人教版七年级数学下册5.1.2《垂线段最短》讲义(PDF版 )
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人教版七年级数学下册最新习题课件：5.1.2_第2课时_垂线段
答案：4 3 2.4
基础过关
1．中学生体育测试项目——立定跳远，立定跳远成绩的测
定，利用数学原理的是
( B)
A．两点之间线段最短 B．点到定义
2．【2019·江苏常州中考】如图，在线段PA、PB、PC、
PD中，长度最小的是
(B )
A．PA C．PC
B．PB D．PD
解：如题图所示，AE、BF就是村庄A、村庄B修筑水渠的最 短路线图．
7．如图，AC⊥BC，AC＝9，BC＝12，AB＝15. (1)试说出点A到直线BC的距离，点B到直线AC的距离； (2)点C到直线AB的距离是多少？你是怎样求得的？
解：(1)点 A 到直线 BC 的距离是 9，点 B 到直线 AC 的距离是 12. (2)过点 C 作 CD⊥AB，垂足为点 D，则 S△ABC＝12BC·AC＝12AB·CD，即12×12×9 ＝12×15CD，所以 CD＝356.故点 C 到直线 AB 的距离为356.
(1)该汽车行驶到公路AB上的某一位置C′时距离村庄 C最近，行驶到D′位置时，距离村庄D最近，请在公 路AB上作出C′、D′的位置(保留作图痕迹)；
(2)当汽车从A出发向B行驶时，在哪一段路上距离村 庄C越来越远，而离村庄D越来越近？(只叙述结论， 不必说明理由)
解：(1)如图所示． (2)在C′D′段路上距离村庄C越来越远，而离村庄D越来越近．
(1)表示点到直线(或线段)距离的线段共有___2__条，它们分别是 ____A__C_、__B_C____； (2)AC___<___AB(填“＞”“＜”或“＝”)，依据是 ___垂__线__段__最__短___．
6．如图，村庄A、村庄B分别要从河流L引水入 村庄，各需修筑一水渠，请你画出修筑水渠的 最短路线图．
基础过关
1．中学生体育测试项目——立定跳远，立定跳远成绩的测
定，利用数学原理的是
( B)
A．两点之间线段最短 B．点到定义
2．【2019·江苏常州中考】如图，在线段PA、PB、PC、
PD中，长度最小的是
(B )
A．PA C．PC
B．PB D．PD
解：如题图所示，AE、BF就是村庄A、村庄B修筑水渠的最 短路线图．
7．如图，AC⊥BC，AC＝9，BC＝12，AB＝15. (1)试说出点A到直线BC的距离，点B到直线AC的距离； (2)点C到直线AB的距离是多少？你是怎样求得的？
解：(1)点 A 到直线 BC 的距离是 9，点 B 到直线 AC 的距离是 12. (2)过点 C 作 CD⊥AB，垂足为点 D，则 S△ABC＝12BC·AC＝12AB·CD，即12×12×9 ＝12×15CD，所以 CD＝356.故点 C 到直线 AB 的距离为356.
(1)该汽车行驶到公路AB上的某一位置C′时距离村庄 C最近，行驶到D′位置时，距离村庄D最近，请在公 路AB上作出C′、D′的位置(保留作图痕迹)；
(2)当汽车从A出发向B行驶时，在哪一段路上距离村 庄C越来越远，而离村庄D越来越近？(只叙述结论， 不必说明理由)
解：(1)如图所示． (2)在C′D′段路上距离村庄C越来越远，而离村庄D越来越近．
(1)表示点到直线(或线段)距离的线段共有___2__条，它们分别是 ____A__C_、__B_C____； (2)AC___<___AB(填“＞”“＜”或“＝”)，依据是 ___垂__线__段__最__短___．
6．如图，村庄A、村庄B分别要从河流L引水入 村庄，各需修筑一水渠，请你画出修筑水渠的 最短路线图．
人教版数学七下 5.1.2 垂线 课件
取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b． 问题4 尝试转动木条，是否存在一种情况使a与b所形成的四个角都相等。
∵周角为360°
∴若形成四个相等的角，则这个角为90°
当a与b互相垂直时，所成的四个角都为90° 问题5 当a与b所成夹角α为90°时，其余的角分别为多少？ 按照顺时针方式，其余角分别为：90°、 90 °、 90 °
基础测试
1．点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上的三点，PA=3 cm，PB=4 cm， PC=5 cm，那么点P到直线l的距离是（） A．3 cm B．小于3 cm C．不大于3 cm D．大于3 cm，且小于8 cm
【答案】C 【解析】 因为垂线段最短，所以点P到直线l的距离为不大于3cm，故选C.
