向量组的线性相关性PPT精选文档
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线性代数第三章第二节向量组的线性相关性-PPT精选文档
1 4 1 4 X 1 3 于是 C BX 1 3 1 2 3 0 3 0 3
即得
a a a , 4 1 2 a 4 a 3 a 3 a 5 1 2 3
重要结论
此例说明：最大无关组 不唯一。
向量组 a ,a , , a 的秩也记作 1 2 m
R ( a , a , , a ) 1 2 m
性质 1 向量组线性无关的充要 条件是它 所向量的个数等于它的 秩。
性质 2 设矩阵 A的某个 r阶子式 D是 A的最 高阶非零子式 ,则 D所在的 r个行向量及 r个 列向量分别是矩阵 A的行向量组和列向量 组的一个最大无关组 .
性质 3 矩阵 A 的秩等于它的行向量组 的秩 (行秩 ) ，也等于它的列向量组 的秩 (列秩 ).
性 4 质 向量 A : 组 , , , 是向 T 的 量组 1 2 r 一 个 最, 大 则无 向 A 向 关 量量 组 T 等 组 .价
n n 例1 全体 n 维向量构成的向量组记 作 R ，求 R 的
2 2 则| A| 0,因 而 行 向 量 A 是 组线 性 相 关 .但 的 C3 C3
9个 二 阶 子 式 都 不 ,由 为 于 零 包含非零子式的 向量线性无关， ,行 因 向 此 量 组 2,3或 1,2或
3,1都 是 线 性 无 关 ,从 的 而 都A 是 的最大无关 . 组
设 B a1,a2,a3 ,C a4,a5 ,则 A B C. 要 满足 方程 C 组 BX , 解这 个矩 阵方 ,可对 程组增
用 a1,a2,a3线性 表示 a4,a5，只需 找到 系数 X 矩阵
B C做行 变换 化为 行最 广矩 阵 矩阵 简形 (*).从
即得
a a a , 4 1 2 a 4 a 3 a 3 a 5 1 2 3
重要结论
此例说明：最大无关组 不唯一。
向量组 a ,a , , a 的秩也记作 1 2 m
R ( a , a , , a ) 1 2 m
性质 1 向量组线性无关的充要 条件是它 所向量的个数等于它的 秩。
性质 2 设矩阵 A的某个 r阶子式 D是 A的最 高阶非零子式 ,则 D所在的 r个行向量及 r个 列向量分别是矩阵 A的行向量组和列向量 组的一个最大无关组 .
性质 3 矩阵 A 的秩等于它的行向量组 的秩 (行秩 ) ，也等于它的列向量组 的秩 (列秩 ).
性 4 质 向量 A : 组 , , , 是向 T 的 量组 1 2 r 一 个 最, 大 则无 向 A 向 关 量量 组 T 等 组 .价
n n 例1 全体 n 维向量构成的向量组记 作 R ，求 R 的
2 2 则| A| 0,因 而 行 向 量 A 是 组线 性 相 关 .但 的 C3 C3
9个 二 阶 子 式 都 不 ,由 为 于 零 包含非零子式的 向量线性无关， ,行 因 向 此 量 组 2,3或 1,2或
3,1都 是 线 性 无 关 ,从 的 而 都A 是 的最大无关 . 组
设 B a1,a2,a3 ,C a4,a5 ,则 A B C. 要 满足 方程 C 组 BX , 解这 个矩 阵方 ,可对 程组增
用 a1,a2,a3线性 表示 a4,a5，只需 找到 系数 X 矩阵
B C做行 变换 化为 行最 广矩 阵 矩阵 简形 (*).从
线性相关性ppt
补充例题
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铃
定理2 (1)若向量组A a1 a2 am线性相关 则向量组B a1 a2 am am1也线性相关 反之 若向量组B线性无关 则向量组A 也线性无关
(2)m个n维向量组成的向量组 当维数n小于向量个数m时 一定线性相关 特别地 n1个n维向量一定线性相关
补充例题
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向量组a1 a2 am线性无关R(a1 a2 am)m n维单位坐标向量组e1 e2 en是线性无关的 例2 已知 a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T 试讨论向量组a1 a2 a3及向量组a1 a2的线性相关性 解 对矩阵(a1 a2 a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵
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向量组a1 a2 am线性无关R(a1 a2 am)m n维单位坐标向量组e1 e2 en是线性无关的 例2 已知 a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T 试讨论向量组a1 a2 a3及向量组a1 a2的线性相关性 解 对矩阵(a1 a2 a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵
