立体几何中的开放探索性问题(教师版)教师版)2014.10.06
高中数学 考前归纳总结 立体几何中的探索问题
一、探索点的位置例1.如图，四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PD=DC=4， AD=2，E 为PC 的中点, 在线段AC 上是否存在一点 M ，使得PA//平面EDM ，若存在，求出AM 的长；若 不存在，请说明理由.解：取AC 中点M ，连结EM 、DM ， 因为E 为PC 的中点，M 是AC 的中点，所以EM//PA ，又因为EM ⊂平面EDM ，PA ⊄平面EDM ， 所以PA//平面EDM 所以.521==AC AM 即在AC 边上存在一点M ，使得PA//平面EDM ，AM 的长为5.例2.如图，三棱柱111C B A ABC -中，1AA ⊥面ABC ，2,==⊥AC BC AC BC ，13AA =，D 为AC 的中点,（2）求二面角C BD C --1的余弦值； （3）在侧棱1AA 上是否存在点P ，使得 1BDC CP 面⊥？请证明你的结论. 解：（1）解：如图，建立空间直角坐标系， 则C 1（0，0，0），B （0，3，2），C （0，3，0），A （2，3，0），D （1，3，0）， 11(0,3,2),(1,3,0)C B CD ∴==设111(,,)n x y z =是面BDC 1的一个法向量，则110,0n C B n C D ⎧=⎪⎨=⎪⎩即1111320,30y z x y +=⎧⎨+=⎩，取11(1,,)32n =-，易知1(0,3,0)C C =是面ABC 的一个法向量.1112cos ,7n C C n C C n C C==-⨯.C 1A 1C B 1ABDAACzxyCB1BD∴二面角C 1—BD —C 的余弦值为27.（2）假设侧棱AA 1上存在一点P 使得CP ⊥面BDC 1.设P （2，y ，0）（0≤y ≤3），则 (2,3,0)CP y =-，则110,0CP C B CP C D ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即3(3)0,23(3)0y y -=⎧⎨+-=⎩. 解之3,73y y =⎧⎪⎨=⎪⎩∴方程组无解.∴侧棱AA 1上不存在点P ，使CP ⊥面BDC 1.二、探索结论的存在性例3.如图，已知三棱锥P ABC -中，PA PC ⊥，D 为AB 中点，M 为PB 的中点，且2AB PD =． （1）求证：DM ∥PAC 面；（2）找出三棱锥P ABC -中一组面与面垂直的位 置关系，并给出证明（只需找到一组即可） （1）证明：依题意 D 为AB 的中点，M 为PB 的中点 ∴ DM // PA 又,∴（2）平面PAC平面PBC (或平面PAB平面PBC)证明：由已知AB ＝2PD ，又D 为AB 的中点所以PD ＝BD 又知M 为PB 的中点∴，由（1）知 DM // PA∴又由已知，且故∴平面PAC平面PBC 。
立体几何中的探索性问题
立体几何中的探索性问题作者：徐勇来源：《理科考试研究·高中》2012年第10期立体几何中的探索性问题有利于考查学生的归纳、判断等各方面的能力，也有利于创新意识的培养，因此应注意高考中立几探索性命题的考查趋势.立体几何探索性命题的类型主要有：一、探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么；二、探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么.而对命题条件的探索，在立体几何的题型更为常见，对命题条件的探索常采用以下三种方法：1.先猜（作）后证，即先观察与尝试给出条件再给出证明.2.先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.3.把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件.现例举如下例1 如图1，已知四面体ABCD四个面均为锐角三角形，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，BD∥平面EFGH，且（1）求证：HG∥平面ABC；（2）请在平面ABD内过点E作一条线段垂直于AC，并给出证明解析（1）因为BD∥平面EFGH，平面BDC∩平面EFGH=FG，所以BD∥同理BD∥EH，又因为EH=FG，所以四边形EFGH为平行四边形，所以HG∥又平面ABC，平面ABC，所以HG∥平面（2）如图2，在平面ABC内过点E作EP⊥AC，且交AC于P点，在平面ACD内过点P 作PQ⊥AC，且交AD于Q点，连结EQ，则EQ即为所求线段证明如下：因为EP⊥AC，PQ⊥AC，EP∩PQ=P，所以AC⊥平面又因为平面EPQ，所以EQ⊥例2 如图3，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面（1）求证：AE⊥BE；（2）求三棱锥D—AEC的体积；（3）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面解析（1）因为AD⊥平面ABE，AD∥BC，所以BC⊥平面ABE，则AE⊥又因为BF⊥平面ACE，则AE⊥所以AE⊥平面又平面BCE，所以AE⊥（2）——（]1[]3[SX）]×2[KF（]2[KF）]×[KF（]2[KF）] （]4[]3[SX）（3）在三角形ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在三角形BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连MN，则由比例关系易得CN=[SX（]1[]3[SX）因为MG∥AE，平面ADE，平面ADE，所以MG∥平面同理GN∥平面所以平面MGN∥平面又平面MGN，所以MN∥平面所以N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点例3 如图3，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABD=60°，Q为AD的中点（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定实数t的值，使得PA∥平面解析（1）连因为四边形ABCD为菱形，所以又∠BAD=60°，所以△ABD为正三角形而Q为AD中点，所以AD⊥因为PA=PD，Q为AD中点，所以AD⊥又BQ∩PQ=Q，所以AD⊥平面而平面PAD，所以平面PQB⊥平面（2）当t=[SX（]1[]3[SX）]时，使得PA∥平面连AC交BQ于N，交BD于O，连MN，则O为BD的中点又BQ为正△ABD边AD上的中线，所以N为正△ABD的中心设菱形ABCD的边长为a，则AN=[SX（][KF（]3[KF）][]3[SX）]a，AC=[KF（]3[KF）由PA∥平面MQB，平面PAC，平面PAC∩平面MQB=MN，所以PA∥MN，[SX（]PM[]PC[SX）]=[SX（]AN[]AC[SX）]=[SX（][SX（][KF（]3[KF）][]3[SX）]a[][KF （]3[KF）]a[SX）]=[SX（]1[]3[SX）]，即PM=[SX（]1[]3[SX）]PC，t=[SX（]1[]3[SX）例4 如图4，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD.（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）若平面PAB∩平面PCD=l，问直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由解析（1）∠ABC=90°，AD∥BC，所以AD⊥而平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，所以AD⊥平面PAB，所以AD⊥同理可得AB⊥由于AB，平面ABCD，且AB∩AD=C，所以PA⊥平面（2）不平行证明：假定直线l∥平面ABCD，由于平面PCD，且平面PCD∩平面ABCD=CD，同理可得l∥AB，所以AB∥这与AB和CD是直角梯形ABCD的两腰相矛盾，故假设错误，所以直线l与平面ABCD不平行例5 如图5所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面（1）若G为AD边的中点，求证：EG⊥平面PAD；（2）求证：AD⊥PB；（3）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD，并证明你的结论解析（1）在菱形ABCD中，∠DAB=60°，G为AD的中点，所以BG⊥又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BG⊥平面（2）连结PG，由△PAD为正三角形，G为AD的中点，得PG⊥由（1）知BG⊥AD，PG∩BG=G，平面PGB，平面PGB，所以AD⊥平面因为平面PGB，（3）当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面取PC的中点F，连结DE、EF、在△PBC中，FE∥PB，所以EF∥平面在菱形ABCD中，GB∥DE，所以DE∥平面平面DEF，平面DEF，EF∩DE=E，所以平面DEF∥平面由（1）得PG⊥平面ABCD，而平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面例6 如图6，边长为4的正方形ABCD所在平面与正△PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点（1）求四棱锥P—ABCD的体积；（2）求证：PA∥平面MBD；（3）试问：在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由解析（1）因为Q为AD的中点，△PAD为正三角形，因为平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面因为AD=4，所以PQ=2[KF（]3[KF）所以四棱锥P—ABCD的体积V=[SX（]1[]3[SX）=[SX（]1[]3[SX）（]3[KF）]（]32[KF（]3[KF）][]3[SX）（2）连结AC交BD于点O，连结由正方形ABCD知点O为AC的中点，因为M为PC的中点，所以MO∥又平面MBD，平面MBD，所以PA∥平面（3）存在点N，当N为AB中点时，平面PQB⊥平面因为四边形ABCD是正方形，Q为AD的中点，所以BQ⊥由（1）知，PQ⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PQ⊥又BQ∩PQ=Q，所以NC⊥平面因为平面PCN，所以平面PCN⊥平面。
立体几何“开放性”问题的探究 北京市第八十中学教案
北京市第八十中学教案立体几何中“开放性”问题的探究二、引申问题、多方探究 例1：如图，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点．在棱PB 上是否存在点F ，使PB ⊥平面DEF ？证明你的结论． FEADBCP教师提问：如何作线面垂直？教师点拨1：面垂线的方法---和平面中的两条相交直线垂直 教师点拨2：点F 在PB 上移动时，DE 与PB 的垂直关系保持不变.教师点拨3：由于DE 与PB 的垂直关系保持不变.如图，只须作EF ⊥PB 即可.例2：如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，P A ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒,E ，F 分别是BC , PC 的中点.（Ⅰ）证明：AE ⊥PD ;（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面P AD 所成最大角的正切值为62，求二面角E —AF —C 的余弦值.教师提问：找同学回答第一问。
教师提问：如何作出EH 与平面P AD 所成的角？学生思考 回答、讨论、发言学生边思考边看课件演示学生思考 回答、讨论、发言 学生回答 学生看题，思考，分析学生思考 回答、讨通过对问题的变换,对问题进行发散,启发学生对问题进行深入研究.教师引导归纳： 作平面垂线的方法通过课件演示培养学生空间想象能力通过本题：重在教会学生如何“想”（回想、联想、猜想），就是将要解决的问题展示给学生后，教师不要忙于分析、讲解,让学生去弄清题意,由条件能得到什么？由结论又能想出什么？只要是与条件、结论或与本题有联系知识、方法尽可能多的想出来！思维点拨、规律总结；复习直线与平面及二面角大小的求法。
此处，在学生充分思考后,鼓励学生积极发。
立体几何中的探索性问题
求得法向量 ― ― → 结果 运算
[解 ]
(1)证明：因为 AE⊥ A1B1， A1B1∥ AB，
所以 AB⊥ AE，又因为 AB⊥ AA1， AE∩ AA1＝ A， 所以 AB⊥平面 A1ACC1，又因为 AC⊂平面 A1ACC1， 所以 AB⊥ AC.
