高考函数习题及答案
函数与导数例高考题汇编(含答案)
函数与导数高考题1.(安徽理3)设f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≤0时，f(x)=2x'-x,则f()=(A)-3 (B)- 1 (C)1 (D)3【答案】A【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法 .属容易题.【解析】f()= - f( - 1)= - 42( - 1)²- ( - 1)]= - 3 .故选A.2 . (安徽理10)函数f (x )=ax ”g 1- x )“在区 间〔0,1〕上的图像如图所示，则m ,n 的值可 能 是(A)m=1,n=1(B) m=1,n=2(C) m=2,n=1(D) m=3,n=1【答案】B 【命题意图】本题考查导数在研究 函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.【 解 析 】 代 入 验 证 ， 当m = 1 , n = 2 , f ( x ) = a x g ( 1 - x ) ² = n ( x ³ - 2 x ² + x ) ,则f ' ( x ) = a ( 3 x ² - 4 x + 1 ) , 由 ,结合图像可知函数应在递增，在 递减，即在, 知 a 存 在 . 故 选 B .3.(安徽文5)若点(a,b)在y=lgx 图像上，a≠1,则下列点也在此图像上的是(A)(,b) (B)(10a,1 b) (C)(,b+1) (D)(a2,2b)【答案】D 【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关系 .【 解 析 】 由 题 意b = 1 g a , 2 b = 2 1 l g a = 1 g a ² , 即( a ² , 2 b )也 在 函 数 y = l g x 图 像 上 .4 . (安徽文10) 函数f(x )=ax ”g (1 - . x )² 在区间(0,1)上的 图像如图所示，则n 可能是 (A)1 (B) 2取得最大值，由f'(x)=a(3x²-4x+1)=0可知，(C) 3 (D)4【答案】A【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.【解析】代入验证，当7=1时，f(x)=axg(1-x)²=a(x³-2x²+x),则f(x)=a(3r²-4x+1)由f ( x ) = a ( 3 x ² 4 x + 1 ) = 0 可知，,结合图像可知函数应在递增，在递减，即在取得最大值，由, 知a 存在. 故选A .7 . (福建理5) 等于A.1B.e- 1C. CD.e+1【答案】C8 . (福建理9 )对于函数f ( x ) = a s i n x + b x + c (其中，a , b ∈R , c ∈Z ) ,选取a , b , C 的一组值计算f ( )和f ( - 1 )所得出的正确结果一定不可能是A . 4和6B . 3和1C . 2和4D . 1和2【答案】D9 . ( 福建理1 0 ) 已知函数f ( x ) = e⁴+ x , 对于曲线y = f ( x ) 上横坐标成等差数列的三个点A , B , c , 给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形②△ABC可能是直角三角形③△ABC可能是等腰三角形④△ABC不可能是等腰三角形其中，正确的判断是A.①③B.①④C.②③D.②④【答案】B10.(福建文6)若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是A.(- 1,1)B.(-2,2)C.(-o,-2)U(2,+o)D.(-o,- 1)U(1,+c)【答案】C11. (福建文8)已知函数 ,若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于A. 3B. 1C. 1D. 3【答案】A12.(福建文10)若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于A.2B.3C. 6D. 9【答案】D13.(广东理4)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A . f(x)+1g(x)是偶函数B . f(x) - 1g(x)是奇函数c.if(x)\+g(x)是偶函数 D . i f ( x ) - g ( x )是奇函数【答案】A【解析】因为g(x)是R 上的奇函数，所以lg(x)是R 上的偶函数，从而f(x)+1g(x)是偶函数，故选A.14 . (广东文4)函 的定义域是 ( )A.(-~,- 1)B.(1,+~) c.(- 1,1)U(1,+oo) D.(-0,+oo)【答案】C16.(湖北理6)已知定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a¹-a ⁴+2(a>0,且a≠1),若g(2)=a,则f(2)=A.2B.C.D. a² 【答案】B【解析】由条件f(2)+g(2)=a²-a²+2,f(-2)+g(-2)=a²-a²+2, 即-f(2)+g(2)=a²-a²+2, 由此解得g(2)=2,f(2)=a²-a-所 以 a = 2 ,, 所 以 选 B18 . (湖南文7)曲线主点处的切线的斜率为( )A. B. 2 C. D. 【答案】B【解析】19.(湖南文8)已知函数f(x)=e¹-1,g(x)=-x²+4x -3.若有f(a)=g(b),则b 的取值范围为A.[2-√2,2+√2]B.(2-√2.2+√2)c.[1,3] p.(1,3)【答案】B【解析】由题可知f(x)=e ⁴- 1>- 1,g(x)=-x²+4x-3=-(x-2)²+1≤1,若有f(a)=g(b),则g(b) ∈(- 1,1), 即-b²+4b-3>- 1,解得2-√Z<b<2+√2., 所 以,y=020 . (湖南理6)由直线 与曲线y=COSX 所围成的封闭图形的面积为( )A.2B.1C.D.√3 【答案】D【解析】由定积分知识可得, 故 选 D 。
高考经典函数试题与答案解析
5.圆M：x2+y2-4x-2y+4=0（1）若圆M的切线在x轴上的截距是y轴上的截距的2倍，求切线的方程；（2）从圆外一点P（a，b），向该圆引切线PA，切点为A，且PA=PO，O为坐标原点，求证：以PM为直径的圆过异于M的定点，并求该定点的坐标67.已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆短半轴长为1，动点(2,)M t (0)t > 在直线2(a x a c=为长半轴，c 为半焦距）上。
（1）求椭圆的标准方程（2）求以OM 为直径且被直线3450x y --=截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值。
7．【解析】（1）又由点M 在准线上，得22a c= 故212c c +=，1c ∴=从而a =所以椭圆方程为2212x y += （2）以OM 为直径的圆的方程为(2)()0x x y y t -+-=即222(1)()124t t x y -+-=+ 其圆心为(1,)2t ,半径r =因为以OM 为直径的圆被直线3450x y --=截得的弦长为2所以圆心到直线3450x y --=的距离d 2t = 所以32552t t --=，解得4t =所求圆的方程为22(1)(2)5x y -+-=（3）方法一：由平几知：2ON OK OM =直线OM ：2t y x =，直线FN ：2(1)y x t =-- 由22(1)t y x y x t ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得244K x t =+2224(1)2244ON t t ∴==+∙∙=+ON方法二、设00(,)N x y ，则 000000(1,),(2,)(2,),(,)FN x y OM t MN x y t ON x y =-==--= 0000,2(1)0,22FN OM x ty x ty ⊥∴-+=∴+= 又2200000000,(2)()0,22MN ON x x y y t x y x ty ⊥∴-+-=∴+=+=所以，ON = 为定值。
2023-2024学年高考数学一元二次函数、方程与不等式专项练习题(含答案)
2023-2024学年高考数学一元二次函数、方程与不等式小专题一、单选题1．下列命题正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则a b >22ac bc>a b >-a b ->C ．若，则D ．若，则ac bc >a b>a b >a c b c->-2．若不等式的解集是，则不等式的解集是（ 220ax x c ++<11(,)(,)32-∞-⋃+∞220cx x a -+≤ ）A ．B ．11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．D ．[]2,3-[]3,2-3．若，且，则的最小值是（ ）0x >0y >21x y +=1xx y +A ．B ．C ．2D ．122+322+324．若正实数，满足，且恒成立，则实数的取值范围为（ ）x y 4x y xy +=234yx a a +>-a A ．B ．C ．D ．[]1,4-()1,4-[]4,1-()4,1-5．若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ）[],1x m m ∈+210x mx +-<m A ．B ．2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭2,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．D ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6．已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值为0a >x 31ax x +≥+()1,x ∈-+∞a （ ）A ．1B ．2C ．4D ．87．若命题“”为假命题，则m 的取值范围是（ ）2000R,220x x mx m ∃∈+++<A ．B ．][(),12,-∞-⋃+∞()(),12,-∞-+∞ C ．D ．[]1,2-()1,2-8．设集合，．若中恰含有一个整数，{}260A x x x =+->{}210,0B x xax a =--≤>A B ⋂则实数的取值范围是（ ）a A ．B ．C ．D ．80,3⎛⎫⎪⎝⎭815,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭8,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭815,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多选题9．下列说法正确的有（ ）A ．的最小值为21x y x +=B ．已知，则的最小值为1x >4211y x x =+--421+C ．若正数x 、y 满足，则的最小值为323x y xy +=2x y +D ．设x 、y 为实数，若，则的最大值为2291x y xy ++=3x y +221710．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，且不等式有解，则实数m 的取值范围241312m mx y +<++是错误的是（ ）A ．m <－3或m >B ．－3<m <3232C ．m ≤－3或m ≥D ．－3≤m ≤323211．已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论x 20ax bx c ++≥{|3x x ≤}4x ≥的序号是（ ）A ．0a >B ．不等式的解集为0bx c +<{}4|x x <-C ．不等式的解集为或20cx bx a -+<1|4x x ⎧<-⎨⎩13x ⎫>⎬⎭D ．0a b c ++>12．若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是（ ）0a >0b >2a b +=a b A ．B ．1ab ≤2a b +≤C ．D ．222a b +≥112a b+≥三、填空题13．已知关于x 一元二次方程有两个实根，，（1）若比3大，比3240x x a -+=1x 2x 1x 2x 小，则a 的取值范围是 ；（2）把写成用含a 表达式为 .12x x -14．已知都是实数，一元二次方程有两个非零实根，且，则,,a b c 20ax bx c ++=12,x x 2b c == .1211+x x 15．已知函数，当时，恒成立，则的最大值为.()222=+-b a f x ax x []1,1x ∈-()12f x ≥-a b +16．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a ，b ，c ，三角形的面积S 可由公式求得，其中p 为三角形()()()S p p a p b p c =---周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，5a b +=，则此三角形面积的最大值为.3c =答案：1．D【分析】根据不等式的性质，令，可以判断A 的真假；由不等式的性质3，可以判断0c =B ，C 的真假；由不等式的性质1，可以判断D 的真假，进而得到答案．【详解】当时，若，则，故A 错误；0c =a b >22ac bc =若，则，故B 错误；a b >-a b -<若，当时，则；当时，则，故C 错误；ac bc >0c >a b >0c <a b <若，则，故D 正确a b >a c b c ->-故选:D 2．C【分析】依题意和是方程的两个实数根，利用韦达定理得到方程组13-12220ax x c ++=，即可求出，再解一元二次不等式即可.112321132a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩12,2a c =-=222120x x --≤【详解】因为不等式的解集是：，220ax x c ++<11(,)(,)32-∞-⋃+∞所以和是方程的两个实数根，13-12220ax x c ++=由，解得：，112321132a ca ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩12,2a c =-=故不等式，即为，220cx x a -+≤222120x x --≤解不等式，得：，260x x --≤23x -≤≤所求不等式的解集是.[]23-，故选：C ．3．A【分析】利用基本不等式可得答案.【详解】因为，且，0x >0y >21x y +=所以，1121222221++=++=++≥⨯=+x x x xx y x y x y x y x y y y当且仅当时等号成立，221,12x y =-=-故选：A.4．B【分析】根据题意，结合基本不等式的运算，由系数“1”的妙用可得，然后求解不等44yx +≥式，即可得到结果.【详解】因为正实数，满足，所以，x y 4x y xy +=411y x +=则，144422244444y y y x y xx x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当时，即时，等号成立，此时取得最小值4，44411y x x y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2,8x y ==因为恒成立，所以，解得.234yx a a +>-243a a >-14a -<<实数的取值范围为.a ()1,4-故选：B 5．B【分析】利用一元二次函数的图象与性质分析运算即可得解.【详解】由题意，对于都有成立，[],1x m m ∀∈+2()10f x x mx =+-<∴，解得：，()()()()2221011110f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩202m -<<即实数的取值范围是.m 2,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭故选：B.6．C【分析】利用基本不等式求解.【详解】因为，，1x >-10x +>所以，()1121121111a aax x x a x x x +=++-≥+⋅-=-+++当且仅当，即时，取得等号，11ax x +=+1x a =-所以有最小值为，1ax x ++21a -因为不等式在上恒成立，31ax x +≥+()1,x ∈-+∞所以，解得，所以的最小值为4，213a -≥4a ≥a 故选:C.7．C【分析】由题意结合命题和它的否定的真假性关系，以及一元二次不等式恒成立问题的充要条件即可求解.【详解】由题意命题“”为真命题，2000R,220x x mx m ∀∈+++≥所以当且仅当，()()22442420m m m m ∆=-+=--≤解得，即m 的取值范围是.12m -≤≤[]1,2-故选：C.8．B【分析】求出A 中的不等式的解集确定出A ，由A 与B 交集中恰有一个整数，求出的范围a 即可.【详解】解：，因为函数图象的对称{}{}26023A x x x x x x =+->=><-或()21f x x ax =--轴为直线，，根据对称性可知，要使中恰含有一个整数，02ax =>()3380f a -=+>A B ⋂则这个整数为3，所以有且，即，即，所以实数的取()30f ≤()40f >8301540a a -≤⎧⎨->⎩83154a a ⎧≥⎪⎪⎨⎪<⎪⎩a 值范围为.815,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭故选：B 9．BCD【分析】利用基本不等式一一计算即可.【详解】显然当时，，故A 错误；=1x -102x y x +==<原式可化为：，()()44211221142111y x x x x =-++≥-⋅+=+--当且仅当即时取得等号，故B 正确；()4211x x -=-21x =+由，1223133x y xy y x +=⇒+=所以，()12225225222333333333x y x y x y x y y x y x y x ⎛⎫+=++=++≥⋅+= ⎪⎝⎭当且仅当即时取得等号，故C 正确；2233x yy x =1x y ==由，()()22225591315143131212x y xy x y xy x y x y ++=⇒+=+=+⨯⨯⨯≤++则，当且仅当时取得等号，()27122213131277x y x y +≤⇒+≤=2137x y ==故D 正确.故选：BCD 10．BCD【分析】使不等式有解，大于的最小值，根据题意先利241312m m x y+<++232m m+411x y ++用基本不等式求的最小值，再解不等式求m 的取值范围.411x y ++【详解】因为正实数x ，y 满足，所以，1x y +=(1)2x y ++=则=，411x y ++)1=44[2(1111(5)](211)y x y x x y y x ≥++++++++1119(52)=(54)22241x y y x +⋅+++=当且仅当，即时等号成立.411y x x y +=+1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为不等式有解，所以，241312m m x y+<++23922m m +>即，，239022m m +->0()3)(32m m +>-解得或.3m <-32m >故选：BCD.11．AD【分析】根据不等式的解集，即可判断A 项；根据三个二次之间的关系，结合韦达定理可得出，进而代入不等式，化简、求解不等式，即可判断B 、C 、D 项.712b a c a =-⎧⎨=⎩【详解】对于A 项，由不等式的解集范围为两边，即可得出二次函数开口向上，即，0a >故A 项正确；对于B 项，由已知可得，3、4即为的两个解.20ax bx c ++=由韦达定理可得，，解得，34712ba c a ⎧-=+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩712b ac a =-⎧⎨=⎩代入可得.7120ax a -+<又，所以，所以解集为，故B 项错误；0a >127x >12|7x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭对于C 项，由B 知，，，，7b a =-12c a =0a >代入不等式可得，21270ax ax a ++<化简可得，212710x x ++<解得，1134x -<<-所以，不等式的解集为，故C 项错误；20cx bx a -+<11|34x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭对于D 项，由已知可得，当时，有，故D 项正确.1x =71260a b c a a a a ++=-+=>故选：AD.12．ACD【分析】分别根据基本不等式即可求出．【详解】，当且仅当时取等号，故A 成立；2()12a b ab +≤=1a b ==假设，则，则，与已知矛盾，故B 不成立；2a b +≤22a b ab ++≤0ab ≤，当且仅当时取等号，故C 成立；2222()242()4222a b a b a b ab ++=+-≥-⨯=-=1a b ==，由A 可得，当且仅当时取等号，故D 成立.112a b a b ab ab ++==1122a b ab +=≥1a b ==故选：ACD ．13．且3a <164a -4a ≤【分析】（1）设，则由题意可得，由此求得a 的范围；()24ax x x f =-+()330f a =-<（2）用韦达定理即可求解；【详解】（1）设，因为的图象是开口向上的抛物线，()24ax x x f =-+()24ax x x f =-+又一元二次方程有两个实根，，且 比3大，比3小，240x x a -+=1x 2x 1x 2x 所以，求得，()330f a =-<3a <（2）由关于x 一元二次方程有两个实根、，且，240x x a -+=1x 2x 1640a ∆=-≥所以，，且，得，124x x +=12x x a =4a ≤()21212124164x x x x x x a-=+-=-故；且3a <164a -4a ≤14．2-【分析】由根与系数关系得，再由及已知即可求值.1212,b c x x x x a a +=-=12121211x x x x x x ++=【详解】由题设，且，0a ≠1212,b cx x x x a a +=-=而，，则.12121211x x b x x x x c ++==-2b c =12112x x +=-故2-15．2【分析】将函数化简可得，结合题目要求的最大值，故考虑()2122x f x a x b⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭a b +，得出关于的不等式，进而取特殊值判断是否满足满足取等条件求解即可.2122xx -=a b +【详解】函数，对恒成立，令()221122222b a x f x ax x a x b ⎛⎫=+-=-+⋅≥- ⎪⎝⎭[]1,1x ∈-，则或，故，得，当时，2122xx -=12x =-1x =112442a b f ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭2a b +≤24,33a b ==满足，则的最大值为2.()2222121113333222f x x x x ⎛⎫=+-=+-≥-⎪⎝⎭a b +故216．3【分析】计算出，得到，由基本不等式求出.4p =24S ab =-243S ab =-≤【详解】因为，，所以，5a b +=3c =53422a b c p +++===故，()()()()()()44443244216424S a b a b a b ab ab =---=--=-++=-因为，当且仅当时，等号成立，()22544a b ab +≤=52a b ==故，25242434S ab =-≤⨯-=故3。
