第五节--函数图形的描绘
23-曲线的凹凸性、描绘函数图形
趋于零 , 则称此直线 L 为曲线 y = f ( x ) 的一条 渐近线 .
曲 线 的 渐 近 线
水平渐近线
垂直渐近线
斜渐近线
水平渐近线
若 lim f ( x) b , 则曲线 f ( x) 有一条水平渐近线 y b .
x
这里的极限可以是
x
lim f ( x) b 或 lim f ( x) b .
x
垂直渐近线
若 lim f ( x) , 则曲线 y f ( x) 有一条垂直渐近线 x a .
x a
这里的极限可以是 xlim f ( x) , a lim lim f ( x) ; f ( x) ,
x a
x a
x a
lim f ( x) ; lim f ( x) .
f ( x) ( x 1) lim lim 1 2 x x x ( x 1) x
b k
现在给定一个函数 , 我们可以讨论它的：
定义域、 值 域、 奇偶性、 有界性、 周期性、 连续性、 间断点、 可微性、 单调性、 极 值、 最 值、 凹凸性、 拐 点、 渐近线、 零点位置 . 用极限讨论函数的变化趋势 . 用泰勒公式将函数离散化 .
三、函数图形的描绘
作函数图形的一般步骤如下： (1) 确定函数的定义域 , 观察奇偶性、周期性 . (2) 求函数的一、二阶导数 , 确定极值可疑点和拐点可疑点 .
若 f ( x) 在点 x0 两侧符号相反, 则
点 ( x0 , f ( x0 )) 为曲线 y f ( x) 的拐点 .
定理
( 判别拐点的充分条件 )
设 f ( x) C ( I ) , f ( x) 在 U( x0 ) ( x0 I ) 内三阶可导 .
极值、函数图形描绘
f
(x)
5(x -1) 33 x +1
(2)令f (x)0 得驻点x1 x-1为f(x)的不可导点
(3)列表判断
x (- -1) -1 (-1 1) 1 (1 +)
f (x) + 不可导 -
0
+
f(x) ↗
0
↘ -33 4 ↗
(4)极大值为 f(-1)0 极小值为 f (1)-33 4
定理3 (第二充分条件) 设函数 f (x) 在点 x0 处具有 二阶导数 , 且 f (x0 ) 0, f (x0 ) 0
函数的极大值与极小值统称为函数的极值 使函数取得
极值的点称为极值点
提问：
f(a)和 f(b)是极值吗？
观察与思考：
观察极值与切线的关系
x1 x2 x3 x4 x5
v定理1(必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导 且在x0处取得极值
那么f (x0)0 >>> •驻点
使导数f (x)为零的点(方程f (x)0的实根)称为函数 f(x)的驻点 讨论：
v确定极值点和极值的步骤
(1)求出导数f (x) (2)求出f(x)的全部驻点和不可导点 (3)考察在每个驻点和不可导点的左右邻近f (x)的符号 (4)确定出函数的所有极值点和极值
例1 求函数 f (x)(x -4)3 (x +1)2 的极值
解 (1)f(x)在(- +)内连续 除x-1外处处可导 且
函数在闭区间[a b]上的最大值一定是函数的所有极大值 和函数在区间端点的函数值中的最大者 其最小值一定是函 数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中的最小者
M
m x1 x2 x3 x4 x5
函数渐近线及函数图形的描绘
使用图形计算器绘制函数图形
简单易用、无需额外设置
图形计算器的操作通常非常简单，只需要选择相应的函数 类型或输入函数表达式，就可以自动绘制出相应的图形。 用户无需进行复杂的设置或调整参数，使得绘图过程更加 快速和简便。
使用图形计算器绘制函数图形
功能相对有限
VS
相对于数学软件，图形计算器的功能 相对有限。它们通常只能绘制基本的 函数图形，如直线、二次函数、三角 函数等，而无法绘制更复杂的函数图 形或进行高级的图形定制。
功能强大、精确度高