在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？ 将实际问题转化为数学问题（如下图），
即求直线外一点p与直线的最短距离。 思考：最短距离是哪条线段，为什么？
比例1:100 000，求渠道最短距离？ 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
2.如图，在线段PA，PB，PC，PD中，长度最小的是( B ) A．线段PA B．线段PB C．线段PC D．线段PD
3.如图所示，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，AB＝6 cm，AD＝5 cm，则点B 到AC的距离为____5__c_m____，点A到BC的距离为___6__c_m____．
再见
按照顺时针方式，其余角分别为：146°、34°、146° 问题2 当a与b所成锐角α为60°时，其余的角分别为多少？
按照顺时针方式，其余角分别为：120°、60°、120°
人教版七年级数学下册5.1.2垂线
(2)垂直公理是什么? 答案：在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂 直.
(3)垂线段公理是什么? 答案：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最 短,简单说成:垂线段最短.
(4)点到直线的距离的定义是什么? 答案：直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线 的距离.
(5)垂线段和点到直线的距离的区别与联系.
D C
35°
解：∵又O∵A∠⊥BOOBE,∴＝∠2∠AAOOBE＝,∠∴AO∠E＋AO∠E＝BO9E0＝°9×0°1 . 30
∴∠AOF＝180°－∠AOE＝150°.
3
又∵OD平分∠AOF,
∴∠AOD＝ 1∠AOF＝75°, 2
∴∠EOD=∠AOD＋∠AOE=30°＋75°=105°.
本课时学习了垂线和点到直线的距离的概念, 以及垂直公理、垂线段公理.
90° 垂足
垂线 且只有
垂线段最短
垂线段最短 长度
[生活中的垂线]
[生活中的垂线]
[生活中的垂线]
[生活中的垂线]
[生活中的垂线]
[生活中的垂线]
在相交线模型中,固定木条a,转动木条b,当b的位 置变化,a、b所成的角也会发生变化.当∠α=90°,此 时,a与b的位置关系如何呢?
(1)垂线的定义是什么?举例说明怎样记两直线垂直. 答案：两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另 一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.例如: 右图中,两条直线互相垂直,可记作:AB⊥CD,垂 足为O.
例3：如图所示,已知直线AB、CD、 EF相交于点O,且CD⊥AB,∠AOE:∠AOD=2:5. 求∠BOF、∠DOF的度数.
解析：根据∠AOE:∠AOD=2:5,∠AOD=90°,先求出∠AOE的 度数,由此求出∠BOF、∠DOF的度数. 解：∵CD⊥AB, ∴∠AOD=∠BOD=90°,
人教版数学七年级下册课件：5.1.2垂线
与直线l的关系是
,点P到直线l的距离
是
的长度，
P
A1 A2 A3 A4 A5 A7 A8 A9
2、完成6页练习上面内容中的问题
自学检测：
1.如图, AC⊥BC, ∠ACB=900 ,线段AC、BC、 CD中最短的是( )
(A) AC
(B) BC
(C) CD
(D) 不能确定
C
A
D
B
自学检测：
已知： 如图AD＜AE ＜AC＜AB 能说AD的长是A到BC的 距离吗？ A
人教版 七年级数学 下册
5.1.2垂线
• 垂直定义是什么 • 垂线的性质1
学习目标：
1、理解垂线段的定义及垂线段的性质。
2、理解点到直线的距离定义, 并会度量点 到直线的距离。
自学指导：
1、认真阅读教材5页练习下面
（1）、掌握垂线段性质？
（2）、掌握点到直线的距离定义。
在下图中：与点P相关的线段中 是最短的，
4.用一用 在跳远时，怎样才不会吃亏？如图所示， 小张、小林、 小明在跳远时都在A点起跳，小张斜着跳到点B ，小林 沿直线跳到点C，小明斜着跳到点D，且AB=AC=AD ，你能 判断谁跳得远？为什么？
l B
A
C
D
板书设计： 5.1.2 垂线（二）
学习目标 垂线的性质2 练习
再见
C E
∵ DE⊥BC于E(已知） A
∴ DE＜CD（垂线段最短）
D
B
∴ AB＞AC＞CD＞DE
思考
有人不慎掉入有鳄鱼的湖中。如图，他 在P点，应选择什么样的路线尽快游到岸边
m呢？
当堂检测：
1、如图所示，在△ABC中，∠ABC=90 ，
人教版数学七年级下册5.1.2垂线 课件
感悟新知
例 1 如图5.1-11，直线AB，CD 相交于点O，OE ⊥ AB 于 点O，且∠ COE=40°，求∠ BOD 的度数. 解题秘方：利用垂直的定 义及对顶角的性质，将要 求的角向已知角转化.