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向量组的线性相关与线性无关 给定向量组A a1 a2 am 如果存在不全为零的数k1 k2 km 使 k1a1k2a2 kmam0 则称向量组A是线性相关的 否则称它线性无关 向量组A a1 a2 am(m2)线性相关 也就是在向量组A 中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示 这是因为 如果向量组A中有某个向量(不妨设am)能由其余m1个向 量线性表示 即有1 2 m1 使 am1a12a2 m1am1 于是 1a12a2 m1am1(1)am0 因为1 2 m1 1不全为0 所以向量组A线性相关
《向量组的线相关》课件
数值实验
通过具体的数值例子，计算和下向量组的线性相关性。
案例研究法
案例选择
选择具有代表性的向量组作为案例，进行深入分析和研究。
案例分析
对选定的案例进行详细的分析和讨论，探究其线性相关性。
案例总结
总结案例的特点和规律，得出一般性的结论和启示。
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
01
向量组的线性相关性的 定义
线性相关的定义
线性相关
如果存在不全为零的标量$k_1, k_2, ..., k_n$，使得$k_1a_1 + k_2a_2 + ... + k_n a_n = 0$，则称向量组$a_1, a_2, ..., a_n$线性相关。
线性无关
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMARY
《向量组的线相关》 ppt课件
目录
CONTENTS
• 向量组的线性相关性的定义 • 向量组的线性相关性的性质 • 向量组的线性相关性的应用 • 向量组的线性相关性与其他概念的联
系 • 向量组的线性相关性的研究方法
REPORT
CATALOG
如果向量组中任意一组不全为零的标量$k_1, k_2, ..., k_n$，都有$k_1a_1 + k_2a_2 + ... + k_n a_n neq 0$，则称向量组$a_1, a_2, ..., a_n$线性无关。
线性相关的性质
线性相关的向量组中，至少存在一个 向量可以由其他向量线性表示。
如果向量组中存在一组不全为零的标 量$k_1, k_2, ..., k_n$，使得$k_1a_1 + k_2a_2 + ... + k_n a_n = 0$，则 该向量组一定是线性相关的。
通过具体的数值例子，计算和下向量组的线性相关性。
案例研究法
案例选择
选择具有代表性的向量组作为案例，进行深入分析和研究。
案例分析
对选定的案例进行详细的分析和讨论，探究其线性相关性。
案例总结
总结案例的特点和规律，得出一般性的结论和启示。
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
01
向量组的线性相关性的 定义
线性相关的定义
线性相关
如果存在不全为零的标量$k_1, k_2, ..., k_n$，使得$k_1a_1 + k_2a_2 + ... + k_n a_n = 0$，则称向量组$a_1, a_2, ..., a_n$线性相关。
线性无关
REPORT
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ANALYSIS
SUMMARY
《向量组的线相关》 ppt课件
目录
CONTENTS
• 向量组的线性相关性的定义 • 向量组的线性相关性的性质 • 向量组的线性相关性的应用 • 向量组的线性相关性与其他概念的联
系 • 向量组的线性相关性的研究方法
REPORT
CATALOG
如果向量组中任意一组不全为零的标量$k_1, k_2, ..., k_n$，都有$k_1a_1 + k_2a_2 + ... + k_n a_n neq 0$，则称向量组$a_1, a_2, ..., a_n$线性无关。
线性相关的性质
线性相关的向量组中，至少存在一个 向量可以由其他向量线性表示。
如果向量组中存在一组不全为零的标 量$k_1, k_2, ..., k_n$，使得$k_1a_1 + k_2a_2 + ... + k_n a_n = 0$，则 该向量组一定是线性相关的。
线性代数课件4-2向量组的线性相关性-PPT文档资料
§2 向量组的线性相关性
目的要求
（1）掌握向量组线性相关性的定义； （2）掌握判断向量组线性相关性的两种方法； （3）掌握向量组线性相关性的相关结论.
2019年3月13日6时54分
§2 向量组的线性相关性
1 3 例 1 1 2, 2 6 3 9
r2 2 r1 a1, a2, a3 2 1 7 2 1 3 0 r 3 r 2 3 知 R( a1 , a2 , a3 ) = 2 < 3,
所以向量组 a1 , a2 , a3 线性相关.