以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz， 1 1 1 则 A(0，0， 0)， E 0，1，2 ， F 2，2， 0 ， A1(0， 0， 1)， B1(1，0，1)． → → 设 D(x，y，z)， A1D＝ λA1B1且 λ∈ [0，1]，则(x，y，z－1)＝ λ(1， 0，0)，所以 D(λ， 0， 1)， 1 → 1 所以DF＝ 2－ λ，2，－1 ，
(3)假设在 AB 上存在点 E，使得 AC1∥平面 CEB1， 设 AE ＝t AB ＝(－3t,4t,0)，其中 0≤t≤1． 则 E(3－3t,4t,0)， B1 E ＝(3－3t,4t－4，－4)， B1C ＝(0，－4，－4)． 又因为 AE＝m B1 E ＋n B1C 成立， 所以 m(3－3t)＝－3，m(4t－4)－4n＝0， －4m－4n＝4， 1 解得 t＝ ． 2 所以在 AB 上存在点 E，使得 AC1∥平面 CEB1，这时点 E 为 AB 的中点．
由题可知平面 ABC 的一个法向量 m＝(0， 0， 1)． 14 因为平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 ， 14 所以 |cos〈 m， n〉 |＝ 即 |m· n| 14 ＝ ， 14 |m||n | ＝ 2 14 ， 14
|2（ 1－ λ） | 9＋（ 1＋ 2λ） 2＋4（1－λ）
则 C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4)． 因为 AC ＝(－3,0,0)， BC1 ＝(0，－4,4)， 所以 AC · BC1 ＝0，所以 AC ⊥ BC1 ，即 AC⊥BC1． (2)假设在 AB 上存在点 D，使得 AC1⊥CD． 设 AD ＝λ AB ＝(－3λ，4λ，0)，其中 0≤λ≤1． 则 D(3－3λ，4λ，0)，于是 CD ＝(3－3λ，4λ，0)， 由于 AC1 ＝(－3,0,4)，且 AC1⊥CD， 所以－9＋9λ＝0，解得 λ＝1． 所以在 AB 上存在点 D 使得 AC1⊥CD， 这时点 D 与点 B 重合．
立体几何中的探索性问题
立体几何中的探索性问题作者：桂晓宇来源：《数学金刊·高考版》2013年第12期重点难点立体几何的计算和证明常常涉及两大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直、线面垂直、线线平行、线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等.方法突破一、与平行有关的探索性问题对线面平行问题的向量解法，有两种思路：（1）用共面向量定理，证明直线的方向向量能用平面内两条相交直线的方向向量表示出来，即这三个向量共面，根据共面向量定理及直线在平面外，可得线面平行；（2）求出平面的法向量，然后证明平面的法向量与直线的方向向量垂直即可.对面面平行问题的向量解法，有两种思路：（1）利用向量证明一个平面内两条相交直线分别与另一个平面平行，根据面面平行的判定定理即得；（2）分别求出两个平面的法向量，若能证明这两个法向量平行，则这两个平面就平行.二、与垂直有关的探索性问题对坐标系易建立的空间线面垂直问题，通常用向量法. 先求出平面的法向量和直线的方向向量，证明平面的法向量与直线的方向向量平行或者直接用向量法证明直线与平面内两条相交直线垂直，再运用线面垂直的判定定理即可.三、与角有关的探索性问题利用向量知识求线线角、线面角、二面角的大小的方法.四、与距离有关的探索性问题如图1，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形. 平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.（1）求证：AA1⊥平面ABC；（2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；思索空间中的线线、线面、面面垂直问题都可以转化为两向量的垂直问题来解决，使几何问题代数化，降低思维的难度. 立体几何中的点的位置的探求经常借助于空间向量，引入参数，综合已知和结论列出等式，解出参数. 这是立体几何中的点的位置的探求的常用方法.破解（1）略.（2）因为AB=3，AC=4，BC=5，所以AB⊥AC，所以AB，AC，AA1两两垂直. 以A为原点，分别以AC，AB，AA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图2）.。
立体几何中的探索型问题及应用
ʏ山东省阳谷县第一中学 宁广亮探索型问题是指那些题目条件不完备㊁结论不明确,或者答案不唯一,给考生留有较大探索余地的试题㊂而立体几何中的探索性问题,设置新颖,变化多端,不仅可以考查和区分考生的数学素质和创新能力,而且还可以有效地检测和区分考生的学习潜能,因而受到各方面的重视,近年来已成为高考试题的一个新亮点㊂一㊁条件探索型问题立体几何中的条件探索型问题,是针对结论确定而条件未知需探求,或条件增删需确定,或条件正误需判断㊂其解题思路是:先执果索因,再倒推分析,逆向思维探究结论成立的充分条件㊂解决立体几何此类问题时,通常利用空间向量来逆推,目标明确,要注意推理过程是否可逆,不要把必要条件当作充分条件㊂图1例1 如图1,A B 为圆O的直径,点E ,F 在圆O 上,且四边形A B E F 为等腰梯形,矩形A B C D 和圆O 所在的平面互相垂直,已知A B =2,E F =1㊂(1)求证:平面D A F ʅ平面C B F ;(2)求当A D 的长为何值时,二面角D -F C -B 的大小为120ʎ㊂解析:(1)因为平面A B C D ʅ平面A B E F ,且C B ʅA B ,平面A B C D ɘ平面A B E F =A B ,所以C B ʅ平面A B E F ㊂因为A F ⊂平面A B E F ,所以C B ʅA F ㊂又因为A B 为圆O 的直径,所以F B ʅA F ㊂而C B ɘ图2F B =B ,所以A F ʅ平面C F B ㊂又A F ⊂平面AD F ,所以平面A D F ʅ平面C F B ㊂(2)设E F ,C D 的中点分别为G ,H ,以O 为坐标原点,建立空间直角坐标系O -x yz ,如图2所示㊂设A D =t ,则D (1,0,t ),C (-1,0,t ),A (1,0,0),B (-1,0,0),F12,32,0 ,所以C D ң=(2,0,0),F D ң=12,-32,t㊂设平面D C F 的法向量为n 1=(x ,y ,z ),则n 1㊃C D ң=2x =0,n 1㊃F D ң=12x -32y +t z =0,取z =3,得x =0,y =2t ,则n 1=(0,2t ,3)㊂由(1)知A F ʅ平面C F B ,则平面C F B的一个法向量为n 2=A F ң=-12,32,0,故|c o s <n 1,n 2>|=|n 1㊃n 2||n 1||n 2|=|3t |4t 2+3㊂因为二面角D -F C -B 的大小为120ʎ,所以12=|3t |4t 2+3,解得t =64㊂所以当线段A D 的长为64时,二面角D -F C -B 的大小为120ʎ㊂点评:解决立体几何中的条件探索型问题,有三种比较常用的思维方式:(1)先猜后证,即先观察与尝试给出条件再证明㊂(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明其充分性㊂(3)把几何问题转化为代数问题,探索命题成立的条件㊂根据具体问题场景,合理选取适合的方法来应用㊂二㊁存在探索型问题立体几何中的存在探索型问题,是以结论不确定的存在性判断的形式来设置问题㊂这类问题常常出现 是否存在 是否有 等形式的疑问句,以示结论有待确定㊂解答此类问题的思路是:先肯定结论,再进行推理,若推出矛盾,则否定假设;若推出合理结果,则假设成立㊂解决此类问题的三个基本步骤是:假设推证 定论㊂11解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年2月图3例2 如图3,在R t әA B C中,øC =90ʎ,B C =3,A C =6,D ,E 分别是线段A C ,A B 上的点,满足D E ʊB C 且A D =2C D ,如图4,将әA D E 沿D E 折起到әA 1D E的图4位置,使A 1C ʅC D ,M 是A 1D 的中点㊂(1)求C M 与平面A 1B E 所成角的大小㊂(2)在线段A 1B 上是否存在点N (N 不与端点A 1,B 重合),使平面C MN 与平面D E N 垂直若存在,求出A 1NB N的值;若不存在,请说明理由㊂解析:(1)在R t әA B C 中,øC =90ʎ,D E ʊB C ,所以D E ʅA D ,D E ʅC D ㊂因为折叠前后对应角相等,所以D E ʅA 1D ,D E ʅC D ㊂又A 1D ɘC D =D ,A 1D ,C D ⊂平面A 1C D ,所以D E ʅ平面A 1C D ,D E ʅA 1C ㊂又A 1C ʅC D ,C D ɘD E =D ,所以A 1C ʅ平面B C D E ㊂图5以C 为坐标原点,C D ,C B ,C A 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系C -x yz ,如图5所示㊂因为A D =2C D ,故D E =23B C =2,由几何关系知C D =2,A 1D =A D =4,A 1C =23,故C (0,0,0),D (2,0,0),E (2,2,0),B (0,3,0),A 1(0,0,23),M (1,0,3),所以C M ң=(1,0,3),A 1B ң=(0,3,-23),A 1E ң=(2,2,-23)㊂设平面A 1B E 的法向量为n 1=(x ,y ,z ),则n 1㊃A 1B ң=3y -23z =0,n 1㊃A 1E ң=x +y -3z =0,令y =2,得z =3,x =1,则n 1=(1,2,3)㊂设C M 与平面A 1B E 所成角的大小为θ,则s i n θ=|c o s <C M ң,n 1>|=|C M ң㊃n 1||C M ң||n 1|=|4|2ˑ22=22,故θ=π4,即C M 与平面A 1B E所成角的大小为π4㊂(2)假设存在点N ,符合题意㊂设N (x 1,y 1,z 1),B N ң=λB A 1ң(0<λ<1),即(x 1,y 1-3,z 1)=λ(0,-3,23),即x 1=0,y 1=3(1-λ),z 1=23λ,故N (0,3(1-λ),23λ),C M ң=(1,0,3),C N ң=(0,3(1-λ),23λ)㊂设平面C M N 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2),则n 2㊃C M ң=x 2+3z 2=0,n 2㊃C N ң=3(1-λ)y 2+23z 2=0,令x 2=3,得z 2=-1,y 2=23λ3(1-λ),则n 2=3,23λ3(1-λ),-1㊂同理可求得平面D E N 的一个法向量为n 3=3,0,1λ㊂若平面C MN 与平面D E N 垂直,则满足n 2㊃n 3=0,即3-1λ=0,解得λ=13㊂故存在满足题意的点N ,由B Nң=13B A 1ң,可得A 1N B N =21=2㊂点评:解决立体几何中的存在探索型问题时,首先假设结论存在,然后在这个假设下进行合理的推理论证与数学运算㊂如果通过推理或运算得到了合乎情理或满足条件的结论,就可以肯定假设的存在性;如果得到了矛盾或不满足条件的结论,就否定假设的存在性㊂三、开放探索型问题立体几何中的开放探索型问题,是基于条件或结论结构不良的开放性问题,合理补充条件完整是解题的第一步,基于条件的补充,形成一个完整的题目,与正常试题的解答基本一致㊂图6例3 如图6,在底面A B C D 是菱形的直四棱柱A B C D -A 1B 1C 1D 1中,øD A B =π3,A B =2,A A 1=23,E ,F ,G ,H ,N 分别是棱C C 1,C 1D 1,D D 1,C D ,B C 的中点,点P 在四边形E F G H 