2023-2024学年高考数学三角函数专项练习题(附答案)
2023-2024学年高考数学三角函数小专题一、单选题1．函数的最小正周期为（ ）()2sin 222sin 4f x x xπ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．π2ππ42π2．若，则等于（ ）sin tan 0x x ⋅<1cos2x +A ．B ．C ．D ．2cos x 2cos x -2sin x 2sin x-3．已知，均为锐角，则（ ）251cos ,tan()53ααβ=-=-,αββ=A ．B ．C ．D ．5π12π3π4π64．将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭cos 2y x =是（ ）A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向右平移个单位π12π6π12D ．向左平移个单位π65．若，则（ ）1cos 63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．42979429-79-6．设函数，其图象的一条对称轴在区间内，且的()3sin cos (0)f x x x ωωω=+>ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 最小正周期大于，则的取值范围为（ ）πωA ．B ．C ．D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭()0,2[)1,2()1,27．已知，且，求（ ）π4sin 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π3π44<<αcos α=A ．B ．C ．D ．2106222610A ．函数的图像可由()f xB ．函数在区间()f xC ．函数的图像关于直线()f xC ．D ．o o2sin15sin 75o oo otan 30tan151tan 30tan15+-11．已知函数的图像关于直线对称，函数关于点对称，则下列说(21)f x +1x =(1)f x +(1,0)法不正确的是（ ）A ．B ．4为的周期(1)(1)f x f x -=+()f x C ．D ．(1)0f =()32f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12．已知函数的图象关于直线对称，则（ ）ππ()sin(3)()22f x x ϕϕ=+-<<π4x =A ．函数为奇函数π()12f x +B ．函数在上单调递增()f x ππ[,]126C ．若，则的最小值为12|()()|2f x f x -=12||x x -2π3D ．将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象()f x 13sin()y x ϕ=+三、填空题13．计算：＝.tan 73tan1933tan 73tan13︒︒︒︒--14．已知，，则 .1sin cos 5αα+=-()0,πα∈tan α=15．已知函数的最小正周期为，则.π()2sin()(0)3f x x ωω=+>4πω=16．已知函数，则函数的对称轴的方程为22()2cos 43sin cos 2sin f x x x x x =+-()f x ．答案：1．B【分析】把函数化成的形式，利用公式求函数的最小正周期.()sin y A x ωϕ=+2πT ω=【详解】因为()2sin 222sin 4f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()22sin 2cos 221cos 222x x x =---.22sin 2cos 2222x x =+-πsin 224x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭所以，函数的最小正周期为.2ππ2T ==故选：B 2．B【分析】先由已知条件判断的符号，然后对配凑升幂公式即可.cos x 1cos2x +【详解】由题知：2sin sin tan 00cos 0cos xx x x x ⋅<⇒<⇒<.21cos21cos222cos 2cos 2cos 2xx x x x++=⨯===-故选：B.3．C【分析】由两角差的正切公式求解即可.【详解】因为，，，π02α<<25cos 5α=25sin 1cos 5αα=-=，sin 1tan cos 2ααα==，()()()11tan tan 23tan tan 1111tan tan 123ααββααβααβ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭⎡⎤=--===⎣⎦+-⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭所以.π4β=故选：C.4．A【分析】分析各选项平移后的函数解析式，由此作出判断即可.【详解】对于A ：向左平移个单位可得到πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π12，符合；πππsin 2sin 2cos 21232y x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于B ：向右平移个单位可得到，不πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π6ππsin 2sin 2cos 263y x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=≠ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦符合；对于C ：向右平移个单位可得到πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π12，不符合；πππsin 2sin 2cos 21236y x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于D ：向左平移个单位可得到πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π6，不符合；ππ2πsin 2sin 2cos 2633y x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：A.5．D【分析】利用二倍角公式和诱导公式解题.【详解】因为2217cos(2)=cos22cos 121cos(2)366393ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--=⨯-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以.7sin 2sin 2cos 262339ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：D 6．C【分析】根据题意，得到，取得对称轴的方程，由的()π2sin()6f x x ω=+ππ,Z 3k x k ωω=+∈k 取值，结合题意，即可求解.【详解】由函数，()π3sin cos 2sin()6f x x x x ωωω=+=+令，可得，πππ,Z 62x k k ω+=+∈ππ,Z3k x k ωω=+∈因为图象的一条对称轴在区间内，可得，可得，ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππππ633k ωω≤+≤131231k k ωω⎧≤+⎪⎨⎪≥+⎩又因为的最小正周期大于，可得，解得，()f x π2ππω>2ω<当且仅当时，解得.0k =ω1≤<2综上可得，实数的取值范围为.ω[1,2)故选：C.7．A【分析】利用平方关系和两角差的余弦公式计算.【详解】因为，所以，，π3π44<<απππ24α<+<2ππ3cos()1sin ()445αα+=--+=-，ππππππ3422cos cos ()cos()cos sin()sin ()44444455210αααα⎡⎤=+-=+++=-+⨯=⎢⎥⎣⎦故选：A.8．B【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再根据正弦函数的单调性、对称性，结合三角函数图象的平移变换，逐项判断作答．【详解】由图象可知，，2A =由图，因为，所以，，()10=1sin =2f ϕ⇒π02ϕ<<π=6ϕ()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由图，则，5π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭5ππ122π,=,12655k k k k ωω⨯+=∈⇒-∈Z Z由图可知，所以，所以，1π5π12002125T ωω=>-⇒<<=2ω()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于A ，的图像向左平移个单位得到的sin =2sin2y A x x ω=π6ππ2sin2+=2sin 2+63y x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象，选项A 不正确；对于B ，由，可得，πππ2π22π,262k x k k -+≤+≤+∈Z ππππ,36k x k k -+≤≤+∈Z则函数的单调递增区间为，则在区间上单调递增，()f x πππ,π,36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ()f x ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以在区间上单调递增，选项B 正确；()f x ππ,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦对于C ，由于，则直线不是函数图象的对称轴，选项π2ππ2sin 12336f ⎛⎫⎛⎫=+=≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π3x =()f x C 不正确；对于D ，由，可得，则函数的图象关于点π2π,6x k k +=∈Zππ,122k x k =-+∈Z ()f x 对称，选项D 不正确．ππ,0,122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 故选：B ．9．ABD【分析】令，求得，可判定A 不正确；令，求得5π12x =5π3()122f =π8x =-可判定B 不正确；由时，可得，可判定C 正π5π()sin()812f -=-π22π,π,0,π6x -=--()0f x =确；由，结合正弦函数的性质，可判定D 不正确.π7ππ2(,)666x -∈--【详解】对于函数，()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于A 中，令，可得，5π12x =5π5ππ2π3()sin(2)sin 1212632f =⨯-==所以函数的图象不关于点中心对称，所以A 不正确；()f x 5π,012⎛⎫⎪⎝⎭对于B 中，令，可得不是最值，π8x =-πππ5π()sin(2)sin()88612f -=-⨯-=-所以函数的图象不关于直线对称，所以B 不正确；()f x π8x =-对于C 中，由，可得，()π,πx ∈-π13π11π2,666x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭当时，可得，π22π,π,0,π6x -=--()0f x =所以在上有4个零点，所以C 正确；()f x ()π,π-对于D 中，由，可得，π[,0]2x ∈-π7ππ2(,)666x -∈--根据正弦函数的性质，此时先减后增，所以D 不正确.()f x故选：ABD.10．BC【分析】由诱导公式先求出的值，然后用三角恒等公式逐一验证即可.11sin(6-π)【详解】由题意有，11ππ1sin sin 662⎛⎫-== ⎪⎝⎭对于A 选项：因为，故A 选项不符合题意；2o o 312cos 151cos3022-==≠对于B 选项：因为，故B 选项符合()o o o o o o o 1cos18cos 42sin18sin 42cos 1842cos 602-=+==题意；对于C 选项：因为，故()()o o o o o o o o 12sin15sin 75cos 7515cos 7515cos 60cos902=--+=-=C 选项符合题意；对于D 选项：因为，故D 选项不符合题意；()o o o o o o otan 30tan151tan 3015tan 4511tan 30tan152+=+==≠-故选：BC.11．CD【分析】根据题意结合函数的对称性可推出函数的周期以及对称轴，从而判断A ，B ；举特例符合题意，验证C ，D 选项，即得答案.【详解】由函数的图像关于直线对称，可得，(21)f x +1x =(2(1)1)(2(1)1)f x f x ++=-+即，即，(32)(32)f x f x +=-(3)(3)f x f x +=-以代换x ，则；1x +(4)(2)f x f x +=-由函数关于点对称，可得，(1)f x +(1,0)(2)(2)0f x f x ++-=结合可得，(4)(2)f x f x +=-(4)(2)f x f x +=-+即，则，即4为的一个周期，B 正确；(2)()f x f x +=-(4)()f x f x +=()f x 又，结合，(2)(2)f x f x +=--(2)()f x f x +=-可得，故，A 正确；(2)()f x f x -=(1)(1)f x f x -=+由以上分析可知函数关于直线对称，且关于点成中心对称，()f x 1x =(2,0)其周期为4，则满足题意，π()sin2f x x=但是，故C 错误；π(1)sin 12f ==说明函数图象关于直线对称，3()2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭34x =而，即直线不是对称轴，D 错误，33π()sin 148f =≠±34x =π()sin 2f x x =故选：CD 12．AB【分析】利用三角函数的图象与性质结合图象变换一一判定即可.【详解】由题意可知，又，()πππ3πZ π424k k k ϕϕ⨯+=+∈⇒=-+ππ22ϕ-<<故，()ππ,sin 344f x x ϕ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭对于A 项，，由诱导公式知，即函πππsin 3sin 312124f x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()sin 3sin 3x x -=-数为奇函数，故A 正确；π()12f x +对于B 项，，由正弦函数的图象及性质可知函数在上ππππ[,]30,12644x x ⎡⎤∈⇒-∈⎢⎥⎣⎦()f x ππ[,]126单调递增，故B 正确；对于C 项，易知，若，则与一个取得最大值，一个()max 1f x =12|()()|2f x f x -=()1f x ()2f x 取得最小值，即与相隔最近为半个周期，即的最小值为，故C 错误；1x 2x 12||x x -π23T =对于D 项，由三角函数的伸缩变换可知，函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，()f x 13得到函数的图象，故D 错误.sin(9)y x ϕ=+故选：AB.13．3【分析】由题意由两角差的正切公式即可得解.【详解】由题意．()()tan 73tan133tan 73tan13tan 73131tan 73tan133tan 73tan133︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒--=-+-=故．314．/34-0.75-【分析】根据同角平方和关系可得，进而根据齐次式即可求解.12sin cos 25αα-=【详解】由可得，故，1sin cos 5αα+=-112sin cos 25αα+=12sin cos 25αα-=又，解得或，222sin cos tan 12sin cos sin cos tan 125αααααααα-===++3tan 4α=-4tan 3α=-由于，，故，12sin cos 025αα-=<()0,πα∈sin 0,cos 0αα><又，故，因此，1sin cos 05αα+=-<sin cos αα<tan 1α<故，3tan 4α=-故34-15．/120.5【分析】利用正弦函数的周期公式即可得解.【详解】因为的最小正周期为，π()2sin()(0)3f x x ωω=+>4π所以，则.2π2π4πT ωω===ω=12故答案为.1216．ππ(Z)62kx k =+∈【分析】先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形，然后由可求得ππ2π(Z)62x k k +=+∈答案.【详解】22()2cos 43sin cos 2sin 1cos 223sin 2cos 21f x x x x x x x x =+-=+++-，π23sin 22cos 24sin 26x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭令，解得：．ππ2π(Z)62x k k +=+∈ππ(Z)62k x k =+∈故ππ(Z)62kx k =+∈。
历年高考数学函数题库(含答案)
【答案】D，做出点知即,,2121y y x x >-<-方法二：设3()F x x bx =-【答案】Ｃ图像大致是=，则函数题库(1)g -=【答案】330.（2012高考广东文11）函数的定义域为 .1x y x+=【答案】[)()1,00,-+∞U 31.（2102高考北京文12）已知函数，若，则x x f lg )(=1)(=ab f =+)()(22b f a f _____________。
【答案】232.（2102高考北京文14）已知，，若)3)(2()(++-=m x m x m x f 22)(-=xx g ，或，则m 的取值范围是_________。
R x ∈∀0)(<x f 0)(<x g 【答案】)0,4(-33.（2012高考天津文科14）已知函数的图像与函数的图像恰有两个交211x y x -=-y kx =点，则实数的取值范围是 .k 【答案】或。
10<<k 21<<k 34.（2012高考江苏5）函数的定义域为 ．x x f 6log 21)(-=【答案】。
(0 6⎤⎦（【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。
35.（2012高考江苏10）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，()f x R [11]-，其中．若，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，a b ∈R ，1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则的值为 ．3a b +【答案】。
10-【答案】C【解析】因为,所以令,得,此时原函数是增函'12cos 2y x =-'12cos 02y x =->1cos 4x <数;令,得,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选C'12cos 0y x =-<1cos x >8．(2011年高考浙江卷理科1)设函数,则实数=2,0,()()4,0.x x f x f x x α-≤⎧==⎨>⎩若α（A ）-4或-2 （B ）-4或2 （C ）-2或4 （D ）-2或2【答案】 B【解析】：当，故选B2042,a a a >=⇒=时,044a a a ≤=⇒=-当时,-9. (2011年高考全国新课标卷理科2)下列函数中，既是偶函数又是区间上的增函数),0(+∞的是（ ）A B C D 3x y =1+=x y 12+-=x y xy -=2【答案】B解析：由偶函数可排除A ，再由增函数排除C,D,故选B ；点评：此题考查复合函数的奇偶性和单调性，因为函数都是偶函数，所以，x y x y -==和内层有它们的就是偶函数，但是，它们在的单调性相反，再加上外层函数的单调性),0(+∞就可以确定。
高考函数专项大题(带答案)
函数高考专项1、已知二次函数cx bx ax x f ++=2)(，不等式x x f 2)(->的解集为)3,1(． (Ⅰ)若方程06)(=+a x f 有两个相等的实根，求)(x f 的解析式； (Ⅱ)若)(x f 的最大值为正数，求实数a 的取值范围．2、设定义在R 上的函数f (x )＝a 0x 4+a 1x 3+a 2x 2＋a 3x (a i ∈R ，i ＝0，1，2，3 )，当x ＝－22时，f (x )取得极大值23，并且函数y ＝f ' (x )的图象关于y 轴对称。
（1）求f (x )的表达式；（2）试在函数f (x)的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[－1，1]上；（3）求证：|f (sin x )－f (cos x ) | ≤ 223(x ∈R )．3、已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。
（Ⅰ）、求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）、设13n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m 。
4、已知函数()21log 0,2a f x x a a ⎛⎫=>≠⎪⎝⎭， （1）若()()()()2221220081220088,f x x x f x f x f x =+++ 求的值.（2）当()()()1,010,x x f x ∈-=+>时，g 求a 的取值范围.(3)若()()1,g x f x =+当动点(),p x y 在()y g x =的图象上运动时，点,32x y M ⎛⎫⎪⎝⎭在函数()y H x =的图象上运动，求()y H x =的解析式.5、已知函数.21)1()())((=-+∈=x f x f R x x f y 满足 （Ⅰ）求*))(1()1()21(N n nn f nf f ∈-+和的值； （Ⅱ）若数列)1()1()2()1()0(}{f nn f n f n f f a a n n +-++++= 满足，求列数}{n a 的通项公式；（Ⅲ）若数列{b n }满足1433221,41+++++==n n n n n b b b b b b b b S b a ，则实数k 为何值时，不等式n n b kS <2恒成立.6、已知()()2,ln 23+-+==x ax x x g x x x f(Ⅰ)求函数()x f 的单调区间;(Ⅱ)求函数()x f 在[]()02,>+t t t 上的最小值; (Ⅲ)对一切的()+∞∈,0x ,()()22'+≤x g x f 恒成立,求实数a 的取值范围.7、已知函数2() 1 f x ax bx =++(,a b 为实数)，x R ∈， () (0)() () (0)f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩.(1)若(1)0,f -=且函数()f x 的值域为[0, )+∞，求)(x f 的表达式；(2)在(1)的条件下，当[2, 2]x ∈-时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值 范围；(3)设0m n ⋅<，0,m n +>0a >且()f x 为偶函数，判断()F m ＋()F n 能否大于零.8、已知二次函数221(),:8直线f x ax bx c l y t t =++=-+,其中(02≤≤，t t 为常数）； 2: 2.l x =若直线l 1、l 2与函数f (x )的图象以及l 1，y 轴与函数f (x )的图象所围成的封闭图形如阴影所示. （Ⅰ）根据图象求a 、b 、c 的值；（Ⅱ）求阴影面积S 关于t 的函数S(t )的解析式；（Ⅲ）若,ln 6)(m x x g +=问是否存在实数m ， 使得y =f (x )的图象与y =g (x )的图象有且只有两个不同的交点？ 若存在，求出m 的值； 若不存在，说明理由．9、若定义在R 上的函数()f x 对任意的R x x ∈21,，都有1)()()(2121-+=+x f x f x x f 成立，且当0>x 时，1)(>x f 。