感悟新知
解：因为OE ⊥ AB， 所以∠ AOE=90°. 又因为∠ AOE= ∠ AOC+ ∠ COE，∠ COE=40°， 所以∠ AOC=90°－40°=50°. 所以∠ BOD= ∠ AOC=50°
所以AC·BC=AB·CD，进而可得CD=2.4 cm.
感悟新知
(2)点P 为直线m 外一点，点A，B，C 为直线m 上的三点，
PA=4 cm，PB=5 cm，PC=2 cm，则点P 到直线m 的距
离( D )
A. 等于4 cm
B. 等于2 cm
C. 小于2 cm
D. 不大于2 cm
感悟新知
解题秘方：根据点到直线的距离的定义，找出垂线段. 解：点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的 长度，而垂线段是该点与直线上各点的连线中最短 的. 从条件看，PC是三条线段中最短的，但不一定 是所有连线中最短的，所以点P 到直线m 的距离应 该是不大于2 cm.
感悟新知
1-1. [中考·河南] 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥ CD，垂足为O，若∠ 1=54°，则∠ 2 的度数为( B ) A. 26° B. 36° C. 44° D.54°
感悟新知
例2 将一张长方形纸片按如图5.1-12 所示方式折叠，EF， EG 为折痕，判断EF 与EG 的位置关系. 解题秘方：利用折叠的性 质求出两线的夹角，根据 夹角是90°判断两条直线 的位置关系.
1. 垂线段：
特别解读 垂线、垂直与垂线段之间的区别与联系： 1. 区别：垂线是一条与已知直线垂直的直线；垂
人教版七年级下数学《5.1.2垂线》课件
练习：1 、画图
如图，直线l1上有一点A，
直线l2上有一点B， (1) 过点A画AC⊥l1
D C
(2) 过点B画BD⊥l2 (4) 画两点A、B的距离
E
(3) 过点A作点A到l2的垂线段AE
3、马路两旁两名同学A、B， 若A同学到马路对边怎样走最 近？若A同学到B同学处怎样 走最近？
解：过点A作AC⊥BC，垂足 为C，A同学延着AC走到路 对面最近，根据垂线段最短. 连接AB, A同学延着AB走到B 同学处最近，根据两点之间 线段最短.
P
此问题就是“直线外一点与已知直线上 各点所连的线段中,有没有最短的线段?”
垂线段的概念： 由直线外一点向直线引 垂线，这点与垂足间的 线段叫做垂线段。
结论:
P l
A
连接直线外一点与直线 要找垂线段， 上各点的所有线段中， 先把点来看。 垂线段最短. 过点画垂线，
简单说成:
垂线段最短.
点足垂线段。
点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长 度，叫做点到直线的距离。 P
例：如图，是一个同学跳远 的位置跳远成绩怎么表示?
解:过P点作PA⊥l于
点A ，垂线段PA的长 度就是该同学的跳远成 绩.
l A P
l A
例1 如图三角形ABC， 根据要求画图：① 过 点A作BC的垂线，垂足 为D② 过点C作AB的垂 线CE，垂足为E③ 过点 B画出点B到AC的垂线段
C
F
A B D E
解：如图
例2 如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于点 D，比较线段CD、BC、AB的大小. 解：∵∠ACB=90°（已知）
∴BC⊥AC（垂直的定义） ∴AB＞BC（垂线段最短）
∵CD⊥AB（已知）
【最新】人教版七年级数学下册第五章《《5.1.2垂线(2)》公开课课件.ppt
①过点B作三角形ABC的AC边上的高BD，过D点作三角 形ABD的AB边上的高DE。
②点A到直线BC的距离是线段
AB .的长度.
点B到直线AC的距离是线段
BD .的长度.
点D到直线AB的距离是线段
DE
. 的长度
线段AD的长度是点 A .到直线 BD
.的距离.
