收益率曲线拟合技术

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曲线拟合分析

曲线拟合分析
曲线拟合分析是数学统计中一种常用的非参数估计方法。

它用
于拟合一组多变量数据，以获得最佳拟合的函数，并且将其用来建立
一个数学模型以描述这组数据的规律。

曲线拟合分析的适用条件是，
数据不必是精确的函数关系，而且可以包含误差和噪声。

曲线拟合分析可以使用各种不同拟合函数，如线性函数、多项式
函数、指数函数、对数函数等。

具体的方法有多种，包括最小二乘法、最小中心加权平方法、最小均值方差变换方法等。

此外，还可以使用
优化算法进行复杂的拟合。

曲线拟合分析的主要优点是，无论数据多项式函数的形式如何，
都可以使用多种拟合函数拟合，从而获得较好的精度。

此外，由于曲
线拟合不需要假设数据服从特定的分布，因此能够更好地描述复杂的
数据结构。

另外，曲线拟合分析也可用来探究参数之间的关系，从而提出更
有意义的结论，增加对数据的认识。

在实际应用中，曲线拟合分析广泛应用于物理和工程等科学领域、金融和经济等经济学领域、医学研究等医学领域，以及时间序列分析、模式识别等机器学习领域。

我国收益率曲线的研究

完全取决于对未来利率的市场预期。希克斯又提出期限结构国所规定的利率比市场所确定的利率要高，应该依照市场的利
的流动性偏好。该假说则认为长期债券由于具有较高的风险，率来确定基准利率才是国际上的通常做法，所以我国应该通过对短期债券具有一定的溢价。市场分割理论最早是由卡尔伯货币政策降低利率。但是我国在２０年为了抑制经济过热，０８采特森提出来的，该理论假定，市场是由不愿承担风险的单个取了调高利率的经济政策，才使得利率大大高于市场所确定的投资者和将生存看的至关重要的公司及金融机构组成，它们利率。都为自己的投资组合寻求免疫力。如果他们的资产的持续期受到多种因素和条件的限制，当前我国国债收益率曲线的形限与负债的有效期限相匹配的话，那么，他们的投资组合就状并不规则，国债收益率也尚不能成由于为金融市场的基准利
融市场以及经济系统。然而官定利率并不完全等同于基准利率，重要意义。
原因在于管制的利率不能充分优化配置资金资源，而且管制利率下的各种利率关联度差，期限结构常常处于扭曲状态，使得

我国理财产品收益率曲线构建及实证研究

中国人民银行工作论文No.2015/4PBC Working Paper No.2015/4 2015年4月3日April3,2015我国理财产品收益率曲线构建及实证研究吴国培王德惠付志祥梁垂芳1摘要：随着理财产品期限品种和发行数量的不断丰富，理财产品收益率开始显现出价格发现的功能，尤其是会通过理财产品与其他金融产品之间的替代性影响存款和债券的定价。

另外，在未来以政策利率为基础的新货币政策框架之下，理财产品的收益率也将是货币政策传导所需要关注的一类价格。

构建理财产品收益率曲线将有助于完善我国收益率曲线的体系。

本文用三次平滑样条插值法构建了商业银行理财产品收益率曲线，并对收益率曲线包含的经济信息进行了一些定量分析。

我们的初步结论包括：理财产品收益率的期限结构已经较为完整；理财产品收益率曲线对货币政策的反应较为显著；理财产品收益率曲线与宏观经济变量之间存在较为显著的关联关系，收益率曲线斜率包含了一定的经济预测功能。

Abstract:With rapid development of the wealth-management product(WMP)market,the yields of WMPs began to demonstrate a role of price discovery.In particular,the yields of WMPs affect the pricing of deposits and bonds through the substitution between financial products.In addition,under the policy rate-based new monetary policy framework in the future,the yields of WMPs will be subject to the influence of monetary policy transmission.Therefore,a yield curve of WMPs should be part of our yield curve system.In this paper,we develop a WMP yield curve using the cubic smoothing spline interpolation method,and conduct some quantitative analyses of the economic information contained in the yield curve.Our preliminary findings include:the term structure of WMP yield curve is largely complete;the yield curve responds to monetary policy shocks;the correlation between the yield curve and macroeconomic variables suggests that the former can be used as a predictor of economic preformance.关键词：理财产品；收益率曲线；三次平滑样条插值1吴国培，经济学博士，现任中国人民银行福州中心支行行长，国家外汇管理局福建省分局局长，厦门大学和福州大学博士生导师，研究员职称，享受国务院特殊津贴专家，email:wgp163@；王德惠，经济师，现任中国人民银行福州中心支行调查统计处副处长，email:Wdh7858@；付志祥，工程师，任职于中国人民银行福州中心支行，email:klening@；梁垂芳，经济师，任职于中国人民银行福州中心支行，email:liangchuifang@。