数学软件如Matlab、Mathematica和Maple等，提供了强大的绘图工具和函数 库，可以绘制各种复杂的函数图形，包括三维图形和极坐标图形。这些软件通常 具有高精度的计算和绘图能力，能够准确地表示函数的形状和变化趋势。
使用数学软件绘制函数图形
操作简便、可视化效果好
这些软件通常具有直观的用户界面和易于操作的命令语言，使得用户可以轻松地绘制函数图形。同时，这些软件还提供了丰 富的颜色、线条样式和标记工具，使得绘制的图形更加生动和易于理解。
验证模型
通过比较函数渐近线和实际数据，可以验证数学模型的准确 性和可靠性。
在科学计算中的应用
数据拟合
在科学实验中，利用函数渐近线可以 对实验数据进行拟合，得到更准确的 结论。
理论推导
在理论推导中，函数渐近线可以作为 理论依据，帮助推导出新的科学理论。
04 函数图形的描绘工具和技 术
使用数学软件绘制函数图形
平移变换
对称变换
将函数图像沿x轴或y轴方向平移一定 的距离。
将函数图像关于原点、x轴或y轴进行 对称。
伸缩变换
将函数图像在x轴或y轴方向上伸缩一 定的比例。
函数的图象(课件)八年级数学下册(人教版)
坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致
是( D )
9.如图是某地一天气温随时间的变化的图象，根据图象回答,在这一天中:
10
(1)_____时，气温最高为______；____时，气温最低为_______；
2
14℃
-2℃
(2)14时的气温是______；_______时的气温是8℃；
(1)这一天内，上海与北京何时气温相同？
(2)这一天内，上海在哪段时间比北京气温高？在哪段时间比北京气温低？
例3.在下列式子中，对于x的每一个确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的
函数.画出这些函数的图象：
(1) y=x+0.5
6
(2) y= (x＞0)
(1) y=x+0.5
解:Ⅰ.列表：
Ⅱ.描点：以表中各组对应值作为点的坐标，
2×1-1≠3
2×2.5-1＝4
【点睛】把点的横坐标（即自变量x）的取值代入解析式求出相应的函数值y
∴
点A，B不在函数y=2x-1的图象上，点C在函
值，看是否等于该点的纵坐标，如果等于，则该点在函数图象上；如不在，
数y=2x-1的图象上.
则该点不在函数图象上.
例3.下图反映的过程是小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回
30千米;
(2)他到达离家最远的地方是什么时间?
离家多远?
(2)到达离家最远的时间是12时，离家30
千米;
10.小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回家，他有意描绘了离家的距离
与时间的变化情况.(如图所示)
(3)11时到12时他行驶了多少千米?
高等数学3.4 曲线的凹凸性与拐点 函数图形的描绘
x f (x) f (x)
( , 2)
2 0
拐点(2, 3)
(2, + ) +
其中 ， 分别表示曲线凸和凹.
例 4 讨论曲线 y = ln(1 + x2) 的凹凸区间与拐点. 解 定义域为( , ). 因为
y 2x , 1 x2
y
2(1 x 2 ) (1 x 2 )2
O1
x
-1
曲线 y x3 是凹的．
所以，点(0,0) 为曲线 y x3 的拐点．
例 3 讨论曲线 f (x) = x3 - 6x2 + 9x + 1 的凹凸 区间与拐点．
解 定义域为( , ).
因为
f (x) = 3x2 - 12x + 9，
f (x) = 6x - 12 = 6(x - 2 )， 令 f (x) = 0，可得 x = 2.
当 x ( , 2) 时，f (x) < 0， 此区间是凸区间． 当 x (2, + ) 时，f (x) > 0， 此区间是凹区间．
当 x = 2 时， f (x) = 0，因 f (x) 在 x = 2 的两 侧变号，而 f (2) = 3， 所以 (2, 3)是该曲线的拐点.
