平面直角坐标系中的基本公式和直线方程
2019版高中数学第二章平面直角坐标系中的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式课件
x 0, 所以 即 D(0,4). y 4,
(2)若 BC 为其一条对角线,由 AD 与 BC 的中点重合,则有:
2 5 3 x , x 10, 2 2 所以 即 D(10,0). 2 2 0 y y 0, , 2 2
方法技巧
平行四边形等一些平面图形中与中点有关的图形,可通
过分析图形的特点,利用中点公式求解,即一条线段两个端点及中点,已知
两点坐标,可确定第三个点坐标.
变式训练2-1:一个平行四边形的三个顶点分别为A(-3,0), B(2,-2),
C(5,2),求第四个顶点D的坐标.
解:设 D 点为(x,y),分以下三种情况: (1)若 AC 为平行四边形的一条对角线,由于 AC 与 BD 的中点重合,则有
(3)若 AB 为其一条对角线,由 AB 与 CD 的中点重合,则有:
3 2 5 x , 2 2 所以 x 6, 即 D(-6,-4). 0 2 2 y y 4, , 2 2
综上,D 点坐标为(0,4)或(10,0)或(-6,-4).
2 2 2
类型二 中点公式
【例2】 已知▱ABCD的两个顶点坐标分别为A(4,2),B(5,7),对角线交点为
E(-3,4),求另外两个顶点C,D的坐标.
4 x1 3 , x 10, 2 解:设 C 点坐标为(x1,y1),则由 E 为 AC 的中点得 得 1 y1 6, 4 2 y1 , 2 5 x2 3 , x 11, 2 设 D 点坐标为(x2,y2),则由 E 为 BD 的中点得 得 2 y2 1, 4 7 y2 , 2 故 C 点坐标为(-10,6),D 点坐标为(-11,1).
高中数学 2.1 平面直角坐标系中的基本公式 2.1.1 数轴上的基本公式 2.1.2 平面直角坐标
2.1 平面直角坐标系中的基本公式2.1.1 数轴上的基本公式2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式典题精讲例1已知数轴上的两点A(x 1)、B(x 2)，求线段AB 中点的坐标.思路分析：结合中点公式和数轴上的基本公式求解.解：设AB 中点为O′(x)，∵O′(x)是AB 的中点，∴AO′=O′B.又∵A(x 1)、B(x 2)，∴AO′=x -x 1，O′B=x 2-x.由x-x 1=x 2-x 得x=212x x +， ∴中点坐标为O′(212x x +). 绿色通道：这个结果可以作为结论在以后的解题中使用,即已知数轴上的两点A(x 1)、B(x 2)，则线段AB 中点O′的坐标为(212x x +). 变式训练1已知数轴上的两点A(x 1)、B(x 2)，C 是线段AB 的中点，D 是线段AC 的中点，求点C 的坐标.解:根据中点坐标公式，由题意知C(212x x +), 则D(22112x x x ++),即D(4312x x +). 例2根据下列条件，在数轴上分别画出点P(x)并说明式子表示的意义.(1)d(x ，2)＜1；(2)|x-2|＞1；(3)|x-2|=1.思路分析:结合数轴，找出符合条件的点P(x)即可.解：如图:图2-1-(1,2)-2B(1)、A(2)、C(3)、D(4).(1)d(x ，2)＜1表示到点A(2)的距离小于1的点的集合，∴d(x，2)＜1表示线段BC(不包括端点).(2)|x-2|＞1表示到点A(2)的距离大于1的点的集合，∴|x -2|＞1表示射线BO 和射线CD(不包括顶点).(3)|x-2|=1表示到点A(2)的距离等于1的点的集合，∴|x -2|=1表示点B(1)和点C(3).绿色通道：题目给出的是一些不等式，但是却可以表示一些点、线段或射线等几何图形，从而体会数形结合的思想.变式训练2|x-2|+|x-3|的最小值是_________________.思路解析:|x-2|表示数轴上的任意一点到点A(2)的距离，|x-3|表示数轴上的任意一点到点B(3)的距离，那么|x-2|+|x-3|表示数轴上的任意一点C(x)到点A(2)的距离与到点B(3)的距离之和，即|AC|+|CB|≤|AB|=1.答案:1例3已知A(-2，3)、B(2，-4)两点，求d(A ，B).思路分析:直接代入两点间距离公式即可.解：∵x 1=-2，x 2=2，∴Δx=x 2-x 1=2-(-2)=4.又∵y 1=3，y 2=-4，∴Δy=y 2-y 1=(-4)-3=-7.∵d(A，B)=,)()(22y x ∆+∆∴d(A，B)=65)7(422=-+.答：d(A ，B)=65.黑色陷阱：套用错误公式d(A,B)=61)()(222211=-+-y x y x .变式训练3已知点A(1，4)、B(4，0)，在x 轴上的点M 与B 的距离等于点A 、B 之间的距离，求点M 的坐标.解：∵点M 在x 轴上，∴设M(a ，0)，则|a-4|=22)40()14(-+-=5.解得a=-1或a=9.∴M(-1，0)或M(9，0).例4 用坐标法证明定理:如果四边形ABCD 是长方形，则对任一点M ，等式AM 2+CM 2=BM 2+DM2成立.思路分析:用坐标法证明几何问题时,选取合适的坐标系是一个很重要的问题,选取好的坐标系将给解题带来很大的方便.本题中既可以选取长方形的一个顶点作为坐标系的原点(如证法一),也可以利用长方形的对称性选取长方形的中心作为坐标系的原点(如证法二). 证法一:建立如图2-1-(1,2)-3所示的坐标系，设长方形ABCD 的长为a 、宽为b ，图2-1-(1,2)-3则A(0，b)、B(0，0)、C(a ，0)、D(a ，b)，设M(x ，y)，∴AM 2+CM 2=［(y-b)2+(x-0)2］+［(y-0)2+(x-a)2］=2x 2+2y 2-2ax-2by+a 2+b 2.又∵BM 2+DM 2=［(y-0)2+(x-0)2］+［(y-b)2+(x-a)2］=2x 2+2y 2-2ax-2by+a 2+b 2，∴AM 2+CM 2=BM 2+DM 2.证法二:建立如图2-1-(1,2)-4所示坐标系，图2-1-(1,2)-4设A(a ，b)、B(-a ，b)、C(-a ，-b)、D(a ，-b)、M(x ，y)，则|MA|2+|MC|2=(x-a)2+(y-b)2+(x+a)2+(y+b)2=2(x 2+y 2+a 2+b 2)，|MB|2+|MD|2=(x+a)2+(y-b)2+(x-a)2+(y+b)2=2(x 2+y 2+a 2+b 2),∴AM 2+CM 2=BM 2+DM 2.绿色通道：建立坐标系时，应当依据图形的形状特征合理选择.不同的坐标选择，整理过程的复杂程度不同，应该合理选择，以求简化解题过程.变式训练4已知点A(1，1)、B(5，3)、C(0，3)，求证:△ABC 为直角三角形. 证明：∵AB=52)13()15(22=-+-,AC=5)13()10(22=-+-， BC=,5)33()50(22=-+-显然有AB 2+AC 2=BC 2.∴△ABC 为直角三角形.变式训练5如图2-1-(1,2)-5所示平面直角坐标系中,在等腰梯形ABCO 中，底AB=2，腰AO=4，∠AOC=60°，试求:图2-1-(1,2)-5(1)A 、B 、C 三点的坐标；(2)梯形ABCO 的面积S.解：(1)如图2-1-(1,2)-5，过点A 、B 作AE⊥x 轴，BF⊥x 轴，∵AO=4，∠AOC=60°, ∴|AE|=|BF|=|AO|sin60°=32,|OE|=|FC|=|AO|cos60°=2.∴A(2，32)、B(4，32)、C(6，0).(2)∵|AB|=2，|OC|=6，|AE|=32，∴S=21 (2+6)×32=38. 问题探究问题 在一个平面直角坐标系中，给定一个多边形的几个顶点的坐标，怎样判断这个多边形的形状呢?导思:对直线的平行、垂直的判断我们可以根据前节所学内容进行.探究：总结一下前面学过的知识，可以尝试从以下角度进行判断：看两条直线是否平行、看几个顶点间的距离是否相等.。
平面直角坐标系的基本性质和应用
平面直角坐标系的基本性质和应用平面直角坐标系是研究平面几何问题中不可或缺的工具。
它是由两条相互垂直的直线组成的坐标轴所确定的。
通过坐标系，我们可以更加直观地理解二维空间中的关系，便于进行计算和推导。
一、基本概念1.坐标轴坐标轴是由无数个点组成的直线，是平面直角坐标系的基础。
2.坐标系由两个相互垂直的坐标轴组成的平面直角坐标系称为笛卡尔坐标系。
其中，水平方向的轴称为x轴，竖直方向的轴称为y轴。
x轴和y轴的交点为原点O。
3.坐标在平面直角坐标系中，每个点都可以用一个有序数对$(x,y)$表示，其中，x表示该点在x轴上的投影，y表示该点在y轴上的投影。
这个有序数对就叫做该点的坐标。
二、基本性质1.坐标差两个点的横坐标之差称为x坐标差，纵坐标之差称为y坐标差。
即，设点A的坐标为$(x_1,y_1)$，点B的坐标为$(x_2,y_2)$，则有：$$x_2-x_1=\Delta x,y_2-y_1=\Delta y$$2.距离公式设点A的坐标为$(x_1,y_1)$，点B的坐标为$(x_2,y_2)$，则A点和B点之间的距离d为：$$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$3.中点公式设线段AB的两个端点的坐标分别为$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$，则线段AB的中点的坐标为：$$\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$$三、应用1.坐标系图形的方程用坐标系描述平面图形的方法是在平面上引入一个坐标系，将图形上的点与相应的坐标对应起来，将图形的性质转化为坐标的性质。
比如，方程$x^2+y^2=4$表示平面上所有满足条件的点的集合，也就是半径为2的圆。
2.坐标系问题的解法在坐标系中，通过研究几何图形的坐标特点及其关系，结合一些基本的数学知识，可以解决很多几何问题，如线段垂直、平行判定、点到直线的距离等。
3.向量的坐标表示向量可以表示为一个有序的数对$(a,b)$，其中，a、b分别是向量在x轴和y轴上的投影。
平面直角坐标系中的基本公式
平面直角坐标系中的基本公式
平面直角坐标系是用来描述平面上点的位置的一种坐标系统。
该坐标
系由两个互相垂直的坐标轴组成，通常称为x轴和y轴。
任意点在该坐标
系中的位置可以由该点在x轴和y轴上的坐标表示。
在平面直角坐标系中，有一些基本的公式可以帮助我们计算点之间的距离、角度等几何性质。
1.平面直角坐标系中的点表示：
在平面直角坐标系中，任意一点的位置可以由它在x轴和y轴上的坐
标表示。
常用的表示方法是(x,y)，其中x表示该点在x轴上的坐标，y
表示该点在y轴上的坐标。
2.点之间的距离：
d=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)
3.点关于原点的对称点：
4.点的中点：
M=((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2)
5.点的斜率：
斜率=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)