收益率曲线拟合度

收益率曲线拟合度一、什么是收益率曲线拟合度收益率曲线拟合度是衡量某个收益率曲线与市场收益率曲线之间拟合程度的指标。

它可以帮助分析人员判断某个投资组合的收益率表现是否符合市场预期，进而评估该投资组合的风险和收益水平。

二、收益率曲线拟合度的计算方法收益率曲线拟合度的计算方法通常使用最小二乘法。

最小二乘法是一种通过最小化误差的平方和来拟合曲线的方法。

在计算收益率曲线拟合度时，我们需要将待拟合的收益率曲线与市场收益率曲线进行比较，然后计算两者之间的误差平方和。

具体计算步骤如下：1.收集待拟合的收益率数据和市场收益率数据。

2.对待拟合的收益率数据和市场收益率数据进行排序，以确保两者的顺序一致。

3.计算待拟合的收益率数据与市场收益率数据之间的差值。

4.将差值平方，然后求和得到误差平方和。

5.将误差平方和除以总的差值平方和，得到收益率曲线拟合度。

三、收益率曲线拟合度的意义收益率曲线拟合度可以帮助分析人员评估投资组合的风险和收益水平。

当收益率曲线拟合度较高时，表示投资组合的收益率变动与市场收益率变动之间的相关性较高，投资组合的收益表现较为稳定。

相反，当收益率曲线拟合度较低时，表示投资组合的收益率变动与市场收益率变动之间的相关性较低，投资组合的收益表现较为不稳定。

四、收益率曲线拟合度的应用收益率曲线拟合度广泛应用于投资组合管理和风险控制中。

以下是几个常见的应用场景：1. 投资组合管理收益率曲线拟合度可以帮助投资经理评估投资组合的表现。

通过对比投资组合的收益率曲线与市场收益率曲线，投资经理可以判断投资组合的收益水平是否符合预期，并根据拟合度的变化调整投资策略，以提高投资组合的表现。

2. 风险控制收益率曲线拟合度可以帮助风险管理人员评估投资组合的风险水平。

当收益率曲线拟合度较高时，表示投资组合的风险相对较低，投资组合的收益变动主要受市场因素影响。

相反，当收益率曲线拟合度较低时，表示投资组合的风险相对较高，投资组合的收益变动主要受非市场因素影响。

收益率曲线拟合技术

收益率曲线拟合技术概述收益率曲线是描述不同期限、不同债券收益率之间关系的一种图标。

对于债券市场参与者来说，了解和掌握收益率曲线的走势非常重要。

收益率曲线提供了市场上债券的基本价格信息，同时也反映了市场对未来经济走势和通货膨胀的预期。

收益率曲线的含义收益率曲线通常是向上倾斜的，也就是说，期限短的债券相对期限长的债券有更低的收益率。

这是由于市场一般对于未来经济走势和通货膨胀的预期，长期预期相较于短期预期更加不确定。

因此，投资者要求对于更长期的投资有更高的回报，从而导致了收益率曲线的这种形态。

收益率曲线拟合技术线性拟合线性拟合是一种简单且常用的拟合技术。

线性拟合通过在收益率曲线上选择一些离散的点，并通过最小二乘法来拟合出一条线性方程。

这条线性方程能够较好地近似整个收益率曲线，并提供相关的曲线斜率信息。

多项式拟合多项式拟合是另一种常见的拟合技术。

与线性拟合不同，多项式拟合可以更好地适应不同的曲线形状。

通过选择合适的多项式阶数，可以实现对收益率曲线的更精确拟合。

然而，需要注意的是，过高的多项式阶数可能会导致过拟合问题，因此需要谨慎选择。

样条拟合样条拟合是一种灵活的拟合技术，可以对不同区间内的收益率曲线进行独立的拟合。

通过将整个收益率曲线分成若干个小区间，并在每个区间内拟合出一条样条函数，可以得到整个收益率曲线的拟合结果。

样条拟合可以更好地捕捉到不同区间内的曲线变化，因此被广泛应用于收益率曲线拟合。

拟合结果的应用通过收益率曲线的拟合，我们可以得到对未来经济走势和通货膨胀预期的近似值。

这一预期值可以帮助投资者做出更准确的投资决策。

例如，如果我们预测未来经济走势较为乐观，那么我们可以选择买入期限较长的债券以获取更高的回报。

反之，如果我们预测未来经济走势较为悲观，我们可以选择买入期限较短的债券，以防止可能出现的损失。

结论收益率曲线拟合技术是一种重要的金融分析工具，可以帮助投资者更好地理解和应对债券市场的变化。

线性拟合、多项式拟合和样条拟合是常用的拟合技术，它们各自具有不同的特点和适用范围。

债券市场中的收益率曲线拟合与预测

债券市场中的收益率曲线拟合与预测债券市场是金融市场中重要的一个组成部分，它为政府、企业和个人提供了融资和投资的渠道。

而债券的收益率曲线则是衡量债券市场风险和收益的重要指标之一。

本文将探讨债券市场中的收益率曲线拟合与预测的方法和意义。

一、收益率曲线的基本概念收益率曲线是指不同到期期限的债券的收益率之间的关系图形。

它反映了市场对未来经济发展和通货膨胀预期的预测。

通常情况下，收益率曲线呈现出向上的趋势，即长期债券的收益率高于短期债券的收益率。

二、收益率曲线的拟合方法拟合收益率曲线的方法有很多，常用的方法包括线性插值法、平滑插值法和参数拟合法。