B
E
A D
C
G D
M· ·
A
问题1：长方体的顶点A处有 一只蚂蚁想爬到点C处，请你帮 它画出爬行的最佳路线。并说明 理由。
． 1、如图，点A处是一座小屋，A
BC是一条公路，一人在O处。
（1）此人到小屋去，怎样走最近？ 为什么？
．
（2）此人要到公路去，怎样走最 近？为什么？
2、下列说法正确的是（ ）
O A D
（A）线段AB叫做点B到直线AC的距离。
C
（B）线段AB的长度叫做点A到直线AC的距离 B
（C）线段BD的长度叫做点D到直线BC的距离
（D）线段BD的长度叫做点B到直线AC的距离
3、如图所示，有两条高速公路l，m， 点P为公路l上的一个出口，现要经过 点P建一连接两高速公路的一段通道， l 欲使炉衬最短，应怎样施工？
Ｐ．m4、如图，P为 NhomakorabeaBC的平分 线上一点
B
（1）、分别画出点P到边BA、BC的垂线段；
（2）、分别量出点P到边BA、BC的距离。
•
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2020/12/162020/12/162020/12/162020/12/16
谢谢观看
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
人教版七年级数学下册5.1.2 垂线课件(17张ppt))
如图，连接直线l外一点P与直线l上各点B， A1，A2，A3，…，其中PB⊥l（我们称PB 为点P到直线l的垂线段）．比较线段PB， P哪A一1，条P最A2短，？PA3，…的长短，这些线段中，������������叫做点������到直线������的垂线段
性质2 连接直线外一点与直线上各点 的所有线段中，垂线段最短．
点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线 的距离．
典型例题
【例题1】如图，直线������������与������������相交于点������，������������ ⊥ ������������于点������， ∠������������������ ∶ ∠������������������ = ������ ∶ ������，则∠������������������度数为___1_1_2_._5_°___．
注意：如过一点画射线或线段的 垂线，是指画它们所在直线的垂线， 垂足有时在延长线上．
P
90°
新知讲解
3． 垂线的性质
垂线的性质有哪些呢，我们一起来探究下．
经过一点（已知直线上或直线外）， 能画出已知直线的一条垂线，并且 只能画出一条垂线；
性质1 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
新知讲解
探究：
4．点到直线的距离：
线段������������的长最短 线段������������的长叫点������到直线������的距离．
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
5．总结
新知讲解
垂线的性质： ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
性质2 连接直线外一点与直线上各点 的所有线段中，垂线段最短．
点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线 的距离．
典型例题
【例题1】如图，直线������������与������������相交于点������，������������ ⊥ ������������于点������， ∠������������������ ∶ ∠������������������ = ������ ∶ ������，则∠������������������度数为___1_1_2_._5_°___．
注意：如过一点画射线或线段的 垂线，是指画它们所在直线的垂线， 垂足有时在延长线上．
P
90°
新知讲解
3． 垂线的性质
垂线的性质有哪些呢，我们一起来探究下．
经过一点（已知直线上或直线外）， 能画出已知直线的一条垂线，并且 只能画出一条垂线；
性质1 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
新知讲解
探究：
4．点到直线的距离：
线段������������的长最短 线段������������的长叫点������到直线������的距离．
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
5．总结
新知讲解
垂线的性质： ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
人教版初一数学下册5.1.2垂线课件
第五章相交线与平行线5.1.2 垂线(2)上一节课学习的内容垂直的走义，纂直的表示，垂直的书写形式；二、垂线的回出昙.过*点有且具有一条直筑导巴知直筑萋直.5.1.2垂线复习（i）两点之间，线段最短新问题：⑵课本第5页图5.1・8,提出问题:要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？垂线段及性质K从直线外一点引一条直线的—垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段。
①如图，连接直钱L外一点P与直线1±各点6 A1» A2»A3― 其中P0丄L （我们称上％点P到直线L的垂线段八②比较线段PO, PA1, PA2, PA3,…的长短，P0最短。
③结论：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
A4 A3 42 A】O B] B22、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
A4 A3 飭A] O B] B2三、练习练一练1＞如图所示，下列说法不正确的是（C ） 点B 到AC 的垂线段是线段BC 点A 到BC 的垂线段是线段AC 线段CD 是点D 到线段AB 的距离 线段BD 是点B 到线段CD 的距离C A、B、C四、垂线、垂线段与点到直线的距离的区别垂线、垂线段与点到直线的距离，是三个不同的概念，不能混淆。
垂线是_条^^线；垂线段是一条线段,是图形；点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离。
五、练习练一练1、直线AB外一点P到直线AB的距离指的是( 月A、从P点到AB的垂线段B、从P点到AB的垂线段的长度C、从P点到AB的垂线D、从P点到AB的垂线长2、如右图，AC丄BC,C为垂足，CD丄AB,D为垂足，BC=8，CD=4・8，BD=6・4，AD=3・6,AC= 6,那么⑴点C到AB的距离是一 4.8 , C(2)点A到BC的距离是—6 , 川⑶点B到CD的距离6.4, 「六、归纳小结岬审从直线外一点引一条直线的佳_线，这点和直线之1、垂线段：间的线段叫做垂线段直线外一点到这条直线的注线墓的长度，叫做2、点到直线的距离:点到直线的距离。
人教版七年级数学下册5.1.2垂线(第 2课时)课件 15张PPT
认真阅读课本第5页到第6页 的内容，完成下面练习并体 验知识点的形成过程。
三、研学教材
知识点一 垂线段及其性质 1、从直线外一点引一条直线的 垂 线， 这点和垂足之间的线段叫做垂线段. (1)如图，连接直线L外一点P与直线L上各 点O，A1，A2，A3，…，其中 PO⊥L（我们 称 P_O 为点P到直线L的垂线段）.
