Bessel函数应用例
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《复变函数与数理方程》Project
Bessel 函数应用例
《复变函数与数理方程》Project
名称：Bessel 函数应用例
组别：第十三组
小组成员：唐文岐、高成振、
林慧平、邹三泳、
郭凯
1 / 23
《复变函数与数理方程》Project
Bessel 函数应用例
目录
封面………………………………………………………………………1
Section 1
Bessel 函数在衍射中的应用……………………………4
一，菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式 ……………………………4
二，衍射的分类……………………………………………………5
三，夫琅禾费圆孔衍射数学模型的建立…………………………6
四，夫琅禾费圆孔衍射光强公式的推导…………………………6
9 / 23
《复变函数与数理方程》Project
Bessel 函数应用例
所以可以看出，其衍射图样在中心为一亮圆斑，外侧为明暗相间的环
状条纹。
2，光强分布
项目
前三个最大和最小的位置及相对光强度
=
2
第一级大
0
0
第一级小
3.83274
第二级大
5.08938
第二极小
7.01203
= 0 () + 0 ()
此时， =
2
，当 = 0时， = ∫0 1 = 2，因为0 (0) = 1，
0 () = ∞，所以 = 2π，β = 0。所以：
→0
= 20 ()， =
则
2
0
̃() =
̃0 (0,0)
第三极大
8.37549
第三极小
10.1725
相对光强度
1
0.610
0
0.819
0.0174
1.116
0
1.333
0.0041
1.619
0
被第一极小（暗纹）所包围的中央亮斑为爱里斑，衍射光的弥散
程度可以用爱里斑半径的张角表示，由于当很小时， ≈ ，所
∫ (
+
)
0
2
0
̃
(1 ()|
= 2 ( ) 0 (0,0)
0 )
= 2
2
0
̃0 (0,0)
()
1
其中 = ， =
2
为波数，为光源到前波面的距离，为
场点相对于次波面元的方向角。
则得到夫琅禾费圆孔衍射P点光强公式为() = 0 [
∑ 0
基尔霍夫导出 =
−
=
−
2
∑
1
， 倾 斜 因 子 (0 , ) = (0 +
2
)，因此得到：
̃() =
−
2
2
̃0 ()(0 + )
∯∑
∑
称为菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式，可以用来处理光的衍射问
题。
二，衍射的分类
方向的光线0 ，取坐标如下：0 与轴线所在平面为平面，为光轴。
过作与，0 垂直的平面，与0 和x轴分别交于，点，则，与r0
垂直。0 与平面交角为 。，两点发出的次波是等光程的，则
任一点点发出的次波与中心店发出的次波间的光程差为在0 上
的投影，即
= − = − = −
函数对夫琅禾费圆孔衍射的振幅和单音信号调频的幅度的表达式进
行推导很有必要，同时也可以根据推导得到的公式进行理论的分析和
现有结果的解释。另外，根据得到的函数表达式，还可以利用数学软
件进行模拟，以期得到更直观的结果，也可以加深对于 Bessel 函数
以及夫琅禾费圆孔衍射、单音信号调频的理解。
关键词：
Bessel 函数，夫琅禾费圆孔衍射，振幅，光强，调频，频率，
上每个面元都可以视为子波的波源，在空间某点 P 的振动是所有这些
子波在该点产生的相干振动的叠加，称为惠更斯-菲涅尔原理，即
̃() = ∑∑
̃0 ()(0 , )
∑
̃ (P)为点(振动点)的复振幅，为比例常数，
̃0 ()为
其中， U
点(点光源)的复振幅，(0 , )为倾斜因子，
《复变函数与数理方程》Project
Bessel 函数应用例
文章说明：
本学期我们在数理方程的课堂上学习了贝塞尔函数的相关内容，
贝塞尔函数性质很特殊，它在物理和工程中的广泛应用更是引起我们
强烈的兴趣。而学以致用，这是我们学习应用数学的目的之一。联想
到在之前的课程中曾经遇到过函数，但是老师只是直接给出结
以有艾里斑的角半径
δ = 1.22
其中，是入射光的波长，为衍射屏上的圆孔直径。
