2015年高考全国2卷文科数学试题(含解析)

2015年高考全国2卷文科数学试题(含解析)第3页 共14页 ◎ 第4页 共14页绝密★启用前2015年高考全国2卷文科数学试题（含解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．已知集合{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,则A B =U （ ） A ．()1,3- B ．()1,0- C ．()0,2 D ．()2,3 2．若为a实数,且2i3i 1ia +=++,则a =（ ）A ．4-B ．3- C．3 D ．43．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（ ）A ．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 4．已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．25．设nS 是等差数列{}na 的前n 项和,若1353a aa ++=,则5S=（ ）A ．5B ．7C ．9D ．11第5页 共14页 ◎ 第6页 共14页装…………○………___________考号：_装…………○………6．一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）1A.81B.7 1C.6 1D.57．已知三点(1,0),A B C ,则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（ ）5A.3B.3 4D.38．下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的,a b 分别为14,18,则输出的a 为（ ）A.0B.2C.4D.149．已知等比数列{}na 满足114a =,()35441a aa =-,则2a =（ ）A.2B.1 1C.2 1D.810．已知B A ,是球O 的球面上两点,︒=∠90AOB ,C 为该球面上的动点.若三棱锥ABC O -体积的最大值为36,则球O 的表面积为（ ）A.36πB. 64πC.144πD. 256π11．如图,长方形的边AB=2,BC=1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为（ ）第7页 共14页 ◎ 第8页 共14页…………○…………订……__________考号：___________…………○…………订……12．设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ）A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U第9页 共14页 ◎ 第10页 共14页第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题（题型注释） 13．已知函数()32f x ax x=-的图像过点（-1,4）,则a= ．14．若x,y 满足约束条件50210210x y x y x y+-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩,则z=2x+y 的最大值为 ．15．已知双曲线过点(,且渐近线方程为12y x =±,则该双曲线的标准方程为 ． 16．已知曲线ln y x x=+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++ 相切,则a= ．三、解答题（题型注释） 17．（本小题满分12分）△ABC 中D 是BC 上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC.（Ⅰ）求sin sin B C∠∠ ； （Ⅱ）若60BAC ∠=o,求B ∠.18．（本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图第11页 共14页 ◎ 第12页 共14页……○…………外……学校:___________姓名：……○…………内……B 地区用户满意度评分的频率分布表 满意度评分分组 [50,60)[50,60)[50,60)[50,60)[50,60)频数 2814106（Ⅰ）在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）B 地区用户满意度评分的频率分布直方图（Ⅱ）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：满意度评分 低于70分 70分到89分不低于90分 满意度等级 不满意 满意非常满意估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.19．（本小题满分12分）如图,长方体1111ABCD A B C D -中AB=16,BC=10,18AA =,点E,F 分别在1111,A B D C 上,114.A E D F ==过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.第13页 共14页 ◎ 第14页 共14页（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.20．（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x yC a b ab +=>> 的离心率为2,点(在C 上.（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）直线l 不经过原点O,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A,B,线段AB 中点为M,证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.21．（本小题满分12分）已知()()ln 1f x x a x =+-. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围.22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图O 是等腰三角形ABC 内一点,圆O 与△ABC 的底边BC 交于M,N 两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC 分别相切于E,F 两点.（Ⅰ）证明EF BC P ；（Ⅱ）若AG 等于圆O 半径,且AE MN ==求四边形EBCF 的面积.23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:.C C ρθρθ==（Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与 2C 相交于点A,1C 与3C 相交于点B,求AB 最大值.24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲 设,,,a b c d 均为正数,且a b c d +=+.证明：第15页 共14页 ◎ 第16页 共14页（Ⅰ）若ab cd > ,>（Ⅱ）>a b c d -<-的充要条件.参考答案1．A 【解析】因为{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,所以{}|13.A B x x =-<<U 故选A.考点：本题主要考查不等式基础知识及集合的交集运算. 2．D【解析】由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒= ,故选D.考点：本题主要考查复数的乘除运算,及复数相等的概念. 