6.点的直线方程：
y-y₁=k(x-x₁)
7.点关于x轴的对称点：
8.点关于y轴的对称点：
9.点关于原点的对称点：
10.点关于一条直线的对称点：
P' = (x - 2 * (m * (mx + c - y) / (1 + m²)), y - 2 * (m * (mx + c - y) / (1 + m²)))
以上是平面直角坐标系中的一些基本公式。
这些公式在求解点之间距离、点关于直线的对称点等问题时非常有用，对于解决各种几何问题具有重要的参考价值。
2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式
张喜林制2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式教材知识检索考点知识清单1．两点间的距离公式：设),(),(2211y x B y x A 、是平面上的两点，则=||AB2．中点公式：已知),,(),(2211y x B y x A 、设M(x ，y)是线段AB 的中点，则=x =y ,3．平行四边形的两条对角线的平方和等于它的四边的要点核心解读1．两点间的距离公式(1)平面上的点),(y x P 到原点)0,0(O 的距离=),(P O d .22y x +(2)平面上任意两点间的距离公式：设,(),211x B y x A 、（),2y 则.)()(),(212212y y x x B A d -+-=(3)求两点间距离的步骤：①给两点坐标赋值：?,,,,2121====y y x x ？？？②计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即;,1212y y y x x x -=∆-=∆ ③计算;)()(22y x d ∆+∆=④给出两点的距离．2．中点公式已知),,(),(2211y x B y x A 、设点),(y x M 是线段AB 的中点(如图2-1 -2 -1)，过点A 、B 、M 分别向x 轴、y 轴作垂线、、21AA AA ,2121MM MM BB BB 、、、垂足分别为、、、)0,((B )(0,)0,(211211x y A x A )0,(),,0(122x M y B ).,0(2y M 因为M 是线段AB 的中点，所以点1M 和点2M 分别是11B A 和22B A 的中点，即⋅==22221111,B M M A B M M A所以⋅-=--=-y y y y x x x x 2121,即 2,22121y y y x x x +=+= 这就是线段中点坐标的计算公式，简称中点公式．3．解析法的应用解析法是解决解析几何、立体几何等的重要方法，它是把几何问题转化成代数问题，通过建立适当的坐标系加以分析研究解决问题的方法．用解析法解决几何问题的基本步骤如下：(1)选择坐标系：坐标系选择是否恰当，直接关系到以后的论证是否简捷．原则是：选择坐标系要使得问题所涉及的坐标中尽可能多地出现零．为此，常常有以下规律：①将图形一边所在的直线或定直线作为x 轴；②若为对称图形则取对称轴为x 轴或y 轴；③若有直角，则取直角边所在的直线为坐标轴；④可将图形的一个定点或两个定点连线的中点作为原点．(2)标出图形上有关点的坐标，按已知条件用坐标表示图形中的等量关系．(3)通过以上两个程序，把几何问题转化为代数问题来求解．典例分类剖析考点1 平面上两点闻距离的求法及应用命题规律主要强调两点间距离公式的应用，两点间的距离公式作为解析几何的重点之一，常会考查．[例1] (1)已知),3,1()3,6()1,2(C B A 、、求证：△ABC 为直角三角形．(2)已知点A(3，6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离为10，求点P 的坐标．[解析] (1)要判断三角形是否为直角三角形，其中一种方法是考虑各边长之间是否满足勾股定理，即需求出三条边长．[答案] 由两点间的距离公式得;20)13()26(),(=-+-=B A d;5)13()21(),(=-+-=C A d;25)33()61(),(22=-+-=C B d,||||||222BC AC AB =+∴∴ △ABC 为直角三角形．(2)设点P 的坐标为（x ，O ），由,10),(=P A d 得,10)60()3(22=-+-x解得11=x 或,5-=x∴ 点P 的坐标为(-5，0)或(11，0)．母题迁移 1．已知等边△ABC 的两个顶点、的坐标为),0,2()0,4(B A 、-试求：(1) C 点的坐标；(2)△ABC 的面积．考点2 中点坐标公式及其应用命题规律考查中点坐标公式及其应用．[例2] △ABC 三个顶点的坐标分别为,2)4,4(（、B A --),2,4()2-C 、求三边中线的长．[答案] 设AB 的中点D 的坐标为D （x,y ）,由中点公式得,1224,1224-=+-=-=+-=y x 即 ⋅--)1,1(D同理，BC 的中点E(3，0)，AC 的中点F(O ，-3)．),(||D C d CD =∴22)]2(1[)41(---+--=;26=),(||E A d AE =)40()43(+++=;65=),(||F B d BF =)23()20(-⋅-+-=.29=母题迁移 2．△ABC 三个顶点的坐标为),1,0(-A ),2,2(),3,1(-C B 求中线AD 的长．考点3 两点问距离公式的几何意义命题规律利用两点间距离公式的几何意义求某些函数的最值．[例3] 求函数++-=3712)(2x x x f 134+-x x 的最小值．[答案] ,1)6(3722+-=+-x x r x ∴+-=+-,9)2(1342x x x 可设,6（A 、、)3,2()1B )0,P(x 则.||||)(PB PA x f +=要求)(x f 的最小值，只需在x 轴上找一点P ，使||||PB PA +最小即可．设B 关于x 轴的对称点为,/B 则)3,2(/-B （如图2 -1 -2-2所示）． |,|||||||||//AB PB PA PB PA ≥+=+,24)13()62(||22/=--+-=AB∴ 当A P B 、、/三点共线时取等号，即||||PB PA +的最小值为,24也就是)(x f 的最小值为.24[点拨] (1)涉及无理式，尤其是含平方的算式，我们可联想到两点间的距离，故构造两点间的距离来解题．(2)本题切忌将两个无理函数最小值的和当作f(x)的最小值．母题迁移 3．求函数1342222+-++-=x x x x y 的最小值．优化分层测讯学业水平测试1．已知),15,2().5,3(B A -则=),(B A d （ ）25.A 135.B 175.C 55.D2．已知两点),,(),(d c B b a A 、且,02222=+-+d c b a 则( )．A ．原点一定是线段AB 的中点 B.A 、B 一定都与原点重合C ．原点一定在线段AB 上但不是中点D ．以上结论都不正确3．点P(2，-1)关于点(3，4)的对称点是( )．)5,1.(A )9,4.(B )3,5(⋅C )4,9.(D4．已知点A(3，6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，则点P 的坐标为5．在△ABC 中，设),5,2()7,3(-B A 、若AC 、BC 的中点都在坐标轴上，则点C 的坐标为6．已知，平面内平行四边形的三个顶点).3,1()1,2(--B A 、),4,3(C 求第四个顶点D 的坐标．高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分x8 =40分）1．以A(5，5)、B(1，4)、C(4，1)为顶点的三角形是( )．A.直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形2．已知△ABC 的三个顶点是)0,()0,(a B a A 、-和),23,2(a aC 则△ABC 的形状是( )． A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．斜三角形3．已知点),2,4()0,2(B A 、若|,|2||BC AC =则C 点的坐标为( )．)1,1(-⋅A ），或（15)1,1(--⋅B )3,1()1,1(或-⋅C D ．无数个 4．已知点A （x ，5）关于点C(l ，y)的对称点是),3,2(--B 则点),(y x P 到原点的距离是( )．4.A 13.B 15.C 17.D5．已知菱形的三个顶点为),0,0(),(),(、、a b b a -则它的第四个顶点是( )．),2(b a A ⋅ ),(b a b a B +-⋅ ),.(a b b a C -+ ),(a b b a D --⋅6．光线从点A （-3，5）射到x 轴上，经过反射后经过点B(2，10)，则光线从A 到B 的距离为( )．25.A 52.B 105.C 510.D7．某县位于山区，居民的居住区域大致呈如图2 -1-2 -3所示的五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成，若,30,60km CD AE km AB ===为了解决当地人民看电视难的问题，准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点距离的平方和最小，图中4321P P P P 、、、是AC 的五等分点，则转播台应建在( )．1.P A 处2.P B 处3.P C 处4.P D 处8．（2006年福建）对于直角坐标平面内的任意两点).,(11y x A ),,(22y x B 定义它们之间的一种“距离”：+-=||||12x x AB .||12y y -给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则|;|||||AB CB AC =+②在△ABC 中，若,90 =∠C 则;||||||222AB CB AC =+③在△ABC 中，.||||||AB CB AC >+其中真命题的个数为( )．0.A 1.B 2.C 3.D二、填空题（5分x4 =20分）9．已知),,2()6,(b B a A -、点P(2，3)平分线段AB ，则=+b a10．已知),3,0()3,5()1,1(C B A 、、则△ABC 的形状为11．已知),3().2,1(b B A -两点间的距离为,24则=b12.已知两点),2,3()4,1(A P 、-则点A 关于点P 的对称点的坐标为三、解答题（10分x4 =40分）13.求函数84122+-++=x x x y 的最小值．14.已知△ABC 三顶点的坐标为,8)3,11()8,3(--（、、C B A ),2-求BC 边上的高AD 的长度．15.若a 、b 、c 、d 都是实数，试证明≥+++2222db c a .)()(22d c b a +++16.在△ABC 所在平面上求一点P ，使222||||||PC PB PA ++取得最小值.。
原创1：2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)3;
(2)C(0,-4)，D(0,-1);
(4)M(2,-1)，N(5,-1).
