇⋅=⨯⨯∇+⨯⨯∇=⨯⨯∇ 5333333r r )r a (3r a a )r r ()a (r r r r )a ()r r (a )r r a ( ⋅-=∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇ 0a )rr (r r )a ()r r a (333=⋅⨯∇-⋅⨯∇=⨯⋅∇ 35333333r a r )r a (3r r )a (a )r r ()a (r r r r )a ()r r (a )r r a ( -⋅=∇⋅-=∇⋅+⋅∇-∇⋅-⋅∇=⨯⨯∇33rr a )r r (a r 1a ⋅-=-⋅=∇⋅ r k i 0e E E ⋅=:E k i E ⋅=⋅∇;E k i )k i (e E )]r k i (e [E e E )e E (E r k i 0r k i 0r k i 0r k i 0⨯=⨯-=⋅∇⨯-=⨯∇-=⨯∇=⨯∇⋅⋅⋅⋅其中1:=⋅=r r r r e e I e e 故r r e e I r r I r r :'':''22==.Taylor 展开:...)(...'...''!)(...)(''!)('|'|,...,,+∂∂∂∂-++∂∂∂+∂∂-=-∑∑∑kj i k j i nk j i ji j i j i ii i rx x x x x x n r x x x x r x x r r r 111211112 其中k j i ,...,,取1,2,3; i x 代表直角坐标系的三个分量,注意:1 上式是对'r 展开; 2 对'r 的展开和对'r的展开相差一个负号. 曲线正交坐标系(Krummlinigen Koordinaten)三维空间里确定一点P 的位置需3个坐标321u ,u ,u .若P 点坐标在直角坐标系中表为)u ,u ,u (z ),u ,u ,u (y y ),u ,u ,u (x x 321321321===,则)z ,y ,x (u u ),z ,y ,x (u u ),z ,y ,x (u u 332211===,两坐标系等价.=i u 常数)3,2,1i (=的曲面是坐标面,他们的单位法向矢量为)3,2,1i (,e i =,其指向为iu 增加的方向.当过P 点的三坐标曲面两两垂直时,三坐标面的三交线也两两垂直,称此类坐标系为正交曲线坐标系.正交条件)j i (,0)u z )(u z ()u y)(u y ()u x )(u x (h ji j i j i 2ij≠=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=.由i 31i i i 31i i i 31i i du u z dz ,du u ydy ,du u x dx ∑∑∑===∂∂=∂∂=∂∂=得2222)dz ()dy ()dx ()ds (++=232322222121j,i j i 2ij )du (h )du (h )du (h du du h ++==∑,其中2i 2i 2i 2ii 2i )u z ()u y()u x (h h ∂∂+∂∂+∂∂==,称)3,2,1i (,h i =为Lame 系数或度量因子.Delta 函数定义)a (f )x (f )a x (=-δ⎰性质1 偶函数)x ()x (δ=-δ2 采样性)a (f )x (f )a x (=-δ⎰3 函数下的面积⎩⎨⎧∉∈=-δ⎰])b ,c [a (,])b ,c [a (,dx )a x (bc 01; ⎩⎨⎧=∞≠=-δ)a x (,)a x (,)a x (04 缩放 )x (|a |)ax (δ=δ1证明)x (|a |)ax ()a (,|a |dz )z (|a |dz )z ()a (,a dz)z (dx )ax (|a ||a |a a a a δ=δ⇒⎪⎩⎪⎨⎧<δ=-δ>δ=δ⎰⎰⎰⎰∆∆-∆∆-∆∆-∆∆-100 5 若)(x f 为连续函数,且∆为包含a 电的任意长度区间,则a )x (g |)]x ('g /)x (f [dx ]a )x (g [)x (f =∆=-δ⎰证明dy a y g g dx dy x g dx dx x g dy a x g y a y g x a x g y )](['1)('1)(')()()(11+=→⎪⎭⎪⎬⎫=→=→-=+=→-=-- 若)x (f 为单值连续函数,且有N 个过零点N ,...,,i ,x i 321=,则a x g x g x