3． D【解析】由柱形图可知2006年以来,我国二氧化碳排放量基本成递减趋势,所以二氧化碳排放量与年份负相关,故选D.考点：本题主要考查统计知识及对学生柱形图的理解4．C 【解析】试题分析：由题意可得2112=+=a,123,⋅=--=-a b 所以()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b .故选C.考点：本题主要考查向量数量积的坐标运算. 5．A 【解析】试题解析：由13533331a a a a a ++==⇒=,所有()15535552a a S a +===.故选A.考点：本题主要考查等差数列的性质及前n 项和公式的应用. 6．D 【解析】试题分析：如图所示，截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的16,剩余部分体积是正方体体积的56,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15,故选D.考点：本题主要考查三视图及几何体体积的计算.7．B【解析】试题分析：△ABC外接圆圆心在直线BC垂直平分线上即直线1x=上,设圆心D()1,b,由DA=DB得3b b== ,所以圆心到原点的距离3d==. 故选B.考点：本题主要考查圆的方程的求法,及点到直线距离公式.8．B【解析】试题分析：由题意可知输出的a是18,14的最大公约数2,故选B.考点：本题主要考查程序框图及更相减损术.9．C 【解析】试题分析：由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=,所以34182a q q a ==⇒= ,故2112aa q ==,选C.考点：本题主要考查等比数列性质及基本运算. 10．C 【解析】试题分析：设球的半径为R,则△AOB 面积为212R ,三棱锥O ABC - 体积最大时,C 到平面AOB 距离最大且为R,此时313666V RR ==⇒= ,所以球O 的表面积24π144πS R ==.故选C.考点：本题主要考查球与几何体的切接问题及空间想象能力. 11．B 【解析】 试题分析：由题意可得ππππ12424f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,由此可排除C,D ；当π04x <<时点P在边BC上，tan PB x=，PA ==，所以()tan f x x =,可知π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时图像不是线段,可排除A,故选B.考点：本题主要考查函数的识图问题及分析问题解决问题的能力. 12．A 【解析】试题分析：由21()ln(1||)1f x x x =+-+可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞是增函数,所以()()()()()2212121212113f x f x f x f x x x x x x >-⇔>-⇔>-⇔>-⇔<< .故选A.考点：本题主要考查函数的奇偶性、单调性及不等式的解法. 13．-2 【解析】 试题分析：由()32f x ax x=-可得()1242f a a -=-+=⇒=- .考点：本题主要考查利用函数解析式求值. 14．8 【解析】试题分析：不等式组50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩表示的可行域是以()()()1,1,2,3,3,2为顶点的三角形区域,2z x y =+的最大值必在顶点处取得,经验算,3,2x y ==时max8z=.考点：本题主要考查线性规划知识及计算能力. 15．2214x y -=【解析】试题分析：根据双曲线渐近线方程为12y x =±,可设双曲线的方程为224x y m -= ,把(代入224x y m -=得1m =.所以双曲线的方程为2214x y -=.考点：本题主要考查双曲线几何性质及计算能力. 16．8 【解析】试题分析：由11y x'=+可得曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线斜率为2,故切线方程为21y x =-,与()221y ax a x =+++ 联立得220ax ax ++=,显然0a ≠,所以由2808a a a ∆=-=⇒=.考点：本题主要考查导数的几何意义及直线与抛物线相切问题.17．（Ⅰ）12；（Ⅱ）30o. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理转化得：sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠（Ⅱ）由诱导公式可得()1sin sin sin .22C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠ 由（Ⅰ）知2sin sin B C∠=∠,所以tan 30.3B B ∠=∠=o试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠ 因为AD 平分∠BAC,BD=2DC,所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠.（Ⅱ）因为()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=o o所以()1sin sin sin .2C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠ 由（I ）知2sin sin B C∠=∠,所以tan 30.B B ∠=∠=o考点：本题主要考查正弦定理及诱导公式的应用,意在考查考生的三角变换能力及运算能力. 18．（Ⅰ）见试题解析（Ⅱ）A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大. 【解析】试题分析：（Ⅰ）通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B 地区用户满意度评分的平均值高于A 地区用户满意度评分的平均值,B 地区用户满意度评分比较集中,而A 地区用户满意度评分比较分散.（II ）由直方图得()AP C的估计值为0.6,()BP C 的估计值为0.25.,所以A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大. 试题解析：（Ⅰ）通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B 地区用户满意度评分的平均值高于A 地区用户满意度评分的平均值,B 地区用户满意度评分比较集中,而A 地区用户满意度评分比较分散.（Ⅱ）A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.记AC 表示事件“A 地区的用户的满意度等级为不满意”；BC 表示事件“B 地区的用户的满意度等级为不满意”.由直方图得()AP C 的估计值为()0.010.020.03100.6++⨯=,()B PC 的估计值为()0.0050.02100.25.+⨯=,所以A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.考点：本题主要考查频率分布直方图及概率估计.19．（Ⅰ）见试题解析（Ⅱ）97或79【解析】试题分析：（Ⅰ）分别在,AB CD上取H,G,使10AH DG==；长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,可求得其体积比值为97或79试题解析：解：（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF如图：（Ⅱ）作,EM AB⊥垂足为M,则14AM A E==,112EB=,18EM AA==,因为EHGF是正方形,所以10EH EF BC===,于是6,10, 6.MH AH HB====因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积比值为97（79也正确）.