数学建模之酒店价格预测

2010年中国矿业大学（北京）第三届数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国矿业大学（北京）数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子
邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关
的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其
他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在
正文引用处和参考文献中明确列出。

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如有违
反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为： 26
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姓名____________学号_____________参赛院系____________
姓名____________学号_____________参赛院系___________
姓名____________学号_____________参赛院系___________日期： 2010 年 5 月 23日
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2010年中国矿业大学（北京）第三届数学建模竞赛
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客房预定的价格和数量问题
摘要
本文通过综合分析宾馆的月平均价格和对宾馆定价进行研究，且根据生活经验和经济学知识、宾馆管理策略等方面，对经济的发展状况进行假设，进而建立一个合理的数学模型。

对于第一个问题，酒店给出了2005年到2010年的标准间月均价格，对于这么多的数据，初看杂乱无章，但目前要进行一个有条理，有逻辑的处理，这是一个非常冗杂的过程。

对此，我们借助于MATLAB 软件和EXCEL 软件进行数据处理，把处理后的数据在进行分析。

在这个过程中，我们首先借助EXCEL 绘出每一年的月均变化规律，然后观察曲线的走势，把2006-2009年这四年的图像进行比较，初步确立每一年的变化情况，初步假设函数关系。

在这之后，再用MATLAB 软件，进行描点、绘图、最后拟合函数，把拟合出来的函数和最初假设的进行比较，综合分析，再结合实际经济发展的状况，确立初数学模型。

在分析之后所建立的数学模型中，我们根据实际情况，设中国近几年经济稳步增长，据此，我们在有效数据分析中舍弃了2006年和2007年的数据，然后用具有可比性的2008年和2009年的数据进行函数的求解。

在求解过程中，为使函数精确，我们又采取了分段求解的方法，并且对于某些月份价格的突变进行单独的求解。

最后用拟合出来的函数算出预测值，再把这些值和实际2010年的真实值进行比较，求出相对误差。

除此之外，为验证预测数据的可靠性，我们求出每年的最高值和最低值之差（每一年的值基本不变），然后与我们预测数据的最高值和最低值经行比较，从而验证模型建立函数求解的可靠。

对于问题二,我们先将模型中涉及的各个量设为变量，通过求解客房利润的数学期望，将利润期望值()E s 和客房费用之差()E s f -最为衡量客房盈利状况的指标，同时将确定被挤掉客人数量的的概率作为信誉损失的大小，再通过市场调查，确定宾馆收支平衡客房的入住率，模型建立完成后再根据现状设定其中的变量，然后将假定的预订房间数带入模型，由利润及信誉损失大小确定假定值是否合适，最后即得各类客房预订数。

客房预定价格和数量之建模求解
一、问题重述
本问题是一个宾馆客房预订的价格和数量的合理安排的问题。

由于客房通过电话或互联网预定的不确定性很大，客户很可能由于各种原因取消预定。

为此，宾馆采用一些措施。

首先，要求客房提供信用卡号，预付第一天房租作为定金。

如果客户在前一天中午以前取消预定，定金将如数退还，否则定金将被没收。

其次，宾馆采用变动价格，根据市场需求情况调整价格，一般来说旅游旺季价格比较高，淡季价格略低。

在旅游旺季，宾馆往往可以预定出超过实际套数的客房数, 以减低客户取消预定时宾馆的损失，但是万一届时有超出客房数的客户出现, 宾馆要通过升级客房档次或赔款来解决纠纷, 为此宾馆还会承担信誉风险。

表中列出了2005年10月～2010年3月期间，每月标准间平均价格。

我们的任务就是建立模型说明价格变动的规律，并据此估计未来一年内的标准房参考价格，并未宾馆制定合理的预定策略。

二、问题分析
顾客通过电话或互联网预定客房，预定具有很大的不确定性因数，由于要求一个良好的信用问题和一个高质量的服务态度，不可能对订房顾客进行收费，但如果不收取费用，必然会遇到定了房却又不来的情况，这样便会使得后订房的顾客没有机会订房，而且宾馆住房没有人住，收益下降的问题。