三、研学教材
1、如图所示，下列说法不正确的是（ C ） A、点B到的AC的垂线段是线段BC B、点A到的BC的垂线段是线段AC C、线段CD是点D到线段AB的距离 D、线段BD是点B到线段CD的距离
C
B
DA
三、研学教材
2、点到直线的距离是指这点到这条直线
（ D）
A、垂线段
B、垂线的长
C、长度
D、垂线段的长度
BCD E=90° （1）分别指出点A到直线BC，点B到直线AC 的距离是哪些线段的长； （2）三条边AB、AC、BC中哪条最长？为什 么？ 解：（1）AC、BC （2）AB，AC和BC 是垂线段。
四、归纳小结
1、从直线外一点引一条直线的垂线，这点 和垂足之间的线段叫做___垂__线__段___. 2、直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫做______点__到__直__线__的__距__离_. 3、连接直线外一点与直线上各点的所有线 段中， 垂线段 最短.简单说 成： 垂线段最短 . 4、垂线、垂线段与点到直线的距离的区别.
(1)点C到AB的距离是___4____， (2)点A到BC的距离是____6___， C (3)点B到CD 的距离___6_._4__.
B
DA
三、研学教材
4、已知点O，画和点O的距离是3厘米的直 线可以画（ D ） A、1条 B、2条 C、3条 D、无数条
三、研学教材
知识点一 垂线段及其性质 1、从直线外一点引一条直线的 垂 线， 这点和垂足之间的线段叫做垂线段. (1)如图，连接直线L外一点P与直线L上各 点O，A1，A2，A3，…，其中 PO⊥L（我们 称 P_O 为点P到直线L的垂线段）.
三、研学教材
1、如图所示，下列说法不正确的是（ C ） A、点B到的AC的垂线段是线段BC B、点A到的BC的垂线段是线段AC C、线段CD是点D到线段AB的距离 D、线段BD是点B到线段CD的距离
C
B
DA
三、研学教材
2、点到直线的距离是指这点到这条直线
（ D）
A、垂线段
B、垂线的长
C、长度
D、垂线段的长度
BCD E=90° （1）分别指出点A到直线BC，点B到直线AC 的距离是哪些线段的长； （2）三条边AB、AC、BC中哪条最长？为什 么？ 解：（1）AC、BC （2）AB，AC和BC 是垂线段。
四、归纳小结
1、从直线外一点引一条直线的垂线，这点 和垂足之间的线段叫做___垂__线__段___. 2、直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫做______点__到__直__线__的__距__离_. 3、连接直线外一点与直线上各点的所有线 段中， 垂线段 最短.简单说 成： 垂线段最短 . 4、垂线、垂线段与点到直线的距离的区别.
(1)点C到AB的距离是___4____， (2)点A到BC的距离是____6___， C (3)点B到CD 的距离___6_._4__.
B
DA
三、研学教材
4、已知点O，画和点O的距离是3厘米的直 线可以画（ D ） A、1条 B、2条 C、3条 D、无数条
七年级数学下册教学课件《垂线段》
H G
解:（1）如图，因为“两点之间，线段最短”，所以连接 AD，BC 交于 点 H ，则点 H 为蓄水池的位置，它到四个村庄的距离之和最小. （2）如图，过点 H 作 HG ⊥ EF ，垂足为 G，沿线段 GH 开渠最短，依 据是“垂线段最短”.