内部(包含边界)运动㊂21 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年2月(1)现有如下三个条件:①G E ɘF H =P ;②P ɪF H ;③E P ң=P F ң㊂请从上述三个条件中选择一个条件,能使得P N ʊ平面B B 1D 1D 成立,并写出证明过程㊂(注:多次选择分别证明,只按第一次选择计分)(2)求平面F G N 与平面A D D 1A 1的夹角的余弦值㊂解析:(1)选①:G E ɘF H =P ㊂如图7图7所示,连接C D 1,B D 1,P N ,因为四边形C D D 1C 1为矩形,所以四边形E F -G H 为平行四边形,则P 分别是C D 1,G E 的中点,且N 是B C 中点,可得P N ʊB D 1㊂又因为P N ⊄平面B B 1D 1D ,B D 1⊂平面B B 1D 1D ,所以P N ʊ平面B B 1D 1D ㊂图8选②:P ɪF H ㊂如图8所示,连接HN ,P N ㊂由于F ,H ,N 分别是棱C 1D 1,C D ,B C 的中点,所以F H ʊD D 1㊂又F H ⊄平面B B 1D 1D ,D D 1⊂平面B B 1D 1D ,所以F H ʊ平面B B 1D 1D ㊂同理可证,HNʊ平面B B 1D 1D ㊂又F H ⊂平面F HN ,HN⊂平面F HN ,F H ɘHN =H ,所以平面F HN ʊ平面B B 1D 1D ㊂又因为P N ⊂平面F HN ,所以P N ʊ平面B B 1D 1D ㊂选③:E P ң=P F ң㊂由于E P ң=P F ң,所以P 图9是线段E F 的中点㊂如图9所示,设M ,Q 分别是G F ,B D 的中点,由于P ,N 分别是E F ,B C 的中点,则P M ʊG E ,P M =12G E ,Q N ʊC D ,Q N =12C D ㊂因为P M ʊG E ʊC D ,所以P M ʊQ N ,P M =Q N ,所以四边形P M Q N 是平行四边形,所以P N ʊM Q ㊂由于Q ɪ平面B B 1D 1D ,M ∉平面B B 1D 1D ,所以M Q ɘ平面B B 1D 1D=Q ,所以P N 与平面B B 1D 1D 不平行㊂图10(2)由于四边形A B C D 为菱形,且øD A B=π3,则知D N ʅB C ㊂以D 为坐标原点,D A ң,D N ң,D D 1ң分别为x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立如图10所示的空间直角坐标系D -x yz ,则D 1(0,0,23),C 1(-1,3,23),G (0,0,3),N (0,3,0),F -12,32,23,所以G N ң=(0,3,-3),G F ң=-12,32,3㊂设m =(x ,y ,z )为平面F G N 的一个法向量,则m ㊃G N ң=3y -3z =0,m ㊃G F ң=-12x +32y +3z =0,令y =1,得m =(33,1,1)㊂可取n =(0,1,0)为平面A D D 1A 1的一个法向量,则|c o s <m ,n >|=|m ㊃n ||m ||n |=127+1+1ˑ1=2929,所以平面F G N 与平面A D D 1A 1的夹角的余弦值为2929㊂点评:解决立体几何中的开放探索型问题时,结合立体几何应用场景,往往又分为选择条件型与探索条件型,基于不同的开放性条件加以合理选择,进而进行分析与求解,有效考查同学们分析问题与解决问题的能力,对理解能力㊁探究能力㊁创新能力与应用意识等的考查也是积极和深刻的㊂立体几何中的探索型问题,经常以条件探索型㊁存在探索型及开放探索型等不同形式来创新设置,方式新颖,变化多端,不仅能较好地考查考生的空间想象能力与逻辑推理能力,而且能考查考生的数学思维品质与水平,这对考生的综合素质与数学水平的提高起到了积极的作用㊂(责任编辑 王福华)31解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年2月。
立体几何中的探索性问题
平面B1BC1的法向量n2＝(x2，y2，z2)．
y
∴AA→→11CB1·n·n11＝＝00，⇒43xy11－＝40z，1＝0，
x
∴取向量n1＝(0，4，3)．
直击高考
(2016·北京卷改编)如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AA1C1C 是边 长为 4 的正方形．平面 ABC⊥平面 AA1C1C，AB＝3，BC＝5. (1)求证：AA1⊥平面 ABC；(2)求二面角 A1－BC1－B1 的余弦值；
为 36？若存在，求出QPQD的值；若不存在，请说明理由．
解 (1)在△PAD中，PA＝PD，O为AD中点， 所以PO⊥AD， 又侧面PAD⊥底面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD， 所以PO⊥平面ABCD． 又在直角梯形ABCD中，连接OC， 易得OC⊥AD，
(2017·衡水二模)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，侧面 PAD⊥底面 ABCD，侧棱 PA＝PD＝ 2，PA⊥PD，底面 ABCD 为直角梯形， 其中 BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O 为 AD 中点． (1)求直线 PB 与平面 POC 所成角的余弦值； (2)求 B 点到平面 PCD 的距离； (3)线段 PD 上是否存在一点 Q，使得二面角 Q－AC－D 的余弦值
为 36？若存在，求出QPQD的值；若不存在，请说明理由．
cos〈P→B，O→A〉＝|PP→→BB|·|OO→→AA|＝ 33. ∴直线 PB 与平面 POC 所成角的余弦值为 36.
z y
x
(2017·衡水二模)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，侧面 PAD⊥底面
ABCD，侧棱 PA＝PD＝ 2，PA⊥PD，底面 ABCD 为直角梯形， 其中 BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O 为 AD 中点． (1)求直线 PB 与平面 POC 所成角的余弦值； (2)求 B 点到平面 PCD 的距离； (3)线段 PD 上是否存在一点 Q，使得二面角 Q－AC－D 的余弦值
透析立体几何中的探索性问题
类 ： 一 是推理 型 ， 即探 究 空 间 中 的 平 行 与垂 直
关 系 ， 町 以 利 用 空 间 线 面 关 系 的 判 定 与 性 质
性 问题 ， 一 定 要 灵 活 利 用 空 问 几 何 体 的 结 构
特 征 ， 注意其 中的平行 、 垂 直 及 长 度 之 间 的 关 系 ， 取 特 殊 点 构 造 辅 助 面 完 成 线 和 面 内 的 直
（ ２）因 为 Ｖ （ Ｄ ， ＿ ， １ ｌ “Ｄ ｌ— ＶＭ∽＿ ＾ ｌ Ｂ ｌ ｃ ｌ Ｄ 】一
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热 点 和 今 后 命 题 的 趋 势 之 一 。 其 主 要 有 两
以 ＦＭ ／ ／ＡＢ 。 冈 为 ｃＤ 一 ３ ＡＢ ， 所 以 ＦＭ —
Ａ Ｂ。 所 以 四 边 形 ＡＢＭ Ｆ 足 平 行 四 边 形 ， 所
以 ＡＦ ／ ／ＢＭ 。 又 因 为 ＡＦ 平 面 ＢｃＥ ， ＢＭ ｃ 平 面 ＢＣＥ ， 所 以 ＡＦ ｉ ／ ／平 面 Ｂｃ Ｅ。
平 面 Ａ ＤＥ ， 所 以 ＣＤ 上 ＡＥ 。 又 因 为 Ａ Ｅ ＿ Ｌ
ＤＥ ， ＣＤ ｎ ＤＥ — Ｄ ， 所 以 ＡＥ 上 平 面 Ｃ ＤＥ 。 因 为 Ａ＿ Ｅ（ ＝ ＝ 平 面 ＡＣＥ ， 所 以 平 面 ＡＣＥ上 平 面
ＣＤ Ｅ 。
可 知 ＡＢ ∥ Ｄ ｃ， ， ＡＢ — Ｄ． Ｃ 。 由 四 边 形
上 学 期 联 考 ）在 长 方 体 ＡＢＣＤ — Ａ Ｂ Ｃ， Ｄ， 中 ， Ｅ， Ｆ 分 别 是 ＡＤ ， Ｄ Ｄ，的 中 点 ， ＡＢ — ＢＣ
专题10立体几何中的开放性、探索性问题(解析版)-2021年高考数学(理)立体几何突破性讲练
2021年高考数学（理）立体几何突破性讲练10立体几何中的开放性、探索性问题一、考点传真：能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理，并能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题．二、知识点梳理：解决立体几何中开放性、探索性问题的基本方法(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理．(2)探索性问题的关键是设点：①空间中的点可设为(x ，y ，z )；②坐标平面内的点其中一个坐标为0，如xOy 面上的点为(x ，y,0)；③坐标轴上的点两个坐标为0，如z 轴上的点为(0,0，z )；④直线(线段)AB 上的点P ，可设为AP →＝λAB →，表示出点P 的坐标，或直接利用向量运算．三、例题：例1.（2020年全国新高考1卷，4）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面，在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬o 40，则晷针与点A 处的水平面所成角为( )A.o 20B.o 40C.o 50D.o 90【答案】B【解析】过球心O 、点A 以及晷针的轴截面如图所示，其中CD 为晷面，GF 为晷针所在直线，EF 为点A 处的水平面，GF CD ⊥，CD OB ，40AOB ∠=︒，90OAE OAF ∠=∠=︒，所以40GFA CAO AOB ∠=∠=∠=︒.故选B.例2.（2020年全国1卷理数，16）如图，在三棱锥–P ABC 的平面展开图中，1AC =，AB AD =AB AC ⊥，AB AD ⊥，30CAE ∠=︒，则cos FCB ∠=______________.【答案】14-【解析】依题意得，AE AD =AEC 中，1AC =，30CAE ∠=︒，由余弦定理得2222cos 311EC AE AC AE AC EAC =+-⋅∠=-︒+=，所以1EC =，所以1CF EC ==.又2BC ，BF BD ===所以在BCF中，由余弦定理得2221cos 24BC CF BF FCB BC CF +-∠===-⨯.例3. （2019北京卷）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥平面，AD CD ⊥，ADBC ，2PA AD CD BC ====，=（Ⅰ）求证：CD PAD ⊥平面； （Ⅱ）求二面角F AE P --的余弦值; （Ⅲ）设点G 在PB 上，且23PG PB =.判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由. 【解析】（I ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA CD ⊥. 又因为AB CD ⊥，所以CD ⊥.平面PAD ，（II ）过A 作AD 的垂线交BC 于点M ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以,PA AM ⊥PA AD ⊥，如图建立空间直角坐标系A -xyz ，则A （0，0，0），B （2，-1，0），C （2，2，0），D （0，2，0），P （0，0，2），因为E 为PD 的中点，所以E （0，1，1）.所以()0,1,1AE =，()2,2,2PC =-, ()0,0,2AP =. 所以1222,,3333PF PC ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，224,,333AF AP PF ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭设平面AEF 的法向量为(),,x y z =n ，则00AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即02240333y z x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩. 