(2) 用上述各点按照从小到大依次将(a,b) 分成小 区间,再在每个小区间上考察 f (x) 的符号；
(3) 若 f (x) 在某点 xi 两侧近旁异号，则(xi , f (xi )) 是曲线y = f (x)的拐点，否则不是．
例 2 曲线 y x3的定义域为(,)，画其草图．
则称直线
x = x0近线.
例如， 对于曲线 y = ln x 来说， 因为
高等数学入门——描绘函数图像的一般步骤及例子
高等数学入门——描绘函数图像的一般步骤及例子高等数学是大学数学的基础课程之一，其重要内容之一是描绘函数的图像。
描绘函数图像的一般步骤如下：1.确定定义域和函数的类型：首先需要确定函数的定义域，即函数可以取值的范围。
同时，需要确定函数是一元函数还是多元函数，是线性函数还是非线性函数等。
2.求导或求导数的一般规律：对于一元函数，可以通过求导的方法来描绘函数的变化趋势。
求导可以确定函数的关键点，如极值点、拐点等。
对于多元函数，则需要利用偏导数来确定函数的变化趋势。
3.确定增减、凹凸和拐点：通过求导或偏导数，可以确定函数的单调性和凹凸性。
当导数为正时，函数单调递增；当导数为负时，函数单调递减。
当二阶导数大于零时，函数凹，小于零时函数凸。
4.确定函数的特殊点：特殊点包括与坐标轴的交点、零点、无穷大点等。
这些点是函数图像的关键部分，需要特别关注。
5.确定函数的渐近线：渐近线是函数图像在无穷远点的变化趋势。
有水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线等。
下面举例说明：例子1：绘制函数y=x^2-2x+1首先，确定定义域和函数的类型：该函数为一元二次函数，定义域为实数集。
然后，求导：y'=2x-2接着，确定增减、凹凸和拐点：当x<1时，y'<0，函数递减；当x>1时，y'>0，函数递增；令y'=0，则x=1，该点为拐点。
继续求二阶导数：y''=2可以确定函数为凹函数。
然后，确定函数的特殊点：与x轴的交点为y=0，即x=1；与y轴的交点为x=0。
最后，确定函数的渐近线：无垂直渐近线；当x趋于无穷大时，y趋于无穷大，可以确定y轴为水平渐近线。
综上所述，根据以上步骤，我们可以描绘出函数y=x^2-2x+1的图像。
例子2：绘制函数 y = sin(x) / x首先，确定定义域和函数的类型：该函数为一元函数，定义域为实数集，但要注意x≠0。
然后，求导：y' = (x*cos(x) - sin(x)) / x^2接着，确定增减、凹凸和拐点：当x<0时，y'>0，函数递增；当x>0时，y'<0，函数递减；令 y' = 0，则 x = tan(x)，求解该方程需要使用数值逼近法得到近似解。
曲线的凹凸性与函数图象描绘
例3 当x
y时，e x
ey
x y
e 2 .
2
证：设f ( x) e x
f ( x) 0 f ( x)是凹的。
f ( x1 x2 )
f ( x1 )
f
(
x2
)
e
x1
2
x2
e x1
e x2
2
2
2
即当x
y时，e x
ey
x y
e 2 .
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ,
2
2
不 妨 设x1
x2 , 令x0
x1
2
x2
,
分别在[ x1 , x0 ]与[ x2 , x0 ]上
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
1 2!
f ( )( x x0 )2
2
x2
)
1[ 2
f
( x1 )
f
( x2 )]
结论（2）可类似得证. 教材上用langrange定理证明!
例7 判断曲线 y x3 的凹凸性. 解 y 3x2, y 6x, 当x 0时， y 0,
曲线 在(,0]为凸的； 当x 0时， y 0, 曲线 在[0,)为凹的； 注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点.