1. 线性插值法线性插值法是最简单的拟合方法之一，它假设不同到期期限的债券的收益率之间存在线性关系。

通过已知的收益率数据点，可以通过线性插值法计算出其他未知期限的债券的收益率。

2. 平滑插值法平滑插值法是通过对已知收益率数据进行平滑处理，得到一条平滑的收益率曲线。

常用的平滑插值方法有移动平均法和指数平滑法。

移动平均法通过计算一定期限内的平均收益率来平滑曲线；指数平滑法则是通过对收益率进行加权平均，权重随着期限的增加而递减。

3. 参数拟合法参数拟合法是利用数学模型对收益率曲线进行拟合。

常用的参数拟合模型有Nelson-Siegel模型和Svensson模型。

这些模型通过拟合一组参数，可以较好地拟合收益率曲线。

三、收益率曲线的预测方法收益率曲线的预测对于投资者和债券市场参与者来说具有重要意义。

预测收益率曲线可以帮助投资者制定投资策略和决策。

1. 基于历史数据的预测基于历史数据的预测是一种常用的方法，它通过分析过去的收益率数据和市场情况，来预测未来的收益率曲线走势。

这种方法基于假设历史数据可以反映未来的趋势，但需要注意历史数据并不能完全预测未来。

2. 基于经济指标的预测基于经济指标的预测是一种较为常用的方法，它通过分析宏观经济指标、通货膨胀预期和货币政策等因素，来预测未来的收益率曲线走势。

货币政策对国债收益率曲线的影响——基于动态NS模型

货币政策对国债收益率曲线的影响——基于动态NS模型摘要：随着金融市场的创新发展，以M2为代表的数量型指标的可控性、可测性以及与经济增长的相关性越来越弱，国债收益率曲线在货币政策传导过程中起着更加重要的作用，一般认为货币政策首先影响短期利率，再传导至中长期利率，带动整条收益率曲线的变动。

本文首先介绍收益率曲线的相关理论，在此基础上对2002年—2019年的国债数据进行收益率曲线的拟合，通过脉冲响应分析，我国宏观经济指标和货币政策对国债收益率曲线水平因子的影响显著，但数量型货币政策对斜率因子作用不明显。

关键词：国债收益率曲线　货币政策　动态NS模型　VAR模型● 吴承凯一、引言自1981年我国恢复发债以来，国债市场发展迅速，国债的年发行规模从1981年的49亿元增加到2019年的4万亿元，但和我国全球第二大经济体的地位相比，国债市场仍与发达国家有所差距。

在现代市场经济中，中央银行在宏观经济调控方面起着非常重要的作用。

许多发达国家也曾经从数量型货币政策向价格型货币政策转变，以美国联邦储备系统为例，20世纪六七十年代以货币供应量为目标，但随着货币供应量与经济之间的关系不再紧密，到90年代，美联储将实际利率作为中介目标。

在发达的市场经济中，收益率曲线是货币政策重要的传导渠道。

国债收益率曲线发生变动将影响整个市场中所有行为人的决策、金融资产的价格，最终影响经济运行以实现央行的政策目标。

此外，收益率曲线还包含着市场参与者对未来经济的预期，央行可以根据市场的反馈来进行决策。

所以，研究货币政策对国债收益率曲线影响的意义凸显。

二、文献综述（一）收益率曲线相关理论收益率曲线，又名利率期限结构，显示的是债券即期收益率与到期日之间的关系，不同类型的债券有着不同的收益率曲线。

国债由于无违约风险，流动性好，所以国债收益率曲线被普遍认为是基准收益率曲线。

1.传统利率期限结构理论。

第一，预期理论：投资者对于各期限的债券没有特别偏好，可以完全替代，认为长期利率是由当前的短期利率和预期的未来短期利率决定，当市场预期未来短期利率将会上升时，收益率曲线斜率为正。

收益率曲线

红顶收益率曲线制作说明（交易所市场）投资固定收益证券(Fixed Income Securities) 最重要的市场指标之一就是收益率曲线(Yield Curve)。

红顶金融工程研究中心曾先后参与过国外债券交易中心的收益率曲线编制工作，以及提供国内银行间债券市场期限结构编制的技术并通过论证，因此本文根据这些研究成果与编制经验，为各位读者介绍收益率曲线的概念、使用方法、以及如何制作国内交易所债券市场的收益率曲线。

一、基础介绍何谓收益率曲线(Yield Curve)收益率曲线是指零息债券的收益率与其到期日之关系－横轴为各到期期限(Time to Maturity)，纵轴为相对应之到期收益率(Yield to Maturity)，用以描述两者之关系。

为何需要估计收益率曲线？从固定收益证券的投资与操作来看，掌握市场的收益率曲线是进行投资的首要工作，因为收益率曲线具有下列义涵：代表性收益率曲线代表一个市场的利率结构，能够真实反应出一个市场短中长期利率的关系，对投资者操作长天期或短天期债券十分重要。

操作性收益率曲线是根据市场上具有代表性的交易品种所绘制出来的利率曲线，这些具代表性的品种称为指标债券，由于指标债券必须具备流动性大、交投热络的条件，因此具备可操作性。