考点：本题主要考查几何体中的截面问题及几何体的体积的计算. 20．（Ⅰ）2222184x y +=（Ⅱ）见试题解析【解析】 试题分析：（Ⅰ）由22421,2a a b=+= 求得228,4ab ==,由此可得C 的方程.（II ）把直线方程与椭圆方程联立得()222214280.kx kbx b +++-=,所以12222,,22121M M M x x kb b x y kx b k k +-===+=++于是1,2M OM M y k x k ==-12OM k k ⇒⋅=-.试题解析： 解：（Ⅰ）由题意有2242,1,2a a b =+= 解得228,4ab ==,所以椭圆C 的方程为2222184x y +=.（Ⅱ）设直线():0,0l y kx b k b =+≠≠,()()()1122,,,,,MM A x y B x y M x y ,把y kx b =+代入2222184x y +=得()222214280.kx kbx b +++-=故12222,,22121MM M x x kb bx y kx b k k +-===+=++ 于是直线OM 的斜率1,2M OMM y kx k==- 即12OMkk ⋅=-,所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.考点：本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆及计算能力、逻辑推理能力.21．（Ⅰ）0a ≤,()f x 在()0,+∞是单调递增；0a >,()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减；（Ⅱ）()0,1. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由()1f x a x '=-,可分0a ≤,0a >两种情况来讨论；（II ）由（I ）知当0a ≤时()f x 在()0,+∞无最大值,当0a >时()f x 最大值为1ln 1.f a a a⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭因此122ln 10f a a a a ⎛⎫>-⇔+-< ⎪⎝⎭.令()ln 1g a a a =+-,则()g a 在()0,+∞是增函数,当01a <<时,()0g a <,当1a >时()0g a >,因此a 的取值范围是()0,1. 试题解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为()0,+∞,()1f x a x'=-,若0a ≤,则()0f x '>,()f x 在()0,+∞是单调递增；若0a >,则当10,x a⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '>,当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时()0f x '<,所以()f x 在10,a⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增,在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减. （Ⅱ）由（Ⅰ）知当0a ≤时()f x 在()0,+∞无最大值,当a >时()f x 在1x a=取得最大值,最大值为111ln 1ln 1.f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此122ln 10f a a a a⎛⎫>-⇔+-< ⎪⎝⎭.令()ln 1g a a a =+-,则()g a 在()0,+∞是增函数,()10g =,于是,当01a <<时,()0g a <,当1a >时()0g a >,因此a 的取值范围是()0,1.考点：本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.22．（Ⅰ）见试题解析；（Ⅱ）3 【解析】试题分析：（Ⅰ）要证明EF BCP , 可证明,AD BC ⊥AD EF⊥；（Ⅱ）先求出有关线段的长度,然后把四边形EBCF 的面积转化为△ABC 和△AEF 面积之差来求. 试题解析：（Ⅰ）由于△ABC 是等腰三角形,,AD BC ⊥ 所以AD 是CAB ∠的平分线,又因为圆O 与AB,AC 分别相切于E,F,所以AE AF =,故AD EF ⊥,所以EF BC P . （Ⅱ）由（Ⅰ）知AE AF =,AD EF ⊥,故AD 是EF 的垂直平分线,又EF 为圆O 的弦,所以O 在AD 上,连接OE,OF,则OE AE ⊥,由AG 等于圆O 的半径得AO=2OE,所以30OAE ∠=o,因此,△ABC 和△AEF 都是等边三角形,,因为AE =,所以4,2,AO OE == 因为2,OM OE ==12DM MN == 所以OD=1,于是AD=5,AB =所以四边形DBCF 的面积为(221122⨯-⨯=⎝⎭考点：本题主要考查几何证明、四边形面积的计算及逻辑推理能力. 23．（Ⅰ）()30,0,,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）4.【解析】试题分析：（Ⅰ）把2C 与3C 的方程化为直角坐标方程分别为2220xy y +-=,220xy +-=,联立解方程组可得交点坐标；（Ⅱ）先确定曲线1C 极坐标方程为(),0,θαρρ=∈≠R 进一步求出点A 的极坐标为()2sin ,αα,点B 的极坐标为(),αα,,由此可得2sin 4sin 43AB πααα⎛⎫=-=-≤ ⎪⎝⎭.试题解析：解：（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220xy y +-=,曲线3C的直角坐标方程为220xy +-=,联立两方程解得0x y =⎧⎨=⎩或232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,所以2C 与3C 交点的直角坐标()30,0,2⎫⎪⎪⎝⎭.（Ⅱ）曲线1C 极坐标方程为(),0,θαρρ=∈≠R 其中0απ≤< ,因此点A 的极坐标为()2sin ,αα,点B 的极坐标为(),αα,所以2sin 4sin 3AB πααα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,当56πα=时AB取得最大值,最大值为4.考点：本题主要考查参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.圆的方程及三角函数的最值. 24． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由a b c d +=+及ab cd >,可证明22>,>（Ⅱ）本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明. 试题解析： 解：（Ⅰ）因为22a b c d =++=++由题设a b c d +=+,ab cd >,得22>,因此>（Ⅱ）（ⅰ）若a b c d-<-,则()()22a b c d -<-,即()()2244,a b ab c d cd +-<+- 因为a b c d +=+,所以ab cd >,由>（ⅱ）若+>,则22>,即a b c d ++>++因为a b c d +=+,所以ab cd >,于是()()()()222244,a b a b ab c d cd c d -=+-<+-=-因此a b c d -<-,>a b c d -<-的充要条件.考点：本题主要考查不等式证明及充分条件与必要条件.。