(完整版)高考三角函数经典解答题及答案
(完整版)高考三角函数经典解答题及答案1. 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，且 a²+c²-b²=(1) 求 sin²(2A+C)+cos²B 的值；(2) 若 b=2，求△ABC 面积的最大值。
解：(1) 由余弦定理：cosB=(a²+ c²- b²)/(2ac)=4/√115，得sinB=√(1-cos²B)=3√(23)/23。
由正弦定理sin²(2A+C)+cos²B=4sin²B+cos²B=13/23。
2. 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且bcosC=3acosB-ccosB。
(I) 求 cosB 的值；(II) 若 BA·BC=2，且b=√2，求 a 和 c·b 的值。
解：(I) 由正弦定理得 a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，则 2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB，故sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，即 sin(B+C)=3sinAcosB，可得 sinA=3sinAcosB/sinB。
又sinA≠0，因此 cosB=1/3。
3. 已知向量 m=(sinB,1-cosB)，向量 n=(2,k)，且 m 与 n 所成角为π/3，其中 A、B、C 是△ABC 的内角。
(1) 求角 B 的大小；(2) 求 sinA+sinC 的取值范围。
解：(1) ∠m与∠n所成角为π/3，且 m·n=2sinB+ k(1-cosB)=2√3/2cosB+k√(1-cos²B)，又 m·n=2cosB+k(1-cosB)，解得 k=4/3。
函数图形高考试题及答案
函数图形高考试题及答案一、选择题1. 函数y=f(x)的图像是一条直线，且通过点(1,2)，则f(2)的值为（）。
A. 3B. 4C. 5D. 6答案：B2. 已知函数y=x^2-6x+8，下列哪个点不在该函数图像上？（）A. (1,3)B. (2,0)C. (3,1)D. (4,0)答案：C二、填空题3. 函数y=2x-3的图像与x轴交点的坐标是（）。
答案：(3/2, 0)4. 如果函数y=3x+1的图像向上平移2个单位，新的函数表达式为（）。
答案：y=3x+3三、解答题5. 已知函数y=x^3-3x+1，求该函数的单调区间。
答案：函数y=x^3-3x+1的导数为y'=3x^2-3。
令y'>0，解得x>1或x<-1；令y'<0，解得-1<x<1。
因此，函数在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增，在(-1,1)上单调递减。
6. 函数y=x^2-4x+c的图像与x轴有两个交点，求c的取值范围。
答案：要使函数y=x^2-4x+c与x轴有两个交点，需要判别式Δ=(-4)^2-4*1*c>0，解得c<4。
四、证明题7. 证明：函数y=x^3+3x^2-9x+1在(-2,1)上单调递增。
答案：首先求导数y'=3x^2+6x-9。
令y'>0，解得x<-3或x>1。
由于函数定义域为实数集，且-3<-2<1，所以函数在(-2,1)上单调递增。
8. 证明：函数y=x^2+2x+3的图像关于直线x=-1对称。
答案：函数y=x^2+2x+3可以写成y=(x+1)^2+2，这是一个顶点在(-1,2)的抛物线，因此其图像关于直线x=-1对称。
五、应用题9. 已知函数y=-2x^2+4x+1，求该函数的最大值。
答案：函数y=-2x^2+4x+1可以写成y=-2(x-1)^2+3，这是一个开口向下的抛物线，其顶点为(1,3)，因此函数的最大值为3。
2023-2024学年高考数学指数函数与对数函数专项练习题(含答案)
2024．．．．二、多选题．函数，若对任意实数、，，则下列结论错误的是()(32log f x x x =++a b 0a b +>A ．方程有且只有6个不同的解B ．方程()()0f g x =解C ．方程有且只有5个不同的解D ．方程()()0f f x =解的零点个数为 ．()4log =-y f x x16．已知函数，若方程有4个不同的实根，，，22log (1),13()1357,322x x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩()34f x =1x 2x 3x 且，则.4x 1234x x x x <<<()341211x x x x ⎛⎫++=⎪⎝⎭答案：1．C【分析】根据函数的单调性，借助中间值比较大小.【详解】因为函数在单调递增，且，所以，即，2log y x =()0,∞+π2>22log π>log 21=1a >因为函数在单调递减，且，所以，即，0.5log y x =()0,∞+π1>0.50.5log π<log 1=00b <因为函数在单调递增，且，所以，即，πxy =(),-∞+∞20-<200<ππ1-<=01c <<所以，a c b >>故选：C 2．A【分析】由提供的数据知，描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系函数不可能是单Q t 调函数，故选取二次函数进行描述，将表格所提供的三组数据代入，即得函2Q at bt c =++Q 数解析式，进而求解.【详解】因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，所以函数不单调，所以选取，且开口向上，2Q at bt c =++将表格中的三组数据分别代入，2Q at bt c =++得解得116360060,8410000100,11632400180,a b c a b c a b c =++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩0.01,2.4,224,a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩即，对称轴，开口向上，20.01 2.4224Q t t =-+ 2.412020.01t -=-=⨯在对称轴处即120天时函数取最小值.∴t =西红柿种植成本最低时的上市天数是120天.∴故选：A.3．C【分析】由指数函数的性质分别对和的情况讨论单调性并求值域，从而列方程组01a <<1a >即可得到答案.【详解】函数（且）的值域为，2x y a =-0a >1,11a x ≠-≤≤5,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦又由指数函数的单调性可知，当时，函数在上单调递减，值域是01a <<2xy a =-[]1,1-12,2a a -⎡⎤--⎣⎦所以有，即，解得；110152321a a a -<<⎧⎪⎪-=-⎨⎪-=⎪⎩101133a a a -<<⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩13a =当时，函数在上单调递增，值域是1a >2x y a =-[]1,1-12,2a a -⎡⎤--⎣⎦所以有，即 ，解得.11152321a a a ->⎧⎪⎪-=-⎨⎪-=⎪⎩11133a a a ->⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩3a =综上所述，或.13a =3a =故选：C.4．B【分析】结合已知条件，利用抽象函数的定义域以及对数、分式的定义域求法求解即可.【详解】因为函数的定义域是，()f x [1,2022]所以对于有：，(1)()lg f x g x x +=1120220lg 0x x x ≤+≤⎧⎪>⎨⎪≠⎩解得：且，02021x <≤1x ≠故函数的定义域是，()()1ln f x g x x+=(01)(1],,2021⋃故选：B ．5．A【分析】根据题意，求得，得到，结合零点的存在性定理，3()0,(2)02f f >>3(1)()02f f ⋅<即可求解.【详解】由函数，且，可得，()348f x x x =+-()()10,30f f <>3()70,(2)2602f f =>=>所以，根据零点的存在性定理，3(1)()02f f ⋅<可得方程的近似解落在区间为.3480x x +-=31,2⎛⎫⎪⎝⎭故选：A.6．C【分析】根据给定条件，可得函数在R 上单调递增，再利用分段函数及对数函数单调性()f x 列出不等式求解即得.【详解】函数的定义域为R ，(2)1,1()log ,1a a x x f x x x --≤⎧=⎨>⎩由对任意，都有，得函数在R 上单调递增，12x x ≠1212()()f x f x x x ->-()f x 于是，解得，20130a a a ->⎧⎪>⎨⎪-≤⎩23a <≤所以实数的取值范围为.a (]2,3故选：C 7．B【分析】利用对数的换底公式和运算法则即可得解.【详解】，，，230x y k ==>Q 23log ,log x k y k ==∴11log 2,log 3k k x y ∴==，，则.12log 2log 3log 61k k k x y ∴=+=+=∴26k =6k =故选：B.8．A【分析】由函数的定义域排除C ，由函数的奇偶性排除D ，由特殊的函数值排除B ，结合奇偶性和单调性判断A.【详解】由得，则函数的定义域为，排除选项C ；30x ->33x -<<()ln 3y x =-()3,3-又，所以为偶函数，则图象关于y 轴对称，排除选项D ；()()ln 3ln 3x x --=-()ln 3y x =-当时，，排除选项B ，52x =1ln 02y =<因为为偶函数，且当时，函数单调递减，()ln 3y x =-30x >>()()ln 3ln 3y x x =-=-选项A 中图象符合.故选：A 9．ACD【分析】分析函数的奇偶性与单调性，由已知可得出，结合函数的奇偶性()f x a b >-()f x与单调性可得出合适的选项.【详解】令，对任意的，，即，()()22log 1g x x x =++x ∈R 21x x x+>≥-210x x ++>所以，函数的定义域为，()g x R 则.()()()()2222221log 1log 1log1g x x x x x g x x x⎛⎫-=+--=+-==- ⎪⎝⎭++所以，函数是定义域为的奇函数，()g x R 因为函数、为上的增函数，1u x =221u x =+[)0,∞+所以，内层函数在上为增函数，21u x x =++[)0,∞+外层函数在上为增函数，2log y u =()0,∞+所以，函数在上为增函数，()()22log 1g x x x =++[)0,∞+由于函数是定义域为的奇函数，则该函数在上为增函数，()g x R (],0-∞所以，函数在上单调递增，()()22log 1g x x x =++R 因为的定义域为，则，()f x R ()()()()()33f x x g x x g x f x -=-+-=--=-所以，函数为奇函数，()f x 又因为函数为上的增函数，所以，函数在上单调递增.3y x =R ()f x R 因为，所以，则，即，A 错B 对，0a b +>a b >-()()()f a f b f b >-=-()()0f a f b +>又、的大小不确定，故CD 错.a b 故选：ACD.方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.10．ABC【分析】根据题意，由函数的定义，只需满足集合中的每一个元素在集合中都有唯一一P Q 个元素与之对应即可，再结合选项逐一分析，即可得到结果.【详解】选项A ，，集合中的每一个元素在集合中都有唯一一个元素与之1:2f x y x→=P Q 对应，故A 正确；选项B ，，集合中的每一个元素在集合中都有唯一一个元素与之对应，故13:f x y x →=P Q B 正确；选项C ，，集合中的每一个元素在集合中都有唯一一个元素与之对应，1:2xf x y ⎛⎫→= ⎪⎝⎭P Q 故C 正确；选项D ，，集合中的1，在集合中没有元素与之对应，故D 错误；:ln f x y x →=P Q 故选：ABC 11．ABD【分析】根据奇偶性的定义即可判断A,根据基本函数的单调性即可判断BC ，根据反函数的性质即可判断D.【详解】对于A ，定义域为,关于原点对称，又由于()f x R ()()e e e e ,,22x x x xf x f x --++=-=，所以为偶函数，A 正确，()()=f x f x -()f x 对于B ，，由于函数在单调递增，所以在()e 121e 1e 1x x x f x -==-++e 1xy =+x ∈R 1e 1x y =+单调递减，因此在单调递增，B 正确，x ∈R ()21e 1xf x =-+x ∈R 对于C ，由于函数为定义域上的偶函数，当时，在区间上单调递lg y x=0x >lg y x =()0,∞+增，故C 错误，对于D ，由于函数与互为反函数，所以两者图象关于，D 正13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭133log log y x x ==-y x =确，故选：ABD 12．ACD【分析】令，结合图象可得有3个不同的解，，，不妨设，()t x g =()0f t =1t 2t 3t 123t t t <<则可知，，，令，结合图象可得有2个不同的解121t -<<-2t =312t <<()m f x =()0g m =，，不妨设，则可知，，再数形结合求出复合函数的解的1m 2m 12m m <121m -<<-201m <<个数.【详解】A 选项，令，结合图象可得有3个不同的解，，，()t x g =()0f t =1t 2t 3t 不妨设，则可知，，，123t t t <<121t -<<-20t =312t <<由图可知有2个不同的解，有2个不同的解，有2个不同的解，()1g x t =()2g x t =()3g x t =即有6个不同的解，A 正确；()()0f g x =B 选项，令，结合图象可得有2个不同的解，，()m f x =()0g m =1m 2m 不妨设，则可知，，12m m <121m -<<-201m <<由图可知有1个解，有3个不同的解，()1f x m =()2f x m =即有4个不同的解，B 错误；()()0g f x =C 选项，令，结合图象可得有3个不同的解，，()m f x =()0f m =1m 2m 3m 且，，，121m -<<-20m =312m <<由图可知有1个解，有3个不同的解，有1个解，()1f x m =()2f x m =()3f x m =即有5个不同的解，C 正确；()()0f f x =D 选项，令，结合图象可得有两个不同的解，()t x g =()0g t =1t2t 不妨设，则可知，，12t t <121t -<<-201t <<由图可知有2个不同的解，有2个不同的解，()1g x t =()2g x t =即有4个不同的解，D 正确．()()0g g x =故选：ACD ．13．193【分析】利用位数的定义，结合对数运算法则即可得解.k故答案为.14。
(完整版)高考数学历年函数试题及答案
设（x ）是定义在R 上的偶函数, 其图象关于直线x=1对称, 对任意x1,x2∈[0, ]都有 （Ⅰ）设);41(),21(,2)1(f f f 求 （Ⅱ）证明)(x f 是周期函数。
2.设函数（Ⅰ）判断函数)(x f 的奇偶性； （Ⅱ）求函数)(x f 的最小值.3. 已知函数（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最大值；（Ⅱ）在给出的直角坐标系中, 画出函数 在区间 上的图象4. （本小题满分12分）求函数 的最小正周期、最大值和最小值.5. （本小题满分12分）已知在R上是减函数, 求的取值范围.6.△ABC的三个内角为A.B.C, 求当A为何值时, 取得最大值, 并求出这个最大值7.设a为实数, 函数在和都是增函数, 求a的取值范围.8.设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.(Ⅰ)求a、b的值;(Ⅱ)若对于任意的x 都有f(x)＜c2成立, 求c的取值范围.9.已知函数 , .（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数 在区间 内是减函数, 求 的取值范围.10.在 中, 内角A.b 、c 的对边长分别为a 、b 、c.已知 , 且 , 求b.11. 已知函数42()36f x x x =-+. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设点P 在曲线 上, 若该曲线在点P 处的切线 通过坐标原点, 求 的方程12.设函数 图像的一条对称轴是直线 （Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间； （Ⅲ）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像13.已知二次函数 的二次项系数为 , 且不等式 的解集为 （Ⅰ）若方程 有两个相等的根, 求 的解析式； （Ⅱ）若 的最大值为正数, 求 的取值范围解答： 2.解: （Ⅰ） 由于),2()2(),2()2(f f f f -≠-≠- 故 既不是奇函数, 也不是偶函数.（Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-+=.2,1,2,3)(22x x x x x x x f由于),2[)(+∞在x f 上的最小值为)2,(,3)2(-∞=在f 内的最小值为.43)21(=f故函数),()(+∞-∞在x f 内的最小值为.433.解)42sin(21)4sin 2cos 4cos 2(sin 21πππ-+=-⋅+=x x x所以函数 的最小正周期为π, 最大值为 .（Ⅱ）由（Ⅰ）知x83π-8π-8π 83π 85π y121-121+1故函数)(x f y =在区 间]2,2[ππ-上的图象是4.解:.212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x x x所以函数 的最小正周期是 , 最大值是 最小值是 5.解: 函数f(x)的导数: .（Ⅰ）当 （ ）时, 是减函数.)(01632R x x ax ∈<-+ .3012360-<⇔<+=∆<⇔a a a 且所以, 当 是减函数；（II ）当 时, =由函数 在R 上的单调性, 可知当 时, ）是减函数；（Ⅲ）当 时, 在R 上存在一个区间, 其上有 所以, 当 时, 函数 不是减函数. 综上, 所求 的取值范围是 6.解： 由,222,A C B C B A -=+=++ππ得所以有 .2sin 2cosAC B =+ 2sin 2cos 2cos 2cos AA CB A +=++2sin 22sin 212A A +-=.23)212(sin 22+--=A 当.232cos 2cos ,3,212sin取得最大值时即C B A A A ++==π 7.解：),1(23)('22-+-=a ax x x f其判别试.81212124222a a a -=+-=∆ （ⅰ）若,26,08122±==-=∆a a 即 当.),()(,0)(',),3()32,(为增函数在时或+∞-∞>+∞∈-∞∈x f x f a x x所以.26±=a (ⅱ) 若,08122<-=∆a .),()(,0)('为增函数在恒有+∞-∞>x f x f 所以 ,232>a即 ).,26()26,(+∞--∞∈ a （ⅲ）若,08122>-=∆a 即,0)(',2626=<<-x f a 令 解得 .323,3232221a a x a a x -+=--=当;)(,0)(',)(),(21为增函数时或x f x f x x x x >∞+∈-∞∈ 当.)(,0)(',),(21为减函数时x f x f x x x <∈ 依题意1x ≥0得2x ≤1. 由1x ≥0得a ≥,232a - 解得 1≤.26<a 由2x ≤1得,232a -≤3,a - 解得 .2626<<-a 从而 .)26,1[∈a 综上, a 的取值范围为 即 ∈a ).,1[]26,(+∞--∞ 9.解: （1） 求导: 当 时, , , 在 上递增； 当 , 由 求得两根为 即 在 递增, 递减,⎫+∞⎪⎪⎝⎭递增； （2）（法一）∵函数 在区间 内是减函数, 递减, ∴ , 且 , 解得: 。
三角函数--2024年数学高考真题和模拟好题分类汇编(解析版)