投资者可以根据收益率曲线上的利率进行操作解释性收利率曲线对固定收益证券的价格具有极强的解释性，了解曲线的结构有助于了解债券价格。

如果某一支债券价格偏离了根据收益率曲线推算出来的理论价格，通常会有两种情况：一是该支债券流动性不足，因此偏离的价格无法透过市场机制加以修正，二是该支债券流动性足够，这种偏差将只是短暂现象，很快就会被拉回合理价位。

分析性在进行债券的资产管理与风险分析时，收益率曲线是必要参考的数据：在许多财务金融的应用上，如未来开放利率衍生性商品后，对于这相商品的订价，以及利率相关商品风险管理制度等，收益率曲线均是不可缺少之基本数据。

二、名词解释“收益率曲线” 以及“期限结构” 两个名词常被国内投资人混淆，虽然两者的概念很类似，但是定义截然不同，在债券市场上的应用也完全不一样，因此投资人有必要把这两个名词的观念搞懂。

曲线拟合方法

曲线拟合方法曲线拟合方法是一种利用有限的数据点来拟合出一条最合适的曲线的数学技术。

它可以用来描述某一给定的实际场景或其他类型的复杂数据，从而获得较准确的曲线。

曲线拟合方法可以用于类似统计学、模式识别、算法实现等诸多领域。

一般来说，曲线拟合方法基于两个基本概念，即模型选择和参数估计。

模型选择是指选择能够最好描述给定数据的模型，而参数估计是指寻找出能使模型最好描述数据的参数。

这一类方法涉及的具体内容可以归纳为多元函数拟合，初等函数拟合，最小二乘法，最小均方法，最小二乘曲线拟合，加权最小二乘法，最大期望法，梯度下降法和计算流模型等，它们可以用数学公式和求解方法描述。

多元函数拟合是曲线拟合的常见方法，它是指利用多个变量来拟合出某一曲线。

即将函数拟合为具体的表达式形式，从而获得一个具体的拟合曲线。

这类方法通常采用最小二乘法来求解参数，从而获得拟合曲线。

初等函数拟合是曲线拟合中一种简单的方法，它是指使用初等函数（指一次函数、二次函数、三次函数等）来拟合给定的数据点，这些函数可以通过一定的规律参数来拟合数据点。

初等函数早在18世纪就发明了，它的正确率和准确率一直受到广泛赞扬。

最小二乘法是曲线拟合方法中最常用的算法之一，它是指在曲线拟合过程中基于最小二乘原理，对参数估计值进行优化。

注意，在使用最小二乘法时，最重要的是要保证拟合曲线的误差能够被最小化，从而能够得到尽可能最准确的结果。

最小均方法是曲线拟合方法中有效的数据模型估计方法，它是指用最小均方值来评估给定的参数，从而获得拟合曲线。

最小均方法与最小二乘法的基本思想相同，但其实现方法有所不同，例如它利用线性代数知识，从而可以计算出拟合曲线。

最小二乘曲线拟合是一种更加复杂的拟合方法，它是指用最小二乘法来拟合非线性的数据。

该方法利用最小二乘法求解参数，从而获得拟合曲线，因此曲线的拟合精度会更高。

加权最小二乘法是曲线拟合方法中有效的算法，它是指在曲线拟合过程中，对数值加权，以满足某些特定要求，并利用最小二乘法来估计参数值，从而得到更准确的拟合曲线。

中债收益率曲线和中债估值编制方法及使用说明

案例分析方法
数据分析
对收集到的数据进行清洗和整理，运用统计分析方法，如描述性统计、相关性分析、回归分析等，对数据进行分析。
模型构建
根据分析结果，构建中债收益率曲线和中债估值模型，确定模型参数和变量。
案例结论
结果呈现
将分析结果以图表、表格等形式呈现，清晰展示中债收益率曲线和中债估值的编制方法和使用说明。
进行债券投资决策具有指导意义。
监测市场风险
03
中债收益率曲线可以用于监测市场利率风险，评估投资组合的
利率敏感性。
中债收益率曲线的编制方法
数据采集
中债登通过采集市场上的债券交易数据，获取不同期限、不同品种的债券收益率
数据。
曲线拟合
中债登采用适当的统计方法对处理后的数据进行拟合，形成中债收益率曲
线。
中债收益率曲线和中债估值编制方法将继续发挥其在市场分析和预测方面的优势，为投资者提供更加全面和准确的信息支持。
谢谢
THANKS
中债收益率曲线和中债估值编制方法及使用说明
目录
CONTENTS
• 中债收益率曲线概述 • 中债估值编制方法 • 中债收益率曲线和中债估值的使用说明 • 案例分析 • 总结与展望
01 中债收益率曲线概述
CHAPTER
中债收益率曲线的定义
中债收益率曲线是由中债登根据其债券收益率数据编制而成的，反映不同期限债券的到期收益率水平的曲线。
估值方法
中债估值采用多种估值方法，包括现值定价法、市场比较法、收益法等，以确定债券的内在价值。
债券种类
中债估值涵盖了多种类型的债券，包括政府债券、金融债券、企业债券等，以满足投资者对不同债券的估值需求。