令() = 0；即第一条暗纹出现的位置。
可解得： =3.83171
=
2П SIN
Л
10 / 23
《复变函数与数理方程》Project
Bessel 函数应用例
于是得到艾里斑半角宽度公式
δ = sinθ = 0.609836 = 1.22
= ∫ − 2 ()
0
代入方程 2 ′′ + ′ + 2 ，得到：
2
∫ [ 2 2 () − ()]
0
= −()|2
0 =0
故满足 0 阶方程，其解的形式应该为：
3.各亮纹光强能量分布：
在半径为~ + 、面积为2的环带内的能量正比于
()2; 半径为的圆内的相对光能为
通过积分，容易求得上述的能量分布表达式。
wk.baidu.com
六，弗朗禾费圆孔衍射光强公式的另一种推导：
11 / 23
《复变函数与数理方程》Project
Bessel 函数应用例
表示半径为 的圆孔，设平行光垂直于圆孔的平面入射时，
=
0
[ − (0 + )]
2
式中，为该面元与点的面元到点的光程差，即该面元在直径
上的投影点与在 方向的光程差，由图可得此值为
= ( + )
式中，为该面元到圆孔中心的距离； 为该面元的半径对的
夹角
=
12 / 23
̃() = ∯
̃0 (, )(0 , )
̃0 (0,0)
=
(0 −)
∑
0
∬ − （取实部）
2
0
2
̃0 (0,0)
=
∫ ∫ cos( )
0
三，贝塞尔函数图像与调制频率的关系…………………………17
四，卡森公式的推导………………………………………………20
五，贝塞尔函数级数展开的理论说明……………………………21
总结 ……………………………………………………………………22
参考文献 ………………………………………………………………23
2 / 23
2
=
将圆孔波阵面上所有面元在点的作用叠加起来，可得到 点的
振动为
= ∫
2
=∫ ∫
0
0
0
[(0+)−]
2
0 [( +)−] 2
五，夫琅禾费圆孔衍射常见结论的推导…………………………8
六，夫琅禾费圆孔衍射光强公式的另一种推导…………………11
Section 2
Bessel 函数在通信电路中的应用………………………14
一，单音信号的调频………………………………………………15
二，贝塞尔函数的渐进公式………………………………………16
为球面波因子，为次
波中心周围面元的面积，0 和分别是场源和场点相对于次波面元
的方向角。
4 / 23
《复变函数与数理方程》Project
Bessel 函数应用例
取一个封闭的波前(连续分布的曲面)，则所有次波中心发出的次
波在点的复振幅就是以下的曲面积分：
̃() = ∯
̃ ()(0 , )
0
四，夫琅禾费圆孔衍射光强公式的推导
上面已经得到：
̃() =
̃0 (0,0)
2
0
2
∫ ∫ cos( )
0
0
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《复变函数与数理方程》Project
令 =
2
Bessel 函数应用例
= ，则有：
2
0
Bessel 函数应用例
，则
0
̃
0 (0,0)
∫ 0 ()
0
2
0
̃0 (0,0)
= 2 ( )
∫ 0 ()
0
̃() = 2
2
0 1 () 1 ()
̃
= 2 ( ) 0 (0,0)
《复变函数与数理方程》Project
Bessel 函数应用例
故
=
0
cos[ − (0 + ( + ))]
2
=
0
cos[(0 + ( + )) − ]
2
用复数表达则为
0
[(0+)−]
∫ ∫ ( )
0
0
= 2
̃0 (0,0)
0
∫0
0 ( )
在这里用 Bessel 函数的递推公式：
() ()
+
= −1 ()
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《复变函数与数理方程》Project
在上式中不妨取 =
现在来计算光通过该孔后的夫琅禾费衍射，先讨论圆孔形波阵面沿着
与法线成角方向传播的所有次波在观察点叠加所产生的振动的振
幅，在圆孔边缘 附近处的波阵面 在考察点引起的振动，由惠
更斯－菲涅尔原理有
=
0
2
( − 0 )
式中，为点到点的距离， =
2
.