专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tanαtanβ=2，则cos(α-β)=()A.-3mB.-m3C.m3D.3m【答案】A【分析】根据两角和的余弦可求cosαcosβ,sinαsinβ的关系，结合tanαtanβ的值可求前者，故可求cosα-β的值.【详解】因为cosα+β=m，所以cosαcosβ-sinαsinβ=m，而tanαtanβ=2，所以=12×2b×kb×sin A2+12×kb×b×sin A2，故cosαcosβ-2cosαcosβ=m即cosαcosβ=-m，从而sinαsinβ=-2m，故cosα-β=-3m，故选：A.2(新课标全国Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时，曲线y=sin x与y=2sin3x-π6的交点个数为() A.3 B.4 C.6 D.8【答案】C【分析】画出两函数在0,2π上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数y=sin x的的最小正周期为T=2π，函数y=2sin3x-π6的最小正周期为T=2π3，所以在x∈0,2π上函数y=2sin3x-π6有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C3(新课标全国Ⅱ卷)设函数f(x)=a(x+1)2-1，g(x)=cos x+2ax，当x∈(-1,1)时，曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点，则a=()A.-1B.12C.1D.2【分析】解法一：令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，分析可知曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得a =2，并代入检验即可；解法二：令h x =f (x )-g x ,x ∈-1,1 ，可知h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即可得a =2，并代入检验即可.【详解】解法一：令f (x )=g x ，即a (x +1)2-1=cos x +2ax ，可得ax 2+a -1=cos x ，令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，原题意等价于当x ∈(-1,1)时，曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，注意到F x ,G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得F 0 =G 0 ，即a -1=1，解得a =2，若a =2，令F x =G x ，可得2x 2+1-cos x =0因为x ∈-1,1 ，则2x 2≥0,1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，可得2x 2+1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，则方程2x 2+1-cos x =0有且仅有一个实根0，即曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，所以a =2符合题意；综上所述：a =2.解法二：令h x =f (x )-g x =ax 2+a -1-cos x ,x ∈-1,1 ，原题意等价于h x 有且仅有一个零点，因为h -x =a -x 2+a -1-cos -x =ax 2+a -1-cos x =h x ，则h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即h 0 =a -2=0，解得a =2，若a =2，则h x =2x 2+1-cos x ,x ∈-1,1 ，又因为2x 2≥0,1-cos x ≥0当且仅当x =0时，等号成立，可得h x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，即h x 有且仅有一个零点0，所以a =2符合题意；故选：D .4(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1 B.23-1C.32D.1-3【答案】B【分析】先将cos αcos α-sin α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos αcos α-sin α=3，所以11-tan α=3，⇒tan α=1-33，所以tan α+π4 =tan α+11-tan α=23-1，故选：B .5(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.4【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：x 1为f x 的最小值点，x 2为f x 的最大值点，则x 1-x 2 min =T 2=π2，即T =π，且ω>0，所以ω=2πT=2.故选：B .6(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3 ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.32【答案】A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得f x =-sin2x ，再整体求出x ∈-π12,π6时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】f x =sin3ωx +π3 =sin 3ωx +π =-sin3ωx ，由T =2π3ω=π得ω=23，即f x =-sin2x ，当x ∈-π12,π6 时，2x ∈-π6,π3，画出f x =-sin2x 图象，如下图，由图可知，f x =-sin2x 在-π12,π6上递减，所以，当x =π6时，f x min =-sin π3=-32故选：A7(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x【答案】A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【详解】对A ，sin x +cos x =2sin x +π4，周期T =2π，故A 正确；对B ，sin x cos x =12sin2x ，周期T =2π2=π，故B 错误；对于选项C ，sin 2x +cos 2x =1，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，sin 2x -cos 2x =-cos2x ，周期T =2π2=π，故D 错误，故选：A ．8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x-π4，下列说法正确的有() A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，令f(x)=sin2x=0，解得x=kπ2,k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)=sin2x-π4=0，解得x=kπ2+π8,k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为2π2=π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+π2⇔x=kπ2+π4,k∈Z，g(x)的对称轴满足2x-π4=kπ+π2⇔x=kπ2+3π8,k∈Z，显然f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sin(α+β)=.【答案】-22 3【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tanα+β=-22，再缩小α+β的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得tanα+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ=41-2+1=-22，因为α∈2kπ,2kπ+π2,β∈2mπ+π,2mπ+3π2，k,m∈Z，则α+β∈2m+2kπ+π,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，又因为tanα+β=-22<0，则α+β∈2m+2kπ+3π2,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，则sinα+β<0，则sinα+βcosα+β=-22，联立sin2α+β+cos2α+β=1，解得sinα+β=-223.法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0,cosβ<0,cosα=cosαsin2α+cos2α=11+tan2α，cosβ=cosβsin2β+cos2β=-11+tan2β，则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ(tanα+tanβ)=4cosαcosβ=-41+tan2α1+tan2β=-4(tanα+tanβ)2+(tanαtanβ-1)2=-442+2=-223故答案为：-22 3.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x-3cos x在0,π上的最大值是．【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】f x =sin x -3cos x =2sin x -π3 ，当x ∈0,π 时，x -π3∈-π3,2π3，当x -π3=π2时，即x =5π6时，f x max =2.故答案为：2一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.2【答案】A【分析】由题意可知：tan θ=2，根据倍角公式结合齐次化问题分析求解.【详解】由题意可知：tan θ=2，所以7cos 2θ-2sin2θ=7cos 2θ-4sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=7-4tan θtan 2θ+1=7-4×222+1=-15.故选：A .2(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.78【答案】D【分析】根据给定条件，求出tan α，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解.【详解】由cos α+π =-2sin α，得cos α=2sin α，则tan α=12，所以sin 2α-3cos α+π2 cos αcos2α+1=sin 2α+3sin αcos α2cos 2α=12tan 2α+32tan α=18+34=78.故选：D3(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】根据函数的奇偶性判断即可.【详解】设g x =1-e x1+e x，则g-x=1-e-x1+e-x=e x-11+e x=-g x ，所以g x 为奇函数，设h x =cos2x，可知h x 为偶函数，所以f x =1-e x1+e xcos2x为奇函数，则B，C错误，易知f0 =0，所以A正确，D错误．故选：A.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f(x)=(3sin x+cos x)cos x-12，若f(x)在区间-π4,m上的值域为-3 2,1，则实数m的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π12【答案】D【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f(x)，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.【详解】依题意，函数f(x)=3sin x cos x+cos2x-12=32sin2x+12cos2x=sin2x+π6，当x∈-π4,m时，2x+π6∈-π3,2m+π6，显然sin-π3=sin4π3=-32,sinπ2=1，且正弦函数y=sin x在π2,4π3上单调递减，由f(x)在区间-π4,m上的值域为-32,1，得π2≤2m+π6≤4π3，解得π6≤m≤7π12，所以实数m的取值范围是π6,7π12.故选：D5(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cosωx x∈R在0,π内恰有两个对称中心，fπ=1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若fα +gα =35，则cos4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-1925【答案】A【分析】根据y轴右边第二个对称中心在0,π内，第三个对称中心不在0,π内可求得32≤ω<52，结合fπ=1可得ω=2，再利用平移变换求出g x ，根据三角变换化简fα +gα =35可得sin2α+π6=35，然后由二倍角公式可解.【详解】由x∈0,π得ωx∈0,ωπ，因为函数f x 在0,π内恰有两个对称中心，所以3π2≤ωπ5π2>ωπ，解得32≤ω<52，又fπ=cosωπ=1，所以ωπ=kπ,k∈Z，即ω=k,k∈Z，所以ω=2，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数y=cos2x-π3=cos2x-2π3，即g x =cos2x-2π3，因为fα +gα =cos2α+cos2α-2π3=32sin2α+12cos2α=sin2α+π6=35，所以cos4α+π3=1-2sin22α+π6=1-2×35 2=725.故选：A6(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f(x)=sin2ωx+cos2ωx(ω>1)的一个零点是π2，且f(x)在-π6,π16上单调，则ω=()A.54B.74C.94D.114【答案】B【分析】整理可得f(x)=2sin2ωx+π4，以2ωx+π4为整体，根据单调性分析可得1<ω≤2，再结合零点分析求解.【详解】因为f(x)=sin2ωx+cos2ωx=2sin2ωx+π4，x∈-π6,π16，且ω>1时，可得2ωx+π4∈-π3ω+π4,π8ω+π4，且-π3ω+π4<0<π8ω+π4，若f(x)在-π6,π16上单调，则-π3ω+π4≥-π2π8ω+π4≤π2，解得1<ω≤2，又因为f(x)的一个零点是π2，则πω+π4=kπ,k∈Z，解得ω=k-14,k∈Z，所以k=2,ω=7 4 .故选：B.7(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin2x+φϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称【答案】D【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A、B；结合正弦函数最值可得C；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D.【详解】由题意可得2×π6+φ=kπk∈Z，解得φ=-π3+kπk∈Z，又ϕ <π2，故φ=-π3，即f x =sin2x-π3；对A：当x∈-π8 ,π3时，2x-π3∈-7π12,π3，由函数y=sin x在-7π12,π3上不为单调递增，故f x 在区间-π8 ,π3上不为单调递增，故A错误；对B：当x=5π6时，2x-π3=4π3，由x=4π3不是函数y=sin x的对称轴，故x=5π6不是f x 图象的对称轴，故B错误；对C：当x∈-π6 ,π4时，2x-π3∈-2π3,π6，则f x ∈-1,1 2，故C错误；对D：将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，可得y=sin2x+2×5π12-π3=sin2x+π2=cos2x，该函数关于y轴对称，故D正确.故选：D.8(2024·广东广州·二模)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f(x)的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π2【答案】A【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出ω和φ，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解.【详解】由fπ4=1，得sinπ4ω+φ=22，又点π4,1及附近点从左到右是上升的，则π4ω+φ=π4+2kπ,k∈Z，由f5π8=0，点5π8,0及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得5π8ω+φ=π+2kπ,k∈Z，联立解得ω=2，φ=-π4+2kπ,k∈Z，而|φ|<π2，于是φ=-π4，f(x)=2sin2x-π4，若将函数f(x)的图像向右平移θ(θ>0)个单位后，得到y=sin2x-2θ-π4，则-2θ-π4=π2-kπ,k∈Z，而θ>0，因此θ=-3π8+kπ2,k∈N，所以当k=1时，θ取得最小值为π8 .故选：A9(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sin ωx +3cos ωx (ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y =f x -2log πx 有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y =f x +φ 为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y =f x 在0,π3 上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y =f x 在0,π 上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256.A.1 B.2C.3D.4【答案】B【分析】利用辅助角公式化简函数，由图象分析判断①；由正弦函数的性质判断②③；由极大值的意义结合正弦函数的性质判断④.【详解】依题意，ω>0，函数f (x )=212sin ωx +32cos ωx =2sin ωx +π3，对于①：f (x )=2sin 2x +π3，令y =f x -2log πx =0，即f x =2log πx ，作出函数y =f (x )和函数y =2log πx 的图象，如图，观察图象知，两个函数在0,7π12 上只有一个零点，f 13π12 =2sin 5π2=2，当x =13π12时，y =2log π13π12=2log π1312+2log ππ=2+2log π1312>2，当x >13π12时，2log πx >2≥f (x )，因此函数y =f x 与函数y =2log πx 的图象有且只有一个交点，①正确；对于②：f (x +φ)=2sin 2x +2φ+π3 为奇函数，则2φ+π3=k π,k ∈Z ，φ=-π6+k π2,k ∈Z ，即正数φ的最小值为π3，②正确；对于③：当x ∈0,π3 时，ωx +π3∈π3,π(ω+1)3，由y =f x 在0,π3 上单调递增，得π(ω+1)3≤π2ω>0，解得0<ω≤12，正数ω有最大值12，③错误；对于④：当x ∈(0,π)时，ωx +π3∈π3,ωπ+π3，而y =f x 在(0,π)上恰有两个极值点，由正弦函数的性质得3π2<ωπ+π3≤5π2，解得76<ω≤136，因此ω的取值范围是76,136，④错误.综上，共2个正确，故选：B .10(2024·河北保定·二模)已知tan α=3cos αsin α+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-79【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出sin α，再结合二倍角公式即可求解.【详解】因为sin αcos α=3cos αsin α+11，所以4sin 2α+11sin α-3=0，解得sin α=14或sin α=-3(舍去)，所以cos2α=1-2sin 2α=78．故选：B .11(2024·河北衡水·三模)已知sin (3α-β)=m sin (α-β)，tan (2α-β)=n tan α，则m ，n 的关系为()A.m =2nB.n =m +1mC.n =m m -1D.n =m +1m -1【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解.【详解】依题意，sin (3α-β)=sin [(2α-β)+α]=sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α，sin (α-β)=sin [(2α-β)-α]=sin (2α-β)cos α-cos (2α-β)sin α，则sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α=m sin (2α-β)cos α-m cos (2α-β)sin α，即sin (2α-β)cos αcos (2α-β)sin α=m +1m -1，即tan (2α-β)tan α=m +1m -1=n .故选：D12(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin 2α2+sin α的值是()A.25B.45C.65D.85【答案】D【分析】利用二倍角公式和同角之间的转化，进行求解判断选项【详解】当tan α2=2，则sin 2α2+sin α=sin 2α2+2sin α2cos α2sin 2α2+cos 2α2=tan 2α2+2tan α2tan 2α2+1=22+2×222+1=85故选：D13(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sin α+β =2cos α+β ，sin αsin β-3cos αcos β=0，则tan α-β =()A.-1 B.-32C.-12D.12【答案】C【分析】找出tan α和tan β的关系，求出tan α和tan β即可求解.【详解】∵sin αsin β-3cos αcos β=0，∴sin αsin β=3cos αcos β，∴tan αtan β=3①，∵sin α+β =2cos α+β ，∴tan α+β =2⇒tan α+tan β1-tan αtan β=2⇒tan α+tan β1-3=2，∴tan α+tan β=-4②，由①②解得tan α=-1tan β=-3或tan α=-3tan β=-1 ，∵0<α<β<π，∴tan α<tan β，∴tan α=-3tan β=-1 ，∴tan α-β =tan α-tan β1+tan αtan β=-12.故选：C .二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-308【答案】ACD【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断A ；代入验证可判断B ；根据平移变化求g (x )，由奇偶性可求出φ，可判断C ；根据已知化简可得sin α-π12 =14，将目标式化为2sin α-π12 -π6 ，由和差角公式求解可判断D .【详解】对于A ，因为f (x )=31+cos2x +sin2x =2sin 2x +π3+3，所以f (x )的最小值周期T =2π2=π，所以2π是函数f (x )的一个周期，A 正确；对于B ，因为f π3 =2sin 2×π3+π3 +3=3，所以，点π3,0 不是函数f (x )的对称中心，B 错误；对于C ，由题知，g x =f (x -φ)=2sin 2(x -φ)+π3 +3=2sin 2x +π3-2φ +3，若函数g (x )为偶函数，则π3-2φ=π2+k π,k ∈Z ，得φ=-π12-k π2,k ∈Z ，因为φ>0，所以φ的最小值为5π12，C 正确；对于D ，若f 12α-5π24-3=2sin 212α-5π24 +π3 =2sin α-π12 =12，则sin α-π12 =14，因为α为锐角，-π12<α-π12<5π12，所以cos α-π12 =154，所以sin α-cos α=2sin α-π4 =2sin α-π12 -π6=232sin α-π12 -12cos α-π12=232×14-12×154=6-308，D 正确.故选：ACD 15(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增【答案】AC【分析】首先化简函数f x =12sin2x ，再根据函数的性质判断各选项.【详解】f x =sin x ⋅cos x =12sin2x ，函数的定义域为R ，对A ，f -x =-12sin2x =-f x ，所以函数f x 是奇函数，故A 正确；对B ，函数f x 的最小正周期为2π2=π，故B 错误；对C ，函数f x 的最小值为-12，故C 正确；对D ，x ∈0,π2 ，2x ∈0,π ，函数f x 不单调，f x 在0,π4 上单调递增，在π4,π2上单调递减，故D 错误.故选：AC16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增【答案】AC【分析】对于A ，直接用偶函数的定义即可验证；对于B ，直接说明f 0 ≠f π 即可否定；对于C ，先证明-3≤f x ≤2，再说明对-3≤u ≤2总有f x =u 有解即可验证；对于D ，直接说明f -5π6>f -2π3 即可否定.