f a g g a g f dy a y g g y a y g f dx a x g x f =--∆--∆==++=-⎰⎰)(1111|)('1)()](['1)]([)](['1)()]([])([)(δδ 6 复合函数∑-δ=δii i )x x (|x /)x (df |)]x (f [1 证明: )x (f y =单值连续,则)x (f 在每个过零点的邻域内可逆;且)x (g 为任意品优(gutartig)函数,则dy )]y (f ['f 'x dy )x ('f 'x dy )]'y (f ['x )y (f x )x (f y 11111---=→=→=→=→=⎰∑∑∑∑⎰⎰+∞∞---∆+∆---+∞∞--δ===δ=δii i ii i iix x dx )x x (|)x ('f |)x (g |)x ('f |)x (g )](f ['f )](f [g dy )]y (f ['f ]y [)]y (f [g dx )]x (f [)x (g i i1101011111 被积函数须相等,再由)x (g 的任意性,得∑-δ=δii i )x x (|x /)x (df |)]x (f [1 6 导数x)a x (:)a x ('∂-δ∂=-δ则)a ('f dx )a x (')x (f -=-δ⎰∆证明)a ('f dx )x ('f )a x ()x (df )a x (|)]a x ()x (f [)a x (d )x (f dx )a x (')x (f =-δ-=-δ--δ=-δ=-δ⎰⎰⎰⎰∆∆=+∆-∆∆∆ 07)a (f )(dx )a x ()x (f )n (n )n (1-=-δ⎰∆证明)a (f )(dx )x (f )a x ()(dx )x (f )a x ()(...dx )x (''f )a x ()x ('df )a x (|)]a x ()x ('f [)a x (d )x ('f dx )x ('f )a x ()x (df )a x (|)]a x ()x (f [)a x (d )x (f dx )a x ()x (f )n (n )n (n)m ()m n (m)n ()n ()n ()n ()n ()n ()n ()n ()n (1112202211011-=-δ-=-δ-==-δ=-δ+-δ-=-δ-=-δ-=-δ--δ=-δ=-δ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∆∆-∆-∆-=+∆-∆-∆-∆-∆-=+∆-∆-∆-∆⎰∆=-=-δa)x (g |]})x ('g )x (f [dx d )x ('g {dx ]a )x (g [')x (f 1 三维δ函数⎩⎨⎧=≠=-δ-δ-δ=-δ)r r (,)r r (,)z z ()y y ()x x ()r r (00000010曲线系下的三维δ函数3213020103020100h h h )u u ()u u ()u u (|)u ,x (J |)u u ()u u ()u u ()r r (i i -δ-δ-δ=-δ-δ-δ=-δ ,(其中)u ,x (J i i 为Jacobi 行列式)柱坐标系下)z z ()()()r r (00001-δϕ-ϕδρ-ρδρ=-δ球坐标系下)()()r r (sin r )r r (000201ϕ-ϕδθ-θδ-δθ=-δ注意:n 维δ函数的量纲为n m -,即n -米δ函数的逼近钟形曲线: 2201xa a lim )x (a +π=δ→ Gauss 曲线;)x n exp(n lim )x (n 220π-=δ→sinc 函数: )kx (c sin k lim x kx sin lim )x (k k π=π=δ∞→∞→1sinc 函数平方: )kx (c sin k lim kx kx sin lim )x (k k 2221π=π=δ∞→∞→ 复指函数:⎰⎰+∞∞-+∞∞-π=±π=δdk )kx cos(dk )ikx exp()x (121盒子函数:∑+∞-∞==δn )L /inx exp(L )x (21*********************.cn。
场论基本公式