(3)2 ;
(4) .
ሺ , ሻ
2.在x轴上到A(－4，3)和B(2，6)两点的距离相等的点P的坐标为________．
3.光线从点A(－3，5)射到x轴上，经反射以后经过点B(2，10)，则光线从A
+ .
+ +
∵M是BC的中点，∴点M的坐标为ሺ
,
ሻ，即Mሺ , ሻ.
由两点间的距离公式得
AM＝
ሺ
−
ሻ +ሺ
− ሻ ＝
+
，所以AM＝ BC.
达标检测
两点间距离公式的应用
1.求下列两点间的距离：
(1)A(6,0)，B(-2,0);
(3)P(6,0)，Q(0,-2);
跟踪训练
两点间距离公式的应用
练习1 已知△ABC的顶点坐标为A(－1，5)，B(－2，－1)，C(4，7)，
求BC边上的中线AM的长．
解：如图，设点M(x，y)，∵点M是线段BC的中点，
−+
−+
∴x＝
＝1，y＝
＝3，即M的坐标为(1，3)．
由两点间的距离公式得
AM＝ [ − − ] +ሺ − ሻ ＝2 .
A(0,0)
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
B(a,0) x
跟踪训练
练习2
2019年高三一轮复习热点题型9.1直线的方程
已知平面直角坐标系中的两点 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，点 M (x ，y)是线段 AB 的中点，则 x ＝ 1 y ＋y 2 y ＝ 1 (2)计算公式：若由 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)确定的直线不垂直于 x 轴，则 k ＝ 2直线的倾斜角为 θ (θ≠ )，则 k ＝tan_θ.§9.1 直线的方程1.平面直角坐标系中的基本公式(1)两点的距离公式：已知平面直角坐标系中的两点 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 d (A ，B)＝|AB|＝ (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)中点公式：x ＋x 2 2，2 .2.直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，我们规定，与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角.(2)倾斜角的范围：[0°，180°). 3.直线的斜率(1)定义：通常，我们把直线 y ＝kx ＋b 中的系数 k 叫做这条直线的斜率，垂直于 x 轴的直线，人们常说它的斜率不存在；y －y 1x 2－x 1π24.直线方程的五种形式名称 方程 适用范围(x 1≠x 2).若y－y1x－x1y2－y1x2－x1＋＝1(5)不经过原点的直线都可以用＋＝1表示.(×)y P y解析由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距－>0，故直点斜式斜截式两点式截距式y－y＝k(x－x)y＝kx＋b＝x ya b不含直线x＝x0不含垂直于x轴的直线不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)不含垂直于坐标轴和过原点的直线Ax＋By＋C＝0一般式平面直角坐标系内的直线都适用(A2＋B2≠0)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.(√)(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.(×)(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.(×)(4)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示.(×)x ya b(6)经过任意两个不同的点P1(x1，1)，2(x2，2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.(√)1.直线3x－y＋a＝0的倾斜角为()A.30°C.150°B.60°D.120°答案B解析化直线方程为y＝3x＋a，∴k＝tanα＝ 3.∵0°≤α<180°，∴α＝60°.2.如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过()A.第一象限C.第三象限B.第二象限D.第四象限答案CC CA B线经过一、二、四象限，不经过第三象限.当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝5，m－12答案⎣0，4⎦∪⎝2，π⎭又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣0，4⎦∪⎝2，π⎭.例1(1)直线2xcosα－y－3＝0⎝α∈⎣6，3⎦⎭的倾斜角的取值范围是(A.⎣6，3⎦B.⎣4，3⎦C.⎣4，2⎦D.⎣4，3⎦3.过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为__________________.答案3x－2y＝0或x＋y－5＝0解析当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；x ya a23a a所以直线方程为x＋y－5＝0.综上，直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.4.(教材改编)若过点A(m,4)与点B(1，m)的直线与直线x－2y＋4＝0平行，则m的值为________.答案34－m1解析＝，∴m＝3.5.直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角的取值范围为____________.⎡π⎤⎛π⎫m2－1解析直线l的斜率k＝＝1－m2≤1.1－2若l的倾斜角为α，则tanα≤1.⎡π⎤⎛π⎫题型一直线的倾斜角与斜率⎛⎡ππ⎤⎫)⎡ππ⎤⎡ππ⎤⎡ππ⎤⎡π2π⎤(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取因为 α∈⎣6，3⎦，所以 ≤cos α≤ 2 2 则有 tan θ∈[1， 3 ].又 θ∈[0，π)，所以 θ∈⎣4，3⎦， 即倾斜角的取值范围是⎣4，3⎦.(2)如图，∵k AP ＝＝1， k BP ＝ ＝－ 3，1－02－(－1) 3 k BP ＝ ＝ 3.如图可知，直线 l 斜率的取值范围为⎣3， 3⎦.值范围为__________________.答案 (1)B (2)(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)解析 (1)直线 2xcos α－y －3＝0 的斜率 k ＝2cos α，⎡π π⎤ 1 3 ，因此 k ＝2·cos α∈[1， 3 ].设直线的倾斜角为 θ，⎡π π⎤⎡π π⎤1－02－13－00－1∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞).引申探究1.若将本例(2)中 P(1,0)改为 P(－1,0)，其他条件不变，求直线 l 斜率的取值范围.解 ∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0， 3)，∴k AP ＝ 1＝ ，3－00－(－1)⎡1 ⎤2.将本例(2)中的 B 点坐标改为 B(2，－1)，求直线 l 倾斜角的范围.解 如图：直线 PA 的倾斜角为 45°， 直线 PB 的倾斜角为 135°，由图象知 l 的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°).率求倾斜角的范围时，要分⎣0，2⎭与⎝2，π⎭两种情况讨论.由正切函数图象可以看出，当α∈⎡⎣0，2⎫⎭时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈⎛⎝2，π⎫⎭时，斜率k∈(－A.⎣6，2⎭∪⎝2，6⎦B.⎣0，6⎦∪⎣6，π⎭C.⎣0，6⎦D.⎣6，6⎦(2)已知实数x，y满足2x＋y＝8，当2≤x≤3时，则的最大值为________；最小值为________.∵－1≤cosα≤1，∴－3≤k≤.≤tanθ≤.结合正切函数在⎣0，2⎭∪⎝2，π⎭上的图象可知，0≤θ≤或≤θ<π.(2)本题可先作出函数y＝8－2x(2≤x≤3)的图象，把看成过点(x，y)和y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标分别是(2,4)，(3,2).因为的几何意义是直线OP y y(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为10思维升华直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜⎡π⎫⎛π⎫πππ2∞，0).(1)直线xcosα＋3y＋2＝0的倾斜角的范围是()⎡ππ⎫⎛π5π⎤⎡π⎤⎡5π⎫⎡5π⎤⎡π5π⎤yx答案(1)B(2)22 3解析(1)由xcosα＋3y＋2＝0得直线斜率k＝－33cosα.3 33设直线的倾斜角为θ，则－33 33⎡π⎫⎛π⎫π5π66yx原点的直线的斜率进行求解.如图，设点P(x，)，因为x，满足2x＋y＝8，且2≤x≤3，所以点P(x，yx2y2的斜率，且k OA＝2，k OB＝3，所以x的最大值为2，最小值为3.题型二求直线的方程例2根据所给条件求直线的方程：10；故所求直线方程为 y ＝± (x ＋4).a 12－a－3 12－a |10－5k| k 2＋1 设倾斜角为 α，则 sin α＝ 10(0<α<π)，从而 cos α＝±，则 k ＝tan α＝± .从而 ＋＝1，解得 a ＝－4 或 a ＝9.由点线距离公式，得 ＝5，解得 k ＝ ..(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为 12；(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为 5.解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.103 10 110 313即 x ＋3y ＋4＝0 或 x －3y ＋4＝0.x y(2)由题设知截距不为 0，设直线方程为 ＋ ＝1， 又直线过点(－3,4)，4 a故所求直线方程为 4x －y ＋16＝0 或 x ＋3y －9＝0.(3)当斜率不存在时，所求直线方程为 x －5＝0； 当斜率存在时，设其为 k ，则所求直线方程为 y －10＝k(x －5)， 即 kx －y ＋(10－5k)＝0.34故所求直线方程为 3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为 x －5＝0 或 3x －4y ＋25＝0.