收益率曲线制作

正在为忙于撰写一本有关解读中国经济景气的书，在网上搜寻中国经济资料时，看到一些有关收益率曲线的制作。

由于我以前亦有撰写另一本关于金融工程的书，所以牵起我用EXCEL 的VBA去编写此一挑战。

但是为什庅我们要去每作收益率曲线？其用意又是什庅呢？如果要知道为什庅收益率曲线那庅重要，我们便要先知道什庅是债券。

债券是债务人（债券发行人）发给债权人（债券持有人）的有价凭证。

由于债券持有人不一定得持有至到期日，期间亦可进行交易，交易时的债券价格与市场利率、投资人买入后可得的实际报酬（又称为收益率）。

当市场利率低于债券票面利率时，有多余资金的人更乐于把资；金用来买债券，以利获取更高的利息，因而使得债券价格上涨：反之，当市场利率高于债券票面利率时，债券价格便会下跌。

再者，虽然债券的票面利率是债券发行人定期要支付给债券持有人的利率，决定了持有人将可得到的利息金额，但由于绝大多数投资人都是在不同的时间点，以不同的债券价格买入债券，而买入债券的时间点关系着到期日时可取得利息多寡，买进的债券价格高低，也会影响到期时可取回的本金盈亏，因此，投资人买入债券后至到期日可得的实际报酬率，并不等于票面利率，可获取的实质投资报酬率便称为收益率，收益率则是指持有人买入债券至到期日为止，平均每年可预期的实质投资报酬率。

收益率与债券价格的关系可以简单如下表示：收益率=票面利率 x 面額债券价格收益率和债券价格为反向关系。

买入的债券价格高，收益率便会降低；相对地，买入债券价格低，收益率便高。

例如，当投资人买入的债券价格高于票面价格时，到期时取回持有期间的票面固定利息，在扣除高于票面价格的买入成本后，实际所得的利息收入将小于票面固定利息，其实质报酬率，即收益率便会低于票面利率，因此，在掌握了收益率与债券价格的反向关系下，透过观察债券市场中，各天期公债收益率与到期期间的连续变化所呈现的曲线图，便可看出长短期借贷资金市场的供需情形，以及市场对未来景气的普遍预期。

收益率曲线拟合度

收益率曲线拟合度摘要：一、什么是收益率曲线拟合度二、收益率曲线拟合度的意义三、如何提高收益率曲线拟合度四、收益率曲线拟合度在投资中的应用正文：收益率曲线拟合度是金融领域中一个重要的概念，主要用于衡量投资组合的收益与风险之间的关系。

在金融市场中，投资者追求的是在承担一定风险的前提下获得较高的收益。

因此，收益率曲线拟合度有助于投资者了解投资组合的风险与收益是否匹配，从而做出更为明智的投资决策。

一、什么是收益率曲线拟合度收益率曲线拟合度是指在一定时间内，投资组合的实际收益率与预期收益率之间的拟合程度。

通常情况下，拟合度越高，投资组合的风险与收益关系越为稳定，投资者所承担的风险能得到更好的回报。

收益率曲线拟合度可以通过计算实际收益率与预期收益率之间的差异来衡量。

二、收益率曲线拟合度的意义1.评估投资策略：收益率曲线拟合度有助于投资者评估投资策略的有效性。

在投资过程中，投资者通常会根据自己的风险承受能力制定投资策略，而收益率曲线拟合度则能反映出投资策略在实际操作中所带来的收益与风险是否符合预期。

2.优化投资组合：投资者可以根据收益率曲线拟合度对投资组合进行调整，以达到提高收益或降低风险的目的。

当收益率曲线拟合度较低时，投资者可以考虑调整投资组合的资产配置，如增加低风险资产或减少高风险资产。

3.预测市场走势：收益率曲线拟合度还可以作为预测市场走势的指标。

在金融市场中，收益率曲线的形状和位置可以反映出市场对未来经济的预期。

当收益率曲线上升时，市场预期未来经济状况较好；反之，则表示市场预期未来经济状况不佳。

三、如何提高收益率曲线拟合度1.分散投资：投资者可以通过分散投资来降低投资组合的风险。

分散投资意味着将资金投资于多种类型的资产，如股票、债券、现金等，以降低单一资产的风险。

2.资产配置：根据自身的风险承受能力和投资目标，投资者应合理配置资产。

在配置资产时，要充分考虑各类资产的收益率、风险以及它们之间的相关性。

曲线拟合算法在数据分析中的应用

曲线拟合算法在数据分析中的应用一、引言在当今大数据时代，数据处理和分析成为了各个领域的必需。

而曲线拟合算法作为一种数据分析的重要方法，在研究数据间关系、预测未来走势等方面有着重要的应用。

本文将介绍曲线拟合算法的分类和原理，以及其在数据分析中的应用。

二、曲线拟合算法分类及原理曲线拟合算法可以按照所使用的模型分为线性和非线性两种。

其中，线性模型中最常用的是最小二乘法拟合，而非线性模型中则包含了最小二乘法拟合、插值法、样条法、小波分析等方法。

1. 最小二乘法拟合最小二乘法拟合是一种基于误差平方和最小的线性拟合方法，其基本思想是通过已知数据点使得误差平方和最小，从而得到最佳拟合曲线。

以二次函数 y = ax2+ bx + c 为例，若已知n个点(xi,yi)，则二次函数的拟合可以表示为以下的最小二乘法方程：$\begin{bmatrix} \sum x_ i^4 & \sum x_ i^3 & \sum x_ i^2\\\ \sum x_ i^3 & \sum x_ i^2 & \sum x_ i\\\ \sum x_ i^2 & \sum x_ i & n\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} a\\b\\c \end{bmatrix}$ =$\begin{bmatrix} \sum x_ i^2y_ i\\\ \sum x_ i y_ i\\\ \sum y_ i\end{bmatrix}$通过求解该方程组，便可得到最佳拟合曲线的参数。