【详解】对于A ，由于f x 的定义域为R ，且f -x =sin -x -3cos -x =-sin x -3cos x =sin x -3cos x =f x ，故f x 是偶函数，A 正确；对于B ，由于f 0 =sin0 -3cos0=-3，f π =sinπ -3cosπ=3，故f 0 ≠f π ，这说明π不是f x 的周期，B 错误；对于C ，由于f x =sin x -3cos x ≤sin x +3cos x =sin x +3cos x 2≤sin x +3cos x 2+3sin x -cos x 2=sin 2x +3cos 2x +23sin x cos x +3sin 2x +cos 2x -23sin x cos x =4sin 2x +4cos 2x =4=2，且f x =sin x -3cos x ≥-3cos x ≥-3，故-3≤f x ≤2.而对-3≤u ≤2，有f 0 =-3≤u ，f 5π6 =2≥u ，故由零点存在定理知一定存在x ∈0,5π6使得f x =u .所以f x 的值域为-3,2 ，C 正确；对于D ，由于-π<-5π6<-2π3<-π2，f -5π6 =2>3=f -2π3 ，故f x 在-π,-π2上并不是单调递增的，D 错误.故选：AC .17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增【答案】BCD【分析】根据正弦函数的对称性求解φ判断A ，先求出h x =sin 2x -π3，然后利用正弦函数的对称性求解判断B ，根据对称函数的性质判断C ，结合正弦函数的单调性代入验证判断D .【详解】由题意得2×π12+φ=π2+k π，k ∈Z ，解得φ=π3+k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ=π3，A 错误；由φ=π3可知f x =sin 2x +π3，则h x =sin2x -sin 2x +π3 =12sin2x -32cos2x =sin 2x -π3，令2x -π3=k π，k ∈Z ，解得x =π6+k π2，k ∈Z ，令k =0，得x =π6，所以点π6,0 是曲线y =h x 的对称中心，B 正确；因为f π2-x =sin 2π2-x +π3 =sin 4π3-2x =sin 2x -π3=h x ，所以f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称，C 正确；当x ∈π6,5π12 时，2x -π3∈0,π2 ，故h x 在区间π6,5π12内单调递增，D 正确.故选：BCD 18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-12【答案】ACD【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出f x =sin 2x +π6，可得A 正确，B 错误；由诱导公式可得C 正确；整体代入由正弦函数的值域可得D 正确.【详解】由题意得f x =sin 2ω+φ ，由图象可得f 0 =12⇒sin φ=12，又0<φ<π2，所以φ=π6，由五点法可得ω×4π3+π6=3π2⇒ω=1，所以f x =sin 2x +π6 .A ：由以上解析可得φ=π6，故A 正确；B ：由以上解析可得ω=1，故B 错误；C ：f x +π6 =sin 2x +π6 +π6=cos2x ，故C 正确；D ：当x ∈0,π2 ⇒2x +π6∈π6,7π6 时，sin 2x +π6 ∈-12,1，所以最小值为-12，故D 正确；故选：ACD .19(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限【答案】ACD【分析】根据三角函数的定义，可求角α的三角函数，结合诱导公式判断A 的真假；利用二倍角公式，求出2α的三角函数值，结合三角函数的概念指出角2α的终边与单位圆的交点，由对称性确定角β终边与单位圆交点，从而判断BCD 的真假.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P -3,4 ，所以：OP =5，所以sin α=45，cos α=-35，所以cos π+α =-cos α=35，故A 对；又sin2α=2sin α⋅cos α=2×45×-35 =-2425，cos2α=cos 2α-sin 2α=-35 2-45 2=-725，所以2α的终边与单位圆的交点坐标为：-725,-2425 ，因为角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，所以角β的终边与单位圆的交点为2425,725，所以tan β=724，且β的终边在第一象限，故CD 正确；又因为终边在直线y =-x 的角为：k π-π4,k ∈Z ，角2α的终边与角β的终边关于y =-x 对称，所以2α+β2=k π-π4⇒β=2k π-π2-2αk ∈Z ，故B 错误.故选：ACD20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数 D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点【答案】ABD【分析】对于A ：计算h x +2π ，化简即可；对于B ：求出h x ，然后计算h 0 h π2的正负即可；对于C ：计算h x ,h -x 是否恒相等即可；对于D ：令f x =0g x =0，求解x 即可.【详解】对于A ，∀x ∈R ，h x +2π =λf x +2π +μg x +2π =λf x +μg x =h x ，A 正确；对于B ，h x =λcos x -2sin2x +μ2cos2x -sin x ，则h 0 =λ+2μ，h π2=-3μ，因为λμ>0，即λ，μ同号，所以h 0 h π2<0，由零点存在定理知h x 在0,π2上总有零点，故B 正确；对于C ，h x =λsin x +λcos2x +μsin2x +μcos x ，h -x =-λsin x +λcos2x -μsin2x +μcos x ，由h x =h -x 得2λsin x +2μsin2x =2λsin x +2μ⋅2sin x cos x =2sin x λ+2μcos x =0对x ∈R 恒成立，则λ=μ=0与题意不符，故C 错误；对于D ，令f x =0g x =0 ，则sin x +cos2x =1-2sin 2x +sin x =-sin x -1 2sin x +1 =0sin2x +cos x =cos x 2sin x +1 =0 ⇒sin x =1或sin x =-12cos x =0或sin x =-12，即x ∈-π6+2k π,π2+2k π,7π6+2k π ，k ∈Z ，故所有定点坐标为-π6+2k π,0 ，π2+2k π,0 ，7π6+2k π,0 ，k ∈Z ，又因为x ∈0,2π ，所以函数h x 的图象过定点π2,0 ，7π6,0 ，11π6,0 ，故D 正确；故选：ABD ．21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为12【答案】ABD【分析】根据题意，求得g x =-12cos2x 的图象，结合三角函数的图象与性质，以及两角差的正弦公式，逐项判定，即可求解.【详解】将函数f x =12cos 2x -π3 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x =12cos 2x -π =-12cos2x 的图象，对于A 中，令x =π6，求得f x =12，即为函数y =f x 最大值，所以直线x =π6是函数f x 图象的一条对称轴，所以A 正确；对于B 中，令2k π≤2x -π3≤2k π+π,k ∈Z ，解得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z ，可得f x 的单调减区间为k π+π6,k π+2π3,k ∈Z ，所以B 正确.对于C 中，由于g x =-12cos2x 是偶函数，可得函数g x 的图象关于y 轴对称，所以C 错误.对于D 中，由f x +g x =12cos 2x -π3 +-12cos2x =1212cos2x +32sin2x -12cos2x =34sin2x -14cos2x =12sin 2x -π6 ≤12，即f x +g x 的最大值为12，所以D 正确.故选：ABD .22(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8【答案】BCD【分析】根据三角恒等变换化简f x =2sin 2ωx +π3，进而根据周期可判断A ，根据整体法求解函数的值域判断B ，根据函数图象的平移可判断C ，根据零点个数确定不等式满足的条件可判断D .【详解】f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3=sin2ωx cos π3+cos2ωx sin π3+sin2ωx cos π3-cos2ωx sin π3+3cos2ωx=sin2ωx +3cos2ωx =2sin 2ωx +π3，对于A ，若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则T =2×π2=π=2π2ω,故ω=1，A 错误，对于B ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3 ，当x ∈0,π2 时，2x +π3∈π3,4π3，则f x 的值域为-3,2 ，B 正确，对于C ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为f x +π6 =2sin 2x +π6 +π3 =2sin 2x +2π3 =2cos 2x +π6，C 正确，对于D ，当x ∈0,π6 时，2ωx +π3∈π3,2ωπ6+π3，若f x 在区间0,π6 上有且仅有两个零点，则2π≤2ωπ6+π3<3π，解得5≤ω<8，故D 正确，故选：BCD 三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．【答案】π[-1,1]【分析】把ω=1代入，t 明智二倍角的正弦，结合正弦函数的周期求出f (x )的最小正周期；把ω=2代入，利用二倍角的余弦公式，借助换元法，利用导数求出f (x )的值域.【详解】当ω=1时，f (x )=sin x cos x =12sin2x ，函数f (x )的最小正周期为2π2=π；当ω=2时，f (x )=sin x cos2x =sin x (1-2sin 2x )，令sin x =t ∈[-1,1]，g (t )=t (1-2t 2)=-2t 3+t ，求导得g (t )=-6t 2+1，当-1≤t <-66或66<t ≤1时，g (t )<0，当-66<t <66时，g (t )>0，函数g (t )在-1,-66 ，66,1 上单调递减，在-66,66上单调递增，g (-1)=1,g 66 =69，g (1)=-1,g -66 =-69，所以g (t )min =-1,g (t )max =1，f (x )的值域是[-1,1].故答案为：π；[-1,1]24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.【答案】-45/-0.8【分析】利用辅助角公式化简f (x )的解析式，再由题意可得函数关于x =α对称，且最小正周期T =π，即可求出ω的值，从而得到2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得．【详解】因为f (x )=sin ωx -2cos ωx =5sin ωx -φ ，其中tan φ=2，由f α+x =f α-x ，可得f x 关于x =α对称，又两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，所以f x 的最小正周期T =π，又ω>0，所以2πω=π，解得ω=2，所以f x =5sin 2x -φ ，所以2α-φ=π2+k π,k ∈Z ，则2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，所以sin4α=sin2φ+π2+k π =sin 2φ+π+2k π =-sin2φ=-2sin φcos φsin 2φ+cos 2φ=-2tan φtan 2φ+1=-2×222+1=-45.故答案为：-4525(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.【答案】191【分析】由tan α=m tan β得到sin αcos β=m cos αsin β，再结合cos α-β =35，利用sin α-β =-45，得到cos αsin β=-45m -1 ，sin αcos β=-4m5m -1 ，从而sin α+β =-4m +1 5m -1，再由满足条件的α与β存在且唯一，得到α+β唯一，从而sin α+β =-4m +15m -1=1，求得m 即可.【详解】解：由tan α=m tan β，得sin αcos α=m sin βcos β，即sin αcos β=m cos αsin β，因为0<α<β<π2，tan α=m tan β，所以-π2<α-β<0，0<m <1，又cos α-β =35，所以sin α-β <0，从而sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=m -1 cos αsin β=-45，所以cos αsin β=-45m -1，所以sin αcos β=m cos αsin β=-4m5m -1，所以sin α+β =sin αcos β+cos αsin β=-4m +15m -1，因为α,β∈0,π2，所以α+β∈0,π ，因为满足条件的α与β存在且唯一，所以α+β唯一，所以sin α+β =-4m +1 5m -1=1，所以m =19，经检验符合题意，所以tan α=19tan β，则tan α-β =-43=tan α-tan β1+tan αtan β=tan α-9tan α1+9tan 2α，解得tan α=13，所以tan αtan β=9tan 2α=1.故答案为：19，1【点睛】关键点点睛：关键是结合已知得出sin α+β =-4m +15m -1 =1，求出m ，由此即可顺利得解.。
(完整版)高考数学函数专题习题及详细答案
函数专题练习1。
函数1()x y e x R +=∈的反函数是（ ）A ．1ln (0)y x x =+>B ．1ln (0)y x x =->C ．1ln (0)y x x =-->D ．1ln (0)y x x =-+>2。
已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是(A ）(0,1) (B ）1(0,)3 (C ）11[,)73（D ）1[,1)73。
在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠，1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有 (A )1()f x x=（B )()||f x x = (C ）()2x f x =(D ）2()f x x =4。
已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时,()lg .f x x =设63(),(),52a f b f ==5(),2c f =则(A ）a b c << （B ）b a c << (C ）c b a << (D ）c a b <<5.函数2()lg(31)f x x =++的定义域是 A .1(,)3-+∞ B . 1(,1)3- C 。
11(,)33- D . 1(,)3-∞-6、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A .3 ,y x x R =-∈B . sin ,y x x R =∈C 。
,y x x R =∈R7、函数()y f x =的反函数1()y f x -=的图像与y 轴交于点(0,2)P （如右图所示），则方程()0f x =在[1,4]上的根是x =A 。
4B .3C . 2D .18、设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是(A )()()f x f x -是奇函数 （B )()()f x f x -是奇函数（C ) ()()f x f x --是偶函数 （D ） ()()f x f x +-是偶函数9、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则A ．()22()x f x e x R =∈B ．()2ln 2ln (0)f x x x =>C ．()22()x f x e x R =∈D ．()2ln ln 2(0)f x x x =+>)10、设1232,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为， （A ）0 (B )1 （C ）2 （D )311、对a ，b ∈R ，记max {a ，b }＝⎩⎨⎧≥b a b ba a ＜,,，函数f （x ）＝max {|x ＋1｜，｜x －2|｝（x ∈R )的最小值是(A ）0 （B ）12 (C ) 32（D ）3 12、关于x 的方程222(1)10x x k ---+=，给出下列四个命题: ①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根； 其中假．命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3（一） 填空题（4个)1.函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =_______________。
高考数学专题《函数的单调性与最值》习题含答案解析
专题3.2 函数的单调性与最值1．（2021·全国高一课时练习）函数f(x)=1,01,0x xx x+≥⎧⎨-<⎩在R上（）A．是减函数B．是增函数C．先减后增D．先增后减【答案】B【解析】画出函数图像即可得解.【详解】选B.画出该分段函数的图象，由图象知，该函数在R上是增函数.故选：B.2．（2021·全国高一课时练习）若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有()-()-f a f ba b>0成立，则必有（）A．f(x)在R上是增函数B．f(x)在R上是减函数C．函数f(x)先增后减D．函数f(x)先减后增【答案】A【解析】根据条件可得当a<b时，f(a)<f(b)，或当a>b时，f(a)>f(b)，从而可判断.【详解】练基础由()-()-f a f b a b>0知f (a )-f (b )与a -b 同号，即当a <b 时，f (a )<f (b )，或当a >b 时，f (a )>f (b )，所以f (x )在R 上是增函数. 故选：A.3．（2021·全国高一课时练习）设函数f (x )是(-∞，+∞)上的减函数，则 （ ） A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2+a )<f (a ) D ．f (a 2+1)<f (a )【答案】D 【解析】利用0a =排除ABC ，作差可知21a a +>，根据单调性可知D 正确. 【详解】当0a =时，选项A 、B 、C 都不正确； 因为22131()024a a a +-=-+>，所以21a a +>， 因为()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，所以2(1)()f a f a +<，故D 正确.故选：D4．（2021·西藏高三二模（理））已知函数()332f x x x =--，若()()320f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(),3-∞ B ．()3,+∞C ．(),3-∞-D ．()3,-+∞【答案】C 【解析】根据函数为奇函数且在R 上单调递减可得()()32f m f m -<求解. 【详解】易知()f x 为R 上的奇函数，且在R 上单调递减， 由()()320f m f m -+-<， 得()()()322f m f m f m -<--=， 于是得32m m ->，解得3m <-． 故选：C ．5．（2021·广西来宾市·高三其他模拟（理））已知定义在R 上的偶函数()f x 满足在[0,)+∞上单调递增，(3)0f =，则关于x 的不等式(2)(2)0f x f x x++-->的解集为（ ）A ．(5,2)(0,)--+∞ B ．(,5)(0,1)-∞- C ．(3,0)(3,)-⋃+∞ D ．(5,0)(1,)-+∞【答案】D 【解析】根据题意作出函数()f x 的草图，将(2)(2)0f x f x x++-->，转化为2(2)0f x x +>，利用数形结合法求解. 【详解】因为定义在R 上的偶函数()f x 满足在(0,)+∞内单调递增， 所以()f x 满足在(,0)-∞内单调递减，又(3)0f =， 所以(3)(3)0f f -==． 作出函数()f x 的草图如下：由(2)(2)0f x f x x ++-->，得(2)[(2)]0f x f x x++-+>，得2(2)0f x x+>， 所以0,(2)0,x f x >⎧⎨+>⎩或0,(2)0,x f x <⎧⎨+<⎩所以0,23,x x >⎧⎨+>⎩或0,323,x x <⎧⎨-<+<⎩ 解得1x >或5x 0-<<， 即不等式(2)(2)0f x f x x++-->的解集为(5,0)(1,)-+∞．故选：D6．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三三模（文））已知函数()22f x x x -=-（ ）A ．是奇函数，0,单调递增B ．是奇函数，0,单调递减C ．是偶函数，0,单调递减D ．是偶函数，0,单调递增【答案】D 【解析】利用奇偶性和单调性的定义判断即可 【详解】解：定义域为{}0x x ≠， 因为2222()()()()f x x x x x f x ---=---=-=，所以()f x 为偶函数，任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，则2222212211()()f x f x x x x x ---=--+212122121()()(1)x x x x x x =-++， 因为12x x <，12,(0,)x x ∈+∞，所以212122121()()(1)0x x x x x x -++>，所以21()()f x f x >，所以()f x 在0,单调递增，故选：D7．（2021·全国高三月考（理））若()f x 是奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(4)0f -=，则(2)(2)0f x f x x+--->的解集是（ ）A ．(4,0)(4,)-⋃+∞B ．(6,2)(0,2)--⋃C ．(6,2)(2,)--⋃+∞D ．(,4)(0,4)-∞-⋃【答案】B 【解析】根据函数()f x 为奇函数，(4)0f -=得到(4)0f =，再由函数在(,0)-∞上是减函数，作出函数()f x 的图象，再由(2)(2)0f x f x x +--->，等价于2(2)0f x x+>，利用数形结合法求解.【详解】因为函数()f x 为奇函数， 所以(4)(4)0f f -=-=， 所以(4)0f =，因为函数()f x 在(,0)-∞上是减函数， 所以函数()f x 在(0,) +∞上是减函数． 