关于函数恒成立问题的解题
解答恒成立问题的常规思路
知识导航恒成立问题在近几年的高考数学试题中占据了一席之地，是同学们需要重视并学习的重点内容.恒成立问题是一类综合性较强的问题，常与不等式、函数、导数、数列等知识相结合，重点考查了同学们分析、解决问题的能力.本文重点介绍三种常见的求解思路.一、分离参数分离参数法是解答含参恒成立问题的基本方法，主要通过变形把不等式中的参数和变量分离，然后运用导数法、函数的单调性等求得不含参数式子的最值，进而构造出满足不等式恒成立的条件，使问题获解.例1.已知函数f()x=ln x-a x，若f()x<x2在()1,+∞上恒成立，求a的取值范围.解：∵ln x-a x<x2，x>0，∴a>x ln x-x3，令g()x=x ln x-x3，则g'()x=1+ln x-3x2，令h()x=g'()x=1+ln x-3x2，∴h'()x=1x-6x=1-6x2x，∵h()x在[)1,+∞单调递减，h()x<h()1=-2，即g'()x<0，∴g()x在[)1,+∞单调递减，g()x<g()1=-1，∴a≥g()1=-1，f()x<x2在()1,+∞上恒成立时，a≥-1.解答本题的基本思路是，首先将不等式变形，使参数分离，然后对不含有参数的式子进行求导，通过分析其导函数的正负来讨论函数的单调性，进而求得不含有参数式子的最值，得到a的取值范围.二、数形结合数形结合法是解答恒成立问题的重要方法.在解题时，需首先将不等式变形，构造出一个或者两个简单的基本函数，然后绘制出函数的图象，通过分析函数的图象找出临界的位置关系，从而建立使不等式恒成立的关系式，使问题得解.在解答恒成立问题时灵活运用数形结合法，能快速找到解题的思路，显著提升解题的效率.例2.若存在正数x使2x(x-a)<1成立，则a的取值范围是.解：不等式2x(x-a)<1可变形为x-a<(12)x.在同一平面直角坐标系内作出直线y=x-a与y=(12)x的图象.由题意可得，在(0，+∞)上，直线有一部分在曲线的下方．由图象可知-a<1，所以a>-1.运用数形结合法能使解题过程变得更加直观、简洁，是求解恒成立问题经常采取的方法之一.在运用数形结合法解题时还应注意正确绘制函数的图象.三、利用函数的单调性虽然恒成立问题较为复杂，但我们可以结合不等式的结构特点构造合适的函数，将问题转化为函数问题，再讨论函数的单调性，建立使不等式恒成立的关系式，从而解题.我们可以利用函数单调性的定义，也可以利用导数来讨论函数的单调性.例3.已知函数f(x)=1-22x+1为奇函数.若对任意的t∈R，不等式f[t2-(m-2)t]+f(t2-m+1)>0恒成立，求实数m的取值范围．解：设任意x1，x2∈R，且x1<x2，∴f(x1)-f(x2)=1-22x1+1-1+22x2+1=2(2x1-2x2)(2x1+1)(2x2+1).∵x1<x2，∴2x1-2x2<0，(2x1+1)(2x2+1)>0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)为R上的单调递增函数．∵f(x)=1-22x+1为奇函数，且在R上为增函数，由f[t2-(m-2)t]+f(t2-m+1)>0恒成立可得f[t2-(m-2)t]>-f(t2-m+1)=f(m-t2-1)，化简得2t2-(m-2)t-m+1>0，∴Δ=(m-2)2+8(m-1)<0，解得-2-22<m<-2+22，∴m的取值范围为(-2-22，-2+22)．本题主要是利用函数单调性的定义来确定函数的单调性，然后利用函数的单调性建立关于t的不等式，再利用方程的判别式建立关于m的不等式，求得m的取值范围.解答恒成立问题的方法还有很多，如函数最值法、判别式法、导数法等，而以上三种方法是解答恒成立问题的常用方法.无论运用上述哪种方法解题，同学们都要注意首先将不等式合理进行变形，构造适当的函数模型，灵活运用导数、不等式、函数等知识，以及转化思想、数形结合思想解题.（作者单位:江苏省江阴市第一中学）37。
高中数学解题方法系列：函数中“恒成立问题”的类型及策略
高中数学解题方法系列：函数中“恒成立问题”的类型及策略一、恒成立问题地基本类型在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论.函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: 在给定区间上某关系恒成立。
某函数地定义域为全体实数R 。
●某不等式地解为一切实数。
❍某表达式地值恒大于a 等等…恒成立问题,涉及到一次函数、二次函数地性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,有利于考查学生地综合解题能力,在培养思维地灵活性、创造性等方面起到了积极地作用.因此也成为历年高考地一个热点.恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数地奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数地图象.二、恒成立问题解决地基本策略<一）两个基本思想解决“恒成立问题”思路1、max )]([)(x f m D x x f m ≥⇔∈≥上恒成立在思路2、min)]([)(x f m D x x f m≤⇔∈≤上恒成立在如何在区间D 上求函数f(x>地最大值或者最小值问题,我们可以通过习题地实际,采取合理有效地方法进行求解,通常可以考虑利用函数地单调性、函数地图像、二次函数地配方法、三角函数地有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f<x）地最值.这类问题在数学地学习涉及地知识比较广泛,在处理上也有许多特殊性,也是近年来高考中频频出现地试卷类型,希望同学们在日常学习中注意积累.(二>、赋值型——利用特殊值求解等式中地恒成立问题,常常用赋值法求解,特别是对解决填空题、选择题能很快求得.例1．由等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4=(x+1>4+b 1(x+1>3+b 2(x+1>2+b 3(x+1>+b 4定义映射f：(a 1,a 2,a 3,a 4>→b 1+b 2+b 3+b 4,则f：(4,3,2,1>→(>A.10B.7C.-1D.0略解：取x=0,则a 4=1+b 1+b 2+b 3+b 4,又a 4=1,所以b 1+b 2+b 3+b 4=0,故选D例2．如果函数y=f(x>=sin2x+acos2x 地图象关于直线x=8π-对称,那么a=<）.A .1B .-1C .2D .-2.略解：取x=0及x=4π-,则f(0>=f(4π->,即a=-1,故选B.此法体现了数学中从一般到特殊地转化思想.<三）分清基本类型,运用相关基本知识,把握基本地解题策略1、一次函数型：若原题可化为一次函数型,则由数形结合思想利用一次函数知识求解,十分简捷给定一次函数y=f(x>=ax+b(a≠0>,若y=f(x>在[m,n]内恒有f(x>>0,则根据函数地图象<直线）可得上述结论等价于)(0)(>>n f m f 同理,若在[m,n]内恒有f(x><0,则有)(0)(<<n f m f 例2．对于满足|a|≤2地所有实数a,求使不等式x 2+ax+1>2a+x 恒成立地x 地取值范围.分析：在不等式中出现了两个字母：x 及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数.显然可将a 视作自变量,则上述问题即可转化为在[-2,2]内关于a 地一次函数大于0恒成立地问题.解：原不等式转化为(x-1>a+x 2-2x+1>0在|a|≤2时恒成立,设f(a>=(x-1>a+x 2-2x+1,则f(a>在[-2,2]上恒大于0,故有：⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或∴x<-1或x>3.即x∈(－∞,－1>∪(3,+∞>此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n]上地图象是一线段,故只需保证该线段两端点均在x 轴上方<或下方）即可.2、二次函数型涉及到二次函数地问题是复习地重点,同学们要加强学习、归纳、总结,提炼出一些具体地方法,在今后地解题中自觉运用.<1）若二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0>大于0恒成立,则有00<∆>且a <2）若是二次函数在指定区间上地恒成立问题,可以利用韦达定理以及根地分布知识求解.例3．若函数12)1()1()(22++-+-=a x a x a x f 地定义域为R,求实数a 地取值范围.