2、拐点的求法
二阶导数等于零的点和二阶导数不存在 的点，可能是拐点．
方法1: (1)
求f ( x)；
(2) 求f ( x) 0及f ( x)不存在的点xi；
(3) 检查xi两近旁f ( x)的符号：
3-5凹凸与拐点,3-6曲率
1 0 1 2 3
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结束
第六节 平面曲线的曲率
曲线的弯 与切线的转角有关 曲程度 与曲线的弧长有关 主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径
机动 目录 上页
第三章
M
M M
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结束
一、 弧微分
在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB, y y f (x) B 弧长 s AM s(x) M s M M M M A y M x M M x x 设
第五节 函数的凸性和图形的描绘
一、函数的凸性及判别 二、曲线的拐点及判别 三、曲线的渐近线 四、函数作图
单调性：反映在图形中即是曲线的上升或下降
曲线升或降的过程中有一个弯曲方向的问题
y
C O
D
B
B
A
y
x
(a )
x
O
(b)
A
在(a )中,联结A, B的弦总位于两点间弧的上方 而(b)中情况正好相反
y f ( x)
3
曲线的斜渐近线为 y x .
四、函数作图
前述函数的增减性、极值与最值、凸凹性与拐点， 在此基础上可以按下面的步骤作图：
(1) D f 及连续区间,考虑奇偶性,周期性(简化作图);
(2) 确定单调性, 求出极值; (3) 确定下凸和上凸区间及拐点; (4) 考察渐近线; (5) 加入特殊点,最后以平滑曲线联结.
y A
O
x1
B
几何事实的数量关系:
x1 , x2 I , 不妨设x1 x2 . x [ x1 , x2 ]可写为
2.6 一元函数图形的描绘
∴ y = x − 2为曲线的斜渐近线 .
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三、 函数图形的描绘
函数作图的一般步骤为: 函数作图的一般步骤为 1. 确定函数 期性; 期性 的定义域 , 并考察其对称性及周
2. 求
的点 ;
并求出
及
为 0 和不存在
3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;
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且 y x = 0 = 1， y x = 2
3
11 2 11 因此， = ，因此，点 (0,1), ( , ) 27 3 27
是曲线的拐点． 是曲线的拐点． 注
连续， 若 y = f ( x )连续，在 x = x0 处的二阶导数
不存在， 也可能是曲线的拐点． 不存在，则 ( x0 , f ( x0 )) 也可能是曲线的拐点．
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的图形是凹的 ; 的图形是凸的 .
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+
−
4
的凹凸性． 例1 判定曲线 f ( x ) = x − ln x的凹凸性． 解 由于
1 f ′′( x ) = 2 > 0, x 所以在函数的定义域 (0, +∞ ) 内，曲线 曲线f(x)是凹的． 是凹的． 是凹的 1 f ′( x ) = 1 − , x
x 内是凹的． 所以曲线 f ( x ) = e 在 ( −∞ , +∞ ) 内是凹的．
∀ 由凹曲线定义， 由凹曲线定义， x , y ∈ R, x ≠ y , 有
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6
x+ y x+ y f ( x) + f ( y) e x + e y f( )=e 2 < . = 2 2 2
曲线的凹向及函数图形描绘
y
来说，因li为 m 1 0. 所以
x x1
直 线 y0是 曲•线 y
1
o
的水平
x1
渐近线。
yf(x)
1
x
返回
又如 •y曲 ar线 c， tg因 x 为
lia m r c • t• g•x •l• ia • m •r• c •.t ••g ••x
x
返回
例1 讨论 f（ x ） 曲 x 3 线 6x 29x1 的凹 间与拐点.
解 定义 ， 域 ） 为 ， f（ x （ ） 因 3 x 2 为 1x 29，
f ( x ) 6 x 1 6 2 ( x 2 ) 令 f,（ x） 0 ，可 x2.得 当 x （ ， 2）时 f（ x ， ） 0，此区间
返回
例2 讨论曲 y线 ln（ 1x2）的凹凸区间 . 与
解 定义 ， 域 ） .因 为 y 为 1 （ 2 x x 2，
y
2(1 x2 )， (1 x2 )2
令 y 0 ， x 1 得 ， x 1 .