随堂训练，课堂总结 知识结构
垂线的定义
垂线的画法 垂 线
垂线、垂线段和点到直线的距离这三个概念的区别与联系
垂线
垂线段
点到直线的距离
P
P
图示
P
O
l
l O
l O
垂线是一条 垂线段是一 垂线段的长度，
区别
直线；
条线段；
是一个数量；
联系
它们都与垂直有关；
对应训练
1.P是直线 l 外一点，PQ⊥l ，垂足为Q，M是直线 l 上一动点，下列结论正确的是（ C ）
当PO ⊥ l 时，线段PO为
P
点P到直线 l 的垂线段。
l A1 A2 A3 A4 O A5 A6
运用直尺测量发现，线段 PO 的长度最短.
归纳总结
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂 线段最短． 简单说成：垂线段最短．
P
线段 PO 的长度叫做点到直
线的距离.
A1 A2 A3 A4 O A5 A6
M
Q
A
P
B
N
解:（1）如图，分别过点M，N作直线AB的垂线，垂足为P，Q，
则点P，Q即为所求.
（2）当汽车从 A 出发向 B 行驶时，在公路 AB 的哪一段上距离 M，N 两 村都越来越近？在哪一段上距离村庄 N 越来越近，而距离村庄 M 越来越 远？在哪一段上距离 M，N 两村都越来越远？
最新人教版初中七年级下册数学【第五章 5.1.2垂线】教学课件
简单说成：垂线段最短．
直线外一点到这条直线的垂线段 的长度，叫做点到直线的距离.
例如：如图，PO⊥l于点O ，垂线 段PO的长度叫做点P到直线l的距离.
例：如图四，直、线例AB、题CD讲相交解于点O，OE垂直于AB，∠1=55゜，
求∠EOD的度数.
解 ：∵OE⊥AB (已知)
∴∠EOB =90° (垂直的定义)
1条
(3)过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能画ห้องสมุดไป่ตู้条?
1条
3.得出结论
可以在直线上，也可以在直线外
在同一平面内，过 有且只有 一条直线与已知直线垂直.
探索二：
请 发观现察：点当A线在段移PA动与过P程O重中合 ， 线时段，PA的最长短度。将如何变 化。
也就是说：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段最短.
（2）∵AB⊥CD(已知) ∴∠AOD =90°(垂直的定义)
问题：这样 A 画l的垂线可 以画几条？
无数条
O
2.垂线的画法
工具：直尺、三角板
如图，已知直线l，作直线l的垂线
1放
l
2靠
3移
4画
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
孝感市文昌中学学生专用
Cm
尺
(2)过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能画几条?
垂直符号
我们说a与b垂直 记作：a⊥b
a
读作：a垂直于b
1.垂直的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一 个角是直角(90°)时，这两条直线互相 垂直，其中一条直线叫做另一条直线的 垂线，它们的交点叫垂足.
直线外一点到这条直线的垂线段 的长度，叫做点到直线的距离.
例如：如图，PO⊥l于点O ，垂线 段PO的长度叫做点P到直线l的距离.
例：如图四，直、线例AB、题CD讲相交解于点O，OE垂直于AB，∠1=55゜，
求∠EOD的度数.
解 ：∵OE⊥AB (已知)
∴∠EOB =90° (垂直的定义)
1条
(3)过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能画ห้องสมุดไป่ตู้条?
1条
3.得出结论
可以在直线上，也可以在直线外
在同一平面内，过 有且只有 一条直线与已知直线垂直.
探索二：
请 发观现察：点当A线在段移PA动与过P程O重中合 ， 线时段，PA的最长短度。将如何变 化。
也就是说：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段最短.
（2）∵AB⊥CD(已知) ∴∠AOD =90°(垂直的定义)
问题：这样 A 画l的垂线可 以画几条？
无数条
O
2.垂线的画法
工具：直尺、三角板
如图，已知直线l，作直线l的垂线
1放
l
2靠
3移
4画
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
孝感市文昌中学学生专用
Cm
尺
(2)过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能画几条?
垂直符号
我们说a与b垂直 记作：a⊥b
a
读作：a垂直于b
1.垂直的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一 个角是直角(90°)时，这两条直线互相 垂直，其中一条直线叫做另一条直线的 垂线，它们的交点叫垂足.
人教版七年级数学下册全册5.1.2垂线PPT课件
画几条?
.B
.A l
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
如图，已知直线 l,作l的垂线.
A
O
1.放 2.靠 3.画
l
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1
孝 感 市 文 昌 中 学 学 生 专 用 尺
例2 如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC， ∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和 ∠NOC的度数．
解：∵∠BOE＝∠NOE， ∴∠BON＝2∠EON＝40°， ∴∠NOC＝180°－∠BON
＝180°－40°＝140°， ∠MOC＝∠BON＝40°. ∵AO⊥BC， ∴∠AOC＝90°， ∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°， ∴∠NOC＝140°，∠AOM＝50°.