分析：该题就转化为被开方数012)1()1(22≥++-+-a x a x a 在R 上恒成立问题,并且注意对二次项系数地讨论.解：依题意,当时，R x ∈012)1()1(22≥++-+-a x a x a 恒成立,所以,①当,1,01,01{,0122=≠+=-=-a a a a 时，即当此时.1,0112)1()1(22=∴≥=++-+-a a x a x a②当时，时，即当012)1(4)1(,01{012222≤+---=∆>-≠-a a a a a有,91,09101{22≤<⇒≤+->a a a a 综上所述,f(x>地定义域为R 时,]9,1[∈a 例4.已知函数2()3f x x ax a =++-,在R 上()0f x ≥恒成立,求a 地取值范围.分析：()y f x =地函数图像都在X 轴及其上方,如右图所示：略解：()22434120a a a a ∆=--=+-≤62a ∴-≤≤变式1：若[]2,2x ∈-时,()0f x ≥恒成立,求a 地取值范围.分析：要使[]2,2x ∈-时,()0f x ≥恒成立,只需)(x f 地最小值0)(≥a g 即可.解：22()324a a f x x a ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭,令()f x 在[]2,2-上地最小值为()g a .⑴当22a -<-,即4a >时,()(2)730g a f a =-=-≥73a ∴≤又4a> a ∴不存在.⑵当222a -≤-≤,即44a -≤≤时,2()(3024a a g a f a ==--+≥62a ∴-≤≤又44a -≤≤ 42a ∴-≤≤⑶当22a->,即4a <-时,()(2)70g a f a ==+≥7a ∴≥-又4a <- 74a ∴-≤<-综上所述,72a -≤≤.变式2：若[]2,2x ∈-时,()2f x ≥恒成立,求a 地取值范围.解法一：分析：题目中要证明2)(≥x f 在[]2,2-上恒成立,若把2移到等号地左边,则把原题转化成左边二次函数在区间[]2,2-时恒大于等于0地问题.略解：2()320f x x ax a =++--≥,即2()10f x x ax a =++-≥在[]2,2-上成立.⑴()2410a a ∆=--≤22a ∴--≤≤-+⑵24(1)0(2)0(2)02222a a f f a a ⎧∆=-->⎪≥⎪⎪⎨-≥⎪⎪-≥-≤-⎪⎩或2225--≤≤-∴a 综上所述,2225-≤≤-a .解法二：<运用根地分布）2—2⑴当-<-2,即a >4时,g (a )=f (-2)=7-3a ≥2∴a ≤2a ∉(4,+∞)∴a 不存53在.⑵当-2≤-≤22a,即-4≤a ≤4时,2g (a )=f (a 2)=--a +3≥24a ,2-22-2≤a ≤2－22-2∴-4≤a ≤2⑶当->2,即a <-4时,g (a )=f (2)=7+a ≥2,2a∴a ≥-5∴-5≤a <-4综上所述-5≤a ≤22-2.此题属于含参数二次函数,求最值时,轴变区间定地情形,对轴与区间地位置进行分类讨论；还有与其相反地,轴动区间定,方法一样.对于二次函数在R 上恒成立问题往往采用判别式法<如例4、例5）,而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上地最值问题3、变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量地范围已知,另一个变量地范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号地两边,则可将恒成立问题转化成函数地最值问题求解.运用不等式地相关知识不难推出如下结论：若对于x 取值范围内地任何一个数都有f(x>>g(a>恒成立,则g(a><f(x>min 。
恒成立问题常见求解技巧
恒成立问题常见求解技巧“恒成立”问题是数学中常见的问题，涉及到一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的性质、图象,渗透着换主元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.因此也成为历年高考的一个热点。
恒成立问题在解题过程中解法通常有:①变量分离法；②构造函数法；③变换主元法；④数形结合法（图像法）.一、构造函数法：（一）一次函数法给定一次函数()(0)f x kx b k =+≠，若在在区间[],m n 上恒有()0f x >，则()0()0f m f n >⎧⎨>⎩； 若在在区间[],m n 上恒有()0f x <，则()0()0f m f n <⎧⎨<⎩. 例. 若不等式221(1)x m x ->-对[]2,2m ∈-恒成立，求实数x 的取值范围。
（二）二次函数法1. 20(0)ax bx c a ++>≠对x R ∈恒成立00a >⎧⇔⎨∆<⎩；20(0)ax bx c a ++<≠对x R ∈恒成立00a <⎧⇔⎨∆<⎩； 2. 若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用二次函数的图像求解。
例. 已知函数y =R ，求实数m 的取值范围.例. 不等式212x px p x ++>-对(1,)x ∈+∞恒成立，求实数p 的取值范围。
二．变量分离法若在等式或者不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，切容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或者不等号两边，则可将恒成立问题转化为函数的最值问题求解。
理论依据是：()a f x >恒成立max ()a f x ⇔>；()a f x <恒成立min ()a f x ⇔<.例. 当(1,2)x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，求实数m 的取值范围。
高考数学导数恒成立问题的解法及例题
高考数学导数恒成立问题的解法
对于恒成立问题，一般采取的方法有两种：一是利用函数的单调性，二是利用函数的最值。
1. 利用函数的单调性
如果函数f(x)在区间D上单调，可以根据函数的单调性来解决问题。
例如，不等式f(x) > 0在区间D上恒成立，那么只需要找到满足f(x)min > 0的x值即可。
2. 利用函数的最值
如果函数f(x)在区间D上不是单调的，那么可以转化为求函数的最值问题。
例如，不等式f(x) > 0在区间D上恒成立，可以转化为求f(x)的最小值，只要最小值大于0，那么不等式就恒成立。
例题：已知函数f(x) = x2 + ax + 4在区间[-1,2]上都不小于2，求a的取值范围。
解法：首先根据题意得到函数f(x) = x2 + ax + 4在区间[-1,2]上的最小值为2，然后根据二次函数的性质得到对称轴为x=-b/2a=-a/2。
我们需要分三种情况讨论：
1. 当-a/2≤-1时，即a≥2时，函数在[-1,2]上是增函数，只需要满足f(-1)=1-a+4≥2即可，解得a≤3，所以2≤a≤3；
2. 当-a/2≥2时，即a≤-4时，函数在[-1,2]上是减函数，只需要满足
f(2)=4+2a+4≥2即可，解得a≥-4，但是此时a没有合适的取值，故舍去；
3. 当-1<-a/2<2时，即-4<a<2时，函数在对称轴左侧是减函数，右侧是增函数，只需要满足f(-a/2)=(-a/2)2-a2/4+4≥2即可，解得-4<a≤-2。
综上可得a的取值范围为：[-4,-2]∪[2,3]。
函数导数中的恒成立问题解题技巧