一方面要争取客户，另一方面要降低客户取消预定遭受的损失。

对此，酒店采取了半收费得方法，即：首先，要求订房客房提供信用卡号，预付一定的房租作为保险定金。

如果客户在前一天中午以前取消预定，定金将如数退还，否则定金将被没收，作为取消订房给酒店带来损失的补偿。

其次，宾馆采用变动价格，根据市场需求情况调整价格，一般来说旅游旺季价格比较高，淡季价格略低。

针对动态价格这个问题，如果动态定价的话，就需要一个预定动态价格的依据。

目前，这个酒店给我们提供了近几年的月份价格走向，我们可以通过对这个价格走向的动态分析。

但由于实际情况的偶然性，表中的某些数据需要进行处理，比如2006年和2007年的数据距现在的时间已经比较长了，在这个日新月异的社会中，这两年的数据参考性价值就应该低于2008年和2009年的。

用MATLAB和excel等软件对数据进行处理，并得出一定的规律，然后预测出今后一年或几年的价格。

对于问题二，从客房利润来考虑，由于客房利润是随机变量，这时就需要用数学期望来考察。

从客房盈利状况和被挤掉客人数量的概率来制定合理的预定策略。

三、模型假设
（1）国家法定节假日等影响旅游淡季旺季的因素不变，即每年的旅游淡季旺季不变；
（2）每年相同时期旅客人数基本相同，每年旅客变化趋势基本相同；
（3）国家总体经济环境呈平稳上升趋势，物价水平平稳上升，人民币币值基本，不变；
（4）表中数据均为真实准确数据；
（5）酒店服务质量与酒店信誉基本不变；
（6）酒店标准间每年最高定价呈线性关系；
（7）政府和行业组织的价格约束不变；
（8）无社会、政治形势影响客源及经营费用；
（9）行业竞争不变即当地酒店数量无较大变化；
（10）取消预订宾馆的客户在所有预定客户中所占比例基本不变；
（11）已订票客人按时入住预订客房是相互独立的随机事件；
（12）设f为为酒店客房一天的管理费用，且旅客是否入住对f影响不大；（13）假设房间种类预定之间没有联系。

四、模型建立、求解与验证
问题一：
1.模型建立
作出2005年10月到2010年3月标准间月平均价格统计折线图：
图（1）
为提高所取数据精确度，取各年内两个最高（最低）预定价格的
平均值作为相应年份的最高（最低）预定价格，将所有数据输入Excel,
并得到最高（最低）预定价格变化曲线图，如下：
图（2）
图（3）
观察图（1），易得结论：宾馆各年标准间预定价格变化曲线大体相同，即
各年内价格变化的规律是基本相同的。

图（2）、（3）表明标准间预定价格最大值、最小值成整体上升趋势而各年两者之差又基本不变，即价格为随年份稳步上升，这进一步证明了各年价格变化规律相同的结论。

由客观规律知，一年内旅游淡旺季变化走势有较大变化，不同时间段宾馆预定价格变化趋势因淡旺季的变化而大有不同，故此处宜将变化趋势不同的部分独立开来，以求的更加精确的曲线函数。

观察2006——2009年标准间定价变化曲线可知，每年1—5月基本呈线性变化，后七个月（去掉九月）呈抛物线走势即曲线函数应为二次函数，对于九月，因其变化与后七个月的整体变化趋势相差较大，故为提高精确度应将其挑出单独研究，现将2006——2009定价趋势图拆分如下：
观察以上四图，可知2006、2007两年标准间变化规律基本相同，2008、2009两年标准间变化规律基本相同。

而根据客观规律，2010年标准间定价走势应与较近的年份即2008、2009年较接近，故为了使模型更准确，此处应选取2008、2009年的价格走势作为模型建立的根据。