作，你能得
1.放
出什么结论
2.靠
A
3.移
4.画
l
B
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1
孝 感 市 文 昌 中 学 学 生 专 用 尺
C m
问题：这样画l的垂线可以画几条？ 一条
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
C A
F
E B
D
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
6.如图，AO⊥FD，OD为∠BOC的平分线，OE 为射线OB的反向延长线，若∠AOB=40°，求 ∠EOF、∠COE的度数．
人教版七年级数学下册《5.1.2_垂线》精品课件
不能，因为垂直是相交的特殊情况
（3）如何判定两条射线垂直？两条线段呢？
两条线段垂直、两条射线垂直、线段与射线 垂直、线段与直线垂直、射线与直线垂直，都是 指它们所在的直线垂直．
（4）你能举出一些生活中与垂直有关的实 例吗？
知识点2 垂线的画法
探究
用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线． （1）用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线， 这样的垂线能画出几条？
无数条
（2）经过一点画已知直线 l 的垂线，这样的 垂线能画出几条？
① 经过一点画已知直线 l 的垂线有几种情况？ 2种 过直线上一点和直线外一点 ② 通过画图，你发现过一个点可以画几条直 线与已知直线垂直？
l P
P l
垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条 直线与已知直线垂直．
即学即练 过点 P 画出射线 AB 或线段 AB 的垂线．
（2）木条 b 与 a 成90°的位置有几个？此时， 木条 b 与 a 所在的直线有什么位置关系？
a 与 b 垂直
知识讲解
知识点1 垂线
（1）垂直概念：两条直线相交所成的四个 角中，有一个角是90°时，叫做这两条直线互相 垂直，记作a⊥b.
两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另 一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
5.1.2 垂线
第1课时
学习目标
1．能说出垂线的意义、会用三角尺或量角器过一 点画已知直线的垂线. 2．记住垂线的性质并会利用所学知识进行简单的 推理.
新课导入
取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木 条 a ，转动木条 b．
（1）在木条 b 的转动过程中，什么量也随 之发生改变？ a与b所成的角也随之发生改变
（2）由已知条件∠BOC = 4∠1，即90°+∠1 = 4∠1，可 得∠1 = 30°，所以∠AOC = 90°- 30° = 60°，所以由对顶角相等可得∠BOD = 60°，所 以∠MOD = 90°+∠BOD = 150°.
（3）如何判定两条射线垂直？两条线段呢？
两条线段垂直、两条射线垂直、线段与射线 垂直、线段与直线垂直、射线与直线垂直，都是 指它们所在的直线垂直．
（4）你能举出一些生活中与垂直有关的实 例吗？
知识点2 垂线的画法
探究
用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线． （1）用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线， 这样的垂线能画出几条？
无数条
（2）经过一点画已知直线 l 的垂线，这样的 垂线能画出几条？
① 经过一点画已知直线 l 的垂线有几种情况？ 2种 过直线上一点和直线外一点 ② 通过画图，你发现过一个点可以画几条直 线与已知直线垂直？
l P
P l
垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条 直线与已知直线垂直．
即学即练 过点 P 画出射线 AB 或线段 AB 的垂线．
（2）木条 b 与 a 成90°的位置有几个？此时， 木条 b 与 a 所在的直线有什么位置关系？
a 与 b 垂直
知识讲解
知识点1 垂线
（1）垂直概念：两条直线相交所成的四个 角中，有一个角是90°时，叫做这两条直线互相 垂直，记作a⊥b.
两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另 一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
5.1.2 垂线
第1课时
学习目标
1．能说出垂线的意义、会用三角尺或量角器过一 点画已知直线的垂线. 2．记住垂线的性质并会利用所学知识进行简单的 推理.
新课导入
取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木 条 a ，转动木条 b．
（1）在木条 b 的转动过程中，什么量也随 之发生改变？ a与b所成的角也随之发生改变
（2）由已知条件∠BOC = 4∠1，即90°+∠1 = 4∠1，可 得∠1 = 30°，所以∠AOC = 90°- 30° = 60°，所以由对顶角相等可得∠BOD = 60°，所 以∠MOD = 90°+∠BOD = 150°.