函数导数中的恒成立问题解题技巧临沂市高三二轮会材料函数导数中的恒成立问题解题技巧函数导数中的恒成立问题解题技巧新课标下的高考越来越重视考查知识的综合应用，恒成立问题涉及方程、不等式、函数性质与图象及它们之间的综合应用，同时渗透换元、转化与化归、数形结合、函数与方程等思想方法，考查综合解题能力，尤其是在函数、导数中体现的更为明显，也是历年高考的热点问题, 根据本人的体会，恒成立问题主要有以下几种.一、利用函数的性质解决恒成立问题例1 已知函数f (x ) =x 3+(1-a ) x 2-a (a +2) x +b (a , b ∈R ) ．(1)若函数f (x ) 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a , b 的值；(2)若函数f (x ) 在区间(-1,1) 上不单调，求a 的取值范围．．．．解：(1)由题意得f '(x ) =3x 2+2(1-a ) x -a (a +2)f (0) =b =0⎧又⎨，解得b =0，a =-3或a =1 'f (0) =-a (a +2) =-3⎩(2)函数f (x ) 在区间(-1, 1) 不单调，等价于导函数f '(x ) 在(-1, 1) 既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数即函数f '(x ) 在(-1, 1) 上存在零点，根据零点存在定理，有f '(-1) f '(1) 所以a 的取值范围是{a -5【方法点评】利用函数的性质解决恒成立问题，主要是函数单调性的应用，函数在给定的区间上不单调意味着导函数在给定的区间上有零点，利用函数零点的存在性定理即可解决问题.二、利用数形结合思想解决恒成立问题例2 已知x =3是函数f (x )=a ln (1+x )+x 2-10x 的一个极值点．（1）求a ；（2）求函数f (x )的单调区间；（3）若直线y =b 与函数y =f (x )的图象有3个交点，求b 的取值范围．【方法指导】（1）在极值点处导数为零，可以求a 的值；（2）求函数的单调区间借助f '(x ) >0可以求出单调递增区间，f '(x )解：（1）因为f ' (x )=a a +2x -10，所以f ' (3)=+6-10=0，因此a =16． 1+x 4（2）由（1）知，f (x )=16ln (1+x )+x 2-10x , x ∈(-1, +∞)，f ' (x )=2(x 2-4x +3)1+x当x ∈(-1,1) (3, +∞)时，f ' (x )>0；当x ∈(1,3)时，f ' (x )所以f (x )的单调增区间是(-1,1), (3, +∞)，f (x )的单调减区间是(1,3)．（3）由（2）知，f (x )在(-1,1)内单调增加，在(1,3)内单调减少，在(3, +∞)上单调增加，且当x =1或x =3时，f ' (x )=0所以f (x )的极大值为f (1)=16ln 2-9，极小值为f (3)=32ln 2-21因此f (16)=162-10⨯16>16ln2-9=f (1)f (e -2-1)所以在f (x )的三个单调区间(-1, 1∞)(, 1, )3(, +3, )直线y =b 有y =f (x )的图象各有一个交点，当且仅当f (3)因此，b 的取值范围为(32ln2-21,16ln2-9)．【方法点评】数形结合是高中数学中常考的思想方法之一，在有关取值范围问题、单调性问题、最值问题中体现较明显，同时方程的根及函数零点也可转化为交点问题解决.三、分离参数解决恒成立问题a 例3 已知函数f (x ) =ln x -， x(1)当a >0时，判断f (x ) 在定义域上的单调性；(2)若f (x )【方法指导】（1）通过判断导数的符号解决；（2）由于参数a 是“孤立”的，可以分离参数后转化为一个函数的单调性或最值等解决．1a x +a 解：(1)由题意：f (x ) 的定义域为(0,+∞) ，且f '(x ) =+2=2． x x xa >0, ∴f '(x ) >0，故f (x ) 在(0,+∞) 上是单调递增函数． (2) f (x )3a 0, ∴a >x ln x -x 3 x 211-6x 2令g (x ) =x ln x -x , h (x ) =g '(x ) =1+ln x -3x , h '(x ) =-6x =， x xh (x ) 在[1,+∞) 上是减函数，∴h (x )∴g (x ) 在[1,+∞) 上也是减函数，∴g (x )令a ≥-1得a >g (x ) ，∴当f (x )【方法点评】分离参数是恒成立问题中的一种重要解题方法，分离参数后，构造新函数，求新函数的最值即可解决恒成立问题中的参数取值范围.四、利用两个函数的最值解决恒成立问题x －1b e 例4 [2019·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f (x ) ＝a e x ln x ＋x y ＝f(x ) 在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1) ＋2.(1)求a ，b ；(2)证明：f (x )>1.a b b 解：(1)函数f (x ) 的定义域为(0，＋∞) ，f ′(x ) ＝a e x ln x ＋x ex －x x －1x x －1.由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e ，故a ＝1，b ＝2.2x －12－x x (2)证明：由(1)知，f (x ) ＝e ln x ＋x ，从而f (x )>1等价于xln x >x e －e 设函数g (x ) ＝x ln x ，则g ′(x ) ＝1＋ln x ，11所以当x ∈(0, ) 时，g ′(x )0. e e11故g (x ) 在(0, ) 上单调递减，在(, +∞) 上单调递增，从而g (x ) 在(0，＋∞) 上e e11的最小值为g () ＝－e e2设函数h (x ) ＝x e －x －h ′(x ) ＝e －x (1－x ) ．所以当x ∈(0，1) 时，h ′(x )>0； e当x ∈(1，＋∞) 时，h ′(x )故h (x ) 在(0，1) 上单调递增，在(1，＋∞) 上单调递减，从而h (x ) 在(0，＋∞)1上的最大值为h (1)＝－e 1因为g min (x ) ＝g () ＝h (1)＝h max (x ) ， e所以当x >0时，g (x )>h (x ) ，即f (x )>1.五、不等式中的恒成立问题2x -1 例5 (2019•山东) 已知f (x ) =a (x -ln x ) +2, a ∈R . x(1)讨论f (x ) 的单调性；(2)当a =1时，证明f (x ) >f '(x ) +3对于任意的x ∈[1,2]恒成立． 2a 22(ax 2-2)(x -1) 解：(1)f (x ) 的定义域为(0,+∞) ，f '(x ) =a --2+3= x x x x 3当a ≤0时，若x ∈(0,1)，则f '(x ) >0, f (x ) 单调递增，若x ∈(1,+∞) ，则f '(x )当a >0时，f '(x ) =a (x -1) (x -x +. x 3(i)当02>1. +∞) 时，f '(x ) >0, f (x ) 单调递增．当x ∈(0,1)或x ∈当x ∈时，f '(x )当x ∈或x ∈(1,+∞) 时，f '(x ) >0, f (x ) 单调(ii)当a =2(iii)当a >2时，0递增，当x ∈时，f '(x ) 上单调递增，在单调递增；当a =2时，f (x ) 在(0,+∞) 上单调递增；当a >2时，f (x ) 在（02上单调递增，在（2，1）上单调递减，在(1，上单调递减，在+∞) 上a a＋∞) 上单调递增．(2)证明：由(1)知，当a =1时，f (x ) -f '(x ) =x -ln x +x ∈[1,2] 2x -1122312-(1--+) =x -ln x ++--1，22323x x x x x x x设g (x ) =x -ln x , h (x ) ==312+2-3-1, x ∈[1,2]，则f (x ) -f '(x ) =g (x ) +h (x ．) x x x由g '(x ) =x -1≥0，可得g (x ) ≥g (1)=1，当且仅当x =1时取得等号． x-3x 2-2x +6又h '(x ) =. 设ϕ(x ) =-3x 2-2x +6，则ϕ(x ) 在[1,2]上单调递减． 4x因为ϕ(1)=1, ϕ(2)=-10，所以∃x 0∈(1,2)，使得当x ∈(1, x 0) 时，ϕ(x ) >0，x ∈(x 0,2) 时，ϕ(x )所以h (x ) h (x ) 在(1, x 0) 上单调递增，在(x 0,2) 上单调递减． 11，可得h (x ) ≥h (2)=， 22当且仅当x =2时取得等号． 3所以f (x ) -f '(x ) =g (1)+h (2)=， 23即f (x ) >f '(x ) +对于任意的x ∈[1,2]成立． 2六、利用恒成立问题求参数的取值范围由h (1)=1, h (2)=例6 (2019·北京) 已知函数f (x ) =ln 1+x 。
恒成立问题基本题型及解题方法
恒成立问题基本题型一 转化为二次函数，利用分类讨论思想解题例1． 已知函数f(x)=x 2-2ax+4在区间[-1，2] 上都不小于2，求a 的值。