2. 插值法插值法适用于已知若干个离散点，需要根据这些点建立起连续的函数值的情况。

假设已知n个点（xi,yi），其中i=1,2,……,n，插值函数f(x)可表示为：f(x) = $\sum\limits_{i=1}^n y_iL_i(x)$其中Li表示拉格朗日插值基函数，其公式为：Li(x) = $\frac{(x-x_1)…(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})…(x-x_n)}{(x_i-x_1)…(x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})…(x_i-x_n)}(1\leq i \leq n)$插值法的优点在于可以保证插值函数在已知数据点上经过所有点，而其缺点则在于可能会在函数区间边界处出现极端效应或振荡现象。

曲线拟合法

曲线拟合法
曲线拟合法是一种用于求解函数的统计学方法。

它可以利用已经收集到的数据，通过最小二乘法（Least Square Method）来求解该数据集所对应的函数，从而实现对数据和函数之间的拟合。

曲线拟合法主要用来估计定量数据的表达式，从而研究特定定性数据，如温度、压力等的变化规律。

该方法可以让我们更好地理解数据的特征，从而做出更好的决策。

曲线拟合法是一种基于样本数据的有效工具，它可以帮助我们更加准确地估计函数的形式。

它不仅能够对历史数据进行准确预测，而且可以用来探索定量数据变化的相关规律，从而更好地控制和平衡变量之间的关系。

曲线拟合法需要将被研究的函数表示为一个曲线，并使用最小二乘法来拟合该曲线。

在这个过程中，需要先把函数分解为一系列的函数部分，然后利用系数来表示它们之间的关系，最后再将这些系数拟合到原始函数上。

此外，曲线拟合法还可以用来估计和推断未知的数据。

它可以使用已知的数据来拟合函数，然后利用拟合函数来预测未知点的值。

这样，便可以获得更加准确的数据估计。

因此，曲线拟合法是一种有效的统计学方法，它可以帮助我们准确预测数据，并且能够发现和探索定量数据变化的规律。

(完整版)收益率曲线计算方法分析

收益率曲线计算方法浅析目前债券绝大部分是银行间品种，只能在银行间交易，只有少量可以跨市场交易，考虑到我国债券市场的情况，直接以市价估值显然不合适，一个原因是，某些债券很少有交易，甚至一段时间都没有一笔发生，另外一个原因是，即使有交易，价格的真实性和代表性也不能保证，而报价也是如此，这样采用收益率曲线进行估值是比较合适的。

收益率曲线的生成主要包括以下几种方法：1）存续期限法（Duration）该方法由Macaulay提出，依照麦氏存续期限的定义，存续期限相同的债券，不论息票利率如何、不论是附息债还是零息债券，皆视为具有相同有效期限的债券，在其他因素如流动性等相同的情况下，市场对具有相同存续期限的附息债和零息债所要求的到期收益率必须是相等的，因此可以通过各债券的到期收益率和久期绘制出来，图形上相当于将到期收益率曲线向左移动（并非平移），如下图所示：存续期限债券剩余期限这种方法比较简单，但其对即期收益率的估计比较粗糙，计算久期的本身就蕴含了收益率曲线为水平形状的假设2）一般计量方法计量方法假定即期利率和时间因子存在着某种特定的函数关系，再以相应的计量方法对函数中的系数进行估计，从而得到一个适用于所有到期期限的即期利率曲线。

在即期利率方式下，债券价格有如下的表达式：∑=--+++=N i t N t iN i t y M t y C PV 1))(1())(1(其中，PV 为债券的现价（全价），C 为票息，M 为本金，N 为剩余附息次数，t i 为各期附息或还本的剩余时间，y(t i )为相应的即期利率。

令it i i t y t D -+=))(1()(为折现函数，则 )()(1N Ni i t D M t D C PV ⨯+⨯=∑=我们可以假定函数D(t)可以近似表示为t 的多项式函数（任意一个连续可微函数可以用多项式逼近），这样，债券现值也就成为一个多元多项式函数，将市场上的各附息债券的现价、到期日期、票息等代入，就可以形成一组方程，其中包括待解的多项式的系数，利用上述的计量方法算出这些系数，就可以得到各期的即期收益率。