再观察2008、2009年价格走势图，可发现每年前五月呈线性变化；后七个月（去掉九月）呈抛物线走势即曲线函数应为二次函数，对于九月，因其变化与后七个月的整体变化趋势相差较大，故为提高精确度应将其挑出单独研究。

综合以上分析，设：
2008年1—5月定价趋势线为 200820082008y a t b =+
2009年1—5月定价趋势线为 200820092009y a t b =+
2010年1—5月定价趋势线为 201020102010y a t b =+
2008年6—12月定价趋势线为 20082200820082008Y m t n t q =++
2009年6—12月定价趋势线为 20092200920092009
Y m t n t q =++
2010年6—12月定价趋势线为 22010201020102010Y m t n t q =++
2010年九月的定价为 Z
（其中y 、Y 表示月份标准间定价，t 表示相应月份数）
2.模型求解
、一到五月份的求解
将2008年和2009年1-5月定价用Matlab 分别做出变化曲线，并拟合函数如下：
2008年1-5月：
1 1.5
2 2.5
3 3.5
4 4.55
2008年1-5月标准间平均价格曲线图
由Matlab 程序可得（Matlab 程序见附件程序1）：
a 2008=
b 2008=
即程序拟合函数为：
y 2008= +
2009年1-5月：
1 1.5
2 2.5
3 3.5
4 4.55
2009年1-5月标准间平均价格曲线图由Matlab程序可得（Matlab程序见附件程序2）：
=
a
2009
=
b
2009
即程序拟合函数为：
= t+
y
2009
把2008年和2009年1-5月图形用MATLAB合在一起，如图：Array
1 1.5
2 2.5
3 3.5
4 4.55
2008年和2009年1-5月标准间平均价格曲线合图
由图形可知：2008年和2009年1-5月份的价格都近似成一条直线，斜率近似相等，且2009年均比2008年高一个近似相等的常数，这恰好吻合模型假设的经济稳步增长假设。

因为变化趋势相同，可知2010年1-5月的变化曲线斜率应该和前两年相等，取平均值得：
a
2010=
27.229.0
2
=
根据经济增长稳步变化得：
b
2010=b
2009
+（b
2009
– b
2010
）=
即2010年1-5月的拟合函数为：
y
2010
=+
代入t = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 可得2010年1-5月的预测价格分别为：
、六到十二月份的求解
将2008年和2009年6至12月定价用Matlab分别做出变化曲线，并拟合函数如下：
（注：由于9月的价格有突变情形，MATLAB作图的时候9月的数据经过拟合。

）
2008年6-12月：
6789101112
2008年6-12月标准间平均价格曲线合图
由Matlab程序可得（Matlab程序见附件程序3）：
=
m
2008
=
n
2008
q
2008=
即程序拟合函数为：
Y
= t2+
2008
2009年6-12月：Array
6789101112
2009年6-12月标准间平均价格曲线图
由Matlab程序可得（Matlab程序见附件程序4）：
m
=
2009
=
n
2009
-
q
2009=
即程序拟合函数为：
= t2+ t -
Y
2009
把2008年和2009年6-12月图形用MATLAB合在一起，如图：
6789101112
2008年和2009年6-12月标准间平均价格曲线合图
由图形可知：同以上分析1-5月的情况相似，两条抛物线的开口方向相同，开口大小相同，走势一样，且2009年的抛物线在横轴和纵轴的截距均大于2008年的抛物线在横轴和纵轴上的截距，2009年每月价格均比2008年每月价格高出一个近似相等的数，这个也完全符合模型假设中提出的经济稳步增长假设。

因为抛物线开口大小及方向及抛物线走势一致，则在方程Y
2010= m
2010
x2+n
2010x+q
2010
中的一次项系数和二次项系数应该与Y
2008
和Y
2009
中的相等，去平均
数得：
m
2010 =
14.36914.167
2
--
= -
n
2010 =
252.9643243.2857
2
+
=
根据经济增长稳步变化得：
q
2010 = q
2009
+（q
2009
— q
2008
）= -
即2010年6-12月的拟合函数为：
Y
2010
= - t2+ t -
代入t = 6，7，8，9，10，11，12 可得2010年6-12月的预测价格分别为：
年份2010.62010.72010.82010.92010.102010.112010.12
价格541.46604.1638.2643.8620.8569.3489.3
注：其中9月份得到的是一个虚拟的数据，不具可靠性，以下将进行对9月份的单独求解。