2024年人教版数学七年级下册第五章-第一节垂线(2)-课件
例5、如图，
1)画出线段BC的中点M，连结AM；
2)比较点B与点C到直线AM的距离。
A 9cm
∴BP=CQ Q
B
0c
P10Mc
9cm
C
20c 30
mm
m
例6、1.如图，点M、N分别在直线AB、CD 上，用三角板画图，
123)))MM过点 点M点和到画NC点DC的的D距的距离垂离线是是交线线C段段D__MM_于___NF_F_的点的长,长。，
O
C2
D C4
特别强调:
垂线段是垂线上的一部分，它是线段， 一端是一个点，另一端是垂足。
P
A
B
D
点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫
做点到直线的距离。
P
例如：如图，PA⊥l于点A ，垂线
段PA的长度叫做点P到直线l的距离.
l
例：如图，是一个同学跳远的位置
A
跳远成绩怎么表示?
l
解:过P点作PA⊥l于点
3、垂线的性质（2）
垂线段最短
祝同学们学习进步
都二
能分
运浇
用灌
好，
“八
二分
八等
定待
律；
”二
，分
我管
们教
一，
起八
，分
静放
待手
花；
开二
。分
成
➢ Pure of heart， life is full of sweet and joy!
绩 ，
八
分
方
法
。
愿
全
天
下
所
有
父
母
我们，还在路上……
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释
义
图示
垂线段线段PO
点P 为直线l 外一点，点O ，1A ，2A ，
3A ，
…，在直线l 上，其中l PO ⊥公理：
垂线段最短
连接直线外一点与直线上各点的所有线段
中，垂线段最短.【简单说成，垂线段最短】点P 与直线l 各点的连线中，线段PO 最短点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度．．，叫
做点到直线的距离.
线段PO 的长度即为点P 到直线l 的距离
：
点到直线的距离是一个正的数值，并非图形，
所以不能说．．．垂线段是距离
名称定义
性质图示
点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度
垂线段最短
两点之间的距离连接两点线段的长度
两点之间，线段最短
i
i
1、如图所示，ABC ∆中，BC AD ⊥于D ，下列说法正确的是（）
A.点B 到AC 的垂线段是线段AB
B.点C 到AB 的垂线段是线段AC
C
A
B
D
2、【2017北京】如图所示，点P 到直线l 的距离是（
）
A．线段PA 的长度B．线段PB 的长度C．线段PC 的长度D．线段PD 的长度
3、如图所示，点D 在AC 上，点E 在AB 上，CE BD ⊥于M .说法正确的是（填
序号）
①BM 的长度是点B 到CE 的距离；②CE 的长度是点C 到AB 的距离；
③BD 的长是点B 到AC 的距离；
④CM 的长是点C 到BD 的距离.C
E
M A B
D
4、点到直线的距离是（）
A 、点到直线上一点的连线
B 、点到直线的垂线
C 、点到直线的垂线段
D 、点到直线的垂线段的长度
5、如图所示，︒=∠90AOB （1）、AB BO （填“>”
，“<”或“=”），判断理由是（2）、若m OA 2=，cm OB 3=，则点A 到OB 的距离是cm ；
点B 到OA 的距离是cm ；
A
B
O
6、如图，△ABC 中，∠C =90°，AC =3，点P 是边BC 上的动点，则AP 长不可能．．．是(
)A ．2.5
B ．3
C ．4
D ．5
P
7、点P 为直线l 外一点，A 、B 、C 为直线l 上三点，cm PA 4=，cm PB 5=，cm PC 2=，则P 到直线l 的
距离（）A．不小于2cm B．小于2cm C．不大于2cm D．不小于5cm 8、如图，点M ，N 分别在直线1l ，2l 上，画出三条线段，使它们的长分别是：（1）、M ，N 两点间的距离；（2）、点M 到直线2l 的距离；（3）、点N 到直线1l 的距离.
∙M
N
∙
1
l 2
l 9、如图，计划把河水引到水池A 中，先引CD AB ⊥，垂足为B ，然后沿AB 开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是_______________________________________.
10、如图，修一条公路将村庄A ，B 与公路MN 连接起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由.
A B
M N
∙
∙
答案：1、D 2、B ；3、①④4、D 5、（1）、>；垂线段最短；（2）、2；3
6、A
7、C
8、
E
F ∙M N
∙
1
l 2
l 答案：
（1）、图中线段MN 为所求（2）、图中线段ME 为所求（3）、图中线段NF 为所求
9、垂线段最短
10、连接AB ，作MN BC ⊥于C ，沿AB ，BC 修公路长度最短.理由：①两点之间，线段最短；②垂线段最短
A B
C
M
N
∙
∙。