2019年3月13日6时54分
练习： 讨论下列向量组的线性相关性.
解齐次线性方程组
x x L x 0 （ 1 ） 1 1 2 2 m m
， L ， 判定向量组 1 2, m线性无关
若（1）只有唯一零解，
若（1）有非零解
线性相关 ， L ， 判定向量组 1 2, m
2019年3月13日6时54分
例3
讨论 解：
1 1 1 , a 2 , a 2 a1 0 2 3 1 2 4
因为R (A ) = 3 ， 向量组 a1 , a2 , a3是线性无关的.
2019年3月13日6时54分
例 6 讨论向量组
1 1 2 a1 2, a2 1, a3 7 的线性相关性. 1 3 0 解： 1 1 2 r 3 r1
所以向 a 量 ,a ,a 组 1 2 3线 性 相 关
例4
1 0 0 讨论 E: e1 0, e2 1, e3 0 的线性相关性. 0 0 1 解：
目的要求
（1）掌握向量组线性相关性的定义； （2）掌握判断向量组线性相关性的两种方法； （3）掌握向量组线性相关性的相关结论.
2019年3月13日6时54分
§2 向量组的线性相关性
1 3 例 1 1 2, 2 6 3 9
r2 2 r1 a1, a2, a3 2 1 7 2 1 3 0 r 3 r 2 3 知 R( a1 , a2 , a3 ) = 2 < 3,
所以向量组 a1 , a2 , a3 线性相关.
2019年3月13日6时54分
练习： 讨论下列向量组的线性相关性.
解齐次线性方程组
x x L x 0 （ 1 ） 1 1 2 2 m m
， L ， 判定向量组 1 2, m线性无关
若（1）只有唯一零解，
若（1）有非零解
线性相关 ， L ， 判定向量组 1 2, m
2019年3月13日6时54分
例3
讨论 解：
1 1 1 , a 2 , a 2 a1 0 2 3 1 2 4
因为R (A ) = 3 ， 向量组 a1 , a2 , a3是线性无关的.
2019年3月13日6时54分
例 6 讨论向量组
1 1 2 a1 2, a2 1, a3 7 的线性相关性. 1 3 0 解： 1 1 2 r 3 r1
所以向 a 量 ,a ,a 组 1 2 3线 性 相 关
例4
1 0 0 讨论 E: e1 0, e2 1, e3 0 的线性相关性. 0 0 1 解：
3.3向量组线性相关性的判别定理-PPT文档
定理4 向量组 r(A )m , A ： , , , 线性相关 1 2 m
其中 A ( , , , ) 1 2 m r(A ) m 向量组 A ： , , , 线性无关 1 2 m
( n 个 n 维向量组成的向量组 A 线性无关 A 0 .)
解 . e 1 , 0 , 0 , e 0 , 1 , 0 , e 0 , 0 , 1 线性无 1 2 3 T T T 1 , 0 , 0 , 2 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1 , 4 线性无 1 2 3
是自然数 1 ， 2 ， n 的某个排列， p p 1 n
齐次方程组（ 1 ）与齐次方程组（ 2 ）同解，
则向量组 A 与向量组 B 相同的线性相关性
定理3向量组 A : a a , 即 j添上一个分量得 j j 1 j a 2 j rj
T T
向量组 B : a a ,( j 1 , 2 , , m ), j 1 j a 2 j rj a r 1 , j
则向量组必线性相关 .
推论1： n 个 n 维向量组成的向量组 A 线性相关 A 0 .