令z =1,则y =-1,x =-1.于是()1,1,1=--n .又因为平面PAD 的法向量为()1,0,0=p ，所以3cos ⋅==⋅n p <n,p >n p .因为二面角F-AE-P为锐角，所以其余弦值为3（III ）直线AG 在平面AEF 内，因为点G 在PB 上，且2,3PG PB =()2,1,2,PB =-- 所以2424,,3333PG PB ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，422,,333AG AP PG ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭. 由（II ）知，平面AEF 的法向量为()1,1,1=--n ， 所以4220333AG ⋅++=n =-，所以直线AG 在平面AEF 内. 例4.（2016年北京） 如图，在四棱锥中，平面PAD ⊥平面，， ，，，，（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【解析】(1)∵面PAD面ABCD AD =，面PAD ⊥面ABCD ，∵AB ⊥AD ，AB ⊂面ABCD ，∴AB ⊥面PAD ， ∵PD ⊂面PAD ， ∴AB ⊥PD ，yBP ABCD -ABCD PA PD ⊥PA PD =AB AD ⊥1AB =2AD =AC CD ==PD ⊥PAB PB PCD PA M //BM PCD AMAP又PD ⊥PA ，∴PD ⊥面PAB ， (2)取AD 中点为O ，连结CO ，PO ，∵CD AC == ∴CO ⊥AD ， ∵PA PD =， ∴PO ⊥AD ，以O 为原点，如图建系易知(001)P ，，，(110)B ，，，(010)D -，，，(200)C ，，，则(111)PB =-，，，(011)PD =--，，，(201)PC =-，，，(210)CD =--，，， 设n 为面PDC 的法向量，令00(,1)n x y =，．011,120n PD n n PC ⎧⋅=⎪⎛⎫⇒=-⎨⎪⎝⎭⋅=⎪⎩，，则PB 与面PCD 夹角θ有，sin cos ,1n PB n PB n PBθ⋅=<>== (3)假设存在M 点使得BM ∥面PCD ， 设AMAPλ=，()0,','M y z ， 由(2)知()0,1,0A ，()0,0,1P ，()0,1,1AP =-，()1,1,0B ，()0,'1,'AM y z =- 有()0,1,AM AP M λλλ=⇒- ∴()1,,BM λλ=--∵BM ∥面PCD ，n 为PCD 的法向量， ∴0BM n ⋅=，即102λλ-++=，∴1=4λ∴综上，存在M 点，即当14AM AP =时，M 点即为所求． 四、巩固练习：1．如图所示，在四边形ABCD中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°.将△ADB 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A BCD ，则在三棱锥A BCD 中，下列结论正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC【答案】D【解析】∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB.又AD⊥AB，AD∩CD＝D，AD⊂平面ADC，CD⊂平面ADC，故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC，∴平面ADC⊥平面ABC.2．如图甲所示，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，如图乙所示，那么，在四面体AEFH中必有( )A．AH⊥平面EFH B．AG⊥平面EFHC．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF【答案】A【解析】∵AH⊥HE，AH⊥HF，且EH∩HF＝H，∴AH⊥平面EFH，A正确；∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴B不正确；∵AG⊥EF，EF⊥AH，AG∩AH＝A，∴EF⊥平面HAG，∵EF⊂平面AEF，∴平面HAG⊥AEF，∴过H作平面AEF的垂线，一定在平面HAG内，∴C不正确；∵HG不垂直于AG，∴HG⊥平面AEF不正确，∴D不正确．故选A.3．如图，一张A4纸的长、宽分别为22a，2a，A，B，C，D分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体．下列关于该多面体的命题，正确的是________．(写出所有正确命题的序号)①该多面体是三棱锥；②平面BAD⊥平面BCD；③平面BAC⊥平面ACD；④该多面体外接球的表面积为5πa2.【答案】①②③④【解析】由题意得该多面体是一个三棱锥，故①正确；∵AP⊥BP，AP⊥CP，BP∩CP＝P，∴AP ⊥平面BCD ，又∵AP ⊂平面ABD ，∴平面BAD ⊥平面BCD ，故②正确；同理可证平面BAC ⊥平面ACD ，故③正确；该多面体的外接球半径R ＝52a ，所以该多面体外接球的表面积为5πa 2，故④正确．综上，正确命题的序号为①②③④.4．如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是________． ①A ′C ⊥BD ；②∠BA ′C ＝90°；③四面体A ′BCD 的体积为16.【答案】②③【解析】∵BD ⊥CD ，平面A ′BD ⊥平面BCD ，平面A ′BD ∩平面BCD ＝BD ，CD ⊂平面BCD ，∴CD ⊥平面A ′BD ，∴CD ⊥A ′D .∵AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，∴A ′C ＝2，BC ＝3，∴A ′B 2＋A ′C 2＝BC 2，∴A ′B ⊥A ′C ，即∠BA ′C ＝90°，四面体A ′BCD 的体积V ＝13×12×12×1＝16.5．如图，矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻转成△A 1DE .若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻转过程中，正确的命题是________． ①MB 是定值； ②点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使DE ⊥A 1C ； ④一定存在某个位置，使MB ∥平面A 1DE . 【答案】①②④【解析】取DC 的中点N ，连接MN ，NB ，则MN ∥A 1D ，NB ∥DE ，∴平面MNB ∥平面A 1DE ，∵MB ⊂平面MNB ，∴MB ∥平面A 1DE ，④正确；∠A 1DE＝∠MNB ，MN ＝12A 1D ＝定值，NB ＝DE ＝定值，根据余弦定理得，MB 2＝MN 2＋NB 2－2MN ·NB ·cos∠MNB ，所以MB 是定值，①正确；B 是定点，所以M 是在以B 为圆心，MB 为半径的圆上，②正确；当矩形ABCD 满足AC ⊥DE 时存在，其他情况不存在，③不正确．所以①②④正确． 6．如图①，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝23，点F 是AC 上的动点．现将矩形ABCD 沿着对角线AC 折成二面角D ′AC B ，如图②，使得D ′B ＝30.(1)求证：当AF ＝3时，D ′F ⊥BC ；(2)试求CF 的长，使得二面角A D ′F B 的大小为π4.【解析】(1)证明：在矩形ABCD 中，连接DF ，BF . ∵AD ＝23，CD ＝6，∴AC ＝43，∠CAB ＝30°，∠DAC ＝60°. 在△ADF 中，∵AF ＝3，∴DF 2＝DA 2＋AF 2－2DA ·AF ·cos∠DAC ＝9. ∵DF 2＋AF 2＝9＋3＝DA 2，∴DF ⊥AC ，即在三棱锥D ′ABC 中，D ′F ⊥AC .又在△ABF 中，BF 2＝AB 2＋AF 2－2AB ·AF ·cos∠CAB ＝21， ∴在△D ′FB 中，D ′F 2＋FB 2＝9＋21＝D ′B 2， ∴BF ⊥D ′F .又∵AC ∩FB ＝F ，∴D ′F ⊥平面ABC . 又BC ⊂平面ABC ，∴D ′F ⊥BC .(2)在矩形ABCD 中，过点D 作DO ⊥AC 于点O ，延长DO 交AB 于点E .易求DE ＝4，AO ＝3，D ′O ＝3，OE ＝1，沿着对角线AC 翻折后，由(1)可知，OE ，OC ，OD ′两两垂直， 以O 为原点，OE ―→，OC ―→，OD ′―→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz ， 则O (0,0,0)，E (1,0,0)，D ′(0,0,3)，B (3,23，0)．∵EO ⊥平面AD ′F ，∴OE ―→＝(1,0,0)为平面AD ′F 的一个法向量． 设平面BD ′F 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，F 点坐标为F (0，t,0)， 则BD ′―→＝(－3，－23，3)，BF ―→＝(－3，t －23，0).由⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD ′―→＝0，n ·BF ―→＝0，得⎩⎨⎧－3x －23y ＋3z ＝0，－3x ＋t －23y ＝0.取y ＝3，得x ＝t －23，z ＝t ，∴n ＝(t －23，3，t )．∴cos π4＝|n ·OE ―→||n |·|OE ―→|，即|t －23|t －232＋9＋t2＝22， ∴t ＝34.∴当CF ＝OC －OF ＝1134时，二面角A D ′F B 的大小是π4. 7．如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝AC ＝2，AD ＝22，PB ＝32，PB ⊥AC .(1)求证：平面PAB ⊥平面PAC ；(2)若∠PBA ＝45°，试判断棱PA 上是否存在与点P ，A 不重合的点E ，使得直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为33？若存在，求出AEAP的值；若不存在，请说明理由． 【解析】(1)证明：因为四边形ABCD 是平行四边形，AD ＝22，所以BC ＝AD ＝2 2.又因为AB ＝AC ＝2，所以AB 2＋AC 2＝BC 2，所以AC ⊥AB .又因为PB ⊥AC ，且AB ∩PB ＝B ，所以AC ⊥平面PAB .因为AC ⊂平面PAC ，所以平面PAB ⊥平面PAC . (2)由(1)知AC ⊥AB ，平面PAB ⊥平面ABC ，AC ⊥平面PAB .如图，分别以AB ，AC 所在直线为x 轴，y 轴，平面PAB 内过点A 且与直线AB 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，所以AC ―→＝(0,2,0)，BC ―→＝(－2,2,0)．由∠PBA ＝45°，PB ＝32，可得P (－1,0,3)， 所以AP ―→＝(－1,0,3)，BP ―→＝(－3,0,3)．假设棱PA 上存在点E ，使得直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为33，设AEAP＝λ(0＜λ＜1)，则AE ―→＝λAP ―→＝(－λ，0,3λ)，CE ―→＝AE ―→－AC ―→＝(－λ，－2,3λ)． 