收益率曲线拟合技术

收益率曲线参数模型步骤（2)：确定误差权重
显然，到期期限长的债券估价较难，因此，权重
虑期限因素
2 j
应考
Vasicek和Fong的方法
2 j
1/
dPt j drj (t
)
2
(1 rj (t))2
D
2 j
(t
)(
Pt
j
)
2
即
j
1 rj (t) Dj (t)Pt j
其中久，期rj (t) 和 Dj (t)分别表示债券j在时间t的到期收益率和
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.8.221.8.222:15:1222:15:12August 2, 2021
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14、市场营销观念：目标市场，顾客需求，协调市场营销，通过满足消费者需求来创造利润。2021年8月2日星期一下午10时15分12秒22:15:1221.8.2
收益率曲线拟合技术
收益率曲线参数模型的一般方法
一、符号定义：远期利率与即期利率关系
f (t, ,T ) (T t) s(t,T ) ( t) s(t, ) T
f (t,T ) lim f (t, ,T ) s(t,T ) (T t) s(t,T )
T
t
T
f (t,T )dx
上式中，u的经济含义为起息日为未来无限远时的瞬间远期利率
亦即 u lim f (0,t,T ) t T T
指数样条函数（二）
应用指数样条函数的最优决策过程（广义最小二乘无解析解，必须通过迭代优化）
1、将参数向量 bˆ *固定在一个合理的初值上

第六章：收益率曲线的拟合技术

第六章收益率曲线的拟合技术关于利率期限结构的研究，在整个债券投资分析的理论和方法中居于最核心的地位。

准确地获得当前市场的利率期限结构信息，对估计当前利率形势，定价未来现金流，以及债券衍生物的定价和研究都有重要的作用。

可以这样说：如果没有期限结构信息，债券分析师就无从对债券市场和个别品种进行有效研究。

构成利率期限结构的基础是即期利率曲线。

通常，即期利率曲线的完整形态和数据是可以准确地通过市场数据中导出的。

这个过程有时候被称为“收益率曲线的提取”（Yield Curve Extraction ）。

由于这个“提取”过程的关键在于能够有效地建立收益率曲线的参数模型，而其具体应用中有时也会借助于一些工程应用中的曲线拟合方法，因此本章的核心内容即是主要关于收益率曲线参数模型和具体的一些应用拟合方法的探讨。

在国外成熟的债券市场上，关于“收益率曲线的提取”的理论和技术已经相当完善，其市场的程度成熟和理性程度较高，这降低了不同的参数模型和拟合方法对最终拟合结果的影响。

因此，在国外的一些关于固定收益证券理论的书籍和文献上，对收益率曲线拟合的问题都泛泛带过，或者叙述得相当简略。

但对于中国债券市场来讲，无论是市场本身，还是针对市场的研究方法和理论都还很不成熟。

国内研究人员往往直接采用一些分析软件上的收益率曲线数据，而不是自己去尝试建立参数模型进行拟合。

而且，人为地将市场割裂成交易所和银行间两个交易制度和参与主体都不尽相同的市场，也给准确地拟合合理的收益率曲线增加了难度。

因此，本章的内容将着重介绍这些通常被忽视的理论和方法，包括如何从当前的市场上的债券（对于国内市场来说，主要是固定息票的国债）数据，来获得当前市场的即期利率曲线。

本章将着重介绍几种最常被使用的方法：Nelson-Siegel-Svensson 方法、三次多项式样条法和三次指数样条法，以及拟合中的一些理论和应用问题，如目标函数的设定和异方差问题的处理。

最后，在本章的附录中，我们将比较这些方法在中国国债交易所市场的应用效果和优缺点。

NS曲线对我国银行间市场国债现货交易收益率曲线拟合精度的研究

Study on the Curve Fitting Precision of Spot Trading Yield Curve of China＇s Inter - bank Market
作者：何泽林
作者机构：天津工业大学经济学院,天津300387
出版物刊名：中国国际财经：中英文版
页码： 46-50页
年卷期： 2017年第9期
主题词：银行间国债现货收益率曲线 NS模型残差分布
摘要：本文研究银行间国债市场现货交易实际收益率与对应NS曲线拟合收益率之间拟合残
差确定的NS曲线的拟合精度，得到样本内通过NS曲线得到的拟合收益率在正负10BP、
20BP、30BP范围的置信度为75％、90％、95％。

进一步比较了正态分布以及t Location—Scale分布对拟合残差的估计效果，结果显示使用t Location—Scale分布能够更好的描述拟合
残差的分布情况，并确定了样本内拟合残差的分布。

年化收益率拟合函数

年化收益率拟合函数所谓“拟合”，指的是在已有一组实验数据的前提下，研究这组数据有怎样的函数关系——最终结果是从这一组看似漫无规律的数据点中“找出”能用数学表达式表示的规律。

一个典型的数据拟合过程包括以下几个步骤：1、有一组实验/实测数据；2、根据数据，猜测其有怎样的发展规律(例如总趋势是指数增长还是对数下降？)，并写出一个含有待定系数的数学表达式；3、利用函数算出待定系数的数值，即得到拟合的规律根据给定数据集的对应关系可以推出较为相近的拟合函数，对拟合函数y，给出一系列x值：0, 0.25, 0.5, 0.75, ....，输出各自的y值来预测年化收益率。