圆孔波阵面上任一面元，它在点引起的振动可以写成
= 0 时（中心）的光强，即 = 0。
五，夫琅禾费圆孔衍射常见结论的推导：
1，中央亮斑，同心圆环,明暗交错,不等间距：
由光强公式在 Mathematics 上作得图样为：
8 / 23
21 () 2
] ，0 为
《复变函数与数理方程》Project
Bessel 函数应用例
当光强为零时，出现暗纹；反之，则是明纹；
论，并没有说明原因。因此，我们小组主要从《大学物理》课程中遇
到的夫琅禾费圆孔衍射和《电子电路与系统基础》课程中遇到的单音
信号调频两个例子对 Bessel 函数的应用进行讨论，希望能对 Bessel
函数的魅力有更深一些的理解。
摘要：
物理学中我们熟知的夫琅禾费圆孔衍射的振幅和电路系统中单
音信号调频的幅度都可以用 Bessel 函数来表示。因此，利用 Bessel
∫ ∫ ( )
0
0
̃() =
̃0 (0,0)
2
下面证明：∫0 cos( ) = 2π0 ( )
2
令 = ∫0 cos()，即 =
,则
2
′
= ∫ −()
0
′′
2
幅度，调制指数
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《复变函数与数理方程》Project
Bessel 函数应用例
正文
Section 1
Bessel 函数在衍射中的应用
一， 菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式
衍射可由惠更斯-菲涅尔原理解释：惠更斯提出，媒介上波阵面
的各点，都可以看成是发射子波的波源，其后任意时刻这些子波的包
迹，就是该时刻新的波阵面。菲涅尔完善了惠更斯原理，他提出波前
目录………………………………………………………………………2
文章说明…………………………………………………………………3
摘要………………………………………………………………………3
关键词……………………………………………………………………3
正文………………………………………………………………………4
光的衍射主要分为 2 种：菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射。光源和观
察点距障碍物为有限远的衍射称为菲涅尔衍射；光源和观察点距障碍
物为无限远的衍射，即平行光衍射为夫琅禾费衍射。
5 / 23
《复变函数与数理方程》Project
Bessel 函数应用例
三，夫琅禾费圆孔衍射数学模型的建立：
点发出沿任意方向光线，与光轴夹角为。过中心点作与同
Bessel 函数应用例
《复变函数与数理方程》Project
名称：Bessel 函数应用例
组别：第十三组
小组成员：唐文岐、高成振、
林慧平、邹三泳、
郭凯
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目录
封面………………………………………………………………………1
Section 1
Bessel 函数在衍射中的应用……………………………4
一，菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式 ……………………………4
二，衍射的分类……………………………………………………5
三，夫琅禾费圆孔衍射数学模型的建立…………………………6
四，夫琅禾费圆孔衍射光强公式的推导…………………………6
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Bessel 函数应用例
所以可以看出，其衍射图样在中心为一亮圆斑，外侧为明暗相间的环
状条纹。
2，光强分布
项目
前三个最大和最小的位置及相对光强度
=
2
第一级大
0
0
第一级小
3.83274
第二级大
5.08938
第二极小
7.01203
= 0 () + 0 ()
此时， =
2
，当 = 0时， = ∫0 1 = 2，因为0 (0) = 1，
0 () = ∞，所以 = 2π，β = 0。所以：
→0
= 20 ()， =
则
2
0
̃() =
̃0 (0,0)
第三极大
8.37549
第三极小
10.1725
相对光强度
1
0.610
0
0.819
0.0174
1.116
0
1.333
0.0041
1.619
0
被第一极小（暗纹）所包围的中央亮斑为爱里斑，衍射光的弥散
程度可以用爱里斑半径的张角表示，由于当很小时， ≈ ，所
∫ (
+
)
0
2
0
̃
(1 ()|
= 2 ( ) 0 (0,0)