当维数 n 向量个数 m 时 , 推论2： m个n维向量组成的向量组，
例1
讨论下列向量组的线性相关性：
T
1 . 1 , 2 3 , 5 , 1 2 T T T T 2 . 1 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 1 , 1 , 2 , 4 1 2 3 4
4 . 1 , 0 , 0 , 2 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1 , 4
《向量组线性相关性》课件
ldots + k_n mathbf{a}_n$，则称向量 $mathbf{b}$被向量组$mathbf{a}_1, mathbf{a}_2, ldots, mathbf{a}_n$线性表
示。
向量组线性相关性的定义
向量组线性相关性
如果存在不全为零的标量$k_1, k_2, ldots, k_n$，使得$sum_{i=1}^{n} k_i mathbf{a}_i = mathbf{0}$，则称向量组$mathbf{a}_1, mathbf{a}_2, ldots, mathbf{a}_n$线性相关。
详细描述：利用向量组线性相关性，可以对矩阵进行分 解，如奇异值分解、QR分解等，为解决实际问题提供 有效工具。
详细描述：通过向量组线性相关性，可以进一步研究矩 阵的特征值和特征向量，从而深入了解矩阵的性质。
向量组线性相关性在优化理论中的应用
总结词
约束优化问题
详细描述
在优化理论中，向量组线性相关性可以用于描述和解决 一系列约束优化问题，如线性规划、二次规划等。
THANKS
[ 感谢观看 ]
判定定理
如果存在不全为零的标量$k_1, k_2, ldots, k_n$，使得 $sum_{i=1}^{n} k_i mathbf{a}_i = mathbf{0}$，则向量组 $mathbf{a}_1, mathbf{a}_2, ldots, mathbf{a}_n$线性相关 。
反例
如果对于任何不全为零的标量$k_1, k_2, ldots, k_n$，都有 $sum_{i=1}^{n} k_i mathbf{a}_i neq mathbf{0}$，则向量 组$mathbf{a}_1, mathbf{a}_2, ldots, mathbf{a}_n$线性无 关。
示。
向量组线性相关性的定义
向量组线性相关性
如果存在不全为零的标量$k_1, k_2, ldots, k_n$，使得$sum_{i=1}^{n} k_i mathbf{a}_i = mathbf{0}$，则称向量组$mathbf{a}_1, mathbf{a}_2, ldots, mathbf{a}_n$线性相关。
详细描述：利用向量组线性相关性，可以对矩阵进行分 解，如奇异值分解、QR分解等，为解决实际问题提供 有效工具。
详细描述：通过向量组线性相关性，可以进一步研究矩 阵的特征值和特征向量，从而深入了解矩阵的性质。
向量组线性相关性在优化理论中的应用
总结词
约束优化问题
详细描述
在优化理论中，向量组线性相关性可以用于描述和解决 一系列约束优化问题，如线性规划、二次规划等。
THANKS
[ 感谢观看 ]
判定定理
如果存在不全为零的标量$k_1, k_2, ldots, k_n$，使得 $sum_{i=1}^{n} k_i mathbf{a}_i = mathbf{0}$，则向量组 $mathbf{a}_1, mathbf{a}_2, ldots, mathbf{a}_n$线性相关 。
反例
如果对于任何不全为零的标量$k_1, k_2, ldots, k_n$，都有 $sum_{i=1}^{n} k_i mathbf{a}_i neq mathbf{0}$，则向量 组$mathbf{a}_1, mathbf{a}_2, ldots, mathbf{a}_n$线性无 关。
线性代数 3-2向量的线性相关性 PPT精品课件
-4-
第二节 向量的线性相关性
定理至少有一个向量是其余向量的线性组合。
证：必要性 设 1, 2,L, s 线性相关，则存在不全
第 三
为零的k1,k2,L,ks,
使得
章
k1 1 + k2 2 +L+ ks s =
向 设kl 0, 则
-3-
第二节 向量的线性相关性
二 向量的线性相关性
定义3 设 1, 2,L, s 是Rn中的向量组，若存在不全
为零的k1 ,k 2,L,ks, 使得
k1 1 + k2 2 +L+ ks s =
第 则称向量组 1, 2,L, s 线性相关。若
三 章
k1 1 + k2 2 +L+ ks s =
-8-
第二节 向量的线性相关性
例4 设Rn中的向量 不能由 1, 2,L, s 线性表示，
证明: ⑴ 若 1 , 2,L, s线性无关,则 1
第
三
也线性无关;
章
2,L, s,
⑵ 若 1 + , 2 + ,L, s + , 线性相关,则
向
量 空
1, 2,L, s也线性相关。
向
量 空
定理3 设 1, 2,L, s 线性无关，而 1, 2,L, s,
间 线性相关,则 可由 1, 2,L, s线性表示,且表示法唯一。
定理4 设 1, 2,L, s 线性无关，且可由 1,2,L,t
线性表示，则 s t.