场论中重要的公式梯度123123123111=h h h u u u u a a a q q q∂∂∂∇++∂∂∂散度()()()1232313121231231=h h h h h h h h h A q q q A A A q q q ⎡⎤∂∂∂⎢⎥∇++⎢⎥∂∂∂⎣⎦算子22313121231231122331u=h h h h h h h h h h h h u u u q q q q q q ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∇旋度1231231231231231231=h h h h h hh h h A q q qaaaqqqA A A ∂∂∂∇⨯∂∂∂直角坐标：1231h h =h==柱坐标：1321,h h h r ===球坐标：1231,,sin hh h r r θ===电场33'00'()44q R q r r E r R r rπεπε-==-电场的高斯定理0/SE dS Q ε⋅=⎰对应微分0/E ρε∇⋅=介质中D ρ∇⋅=，S D dS Q ⋅=⎰ ，其它的一样。
载流导电媒质中恒定电场基本方程：0lE dl ⋅=⎰ 对应微分0E ∇⨯=0SJ dS ⋅=⎰对应微分0J ∇⋅=pE dl ϕ∞=⎰ ，有时也写成这样0()p p pr E dl ϕ=⋅⎰，对应微分E ϕ=-∇泊松方程20/ϕϕρε∇⋅∇=∇=- 拉普拉斯方程20φ∇=极化体密度(')'(')p r P r ρ=-∇⋅极化面密度(')SP P r n ρ=⋅磁场毕奥萨弗尔定理011134I dl RdB Rμπ⨯=真空中的安培环路定理0CB dl I μ⋅=⎰ 对应微分0B J μ∇⨯=介质中CH dl I ⋅=⎰，H J ∇⨯=磁场的高斯定理0SB dS ⋅=⎰对应微分0B ∇⋅=由恒定磁场的基本方程，在无自由电流(J=0)的区域里有0H ∇⨯=所以可假设的标量磁位mH ϕ=-∇ （因为0ϕ∇⨯∇≡）泊松方程2m m φρ∇=- 拉普拉斯方程20m ϕ∇=边界条件2121212121m m n n t t m m B B n n H H ϕϕμμϕϕ∂∂→=∂∂==→=对引入矢量磁位A0B ∇⋅= ，根据()0A ∇⋅∇⨯≡，所以可以定义B A =∇⨯AE tϕ∂=-∇-∂磁矢位的泊松方程20A J μ∇=-拉普拉斯方程20A ∇=在推导过程中，令0B H M μ=- ，M为磁化强度磁化体电流密度m J M =∇⨯ 磁化面电流密度mS J M n =⨯00(1)m r B x H H H μμμμ=+== 位移电流D D SSd d D I D d s d s dt dt tΦ∂==⋅=⋅∂⎰⎰⎰⎰它的表达式说明位移电流的实质是时变电场位移电流密度0eD DE P J t t tε∂∂∂==+∂∂∂ ， 全电流密度/D J J J J D t =+=+∂∂全麦克斯韦方程组：积分形式 0l S l S SSVD H dl J dS t BE dl dS tB dS D dS dV Qρ⎛⎫∂⋅=+⋅ ⎪∂⎝⎭∂⋅=-⋅∂⋅=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰微分形式0D H J t B E t B D ρ∂∇⨯=+∂∂∇⨯=-∂∇⋅=∇⋅=表征媒质宏观电磁特性的本构关系为 00()D E P B H M J E εμσ⎫=+⎪⎪=+⎬⎪=⎪⎭对于各向同性的线性媒质， 上式可以写为D EB H J E εμσ===电位移矢量的法向分量边界条件的矢量形式为21()(1)S n D D ρ⋅-=21n n S D D ρ-=若分界面上没有自由面电荷， 则有 12n n D D =磁感应强度矢量的法向分量的矢量形式的边界条件为21()0(2)n B B ⋅-=21n n B B = 磁场强度矢量的切向分量的矢量形式的边界条件为21()(3)Sn H H J ⨯-=电场强度矢量的切向分量的矢量形式的边界条件为21()0(4)n E E ⨯-=定义坡印廷矢量S E H =⨯，坡印廷矢量表示某时刻单位时间垂直通过曲面上单位面积的电磁能量——电磁功率流密度。
0数学预备--场论
v V
nvdS
。
S
注：法向的选取和通量的物理意义
对于闭合曲面 S ，取外法向为正，则通过 S 的质量通量定义为
Q
乙 VvnvdS
义：单位时间内从 S 净流出的水量（流出的质量减去流入的质量）
其他常见通量：
流体体积通量
vv
Q Ò V dS
流体动量通量 Ò VvVvdSv
电通量
该闭合曲面上的流体体积通量为：
Q
v
Ò V S
v dS
u(
x
1 2
x,
y,
z
)
u(
x
1 2
x,
y,
z
)
y
z
v(x,
y
1 2
y,
z)
v(
x,
y
1 2