0 )
= 2
2
0
̃0 (0,0)
()
1
其中 = ， =
2
为波数，为光源到前波面的距离，为
场点相对于次波面元的方向角。
则得到夫琅禾费圆孔衍射P点光强公式为() = 0 [
∑ 0
基尔霍夫导出 =
−
=
−
2
∑
1
， 倾 斜 因 子 (0 , ) = (0 +
2
)，因此得到：
̃() =
−
2
2
̃0 ()(0 + )
∯∑
∑
称为菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式，可以用来处理光的衍射问
题。
二，衍射的分类
方向的光线0 ，取坐标如下：0 与轴线所在平面为平面，为光轴。
过作与，0 垂直的平面，与0 和x轴分别交于，点，则，与r0
垂直。0 与平面交角为 。，两点发出的次波是等光程的，则
任一点点发出的次波与中心店发出的次波间的光程差为在0 上
的投影，即
= − = − = −
函数对夫琅禾费圆孔衍射的振幅和单音信号调频的幅度的表达式进
行推导很有必要，同时也可以根据推导得到的公式进行理论的分析和
现有结果的解释。另外，根据得到的函数表达式，还可以利用数学软
件进行模拟，以期得到更直观的结果，也可以加深对于 Bessel 函数
以及夫琅禾费圆孔衍射、单音信号调频的理解。
关键词：
Bessel 函数，夫琅禾费圆孔衍射，振幅，光强，调频，频率，
上每个面元都可以视为子波的波源，在空间某点 P 的振动是所有这些
子波在该点产生的相干振动的叠加，称为惠更斯-菲涅尔原理，即
̃() = ∑∑
̃0 ()(0 , )
∑
̃ (P)为点(振动点)的复振幅，为比例常数，
̃0 ()为
其中， U
点(点光源)的复振幅，(0 , )为倾斜因子，
《复变函数与数理方程》Project
Bessel 函数应用例
文章说明：
本学期我们在数理方程的课堂上学习了贝塞尔函数的相关内容，
贝塞尔函数性质很特殊，它在物理和工程中的广泛应用更是引起我们
强烈的兴趣。而学以致用，这是我们学习应用数学的目的之一。联想
到在之前的课程中曾经遇到过函数，但是老师只是直接给出结
以有艾里斑的角半径
δ = 1.22
其中，是入射光的波长，为衍射屏上的圆孔直径。
令() = 0；即第一条暗纹出现的位置。
可解得： =3.83171
=
2П SIN
Л
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Bessel 函数应用例
于是得到艾里斑半角宽度公式
δ = sinθ = 0.609836 = 1.22
= ∫ − 2 ()
0
代入方程 2 ′′ + ′ + 2 ，得到：
2
∫ [ 2 2 () − ()]
0
= −()|2
0 =0
故满足 0 阶方程，其解的形式应该为：
3.各亮纹光强能量分布：
在半径为~ + 、面积为2的环带内的能量正比于
()2; 半径为的圆内的相对光能为
通过积分，容易求得上述的能量分布表达式。
wk.baidu.com
六，弗朗禾费圆孔衍射光强公式的另一种推导：
11 / 23
《复变函数与数理方程》Project
Bessel 函数应用例
表示半径为 的圆孔，设平行光垂直于圆孔的平面入射时，
=
0
[ − (0 + )]
2
式中，为该面元与点的面元到点的光程差，即该面元在直径
上的投影点与在 方向的光程差，由图可得此值为
= ( + )
式中，为该面元到圆孔中心的距离； 为该面元的半径对的
夹角
=
12 / 23
̃() = ∯
̃0 (, )(0 , )
̃0 (0,0)
=
(0 −)
∑
0
∬ − （取实部）
2
0
2
̃0 (0,0)
=
∫ ∫ cos( )
0
三，贝塞尔函数图像与调制频率的关系…………………………17
四，卡森公式的推导………………………………………………20
五，贝塞尔函数级数展开的理论说明……………………………21
总结 ……………………………………………………………………22
参考文献 ………………………………………………………………23
2 / 23
2
=
将圆孔波阵面上所有面元在点的作用叠加起来，可得到 点的
振动为
= ∫
2
=∫ ∫
0
0
0
[(0+)−]
2
0 [( +)−] 2
五，夫琅禾费圆孔衍射常见结论的推导…………………………8
六，夫琅禾费圆孔衍射光强公式的另一种推导…………………11
Section 2
Bessel 函数在通信电路中的应用………………………14
一，单音信号的调频………………………………………………15
二，贝塞尔函数的渐进公式………………………………………16
为球面波因子，为次