-6-
第二节 向量的线性相关性
,
间
-9-
,
s > t, 则 1, 2,L, s 线性相关。
第二节 向量的线性相关性
定理至少有一个向量是其余向量的线性组合。
证：必要性 设 1, 2,L, s 线性相关，则存在不全
第 三
为零的k1,k2,L,ks,
使得
章
k1 1 + k2 2 +L+ ks s =
向 设kl 0, 则
-3-
第二节 向量的线性相关性
二 向量的线性相关性
定义3 设 1, 2,L, s 是Rn中的向量组，若存在不全
为零的k1 ,k 2,L,ks, 使得
k1 1 + k2 2 +L+ ks s =
第 则称向量组 1, 2,L, s 线性相关。若
三 章
k1 1 + k2 2 +L+ ks s =
-8-
第二节 向量的线性相关性
例4 设Rn中的向量 不能由 1, 2,L, s 线性表示，
证明: ⑴ 若 1 , 2,L, s线性无关,则 1
第
三
也线性无关;
章
2,L, s,
⑵ 若 1 + , 2 + ,L, s + , 线性相关,则
向
量 空
1, 2,L, s也线性相关。
向
量 空
定理3 设 1, 2,L, s 线性无关，而 1, 2,L, s,
间 线性相关,则 可由 1, 2,L, s线性表示,且表示法唯一。
定理4 设 1, 2,L, s 线性无关，且可由 1,2,L,t
线性表示，则 s t.
-6-
第二节 向量的线性相关性
,
间
-9-
,
s > t, 则 1, 2,L, s 线性相关。
【优质】第四章 向量组的线性相关性.PPT资料
k 11 k 22 k mm 0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关。
向量组A：a1,a2, ,am (m2) 线性相关，也就是在向量组 A中至少有一个向量能由其余m-1个向量线性表示。这是 因为：
如果向量组A线性相关，则有不全为0的数 k1,k2,,km使
k 11 k 22 k mm 0 。因 k1,k2,,km不全为0, 不妨设
12
m
及
的秩，利用定理2即可得到结论。
,, ,,线性相关，则向量 必能由向量组A线 类似地可证：若
,则
, 因此
例我8们3可维以向用量有的向全线体段1R3形,就象2是地一表个示向3维量向空m量间，，从因而为向任量意空两间个R3维3可向形量象之地和看仍作然以是坐3标维原向点量为，起数点乘的3维有向向量线也段仍的然全是体3。维向量，它们都属于R3,
分别称为行向量和列向量，也就是行矩阵和列矩阵，并规
定行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算。因此，n
1
维列向量
2
与n维行向量T1 2
n总看作是
n
两个不同的向量（按定义1， 与 T 应是同一个向量）。
§4.5 向量组的相关性
定义4 给定向量组A：1,2, ,m，如果存在不全为零的 数 k1,k2,,km，使
( x 1 x 3 )1 ( x 1 x 2 )2 ( x 2 x 3 )3 0
因1,2,3线性无关，故有
x x
1 1
x3 x2
0 0
x 2 x 3 0
由于此方程组的系数行列式
10
11
故方程组只有零解 x1x2 x30 0 1 所以向量组1, 2, 3 线性无关。
1 0 20 1
例2 已知
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关。
向量组A：a1,a2, ,am (m2) 线性相关，也就是在向量组 A中至少有一个向量能由其余m-1个向量线性表示。这是 因为：
如果向量组A线性相关，则有不全为0的数 k1,k2,,km使
k 11 k 22 k mm 0 。因 k1,k2,,km不全为0, 不妨设
12
m
及
的秩，利用定理2即可得到结论。
,, ,,线性相关，则向量 必能由向量组A线 类似地可证：若
,则
, 因此
例我8们3可维以向用量有的向全线体段1R3形,就象2是地一表个示向3维量向空m量间，，从因而为向任量意空两间个R3维3可向形量象之地和看仍作然以是坐3标维原向点量为，起数点乘的3维有向向量线也段仍的然全是体3。维向量，它们都属于R3,
分别称为行向量和列向量，也就是行矩阵和列矩阵，并规
定行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算。因此，n
1
维列向量
2
与n维行向量T1 2
n总看作是
n
两个不同的向量（按定义1， 与 T 应是同一个向量）。
§4.5 向量组的相关性
定义4 给定向量组A：1,2, ,m，如果存在不全为零的 数 k1,k2,,km，使
( x 1 x 3 )1 ( x 1 x 2 )2 ( x 2 x 3 )3 0
因1,2,3线性无关，故有
x x
1 1
x3 x2
0 0
x 2 x 3 0
由于此方程组的系数行列式
10
11
故方程组只有零解 x1x2 x30 0 1 所以向量组1, 2, 3 线性无关。
1 0 20 1
例2 已知
向量组的线性相关性ppt课件
第 三 节 向量组的线性相关性
主要内容
向量组等价 向量组的线性相关性 用定义判别线性相关性 线性相关性的判别定理 极大线性无关组 方程组与向量组的关系的进一步研究
一、向量组等价
以下我们总是在一固定的数域 P 上的 n 维
量空向间中进行，不再每次说明了.