解：由函数f(x)=x 2-2ax+4的对称轴为x=a所以必须考察a 与-1，2的大小，显然要进行三种分类讨论1．当a ≥2时f(x)在[-1，2]上是减函数此时m in )(x f = f(2)=4-4a+42≥ 即a 23≤ 结合a ≥2，所以a 的解集为φ 2．当a 1-≤ 时 f(x)在[-1，2]上是增函数， m in )(x f = f(-1)=1+2a+42≥结合a 1-≤ 即123-≤≤-a 3．当-1<a<2时 m in )(x f = f(a)=a 2-2a 2+4 2≥ 即≤-2a 2≤ 所以21≤<-a综上1，2，3满足条件的a 的范围为：223≤≤-a 二 确定主元，构造函数，利用单调性解题例2．对于满足0≤a ≤4的所有实数a 求使不等式x 2+ax>4x+a-3都成立的x 的取值范围。
解：不等式变形为x 2+(x-1)a-4x+3>0设f(a)= (x-1)a+x 2-4x+3，则其是关于a 的一个一次函数：是单调函数结合题意有⎩⎨⎧>>0)0(0)4(f f 即 得1-<x 或3>x 三 利用不等式性质解题例3．若关于x 的不等式|x-2|+|x+3|≥a 恒成立，试求a 的范围 解：由题意知只须min )32(++-≤x x a 由5)3(232=+--≥++-x x x x 所以 5≤a四 构造新函数，利用导数求最值：例4．已知)1lg(21)(+=x x f )2lg()(t x x g +=若当]1,0[∈x 时)()(x g x f ≤在[0，1]恒成立，求实数t 的取值范围。
解：)()(x g x f ≤在[0，1] 上恒成立，即021≤--+t x x 在[0，1]上恒成立 令t x x x F --+=21)( 则须F(x)在[0，1]上的最大值小于或等于0所以 121412121)('++-=-+=x x x x F 又]1,0[∈x 所以0)('<x F 即)(x F 在[0，1]上单调递减所以)0(max )(F x F = 即01)0()(≤-=≤t F x F 得 1≥t{0340122>+->-x x x（说明：若将恒成立改成有解，即)()(x g x f ≤在[0，1]上有解，则应F(x)min 0≤。
与二次函数有关的“恒成立”问题的求解策略
ʏ张亮昌解决不等式恒成立问题常见的方法有:判别式法,分离参数法,主参换位法等㊂下面举例分析这类问题的求解策略㊂方法一:判别式法例1 已知不等式(m 2+4m -5)x 2+4(1-m )x +3>0对任意实数x 恒成立,则实数m 的取值范围是㊂①当m 2+4m -5=0时,可得m =-5或m =1㊂若m =-5,则不等式化为24x +3>0,这时对任意实数x 不可能恒大于0㊂若m =1,则3>0恒成立㊂②当m 2+4m -5ʂ0时,根据题意可得m 2+4m -5>0,Δ=16(1-m )2-12(m 2+4m -5)<0,解得m <-5或m >1,1<m <19,所以1<m <19㊂综上可知,所求实数m 的取值范围是{m |1ɤm <19}㊂评注:对于一元二次不等式a x 2+b x +c >0(a >0)在R 上恒成立,则Δ=b 2-4a c <0;一元二次不等式a x 2+b x +c <0(a <0)在R 上恒成立,则Δ=b 2-4a c <0㊂方法二:分离参数法例2 不等式x y ɤa x 2+2y 2对于1ɤx ɤ2,2ɤy ɤ3恒成立,则实数a 的取值范围是㊂不等式x y ɤa x 2+2y 2对于1ɤx ɤ2,2ɤy ɤ3恒成立,等价于a ȡyx -2yx2对于1ɤx ɤ2,2ɤy ɤ3恒成立㊂令t =y x ,则1ɤt ɤ3,所以a ȡt -2t 2在1ɤt ɤ3上恒成立㊂令函数y =-2t 2+t =-2t -142+18,当t =1时,y m a x =-1,则a ȡ-1㊂故实数a 的取值范围是{a |a ȡ-1}㊂评注:若a ȡf (x )恒成立,则a ȡf (x )m a x ;若a ɤf (x )恒成立,则a ɤf (x )m i n ㊂方法三:主参换位法例3 已知函数y =a x 2-2a x +8+3a ,若对于1ɤa ɤ3,y <0恒成立,则实数x 的取值范围为㊂已知函数可化为关于a 的函数y =a x 2-2a x +8+3a =(x 2-2x +3)a +8㊂由题意知,y <0对于1ɤa ɤ3恒成立㊂因为x 2-2x +3>0恒成立,且y 是关于a 的一次函数,在1ɤa ɤ3上随x 的增大而增大,所以y <0对1ɤa ɤ3恒成立等价于y 的最大值小于0,即3(x 2-2x +3)-8<0,也即3x 2-6x +1<0,解得3-63<x <3+63,所以实数x 的取值范围为x 3-63<x <3+63㊂评注:在一个函数式中,有两个自变量,其中给出一个自变量的范围,这时可把问题转化为关于已知范围的那个自变量的函数(本题是一次函数)㊂在R 上定义运算⊗:A ⊗B =A (1-B ),若不等式(x -a )⊗(x +a )<4对x ɪR 恒成立,则实数a 的取值范围为㊂提示:(x -a )⊗(x +a )=(x -a )[1-(x +a )]=-x 2+x +a 2-a <4对x ɪR 恒成立,即x 2-x -a 2+a +4>0对x ɪR 恒成立,所以Δ=4-4(-a 2+a +1)=4a 2-4a <0,所以0<a <1,即实数a ɪ(0,1)㊂作者单位:湖北省巴东县第三高级中学(责任编辑 郭正华)61 知识结构与拓展 高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
函数中的恒成立问题的解题策略
函数中的恒成立问题的解题策略————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：23 / 8函数中的恒成立问题的解题策略函数是整个高中知识体系的核心之一，而函数中的绝大多数问题最终归结为函数性质、函数思想在具体解题过程中的应用。
恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数等函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。
因此也成为历年高考的一个热点。
恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。
现在我们一起来探讨其中一些典型的问题。
一、一次函数型给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于ⅰ）⎩⎨⎧>>0)(0m f a 或ⅱ）⎩⎨⎧><0)(0n f a 亦可合并定成⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f 同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有⎩⎨⎧<<0)(0)(n f m f本质上是利用了一次函数的单调行和函数的最值。
例1.对于满足|a|≤2的所有实数a,求使不等式x 2+ax+1>2a+x 恒成立的x 的取值范围。
分析：在不等式中出现了两个字母：x 及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。
显然可将a 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a 的一次函数大于0恒成立的问题。
解：原不等式转化为(x-1)a+x 2-2x+1>0,设f(a)= (x-1)a+x 2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或 ∴x<-1或x>3.引申：在不等式中出现3个字母：m 、x 、a已知函数()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且(1)1f =，若[],1,1a b ∈-，0a b +≠，n m o x yn m o x y4 / 8 有()()0f a f b a b+>+，（1）证明()f x 在[]1,1-上的单调性；（2）若2()21f x m am ≤-+对所有[]1,1a ∈-恒成立，求m 的取值范围。
（完整版）函数恒成立问题（端点效应）
（完整版）函数恒成⽴问题（端点效应）函数恒成⽴专题01：可求最值型基础知识：（1）不等式0)(≥x f 在定义域内恒成⽴，等价于()0≥min x f ；（2）不等式0)(≤x f 在定义域内恒成⽴，等价于()0≤max x f 。
【例1】【重庆⽂】若对任意的0>x ，24423ln 12)(c c x x x x f ->--=恒成⽴，求c 的取值范围。
【例2】函数1)1ln()1()(+-++=kx x x x f 在区间),1(+∞-上恒有0)(>x f ，求k 可以取到的最⼤整数。
【变式1】函数)0(ln )(,42)(2>=+-=a x a x g x x x f ，若)(4)(x g x x f -≤恒成⽴，求a 的取值范围。