波中心周围面元的面积，0 和分别是场源和场点相对于次波面元
的方向角。
4 / 23
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Bessel 函数应用例
取一个封闭的波前(连续分布的曲面)，则所有次波中心发出的次
波在点的复振幅就是以下的曲面积分：
̃() = ∯
̃ ()(0 , )
0
四，夫琅禾费圆孔衍射光强公式的推导
上面已经得到：
̃() =
̃0 (0,0)
2
0
2
∫ ∫ cos( )
0
0
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令 =
2
Bessel 函数应用例
= ，则有：
2
0
Bessel 函数应用例
，则
0
̃
0 (0,0)
∫ 0 ()
0
2
0
̃0 (0,0)
= 2 ( )
∫ 0 ()
0
̃() = 2
2
0 1 () 1 ()
̃
= 2 ( ) 0 (0,0)
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故
=
0
cos[ − (0 + ( + ))]
2
=
0
cos[(0 + ( + )) − ]
2
用复数表达则为
0
[(0+)−]
∫ ∫ ( )
0
0
= 2
̃0 (0,0)
0
∫0
0 ( )
在这里用 Bessel 函数的递推公式：
() ()
+
= −1 ()
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在上式中不妨取 =
现在来计算光通过该孔后的夫琅禾费衍射，先讨论圆孔形波阵面沿着
与法线成角方向传播的所有次波在观察点叠加所产生的振动的振
幅，在圆孔边缘 附近处的波阵面 在考察点引起的振动，由惠
更斯－菲涅尔原理有
=
0
2
( − 0 )
式中，为点到点的距离， =
2
.
圆孔波阵面上任一面元，它在点引起的振动可以写成
= 0 时（中心）的光强，即 = 0。
五，夫琅禾费圆孔衍射常见结论的推导：
1，中央亮斑，同心圆环,明暗交错,不等间距：
由光强公式在 Mathematics 上作得图样为：
8 / 23
21 () 2
] ，0 为
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当光强为零时，出现暗纹；反之，则是明纹；
论，并没有说明原因。因此，我们小组主要从《大学物理》课程中遇
到的夫琅禾费圆孔衍射和《电子电路与系统基础》课程中遇到的单音
信号调频两个例子对 Bessel 函数的应用进行讨论，希望能对 Bessel
函数的魅力有更深一些的理解。
摘要：
物理学中我们熟知的夫琅禾费圆孔衍射的振幅和电路系统中单
音信号调频的幅度都可以用 Bessel 函数来表示。因此，利用 Bessel
∫ ∫ ( )
0
0
̃() =
̃0 (0,0)
2
下面证明：∫0 cos( ) = 2π0 ( )
2
令 = ∫0 cos()，即 =
,则
2
′
= ∫ −()
0
′′
2
幅度，调制指数
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正文
Section 1
Bessel 函数在衍射中的应用
一， 菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式
衍射可由惠更斯-菲涅尔原理解释：惠更斯提出，媒介上波阵面
的各点，都可以看成是发射子波的波源，其后任意时刻这些子波的包
迹，就是该时刻新的波阵面。菲涅尔完善了惠更斯原理，他提出波前
目录………………………………………………………………………2
文章说明…………………………………………………………………3
摘要………………………………………………………………………3
关键词……………………………………………………………………3
正文………………………………………………………………………4
光的衍射主要分为 2 种：菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射。光源和观
察点距障碍物为有限远的衍射称为菲涅尔衍射；光源和观察点距障碍
物为无限远的衍射，即平行光衍射为夫琅禾费衍射。
5 / 23
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Bessel 函数应用例
三，夫琅禾费圆孔衍射数学模型的建立：
点发出沿任意方向光线，与光轴夹角为。过中心点作与同