思维升华 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件. 用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距 式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论， 判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况求适合下列条件的直线方程：∴l 的方程为 y ＝ x ，即 x －4y ＝0.若 a ≠0，则设 l 的方程为 ＋ ＝1，∴ ＋ ＝1，因此所求直线方程为 y ＋3＝－ (x ＋1)，解 方法一 设直线方程为 ＋ ＝1 (a >0，b >0)，点 P(3,2)代入得 ＋ ＝1≥2∴tan 2α＝ 2tan α ab ，得 ab ≥24，(1)经过点 P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点 A(－1，－3)，倾斜角等于直线 y ＝3x 的倾斜角的 2 倍.解 (1)设直线 l 在 x ，y 轴上的截距均为 a.若 a ＝0，即 l 过点(0,0)及(4,1)，14x ya a∵l 过点(4,1)，4 1a a∴a ＝5，∴l 的方程为 x ＋y －5＝0.综上可知，直线 l 的方程为 x －4y ＝0 或 x ＋y －5＝0. (2)由已知：设直线 y ＝3x 的倾斜角为 α， 则所求直线的倾斜角为 2α. ∵tan α＝3，31－tan 2 α＝－4.又直线经过点 A(－1，－3)，34即 3x ＋4y ＋15＝0.题型三 直线方程的综合应用命题点 1 与均值不等式相结合求最值问题例 3 已知直线 l 过点 P(3,2)，且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A 、B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线 l 的方程.x ya b3 26a b⎛⎫ ∴△S ABO ＝ (2－3k)⎝3－k ⎭2 ⎢ ⎥⎢ ＝ ×(12＋12)＝12.当且仅当－9k ＝ ，即 k ＝－ 时，等号成立.－k＋2，所以四边形的面积 S ＝ ×2×(2－a)＋ ×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝a －2⎭2＋ .1 32 b 2从而 △S AOB ＝2ab ≥12，当且仅当a ＝b 时等号成立，这时 k ＝－a ＝－3，从而所求直线方程为2x ＋3y －12＝0.方法二 依题意知，直线 l 的斜率 k 存在且 k<0. 则直线 l 的方程为 y －2＝k(x －3) (k<0)，2 且有 A ⎝3－k ，0⎭，B(0,2－3k)，1 ⎛ 2⎫＝1⎡12＋(－9k )＋ 4 ⎤2⎣ (－k )⎦≥1⎡12＋22⎣4 ⎤(－9k )· ⎥(－k )⎦1 242 3△即 ABO 的面积的最小值为 12.故所求直线的方程为 2x ＋3y －12＝0.命题点 2 由直线方程解决参数问题例 4 已知直线 l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当 0＜a ＜2 时，直线 l 1，l 2 与两 坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数 a 的值.解 由题意知直线 l 1，l 2 恒过定点 P(2,2)，直线 l 1 的纵截距为 2－a ，直线 l 2 的横截距为 a 2221 1 ⎛ 1⎫ 15 4，当 a ＝12时，面积最小.思维升华 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用均值不等式 求解最值.(2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程(3)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或答案(1)5 (2)－∴|P A |·|PB|≤ ＝ ＝5，当且仅当|P A|＝|PB|时，上式等号成立.＝－ .均值不等式求解.(1)(2014·四川)设 m ∈R ，过定点 A 的动直线 x ＋my ＝0 和过定点 B 的动直线 mx－y －m ＋3＝0 交于点 P(x ，y)，则|P A |·|PB|的最大值是________.(2)(2015· 安徽)在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 y ＝2a 与函数 y ＝|x －a|－1 的图象只有一个交点，则 a 的值为________.12解析 (1)∵直线 x ＋my ＝0 与 mx －y －m ＋3＝0 分别过定点 A ，B ，∴A(0,0)，B(1,3).当点 P 与点 A(或 B)重合时，|P A |·|PB|为零； 当点 P 与点 A ，B 均不重合时，∵P 为直线 x ＋my ＝0 与 mx －y －m ＋3＝0 的交点， 且易知此两直线垂直， ∴△APB 为直角三角形， ∴|AP|2＋|BP|2＝|AB|2＝10，|P A|2＋|PB|2 102 2(2)∵|x －a|≥0 恒成立，∴要使 y ＝2a 与 y ＝|x －a|－1 只有一个交点，必有 2a ＝－1，解得 a1213.求直线方程忽视零截距致误典例 (12 分)设直线 l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0 (a ∈R). (1)若 l 在两坐标轴上截距相等，求 l 的方程； (2)若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围.易错分析 本题易错点求直线方程时，漏掉直线过原点的情况.规范解答⎪⎪⎩⎩.解(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.[2分]当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.a－2∴＝a－2，即a＋1＝1.[4分]a＋1∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.[6分](2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，⎧－(a＋1)>0，⎧－(a＋1)＝0，∴⎨或⎨⎪a－2≤0⎪a－2≤0，∴a≤－1.[10分]综上可知a的取值范围是a≤－1.[12分]温馨提醒(1)在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解.(2)常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形，注意分类讨论思想的运用[方法与技巧]直线的倾斜角和斜率的关系：(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率.(2)直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：αk0°0°<α<90°k>090°不存在90°<α<180°k<0[失误与防范]与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点：(1)明确直线方程各种形式的适用条件点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线.(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零.(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论.A.m ≠－ A.⎝0，3⎦B.⎣3，2⎭C.⎝2， 3 ⎦D.⎣3，π⎭ 切线的倾斜角的取值范围是⎣3，2⎭.A 组 专项基础训练(时间：35 分钟)1.若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0 表示一条直线，则参数 m 满足的条件是()32C.m ≠0 且 m ≠1B.m ≠0D.m ≠1答案 D⎧⎪2m 2＋m －3＝0，解析 由⎨解得 m ＝1，⎪⎩m 2－m ＝0，故 m ≠1 时方程表示一条直线.2.(2015· 山东枣庄第八中学第二次阶段性检测)如果 f ′(x)是二次函数，且 f ′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1， 3)，那么曲线 y ＝f(x)上任一点的切线的倾斜角的取值范围是()⎛ π⎤⎛π 2π⎤ ⎡π π⎫⎡π ⎫答案 B解析 f ′(x)＝a(x －1)2＋ 3 (a>0)，∴k ≥ 3.⎡π π⎫3.如图中的直线 l 1，l 2，l 3 的斜率分别为 k 1，k 2，k 3，则 ( )A.k 1＜k 2＜k 3B.k 3＜k 1＜k 2C.k 3＜k 2＜k 1D.k 1＜k 3＜k 2 答案 D解析 直线 l 1 的倾斜角 α1 是钝角，故 k 1＜0，直线 l 2 与 l 3 的倾斜角 α2 与 α3 均为锐角，且 α2＞α3，所以 0＜k 3＜k 2，因此 k 1＜k 3＜k 2，故选 D.4.设直线 ax ＋by ＋c ＝0 的倾斜角为 α，且 sin α＋cos α＝0，则 a ，b 满足 ( )A.a ＋b ＝1B.a －b ＝1解析 由 sin α＋cos α＝0，得 ＝－1，即 tan α＝－1.又因为 tan α＝－ ，所以－ ＝－1.6.若直线 l 的斜率为 k ，倾斜角为 α，而 α∈⎣6，4⎭∪⎣ 3 ，π⎭，则 k 的取值范围是__________. 答案[－ 3，0)∪⎣ 3 ，1⎭ 解析 当 ≤α< 时， ≤tan α<1，∴ 3≤k<1.当 ≤α<π 时，－ 3≤tan α<0.∴k ∈⎣ 3，1⎭∪[－ 3，0). 解析 设所求直线的方程为 ＋ ＝1.a b ①2②C.a ＋b ＝0D.a －b ＝0答案 Dsin αcos αa ab b即 a ＝b ，故应选 D.5.已知直线 PQ 的斜率为－ 3，将直线绕点 P 顺时针旋转 60°所得的直线的斜率为( )A. 3C.0 B.－ 3D.1＋ 3答案 A解析 直线 PQ 的斜率为－ 3，则直线 PQ 的倾斜角为 120°，所求直线的倾斜角为 60°，tan60°＝ 3.⎡π π⎫ ⎡2π ⎫⎡ 3 ⎫π π 36 4 332π3 ⎡ 3 ⎫7.一条直线经过点 A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 1，则此直线的方程为________________________________________________________________________. 答案 x ＋2y －2＝0 或 2x ＋y ＋2＝0x ya b∵A(－2,2)在此直线上，2 2 ∴－ ＋ ＝1.