收益率曲线拟合技术

B5 (s) 1 c0s b0s2 a0[s3 (s 5)3 ] 其中 s5,10
B(s)
a1
(s
5)3
B10
(s)
1
c0 s
b0 s
2
a0[s
3
(s
5)3
]
其中 s1,020
a1[(s 5)3 (s 10)3 ] a2 (s 10)3
指数样条函数（一）
一般B应(s用) 三 阶B B 的05((指ss))数形dd01式 样cc01条ee 函uuss 数bb，10ee形22u式uss 如aa下10ee33uuss
n
目标函数 min (Pi Pˆi*(B))2 i1
重复优化过程
残差方差权重
j
Dj (t)Pt j 1 rj (t)
约束条件 B(t,t) 1
债券现金流矩阵
债券1CF1,1 债券2CF2,1
... ... 债券n ...
CF1,2 ... ... ...
... CF1,m
...
...
... ...
TTM
b1e 1
b2
TT1MeTT1M
b3
TT2MeTT2M
积分后我们得到即期利率的参数模型：
s(TTM)t
b0
b1
1eTT1M TTM
b2
1eTT1M TTM
TTM
e 1
b3
1eTT2M TTM
TTM e 2
1 1
2
多项式样条函数（一）
我们一B(般s)使用三BB0阶5((ss的))多dd项01式cc样01ss条函bb10s数s22形a式a10ss33 B10(s)d2c2sb2s2a2s3
其中 其中
s0,5 s5,10
B10(s)d2c2eusb2e2usa2e3us其中 s1,020
上式中，uu的经tl im济T 含f (0义,t为,T起) 息日为未来无限远时的瞬间远期利率 T
亦即
指数样条函数（二）
应用指数样条函数的最优决策过程
（广义最小二乘无解bˆ 析* 解，必须通过迭代优化）Fra Baidu bibliotek
,
T t
B(t,T ) es(t,T )(T t)
如果假设当前市场远期利率可用某种参数函数表达,如f(t,T,b) ,则即期利率可 以表达为s(t,T,b)，贴现函数同样也可以表达为B(t,T,b)
收益率曲线参数模型的一般方法
一、符号定义
贴现函数B(t,T,
b
)
b
表示在时间T支付的现金流
FT
在时间t的贴现系数
... CFn,m
由贴现函数导 出定价误差
PPˆˆ12((bb11,,
b2,...,bi b2,...,bi
...
) )
P1
P2
...
1
2
...
Pˆn
(b1,
b2
,...,bi
)
Pn
n
Nelson-Siegel-Svenson模型
Svenson模型的瞬间远期利率
f
(TTM)t
b0
rj (t) D j (t)
其中， 和 分别表示债券j在时间t的到期收益率和久期
收益率曲线参数模型步骤（2）：目标函数及其优化
b
令 bˆ
b
为 为bˆ 我无* 们约要束估条计件的下贴的b现函的数估系计数值向量
为约束条件下 的估计值
n
min b
(Pt j Pˆt j )2
j1
由目标函数
B(t,t,b) 1
收益率曲线参数模型步骤（2）：确定误差
债券的理论价格与实际价格
对于债券 j，有 Pt Pˆt
对于 (j,j'){1,..n} .,
满足
1、 E(j ) 0
2、方差 var(j)2j2 3、协方差 covj(,j')0
( j j')
收益率曲线参数模型步骤（2）：确定误差
残差的方2差-协 2方差12矩阵22为（...与广义 最小二乘法对应）
其中 s0,5 其中 s5,10 其中 s1,020
且为上述B多B5(i0项)(i()1(式05))样 条BB15((0ii函)) ((15数0) )连续可导，须满足
B0 (0) 1
B(i) (x)
B(x)
其中
是函数
的第i 阶导数(i= 0, 1, 2)
多项式样条函数（二）
满足以上条件，约B掉0 (部s)分参1数c，0s样 条b0s函2 数 a形0s式3 为 其中 s0,5
函数形式
（样条法中，即为分段的样条函数）
b min( tP
j
tˆj P)2
bˆ*
arg
求使
最小
我们表示为bˆ *
B(t,T, b)
由此
向量，我们即可得知
限结构
从而得出瞬时远期利率期
收益率曲线参数模型步骤（1）
确定约束条件
B(t,T, b)
对 有贴现函数B(t,t,b)1
始终成立 上式作为目标函数的约束条件
收益率曲线拟合技术
收益率曲线参数模型的一般方法
一、符号定义：远期f (利t,率,T与) 即(T期利t)率 s关(t,系T ) ( t) s(t, )
T
f (t,T ) lim f (t, ,T ) s(t,T ) (T t) s(t,T )
T
t
T
f (t,T )dx
s(t,T ) xt
f (0,)
1、将参数向量 固定在一个合理f (的0,初)值上
2、以
来计算
3、运用牛顿迭代法取完所有 最小二乘估计量
的值来对
bˆ * 进行最优化，求出其
样条分段数的最优取值
✓ 样条分段数越大，曲线拟合度越高，但平滑值越差 ✓ 样条分段数越小，则曲线越平滑，但拟合度差
及约束条件
我们即可用广义最小二乘法求得参数的解析解。但一般Matlab软件可以通 过迭代优化完成这个过程。
优化过程——获得最优的参数向量
参数向量
贴现函数 B(t,T;b1,b2,...,bi)
bb b 即期利率s (t,T ) B 1 /s(t,T ;1 , 2 ,..., i)
bˆ*(b1,b2,..b.i,)
2 n
2 j
1
简化方法为假设各种债券的方差相等，即权重
收益率曲线参数模型步骤（2)：确定误差权重
显然，到期期限长的债券估价较难，因此，权重 限因素
Vasicek和2j Fo1/ndgdrP的j(ttj)方2法D (12j(tr)j((Ptt)j))22
2 j
应考虑期
即
j
1 rj (t) D j (t ) Pt j
其中， 为函数的参数向量
债券理Pˆtj论价格FTjB(t,T,b) T
Pˆt j
F
j
T表示债券j的理论价格
表示该债券现金流向量
收益率曲线参数模型的一般方法
二、一般方法
Pt j
假设 我们可以获得一组B现(金t,T流,向b)量
的市场价格为 的债券
FTj
已知，无违约风险，在时间t
同时，b我ˆ *们构造(P假t j 想Pˆ的tj)2