1. 线性表
出定义 10
向量 称为向量组 1, 2, …,
定义 13 一向量组1 , 2 , … , s (s
性相关 ，1)即不没线有不全为零的数 k1 , k2 , … ,
ks , 使
k11 + k22 + ... +kss
= 0.
就称为线性无关；或者说，一向量组 1 ,
s 称为线性无关，如2果,由…,
可以推出
k11 + k22 + ... +kss
则方程组所对应的向量组为
1 (2,1,3,1), 2 (4,2,5,4), 3 (2,1,4,1)
因为 3 =31 - 2 ，则方程组的第三个方程是多
余的，去掉它也不影响方程组的解. 事实上，第三个
方程等于第一个方程的 3 倍减去第二个方程，所
以满足第一、第二个方程的解一定满足第三个方程
1, 2, …, s 线性表则在由向量组 ,1,
出,
s
所确定的线性方程组2中, ，…,
所对应的方程可由
其他方程线性表出，这时 所对应的方程在决定方
程组的解的过程中不起作用，因此它是多余的方
程.
例如，设有方程组
42xx112xx2235xx33
1, 4,
2x1 x2 4x3 1
从定义可以看出，任意一个包含零向量的向量
主要内容
向量组等价 向量组的线性相关性 用定义判别线性相关性 线性相关性的判别定理 极大线性无关组 方程组与向量组的关系的进一步研究
一、向量组等价
以下我们总是在一固定的数域 P 上的 n 维
量空向间中进行，不再每次说明了.
1. 线性表
出定义 10
向量 称为向量组 1, 2, …,
定义 13 一向量组1 , 2 , … , s (s
性相关 ，1)即不没线有不全为零的数 k1 , k2 , … ,
ks , 使
k11 + k22 + ... +kss
= 0.
就称为线性无关；或者说，一向量组 1 ,
s 称为线性无关，如2果,由…,
可以推出
k11 + k22 + ... +kss
则方程组所对应的向量组为
1 (2,1,3,1), 2 (4,2,5,4), 3 (2,1,4,1)
因为 3 =31 - 2 ，则方程组的第三个方程是多
余的，去掉它也不影响方程组的解. 事实上，第三个
方程等于第一个方程的 3 倍减去第二个方程，所
以满足第一、第二个方程的解一定满足第三个方程
1, 2, …, s 线性表则在由向量组 ,1,
出,
s
所确定的线性方程组2中, ，…,
所对应的方程可由
其他方程线性表出，这时 所对应的方程在决定方
程组的解的过程中不起作用，因此它是多余的方
程.
例如，设有方程组
42xx112xx2235xx33
1, 4,
2x1 x2 4x3 1
从定义可以看出，任意一个包含零向量的向量
第四章向量组的线性相关性ppt课件
如果使 k11 k2 2 ... km m o 成立的数，
只有 k1 0, k2 0,...,km 0 ， 则称向量组 A: 1 , 2 , ..., m 线性无关.
注： 判 , , ..., 断 否 线 性 相 关 ， 只 要 1 2 s是 k k ... k 0 令 ， 1 1 2 2 s s k , k , ...,k 求 解 1 2 s， k , , ..., 如 果 全 为 零 ， 则 性 相 关 。 i不 1 2 s线 k , , ..., 如 果 为 零 ，则 性 无 关 。 i全 1 2 s线
101 即B AK ( b ,b ,b ) ( , , ) 1 1 0 1 2 3 1 2 3 0 1 1
故 因
a m）
, , , , 1 这m 个数不全为0，
12 m 1
a m 1 1 2 2 m 1 m 1
1 1 2 2
1 a 0 m 1 m 1 m故Biblioteka , , , 线性相关.