又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为 1，1 ∴ |a |·|b |＝1.故所求的直线方程为 ＋ ＝1 或 ＋ ＝1，－1 －2－2 解析 根据 A(a,0)、B(0，b )确定直线的方程为 ＋ ＝1，又 C(－2，－2)在该直线上，故＋ ＝1，⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ 解得 m ＝－ .⎧a －b ＝1， ⎧a －b ＝－1，由①②可得(1)⎨ 或(2)⎨⎪ab ＝2 ⎪ab ＝－2.⎧a ＝2， ⎧a ＝－1，由(1)解得⎨ 或⎨ 方程组(2)无解.⎪b ＝1 ⎪b ＝－2，x y x y2 1即 x ＋2y －2＝0 或 2x ＋y ＋2＝0 为所求直线的方程.8.若 ab >0，且 A(a,0)、B(0，b )、C(－2，－2)三点共线，则 ab 的最小值为________.答案 16x ya b a－2b所以－2(a ＋b )＝ab.又 ab >0，故 a <0，b <0.根据均值不等式 ab ＝－2(a ＋b )≥4 ab ，从而 ab ≤0(舍去)或 ab ≥4，故 ab ≥16，当且仅当 a ＝b ＝－4 时取等号.即 ab 的最小值为 16.9.设直线 l ：(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －2m ＋6＝0 (m ≠－1)，根据下列条件分别确定 m的值：(1)直线 l 在 x 轴上的截距为－3； (2)直线 l 的斜率为 1.解 (1)∵l 在 x 轴上的截距为－3，∴－2m ＋6≠0，即 m ≠3，又 m ≠－1， ∴m 2－2m －3≠0.2m －6令 y ＝0，得 x ＝ ，m 2－2m －3由题意知， m 2m－6 ＝－3，2－2m －353(2)由题意知 2m 2＋m －1≠0，m 2－2m －3 且－ ＝1，解得 m ＝ .2m 2＋m －1解得 k ＝ .所以 k l ＝－ ＝2.4 310.已知点 P(2，－1).(1)求过点 P 且与原点的距离为 2 的直线 l 的方程；(2)求过点 P 且与原点的距离最大的直线 l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点 P 且与原点的距离为 6 的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.解 (1)过点 P 的直线 l 与原点的距离为 2，而点 P 的坐标为(2，－1)，显然，过点 P(2，－1)且垂直于 x 轴的直线满足条件， 此时 l 的斜率不存在，其方程为 x ＝2.若斜率存在，设 l 的方程为 y ＋1＝k(x －2)， 即 kx －y －2k －1＝0.|－2k －1|由已知得 ＝2，k 2＋134此时 l 的方程为 3x －4y －10＝0.综上，可得直线 l 的方程为 x ＝2 或 3x －4y －10＝0.(2)作图可得过点 P 与原点 O 的距离最大的直线是过点 P 且与 PO 垂直的直线，如图所示.由 l ⊥OP ，得 k l k OP ＝－1，1 kOP由直线方程的点斜式，得 y ＋1＝2(x －2)，即 2x －y －5＝0.∴a＋b＝ab，即＋＝1，∴a＋b＝(a＋b)⎝a＋b⎭＝2＋＋≥2＋2ba＝4，解析直线AB的方程为＋＝1，∵动点P(x，y)在直线AB上，则x＝3－y，∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)＝[－y－22＋4]≤3.即当P点坐标为⎝2，2⎭时，xy取最大值3.|－5|所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为＝ 5.5(3)由(2)可知，过点P不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线.B组专项能力提升(时间：25分钟)11.若直线ax＋b y＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为()A.1 C.4B.2 D.8答案C解析∵直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，11a b⎛11⎫b aa bab当且仅当a＝b＝2时上式等号成立.∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.12.已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________.答案3x y3434334434⎛3⎫13.设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________.答案[－2,2]直线y＝x上时，求直线AB的方程.3⎝2，2⎭由点C在y＝x上，且A、P、B三点共线得3＋3213n所以l AB：y＝(x－1)，解析b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值.∴b的取值范围是[－2,2].14.如图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在12解由题意可得k OA＝tan45°＝1，k OB＝tan(180°－30°)＝－3所以直线l OA：y＝x，l OB：y＝－x.设A(m，m)，B(－3n，n)，⎛m－3n m＋n⎫所以AB的中点C ⎪，12⎧m＋n＝1·m－3n，⎨222解得m＝3，所以A(3，3).⎩m－0＝－n－－1，3又P(1,0)，所以k AB＝k AP＝＝，3－133，3＋32即直线AB的方程为(3＋3)x－2y－3－3＝0.15.已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于△B，AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l的方程.(1)证明直线l的方程是k(x＋2)＋(1－y)＝0，(2)解 由方程知，当 k ≠0 时直线在 x 轴上的截距为－ ，在 y 轴上的截距为 1＋2k ，要⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ，0⎪⎭，B(0,1＋2k). (3)解 由 l 的方程，得 A － 依题意得⎨k<0，∵S ＝ ·|OA |·|OB|＝ · ⎪ ⎪·|1＋2k|k ＝ ⎝4k ＋k ＋4⎭≥ ×(2×2＋4)＝ · “＝”成立的条件是 k >0 且 4k ＝ ，即 k ＝ ，＝⎧x ＋2＝0， ⎧x ＝－2， 令⎨ 解得⎨⎪1－y ＝0， ⎪y ＝1，∴无论 k 取何值，直线总经过定点(－2,1).1＋2kk⎧1＋2k使直线不经过第四象限，则必须有⎨－ k ≤－2，⎩1＋2k ≥1，当 k ＝0 时，直线为 y ＝1，符合题意，故 k ≥0.⎛ 1＋2k ⎫ ⎝ k⎧1＋2k－⎩1＋2k >0，解得 k>0.1 1 ⎪1＋2k ⎪2 2 ⎪ k ⎪1 (1＋2k )2 1⎛1 ⎫ 12 2 2＝4，1 1 k 2∴S min 4，此时直线 l 的方程为 x －2y ＋4＝0.解得 k >0；。
教学设计4：2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式
2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式教学目标1.理解两点间的距离的概念，掌握两点间的距离公式，并会求两点间的距离.2.理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题．知识梳理知识点一 两点的距离公式两点间的距离公式A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点之间的距离公式d (A ，B )＝|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2； 当AB 垂直于y 轴时，d (A ，B )＝|x 2－x 1|；当AB 垂直于x 轴时，d (A ，B )＝|y 2－y 1|；当B 为原点时，d (A ，B )＝x 21＋y 21.知识点二 中点坐标公式已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，点M (x ，y )是线段AB 的中点，则x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22. 教学案例题型一 两点间的距离公式例1 (1)若A (－5,6)，B (a ，－2)两点的距离为10，则a ＝____________.(2)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (4,1)，B (－3,2)，C (0,5)，则△ABC 的周长为( )A ．4 2B ．8 2C ．12 2D ．16 2【答案】(1)1或－11 (2)C【解析】(1)∵|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(－5－a )2＋(6＋2)2＝10，∴a ＝1或－11.(2)∵A (4,1)，B (－3,2)，C (0,5)，∴|AB |＝(－3－4)2＋(2－1)2＝50＝52，|BC |＝[0－(－3)]2＋(5－2)2＝18＝32，|AC |＝(0－4)2＋(5－1)2＝32＝4 2.∴△ABC 的周长为|AB |＋|BC |＋|AC |＝52＋32＋42＝12 2.反思感悟 两点间的距离公式应用的两种形式(1)在求到某点的距离满足某些条件的点P (x ，y )的坐标时，需要根据已知条件列出关于x ，y的方程或方程组，解之即可．(2)利用两点间的距离公式可以判断三角形的形状，从三边长入手，根据边长相等判断是等腰或等边三角形，根据勾股定理判断是直角三角形．还可以根据两个距离之和等于第三个距离判断三点共线．跟踪训练1 已知点A (－3,4)，点B (2，3)，试在x 轴上找一点P ，使得d (P ，A )＝d (P ，B )，并求出d (P ，A )．解 设P (x,0)，由题意得d (P ，A )＝(x ＋3)2＋(0－4)2＝x 2＋6x ＋25，d (P ，B )＝(x －2)2＋(0－3)2＝x 2－4x ＋7.由d (P ，A )＝d (P ，B )，即x 2＋6x ＋25＝x 2－4x ＋7，化简得x ＝－95，故点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－95，0， d (P ，A )＝⎝⎛⎭⎫－3＋952＋42＝21095. 题型二 中点公式及应用例2 已知平行四边形ABCD 的两个顶点坐标分别为A (4,2)，B (5,7)，对角线交点为E (－3,4)，求另外两顶点C ，D 的坐标．解 设C 点坐标为(x 1，y 1)，则由E 为AC 的中点，得 ⎩⎨⎧－3＝4＋x 12，4＝2＋y 12，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－10，y 1＝6. 