设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC ―→＝0，n ·BP ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2y ＝0，－3x ＋3z ＝0.令z ＝1，可得x ＝y ＝1，所以平面PBC 的一个法向量为n ＝(1,1,1)．设直线CE 与平面PBC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，CE ―→〉|＝|－λ－2＋3λ|3×－λ2＋－22＋3λ2＝|2λ－2|3×10λ2＋4＝33，整理得3λ2＋4λ＝0， 因为0＜λ＜1，所以3λ2＋4λ＞0，故3λ2＋4λ＝0无解，所以棱PA 上不存在与点P ，A 不重合的点E ，使得直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为33. 8．如图①，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，BD ⊥DC ，点E 是BC 边的中点，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ，AC ，DE ，得到如图②所示的几何体．(1)求证：AB ⊥平面ADC ；(2)若AD ＝1，二面角C AB D 的平面角的正切值为6，求二面角B AD E 的余弦值． 【解析】(1)证明：因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，BD ⊥DC ， 所以DC ⊥平面ABD . 因为AB ⊂平面ABD ， 所以DC ⊥AB .又因为折叠前后均有AD ⊥AB ，DC ∩AD ＝D ， 所以AB ⊥平面ADC . (2)由(1)知AB ⊥平面ADC ，所以二面角C AB D 的平面角为∠CAD . 又DC ⊥平面ABD ，AD ⊂平面ABD ， 所以DC ⊥AD .依题意tan ∠CAD ＝CD AD＝ 6. 因为AD ＝1，所以CD ＝ 6. 设AB ＝x (x ＞0)，则BD ＝x 2＋1. 依题意△ABD ∽△DCB ，所以AB AD ＝CD BD ，即x 1＝6x 2＋1.解得x ＝2，故AB ＝2，BD ＝3，BC ＝BD 2＋CD 2＝3. 法一：如图所示，建立空间直角坐标系D xyz ， 则D (0,0,0)，B (3，0,0)，C (0，6，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，62，0，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0，63. 所以DE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，62，0，DA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0，63. 由(1)知平面BAD 的一个法向量n ＝(0,1,0)．设平面ADE 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧ m ·DE ―→＝0，m ·DA ―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 32x ＋62y ＝0，33x ＋63z ＝0.令x ＝6，得y ＝－3，z ＝－3，所以m ＝(6，－3，－3)为平面ADE 的一个法向量．所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n |·|m|＝－12. 由图可知二面角B AD E 的平面角为锐角，所以二面角B AD E 的余弦值为12. 法二：因为DC ⊥平面ABD ，所以过点E 作EF ∥DC 交BD 于点F ，则EF ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以EF ⊥AD .过点F 作FG ⊥AD 于点G ，连接GE ，所以AD ⊥平面EFG ，因此AD ⊥GE ，所以二面角B AD E 的平面角为∠EGF .由平面几何的知识求得EF ＝12CD ＝62，FG ＝12AB ＝22， 所以EG ＝EF 2＋FG 2＝2， 所以cos ∠EGF ＝FG EG ＝12. 所以二面角B AD E 的余弦值为12. 9．如图1，在高为2的梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2，CD ＝5，过A ，B 分别作AE ⊥CD ，BF⊥CD ，垂足分别为E ，F .已知DE ＝1，将梯形ABCD 沿AE ，BF 同侧折起，得空间几何体ADE BCF ，如图2.(1)若AF ⊥BD ，证明：DE ⊥BE ；(2)若DE ∥CF ，CD ＝3，在线段AB 上是否存在点P ，使得CP 与平面ACD 所成角的正弦值为3535？并说明理由． 【解析】(1)证明：由已知得四边形ABFE 是正方形，且边长为2，∴AF ⊥BE .∵AF ⊥BD ，BE ∩BD ＝B ，∴AF ⊥平面BDE .又DE ⊂平面BDE ，∴AF ⊥DE .∵AE ⊥DE ，AE ∩AF ＝A ，∴DE ⊥平面ABFE .又BE ⊂平面ABFE ，∴DE ⊥BE .(2)当P 为AB 的中点时满足条件．理由如下：∵AE ⊥DE ，AE ⊥EF ，DE ∩EF ＝E ，∴AE ⊥平面DEFC .如图，过E 作EG ⊥EF 交DC 于点G ，可知GE ，EA ，EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以EA ―→，EF ―→，EG ―→分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,1，3)，D ⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，32，AC ―→＝(－2,1，3)，AD ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫－2，－12，32. 设平面ACD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AC ―→＝0，n ·AD ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋y ＋3z ＝0，－2x －12y ＋32z ＝0，令x ＝1，得n ＝(1，－1，3)．设AP ―→＝λPB ―→，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2λ1＋λ，0，λ∈(0，＋∞)， 可得CP ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，λ－11＋λ，－3. 设CP 与平面ACD 所成的角为θ，则sin θ＝|cos CP ―→，n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－λ－11＋λ7＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－11＋λ2×5＝3535， 解得λ＝1或λ＝－25(舍去)， ∴P 为A。
难点攻略：立体几何中的探索性问题
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难点攻略：立体几何中的探索性问题
作者：朱建霞
来源：《数学金刊·高考版》2014年第12期
1. 与平行有关的探索性问题
对线面平行问题的解法，有两种思路：（1）传统方法：利用线面平行的判定定理或面面平行的性质定理解决.（2）向量法：①用共面向量定理（对不易建立坐标系的问题）：证明直线的方向向量能用平面内的两条相交直线的方向向量表示出来，即这三个向量共面，根据共面向量定理可得线面平行.②空间向量的坐标运算（易建立坐标系的问题）：求出平面的法向量，然后证明平面的法向量与直线的方向向量垂直.
对面面平行问题的解法，有两种思路：（1）传统方法：利用面面平行的判定定理或线面垂直的性质（ l⊥α，l⊥β？圯α∥β）解决.（2）向量法：①利用向量证明一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行.②空间向量的坐标运算（易建立坐标系的问题）：分别求出两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行，则这两个平面平行.
2. 与垂直有关的探索性问题
对立体几何中的垂直问题的解法，有两种思路：（1）传统方法：利用线面垂直的判定与性质定理、面面平行的判定与性质定理解决垂直问题.（2）对坐标系易建立的垂直问题，a向量和平面的法向量，结合线面垂直、面面垂直的判定只需证明直线的方向向量与平面的法向量之间的平行与垂直可得线面垂直、面面垂直.
3. 与角有关的探索性问题。
立体几何中的探索性问题
立体几何中的探索性问题(总12页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One 1■CAL■本页仅作为文档封面.使用请直接删除立体几何中的探索性问题一、探索平行关系1.［2016 •枣强中学模拟］如图所示，在正四棱柱凡Q中，E, F, G,〃分别是棱CG, GD、D.D、兀的中点，川是虑的中点，点"任四边形叭¥及其内部运动，则M只需满足条件,就有〃平而Ba*（注：请填上一个你认为正确的条件，不必考虑全部可能的情况）答案：M位于线段FH上（答案不唯一）［解析］连接HX, FH, FM,则FH〃DD“ HN〃BD, FHnHN=H, DD2BD=D, 平而FHN〃平面B】BDD” 故只要MeFH,则MNu 平而FHN,且MN〃平而B；BDD：.2.如图所示，在正方体ABCD-A^aa中，E是棱勿:的中点.（1）求直线亦和平而ABBA所成的角的正弦值；（2）在棱GA上是否存在一点F,使氏尸〃平面凡庞证明你的结论.解：⑴如图所示，取的中点M连接册翩因为疋是皿的中点，四边形迦凡为正方形，所以EM//AD.（2分）又在正方体ABCD AxB.GD中，血?丄平而ABBA,所以則丄平而ABBA从而血为直线亦在平而磁儿上的射影，AEBM为庞用1平而邂凡所成的角.（4分）设正方体的棱长为2,则EM=AD=2.亦=费+2讦尸=3・EM 9于是，在Rt△宓#中，sinZ旳片亦=亍（5分）2即直线亦和平而磁也所成的角的正弦值为亍（6分）(2)在棱GA上存在点尸，使3尸〃平而4眩事实上，如图(b)所示，分别取和G?的中点尸，G、连接5只EG、BG. Cg FG.因AD"B3BC、且凡2=BC,所以四边形A..BCD、是平行四边形，因此RC//AiB.又E G分别为AQ,少的中点，所以EG” DC从而EG" Ab这说明凡，B, G,尸四点共面.所以瑟平而应宓(8分)因四边形GCDD、呂B..BCC：皆为正方形，F, G分别为GA和Q的中点，所以FG//GC//&.B.且FG=GC=RB.因此四边形3财是平行四边形，所以&FHBG、(10 分)而5丙平而入BE. BGci平而A,BE.故氏尸〃平而凡宓(12分)Ai D,3・如图，四棱锥P-ABCD中，刊丄平而ABCD.底而ABCD为矩形，PD=DC=\> AD= 2,疋为FC的中点.(1)求三棱锥A-PDE的体积：(2)£Q边上是否存在一点必使得用〃平而皿了若存在，求出的长；若不存在，请解析：(1)：•刃丄平而救P, :.PDLAD.又•: ABCD是矩形,:.ADLCD.•: PDQCD=D.:.ADL平而PCD、:.出?是三棱锥ArPDE的高.•••£为PC的中点，且PD=DC=\.S：\ne= ：\rx=E X X 1 X 4j = 4. 又AD=2.1 1 8⑵取M中点•也连接則，DM, YE为PC的中点，〃是M的中点…••曰〃用. 又V£Jit=平而EDM.Q1G平而ED如化用〃平而EDM.:.AM=^AC=^i.即在川Q边上存在一点％使得丹〃平而旦必川/的长为仗.4.如图所示，在三棱锥尸・磁中，点刀，E分别为丹,證的中点.