首先我们可以先分析出年化收益率是一个类似于y=-exp(ax b) c 的指数函数，a<0、c为最大年化收益率是一个常数。

如果有一堆数据集已知x、y和c的值我们就可以预测出a和b的值了。

定义一个参数M，使M=ax b转化为一元回归；定义一个参数N，使exp(M)=c-y=N,根据数据集可以求出c-y的值N。

M=ax b=lnN 根据数据集的值求出a和b，假定常数c为0.15或0.2来进行计算。

实际值与函数的拟合程度：给定的数据集如下：以Term为时间x和Yield为年化收益率y对数据集来进行拟合,当最大年化收益率c为15%时，经计算后得到y=-exp(-0.05903 x - 3.193) 15%；当c为20%时，经计算后得到y=-exp(-0.02488 x - 2.397) 20%导入我们需要的库：import pandas as pdimport matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npimport mathimport sys#实现从程序外部向程序传递参数。

import xlrdimport os读取表中的数据集并进行计算：# InputPath=sys.argv[1]#输入路径# OutputPath=sys.argv[2]#输出路径# filePath = InputPath#处理的文件为在输入路径中读取的文件filePath = os.path.join(os.getcwd(),'input.xlsx')# print(filePath)df = pd.read_excel(filePath)data = xlrd.open_workbook(filePath)Data_sheet = data.sheets()[0]x = Data_sheet.col_values(1)y = Data_sheet.col_values(2)del x[0]del y[0]print(x)print(y)c = 0.15N = [c-i for i in y]N_new = []for i in N:N_new.append(math.log(i,math.e))a_b = np.polyfit(x, N_new, 1)exp = np.poly1d(a_b)print (a_b )#[-0.05903062 -3.19302381]print (exp )#-0.05903 x - 3.193最终输出a和b的值，a=-0.05903 、b=- 3.193，y=-exp(-0.05903 x - 3.193) 15%，每半年计息，预测出了未来10年内的年化收益率：项目中有涉及趋势预测的工作，整理了以下几种拟合方法：线性拟合使用math：import mathdef linefit(x , y):N = float(len(x))sx,sy,sxx,syy,sxy=0,0,0,0,0for i in range(0,int(N)):sx = x[i]sy = y[i]sxx = x[i]*x[i]syy = y[i]*y[i]sxy = x[i]*y[i]a = (sy*sx/N -sxy)/( sx*sx/N -sxx) #点斜式：y-y0=a(x-x0) (x0,y0)是直线通过已知点的坐标b = (sy - a*sx)/N #b = y-axr = abs(sy*sx/N-sxy)/math.sqrt((sxx-sx*sx/N)*(syy-sy*sy/N))#r为次方return a,b,rif __name__ == '__main__':X=[ 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6]Y=[ 2.5 ,3.51 ,4.45 ,5.52 ,6.47 ,7.51]a,b,r=linefit(X,Y)print("X=",X)print("Y=",Y)print("拟合结果: y = .5f x .5f , r=.5f" % (a,b,r) )#.5f占位宽度10，保留5位小数的浮点数线性拟合使用numpy：import numpy as npX=[ 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6]Y=[ 2.5 ,3.51 ,4.45 ,5.52 ,6.47 ,7.51]z1 = np.polyfit(X, Y, 1) #一次多项式拟合，相当于线性拟合p1 = np.poly1d(z1)print (z1 ) #[ 1. 1.49333333]print (p1 ) # 1 x 1.493二次多项式拟合：import numpydef polyfit(x, y, degree):results = {}coeffs = numpy.polyfit(x, y, degree)results['polynomial'] = coeffs.tolist()# r-squaredp = numpy.poly1d(coeffs)# fit values, and meanyhat = p(x) # or [p(z) for z in x]ybar = numpy.sum(y)/len(y) # or sum(y)/len(y)ssreg = numpy.sum((yhat-ybar)**2) # or sum([ (yihat - ybar)**2 for yihat in yhat])sstot = numpy.sum((y - ybar)**2) # or sum([ (yi - ybar)**2 for yi in y])results['determination'] = ssreg / sstot #准确率return resultsx=[ 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6]y=[ 2.5 ,3.51 ,4.45 ,5.52 ,6.47 ,7.2]z1 = polyfit(x, y, 2)#z1为返回的多项式向量，从最高次幂到最低次幂的系数,x为准备拟合的自变量，y为应变量,2为拟合的次数print (z1)对数函数拟合：from scipy import log #as log print pcovimport numpyfrom scipy import logfrom scipy.optimize import curve_fitdef func(x, a, b):y = a * log(x) breturn ydef polyfit(x, y, degree):results = {}#coeffs = numpy.polyfit(x, y, degree)popt, pcov = curve_fit(func, x, y)results['polynomial'] = popt# r-squaredyhat = func(x ,popt[0] ,popt[1] ) # or [p(z) for z in x]ybar = numpy.sum(y)/len(y) # or sum(y)/len(y)ssreg = numpy.sum((yhat-ybar)**2) # or sum([ (yihat - ybar)**2 for yihat in yhat])sstot = numpy.sum((y - ybar)**2) # or sum([ (yi - ybar)**2 for yi in y])results['determination'] = ssreg / sstotreturn resultsx=[ 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6]y=[ 2.5 ,3.51 ,4.45 ,5.52 ,6.47 ,7.51]z1 = polyfit(x, y, 2)print (z1)#{'polynomial': array([2.72873961, 2.00115611]), 'determination': 0.9339494757910027}来源：。