作出函数()f x 的大致图象如图所示，而(2)(2)0f x f x x +--->，等价于(2)[(2)]0f x f x x +--+>，即2(2)0f x x+>，则0(2)0x f x <⎧⎨+<⎩或0(2)0x f x >⎧⎨+>⎩，所以0420x x <⎧⎨-<+<⎩或0024x x >⎧⎨<+<⎩，解得62x -<<-或02x <<． 综上，(2)(2)0f x f x x+--->的解集是(6,2)(0,2)--⋃．故选：B8．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数()||2f x x x x =⋅-，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数，递增区间是()0-∞，B ．()f x 是偶函数，递减区间是()1-∞，C ．()f x 是奇函数，递减区间是(11)-， D ．()f x 是奇函数，递增区间是(0)+∞，【答案】C 【解析】将函数解析式化为分段函数型，画出函数图象，数形结合即可判断； 【详解】解：将函数()||2f x x x x =⋅-去掉绝对值得2220()20x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，，，画出函数()f x 的图象，如图，观察图象可知，函数()f x 的图象关于原点对称，故函数()f x 为奇函数，且在(11)-，上单调递减， 故选：C9．（2021·宁夏银川市·高三二模（文））设函数()21f x x x=-，则()f x （ ）A ．是偶函数，且在(),0-∞单调递增B ．是偶函数，且在(),0-∞单调递减C ．是奇函数，且在(),0-∞单调递增D ．是奇函数，且在(),0-∞单调递减【答案】B 【解析】利用定义可判断函数()f x 的奇偶性，化简函数()f x 在(),0-∞上的解析式，利用函数单调性的性质可判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性. 【详解】函数()21f x x x =-的定义域为{}0x x ≠，()()()2211f x x x f x x x-=--=-=-， 所以，函数()f x 为偶函数， 当0x <时，()21f x x x=+，由于函数2y x 、1y x=在(),0-∞上均为减函数，所以，函数()f x 在(),0-∞上单调递减， 故选：B.10．（2021·全国高一课时练习）已知y =f (x )是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f (m -1)>f (1-2m )，则m 的取值范围是_______. 【答案】1223⎛⎫- ⎪⎝⎭， 【解析】结合函数定义域和函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】由题意得：-2-12-21-22-11-2m m m m <<⎧⎪<<⎨⎪<⎩，，，解得12-<m <23.故答案为：1223⎛⎫- ⎪⎝⎭，1．（2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学高二月考（文））定义在*N 上的函数()22,3,3x ax a x f x ax x ⎧-+<=⎨≥⎩为递增函数，则头数a 的取值范围是（ ） A ．()1,2 B ．33,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()1,3【答案】D 【解析】练提升根据定义域和单调性可知()()12f f <，再根据3x ≥时()f x 的单调性判断出()()32f f >，由此求解出a 的取值范围..【详解】因为*x ∈N ，所以3x <时，即{}1,2x ∈，由单调性可知()()21f f >，所以22142a a a a -+<-+，解得3a <；当3x ≥时，y ax =为增函数，若()f x 单调递增，则只需()()32f f >，所以2342a a a >-+，解得14a <<，综上可知a 的取值范围是：()1,3， 故选：D.2．（2021·上海高三二模）已知函数()(),y f x y g x ==满足：对任意12,x x R ∈，都有()()()()1212f x f x g x g x -≥-．命题p ：若()y f x =是增函数，则()()y f x g x =-不是减函数；命题q ：若()y f x =有最大值和最小值，则()y g x =也有最大值和最小值． 则下列判断正确的是（ ） A ．p 和q 都是真命题 B ．p 和q 都是假命题 C ．p 是真命题，q 是假命题 D ．p 是假命题，q 是真命题【答案】A 【解析】利用函数单调性定义结合已知判断命题p 的真假，再利用函数最大、最小值的意义借助不等式性质判断命题q 的真假而得解. 【详解】对于命题p ：设12x x <，因为()y f x =是R 上的增函数，所以()()12f x f x <， 所以()()()()1221f x f x f x f x -=-， 因为()()()()1212f x f x g x g x -≥-，所以()()()()211221()()f x f x g x g x f x f x -+≤-≤-所以()()1122()()f x g x f x g x -≤- 故函数()()y f x g x =-不是减函数， 故命题p 为真命题；对于命题():q y f x =在R 上有最大值M ，此时x a =，有最小值m ，此时x b =， 因为()()()()()()()()f x f a g x g a f x M g x g a M f x -≥-⇔-≤-≤-，()()()()()()()()f x f b g x g b m f x g x g b f x m -≥-⇔-≤-≤-所以()()()()2()()()()22m M g a g b M m g a g b m M g x g a g b M m g x -++-++-≤--≤-⇔≤≤，所以()y g x =也有最大值和最小值，故命题q 为真命题． 故选：A3．（2021·全国高三二模（理））已知实数a ，b ，c ，d 满足a b c >>，且0a b c ++=，220ad bd b +-=，则d 的取值范围是（ ） A ．(][),10,-∞-+∞B ．()1,1-C ．(D ．(11--+【答案】D 【解析】先求解出方程的解1,2d ，然后利用换元法（bt a=）将d 表示为关于t 的函数，根据条件分析t 的取值范围，然后分析出d 关于t 的函数的单调性，由此求解出d 的取值范围. 【详解】因为220ad bd b +-=，所以1,2b b d a a -==-±2440b ab ∆=+≥，令bt a=，则1,2d t =-±20t t +≥，所以(][),10,t ∈-∞-+∞，又因为0a b c ++=且a b c >>，所以0a >且c a b b a =--<<， 所以2,a b b a -<<，所以112bt a-<=<，所以[)0,1t ∈，当[)0,1t ∈时，())10,1d t t =-==∈， 因为1y t=在()0,1上单调递减，所以y t =-()0,1上单调递增， 当0t =时，10d =，当1t =时，11d =，所以)11d ⎡∈⎣； 当[)0,1t ∈时，2d t =-，因为y t =、2y t t =+在[)0,1上单调递增，所以y t =-[)0,1上单调递减， 当0t =时，20d =，当1t =时，21d =-(21d ⎤∈-⎦，综上可知：(11d ∈---， 故选：D.4．【多选题】（2021·湖南高三三模）关于函数()111f x x x =++的结论正确的是（ ） A ．()f x 在定义域内单调递减 B ．()f x 的值域为R C ．()f x 在定义城内有两个零点 D ．12y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是奇函数 【答案】BD 【解析】根据所给函数结合函数性质，对各项逐个分析判断， 即可得解. 【详解】()111f x x x =++的定义域为(,1)(1,0)(0,)-∞--+∞， 而1x和11x +在各段定义域内均为减函数， 故()f x 在各段上为减函数，但不能说在定义域内单调递减，故A 错误； 当(1,0)x ∈- ，1x →-时，有()111f x x x =+→+∞+， 当0x →时，有()111f x x x =+→-∞+，所以()f x 的值域为R ，故B 正确； 令()2112101x f x x x x x+=+==++，可得12x =-，所以()f x 在定义城内有一个零点，故C 错误；2211128111241224x x y f x x x x x ⎛⎫=-=+== ⎪-⎝⎭-+-， 令28()41x g x x =-，易知12x ≠±，此时定义域关于原点对称，且28()()41xg x g x x --==--，故()g x 为奇函数， 所以12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数，故D 正确， 故选：BD.5．【多选题】（2021·全国高三专题练习）(多选题)已知函数f (x )的定义域为R ，对任意实数x ，y 满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋12，且f 1()2＝0，当x >12时，f (x )>0，则以下结论正确的是（ ） A ．f (0)＝－12，f (－1)＝－32B ．f (x )为R 上的减函数C ．f (x )＋12为奇函数 D ．f (x )＋1为偶函数 【答案】AC 【解析】取0x y ==，11,22x y ==-，12x y ==-得出(0)f ，12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(1)f -的值进而判断A ；由(1)(0)f f -<判断B ；令y x =-结合奇偶性的定义判断C ；令1()()2=+g x f x ，结合g (x )为奇函数，得出()1()f x f x -+=-，从而判断D.【详解】由已知，令0x y ==，得1(0)(0)(0)2f f f =++，1(0)2f ∴=-，令11,22x y ==-，得1111122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，112f ⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，再令12x y ==-，得1111122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3(1)2f ∴-=-，A 正确；(1)(0)f f -<，()f x ∴不是R 上的减函数，B 错误；令y x =-，得1()()()2f x x f x f x -=+-+，11()()022f x f x ⎡⎤⎡⎤∴++-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故C正确；令1()()2=+g x f x ，由C 可知g (x )为奇函数，11()()22g x g x ∴-+=-+，即1111()()2222f x f x ⎡⎤⎡⎤-++=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()1()f x f x ∴-+=-，故D 错误. 故选：AC6．【多选题】（2021·全国高一单元测试）如果函数()f x 在[,]a b 上是增函数，对于任意的1212,[,]()x x a b x x ∈≠，则下列结论中正确的是（ ）A ．1212()()0f x f x x x ->-B ．1212()[()()]0x x f x f x -->C ．12()()()()f a f x f x f b ≤<≤D ．12()()f x f x >E.1212()()0f x f x x x -<-【答案】AB 【解析】利用函数单调性的定义：12x x -与12()()f x f x -同号，判断A 、B 、E 的正误；而对于C 、D 选项，由于12,x x 的大小不定，1()f x 与2()f x 的大小关系不能确定. 【详解】由函数单调性的定义知，若函数()y f x =在给定的区间上是增函数，则12x x -与12()()f x f x -同号，由此可知，选项A ，B 正确，E 错误；对于选项C 、D ，因为12,x x 的大小关系无法判断，则1()f x 与2()f x 的大小关系确定也无法判断，故C ，D 不正确．故选：AB.7．【多选题】（2021·全国高一课时练习）（多选题）已知函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[,]m n D ⊆使得()f x ：（1）()f x 在[,]m n 上是单调函数； （2）()f x 在[,]m n 上的值域是[2,2]m n ， 则称区间[,]m n 为函数()f x 的“倍值区间”． 下列函数中存在“倍值区间”的有（ ） A ．2()f x x =； B ．1()f x x=； C ．1()f x x x=+； D ．23()1x f x x =+．【答案】ABD 【解析】函数中存在“倍值区间”，则()f x 在[],m n 内是单调函数,()()22f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()22f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，对四个函数的单调性分别研究，从而确定是否存在“倍值区间”． 【详解】函数中存在“倍值区间”，则（1）()f x 在[,]m n 内是单调函数，（2）()2()2f m m f n n =⎧⎨=⎩或()2()2f m nf n m=⎧⎨=⎩，对于A ，2()f x x =，若存在“倍值区间”[,]m n ，则()2()2f m m f n n =⎧⎨=⎩⇒2222m m n n⎧=⎨=⎩⇒02m n =⎧⎨=⎩，2()f x x ∴=，存在“倍值区间”[0,2]；对于B ，1()()f x x R x =∈，若存在“倍值区间”[,]m n ，当0x >时，1212n m mn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⇒12mn =，故只需12mn =即可，故存在； 对于C ，1()f x x x=+；当0x >时，在区间[0,1]上单调递减，在区间[1,)+∞上单调递增， 若存在“倍值区间”1[],1][0,2n m n m m ⊆⇒+=，212210n m m mn n+=⇒-+=，222210n mn m n -+=⇒=不符题意；若存在“倍值区间”1[,][1,)2m n m m m ⊆+∞⇒+=，22121n n m n n+=⇒==不符题意，故此函数不存在“倍值区间“； 对于D ，233()11x f x x x x==++，所以()f x 在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,)+∞上单调递减，若存在“倍值区间”[,][0,1]m n ⊆，2321m m m =+，2321n n n =+，0m ∴=，2n =， 即存在“倍值区间”[0,2； 故选：ABD ．8．（2021·全国高三专题练习（理））已知1a >，b R ∈，当0x >时，[]24(1)102x a x b x ⎛⎫---⋅-≥ ⎪⎝⎭恒成立，则3b a +的最小值是_____．3 【解析】根据题中条件，先讨论10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦，根据不等式恒成立求出114(1)21b a a ⎡⎤≥--⎢⎥-⎣⎦；再讨论1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭，求出114(1)21b a a ⎡⎤≤--⎢⎥-⎣⎦得到b ，再由基本不等式即可求出结果.【详解】当10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦时，(1)10a x --<，即2402x b x--≤恒成立， 24222x x y x x-==-是10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦上的增函数， ∴114(1)21b a a ⎡⎤≥--⎢⎥-⎣⎦， 当1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭时，(1)10a x -->，即2402x b x--≥恒成立，24222x x y x x-==-是1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭上的增函数， ∴114(1)21b a a ⎡⎤≤--⎢⎥-⎣⎦， ∴114(1)21b a a ⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦，∴13(1)332(1)b a a a +=+-+≥-，当12a =+时等号成立．3.9．（2021·全国高三专题练习）对于满足2p ≤的所有实数p ，则使不等式212x px p x ++>+恒成立的x的取值范围为______．【答案】()()13+-∞-⋃∞，，． 【解析】将不等式转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数函数值大于0恒成立求参变量x 的范围的问题． 【详解】解：原不等式可化为2(1)210x p x x -+-+>，令2()(1)21f p x p x x =-+-+，则原问题等价于()0f p >在[2,2]p ∈-上恒成立，则(2)0(2)0f f ->⎧⎨>⎩，即2243010x x x ⎧-+>⎨->⎩解得：1311x x x x ⎧⎪⎨-⎪⎩或或∴1x <-或3x >． 即x 的取值范围为()()13+-∞-⋃∞，，. 故答案为：()()13+-∞-⋃∞，，. 10．（2021·上海高三二模）已知a R ∈，函数()22,011,02x a x x f x x ax a x ⎧++-≥⎪=⎨-++<⎪⎩的最小值为2a ，则由满足条件的a 的值组成的集合是_______________.【答案】{3- 【解析】讨论a -与0、2的大小关系，判断函数()f x 在[)0,+∞、(),0-∞上的单调性与最小值，根据函数()f x 的最小值列方程解出实数a 的值.【详解】分以下三种情况讨论：①若0a -≤时，即当0a ≥时，()222,22,0211,02x a x f x a x x ax a x ⎧⎪+->⎪=+≤≤⎨⎪⎪-++<⎩，所以，函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()112f x a >+， 当0x ≥时，()min 1212f x a a =+>+， 此时，函数()f x 无最小值；②若02a <-≤时，即当20a -≤<时，()222,22,222,011,02x a x a a x f x x a x a x ax a x +->⎧⎪+-≤≤⎪⎪=⎨--+≤<-⎪⎪-++<⎪⎩，当0x <时，()211242a a f x f a ⎛⎫≥=-++ ⎪⎝⎭， 当0x ≥时，()2f x a ≥+.22a a +>，所以，21242a aa -++=，整理可得2640a a +-=，20a -≤<，解得3a =-±； ③当2a ->时，即当2a <-时，()222,2,222,0211,02x a x a a x a f x x a x x ax a x +->-⎧⎪--≤≤-⎪⎪=⎨--+≤<⎪⎪-++<⎪⎩，当0x <时，()211242a a f x f a ⎛⎫≥=-++ ⎪⎝⎭， 当0x ≥时，()2f x a ≥--.因为202a a -->>，所以，21242a aa -++=，整理可得2640a a +-=，2a <-，解得3a =-3a =-+.综上所述，实数a的取值集合为{3-.故答案为：{3-.1．（2020·全国高考真题（文））设函数331()f x x x =-,则()f x （ ） A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A 【解析】根据函数的解析式可知函数的定义域为{}0x x ≠，利用定义可得出函数()f x 为奇函数， 再根据函数的单调性法则，即可解出． 【详解】因为函数()331f x x x =-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-， 所以函数()f x 为奇函数．又因为函数3y x =在0,上单调递增，在,0上单调递增， 而331y x x-==在0,上单调递减，在,0上单调递减，所以函数()331f x x x=-在0,上单调递增，在,0上单调递增．故选：A ．2.（2019·北京高考真题（文））下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．12y x = B ．y =2x -C ．12log y x =D ．1y x=【答案】A 【解析】函数122,log xy y x -==， 练真题1y x=在区间(0,)+∞ 上单调递减， 函数12y x = 在区间(0,)+∞上单调递增，故选A .3．（2018·全国高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【答案】D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .4.(2017课标II)函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是（ ） A.(,2)-∞- B. (,1)-∞- C. (1,)+∞ D. (4,)+∞ 【答案】D【解析】函数有意义，则：2280x x --> ，解得：2x <- 或4x > ，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为()4,+∞ . 故选D.5.(2017天津)已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则,,a b c 的大小关系为（ ）（A ）a b c <<（B ）b a c <<（C ）c b a <<（D ）c a b << 【答案】C【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且：0.822log 5log 4.12,122>><<， 据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>， 即,a b c c b a >><<，本题选择C 选项.6．（2020·北京高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论： ①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是____________________． 【答案】①②③ 【解析】根据定义逐一判断，即可得到结果 【详解】()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确； 故答案为：①②③。
高考三角函数(含答案)
三角函数习题一、选择题1、以下四个命题中：（1）第一象限的角一定不是负角；（2）小于90°的角是锐角；（3）锐角是第一象限的角；（4）第二象限期角是钝角，其中正确命题个数是 （ ）A 、1 ； B 、2； C 、3 ； D 、4。
2.下列角中终边与-300°的终边相同的角是 （ ）A-60°； B 、300°； C 、60°； D 、630°。
3.终边在坐标轴上角的集合可以表示成 （ ）。
A 、0{|90}2k k Z αα=⋅∈，； B 、 0{|180}k k Z αα=⋅∈，；C 、 0{|180}k k Z αα=⋅∈0+90，；D 、 {α| α=k ·360°+90°,k ∈Z }。
4.若α是第一象限的角,则2α所在的象限为（ ）。