第四章向量组的线性相关性
一、线性相关与线性无关
定义 对于已给向量组 A: 1 , 2 , ..., m ，如果存在 一组不全为零的数 k1 , k2 , ..., km ，使关系式
k k ... k o 成立， 1 1 2 2 m m
则称向量组 A: 1 , 2 , ..., m 线性相关；
（上章定理4）：n 元齐次线性方程组 AX = 0 有非零解
的充分必要条件是 R(A) < n ．
定理4 n 维列向量组 线性相关
只有 k1 0, k2 0,...,km 0 ， 则称向量组 A: 1 , 2 , ..., m 线性无关.
注： 判 , , ..., 断 否 线 性 相 关 ， 只 要 1 2 s是 k k ... k 0 令 ， 1 1 2 2 s s k , k , ...,k 求 解 1 2 s， k , , ..., 如 果 全 为 零 ， 则 性 相 关 。 i不 1 2 s线 k , , ..., 如 果 为 零 ，则 性 无 关 。 i全 1 2 s线
101 即B AK ( b ,b ,b ) ( , , ) 1 1 0 1 2 3 1 2 3 0 1 1
故 因
a m）
, , , , 1 这m 个数不全为0，
12 m 1
a m 1 1 2 2 m 1 m 1
1 1 2 2
1 a 0 m 1 m 1 m故Biblioteka , , , 线性相关.
第四章向量组的线性相关性
一、线性相关与线性无关
定义 对于已给向量组 A: 1 , 2 , ..., m ，如果存在 一组不全为零的数 k1 , k2 , ..., km ，使关系式
k k ... k o 成立， 1 1 2 2 m m
则称向量组 A: 1 , 2 , ..., m 线性相关；
（上章定理4）：n 元齐次线性方程组 AX = 0 有非零解
的充分必要条件是 R(A) < n ．
定理4 n 维列向量组 线性相关
最新-线性代数-向量组的线性相关性-PPT文档资料
5
【例 1】设 1 2 3 0T ，1 1 2 1 0T ， 2 3 0 1 1T 。问 能否由1,2线性表示？
1 3 1
解：设
x11
x22，则 x1
2 来自1x2
0 1
2
，即
3
i k 1 1 k 2 2 k i 1 i 1 k i 1 i 1 k m m
即
k 1 1 k 2 2 k i 1 i 1 ( 1 ) i k i 1 i 1 k m m 0
{PAGE}
2
定义 2：
设1 ,2 ,,m是向量组,若其中至少有一个向量可以 由其余向量线性表出，则称此向量组线性相关，否 则称为线性无关。
{PAGE}
3
方程组的向量表示形式
=x11 x22
b1 a11
a12
xm m
b2
§2 向量组的线性相关性
本节主要内容: 向量组的线性相关性 向量组线性相关性的判定
{PAGE}
1
一 向量组线性相关的概念
定义 1：
1)一组同维的列（行）向量组称为向量组。
2）若向量 k11 k22 ks s ， 则称向量 可由向量1 ,2 ,, s线性表示， 其中k1 ,k2 ,,ks是数， k11 k22 ks s称为1 ,2 ,, s的线性组合。
k i 1 k i 1 k i i 1 k i i 1
k m k i m
所以至少有一个向量可由其余m 1个向量线性表示。
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k11 k12 L k1l
b1,b2,L,bl
a1,a2,L,am
k21 M
k22 L M
k2l
M
km1 km2 L kml ml
11
若 Cm×n = Am×l Bl×n ，即
c11 c12 L c1n a11 a12 L a1l b11 b12 L b1n
c21 c22 L MM
cM 2naM 21 aM 22 L
左边乘以相应的 m 阶初等矩阵； ✓对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的
右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.