【变式2】【2012新课标⽂】设函数()2--=ax e x f x Ⅰ求)(x f 的单调区间；Ⅱ若1=a ，k 为整数，且当0>x 时，01)()(>++'-x x f k x ，求k 的最⼤值。
【变式3】【2012新课标理】已知函数)(x f 满⾜2121)0()1()(x x f e f x f x +-'=- Ⅰ求)(x f 的解析式及单调区间；Ⅱ若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的值。
专题02：分离变量型基础知识：分离变量的核⼼思想就是为了简化解题，希望同学通过以下例⼦有所感悟【例1】【2010天津】函数1)(2-=x x f ，对任意)(4)1()(4)(,,232m f x f x f m m x f x +-≤-??+∞∈恒成⽴，求实数m 的取值范围。
【变式1】【2010安徽】若不等式0)1)((22≤++-x x a a 对⼀切(]2,0∈x 恒成⽴，求a 的取值范围。
【例2】若函数x ax x x f 1)(2++=在??+∞,21上单调递增，求a 的取值范围。
【变式2】【2012湖北】若)2ln(21)(2++-=x b x x f 在),1(+∞-上是减函数，求b 的取值范围。
函数恒成立问题及解决方法
函数恒成立问题及解决方法
函数恒成立问题及解决方法
函数恒成立问题是函数在一定情况下不管输入什么值，其输出都是正确的，它的结果可靠。
但是在编程中，也会出现函数恒成立的问题。
这类问题是由于程序员在编写函数时疏忽造成的，也就是说，在程序的某一部分，因为某些原因，程序无论输入什么参数，结果都一样，这就是函数恒成立问题。
函数恒成立问题的解决方法主要有三个：第一是仔细检查代码，注意当输入参数有所变化时，函数结果是否有真正更改；第二是重新测试程序，观察函数的输入输出结果，并根据结果分析问题；第三是对现有代码进行修改，明确函数的功能，使函数行为与输入值相关。
总之，函数恒成立问题是计算机编程中经常遇到的一个问题，它是由于程序编写不严谨而导致的。
因此，程序员必须重视注意，仔细检查代码，将函数恒成立问题有效解决。
函数的恒成立问题
函数的恒成立问题函数的恒成立问题是一个重要的数学概念，它涉及到函数的性质和不等式的解法。
这类问题在数学高考和数学竞赛中经常出现，是考察学生数学思维和解题能力的重要题型。
函数的恒成立问题是指对于某个区间内的所有x值，函数f(x)都满足某个条件或不等式，即f(x)恒成立。
解决这类问题通常需要运用函数的性质、导数、参数分离等多种方法。
具体来说，解决函数的恒成立问题可以通过以下几种方法：1. 函数性质法：利用函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等，来证明函数恒成立。
2. 导数法：通过求函数的导数，研究函数的单调性和最值，进而证明函数恒成立。
3. 参数分离法：将参数与变量分离，转化为求函数的最值问题，再证明该最值满足条件。
4. 数形结合法：将函数与图形结合，通过观察图形的性质来证明函数恒成立。
举个例子，假设我们要求证函数f(x) = x^2 - 2x在区间[0,3]上恒成立。
我们可以采用以下步骤：1. 首先求出函数f(x)的导数f'(x)，得到f'(x) = 2x - 2。
2. 然后通过分析f'(x)的符号，确定函数的单调性。
当f'(x) > 0时，f(x)单调递增；当f'(x) < 0时，f(x)单调递减。
由此可知，f(x)在区间[0,1]上单调递减，在区间[1,3]上单调递增。
3. 接下来求出函数在区间端点的值，即f(0)、f(1)、f(3)。
计算得到f(0) = 0，f(1) = -1，f(3) = 3。
4. 最后比较这些值，发现f(0)、f(1)、f(3)都满足条件，因此可以证明函数f(x)在区间[0,3]上恒成立。
以上是解决函数恒成立问题的一种基本思路和方法，当然具体的解题过程可能因题目的不同而有所差异。
在解决这类问题时，需要灵活运用数学知识，注重思维方法的训练和解题技巧的提升。
恒成立问题常见类型及解法
【解析】令 f (m) ＝（ x2 1）m －2 x ＋1，则上述问题即可转化为关于 m 的
一次函数 y f (m) 在区间[-2，2]内函数值小于 0 恒成立的问题。考察区
间端点，只要
f f
(2)＜0，解得 (2)＜0
7 1＜x＜ 2
3 1, 2
即 x 的取值范围是（ 7 1 ， 3 1 ）.
范围是______．
【解题提示】将恒成立问题转化为最值问题.
【解析】因为x＞0 ，所以 x 1 2（当且仅当x=1时取等
x
号），所以有
x2
x 3x
1
x
1 1
3
2
1
3
1 5
，即
x x2 3x 1
的最大值为 1，故a≥1 .
x
5
5
【方法技巧】不等式恒成立问题的解题方法 1.不等式的恒成立问题与函数最值有密切的关系，解决不等 式恒成立问题，通常先分离参数，再转化为最值问题来解： c≥f(x)恒成立 c≥f(x)max; c≤f(x)恒成立 c≤f(x)min. 2.高次函数或非基本初等函数的最值问题，通常采用导数法 解决.
x
恒成立， 2k ， 4k k Z ，所以 k 不可能为 6。
2
五、 把不等式恒成立问题转化为函数图象问题
【理论阐释】 若把不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出不等
号两边对应函数的图象，这样就把一个很难解决的不等式的 问题转化为利用函数图象解决的问题，然后从图象中寻找条 件，就能解决问题。
典例5
若不等式
loga
x
sin
2x
(a
0且a
1)
对于任意
x
∈
(0,
解决恒成立问题的方法
恒成立问题不等式恒成立问题是高中数学中的一类重要题型，它散见于许多知识版块中，载体较多，而且不少情况下题意较为隐含，由于其设计内容较广、表现形式多样、思维层次较高，因而备受命题者的青睐. 解题的一般原理是利用等价转化思想将其转化为函数的最值或值域问题，常用的方法主要有三种：必要探路法、分离参数法、直接讨论法（不分离参数）.一．必要探路法：指对一类函数恒成立问题，可以通过取函数定义域中某一个数，缩小参数的讨论范围，之后在此范围内继续讨论进而解决问题，这样的好处是降低思考的成本，缩小讨论的范围.（有效点缩小参数范围是关键点）范例：若不等式)1(ln 2+<+-x a x x x 对),0(+∞∈x 恒成立，求实数a 的取值范围. 解：令1=x ，则不等式)1(ln 2+<+-x a x x x 即为02>a ，得0>a .当0,0>>a x 时，x x x x x x x a -+->-+-+22ln ln )1(，要证0ln )1(2>-+-+x x x x a ，即证0ln 2≥-+-x x x ,由熟悉的不等式1ln -≤x x 得0)1(1ln 222≥-=-+-≥-+-x x x x x x x ， 因此),0(+∞∈a .二．分离参数法：将参数从表达式中分离出来，将会使问题变得明朗，便于建立关于参数的不等式（组），从而顺利求出参数的取值范围，就可以把参数问题转化为求函数值域问题.三．直接讨论法：指恒成立问题中的函数结构并不是很复杂，可以通过求导得到极值点，再对极值点直接讨论的办法，其关键是求得极值点的过程，常用手段为因式分解法、求根公式法以及观察法；如果无法求出极值点，可以利用函数零点存在性定理讨论，进而研究原函数的单调性.范例：若不等式x a a e e x x 2)(≥-恒成立，求实数a 的取值范围. 解：设x a ae ex f x x 22)(--=，则))(2(2)(22a e a e a ae e x f x x x x -+=--='，当0=a 时，0)(2>=x e x f 恒成立，当0>a 时，由0)(='x f 得：a x ln =，∴)(x f 在)ln ,(a -∞单调递减，在),(ln +∞a 单调递增，∴0ln )(ln )(2min ≥-==a a a f x f ，解得10≤<a ；当0<a 时，由0)(='x f 得：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2ln a x ，∴)(x f 在)2ln ,(⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞a 单调递减，在),2(ln +∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 单调递增，∴02ln 43)2(ln )(2min ≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a a f x f ，解得0243<≤-a e ；综上，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈1,243e a .尝试用多种方法求解下列题：1. 已知)1ln(4)(2--=x ax x f ,若对一切]1,2[+∈e x ，1)(≤x f 恒成立，求实数a 的取值范围.2. 设函数)()(,)(2d cx e x g b ax x x f x +=++=，若曲线)(x f y =和曲线)(x g y =都过点)2,0(P ，且在点P 处有相同的切线24+=x y .（1）求实数d c b a ,,,的值；（2）若当2-≥x 时，)()(x kg x f ≤恒成立，求实数k 的取值范围.3. 关于x 的不等式a x x ax x x +->22ln 4ln 2在),1[+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.。