x (,1)
1
f ( x)
x
(1,)
y
y
y
因为
lim ln(x21) ,
x 1
的单调区间 将上述讨论列为下表
x (,1) 1 (1,0) 0
(0,1)
y(x) 0
1 (1,)
0
y(x) y
极小值 2
0
拐点 ( 0 ，0 )
极大值 2
••令 y0 ， 可y 知 3xx 曲 3 与 x 轴 线 交 x3 在
函数图形的描绘
函数图形的描绘分布图示★ 引言★ 渐近线 ★ 例1 ★ 函数图形描绘的步骤★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-6 ★ 返回内容要点一、渐近线的概念 水平渐近线 铅直渐近线 斜渐近线；二、函数图形的描绘：对于一个函数，若能作出其图形，就能从直观上了解该函数的性态特征，并可从其图形清楚地看出因变量与自变量之间的相互依赖关系. 在中学阶段，我们利用描点法来作函数的图形. 这种方法常会遗漏曲线的一些关键点，如极值点、拐点等. 使得曲线的单调性、凹凸性等一些函数的重要性态难以准确显示出来. 本节我们要利用导数描绘函数)(x f y =的图形，其一般步骤如下:第一步 确定函数)(x f 的定义域, 研究函数特性如: 奇偶性、周期性、有界性等, 求出函数的一阶导数)(x f '和二阶导数)(x f '';第二步 求出一阶导数)(x f '和二阶导数)(x f ''在函数定义域内的全部零点，并求出函数)(x f 的间断点和导数)(x f '和)(x f ''不存在的点, 用这些点把函数定义域划分成若干个部分区间;第三步 确定在这些部分区间内)(x f '和)(x f ''的符号, 并由此确定函数的增减性和凹凸性，极值点和拐点;第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其它变化趋势;第五步 算出)(x f '和)(x f ''的零点以及不存在的点所对应的函数值，并在坐标平面上定出图形上相应的点；有时还需适当补充一些辅助作图点(如与坐标轴的交点和曲线的端点等)； 然后根据第三、四步中得到的结果，用平滑曲线联接而画出函数的图形.例题选讲求曲线渐近线例1(E01) 求1)3)(2(2)(-+-=x x x x f 的渐近线.解 易见函数)(x f 的定义域为).,1()1,(+∞-∞ ,)(lim 1-∞=+→x f x ,)(lim 1+∞=-→x f x1=∴x 是曲线的铅直渐近线.又x x f x )(lim ∞→ )1()3)(2(2lim -+-=∞→x x x x x ,2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-∞→x x x x x 21)3)(2(2lim 1)1(2)3)(2(2lim ---+-=∞→x x x x x x ,4= 42+=∴x y 是曲线的一条斜渐近线.例2(E02) 按照以下步骤作出函数()10434+-=x x x f 的图形.(1) 求()x f '和()x f '';(2) 分别求()x f '和()x f ''的零点;(3) 确定函数的增减性、凹凸性、极值点和拐点; (4) 作出函数()10434+-=x x x f 的图形.解 (1) ()23124x x x f -='，()x x x f 24122-=''.(2) 由()012423=-='x x x f ，得到0=x 和3=x .由()024122=-=''x x x f ，得到0=x 和2=x .(4) 算出0=x ，2=x ，3=x 处的函数值()100=f ，()62-=f ，()173-=f .根据以上结论，用平滑曲线连接这些点，就可以描绘函数的图形.例3 作函数1)(23+--=x x x x f 的图形. 解 定义域为),,(+∞-∞无奇偶性及周期性. ),1)(13()(-+='x x x f ).13(2)(-=''x x f令,0)(='x f 得,3/1-=x .1=x 令,0)(=''x f 得.3/1=x 列表综合如下:51015---51015-11234O xy补充点: ),0,1(A ),1,0(B .85,23⎪⎭⎫⎝⎛C 综合作出图形.函数作图例4 (E03) 作函数2)1(4)(2-+=x x x f 的图形.