设D 点坐标为(x 2，y 2)，则由E 为BD 的中点，得 ⎩⎨⎧ －3＝5＋x 22，4＝7＋y 22，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－11，y 2＝1， 故C 点坐标为(－10,6)，D 点坐标为(－11,1)．反思感悟 中点公式应用的步骤(1)认真审题，提炼题设中的条件．(2)将条件转化为与中点有关的问题．(3)利用中点公式求解．(4)转化为题目要求的结果．特别提醒：利用中点坐标公式可求得以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)为顶点的△ABC 的重心坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33.跟踪训练2 (1)已知三点A (x,5)，B (－2，y )，C (1,1)，且点C 是线段AB 的中点，求x ，y 的值；(2)求点M (4,3)关于点N (5，－3)的对称点．解 (1)由题意知，⎩⎨⎧ x －22＝1，5＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－3. (2)设所求点的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＋42＝5，y ＋32＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－9， 故所求对称点的坐标为(6，－9)．题型三 坐标法的应用 例3 证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．证明 如图所示，以顶点A 为坐标原点，AB 边所在直线为x 轴，建立直角坐标系，有A (0,0)．设B (a,0)，D (b ，c )，由平行四边形的性质，得点C 的坐标为(a ＋b ，c )．因为|AB |2＝a 2，|CD |2＝a 2，|AD |2＝b 2＋c 2，|BC |2＝b 2＋c 2，|AC |2＝(a ＋b )2＋c 2，|BD |2＝(b －a )2＋c 2，所以|AB |2＋|CD |2＋|AD |2＋|BC |2＝2(a 2＋b 2＋c 2)，|AC |2＋|BD |2＝2(a 2＋b 2＋c 2)，所以|AB |2＋|CD |2＋|AD |2＋|BC |2＝|AC |2＋|BD |2.因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．反思感悟 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算的结果翻译成几何结论．跟踪训练3 证明：直角三角形斜边中点到三个顶点的距离相等．证明 如图所示，以直角三角形的直角顶点C 为坐标原点，一直角边CA 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则C (0,0)．设A (a,0)，B (0，b )，则斜边中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，b 2.因为|OM |＝ a 24＋b 24＝12a 2＋b 2， |BM |＝a 24＋⎝⎛⎭⎫b 2－b 2＝12a 2＋b 2， |MA |＝⎝⎛⎭⎫a －a 22＋b 24＝12a 2＋b 2， 所以|OM |＝|BM |＝|MA |.即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等．课堂小结1．坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离．反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标．2．平面几何中与线段长有关的定理和重要结论，可以用坐标法来证明．用坐标法解题时，由于平面图形的几何性质是不依赖于平面直角坐标系的建立而改变的，但不同的平面直角坐标系会使计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”．达标检测1．已知A (－3,5)，B (2,15)，则d (A ，B )等于( )A ．5 2B ．513C ．517D ．5 5【答案】D【解析】d (A ，B )＝(2＋3)2＋(15－5)2＝52＋102＝5 5.2．点P (2，－1)关于点M (3,4)的对称点Q 的坐标为( )A ．(1,5)B ．(4,9)C ．(5,3)D ．(9,4)【答案】B【解析】设点Q 的坐标为(x ，y )，由中点坐标公式，得⎩⎨⎧ 3＝2＋x 2，4＝－1＋y 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝9. 3．以A (1,5)，B (5,1)，C (－9，－9)为顶点的三角形是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．无法确定【答案】B4．已知A (a,6)，B (－2，b )，点P (2,3)平分线段AB ，则a ＋b ＝________.【答案】6【解析】由中点公式得2＝a －22，3＝b ＋62， ∴a ＝6，b ＝0.∴a ＋b ＝6.5．已知平面内平行四边形的三个顶点A (－2,1)，B (－1,3)，C (3，4)，求第四个顶点D 的坐标．解 分以下三种情况(如图所示)．(1)以AC 为对角线构成▱ABCD 1.设D 1(x 1，y 1)，AC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，52，其也为BD 1的中点坐标，∴12＝－1＋x 12，52＝3＋y 12， ∴x 1＝2，y 1＝2，即D 1(2,2)．(2)以BC 为对角线构成▱ACD 2B ，同理得D 2(4,6)．(3)以AB 为对角线构成▱ACBD 3，同理得D 3(－6,0)．由以上可知，第四个顶点D 的坐标为(2,2)或(4,6)或(－6,0)．。
平面直角坐标系中的公式
d(A,B)
( 4) 7
2 2
65
〖课堂检测1〗
课本第71页练习A， 1.求两点间的距离。
【例2】已知：点A(1，2)，B(3，4)，C(5，0)
求证：三角形ABC是等腰三角形。 证明：因为 d(A,B)= 2 2
d(A,C)= 2 5 d(C,B)= 2 5 即|AC|=|BC|且三点不共线 所以，三角形ABC为等腰三角形。
〖课堂检测2〗 已知：A（1，1）B（5，3）
C（0，3）求证：三角形ABC是直角三角形
【例3】证明平行四边形四条边的平方 和等于两条对角线的平方和的两倍.
y D (b-a, c) C (b, c) x
A(0,0)
B(a,0)
该题用的方法----坐标法。可以将几何问题 转化为代数问题。记住结论。
合作探究（二）：中点公式 2、中点公式:已知A（x1，y1）, B（x2，y2），M(x,y)是线段AB的 中点，计算公式如下
x1 x 2 x 2 y1 y 2 y 2
【例4】已知 :平行四边形ABCD的三个顶点坐标
A(- 3,0),B(2,-2),C(5,2).求:顶点D的坐标。
解：因为平行四边形的两条对角线中点相同, 所以它们的中点的坐标也相同. 设D 点的坐标为(x,y). 则
x 2 35 2 2 y2 02 2 2
第二章平面解析几何初步p6521平面直角坐标系中的基平面直角坐标系中的基本公式本公式211第二章来自平面解析几何初步P65
2.1平面直角坐标系中的基 本公式
2.1.1.数轴上的基本公式
数轴上两点的距离
A
B
o x1
x2
A x1
o
B x2
2-1-2平面直角坐标系中的基本公式
典例剖析
题型 1 考察两点间的坐标公式 例 1 求下列两点间的距离． (1)A(－2,3)，B(－1,7)； (2)A(1,5)，B(4，－1)． 剖析 可根据两点间的距离公式求解，注意计算步骤．
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第二章
§2 .1
§2 .1.2
名师一号 · 新课标B版数学 · 必修2
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第二章
§2 .1
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4．已知 A(8,10)，B(－6，y)，AB 中点坐标为(x,7)，则 x， y 的值分别是( A．1,4 C．－1,4 ) B．1，－4 7 D．1，2
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名师讲解
1.两点间的距离公式 在平面直角坐标系内有两点：A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A， B 两点的距离是 d(A，B)＝ x2－x12＋y2－y12.
2 (1)若 B 点为原点，则 d(A，B)＝d(O，A)＝ x2＋y1； 1
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§2 .1
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由(1，－1)是 BD 中点可得： 2＋x2 ＝1， 2 4＋y2 2 ＝－1，
x ＝0， 2 ∴ y2＝－6.
∴C 点坐标为(3，－5)，D 点坐标为(0，－6)．
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第二章
§2 .1
§2 .1.2
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§2 .1
1平面直角坐标系中的基本公式
（A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)）
的重心坐标为
x
x1
x2 3
x3
y
y1
y2
y3
3
y
B(x 2,y 2)
A(x 1,y 1)
M(x,y) x O
C(x 3,y 3)
例4．已知□ABCD的三个顶点A(－3，0)，
B(2，－2)，C(5，2)，求顶点D的坐标。
解：因为平行四边形的 两条对角线的中点相同， 所以它们的坐标也相同。
解得x=0或x=2,
若点C在y轴上，设C(0，y)，由∠ACB=90° 得|AB|2=|AC|2+|BC|2，
可得y=0 或y=4， 而其中原点O(0，0)计算了两次， 故选C.
2.1.1数轴上的基本公式
一.直线坐标系
1．直线坐标系：一条给出了原点、度量 单位和正方向的直线叫做数轴，或说在 这条直线上建立了直线坐标系。如图：
2．称点P的坐标为x，记作P(x)；
3．数轴上两点间的，B)=|x2－x1|.
数轴上一点P(x)，它到点A(－8)的距
离是它到点B(－4)距离的2倍，则x=
0或 16 3
.