高一数学恒成立问题方法题型
高一数学恒成立问题方法题型1. 证明：对于任意实数x，恒有x^2 ≥ 0。
证明方法：- 方法一：利用二次函数的性质。
二次函数的图像是一个开口朝上的抛物线，因此对于任意实数x，x^2 的值都大于等于0。
- 方法二：利用乘法的性质。
对于任意实数x，x^2 = x * x。
根据乘法的性质，两个非负数的乘积仍然是非负数，因此x^2 ≥ 0。
2. 证明：对于任意正实数a，b，恒有(a + b)^2 ≥ 4ab。
证明方法：- 方法一：利用二次函数的性质。
展开(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，根据二次函数的性质，二次项系数2是正数，因此(a + b)^2 ≥ a^2 + 2ab + b^2 ≥ 4ab。
- 方法二：利用乘法的性质。
展开(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，根据乘法的性质，两个非负数的乘积仍然是非负数，因此2ab ≥ 0，所以(a + b)^2 ≥ a^2 + 2ab + b^2 ≥ 4ab。
3. 证明：对于任意正实数a，b，恒有(a + b)^3 ≥ 8ab(a + b)。
证明方法：- 方法一：利用立方函数的性质。
展开(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3，根据立方函数的性质，三次项系数3是正数，因此(a + b)^3 ≥ a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 ≥ 8ab(a + b)。
- 方法二：利用乘法的性质。
展开(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3，根据乘法的性质，两个非负数的乘积仍然是非负数，因此3a^2b + 3ab^2 ≥ 0，所以(a + b)^3 ≥ a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 ≥8ab(a + b)。
以上是几个常见的高一数学恒成立问题的证明方法题型，希望对你有帮助！。
恒成立问题的求解方法
恒成立问题的求解方法复杂的问题往往由一些简单问题的演变和拼接组合，解题过程是不断分解、转化问题的过程。
注重基本题型的积累，就可以敏感地抓住问题的结构特征，找到合适的解题方法.解决恒成立问题的常用方法有：①转换为求函数的最值法；②分离参数法；③主参换位法；④数形结合法；⑤利用二次函数根的分布。
一、转换求函数的最值法：（1）a x f >)(恒成立min )(x f a <⇔，a x f <)(恒成立max )(x f a >⇔；（2）()()f x g x >恒成立()()min 0f x g x ⇔->⎡⎤⎣⎦； ()()f x g x <恒成立()()max 0f x g x ⇔-<⎡⎤⎣⎦； （3）()()12f x g x >恒成立()()min max f x g x ⇔>； （4）若存在x 使()()f x g x <()()min max f x g x ⇔>；例1.设函数432()2()f x x ax x b x R =+++∈，其中,a b R ∈．若对于任意的[]22a ∈-，，不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立，求b 的取值范围．分析：()1f x ≤，即m a x ()1f x ≤，[]22a ∈-，，x ∈[]11-，，要解决此题关键是求max ()f x 。
解：322()434(434)f x x ax x x x ax '=++=++由条件[]22a ∈-，可知29640a ∆=-<，从而24340x ax ++>恒成立．当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>．因此函数()f x 在[]11-，上的最大值是(1)f 与(1)f -两者中的较大者．为使对任意[]22a ∈-，，不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立，当且仅当max ()1f x ≤， 即(1)1(1)1f f ≤-≤⎧⎨⎩，即22b ab a ≤--≤-+⎧⎨⎩在[]22a ∈-，上恒成立．即min min(2)(2)b a b a ≤--≤-+⎧⎨⎩，[]22a ∈-，所以4b ≤-，因此满足条件的b 的取值范围是(]4--∞，．二、分离参数法：（适用题型：参数与变量能分离；函数的最值易求出。
与函数有关的恒成立问题
与函数有关的恒成立问题最常见的是二次函数的恒成立问题,分为两种题型: （1）二次函数在R 上的恒成立问题; （2）二次函数在给定区间上的恒成立问题. 对于二次函数)0(2≠++=a c bx ax y : ①若c bx ax ++2≥0在R 上恒成立,则⎩⎨⎧≤∆>0a ;②若c bx ax ++2≤0在R 上恒成立,则⎩⎨⎧≤∆<00a .函数恒成立问题的求解方法（转化化归思想）分离参数法 函数的恒成立问题,一般将其转化为求函数的最大值或最小值问题: ①a ≤)(x f 恒成立a ⇔≤min )(x f ; ②a ≥)(x f 恒成立a ⇔≥max )(x f .在求解恒成立问题时,把参数分离出来,使不等式的一端是含有参数的代数式,另一端是一个区间上的具体函数,这样就把问题转化为一端是函数,另一端是参数的不等式,便于问题的解决.这种方法叫做分离参数法. 结论 二次函数的给定闭区间上的最值问题求二次函数的最大（小）值有两种类型:一是函数的定义域为实数集R ,这时只要根据抛物线的开口方向,应用配方法即可求出最大（小）值;二是函数的定义域为某一区间,这是函数的最值由它的单调性确定,而它的单调性又与抛物线的开口方向和对称轴的位置（在区间上、在区间的左侧、在区间的右侧）来决定,当开口方向或对称轴位置不确定时,还需要进行分类讨论.求二次函数()0)(2>++=a c bx ax x f 在区间[]n m ,上的最值分为以下三种情况:（1）对称轴在区间的左侧 若m abx <-=2,则)(x f 在区间[]n m ,上是增函数,最大值为()n f ,最小值为()m f ; （2）对称轴在区间内若m ≤a b2-≤n ,则)(x f 的最小值为a b ac a b f 4422-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-,最大值为()m f 、()n f 中的较大者（或区间端点n m ,中与直线abx 2-=的距离较大的那一个端点所对应的函数值）; 即最小值为a bac a b f 4422-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-,最大值为()()(){}n f m f x f ,m ax max =. （3）对称轴在区间的右侧若n abx >-=2,则)(x f 在区间[]n m ,上是减函数,最大值为()m f ,最小值为()n f . 注意:当抛物线的对称轴a b x 2-=在区间[]n m ,上,即m ≤ab2-≤n 时,函数的最小值在顶点处获得,为顶点的纵坐标,即a b ac a b f x f 442)(2min -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,函数最大值的确定需要分为两种情况:区间[]n m ,的中点为2nm +（由中点坐标公式得到）. ①当m ≤a b 2-≤2nm +时（即右端点n 距离对称轴较远）,函数的最大值为()n f ;②当a b n m 22-<+≤m 时（即左端点m 距离对称轴较远）,函数的最大值为()m f . 