解 ,0:≠x D 非奇非偶函数，且无对称性.,)2(4)(3x x x f +-='.)3(8)(4xx x f +='' 令,0)(='x f 得;2-=x 令,0)(=''x f 得.3-=x)(lim x f x ∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=∞→2)1(4lim 2x x x ,2-= 得水平渐近线;2-=y )(lim 0x f x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=→2)1(4lim 20x x x ,+∞= 得铅直渐近线.0=x 列表综合如下: 补充点: ),0,31(-);0,31(+ ),2,1(--A ),6,1(B ).1,2(C作出图形例5 (E04) 作函数 2221)(x ex -=πϕ的图形.解 函数定义域),,(+∞-∞且.4.021)(0≈≤<πϕx偶函数,图形关于y 轴对称.,2)(22x ex x --='πϕ.2)1)(1()(22x ex x x --+=''πϕ令,0)(='x ϕ得驻点,0=x 令,0)(=''x ϕ得特殊点,1-=x .1=x)(lim x x ϕ∞→ 2221limx x e-∞→=π,0=得水平渐近线.0=y列表确定函数升降区间，凹凸区间及极值点与拐点:综合作出图形。
《大学数学》教学课件—函数图形的描绘
义域划分为几个部分区间. （3）考察在各个部分区间内 f (x), f (x) 的符号，列表确定函数 的单调性和极值，曲线的凹凸性和拐点. （4）确定曲线的水平渐近线和垂直渐近线. （5）需要时计算一些辅助点，特别是曲线和坐标轴的交点. （6）作 y f (x) 的图形.
会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线 能比较准确地作出函数的图像
素质目标
通过函数图像的描绘，培养学生综合运用知识的能力
-2-
教学重点
曲线的水平渐近线和垂直渐近 线的定义及求法
函数图像的描绘
教学难点 函数图像的描绘
-3-
2.12.1 曲线的水平渐近线和垂直渐近线
定义1 如果当自变量 x （有时仅当x 或x ）时函数 f (x) 以常量 b为极限，即
2.8 函数图形的描绘
山西职业技术学院
-1-
数学解题策略：分类讨论
应用分类讨论，往往能使复杂的问 题简单化。分类的过程，可培养学 生思考的周密性，条理性，而分类 讨论，又促进学生研究问题，探索 规律的能力
教学目标
知识目标
理解曲线的水平与垂直渐近线的定义，会求曲线的渐近线 会作已知函数的图像
技能目标
lim f (x) bxFra bibliotek xx
那么称直线 y b为曲线 y f (x)的水平渐近线.
定义2 如果当自变量 x x（0 有时仅当 x x0 或 x x0）时函数 f (x) 为无穷大，即
lim f (x)
x x0
x x
x0 x0
那么称直线 x x0为曲线 y f (x)的垂直渐近线.
-4-
例1 求下列曲线的水平渐近线或垂直 渐近线.
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第五节 函数图形的描绘
分布图示
★ 引言 ★ 渐近线 ★ 函数图形描绘的步骤 ★ 例1
★ 例2 ★ 例3 ★ 例4
★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-5
内容要点
一、渐近线的概念 水平渐近线 铅直渐近线 斜渐近线；
二、函数图形的描绘：对于一个函数，若能作出其图形，就能从直观上了解该函数的性态特征，并可从其图形清楚地看出因变量与自变量之间的相互依赖关系. 在中学阶段，我们利用描点法来作函数的图形. 这种方法常会遗漏曲线的一些关键点，如极值点、拐点等. 使得曲线的单调性、凹凸性等一些函数的重要性态难以准确显示出来. 本节我们要利用导数描绘函数)(x f y =的图形，其一般步骤如下:
第一步 确定函数)(x f 的定义域, 研究函数特性如: 奇偶性、周期性、有界性等, 求出函数的一阶导数)(x f '和二阶导数)(x f '';
第二步 求出一阶导数)(x f '和二阶导数)(x f ''在函数定义域内的全部零点，并求出函数)(x f 的间断点和导数)(x f '和)(x f ''不存在的点, 用这些点把函数定义域划分成若干个部分区间;
第三步 确定在这些部分区间内)(x f '和)(x f ''的符号, 并由此确定函数的增减性和凹凸性，极值点和拐点;
第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其它变化趋势;
第五步 算出)(x f '和)(x f ''的零点以及不存在的点所对应的函数值，并在坐标平面上定出图形上相应的点；有时还需适当补充一些辅助作图点(如与坐标轴的交点和曲线的端点等)； 然后根据第三、四步中得到的结果，用平滑曲线联接而画出函数的图形.