在线段川6•上是否存在AF斤使得出?〃平而PEF,连接％交朋于G连接尬点尸，使得肋〃平而财若存在，求出丘的值；若不存在，请说明理由.9：AD//平而昭；平而ADCn平而PEF= FG,:.AD//FG.又•.•点Q, E分别为丹，BC的中点、：.G为△磁的重心，.:芬=券=*・故在线段上存月尸1在点斤使得初〃平面亦且丘 =了・5.[2016 •北京卷]如图，在四棱锥户・月万e中，FC丄平而ABCD, AB//DC. DCLAC.(1)求证：ZT丄平而用C(2)求证：平面用3丄平而QIC(3)设点£为初的中点，在棱丹上是否存在点尸，使得用〃平而狞说明理由.解：(D证明：因为尸Q丄平而馭D 所以PCLDC.又因为DCLAC.所以％丄平面用C(2)证明：炭为 AB〃 DC, DC LAC. 所以AB±AC.因为PQ丄平面所以PC丄肋.所以曲丄平而用G所以平而加丄平而QIC(3)棱丹上存在点尸，使得刊〃平而亦证明如下: 取丹的中点斤连接朋CE、CE因为疋为曲的中点，所以EF//PA.又因为加平面亦所以刃〃平而狞6.[2016 •四川卷]如图，在四棱锥P・丽CD中,PA丄CD, AD//BC. ZADC= ZPAB= 90°, BC=CD=^AD.(1)在平而验内找一点M,使得直线G/〃平而并说明理由；(2)证明：平面用万丄平而磁・解：⑴取棱肋的中点肌胆平而加?)，点“即为所求的一个点.理由如卜•:因为肋〃处BC^-AD.所以BC//AM.且證=&肌所以四边形汽畑是平行四边形，从而CM//AB.又邂平而PAB.平而PAB.所以平而PAB.(说明：取棱刃的中点用则所找的点可以是直线JfV上任意一点)P(2)证明：由已知，用丄用丄m因为AD//BC,證=£肋，所以直线AB与切相交，所以丹丄平而ABCD,从而PAJLBD. 因为肋〃必BC=^AD.所以證〃J偽且BC=MD,所以四边形万GW是平行四边形，所以B.V=CD=^AD,所以助丄又ABOAP=A.所以加丄平而加又平面PBD.所以平而用5丄平而PBD.7.[2016 •阳泉模拟]如图7-41-10,在四棱锥P-ABCD中，BC//AD. 5(7=1,初=3, AC LCD.且平而加丄平而MGZ(1)求证：ACA-PD.PF(2)在线段用上是否存在点E使氐•〃平而加若存在，求出吕的值；若不存在，请PA说明理由.解：(1)证明：•••平面尸G?丄平而ABCD.平而pea平而ABCD= CD、AC LCD. Mt平而ABCD, :.ACL 平而•: Pg平而PCD、:.ACLPD.PE 1(2)在线段刃上存在点仅使亦〃平而加，且士=#下而给岀证明：^AD=Z, BC=1.•••在△用Z?中，分别取用，刃靠近点尸的三等分点伐尺连接丽BE. CF.•翌 =丄=匹•叼=空=看 :.HE//SA.又S 幻平而PE PF 11 '：盲苛勺：・EF 〃也且吩严1.又 9：BC//AD.:・BC 〃 EF 、RBC=EF\•••四边形心是平行四边形，:・BE 〃 CF 、又TS 皮平PCD. G 匕平而RD:.BE//平而尸GZ8. （10分）［2016 •河南中原名校联考］如图所示，在四棱锥S ■馭P 中，平而旳门丄平面 ABCD. AB//DC. △S3是等边三角形，且 SD=2、ED=2© AB=2CD=4.（1） 证明：平而如丄平而5＞切・（2） 若疋是SC 上的一点，当厅点位于线段SC 上什么位置时，旳〃平面磁请证明你的 结论.（3）求四棱锥&ABCD 的体积.解：（1）证明HSAD 是等边三角形，:.AD=SD=2,又 BD=2品 J5=4,:.AD^BD=AB,:・BD 丄AD,又I 平而SADL 平面ABCD.平而SADC\平而ABCD=AD. :・BDL 平而SAD.又BX 平而SBD 、•••平而迦丄平面SAD.⑵当疋为SC 的三等分点，即厉=2炉时，结论成立. 证明如下：连接川Q 交助于点忆连接皿1V CD//AB. CD=：AB,•• SA// 平而 EBD.3）过S 作S0丄肋，交AD 于点0・••△SQ 为等边三角形，••0为出?的中点，：.SO=\（3•易证得SO 丄平而ABCD. _1 ―*. V I 'MKW s ASO ）=^S ABCD • SO.•* -S'«fiu-^cx»=0 X (2+4) X 寸3 = 3寸2,:y PUWW $・如＞=3.二.探索垂直关系1.如图所示，在三棱锥磁中，已知刃丄底而MG AB±BC. E＞尸分别是线段丹, FQ上的动点，则下列说法错误的是（）A.当肚丄丹时，HAEF—氾为直角三角形B・当处丄PQ时，HAEF—能为直角三角形C.当疔〃平而磁时，\AEFTE为直角三角形D.当尸C丄平而遁■时.HAEF—矩为直角三角形答案：B ［解析］已知用丄底而则用丄反；又AB丄BC. PAC\AB=A. 则必7丄平而如，BCLAE.当AELPB时，又PBCBC=B,则肚丄平而丹G则血丄〃；A正确.当刃％平而月氏时，又决平而丹G平而PBCn平而月必=万G则疔〃万G故疗丄平而用万，则月尸丄也故C正确.当PC1平而月时，PCLAE.又BCLAE. PCC\BC=C.则血丄平面PBC.则AELEF. 故D正确.用排除法可知选B.2. ____________________________________________________________________ 如图所示，在三棱柱ABGA^G中，侧棱必丄底而馭；底而是以/遊为直角的等腰直角三角形，AC=2a,脛= 3a,。
立体几何中的探索性问题
立体几何中的探索性问题立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．这类试题的一般设问方式是“是否存在?存在给出证明，不存在说明理由”．解决这类试题，一般根据探索性问题的设问，首先假设其存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾就否定假设．8如图,在四棱锥P–ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=√3，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．(1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由．(2)求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF．(3)当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45。
?拓展提升(1)开放性问题是近几年高考的一种常见题型．一般来说，这种题型依据题目特点，充分利用条件不难求解．(2)对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在．9如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的√2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD．(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小．(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC?若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．如图所示，在正方体ABCD—A l B l C1D l中，M,N分别是AB，BC中点．(1)求证：平面B 1MN⊥平面BB1D1D；(2)在棱DD1上是否存在点P，使BD1∥平面PMN，若有，确定点P的位置；若没有，说明理由．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=√2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，0为AD中点．(1)求证：PO⊥平面ABCD；(2)求异面直线PB与CD所成角的大小：(3)线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD3若存在，求出AQ：DQ的值；若不存在，请说明理由．立体几何中探索性问题的向量解法高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题。
立体几何中的探索性问题
AG的长；若不存在,请说明理由。
分析：(1)以 A1为坐标原点,A1D1 ,
A1$1 , A1A所在直线为'轴,y轴,z轴,建
立空间直角坐标系。根据向量的坐标可得
EF$—A1A + *A%：,由此可证EF%平面
AA1C1C。也可利用直线EF与平面
AA1C1C的法向量垂直来证明EF /平面
AA1C1C„ (2)将问题转化为线段A^h是否
AD ,AP所在直线为工 轴,(轴,w轴,建立如
zjk
PIK
//I1w \ \
图2所示的空间直角
\k \
坐标系A-eyz ,由AD
/ \\
= 2AB = 2BC = 4 , PA
/人\比//y
=4 ,可得 A (0,0,0),
B(2,0,0), C(2,2,0)," /%
C
D(0,4,0) , P(0,0,4)。
z)，然后利用sin !
| BE - n | ，即可求解。 I BE丨•丨n |
解：(1)因为PB±平面 ABCBCU平面
ABC^ 以 PB ±BC。又 AB ±BC,AB '
BP$B ,所以 BC丄平面 PAB。又 PA U平
面 PAB，贝ij BC 丄 PA。又 AB $ PB $ 2,
△ PAB为等腰直角三角形，G为斜边PA的
知识篇科学备考新指向 高考数学2021年2月
立体代何中的採索性问題V
■甘肃省嘉峪关市第一中学 卢会玉
立体几何解答题的基本模式是论证推理 与计算相结合，以某个几何体为依托，分步设 问，逐层加深。大部分问题都需要用向量工 具解决，处理问题的原则是建模、建系。建模 即需要将问题转化为平行模型、垂直模型、平 面化模型及角度、距离等的计算模型；建系是 依托于题中的垂直条件，建立空间直角坐标 系，再利用空间向量求解。探索性问题的类
立体几何中探索性问题(解析版)
专题4．5 立体几何中探索性问题一．方法综述立体几何在高考中突出对考生空间想象能力、逻辑推理论证能力及数学运算能力等核心素养的考查。
考查的热点是以几何体为载体的垂直、平行的证明、平面图形的折叠、探索开放性问题等；同时考查转化化归思想与数形结合的思想方法。
对于探索性问题（是否存在某点或某参数，使得某种线、面位置关系成立问题）是近几年高考命题的热点，问题一般有三种类型：(1)条件追溯型；(2)存在探索型；(3)方法类比探索型。
现进行归纳整理，以便对此类问题有一个明确的思考方向和解决办法。
二．解题策略类型一 空间平行关系的探索【例1】（2020·眉山外国语学校高三期中（理））在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的动点（点M 与1A C 、不重合），则下列结论正确的是__________①存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ； ②存在点M ，使得平面DM 平面11B CD ； ③1A DM ∆的面积可能等于36；④若12,S S 分别是1A DM ∆在平面1111A B C D 与平面11BB C C 的正投影的面积，则存在点M ，使得12S S【答案】①②③④【解析】①如图所示，当M 是1AC 中点时，可知M 也是1A C 中点且11B C BC ⊥，111A B BC ⊥，1111A B B C B =，所以1BC ⊥平面11A B C ，所以11BC A M ⊥，同理可知1BD A M ⊥， 且1BC BD B =，所以1A M ⊥平面1BC D ，又1A M ⊂平面1A DM ，所以平面1A DM ⊥平面1BC D ，故正确；②如图所示，取1AC 靠近A 的一个三等分点记为M ，记1111AC B D O =，1OC AC N =，因为11AC AC ，所以1112OC C N AC AN ==，所以N 为1AC 靠近1C 的一个三等分点， 则N 为1MC 中点，又O 为11A C 中点，所以1A M NO ，且11A DB C ，111A MA D A =，1NOB C C =，所以平面1A DM平面11B CD ，且DM ⊂平面1A DM ，所以DM 平面11B CD ，故正确；③如图所示，作11A M AC ⊥，在11AA C 中根据等面积得：12633A M ==， 根据对称性可知：16A M DM ==，又2AD =1A DM 是等腰三角形， 则12216232232A DMS⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故正确；④如图所示，设1AM aAC =，1A DM ∆在平面1111D C B A 内的正投影为111A D M ∆，1A DM ∆在平面11BB C C 内的正投影为12B CM ∆，所以1111122222A D M aS S a ∆==⨯⨯=，122121222222B CM a S S a ∆-==⨯-⨯=，当12S S 时，解得：13a =，故正确.故答案为 ①②③④【点评】.探索开放性问题，采用了先猜后证，即先观察与尝试给出条件再加以证明，对于命题结论的探索，常从条件出发，探索出要求的结论是什么，对于探索结论是否存在，求解时常假设结论存在，再寻找与条件相容或者矛盾的结论。