综上所述,二次函数的最大值为()()(){}n f m f x f ,m ax max =.常见的二次函数最值问题类型 类型1 定轴定区间 类型二 动轴定区间 类型三 定轴动区间 类型四 动轴动区间 二次函数的最值的图象说明对称轴在区间的左侧对称轴在区间的右侧对称轴在区间内靠近左端点对称轴在区间内靠近右端点例题讲解例1. 函数a ax x x f -++=3)(2,当∈x R 时,)(x f ≥0恒成立,求实数a 的取值范围. 分析:这是与二次函数有关的恒成立问题,也是二次函数对应的一元二次不等式恒成立的问题.解决本题需要理解并掌握下面的结论:对于二次函数()0)(2≠++=a c bx ax x f ,)(x f ≥0恒成立恒成立的条件是:⎩⎨⎧≤-=∆>0402ac b a 也即一元二次不等式c bx ax ++2≥0)0(≠a 恒成立的条件是⎩⎨⎧≤-=∆>0402ac b a . 解:由题意可得:()a a --=∆342≤0,解之得:6-≤a ≤2.∴实数a 的取值范围是[]2,6-.例2. 若不等式0122>++mx mx 的解集为R ,则实数m 的取值范围是_________. 分析:设函数12)(2++=mx mx x f ,则不等式0122>++mx mx 的解集为R 就转化为了函数0)(>x f 恒成立的问题.注意,这里函数)(x f 不一定是二次函数,它的二次项系数含有参数,要对二次项系数进行分类讨论. 解:当0=m 时,无论x 取任何实数,01>恒成立,符合题意;当0≠m 时,则有()⎩⎨⎧<-=∆>04202m m m ,解之得:10<<m .综上所述,实数m 的取值范围是[)1,0.例3. 关于x 的不等式()1122+<+++x m mx x m 对∈x R 恒成立,求实数m 的取值范围.分析:先把不等式化为标准形式,根据不等式与0的大小关系将问题转化为对应的函数的函数值与0的关系.如果二次项系数中含有参数,不要忘记对参数进行分类讨论.对于二次函数()0)(2≠++=a c bx ax x f ,<)(x f 0恒成立恒成立的条件是:⎩⎨⎧<-=∆<0402ac b a 也即一元二次不等式c bx ax ++2≥0)0(≠a 恒成立的条件是⎩⎨⎧<-=∆<0402ac b a . 解:∵()1122+<+++x m mx x m ∴012<-++m mx mx .当0=m 时,01<-,对∈x R 恒成立,符合题意;当0≠m 时,则有()⎩⎨⎧<--=∆<01402m m m m ,解之得:0<m . 综上所述,m ≤0,即实数m 的取值范围是(]0,∞-.例 4. 已知()422)(2+-+=a x x f ,如果对∈x R ,0)(>x f 恒成立,求实数a 的取值范围.解:由题意可得:()[]044222<⨯--=∆a ,解之得:40<<a .∴实数a 的取值范围是()4,0.例5. 函数a ax x x f -++=3)(2,当[]2,2-∈x 时,)(x f ≥0恒成立,求实数a 的取值范围.分析:这是关于二次函数在给定闭区间上恒成立的问题,解决的方法是把恒成立问题转化为函数的最值问题:)(x f ≥0恒成立,只需函数)(x f 在区间[]2,2-上的最小值min )(x f ≥0即可.函数的恒成立问题,一般将其转化为求函数的最大值或最小值问题: ①a ≤)(x f 恒成立a ⇔≤min )(x f ; ②a ≥)(x f 恒成立a ⇔≥max )(x f .另外,本题中二次函数的对称轴中含有参数,给定的区间是确定的,为动轴定区间问题.在求函数)(x f 的最小值时,要结合抛物线的开口方向,对对称轴与区间的相对位置关系进行讨论.解:函数a ax x x f -++=3)(2的图象的开口向上,对称轴为直线2ax -=.当22-<-a,即4>a 时,函数)(x f 在区间[]2,2-上为增函数∴()()732min +-=-=a f x f ,解不等式73+-a ≥0得:a ≤37,显然不符合题意;当2-≤2a -≤2,即4-≤a ≤4时,()34122min +--=⎪⎭⎫⎝⎛-=a a a f x f解不等式3412+--a a ≥0得:6-≤a ≤2.∴4-≤a ≤2; 当22>-a,即4-<a 时,函数)(x f 在区间[]2,2-上减函数 ∴()()72min +==a f x f ,解不等式7+a ≥0得:a ≥7-. ∴7-≤4-<a .综上所述,实数a 的取值范围是[)[][]2,72,44,7-=--- .注意:在求解的过程中,为避免出错,可为每种讨论的情况画成简图.例 6. 设函数1)(2--=mx mx x f ,若对于∈x []3,1,4)(+-<m x f 恒成立,则实数m 的取值范围为【 】（A ）(]0,∞- （B ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡75,0（C ）()⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-75,00, （D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-75,分析:使用分离参数法: 在求解恒成立问题时,把参数分离出来,使不等式的一端是含有参数的代数式,另一端是一个区间上的具体函数,这样就把问题转化为一端是函数,另一端是参数的不等式,便于问题的解决.这种方法叫做分离参数法.本题有一个地方要特别注意,就是二次项系数含有参数,题目所给函数不一定是二次函数,所以要对参数m 进行讨论. 解:∵对于∈x []3,1,4)(+-<m x f 恒成立∴412+-<--m mx mx ,即052<-+-m mx mx 对∈x []3,1恒成立. 当0=m 时,05<-成立,符合题意; 当0≠m 时,()512<+-x x m ∵对∈x []3,1,012>+-x x 成立 ∴152+-<x x m 恒成立,只需min215⎪⎭⎫⎝⎛+-<x x m 即可. 设43211)(22+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=x x x x g ,其图象开口向上,对称轴为直线21=x .∴函数)(x g 在[]3,1上为增函数,∴()73)(max ==g x g∴75)(515max min 2==⎪⎭⎫⎝⎛+-x g x x ,∴75<m . 综上所述,实数m 的取值范围为⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-75,.选择【 D 】.例7. 已知函数xx x f 4)(-=. （1）证明:)(x f 在()+∞,0上单调递增;（2）若不等式0)(>-a x f 在[)+∞,1上恒成立,求实数a 的取值范围. 分析:可以用单调函数的运算性质说明函数)(x f 的单调性. 实际上,x x x x x f 44)(-+=-=,因为函数x y =与函数xy 4-=在()+∞,0均为增函数,所以函数)(x f 在()+∞,0上为增函数,即在()+∞,0上单调递增. （1）证明:任取()+∞∈,0,21x x ,且21x x <,则()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-21211221221121414444x x x x x x x x x x x x x f x f . ∵()+∞∈,0,21x x ,且21x x < ∴041,02121>+<-x x x x ∴()()()()2121,0x f x f x f x f <<- ∴)(x f 在()+∞,0上单调递增;（2）解:∵0)(>-a x f 在[)+∞,1上恒成立 ∴)(x f a <[)+∞,1上恒成立,只需()min x f a <即可. 由（1）可知,函数)(x f 在[)+∞,1上为增函数 ∴()341)1(min -=-==f x f ,∴3-<a ∴实数a 的取值范围为()3,-∞-.例8. 已知函数bx x x f +=2)(,若)(x f ≤1在区间(]1,0上恒成立,试求b 的取值范围.分析:本题虽然简短,但难度较高.条件)(x f ≤1的作用是1-≤)(x f ≤1.分离参数法求解. 解:∵)(x f ≤1∴1-≤)(x f ≤1,1-≤bx x +2≤1∵∈x (]1,0,∴x x 1--≤b ≤x x 1+- 设x x x g 1)(--=,x x x h 1)(+-=,只需()max x g ≤b ≤()min x h 即可.∵x x x g 1)(--=在(]1,0上为增函数,x x x h 1)(+-=在(]1,0上为减函数∴()2)1(max -==g x g ,0)1()(min ==h x h ∴2-≤b ≤0,即实数b 的取值范围为[]0,2-.。