y,
z)
x
z
w(
x,
y,
z
1 2
z)
w(
x,
y,
z
1 2
z)
x
y
u x
v y
w z
x
y
z
O(
x
y
z)
vv
v divV
lim
Ò V
S
dS
u
v
w
SM x y z x y z
1）中心在原点，边长为 a 的立方体表面的流体体积通量； 2）原点处的速度散度。
§3-5 奥高公式
以水体积通量为例。用三族正交平面将空间 分割成无数个微小体积元。
第 i 个体积元表面上的体积通量为
S
1）水均匀流动，流速 u ，平面 S 若 S 法向沿流速方向，单位时间内通过 S 的水质量，即质量通量
积分变换与场论
积分变换与场论1. 引言积分变换与场论是理论物理学中重要的研究方向之一。
积分变换是一种数学工具，广泛应用于信号处理、微分方程求解、概率统计等领域。
而场论则是研究场的性质和行为的学科，常用于描述量子力学和相对论等领域中的物理现象。
2. 积分变换积分变换是将一个函数通过积分变换运算映射到另一个函数的过程。
常见的积分变换包括傅立叶变换、拉普拉斯变换和Z变换等。
这些变换在信号处理和微分方程求解中广泛应用，能够将复杂的问题转化为更简单的形式。
2.1 傅立叶变换傅立叶变换是将一个时域信号转换为频域信号的方法。
它将函数表示为一系列正弦和余弦函数（正弦和余弦函数是傅立叶变换的基函数），可以将信号的频谱特性清晰展示出来。
傅立叶变换在数字信号处理、图像处理、通信等领域中有着广泛的应用。
2.2 拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种在微分方程求解中常用的积分变换方法。
相比于傅立叶变换，拉普拉斯变换能够处理更加一般的函数形式和更复杂的微分方程。
通过将微分方程转化为代数方程，问题可以得到更简单的求解。
2.3 Z变换Z变换是将离散时间信号转化为复频域信号的方法。
它将离散信号视为离散傅立叶变换的特例，并通过复平面上的积分来计算频域特性。
Z变换在数字信号处理中特别重要，广泛应用于滤波器设计、系统建模等领域。
3. 场论场论是一种描述宏观物质运动或微观粒子相互作用的理论。
通过引入场的概念，可以以连续的方式描述物质的性质和相互作用。
场论在量子力学和相对论中都扮演着重要的角色。
3.1 经典场经典场理论描述了宏观物质的运动和相互作用。
典型的经典场包括电磁场、引力场和流体力学中的流场等。
经典场模型通常基于拉格朗日或哈密顿形式，可以通过守恒量和变分原理等方法来推导物质运动的方程。
3.2 量子场量子场论是描述微观粒子相互作用的理论。
在量子力学中，粒子被视为场的激发或模式，而不是单独的实体。
量子场论可以通过路径积分、费曼图等方法来计算量子力学中的粒子相互作用和过程。
场论标量场的梯度矢量场的散度和旋度
高斯定理
散度定理 The divergence theorem
散度定理：
既然矢量的散度代表的通过一个点流出或流入量的大小, 因此矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封 闭面的总通量, 即
V 上式称为散度定理, 也称为高斯定理。
Adv A ds
场物质的守恒定律
高斯定理的物理意义： 从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。 从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域 V 中的场和包围区域 V 的闭合面 S 上 的场之间的关系。 如果已知区域 V 中的场，根据高斯定理即可求出边界 S 上的场，反之亦然。
L
A dl
ΔS0
ΔS
这个极限的意义就是在一个点上的环流的面密度, 或称环量强度。Curl(A)叫做旋度。任 意方向的曲面的环流强度是旋度在这个方向上面的投影。 旋度的物理意义
1) 矢量A的旋度是一个矢量, 其大小是矢量A在给定点处的最大环量面密度, 其方向就是当面元的取向使环量
面密度最大时, 该面元矢量的方向 2) 3) 它描述A在该点处的旋涡源强度。 若某区域中各点curl A=0, 称A为无旋场或保守场。 。
Ax dx Ay dy Az dz
L
A dl
L
0 0 0
越大/越小, 说明什么？
旋度的定义和运算
1、定义： 为反映给定点附近的环量情况, 我们把封闭曲线收小, 使它包围的面积ΔS 趋近于零, 取极限
ˆ lim curl(A) n
固定 R 时, 沿着梯度方向移动 T 变化最大.