例题选讲
求曲线渐近线
例1 作函数1)(23+--=x x x x f 的图形. 解 定义域为),,(+∞-∞无奇偶性及周期性. ),1)(13()(-+='x x x f ).13(2)(-=''x x f
令,0)(='x f 得,3/1-=x .1=x 令,0)(=''x f 得.3/1=x 列表综合如下:
补充点: ),0,1(A ),1,0(B .85,23⎪⎭
⎫
⎝⎛C 综合作出图形.
例2(E01) 按照以下步骤作出函数()1043
4
+-=x x x f 的图形.
(1) 求()x f '和()x f '';
(2) 分别求()x f '和()x f ''的零点;
(3) 确定函数的增减性、凹凸性、极值点和拐点; (4) 作出函数()1043
4
+-=x x x f 的图形.
解 (1) ()2
3
124x x x f -='，()x x x f 24122
-=''.
(2) 由()01242
3
=-='x x x f ，得到0=x 和3=x .
由()024122
=-=''x x x f ，得到0=x 和2=x .
(4) 算出0=x ，2=x ，3=x 处的函数值
()100=f ，()62-=f ，()173-=f .
根据以上结论，用平滑曲线连接这些点， 就可以描绘函数的图形.
函数作图
例3 (E02) 作函数2)
1(4)(2
-+=x x x f 的图形.
解 ,0:≠x D 非奇非偶函数，且无对称性.
51015---51015
-11
2
3
4O x
y
,)2(4)(3x x x f +-
='.)
3(8)(4
x
x x f +='' 令,0)(='x f 得;2-=x 令,0)(=''x f 得.3-=x
)(lim x f x ∞→
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+=∞→2)1(4lim 2x x x ,2-= 得水平渐近线;2-=y )(lim 0x f x →⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+=→2)1(
4lim 20x x x ,+∞= 得铅直渐近线.0=x 列表综合如下:
补充点: ),0,31(-);0,31(+ ),2,1(--A ),6,1(B ).1,2(C
作出图形
例4 (E03) 作函数 2
221)(x e
x -
=
π
ϕ的图形.
解 函数定义域),,(+∞-∞且.4.021)(0≈≤<πϕx
偶函数,图形关于y 轴对称.
,2)(2
2x e x x --
='π
ϕ.2)
1)(1()(2
2x e x x x --+=
''π
ϕ
令,0)(='x ϕ得驻点,0=x 令,0)(=''x ϕ得特殊点,1-=x .1=x
)(lim x x ϕ∞
→ 2
221lim
x x e
-
∞
→=π
,0=得水平渐近线.0=y
综合作出图形
课堂练习
1.两坐标轴0,0==y x 是否都是函数x
x
x f sin )(=的渐近线? 2.若函数)(x f 有,1)
(lim
,0)(lim ==-∞
→+∞
→x
x f x f x x ,)(lim ,0)
(lim ,2])([lim 2
∞===-→+∞→-∞→x f x x f x x f x x x 并且当)1,0(∈x 时, 0)(<'x f , 否则
),2(0)(≠>'x x f 当)2,2/1(∈x 时, 0)(>''x f , 否则),0(0)(≠<''x x f 则
(1) 函数)(x f 的单调区间(注明增减)是._______ (2) 函数曲线的凹向和拐点是._______
(3) 当_______=x 时, 函数取得极大值._______ (4) 函数的渐近线有._______。