函数导数中的恒成立问题解题技巧
函数导数中的恒成立问题解题技巧函数导数中的恒成立问题解题技巧随着新课标下的高考越来越重视考查知识的综合应用，恒成立问题成为了考试中的热点问题。
这种问题涉及方程、不等式、函数性质与图象及它们之间的综合应用，同时渗透换元、转化与化归、数形结合、函数与方程等思想方法，考查综合解题能力。
在函数、导数中，这种问题更为明显。
本文将介绍两种解题技巧。
一、利用函数的性质解决XXX成立问题利用函数的性质解决恒成立问题，主要是函数单调性的应用。
例如，对于已知函数$f(x)=x^3+(1-a)x^2-a(a+2)x+b(a,b\in R)$，若函数$f(x)$的图象过原点，且在原点处的切线斜率是$-3$，求$a,b$的值。
我们可以先求出$f'(x)$，然后令$f(0)=b=0$，$f'(-1)$和$f'(1)$的乘积小于$0$，解出$a=-3$或$a=1$。
再比如，若函数$f(x)$在区间$(-1,1)$上不单调，求$a$的取值范围。
我们可以利用导函数$f'(x)$在给定的区间上有零点这一性质，根据函数零点的存在性定理解出$a$的取值范围。
二、利用数形结合思想解决恒成立问题利用数形结合思想解决恒成立问题，可以通过画图来求出函数的单调区间、极值点等信息，再结合数学方法解决问题。
例如，对于已知$x=3$是函数$f(x)=a\ln(1+x)+x^2-10x$的一个极值点，求$a$。
我们可以求出$f'(x)$，然后令$f'(3)=0$，解出$a=16$。
再比如，若直线$y=b$与函数$y=f(x)$的图象有$3$个交点，求$b$的取值范围。
我们可以根据函数$f(x)$的单调性来求出其极大值和极小值，画出图象，数形结合可以求出$b$的取值范围。
这些技巧可以帮助我们更好地解决函数导数中的恒成立问题，提高我们的解题能力。
方法点评：分离参数是解决恒成立问题的一种重要方法，通过构造新函数并求其最值，可以得到参数取值范围。
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又因为 在 是单调递增，所以 ；
对所有的 都成立；
因此，只需 大于或等于 在 上的最大值1，
；又∵对所有的 都成立，
即关于 的一次函数在 上大于或等于0恒成立，
即： ．
利用变量分离解决恒成立问题，主要是要把它转化为函数的最值问题．
4、根据函数的奇偶性、周期性等性质
若函数 是奇（偶）函数，则对一切定义域中的 ： （ ）恒成立；若函数 的周期为 ，则对一切定义域中的 ： 恒成立．
关于函数恒成立问题的解题
恒成立问题
二、恒成立问题解决的基本策略
A、两个基本思想解决“恒成立问题”
思路1： 在 上恒成立 ；
思路2： 在 上恒成立 ．
如何在区间 上求函数 的最大值或者最小值问题，可以通过题目的实际情况，采取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导，等等方法求函数 的最值．
三、在恒成立问题中，主要是求参数的取值范围问题，是一种热点题型，介绍一些基本的解题策略，在学习中学会把问题分类、归类，熟练基本方法．
（一）换元引参，显露问题实质
例9．对于所有实数 ，不等式： 恒成立，
求 的取值范围．
解：因为 的值随着参数 的变化而变化，若设 ，
则上述问题实质是“当t为何值时，不等式 恒成立”；
这是我们较为熟悉的二次函数问题，它等价于：
求解关于 的不等式组： ；
解得 ，即有 ，易得 ．
（二）分离参数，化归值域问题
例10．若对于任意角 总有 成立，求 的范围．
解：此式是可分离变量型，由原不等式得 ，
又 ，则原不等式等价变形为 恒成立．
故 必须小于 的最小值，这样问题化归为怎样求 的最小值．
由 ；
解：原不等式转化为： 在 时恒成立，
设 ，则 在 上恒大于0，
故有： 即 ，解得： ；
∴ 或 ，即 (－∞,－1)∪(3,+∞)．
2、二次函数型
例4．若函数 的定义域为 ，求实数 的取值范围．
解：由题意可知，当 时， 恒成立，
①当 且 时， ；此时， ，适合；
②当 时，有 即有 ；
综上所述， 的定义域为 时， ．
例 轴及其上方，如右图所示：
略解： ， ．
变式1：若 时， 恒成立，求 的取值范围．
分析：要使 时， 恒成立，
只需 的最小值 即可．
解： ，令 在 上的最小值为 ；
①当 ，即 时， ； ，而 ， 不存在；
②当 ，即 时， ， ；
又 ， ；
在直角坐标系中画出图像如图所示，由图象可看出，
要使对任意实数 ，不等式 恒成立，
只需 ；故实数 的取值范围是 ．
本题中若将“ ”改为“ ”；同样由图象可得 ．
利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围．
5、直接根据图像判断
若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图像，则可以通过画图直接判断得出结果．尤其对于填空题这种方法更显方便、快捷．
例8．对任意实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
分析：转化为求函数 的最小值，画出此函数的图像即可求得 的取值范围．
解：令 ；
（六）分类讨论，避免重复遗漏
例15．当 时，不等式 恒成立，求 的范围．
解：使用 的条件，必须将 分离出来，此时应对 进行讨论．
即 时，有最小值为0，故 ．
（三）变更主元，简化解题过程
例11．若对于 ，方程 都有实根，求实根的范围．
解：此题一般思路是先求出方程含参数 的根，再由 的范围来确定根 的范围，但这样会遇
到很多麻烦，若以 为主元，则 ，
由原方程知 ，得 ；
又 ，即 ；解之得 或 ．
（四）图象解题，用好数形结合
例12．设 ，若不等式 恒成立，求 的取值范围．
例6．已知三个不等式：① ，② ，③ ．要使同时满足①②的所有 的值满足③，求 的取值范围．
略解：由①②得 ，要使同时满足①②的所有 的值满足③，
即不等式 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，又 在 上大于9；
所以： ．
例7．函数 是奇函数，且在 上单调递增，又 ，若 对所有的 都成立，求 的取值范围．
③当 ，即 时， ， ；
又 ， ；
综上所述， ．
变式2：若 时， 恒成立，求 的取值范围．
法一：分析：题目中要证明 在 上恒成立，若把2移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间 时恒大于等于0的问题．
略解： ，
即 在 上成立；
① ，
；
② ； ；
3、变量分离型
若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解．运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于 取值范围内的任何一个数都有： 恒成立，则 ；若对于 取值范围内的任何一个数，都有： 恒成立，则 ．
此类问题涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，希望大家多多注意积累．
C、分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略
1、一次函数型
若原题可化为一次函数型，则由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷．
给定一次函数 ，若 在 内恒有 ，则等价于： ；同理，若在 内恒有 ，则等价于： ．
例3．对于满足 的所有实数 ，求使不等式 恒成立的 的取值范围．
解：若设 ，则 表示为上半圆．
设 ，为过原点， 为斜率的直线．
在同一坐标系内作出函数图像；
依题意，半圆恒在直线上方时，只有 时成立，
即 的取值范围为 ．
例13．当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围．
解：设 ， ，则 的图像为右图是抛物线；
要使对一切 ， 恒成立，显然 ，
并且必须也只需当 时， 的函数值大于等于 的函数值；故 ， ．
（五）合理联想，运用平几性质
例14．不论 为何实数，直线 与曲线 恒有交点，
求 的范围．
解： ，C（a，0），
当 时，联想到直线与圆的位置关系，则有点A（0，1）必在圆上或圆内，
即点A（0，1）到圆心距离不大于半径，则有 ，得 ．
评析：因为题设中有两个参数，用解析几何中有交点的理论将二方程联立，
用判别式来解题是比较困难的。若考虑到直线过定点A（0，1），曲线为圆．