多元函数的梯度:
T ( x) T e1 x
T ( x, y ) T T e1 e2 x y
场论基本公式
4
5
定理 1 (Green公式)
D R2为平面有界闭区域； L为 D 的边界曲线 (也记作D), 是由有
限条分段光滑的简单闭曲线围成；
函数P, Q C 1(D);
则
D
Q x
P y
dxdy
Pdx Qdy
L
5
5
证 不失一般性，以下
y
C
y y2(x)
分三种情况作证明.
DB
(1) 先设积分区域 D是
1
3
再用Gauss公式
29
29
1
1 4 3
3
(1 1 1)dxdydz
x2 y2 z2 2
3 3
3
4
3. Stokes 公式
将Green公式推广至空间，Stokes 公 式给出了沿空间曲线C的第二型线积分与 C上所张开的曲面的面积分之间的关系。 ( C 作为该曲面的边界曲线也可记为 D )
22
22
例3 求曲面积分
I x3dydz y3dzdx (z3 x2 y2 )dxdy
S
其中(1) S为球面 x2 y2 z2 R2外侧；
(2) S为上半球面 z R2 x2 y2上侧 .
解 (1) 由Gauss公式，可得
I
V
x
(x3)
y
(
y3)
z
(z3
x2
y2 )dxdydz
Gauss公式给出空间区域 D上的三重积分与 其边界面 S (也记作 D) 上的第二型曲面积分 之间的关系。
定理 2（Gauss公式）设
D R3 为空间有界闭区域； D 的边界D 由分片光滑曲面组成；则 函数P, Q, R C 1(D);
场论知识点整理
*1.【圆函数】e (φ)=cos φi +sin φj .*2.a.弧长的微分ds =以点M 为界,当ds 位于s 增大一方时取正号;反之取负号.b.矢性函数的微分的模,等于(其矢端曲线的)弧微分的绝对值.矢性函数(其矢端曲线的)弧长s 的导数d r /ds 在几何上为一切单位矢量,恒指向s 增大的一方.+3.证明||.ds d d r t dt=证,d dx dy dz dtdt dtr i j k dt =++d dt r =由于ds 与dt 有相同的符号,故有.ds d dt dt r ===由此可知:矢端曲线的切向单位矢量.d d ds d d dt dt dt dtd r s r r r ==*4.【二重矢积】公式：a ×(b ×c )=(a ·c )b -(a ·b )c .+5.矢性函数A (t)的模不变的充要条件是.d d A A t•=0证假定|A |=常数,则有A 2=|A |2=常数.两端对t 求导[左端用导数公式],就得到.d d A A t •=0反之,若有.d d A A t •=0则有,d dt A =20从而有A 2=|A |2=常数.所有有|A |=常数.定常矢量A (t)与其导矢相互垂直.*6.''.A B A dt t B B A d ×=×+×∫∫''.A B A dt t B B A d •=•−•∫∫+7.一质点沿曲线r =rcos φi +rsin φj 运动,其中r,φ均为时间t 的函数.求速度v 在矢径方向及其垂直方向上的投影v r 和v φ.解将r 写成r =r e (φ),则有()().d dr d r dt dt v d r e e t ϕϕϕ==+1由此可知：,.r dr d v v r dt dtϕϕ==[使用圆函数e (φ)，则e (φ)及e 1(φ)之方向即为矢径方向及与之垂直的方向.]*8.【矢量线】A =A x i +A y j +A z k 为单值、连续且有一阶连续导数。
场论
行向量 a ax
ax 列向量 a a y a z
ay
az
y
a b ax bx i ay by j az bz k
6
（3）向量的点乘积（数量积，内积） 向量 a 与 b 的数量积，记作 a b a b cos
pxxqxx pxyqyx pxzqzx pyxqxy pyyqyy pyzqzy pzx qxz pzy qyz pzz qzz
~ ~ ~ ~ P :Q Q: P
11
向量运算符号规定
单位向量
坐标分量 向量 a ax
i, j, k
x, y , z
e1, e2 , e3
~
~ ~ ~ a *，若 a a *
，
1 0 0 ~ I 0 1 0 0 0 1
若无特殊说明，此处均指 二阶张量。
9
（6）二阶张量与向量的右向内积 ~ 二阶张量 P 与向量 a 的右向内积为一个向量 c ，
p xx ~ c P a p yx p zx p xy p yy p zy p xz a x p xx a x p xy a y p xz a z p yz a y p yx a x p yy a y p yz a z p zz a z p zx a x p zy a y p zz a z