立体几何中的开放探索性问题(教师版)教师版)2014.10.06
立体几何中的开放探索性问题数学开放性题是近年高考命题的一个新的亮点，其解法灵活且具有一定的探索性，这类题型按解题目标的操作模式分为：规律探索型，问题探究型，数学建模型，操作设计型，情景研究型．如果是未知的是解题假设，那么就称为条件开放型；如果是未知的是解题目标，那么就称为结论开放型；如果是未知的是解题推理，那么就称为策略开放型．当然，作为数学高考试题中开放题其＂开放度＂是比较弱的，如何解答立体几何中的这类问题，还是通过实际例子加以说明．一、 规律探索型 例1．1111ABCD A BC D - 是单位正方体,黑白两个蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行,每走完一条棱称为”走完一段”. 白蚂蚁的爬行路线是111AA A D →→, 黑蚂蚁的爬行路线是1AB BB →→,它们都依照如下规则:所爬行的第n+2段与第n 段所在直线必须是异面直线,设黑白两个蚂蚁都走完2005段后各停止在正方体的某个顶点处,这时黑白两个蚂蚁的距离是多少?D1C 1规则黑蚂蚁的爬行路线是11D D D DA →→，走6段又回到出发点A 。
故而它们的周期为6。
20052005段后停止在正方体的B 顶点处，白蚂蚁走完2005这类题为操二、 操作设计型 例2．（Ⅰ）给出两块面积相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；（Ⅱ）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小； （Ⅲ）（附加题）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明．【分析】 本题主要考查空间想象能力、动手操作能力、探究能力和灵活运用所学知识解决现实问题的能力．通过数学科的高考，倡导重视数学应用，是从1993年开始的，已经经历了十个年头．这些年来，尽管数学科高考中有关数学应用的试题存在这样那样的缺陷，但是它所倡导的加强数学学科与社会实际和生产实际的联系，引导考生置身于现实社会大环境中，关心身边的数学问题，具有良好的导向，也促进了中学数学教学加强数学应用的研究，推动数学教学改革．这种命题方向得到数学教育界的普遍肯定．回顾这些年来高考中有关数学应用的问题，所涉及的知识面上还存在一定的局限性，多数是函数知识和数列知识的运用．前年试题选择题中出现的“民房屋顶面积”问题，各地反映良好，去年设计的“纸片剪拼”问题，目的在于尝试开拓数学应用的新领域．用纸片做有规则的几何体模型，是《立体几何》课本的要求，如习题七中的第1题和习题八中的第1题．本试题的设计是在这个基础上，增加剪拼模型的条件的限制，提高操作难度，以期考查出空间想象能力和动手操作能力．由于这种试题第一次出现，注意由浅入深，首先是剪拼“正三棱锥”，这与习题八第1题相似，是多数考生能够完成的．其次用正三角形纸片剪拼“正三棱柱”，要有较丰富的想象力，本题有多种剪拼方法，充分体现“开放性”，给考生提供广阔的思维空间．再次，将纸片一般化为任意三角形、剪拼“直三棱柱”，考查的是能力的迁移，将具体的问题抽象化，难度较高，估计绝大多数考生在限时内难以完成、，故作为“附加题”出现，能完成者有“奖励分”．这种问题的提出估计能解答者甚少，但能倡导探究，倡导创造、发现，对于培养高素质的人才是有益的．理解“全面积相等”的条件，就是剪拼出来的几何体不能缺某个面，也不能剪拼成几何体后还剩余纸片，但纸片的裁剪块数是没有限制的，因之有多种剪拼方法．解：（Ⅰ）如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥．如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的41，有一组对角为直角．余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底．（Ⅱ）依上面剪拼的方法，有V 柱＞V 锥． 推理如下：设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为43．现在计算它们的高：36233212=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅-=锥h ，6330tan 21=︒=柱h ． ∴ 0243224363964331<-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅⎪⎭⎫⎝⎛-=-柱锥柱锥h h V V 所以，V柱＞V 锥．（Ⅲ）（附加题）如图3，分别连接三角形的内心与各顶点，得到三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形．以新作的三角形为直三棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可以拼接成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱模型．正三棱柱的其他剪拼方法：方法1按图4，取三角形三边中点剪出①、②两个小三角形为正三棱柱的上、下底面，将平行四边形③等分为三个小平行四边形，再分别解为矩形作为侧面．方法2按图5，取三角形两边的中点，剪出①、②、③三个小三角形，以①为正三棱柱的一底，②+③为它的另一底；再将矩形④三等分，分别作为三棱柱的一个侧面．方法3按图6，取三角形边的三等分点，剪出①、②、③三个小三角形，以①为正三棱柱的一底，②+③为它的另一底；剪出小三角形⑤、⑥，拼为一个等边三角形，再剪拼为矩形，进而将矩形三等分，分别拼入④、⑦、⑧三个矩形中，作为棱柱的三个侧面．方法4按图7，取三角形边的四等分点，先剪出小三角形①、②、③和矩形④，以①为正三棱柱的一底，②+③为它的另一底；再剪出小三角形⑧、⑨，矩形⑥，五边形⑤、⑦．⑤+⑧，⑦+⑨，均可成为矩形，其面积同矩形⑥；进而将矩形④三等分，分别拼入上述三个矩形中，作为棱柱的三个侧面．依此类推可得出一般的剪拼方法：将等边三角形的一边等分为奇数条线段，可按方法3剪拼成正三棱柱；将等边三角形的一边等分为偶数条线段，可按方法4剪拼成正三棱柱．这是一道新颖的立体几何应用题．从前年在选择题中判断“民房屋顶面积”关注立体几何的实际应用之后，去年加大了对立体几何结合生活实际的考查，通过解答题来体现．制作形体的模型，是生产和生活实际中一项重要的技能．学习立体几何的时候，往往也通过观察和制作几何模型来提高空间想象能力．考查几何模型的制作，有利于倡导动手实践，关注立体几何知识与现实生活中形体的联系．试题设计注意到推出一类新鲜问题时难度层次的把握．首先，剪拼一个“正三棱锥”，这是一个类同于课本习题的问题，绝大多数考生都能操作．其次，剪拼一个“正三棱柱”，巧妙之处在于条件“全面积相等”，即给出的正三角形纸片要用完，不能多余也不能缺．由于不设定其他条件，比如底面边长或高的限制，因之有多种剪拼方法，是一道成功的“开放性”试题．题中提出的“请设计一种剪拼方法”，充分体现把解答问题的主动权交给考生，为考生创设出广阔的思维空间．再次，将给出的特殊三角形的纸片一般化，研究对于任意三角形的纸片能否剪拼成直三棱柱的问题，是思维的深层次发展，作为限时考试的高考，要完成的难度较高，故作为“附加题”处理，甚为合适，就算绝大多数考生未能作答，却可以留下悬念，鼓励考生加强探索，敢于创新，不要让学习停留在解答故有的习题上，永远只能亦步亦趋．三、 情景研究型 例3．把四个半径为1的小球放在桌面上，使下层三个，上层一个，两两相切，求上层小球最高处离桌面的距离.分析 ：本题是四个小球堆放的一个实物模型，如何利用我们所学的数学知识将其转化为数学问题是解决这个问题的关键，下层三个球的球心到桌面的距离相等，四个球心之间的距离相等，四个球心两两连线可构成一个正四面体，这是建模解决此问题的关键。
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立体几何中的开放探索性问题数学开放性题是近年高考命题的一个新的亮点，其解法灵活且具有一定的探索性，这类题型按解题目标的操作模式分为：规律探索型，问题探究型，数学建模型，操作设计型，情景研究型．如果是未知的是解题假设，那么就称为条件开放型；如果是未知的是解题目标，那么就称为结论开放型；如果是未知的是解题推理，那么就称为策略开放型．当然，作为数学高考试题中开放题其＂开放度＂是比较弱的，如何解答立体几何中的这类问题，还是通过实际例子加以说明．一、 规律探索型 例1．1111ABCD A BC D - 是单位正方体,黑白两个蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行,每走完一条棱称为”走完一段”. 白蚂蚁的爬行路线是111AA A D →→, 黑蚂蚁的爬行路线是1AB BB →→,它们都依照如下规则:所爬行的第n+2段与第n 段所在直线必须是异面直线,设黑白两个蚂蚁都走完2005段后各停止在正方体的某个顶点处,这时黑白两个蚂蚁的距离是多少?D1C 1规则黑蚂蚁的爬行路线是11D D D DA →→，走6段又回到出发点A 。
故而它们的周期为6。