A 、第一象限； B 、 第一或第二象限； C 、 第一或三象限； D 、 第一或四象限。
5.下列命题正确的是 （ ）。
A 、 用弧度制表示的角都是正角；B 、1弧度角的大小与圆的半径无关；C 、大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大；D 、圆心角为1弧度的扇形的弧长相等。
6、终边落在x 轴上的角的集合是（ ）。
A 、{α|α=2k π,k ∈Z}；B 、{α|α=k π,k ∈Z}；C 、{α|α=（2k+1）π,k ∈Z}；D 、{α|α=2k π,k ∈Z}7、若α的终边在y 轴上，则在α的六种三角函数中，函数值不存在的是（ ）。
A 、sin α与cos α ；B 、t a n α与cot α；C 、t a n α与sec α；D 、cot α与csc α。
8、若角α的终边经过点P （－3，－2），则（ ）A 、sin α·t a n α>0 ；B 、cos α·t a n α>0；C 、sin α·cos α>0 ；D 、sin α·cot α>0。
高考真题数学答案及解析
高考真题数学答案及解析一、选择题1. 题目：若函数f(x) = ax^2 + bx + c在点x=2处取得极小值，且已知f(1)=3，f(3)=15，则a的值为____。
解析：由题意可知，函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=2处取得极小值，所以f'(x)在x=2处为0。
首先求导数f'(x) = 2ax + b。
将x=2代入得到4a + b = 0。
又已知f(1)=3，f(3)=15，将x=1和x=3分别代入原函数得到两个方程：a + b + c = 3和9a + 3b + c = 15。
联立这三个方程解得a=1，b=-2，c=4。
所以a的值为1。
2. 题目：设集合A={x|x=2n, n∈Z}，B={x|x=2n+1, n∈Z}，则A∪B的元素个数为____。
解析：集合A表示所有偶数的集合，集合B表示所有奇数的集合。
由于整数集包括所有的偶数和奇数，所以A∪B就是整个整数集。
因此，A∪B的元素个数为无穷多个。
3. 题目：已知三角形ABC中，∠A=90°-∠B，AB=AC，点D为BC中点，连接AD，若∠BAD=15°，则∠BAC的度数为____。
解析：由于AB=AC，所以三角形ABC为等腰直角三角形，∠BAC=45°。
又因为∠A=90°-∠B，所以∠B=45°。
由于点D为BC中点，AD为中线，所以AD=BD=CD。
又因为∠BAD=15°，所以∠DAC=∠BAC-∠BAD=45°-15°=30°。
因此，∠BAC的度数为30°。
二、填空题1. 题目：若等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2，公差d=3，求S10的值为____。
解析：等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)。
将n=10，a1=2，d=3代入公式得：S10 = 10/2 * (2*2 + (10-1)*3) = 5 * (4 + 27) = 5 * 31 = 155。
高考数学专题指数函数、对数函数、幂函数试题及其答案
指数函数、 对数函数、曷函数专题1.函数 f(x) 3x (0 x w 2)值域为( A. (0,) B. (1,9] C. (0,1) D. [9,2.给出以下三个等式:f (xy) f(x) f(y), f(x y) f(x)f(y), f (x y)f (x) f(y)以下1 f(x)f(y)函数中不满足其中任何一个等式的是 A. f(x) 3x B. f (x) sin x C.f (x) log 2 x D . f(x) tan x3. 以下四个数中的最大者是( A . (ln2) 2 B. In (ln2)C. ln<2D. ln24. 假设 A= { x Z |2 B={x R||log 2x| 1},那么 A (C R B)的元素个数为(5. A . 0个设f(x)1gsB, 1个C. 2个D. 3个6. 假: a)是奇函数,那么使 f (x) 0的x 的取值范围是 A. ( 1,0)对于函数①f(x)命题甲: 命题乙: 命题丙: B. (0,1)C.(,0)D.(,0) (1,)lg(x 2| 1),②f(x 2)是偶函数; f(x)在(,)上是减函数, f(x 2) f(x)在(,f(x) (x在(2,2)2 ,③ f (x))上是增函数; )上是增函数. 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是 A.①③ B.①② 7.函数y=- 2 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)既奇又偶函数cos(x2),判断如下三个命题的真(D)非奇非偶函数8.设a,b,c 均为正数,且 2alog 1 a,2log 1 b, 12 2log 2 c,那么A. a b cB. c b aC. cD. b一 ........... 1 9 .函数f(x) ___________ ^的定义域为 M, g(x) ln(1 x)的定义域为N,那么M N (),1 xA. XX 1B. xx 1C. x 1 x 1D.10 .设a { — 1,1, 1, 3},那么使函数y=x a 的定义域为R 且为奇函数的所有 a 值为()2A. 1, 3B, - 1, 1C. - 1, 3D, -1, 1, 311 .设函数f(x)定义在实数集上,它的图象关于直线 x =1对称,且当x 1时,f(x)=3x 1 ,那么有()A. f(l) f(3) f(-)B. f(-)f(3) f(1)vQ 7 'O'VQ 7vQ 7'O'VQ 732 33 2 3 213 3 2 1 C. f(-) f(-)f(-) D,f(-) f(-) f(-) 33 2 23 34x 4, x 1 12.函数f x 2的图象和函数g x log 2x 的图象的交点个数是()x 4x 3, x 1A. 4B. 3C. 2D. 1A. J2 B, 2 C, 2<2 D, 415.假设a 1 ,且a x log a x a y log a y ,那么x 与y 之间的大小关系是()A. x y 0B. x y 0C. y x 0D.无法确定13.函数f (x) =1 log 2x 与g(x) = 2 x 1在同一直角坐标系下的图象大致是()14.设a 1,函数f(x)=log a x 在区间［a,2a ］上的最大值与最小值之差为；,那么a =()16.函数y e |lnx| |x 1 |的图象大致是()17.函数y f (x)的图象与函数y log3x (x 0)的图象关于直线y x对称,那么f(x)lg 4 x ....................函数f x ------- ----------的定义域为 x 3设函数y 4 log 2(x 1)(x > 3),那么其反函数的定义域为24.将函数y log 2 x 的图象向左平移一个单位,得到图象 C I ,再将C I 向上平移一个单位得到图象 C 2,那么C 2的解析式为假设函数y=lg (ax 2+2x+1)的值域为R,那么实数a 的取值范围为 假设函数y=log 2 (kx 2+4kx+3)的定义域为 R,那么实数k 的取值范围是 给出以下四个命题： xxa (a 0且a 1)与函数y log a a (a 0且a 1)的定乂域相同;(x 1)2与y 2x1在区间［0,)上都是增函数.四点,那么这四点从上到下的排列次序是 18. 19. 20.方程9x6 3x7 0的解是21. 假设函数f(x) e (x)2................................................. ..... .) (e 是自然对数的底数)的最大值是,且f(x)是偶函数,那么m22. 函数y(a 0且a 1)的图象如图,那么函数x的图象可能是23. 设 f (x) log a x (a 0且 a 1),假设 f (x 1) f (x 2)F R , i 1,2, ,n),那么 f(x 13) f(x 23)一, 3、f(% )的值等于25.26. 27. ②函数x 3和y 3x 的值域相同;③函数1 1匚——x —与 y2 2x 1(1 2x )x?2x 2一都是奇函①函数④函数其中正确命题的序.(把你认为正确的命题序号都填上)28. 直线x a ( a 0)与函数y 2x 、y 10x 的图像依次交于 A 、B 、C 、D29.假设关于x 的方程25 |x 1| 4?5 |x1|m 有实根,那么实数 m 的取值范围是Ixlax ..30.lgx+lgy=2lg (x —2y),求log 区一的值.y................................... _ x x . . 31 .根据函数y |2 1|的图象判断：当实数m为何值时,方程|2 1 | m无解？有一解？有两解?32.x1是方程xlgx=2021的根,x2是方程x - 10x=2021的根,求x1x2的值.33.实数a、b、c满足2b=a+c,且满足21g (b—1) =lg (a+1) +lg (c— 1),同时a+b+c=15,求实数a、b、c的值.. 1 x34.f(x) log a------------------- (a 0,a 1).1 x(1)求f(x)的定义域；(2)判断f (x)的奇偶性；(3)求使f(x).. ........................... 1、〜35.函数f(x) 1 f(—)?10g2乂. x(1)求函数f(x)的解析式；(2)求f(2)的值；(3)解方程f(x)36.函数f (x) log a(a a x) ( a 1).(1)求f(x)的定义域、值域；(2)判断f(x)的单调性;(3)解不等式f 1(x2 2) f(x).0的x的取值范围. f(2)o指数函数、对数函数、曷函数专题1 .函数 f (x) 3x(0 xw 2)值域为()A. (0, )B..9］C. (01)D. ［9,)B;［解析］函数f (x) 3x (0 xW 2)的反函数的定义域为原函数的值域,原函数的值域为(1,9］.2 .给出以下三个等式： f(xy) f (x) f(y), f (x y) f (x)f(y), f(x y) fx-fiy) .下1 f(x)f(y)列函数中不满足其中任何一个等式的是()xA. f (x) 3B. f(x) sinxC. f(x) log 2xD. f (x) tan xB ;［解析］依据指、对数函数的性质可以发现A 满足f (x y) f(x) f (y) ,C 满足f(xy) f (x) f(y), 而D 满足f(x y) f (x) f (y), B 不满足其中任何一个等式.1 f(x)f(y)3 .以下四个数中的最大者是( )A. (ln2) 2B. ln (ln2)C. ln 〞D. ln2D;［解析］:. ln2 1 , ln (ln2) <0, (ln2) 2<ln2 ,而 ln 72 =工 ln2<ln2 , • .最大的数是 ln2.2［考点透析］根据对数函数的根本性质判断对应函数值的大小关系,一般是通过介值( 0, 1等一些特殊值)结合对数函数的特殊值来加以判断.4 .假设 A={x Z |2 22 x 8}, B={x R||log 2x| 1},那么 A (C R B)的元素个数为( )A.0个B. 1个C. 2个D. 3个2 xC ；［解析］由于 A={x Z |2 2 8} ={x Z|1 2 x 3} ={x Z| 1 x 1} = {0, 1},而 一 _一一—1 ,、B={x R||log 2x| 1} ={x R|0 x—或x 2},那么 A (C R B) = {0, 1},那么 A(C R B)的兀素个2数为2个.［考点透析］从指数函数与对数函数的单调性入手,解答相关的不等式,再根据集合的运算加以分析和 判断,得出对应集合的元素个数问题.25.设f(x) lg(—— a)是奇函数,那么使f (x) 0的x 的取值范围是()1 x A. ( 1,0) B. (0,1)C. (,0) D. (,0)U(1,)1 x 1 x1 xA;［解析］由 f(0) 0得a1, f(x) lg —— 0,得 ।x1 x1 x 1 x［考点透析］根据对数函数中的奇偶性问题,结合对数函数的性质,求解相关的不等式问题,要注意首要 条件是对数函数的真数必须大于零的前提条件.6.对于函数① f(x) lg(x 2 1),②f(x) (x 2)2,③f(x) cos(x 2),判断如下三个命题 的真假： 命题甲：f(x 2)是偶函数；命题乙：f(x)在(,)上是减函数,在(2,)上是增函数; 命题丙：f(x 2) f (x)在(,)上是增函数.能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是( )A.①③B.①②C.③D.②2…•2) cos(x 2)不是偶函数,排除函数③,只有函数② f (x) (x 2)符合要求.［考点透析］根据对数函数、哥函数、三角函数的相关性质来分析判断相关的命题,也是高考中比拟常见 的问题之一,正确处理对应函数的单调性与奇偶性问题.7.函数y=-21. 1一 b 1 ,由一 log 2 c 可知 c 0 2 2D ；［解析］函数①f(x) lg(x 2 1),函数f(x2) = lg(|x| 1)是偶函数；且f (x)在(,)上是 减函数,在(2,)上是增函数；但对命题丙：f(x 2)f(x) = lg(|x| 1) lg(| x 2| 1)lg|x| 1 |x 2| 1在…一⑼时,1g(|f^1g工2lg(1 ^^)为减函数,排除函数①,对于函数③, x 3f (x) cos(x 2)函数 f (x(A)奇函数(B)偶函数(C)既奇又偶函数b...........-a ,18.设a,b,c 均为正数,且2a log 1 a,一2 2c1log 1 b, - log 2C,贝U2 2A. a b cB. c b aC. c a bA ;［解析］由2a log 1 a 可知a 022a 1log 1 a 12(D)非奇非偶函数 ) D. b a cb- 1 . 10 a -,由 一 log 1b 可知2 2〞b 0 0 log 1 b 120 log 2 c 1［考点透析］根据指、对数函数的性质及其相关的知识来处理一些数或式的大小关系是全面考察多个基 本初等函数比拟常用的方法之一.关键是掌握对应函数的根本性质及其应用.,一,,一、 1 ............. .................................................. 一 9 .函数f(x) , 的定义域为 M, g(x) ln(1 x)的定义域为N,那么M N (),1 xA. XX 1B. xx 1C. x 1 x 1D.1 C ；［解析］依题息可彳#函数 f(x) / 的7E 义域M={x|1 x 0}二{x|x 1},,1 xg(x) ln(1 x)的定义域N={x|1 x 0}={x|x 1},［考点透析］此题以函数为载体,重点考查募函数与对数函数的定义域,集合的交集的概念及其运算等 根底知识,灵活而不难.10 .设a { — 1,1, 1, 3},那么使函数y=x a 的定义域为R 且为奇函数的所有 a 值为()2A. 1, 3 B, - 1, 1 C. - 1, 3D, -1, 1, 3A ；［解析］观察四种哥函数的图象并结合该函数的性质确定选项.［考点透析］根据募函数的性质加以比拟,从而得以判断.熟练掌握一些常用函数的图象与性质,可以 比拟快速地判断奇偶性问题.特别是指数函数、对数函数、哥函数及其一些简单函数的根本性质.11 .设函数f(x)定义在实数集上,它的图象关于直线 x =1对称,且当x 1时,f(x)=3x 1,那么有()132 23 1 A. f(-)f ㈠ f(-) B. f(-)f(3) f(-) 3 2 3 3 2 3 C. f(2)f(1) f(3) D. f(-)f(-) f(1) 3322 3 3B;［解析］当x 1时,f(x) =3x 1,其图象是函数 y 3x 向下平移一个单位而得到的x 1时图象部分,如下图,又函数f (x)的图象关于直线x =1对称,那么函数f (x)的图象如以下图中的实线局部,所以 M N={x | x 1}{ x | x1}= x1x1.即函数f (x)在区间(,1)上是单调减少函数,3. 1 1 又 f (2)= f (2),而 32 ,那么有f (;) f (1) f (旨,即 f (-2) f e f (3)•根据以上图形,可以判断两函数的图象之间有三个交点.［考点透析］作出分段函数与对数函数的相应图象,根据对应的交点情况加以判断. 指数函数与对数函数的图象既是函数性质的一个重要方面,又能直观地反映函数的性质,在解题过程中,充分发挥图象的工 具作用.特别注意指数函数与对数函数的图象关于直线 y X 对称.在求解过程中注意数形结合可以使解题过程更加简捷易懂.13.函数f (X ) =1 唠2*与g(x) = 2 X 1在同一直角坐标系下的图象大致是()log 2x 的图象向上平移1个单位而得来的；又由于g(x) = 2 X 1 = 2 (X 1) ,那么函数g(x)=2 X 1的图象是由函数y 2 x 的图象向右平移1个单位而得来的; 故两函数在同一直角坐标系下的图象大致是：Co［考点透析 的性质关利用指数函数的图象结合题目中相应的条件加以分析,通过图象可以非常直观地判断对应 12.函数f4x 2X4, 4X X 3,x的图象和函数g X log 2X 的图象的交点个数是(A. 4B.B ；［解析］ 函数f3 4X 2X4, 4X X 3,x C. 21D. 1的图象和函数gX log 2X 的图象如下:1] C;［解析］函数f (X ) = 1 log 2*的图象是由函数 y［考点透析］根据函数表达式与根本初等函数之间的关系,结合函数图象的平移法那么,得出相应的正确 判断. 、— -, ,一、1,、 14.设a 1 ,函数f(x)=log a x 在区间［a,2 a ］上的最大值与最小值之差为那么a =()A.应B. 2C. 2yp2D. 41D ；［解析］由于a 1,函数f(x) = log a X 在区间［a,2a ］上的最大值与最小值之差为-,111c那么 log a 2a log a a =—,即 log a 2 = _ ,解得 a 22 ,即 a =4.2 2［考点透析］根据对数函数的单调性,函数 f(x)=log a X 在区间［a,2a ］的端点上取得最值,由 a 1知 函数在对应的区间上为增函数.15 .假设a 1 ,且a x log a x a y log a y ,那么x 与y 之间的大小关系是()A. x y 0B. x y 0C. y x 0D.无法确定A;［解析］通过整体性思想,设 f(x) a x log a x ,我们知道当 a 1时,函数y 1 a x 与函数y log a x 在区间(0,)上都是减函数,那么函数f(x) a x log a x 在区间(0,)上也是减函数,那么问题就转化为 f(x) f(y),由于函数f(x) a x log a x 在区间(0,)上也是减函数,那么就有［考点透析］这个不等式两边都由底数为 a 的指数函数与对数函数组成,且变量又不相同,一直很难下 手.通过整体思维,结合指数函数与对数函数的性质加以分析,可以巧妙地转化角度,到达判断的目的. 16 .函数y e |lnx| |x 1 |的图象大致是()又当0 x 1时,y 0 ,可排除(B),应选(D).［考点透析］把相应的含有指数函数和对数函数的关系式,加以巧妙转化,转化成相应的分段函数,结D ；［解析］函数y e |lnx| |x 1|可转化为y1-1 0x1,— ................................ .x 1, 0 x［根据解析式可先排除(A),(C), 1, x 1b合分段函数的定义域和根本函数的图象加以分析求解和判断.17 .函数y f(x)的图象与函数y log 3 x (x 0)的图象关于直线 y x 对称,那么f(x) .x ,f (x) 3 (x R)；［解析］函数y f(x)的图象与函数y log 3 x (x 0)的图象关于直线y x 对 称,那么f(x)与函数y log 3x (x 0)互为反函数,f (x) 3x (x R) o［考点透析］对数函数与指数函数互为反函数, 它们的图象关于直线 y=x 对称,在实际应用中经常会碰到, 要加以重视.lg 4 x ) 18 .函数f x ---------- ------------的定义域为.x 3厂4 x 0 । 厂x x 4 且 x 3 ；［解析］x x 4且 x 3 .x 3 0［考点透析］考察对数函数中的定义域问题,关键是结合对数函数中的真数大于零的条件,结合其他相 关条件来分析判断相关的定义域问题.19 .设函数y 4 log 2(x 1)(x > 3),那么其反函数的定义域为 .［5, +8)；［解析］反函数的定义即为原函数的值域,由 x>3得x-1>2,所以log 2(x 1) 1 ,所以y >5,反函数的定义域为［5, +°°),填［5, +8).［考点透析］根据互为反函数的两个函数之间的性质： 反函数的定义即为原函数的值域, 结合对应的对数函数的值域问题分析相应反函数的定义域问题. xx20 .方程96 37 0的解是.x log 37；［解析］(3x )2 6 3x 7 03x 7或3x1 (舍去),x 10g 37.［考点透析］求解对应的指数方程,要根据相应的题目条件,转化为对应的方程加以分析求解,同时要注 意题目中对应的指数式的值大于零的条件.值是m10 1,又f(x)是偶函数,那么 0,,me［考点透析］根据函数的特征,结合指数函数的最值问题,函数的奇偶性问题来解决有关的参数,进而 解得对应的值.研究指数函数性质的方法,强调数形结合,强调函数图象研究性质中的作用 ,注意从特殊到一般的思想方法的应用,渗透概括水平的培养.1 |x 22 .函数 y a |x| (a 0且a 1)的图象如图,那么函数 y — 的图象可能是 .a21.假设函数f(x) e (x )2 ( e 是自然对数的底数)的最大值是 m ,且f (x)是偶函数,那么m(x )2( )2I 1；［解析］f (x) e一 ,仅 t xet 0,此时f(x)』t 是减函数,那么最大e1 IXD；［解析］根据函数y a3的图象可知a 1,那么对应函数y —的图象是D.a［考点透析］根据对应指数函数的图象特征,分析对应的底数a 1 ,再根据指数函数的特征分析相应的图象问题.23 .设f (x) log a x ( a 0且a 1),假设f (x1) f (x2) f (x n) 1 ( x i R , i 1,2, ,n ),一,3、,3、, 3、那么f(x1 ) f(x2 ) f (x n )的值等于3；［解析］由于f(x1) f(x2) f (x n) = log a x1 log a x2 log a x n = log a(x1x2 xj =1 ,而3 3 3 3 3 33f(x1 ) f(x2 ) f(x n ) = log a x1 log a x2 log a x n =log a(x1x2 x n) =3log a ('x? x n) =3［考点透析］根据对数函数的关系式,以及对数函数的特征加以分析求解对应的对数式问题, 关键是加以合理地转化.24 .将函数y log 2 x的图象向左平移一个单位,得到图象C1,再将C1向上平移一个单位得到图象C2,那么C2的解析式为.y log 2(x 1) 1;［解析］将函数y log2 x的图象向左平移一个单位, 得到图象C1所对应的解析式为y log 2(x 1)；要此根底上,再将C1向上平移一个单位得到图象C2,那么C2的解析式为y 1 log 2(x 1).［考点透析］根据函数图象平移变换的规律加以分析判断平移问题, 一般可以结合“左加右减,上减下加〞的规律加以应用.25 .假设函数y=lg (ax2+2x+1)的值域为R,那么实数a的取值范围为.［0, 1］;［解析］由于函数y=lg (ax2+2x+1)的值域为R (0, + ) {u (x) |u (x) =ax2+2x+1},a 0当a=0时,u (x) =2x+1的值域为R,符合题意；当时,即0 a 1时也符合题意.4 4a 0［考点透析］通过引入变元,结合原函数的值域为R,转化为u (x)的问题来分析,要根据二次项系数的取值情况加以分类解析.26 .