15
结论：若 C = AB ，那么 矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组 线性表示，A为这一线性表示的系数矩 阵．（A 在左边） 矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组 线性表示，B为这一线性表示的系数矩 阵．（B 在右边）
n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量．
7
回顾：线性方程组的表达式
1. 一般形式
3xx11
4x2 x3 x2 2x3
5 1
2. 增广矩阵的形式
3 4 1 5
1
1
2 1
3. 向量方程的形式
4. 向量组线性组合的形式
3
1
4 1
1 2
x1 x2 x3
5 1
3 4 1 5 x11x21x321
则
r1T r2T
M
a11 a21 M
a12 a22 M
L L
a1l a2l
b1T b2T
M M
rmT
am1
am2 L
aml
blT
结论：矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示， A 为这一线性表示的系数矩阵．
14
口诀：左行右列
定理：设A是一个 m×n 矩阵， ✓对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的
10
设有向量组 A：a1, a2, …, am 及 B：b1, b2, …, bl ， 若向量组 B 能由向量组 A 线性表示，即
b1 k11a1 k21a2 L km1am b2 k12a1 k22a2 L km2am LL bl k1la1 k2la2 L kmlam
线性表示的 系数矩阵
M
b n
0 0
b
2
0
1
0
0
b
b
3
M
b1
0
b2
0
b3
1
L
bn
0
M M M
M
b n
0 0 0
1
1 0 0 L 0
0
1
0
L
0
En
0
0
1
L
0
M M M
M
0 0 0 L 1
l l l b 1 a 1 2 a 2 L m a m
a11 a12 L
a21
a22
L
M M
an1 an2 L
a1m l1
a2m
M
l2
M
b
anm
lm
向量b 能由 向量组 A 线性表示
线性方程组 Ax = b 有解
R(A)R(A,b)
9
定义：设有向量组 A：a1, a2, …, am 及 B：b1, b2, …, bl ， 若 向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，则称向 量组 B 能由向量组 A 线性表示． 若向量组 A 与向量组 B 能互相线性表示，则称这两个向量 组等价．
定义：给定向量组 A：a1, a2, …, am 和向量 b，如果存在一组
实数 l1, l2, …, lm ，使得 b = l1a1 + l2a2 + … + lmam
则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 b 能由向量组 A 的线性表示．
5
1 0 0
例：设
E
e1,e2,e3
0
1
0
0 0 1
方程组有解？
向量
5
1
是 否能用
3 1
,
4线1性,表21示 ？
8
结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．
x1 a11 a12 L a1mx1
x1a1x2a2Lxm ama1,a2,L,am x M 2 aM 21 aM 22 L
a2m x2 M M
xm an1 an2 Lanmxm
§4.3 向量组的线性相关性
1
向量组及其线性组合
2
定义：n 个有次序的数 a1, a2, …, an 所组成的数 组称为n 维向量，这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 ai 称为第 i 个分量．
✓行向量和列向量总被看作是两个不同的向 量．
✓所讨论的向量在没有指明是行向量还是列 向量时，都当作列向量．
13
若 Cm×n = Am×l Bl×n ，即
c11 c12 L c1n a11 a12 L a1l b11 b12 L b1n
c21 c22 L MM
cM 2naM 21 aM 22 L
a2l b21 b22 L M MM
b2n M
cm 1 cm2 L cm n am 1 am2 L am lbl1 bl2 L bln
e1, e2, e3的 线性组合
2 1 0 0
那么 b
3
2
0
3
1
7
0
2e13e27e3
7 0 0 1
线性组合的系数
一般地，对于任意的 n 维向量b ，必有
b 1 1 0 0
0
b
2
0
1
0
0
b
b
3
b1
0
b2
0
b3
1
L
bn
0
M M M M
a12 a22
a13 a23
a14 a24
a1,a2 ,a3 ,a4
b1T
b
T 2
a31 a32 a33 a34
b
T 3
结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．
4
定义：给定向量组 A：a1, a2, …, am ， 对于任何一组实数 k1, k2, …, km ，表达式
k1a1 + k2a2 + … + kmam 称为向量组 A 的一个线性组合． k1, k2, …, km 称为这个线性组合的系数．
✓本书中，列向量用黑色小写字母 a, b, a, b 等表示，行向量则用 aT, bT, aT, bT 表示．
3
定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为
向量组．
✓ 当R(A) < n 时，齐次线性方程组 Ax = 0 的全体解组成的向
量组含有无穷多个向量．
有限向量组
A34
a11 a21
a2l b21 b22 L M MM
b2n M
cm 1 cm2 L cm n am 1 am2 L am lbl1 bl2 L bln
b11 b12 L b1n
则
c1,c2,L,cn
a1,a2,L,al
b21 b22 L M M
b2n M
bl1 bl2 L bln
结论：矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示， B 为这一线性表示的系数矩阵．