20052005段后停止在正方体的B 顶点处，白蚂蚁走完2005这类题为操二、 操作设计型 例2．（Ⅰ）给出两块面积相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；（Ⅱ）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小； （Ⅲ）（附加题）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明．【分析】 本题主要考查空间想象能力、动手操作能力、探究能力和灵活运用所学知识解决现实问题的能力．通过数学科的高考，倡导重视数学应用，是从1993年开始的，已经经历了十个年头．这些年来，尽管数学科高考中有关数学应用的试题存在这样那样的缺陷，但是它所倡导的加强数学学科与社会实际和生产实际的联系，引导考生置身于现实社会大环境中，关心身边的数学问题，具有良好的导向，也促进了中学数学教学加强数学应用的研究，推动数学教学改革．这种命题方向得到数学教育界的普遍肯定．回顾这些年来高考中有关数学应用的问题，所涉及的知识面上还存在一定的局限性，多数是函数知识和数列知识的运用．前年试题选择题中出现的“民房屋顶面积”问题，各地反映良好，去年设计的“纸片剪拼”问题，目的在于尝试开拓数学应用的新领域．用纸片做有规则的几何体模型，是《立体几何》课本的要求，如习题七中的第1题和习题八中的第1题．本试题的设计是在这个基础上，增加剪拼模型的条件的限制，提高操作难度，以期考查出空间想象能力和动手操作能力．由于这种试题第一次出现，注意由浅入深，首先是剪拼“正三棱锥”，这与习题八第1题相似，是多数考生能够完成的．其次用正三角形纸片剪拼“正三棱柱”，要有较丰富的想象力，本题有多种剪拼方法，充分体现“开放性”，给考生提供广阔的思维空间．再次，将纸片一般化为任意三角形、剪拼“直三棱柱”，考查的是能力的迁移，将具体的问题抽象化，难度较高，估计绝大多数考生在限时内难以完成、，故作为“附加题”出现，能完成者有“奖励分”．这种问题的提出估计能解答者甚少，但能倡导探究，倡导创造、发现，对于培养高素质的人才是有益的．理解“全面积相等”的条件，就是剪拼出来的几何体不能缺某个面，也不能剪拼成几何体后还剩余纸片，但纸片的裁剪块数是没有限制的，因之有多种剪拼方法．解：（Ⅰ）如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥．如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的41，有一组对角为直角．余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底．（Ⅱ）依上面剪拼的方法，有V 柱＞V 锥． 推理如下：设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为43．现在计算它们的高：36233212=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅-=锥h ，6330tan 21=︒=柱h ． ∴ 0243224363964331<-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅⎪⎭⎫⎝⎛-=-柱锥柱锥h h V V 所以，V柱＞V 锥．（Ⅲ）（附加题）如图3，分别连接三角形的内心与各顶点，得到三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形．以新作的三角形为直三棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可以拼接成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱模型．正三棱柱的其他剪拼方法：方法1按图4，取三角形三边中点剪出①、②两个小三角形为正三棱柱的上、下底面，将平行四边形③等分为三个小平行四边形，再分别解为矩形作为侧面．方法2按图5，取三角形两边的中点，剪出①、②、③三个小三角形，以①为正三棱柱的一底，②+③为它的另一底；再将矩形④三等分，分别作为三棱柱的一个侧面．方法3按图6，取三角形边的三等分点，剪出①、②、③三个小三角形，以①为正三棱柱的一底，②+③为它的另一底；剪出小三角形⑤、⑥，拼为一个等边三角形，再剪拼为矩形，进而将矩形三等分，分别拼入④、⑦、⑧三个矩形中，作为棱柱的三个侧面．方法4按图7，取三角形边的四等分点，先剪出小三角形①、②、③和矩形④，以①为正三棱柱的一底，②+③为它的另一底；再剪出小三角形⑧、⑨，矩形⑥，五边形⑤、⑦．⑤+⑧，⑦+⑨，均可成为矩形，其面积同矩形⑥；进而将矩形④三等分，分别拼入上述三个矩形中，作为棱柱的三个侧面．依此类推可得出一般的剪拼方法：将等边三角形的一边等分为奇数条线段，可按方法3剪拼成正三棱柱；将等边三角形的一边等分为偶数条线段，可按方法4剪拼成正三棱柱．这是一道新颖的立体几何应用题．从前年在选择题中判断“民房屋顶面积”关注立体几何的实际应用之后，去年加大了对立体几何结合生活实际的考查，通过解答题来体现．制作形体的模型，是生产和生活实际中一项重要的技能．学习立体几何的时候，往往也通过观察和制作几何模型来提高空间想象能力．考查几何模型的制作，有利于倡导动手实践，关注立体几何知识与现实生活中形体的联系．试题设计注意到推出一类新鲜问题时难度层次的把握．首先，剪拼一个“正三棱锥”，这是一个类同于课本习题的问题，绝大多数考生都能操作．其次，剪拼一个“正三棱柱”，巧妙之处在于条件“全面积相等”，即给出的正三角形纸片要用完，不能多余也不能缺．由于不设定其他条件，比如底面边长或高的限制，因之有多种剪拼方法，是一道成功的“开放性”试题．题中提出的“请设计一种剪拼方法”，充分体现把解答问题的主动权交给考生，为考生创设出广阔的思维空间．再次，将给出的特殊三角形的纸片一般化，研究对于任意三角形的纸片能否剪拼成直三棱柱的问题，是思维的深层次发展，作为限时考试的高考，要完成的难度较高，故作为“附加题”处理，甚为合适，就算绝大多数考生未能作答，却可以留下悬念，鼓励考生加强探索，敢于创新，不要让学习停留在解答故有的习题上，永远只能亦步亦趋．三、 情景研究型 例3．把四个半径为1的小球放在桌面上，使下层三个，上层一个，两两相切，求上层小球最高处离桌面的距离.分析 ：本题是四个小球堆放的一个实物模型，如何利用我们所学的数学知识将其转化为数学问题是解决这个问题的关键，下层三个球的球心到桌面的距离相等，四个球心之间的距离相等，四个球心两两连线可构成一个正四面体，这是建模解决此问题的关键。
解：四个球心组成一个边长为2的正四面体，此正四面体的高为362，第四个球的球心到最高点的距离为1，下层三个球的球心到桌面的距离为1，所以第四个球的最高点与桌面距离为 2362例解析： 把四面体“嵌入”棱长为x,y,z 的长方体(如图).其充分条件是⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+222222222,,c x z b z y a y x 有实数解⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=222222222222a c b z c b a y b a c x 如果关于x,y,z 的方程组有实数解，则四面体体积 V ＝xyz-4·31·(21xy)·z ＝31xyz ＝122))()((222222222b a c a c b c b a -+-+-+说明 对棱相等的四面体各面是全等的锐角三角形，本题采用了体积分割法，转化法求体积.例5. 如图1，线段AB ⊂平面α，线段CD ⊂平面β，且平面α∥平面β，AB ⊥CD ，AB ＝CD ＝a,α、β的距离为h ，求四面体ABCD 的体积.图1 图2解析：依题意可构造一个底面对角线长为a ，高为h 的正四棱柱(如图2). 显然，正四棱柱的底面边长为22a.其体积为 V 柱＝(22a)2h ＝21a 2h.而三棱锥C —AC ′B 的体积为 V 锥＝61V 柱. 故四面体ABCD 的体积为 V ＝V 柱-4V 锥＝V 柱-64V 柱 ＝31V 柱＝61a 2h. 说明 本题运用了“构造辅助体”的解题技巧.注:不一定能放到一个正四棱柱内,作过CD 且垂直于AB 的截面,求两个三棱锥的体积之和即可.五、解题策略开放型例6. 四面体的四个顶点到平面M 的距离之比为1∶1∶1∶3，则平面M 的个数应有多少个? 解 这样的平面应分4种情况讨论：(1)4个顶点都在平面M 的同侧，则有C 41·1＝4个(平面)；(2)距离比为3的顶点与其他3个顶点不同侧，则有C 41·1＝4个(平面)；(3)距离比为3的顶点与其他3个顶点中的1个同侧，则有C 31·C 41·1＝12个(平面)(4)距离比为3的顶点与其他3个顶点中的2个同侧，则有C 32·C 41·1＝12个(平面)； ∴ 一共应有4+4+12+12＝32个(平面)六、条件开放型例7.已知△BCD 中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB=60°，E 、F 分别是AC 、AD 上 的动点，且).10(<<==λλADAF ACAE（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； （Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？ 证明：（Ⅰ）∵AB ⊥平面BCD ， ∴AB ⊥CD ， ∵CD ⊥BC 且AB ∩BC=B ， ∴CD ⊥平面ABC. 又),10(<<==λλADAF AC AE∴不论λ为何值，恒有EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC ，EF ⊂平面BEF, ∴不论λ为何值恒有平面BEF ⊥平面ABC（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE ⊥EF ，又平面BEF ⊥平面ACD ， ∴BE ⊥平面ACD ，∴BE ⊥AC∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°， ∴,660tan 2,2===AB BD,722=+=∴BC AB AC 由AB 2=AE ·AC 得,76,76==∴=AC AE AE λ故当76=λ时，平面BEF ⊥平面ACD.例8． 设X 、Y 、Z 是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X ⊥Z 且Y ⊥Z X ∥Y ” 为真命题的是_________(填序号)．① X 、Y 、Z 是直线； ② X 、Y 是直线，Z 是平面； ③ Z 是直线，X 、Y 是平面； ④X 、Y 、Z 是平面．讲解 ① 是假命题，直线X 、Y 、Z 位于正方体的三条共点棱时为反例，② ③ 是真命题，④ 是假命题，平面X 、Y 、Z 位于正方体的三个共点侧面时为反例．应当填② ③．点评 本题的开放度是比较大的，问题也是比较灵活的．这种开放性的试题可以考查数学解题当中的思维能力．条件的寻找是需要多方探索的．七、结论开放型例9. 若四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是 .(只须写出一个可能的值)解析： 该题的显著特点是结论发散而不惟一.本题表面上是考查锥体求积公式这个知识点，实际上主要考查由所给条件构造一个四面体的能力，首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的. 排除｛1，1，2｝，可得｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝，然后由这三类面在空间构造满足条件的一个四面体，再求其体积.由平时所见的题目，至少可构造出二类满足条件的四面体，五条边为2，另一边为1，对棱相等的四面体.对于五条边为2，另一边为1的四面体，参看图1所示，设AD=1，取AD 的中点为M ，平面BCM 把三棱锥分成两个三棱锥，由对称性可知AD ⊥面BCM ，且V A —BCM =V D —BCM ，所以V ABCD =31S ΔBCM ·AD. CM=22DM CD -=22)21(2-=215.设N 是BC 的中点，则MN ⊥BC ，MN=22CN CM -=1415-=211，从而S ΔBCM =21×2×211=211， 故V ABCD =31×211×1=611.对于对棱相等的四面体，可参见图2.其体积的计算可先将其置于一个长方体之中，再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行.亦可套公式V=122·)b a c )(a c b )(c b a (222222222-+-+-+， 不妨令a=b=2，c=1，则 V=122·)441)(414)(144(-+-+-+ =122·7=1214.八、条件和结论都发散型例10.有三个几何事实(a，b表示直线，α表示平面)，①a∥b，②a∥α，③b∥α．其中，a，b在面α外．用其中两个事实作为条件，另一个事实作为结论，可以构造几个命题？请用文字语言叙述这些命题，并判断真伪．正确的给出证明，错误的举出反例．解析：Ⅰ：a∥ba∥α⇒b∥αb在α外Ⅱ：a∥bb∥α⇒a∥αa在α外Ⅰ、Ⅱ是同一个命题：两条平行直线都在一个平面外，若其中一条与平面平行，则另一条也与该平面平行．证明：过a作平面β与α交于a'∵a∥α∵a∥a'而a∥b∴b∥a'且b在α外，a'在α内∴b∥α．Ⅲ：a∥α⇒a∥bb∥α命题：平行于同一个平面的两条直线平行，这是错的，如右图。