、九月份突变价格的求解
2006年--2009年9月的价格折线图如下：
（2006年--2009年9月标准间平均价格曲线）
从图中可以看出九月的价格随时间趋于不变，尤其是最三年基本上是一条直线，把近三年较有可靠性的数据取平均值，可近似得出2010年9月份的价格。

即2010年9月份的价格
Z=474489474
3
++
=479
3、结果分析与检验
年份2010.12010.22010.32010.42010.52010.62010.7价格420.9429457.1495.2523.3541.46604.1年份2010.82010.92010.102010.112010.12
价格638.2479620.8569.3489.3
与2010年1-3月份的真实数据相比较，算出相对误差1-3月平均为：
△= （
420.9442429404442404--++457.1428
428
-）/3 =%
2010年中最高价格平均:
H=638.2620.82+=
2010年中最低价格平均:
L = 420.94292
+=
2006-2009最高价格平均与最低价格平均之差的平均数:
S=147.5175156.51474
+++=
2010年最高价格平均与最低价格平均之差的相对误差：
α=
()
S H L S
--=% 综上所述，误差均较小，在允许范围之内，故所设的数学模型较为合理。

问题二：
1、建立模型
设一个已订客房的客人按时入住的概率为p ，未能按时入住的概率为q (q =1-p )，宾馆预订出的客房数为m 间，那么m 人中有k 人未能按时入住的概率
为k P ，所以k P = k
k m C q m k P
-，(k=0，1，2,…..,m)， 设N 表示宾馆的可预订客房数，g 表示一个客人所付的预订费，f 表示宾馆每天的运营成本，b 是每一位预订客房而被挤掉的客人所得的补偿，那么宾馆客房循环一天的利润为：
m k g f Ng f m k N b S ⎛
⎫
⎪⎝
⎭⎛⎫
⎪⎝⎭⎧⎪⎨⎪⎩
------=
()
(
)m k N m k -≤->N
2、模型求解
由于“m 预订人中有k 人未能按时入住”是随机事件，因此宾馆利润是随机变量，这时需要用数学期望来考察。

设()E s 表示宾馆利润的数学期望，那么()E s ()0m
k k P S k ==∑则求解
()E s ()
m
k
k P S k ==
∑
()()0
m N f
m
k k k k m N
P Ng f m k N b P m k g f --==-=
----+
--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
∑
∑
()()()()1
1
m N f
m N m N m
k k k k k k k k m N
P Ng f m k N b P m k g f P m k g f P m k g f ------====-=
-----
--+
--+
--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
∑
∑
∑
∑
()(){}()0
m N f
m
k
k
k
k k P Ng f m k N b P m k g f P m k g f --===
-------+--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦
∑∑
[]1
()()()m N m
k k k k k P Ng f m k N b m k g f P m k g P f
--===
------++--∑
∑
[]1
()()m N k k P N m k g b mpg f
--==
-+++-∑
()1
()
m N k k mpg f g b P N m k --==-++-+∑
即()()
()10
m N k
k E s mpg f g b P N m k --==-++-+∑
3．结果分析与检验
由市场调查数据知，旅游淡季客房入住率达到50%、旺季达到80%宾馆可达到收支平衡，此处为简化数学模型，取70%为宾馆收支平衡客房入住率， 即 f =
取利润期望值与客房费用之差是作为衡量饭店客房盈利状况 的指标，那么
()E s f -=()
()1
m N k k mpg f g b P N m k --=-++-+∑
设被挤掉的客人数为x ，那么
{}0
m N j
k k P x j P --=≥=
∑
计算结果如下：
（一）对于总统套房，20N = 而设 q = ，b =0.1g ，在预订出客房25套 即 m=25 时，
()E s f -=5.62g P{x ≥1}=
若m=21，则
()
E s f-=5.58g P{x≥1}=
由以上计算可知，即使预订房间数21，大于等于一人被挤出的概率仍然较大，故总统套房预订数最大为20
（二）对于豪华套房,若分别为N=100 而q=，b=预订出客房103间,即
m=103时
()
E s f-=27.7g P{x≥2}=
由以上计算可知，预订房间数103，大于等于两人被挤出的概率较小，故豪华套房预订数可为103。

