计算方法插值法(均差与牛顿插值公式)

f0
f1
f2
(x0 x1)(x0 x2 ) (x1 x0 )(x1 x2 ) (x2 x0 )(x2 x1)
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这个性质也表明差商与节点的排列顺序无关 (差商的对称性)。即
f [x0 , x1, , xk ] f [x1, x0 , x2 , , xk ] f [x1, x2 , , xk , x0 ]
(k 0)
为f (x)关于节点 x0 , xk 一阶均差(差商)
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5
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6
二、均差具有如下性质：
f [x0 , x1 ,, xk 1 , xk ]
k j0
(xj
x0 )(x j
f (xj) x j1)(x j
x j1)(x j
xk )
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7
x3
5 4
x2
x
l3 (x)
(x (4
0)(x 0)(4
1)( x 1)(4
2) 2)
1 24
x3
1 8
x2
1 12
x
Lagrange插值多项式为
L3(x) f (xi )li (x) l0 (x) 9l1(x) 23l2 (x) 3l3(x)
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11 x3 45 x2 1 x 1
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性质3：若f(x)在[a,b]上存在n阶导数，且节点
x0 , xn [a,b], 则n阶均差与导数关系如下：
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10
三、均差的计算方法(表格法): 均差表
xk f (xk ) 一阶差商 x0 f ( x0 )
f [ x0 , x1 ]
x1 f ( x1 )
f [x1 , x2 ]
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16
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17
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18
显然：
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19
例2：依据如下函数值表建立不超过三次的Lagrange插值 多项式及Newton插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。
x
0
f(x)
1
1
2
4
9
23
3
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20
解：(1)建立Lagrange插值多项式：基函数为
4 42
21
（2）Newton插值多项式：建立差商表为
一阶差商 二阶差商 三阶差商
01
19
8
2 23
14
3
43
-10
-8
11
4
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22
Newton插值多项式为
N3
(
x)
1
8(
x
0)
3(
x
0)(
x
1)
11 4
(
x
0)(
x
1)(
x
2)
（3）唯一性验证：将Newton插值多项式按x幂次排列， 便得到
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规定函数值为零阶均差
四阶差商
f [x0 , x1 ,, x4 ]
11
例1:已知下表，计算三阶差商
xi 1 f (xi ) 0
347 2 15 12
解：列表计算
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xi
f (xi )
一阶差 商
二阶差商
三阶差 商
10
32 1
4 15 13
4
7 12 -1
-3.5
-1.25 12
l0 (x)
(x (0
1)( x 1)(0
2)(x 4) 2)(0 4)
1 8
x3
7 8
x2
7 4
x
1
l1 ( x)
(x 0)(x 2)(x 4) (1 0)(1 2)(1 4)
1 3
x3
2x2
8 3
x
l2 (x)
(x 0)(x (2 0)(2
1)(x 4) 1)(0 4)
1 4
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3
Pn (x0 ) a0 f0
当
Pn
(
x2
)
来自百度文库
a0
a1(x2
Pn (x1) a0 a1(x1 x0 ) x0 ) a2 (x2 x0 )(x2 x1)
f1 f2
a2
a0 f0
a1
f1 f0 x1 x0
f2 f0 f1 f0
x2 x0
x1 x0
例
f [x0 , x1]
f (x0 ) f (x1) x0 x1
f0 f1 x0 x1 x1 x0
f [x0 , x1 , x2 ]
f [x0 , x1 ] f [x0 , x2 ] x1 x2
1 ( f0 f1 ) 1 ( f0 f2 ) x1 x2 x0 x1 x1 x0 x1 x2 x0 x2 x2 x0
第二章 插值法
§ 2.3 均差与牛顿插值公式
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1
§ 2.3.1 均差及其性质
我们知道,拉格朗日插值多项式的插值基函数为
l j(x)
n i0
(x xi ) (x j xi )
i j
j 0,1,2,,n
形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多
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2
拉格朗日插值公式可看作直线方程两点式的推广，若从 直线方程点斜式
P1 ( x)
f0
f1 x1
f0 x0
(x
x0 )
( fi f (xi ) yi )
出发，将它推广到具有n+1个插值点的情况，可把插值 多项式表示为
Pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )(x x1) an (x x0 )(x x1)(x xn1)
二阶差商
f [x0 , x1 , x2 ]
三阶差商
f [x0 , x1 , x2 , x3 ]
x2 f ( x2 )
f [ x2 , x3 ]
x3 f ( x3 )
f [ x3 , x4 ]
x4 f (x4 )
f [x1 , x2 , x3 ] f [x2 , x3 , x4 ]
f [x1 , x2 , x3 , x4 ]
N3
(x)
11 4
x3
45 4
x2
1 2
x
1
L3
(x)
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23
❖ 练习： 已知由数据(0，0)，(0.5，y)，(1，3)，(2，2) 构造出的三次插值多项式P3(x)的x3的系数是6， 试确定数据y。
2.3.2 牛顿插值公式
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13
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14
Rn(x)
f (x) Nn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
n1
(
x)
f [x, x0 , x1 ,, xn ]n1(x)
我们称 Nn(x) 为牛顿(Newton)均差插值多项式。
2020/8/18 称 Rn (x) 为牛顿均差插值多项式的截断误差。
x2 x1
依次可得到 a3, a4 , , an 。为写出系数的一般表达式，
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4
现引入差商（均差）定义。
一、差商(均差)
定义2. 设f (x)在互异的节点 xi 处的函数值为 fi ,i 0,1,, n 称
f [x0 , xk ]
f (xk ) f (x0 ) xk x0