12
（2）克罗内克（Kronecker）d符号
任意两个正交(坐标轴)单位向量的点乘积：
1 i j ei e j d ij 0 i j
(i, j 1, 2, 3)
式中，i, j是自由指标，表示坐标方向，可写作
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之间的距离，R 的方向规定为源点指向场点，试分别对场点
和源点求R的梯度。
场源点
R
场点（观察点）
ห้องสมุดไป่ตู้
r
o 坐标原点
大理大学工程学院 罗凌霄编写
r
2
第一种情况：
源点固定，R是场点的函 数，对场点求梯度，则有
场源点
R
场点（观察点）
r
o 坐标原点
r
R ( x x)2 ( y y)2 ( z z)2
R ( y y) 同理可得： , y R R ( z z) z R
故得到： R ex R ey R ez R ex ( x x) ey ( y y) ez ( z z) x y z R R R
1 r r R e ( x x ) e ( y y ) e ( z z ) eR R x y z R R R
计算 r 的散度
x y z r 3 x y z r x y z 0 x y z
计算 R 的散度
R (r r ) r r 3 0 3
R (r r ) r r 0 3 3
ex r x x ex
ey y y ey y y
ez 0 z z ez 0 z z
8
计算 r 的旋度
大理大学工程学院 罗凌霄编写
r
x x
计算 R 的旋度
场源点
R
场点（观察点）
r
o 坐标原点
R (r r ) r r 0
4
大理大学工程学院 罗凌霄编写
计算r的梯度
r ex r r r ey ez x y z
场源点
R
场点（观察点）
r
o 坐标原点
r
r x2 y 2 z 2
r 1 2 x ( x y 2 z 2 )1 2 2 x x 2 r
同理可得：
r y , y r
大理大学工程学院 罗凌霄编写
6
计算 r 的散度
r r x y z 3 x y z x y z 0 x y z
场源点
R
场点（观察点）
r
o 坐标原点
r
r ex x e y y e z z r e x x e y y e z z
r ex r r r ey ez x y z
场源点
R
场点（观察点）
r
o 坐标原点
r
r x2 y2 z2
r 1 2 x ( x y2 z2 )1 2 2 x x 2 r
同理可得：
r y , y r
大理大学工程学院 罗凌霄编写
7
计算 r 的旋度
ex r x x ex r x x ey y y ey y y ez 0 z z ez 0 z z
场源点
R
场点（观察点）
r
o 坐标原点
r
r ex x e y y e z z r e x x e y y e z z
r z z r
故得到： r ex x ey y ez z 1 (ex x ey y ez z ) r er
r r r r r
容易证明： r ex
r r r ey ez 0 x y z
大理大学工程学院 罗凌霄编写
5
计算r'的梯度
3
大理大学工程学院 罗凌霄编写
第二种情况：
场点固定，R是源点的函 数，对源点求梯度，则有
场源点
R
场点（观察点）
r
o 坐标原点
r
R ( x x)2 ( y y)2 ( z z)2
R ex
R R R ey ez x y z
R 1 ( x x) 2 2 2 1 2 ( x x ) ( y y ) ( z z ) 2( x x )(1) x 2 R
场论运算
大理大学工程学院 罗凌霄编写
1
1
一阶微分运算
将算符 直接作用于标量场和矢量场，即分别得到梯度、
散度和旋度，即 , A , A 这些都叫一阶微分运算。
举例：设 R ( x x) 2 ( y y ) 2 ( z z ) 2 为源点 r 与场点 r
r z z r
故得到：
r ex
x y z 1 r ey ez (ex x ey y ez z) er r r r r r
r r r ey ez 0 x y z
容易证明： r ex
故得到： R ex R ey R ez R ex ( x x) ey ( y y) ez ( z z) x y z R R R
1 r r R e ( x x ) e ( y y ) e ( z z ) eR x y z R R R
R ex
R R R ey ez x y z
R 1 ( x x) 2 2 2 1 2 ( x x ) ( y y ) ( z z ) 2( x x ) x 2 R
同理可得：
R ( y y) , y R R ( z z) z R