2.1.2平面直角坐标系中的 基本公式
一. 两点间的距离公式 当AB时不平行于坐标轴，
y B2
B(x2,y2)
A(x1,y1) A2
A1 O
C
x B1
由勾股定理得
|AB|2=|AC|2+|BC|2=|x2－x1|2+|y2－y1|2， 由此得到计算两点间距离的公式：
∴ d(A，B)= Vx2 Vy2 65
例2．已知点A(1，2)，B(3，4)，C(5，0), 求证：△ABC是等腰三角形。
坐标计算的基本公式
坐标计算的基本公式坐标计算是数学中一个重要的分支，它涉及到平面上的点的位置关系、距离、方向等问题。
在坐标计算中，常用的基本公式包括平面直角坐标系的表示、两点间的距离、中点坐标、线段的分点坐标、直线的斜率等，下面将详细介绍这些公式。
1.平面直角坐标系的表示：平面直角坐标系是以两个相互垂直的轴为基准，建立平面上点的坐标位置。
一般选择x轴和y轴作为坐标轴，它们的交点O称为原点。
平面上的任意一点P可以用(x,y)表示，其中x表示点P在x轴上的坐标，y表示点P在y轴上的坐标。
2.两点间的距离：两点间的距离可以通过勾股定理计算。
设点（x1,y1）和点（x2,y2）是平面上的两个点，它们之间的距离d可以表示为：d=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]3.中点坐标：若已知线段的两个端点的坐标（x1,y1）和（x2,y2），可以通过求平均值的方法求出线段的中点的坐标。
中点的x坐标可以通过下述公式计算：x=(x1+x2)/2，中点的y坐标可以通过下述公式计算：y=(y1+y2)/24.线段的分点坐标：线段的分点坐标指线段上除了端点外的任意一点的坐标。
已知线段的两个端点的坐标（x1,y1）和（x2,y2），若要求线段上的一个点，该点到一个端点的距离是线段长度的m/n（其中m,n为整数，且m+n≠0），则该点的坐标可以用以下公式计算：x = (mx2 + nx1)/(m + n)，y = (my2 + ny1)/(m + n)。
5.直线的斜率：直线的斜率是刻画直线的一个重要属性，可以通过两点的坐标计算得到。
设直线上的两个点分别为（x1,y1）和（x2,y2），直线的斜率可表示为：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
若直线的斜率为k，则直线倾斜角的正切为tanθ = k，其中θ表示直线与正x轴之间的夹角。
以上是坐标计算中的一些基本公式，通过这些公式可以解决平面上的点的位置关系、距离、方向等问题。
高中解析几何知识框架
高中解析几何知识框架高中解析几何主要包括以下知识框架：
平面直角坐标系：
点的坐标
距离公式
中点公式
直线的方程：
一般式、点斜式、斜截式等
圆的方程：
标准方程、一般方程等
向量：
向量的基本概念
向量的加法、减法、数量积、向量积
直线与圆的位置关系：
直线与圆的相交情况
切线与法线
圆与圆的位置关系：
内切、外切、相交等情况
空间直角坐标系：
点、直线、平面的空间坐标
空间距离公式
空间中的直线与平面：
直线与平面的交点
直线与平面的夹角
三角函数与三角恒等式：
正弦、余弦、正切等
三角函数的基本性质与公式
空间中的向量：
空间向量的概念与运算
这是一个基本的框架，具体的知识点还包括相关的定理、证明方法以及解题技巧。
在学习解析几何时，深入理解这些知识点，并通过大量的练习和实际问题的应用，可以更好地掌握这一部分的数学知识。
解析几何中平面直角坐标系方程的求法
解析几何中平面直角坐标系方程的求法几何以及物理都离不开向量、坐标系等一系列计算方法。
其中，平面直角坐标系是基本的坐标系，在解析几何中应用广泛。
平面直角坐标系的基本概念是坐标轴、坐标和坐标点，因此求平面直角坐标系的方程也是解析几何的基本内容之一。
本文将围绕着此主题展开，探讨几种求平面直角坐标系方程的方法。
一、直线的一般式在平面直角坐标系中，一般式具有形如 Ax + By + C=0 的形式。
其中，A、B、C为常数，x和y分别为平面直角坐标系中点的坐标。
这种形式可以通过斜率截距式进行转换。
斜率截距式中，一条直线方程可以写成y=kx+b的形式。
其中，k是斜率，b是截距。
在平面直角坐标系中，如果过点(x1,y1)和(x2,y2)的直线的斜率为 k, 则它的一般式为：k(x1-x2)+y2-y1=0具体地，如果 A=x1-x2, B=y2-y1, C=(-A)x1-Bx2，则一般式为Ax+By+C=0。
二、两点式两点式适用于已知通过两点的一条直线，其公式为：(y-y1)=(y2-y1)/(x2-x1)(x-x1)其中，(x1, y1)和(x2,y2)是直线上两个点。
将两点式化简后，可以得到一般式。
三、截距式截距式适用于已知直线在x轴或y轴上的截距的情况。
在截距式中，直线的方程为 y=kx+b，其中b是在y轴上的截距，k是斜率。
当直线穿过点(0,b)时，截距式的形式是 y=kx+b。
当直线穿过点(b,0)时，截距式的形式为 x=ky+b。
由于直线的斜率和截距可以通过两点来表示，所以截距式也可以转换为两点式或一般式。
四、点斜式点斜式用于已知直线在坐标系中的一个点以及直线在这一点的斜率的情况。
该式子的形式为：y-y1=k(x-x1)其中，(x1, y1)是直线上的点，k是直线在该点的斜率。
类似于两点式，点斜式也可以通过化简得到一般式。
综上所述，这四种方法都是解析几何中求解平面直角坐标系方程的基本方法。
在实际应用中，应根据实际问题选择合适的方法，提高解析几何的实际应用能力。
知识讲解_平面直角坐标系中的基本公式
平面直角坐标系中的基本公式【知识梳理】要点一：直线坐标系(1)定义：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系． 要点诠释：一般地，我们约定数轴水平放置，正方向为从左到右．(2)数轴上的点与实数的对应法则：P ←−−−−→一一对应实数x ． (3)记法：如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作P (x )．当x ＞0时，点P 位于原点右侧，且点P 与原点O 的距离|OP |＝x ；当x ＜0时，点P 位于原点左侧，且点P 与原点的距离|OP |＝-x要点二：向量及数轴上两点间的距离公式(1)定义：位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，本书简称为向量．从点A 到点B 的向量，记作AB ．点A 、B 分别叫做向量AB 的起点、终点．向量的长度：线段AB 的长叫做向量AB 的长度，记作|AB |．相等的向量：数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量．数量：我们可用实数表示数轴上的一个向量AB ，这个实数叫做向量AB 的坐标或数量．要点诠释：要正确区分向量、向量的长度、向量的坐标（数量）这几个概念，它们分别用AB 、||AB 、AB 来表示；两个向量相等，必须长度和方向都相同；零向量是起点和终点重合的向量，它的长度为0，方向不确定．(2)位移向量的和：在数轴上，如果点A 作一次位移到点B ，接着由点B 再作一次位移到点C ，则位移AC 叫做位移AB 与位移BC 的和，记作AC AB BC =+．要点诠释：作和向量的规律特点：前一个向量的终点是下一个向量的起点(尾首相接)，而和向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点(首尾相连)．(3)数量和：数轴上任意三点A 、B ，C ，都具有关系AC ＝AB+BC ．要点诠释：①这个公式反映了数轴上向量加法的坐标运算法则，是解析几何的基本公式．②数轴上任意三点．A 、B 、C 都有关系AC ＝AB+BC ，但不一定有|AC |＝|AB |+|BC |，它与A 、B 、C 三个点的相对位置有关．(4)数轴上两点间的距离公式：向量的坐标计算公式：设AB 是数轴上的任意一个向量，点A 的坐标为1x ，点B 的坐标为2x ，则21AB x x =-．一般地，数轴上的任意一个向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标．用d (A ，B )表示A ，B 两点的距离，可得数轴上两点A ，B 的距离公式是21()||||d A B AB x x ==-，．要点三：平面直角坐标系中两点间的距离公式平面上有两点A (1x ，1y )，B (2x ，2y ) ，则两点间的距离为d (A ，B )＝|AB |＝222121()()x x y y -+-．要点诠释：两点间的距离公式是一个很重要的公式，要熟练地掌握，记住公式的形式，对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可以直接利用距离公式的特殊情况求解．要点四：中点坐标公式若A (1x ，1y )、B (2x ，2y )，则线段AB 的中点M (x ，y )的坐标计算公式为122x x x +=，122y y y +=． 要点诠释：此公式的推导过程中注意把问题向数轴上转化，体现了数学上的转化思想．要点五：坐标法1．通过建立平面直角坐标系，用代数方法来解决几何问题的方法叫做坐标法，其体现的基本思想是数形结合思想．2．用解析法解决几何问题的基本步骤如下：(1)选择坐标系．坐标系的选择是否恰当，直接关系到以后的论证是否简洁．原则：选择坐标系要使得问题所涉及的坐标中尽可能多地出现零．为此，常常有以下约定：①将图形一边所在的直线或定直线作为x 轴．②对称图形，则取对称轴为x 轴或y 轴．③若有直角，则取直角边所在的直线为坐标轴．④可将图形的一个定点或两个定点连线的中点作为原点．(2)标出图形上有关点的坐标，按已知条件用坐标表示等量关系．(3)通过以上两个程序，把几何问题等价转化为代数式来计算．【典型例题】类型一：向量及数轴上点的距离公式例1．已知A 、B 、C 是数轴上任意三点．(1)若AB ＝5，CB ＝3，求AC ；(2)证明：AC+CB ＝AB ；(3)若|AB |＝5，|CB |＝3，求|AC |．【答案】（1）2（2）略（3）2或8【解析】 (1)AC ＝AB+BC ＝AB -CB ＝5-3＝2．(2)证明：设数轴上A 、B 、C 三点的坐标分别为A x 、B x 、C x ，则AC+CB ＝(C A x x -)+(B C x x -)＝B A x x AB -=，故AC+CB ＝AB ．(3)当点C 在A 、B 两点之间时，由下图①可知|AC |＝|AB |-|BC |＝5-3＝2；当点C 在A 、B 两点之外时，由上图②可知|AC |＝|AB |+|BC |＝5+3＝8．综上所述，|AC |＝2或8．【总结升华】 向量及向量长度的计算应熟练地运用公式AB ＝B A x x -，及|AB |＝||||B A A B x x x x -=-进行求解．对于(3)要注意点B (或点C )的位置，若不确定应分类讨论．举一反三：【变式1】已知数轴上A 、B 两点的坐标分别为1x a b =+，2x a b =-．求AB 、BA 、d (A ，B )、d (B ，A )．【答案】2b - 2b 2||b 2||b【解析】 21AB x x =-=()()2a b a b b --+=-，12()()2BA x x a b a b b =-=+--=，d (A ，B )＝21||2||x x b -=，d (B ，A )＝12||2||x x b -=．【变式2】 关于位移向量，下列说法正确的是 ( )A ．数轴上任意一个点的坐标有正负和大小，它是一个位移向量B ．两个相等的向量的起点可以不同C ．每一个实数都对应数轴上的唯一的一个位移向量D ．AB 的大小是数轴上A 、B 两点到原点距离之差的绝对值【答案】 B【解析】 一个点的坐标没有大小，每个实数对应着无数个位移向量。
点到直线的距离公式
点到直线的距离公式直线是几何中常见的基本图形，通过两点可以确定一条直线。
在实际问题和数学计算中，我们常常会遇到需要求解点到直线的距离的情况。
那么如何计算点到直线的距离呢？本文将介绍点到直线的距离公式以及相关知识。
在平面直角坐标系中，一条直线可以用方程表示。
设直线方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数且A和B不同时为零。
那么一点P(x0, y0)到直线Ax + By + C = 0的距离可以表示为：d = |Ax0 + By0 + C| / √(A² + B²)其中d表示点P到直线的距离。
这个公式就是点到直线的距离公式，通过这个公式我们可以求解点到直线的距离。
接下来我们通过一个具体的例子来说明如何计算点到直线的距离。
假设直线L的方程为2x + 3y - 6 = 0，点A的坐标为(1, 2)，我们需要求点A到直线L的距离。
根据点到直线的距离公式，将直线L的方程中的A、B、C代入公式中，点A的坐标也代入公式中，计算可得：d = |2*1 + 3*2 - 6| / √(2² + 3²) = |2 + 6 - 6| / √(4 + 9) = 2 / √13因此，点A到直线L的距禛为2 / √13。
通过这个例子，我们可以看到如何运用点到直线的距离公式来计算具体问题中点到直线的距离。
这个公式是解决点到直线距离问题的重要工具，在数学和工程领域有着广泛的应用。
总之，点到直线的距离公式是一个基础的数学知识点，掌握了这个公式可以更好地解决相关实际问题。
希望通过本文的介绍，读者对点到直线的距离有更深入的了解。
谢谢阅读！。
平面直角坐标系中的基本公式
3．如果把相等的所有向量看成一个整体， 作为同一个向量，则实数与数轴上的向 量之间是一一对应的。
三. 基本公式
1．位移的和：在数轴上，如果点A作一次
位移到点B，接着由点B再作一次位移到点 C，则位移 AC 叫做位移 AB 与位移 BC 的和，记作 AC AB BC 2．数量的和：对数轴上任意三点A、B、C 都有关系AC=AB+BC；
x 0 解得 y 4
所以点D的坐标是(0，4).