（三）对于标准间，若分别为N=500 而q=，b=
在预订出客房515间，即m=515时
()
E s f-=139g P{x≥8}= P{x≥2}=
由以上计算可知，预订房间数515，大于等于八人被挤出的概率较小，至少有2 位客人被挤掉的概率也只有，故豪华套房预订数可为515。

综上，在所设数据范围内，豪华套房预定20套、豪华套房预定103套标、准间预定115套较为合理。

五、模型评价及优化
优点：
（1）通过对数据的分段分析，可以得出更为可靠地函数图形和表达式，消除了旺季和淡季价格的不一致性，继而较好的预测今后的价格变化；
（2）用MATLAB软件拟合函数图形及函数表达式，而合理的舍取，降低数据之间的偶然性；
（3）对于突变的月份价格，我们提出来单独分析，以消除它在整个整数中的不一致性，这样提高了数据分析的准确性，有效抑制了突变的情形；
（4）用概率的方法科学的计算订房的比例情况，即方便又精准，非常具有参考价值。

优化点：
（1）我们目前只研究每一年价格随月份的变化，但是还可以研究每一个月随年份的变化，再把数据进行比较，综合得出预测结果，使结果更具可靠性；
（2）由于总统套房，豪华套房和标准间之间存在着相互联系，当标准间超出了实际客房数而豪华套间或总统套房未达到实际客房数时，为了保持宾馆的信誉问题，则需优先考虑升级客房档次再考虑赔偿问题，进而来估计每种房间预订的数量。

六、参考文献
［1］袁震东，数学建模［J］，数学教学，2005，（1）：6—9
［2］王兴志，初等代数解题研究［M］)北京：石油大学出版社,——258. ［3］陈家鼎，刘婉如，概率统计讲义［M］北京：高等教育出版社,—12.
［4］寿纪麟，数学建模———方法与范例［M］西安：西安交通
大学出版社,.
［5］旅游饭店顾客导向定价模式浅析[J]．桂林旅游高等专科学校学报，1999，10(1)：61—63．
[6] 程大为，电子商务的定价战略[J]．商业经济与管理，2000，109
[7] 余建英，数据统计分析与SPSS应用IM]．北京：中国邮电出版社，2003．
附件
MATLAB程序1：
y=[369 403 436 447 483];
x=[1,2,3,4,5];
p1=polyfit(x,y,1)
y1=polyval(p1,x);
r1=y-y1;
s1=r1*r1'
figure(1),plot(x,y,'o',x,y1)
p1 =
s1 =
MATLAB程序2：
y=[397 416 451 486 507];
x=[1,2,3,4,5];
p1=polyfit(x,y,1)
y1=polyval(p1,x);
r1=y-y1;
s1=r1*r1'
figure(1),plot(x,y,'o',x,y1)
p1 =
s1 =
MATLAB程序3：
y=[439 514 550 540 534 498 402]; x=[6,7,8,9,10,11,12];
p1=polyfit(x,y,2)
y1=polyval(p1,x);
r1=y-y1;
s1=r1*r1'
figure(1),plot(x,y,'o',x,y1)
p1 =
s1 =
MATLAB程序4：
y=[458 493 562 550 528 436 398]; x=[6,7,8,9,10,11,12];
p1=polyfit(x,y,2)
y1=polyval(p1,x);
r1=y-y1;
s1=r1*r1'
figure(1),plot(x,y,'o',x,y1)
p1 =
s1 =
+003。