假设函数y=log 2 (kx2+4kx+3)的定义域为R,那么实数k的取值范围是.0,-;［解析］函数y=log 2 (kx2+4kx+3)的定义域为R kx2+4kx+3>0恒成立,当k=0时,3>0恒成立;4［考点透析］把函数的定义域问题转化为有关不等式的恒成立问题,再结合参数的取值情况加以分类解析.27 .给出以下四个命题：①函数y a x 〔 a 0且a 1〕与函数y log a a x 〔 a 0且a 1〕的定义域相同； ②函数y x 3和y 3x 的值域相同；_ x 2一〞 1 1. 〔1 2x 〕2③函数y ——与y 3 ----------- J 都是奇函数；2 2x 1 x?2xC — e,2x 1............................④函数y 〔x 1〕与y 2 在区间［0,〕上都是增函数.其中正确命题的序号是： .〔把你认为正确的命题序号都填上〕①、③；［解析］在①中,函数y a x 〔a 0且a 1〕与函数y log a a x 〔a 0且a 1〕的定义3xy x 3的值域为R, y 3x 的值域为R ,那么结论错误；在③中,函■ ■ ,, / x 、2y — —一与y 〔 ------------- 都是奇函数,那么结论正确；在④中,函数y 〔x 1〕2在［1,2 2x 1x?2xx 1............ ..............................数,y 2 在R 上是增函数,那么结论错误.［考点透析］综合考察指数函数、对数函数、哥函数的定义、定义域、值域、函数性质等相关内容.xx… … 一,1 1 -x -x ................................... ......28.直线x a 〔 a 0〕与函数y 一、y -、y2、y10的图像依次交于 A 、B 、C 、D 32四点,那么这四点从上到下的排列次序是 .D 、C 、B 、A;［解析］结合四个指数函数各自的图象特征可知这四点从上到下的排列次序是 D 、C 、B 、Ao［考点透析］结合指数函数的图象规律, 充分考察不同的底数情况下的指数函数的图象特征问题, 加以判断对应的交点的上下顺序问题.29.假设关于x 的方程25 |x 1| 4?5 |x 1| m 有实根,那么实数 m 的取值范围是 .{m| m 4 }；［解析］令 y 5 |x 1| ,那么有 0 y 1 ,那么可转化 25 |x1| 4?5 |x 1| m 得22. ......................... 一2^ 一 . 一.y 4ym 0 ,根据题意,由于 y 4y m 0有实根,那么 〔4〕4〔 m 〕 0 ,解得m 4.［考点透析］通过换元,把指数方程转化为一元二次方程来分析求解, 关键要注意换元中对应的参数y 的取值范围,为求解其他参数问题作好铺垫.x ..k 0 16k 2 12k时,即0 k-时也符合题意.4域都是R,那么结论正确；在②中,函数〕上是增函30.lgx+lgy=2lg (x —2y),求log行一的值. y［分析］考虑到对数式去掉对数符号后,要保证 x 0, y 0, x —2y 0这些条件成立.假设 x=y ,那么有 x —2y=—x 0,这与对数的定义不符,从而导致多解.［解析］由于 lgx+lgy=2lg (x —2y),所以 xy= (x —2y) 2, 即 x 2—5xy+4y 2=0,所以(x —y) (x —4y) =0,解得 x=y 或 x=4y , 又由于x 0, y 0, x- 2y 0,所以x=y 不符合条件,应舍去,_ xx所以 一二4,即 log 2 — = log 2 y y［考点透析］在对数式log a N 中,必须满足a 0, a 1且N 0这几个条件.在解决对数问题时,要重 视这几个隐含条件,以免造成遗漏或多解.31 .根据函数y |2x 1|的图象判断：当实数 m 为何值时,方程|2x 1 | m 无解？有一解？有两解? ［分析］可以充分结合指数函数的图象加以判断.可以把这个问题加以转换,将求方程 的个数转化为两个函数 y |2x 1|与y m 的图象交点个数去理解.xx［解析］函数y |2 1|的图象可由指数函数 y 2的图象先向下平移一个单位,然后再作 x 轴下方的局部关于x 轴对称图形,如以下图所示,函数y m 的图象是与x 轴平行的直线, 观察两图象的关系可知：当m 0时,两函数图象没有公共点,所以方程|2x 1| m 无解；当m 0或m 1时,两函数图象只有一个公共点,所以方程 |2x 11 m 有一解；当0 m 1时,两函数图象有两个公共点,所以方程|2x 11 m 有两解.［考点透析］由于方程解的个数与它们对应的函数图象交点个数是相等的,所以对于含字母方程解的个数讨论,往往用数形结合方法加以求解,准确作出相应函数的图象是正确解题的前提和关键. 32.x 1是方程xlgx=2021的根,x 2是方程x - 10x =2021的根,求x 1x 2的值.［分析］观察此题,易看到题中存在lgx 和10x ,从而联想到函数 y 1gx 与y 10x ,而x 1可以看成2021 ........................................................ x 2021 .................................y 1gx 和y 己竺 交点的横坐标,同样 X 2可看成y 10、和y 三丝女交点的横坐标,假设利用函数4 =4.|2x 1| m 的解x xy 1gx与y 10x的对称性,此题便迎刃而解了.…人 . 2021 、…、,［解析］令y a 1gx, y b -------------------------- ,设其交点坐标为(x［,y i),xx 2021同样令y c 10 ,它与y b -------------------------- 的交点的横坐标为(x2,y2),x由于反比例函数关于直线y x对称,那么有(为,y1)和(x2, y2)关于直线y x对称,一........ 2021 ......................点(x［,y i)即点(x1,x2)应该在函数y b -------------------- 上,所以有x1x2=2021.x［考点透析］中学数学未要求掌握超越方程的求解,故解题中方程是不可能的.而有效的利用指数函数和对数函数的性质进行解题此题就不难了,否那么此题是一个典型的难题.以上求解过程不能算此题超纲.33.实数a、b、c满足2b=a+c,且满足21g (b—1) =lg (a+1) +lg (c— 1),同时a+b+c=15,求实数a、b、c的值.［分析］在解题过程中,遇到求某数的平方根时,一般应求出两个值来,再根据题设条件来决定取舍, 如果仅仅取算术平方根,那么往往会出现漏解.［解析］由于2b=a+c, a+b+c=15,所以3b=15,即b=5,由于2b=a+c=10 ,那么可设a=5— d, c=5+d ,由于2lg (b—1) =lg (a+1) +lg (c— 1),所以21g4=lg (6—d) +lg (4+d),即16=25— (d—1) 2,那么有(d—1) 2=9,所以d—1= 3,那么d=4 或d= — 2,所以实数a、b、c的值分别为1, 5, 9或7, 5, 3.1 x _ _34.f (x) log a ----------------- (a 0,a 1).1 x(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性；(3)求使f(x) 0的x的取值范围.1 x x 1［解析］(1) 0,即乙」0,等价于(x 1)(x 1) 0,得1 x 1,1 x x 1所以f(x)的定义域是(1,1)；1 x 1 x⑵ f (x) f ( x) log a-- log a-- = log a 1 = 0 ,1 x 1 x所以f( x) f (x),即f (x)为奇函数；1 x _(3)由f (x) 0,得log a ——0,1 x, ,一, , 1 x , 一r 一 ,当a 1时,有1 ,解得0 x 1；1 x一 , . 1 x当0 a 1时,有0 —— 1 ,解得1 x 0；1 x故当a 1 时,x (0,1)；当0 a 1 时,x ( 1,0).1、~35.函数 f(x) 1 f(—)?10g 2X .X(1)求函数f(x)的解析式；(2)求f(2)的值；(3)解方程f(x) f(2).[解析](1)由于 f(x) 1 f (-) ?1og 2 X , Xf(-) 1 f(x)?10g 21,那么有 f (1) 1x x x把 f(1) 1 f(x)?10g 2x 代入 f (x) 1 f (1)?1og 2 x 可得: x xf (x) 1 [1 f (x) ? 10g 2 x] ?10g 2 x ,解得 f (x)⑵由(1)得 f(x)Ld0^,那么 f(2) 1；1 10g2 x1 10g2 2(3)由(1)得 f(x)1 10g22x ,那么(2)得 f(2) 1,1 10g2 x那么有 f(x) -一10g22xf (2) 1,即 1 10g 2 x 1 10g 22 x,1 10g2 x解得10g 2 x 0或10g 2x 1,所以原方程的解为：x 1或x 2.［考点透析］对于给定抽象函数关系式求解对应的函数解析式,要合理选取比拟适合的方法加以分析处 1 ..................... ………理,关键是要结合抽象函数关系式的特征,这里用到的是以 一代x 的方式来到达求解函数解析式的目的.x36.函数 f (x)10g a (a a x ) ( a 1).(1)求f (x)的定义域、值域；(2)判断f(x)的单调性; (3)解不等式 f 1(x 2 2) f(x).［分析］根据对数函数的特征,分析相应的定义域问题,同时结合指数函数的特征,综合分析值域与单调 性问题,综合反函数、不等式等相关内容,考察相关的不等式问题.［解析］(1)要使函数f(x) 10g a (a a x ) (a 1 )有意义,那么需要满足 a a x 0, 即a x a ,又a 1 ,解得x 1 ,所以所求函数f(x)的定义域为(,1)； 又10g a (a a x ) 10g a a 1,即f(x) 1 ,所以所求函数 f(x)的值域为(,1)；(2)令a a x ,由于a 1 ,那么 a a x 在(,1)上是减函数,x又y 10g a 是增函数,所以函数 f (x) 10g a (a a )在(,1)上是减函数；1 上式中,以1代x 可得: xf (x)?10g 2x, 1 10g 2 x-； 2~ ；1 10g2 x(3)设y log a(a a x),那么a y a a x,所以a x a a y,即x log a(a a y),所以函数f(x)的反函数为f 1(x) log a(a a x),2由于f (x 2) f(x),得log a(a a ) log a(a a ),2 2由于a 1 ,那么a a' a a",即a' a x,所以x2 2 x,解得1 x 2,而函数f(x)的定义域为(,1),故原不等式的解集为｛x| 1 x 1｝.［考点透析］主要考查指数函数与对数函数相关的定义域、值域、图象以及主要性质,应用指数函数与对数函数的性质比拟两个数的大小,以及解指数不等式与对数不等式等.。
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高考函数习题1．[2011·沈阳模拟] 集合A ＝{(x ，y )|y ＝a }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝b x ＋1，b >0，b ≠1}，若集合A ∩B 只有一个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(1，＋∞) D．R2．[2011·郑州模拟] 下列说法中，正确的是( )①任取x ∈R 都有3x >2x ；②当a >1时，任取x ∈R 都有a x >a －x ；③y ＝(3)－x 是增函数；④y ＝2|x |的最小值为1；⑤在同一坐标系中，y ＝2x 与y ＝2－x 的图像对称于y 轴．A ．①②④B ．④⑤C ．②③④D ．①⑤3．[2011·郑州模拟] 函数y ＝xa x|x |(0<a <1)的图像的大致形状是( )图K8－4．[2011·聊城模拟] 若函数y ＝2|1－x |＋m 的图像与x 轴有公共点，则m 的取值范围是( )A ．m ≤－1B ．－1≤m ＜0C ．m ≥1 D．0＜m ≤15．[2010·湖北卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，2x ，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( ) A ．4 B.14 C ．－4 D ．－146．[2011·郑州模拟] 设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知当x ∈(0,1)时，f (x )＝log 12(1－x )，则函数f (x )在(1,2)上( )A ．是增函数，且f (x )<0B ．是增函数，且f (x )>0C ．是减函数，且f (x )<0D ．是减函数，且f (x )>07．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 123，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <bB ．c <b <aC ．b <c <aD ．a <b <c8．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图像如图K8－2所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图像是( )9．[2011·锦州一模] 设0＜a ＜1，函数f (x )＝log a (a 2x －2a x －2)，则使f (x )<0的x 的取 值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，log a 3)D ．(log a 3，＋∞)10．[2011·济宁模拟] 很难想象如果城市污水不经过处理我们的生活会变成什么样．污水经过污水处理厂的“污水处理池”过滤一次，能过滤出有害物质的34.若过滤n 次后，流出的水中有害物质在原来的1%以下，则n 的最小值为________(参考数据lg2≈0.3010) ．11．若函数f (x )＝log a (ax 2－x )在[2,4]上是增函数，则a 的取值范围为________．12．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．13．函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M ，当x ∈M 时，则f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最大值为________．14．(10分)(1)已知f (x )＝23x －1＋m 是奇函数，求常数m 的值；(2)画出函数y ＝|3x －1|的图像，并利用图像回答：k 为何值时，方程|3x －1|＝k 无解？有一解？有两解？15．(13分)设a>0，f(x)＝e xa＋ae x是R上的偶函数(其中e≈2.71828)．(1)求a的值；(2)证明：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．16．(12分)定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)＝log23，且对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求证：f(x)为奇函数；(2)若f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．函数习题答案1．B [解析] ∵y＝b x＋1>1，如果A∩B只有一个子集，则A∩B＝∅，∴a≤1.2．B [解析] 利用指数函数的性质判断．3．D [解析] x>0时，y＝a x；x<0时，y＝－a x.即把函数y＝a x(0<a<1，x≠0)的图像在x>0时不变，在x<0时，沿x轴对称．4．A [解析] ∵|1－x|≥0，∴2|1－x|≥1.∵y＝2|1－x|＋m≥1＋m，∴要使函数y＝2|1－x|＋m的图像与x 轴有公共点，则1＋m ≤0，即m ≤－1.5．B [解析] 根据分段函数可得f 19＝log 319＝－2，则ff 19＝f (－2)＝2－2＝14，所以B 正确．6．D [解析] 由于x ∈(0,1)时，f (x )＝log 12(1－x )，所以f (x )在区间(0,1)上单调递增且f (x )>0，又因为f (x )为偶函数，所以f (x )在区间(－1,0)上单调递减且f (x )>0，又因为f (x )是周期为2的周期函数，所以f (x )在区间(1,2)上递减且f (x )>0，故选D.7．B [解析] log 123＝－log 23＝－log 49，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 123＝f (－log 49)＝f (log 49)，log 47<log 49,0.2－0.6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－35＝535＝5125>532＝2>log 49. 又f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴f (0.2－0.6)<f⎝ ⎛⎭⎪⎫log 123<f (log 47)，即c <b <a ，选B. 8．A [解析] 由图形可知b <－1,0<a <1，所以函数g (x )＝a x ＋b 在定义域上单调递减，且与x 轴负半轴相交，所以选A.9．C [解析] f (x )<0⇔log a (a 2x －2a x －2)<0⇔log a (a 2x －2a x －2)<log a 1，因为0<a <1，所以a 2x －2a x －2>1，即(a x )2－2a x ＋1>4⇔(a x －1)2>4⇔a x －1>2或a x －1<－2，所以a x >3或a x <－1(舍去)，因此x <log a 3，故选C.10．4 [解析] 设原有的有害物质为a ，则过滤n 次后有害物质还有⎝ ⎛⎭⎪⎫14n a ，令⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＜1%，则n ＞1lg2，即n ≥4，所以n 的最小值为4.11．a >1 [解析] 函数f (x )是由φ(x )＝ax 2－x 和y ＝log a φ(x )复合而成的，根据复合函数的单调性的判断方法．(1)当a >1时，若使f (x )＝log a (ax 2－x )在[2,4]上是增函数，则φ(x )＝ax 2－x 在[2,4]上是增函数且大于零．故有⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2，φ2＝4a －2>0，解得a >12，∴a >1.(2)当a <1时，若使f (x )＝log a (ax 2－x )在[2,4]上是增函数，则φ(x )＝ax 2－x 在[2,4]上是减函数且大于零.⎩⎪⎨⎪⎧12a ≥4，φ4＝16a －4>0，不等式组无解．综上所述，存在实数a >1使得函数f (x )＝log a (ax 2－x )在[2,4]上是增函数．12．a >1 [解析] 设函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)和函数y ＝x ＋a ，则函数f (x )＝a x －x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，就是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与函数y ＝x ＋a 有两个交点．由图像可知，当0<a <1时，两函数只有一个交点，不符合；当a >1时，因为函数y ＝a x (a >1)的图像过点(0,1)，而直线y ＝x ＋a 所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a 的取值范围是a >1.13.2512[解析] 由3－4x ＋x 2＞0，得x ＞3或x ＜1，∴M ＝{x |x ＞3或x ＜1}． f (x )＝－3×(2x )2＋2x ＋2＝－3⎝⎛⎭⎪⎫2x －162＋2512.∵x ＞3或x ＜1，∴2x ＞8或0＜2x ＜2，∴当2x＝16，即x ＝log 216时，f (x )最大，最大值为2512. 14．[解答] (1)常数m ＝1.(2)y ＝|3x －1|的图像如下：当k <0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图像无交点，即方程无解；当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图像有唯一的交点，所以方程有一解；当0<k <1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图像有两个不同交点，所以方程有两解．15．[解答] (1)依题意，对一切x ∈R 有f (x )＝f (－x )，即e x a ＋a e x ＝1a ex ＋a e x ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a ⎝⎛⎭⎪⎫e x －1e x ＝0对一切x ∈R 成立． 由此得到a －1a＝0，即a 2＝1.又因为a >0，所以a ＝1.(2)证明：设0<x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝e x 1－e x 2＋1e x 1－1e x 2＝(e x 2－e x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 1＋x 2－1 ＝e x 1(e x 2－x 1－1)·1－e x 2＋x 1e x 2＋x 1由x 1>0，x 2>0，x 2－x 1>0，得x 1＋x 2>0，e x 2－x 1－1>0,1－e x 2＋x 1<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 16．[解答] (1)证明：由f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令x ＝y ＝0，得f (0)＝0.令y ＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )，又f (0)＝0，则有f (x )＋f (－x )＝0，即f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 成立，所以f (x )是奇函数．(2)f (3)＝log 23>0，即f (3)>f (0)，又f (x )是R 上的单调函数，所以f (x )在R 上是增函数．又由(1)知f (x )是奇函数．f (k ·3x )＋f (3x －9x －2)<0⇔f (k ·3x )<f (9x －3x ＋2)⇔k ·3x <9x －3x ＋2，即(3x )2－(1＋k )3x＋2>0对任意x ∈R 恒成立．令t ＝3x >0，问题等价于t 2－(1＋k )t ＋2>0对任意t >0恒成立． 令g (t )＝t 2－(1＋k )t ＋2，其对称轴为t ＝1＋k 2，当t ＝1＋k 2≤0，即k ≤－1时，g (0)＝2>0，符合题意；当t ＝1＋k2>0，即k >－1时，则需满足g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋k 2>0，解得－1<k <－1＋2 2.综上所述，当k <－1＋22时，f (k ·3x )＋f (3x －9x －2)<0对任意x ∈R 恒成立．本题还有更简捷的解法： 分离系数由k <3x ＋23x－1，令u ＝3x ＋23x－1，u 的最小值为22－1， 则要使对任意x ∈R 不等式k <3x ＋23x－1恒成立，只要使k <22－1.。