小结 2、两点间的距离公式d(A，B)=|AB| 2 2 （x2 x1 ) ( y2 y1 )
1、数轴上两点的距离公式d(A，B)=|x2－x1|.
A(x1,y1)
B2
B(x2,y2)
A2 O
C
x A1 B1
其中直线BB1和AA2相交于点C。
在直角△ACB中，|AC|=|A1B1|=|x2－x1|， |BC|=|A2B2|=|y2－y1|， 由勾股定理得 |AB|2=|AC|2+|BC|2=|x2－x1|2+|y2－y1|2， 由此得到计算两点间距 离的公式： d(A，B)=|AB|
3．如果点P与实数x对应，则称点P的坐标 为x，记作P(x)；
二. 向量 1．既有大小又有方向的量，叫做位移向 量，简称向量。从点A到点B的向量，记 作 AB ，读作“向量AB”。点A叫做向量 的起点，点B叫做向量的终点；
2．向量 AB 的长度：线段AB的长叫做 向量的长度，记作| AB |；
3．数量的坐标表示： 使 AB 是数轴上的任意一个向量，点 A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则AB=x2 －x1； 4．数轴上两点间的距离公式： 用d(A，B)表示A、B两点间的距离，
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数学必修二第二章第一、二节
平面直角坐标系中的基本公式与直线方程 C 卷
一、选择题
1.设点A(2,-3),B(-3,-2)，直线l 过点P(1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值围是（ ）
2.若直线03)1(:1=--+y a ax l 与直线02)32()1(:2=-++-y a x a l 互相垂直，则a 的值是( )
A.3-
B. 1
C. 0或2
3
-
D. 1或3- 3.若直线l 的倾斜角α满足0150α︒︒≤<，且90α︒
≠，则它的斜率k 满足( )
A ．303k -
<≤ B ．33
k >- C ．03k k ≥<-或 D ．3
0k k ≥<或 4.下列说确的是 （ ） A ．经过定点
()Px y 000
，的直线都可以用方程
()yy k xx -=-00
表示
B ．经过定点()b A ，0的直线都可以用方程y k x b =+表示
C ．不经过原点的直线都可以用方程x a y
b +=1表示
D ．经过任意两个不同的点()()222111y x P y x P
，、，的直线都可以用方程
()()()()y y x xx x y y --=--121121表示
5.设两条直线的方程分别为00,x y a x y b ++=++=和已知,a b 是关于x 的方程
20x x c ++=的两个实数根，且0≤c ≤1
8
，则这两条直线之间距离的最大值和最小值分
别为( )
A.
21,42 B. 22 C. 12,2 D. 2122
6.若动点1122(,),(,)A x y B x y 分别在直线12:70:50l x y l x y +-=+-=和上移动，则线段
AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )
A ．2 3
B ．3
3 C ．3
2 D ．4
2
7.对于平面直角坐标系任意两点11(, )A x y ，22(, )B x y ，定义它们之间的一种“折线距离”：
2121(,)||||d A B x x y y =-+-．则下列说确．
的个数是（ ） ①若()1,3A -，()1,0B ，则(,)5d A B =；
②若点C 在线段AB 上，则(,)(,)(,)d A C d C B d A B +=； ③在ABC ∆中，一定有(,)(,)(,)d A C d C B d A B +>；
④在平行四边形ABCD ，一定有(,)(,)(,)(,)d A B d A D d C B d C D +=+.
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 8.已知两定点A(-3，5)，B(2，15)，动点P 在直线3x-4y ＋4＝0上，则PA ＋PB 的最小值为( )
A ．513
B ．362
C ．155
D ．5＋102
二、填空题
9.设直线L 过点A （2，4），它被平行线x-y+1=0与x-y-1=0所截是线段的中点在直线x+2y-3=0上，则L 的方程是_____________________
10.无论m 为何值，直线l ：（2m+1）x+（m+1）y ﹣7m ﹣4=0恒过一定点P ，则点P 的坐标为 ．
11.原点O 在直线L 上的射影为点H （-2，1），则直线L 的方程为_____________.
12.过点（1，3）作直线l ，若l 经过点（a ，0）和（0，b ），且a ，b ∈N*，则可作出的l 的个数为 条．
13.过点A （1，4）且在x 、y 轴上的截距相等的直线共有 条．
14.如图，平面中两条直线l 1 和l 2相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若x , y 分别是M 到直线l 1和l 2的距离，则称有序非负实数对（x , y ）是点M 的“ 距离坐标 ” 。
已知常数．．p ≥0, q ≥0，给出下列三个命题：
①若p=q=0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且只有1个； ②若pq=0, 且p+q ≠0，则“距离坐标”为( p, q) 的点有且只有2个； ③ 若pq ≠0则“距离坐标”为 ( p, q) 的点有且只有3个. 上述命题中，正确的有 . (填上所有正确结论对应的序号)
15.在平面直角坐标系中定义两点()()1122,,,P x y Q x y 之间的交通距离为
()1212,d P Q x x y y =-+-。
若(),C x y 到点()()1,3,6,9A B 的交通距离相等，其中实数,x y 满足010,010x y ≤≤≤≤，则所有满足条件的点C 的轨迹的长之和为 。
16.三条直线x+y+1=0,2x-y+8=0和ax+3y-5=0只有两个不同的交点，则a=______________
三、解答题 17.已知直线l 过点()1,2P 为，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原
点．
（1）当OP l ⊥时，求直线l 的方程；
（2）当OAB ∆面积最小时，求直线l 的方程并求出面积的最小值．
18.已知射线l1：y=4x（x≥0）和点P（6，4），试在l1上求一点Q使得PQ所在直线l和l1以及直线y=0在第一象限围成的面积达到最小值，并写出此时直线l的方程．
19.如图，已知两条直线l1:x-3y+12=0,l2:3x+y-4=0，过定点P(-1，2)作一条直线l，分别与l1,l2交于M、N两点，若P点恰好是MN的中点，求直线l的方程.
20.一束光通过M(25，18)射入被x轴反射到圆C：x2+(y-7)2=25上.
(1)求通过圆心的反射光线所在的直线方程；
(2)求在x轴上反射点A的活动围.
参考答案
1.A
2.D
3.D
4.D
5.D
6.C
7.C
8.A
9.3x-y-2=0
10.
11.
12.2
由l经过点（a，0）和（0，b）求出l的斜率，写出直线方程的点斜式，代入点（a，0）可得=1，
求出满足该式的整数对a，b，则答案可求．
解：由题意可得直线L的表达式为y=（x﹣1）+3
因为直线l经过（a，0），可得+3=b 变形得=1，
因为a，b都属于正整数，所以只有a=2，b=6和a=4，b=4符合要求
所以直线l只有两条，即y=﹣3（x﹣1）+3和y=﹣（x﹣1）+3．
故答案为2．
本题考查了直线的图象特征与直线的倾斜角和斜率的关系，训练了代入法，关键是确定整数解，是基础题．
13.2
直线的截距式方程．
探究型；分类讨论．
分直线过原点和不过原点两种情况求出直线方程，则答案可求．
解：当直线过坐标原点时，方程为y=4x ，符合题意； 当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a ， 代入A 的坐标得a=1+4=5． 直线方程为x+y=5．
所以过点A （1，4）且在x 、y 轴上的截距相等的直线共有2条． 故答案为2．
本题考查了直线的截距式方程，考查了分类讨论的数学思想方法，是基础题． 14.①②
15.)
5
1。
解析：由条件得1369x y x y -+-=-+-。
当1,9x y ≤≥时，无解； 当16,9x y ≤≤≥时，无解； 当6,9x y ≥≥时，无解；
当1,39x y ≤≤≤时，8.5y =，线段长为1。
当16,39x y ≤≤≤≤时，9.5x y +=，线段长为 当6,39x y ≥≤≤时 3.5y =，线段长为4。
当1,3x y ≤≤时，无解。
当16,3x y ≤≤≤时，无解。
当6,3x y ≥≤时，无解。
综上所述，点C 的轨迹构成的线段的长之和为)
1451+=。
16.3或-6
17.解：（1）由已知2OP k =,11
2
l op k k =-
=-，。