伯努利方程
伯努利流体方程
伯努利流体方程
伯努利方程（Bernoulli's equation）是流体力学基本方程之一，常用于描述静止流体或运动流体在流经不同位置时，压力、速度、高度等物理量的变化关系。
伯努利方程最早由瑞士数学家和物理学家伯努利（Daniel Bernoulli）在1738年提出，被称
为伯努利定理，也称作伯努利方程或伯努利流体方程。
伯努利方程的数学形式为：
P + 1/2ρv^2 + ρgh = constant
其中，P表示流体的压力，ρ表示流体的密度，v表示流体的
速度，g表示重力加速度，h表示流体的高度，constant表示一个常数。
伯努利方程可以表达出一个流体在液体静压力、动能和势能三者之间的平衡状态。
在一个理想的流体中，如果流体穿过一段水管，那么在这段水管的任何位置，液体静压力、动能和势能总和相等。
应用伯努利方程，可以计算液体在不同位置的压力、速度和高度等物理量的变化。
伯努利方程可以应用在气体、液体等不同介质的流体力学问题中，如风力发电机、水压机等。
伯努利方程三种形式公式
伯努利方程三种形式公式
第一种形式的伯努利方程公式是：
P₁ + 1/2ρv₁² + ρgh₁ = P₂ + 1/2ρv₂² + ρgh₂
其中P₁和P₂分别表示两个位置的压力，ρ表示流体的密度，v₁和v₂表示两个位置的流速，g为重力加速度，h₁和h₂表示两个位置的高度。
这个公式描述了流体在两个位置之间能量守恒的关系。
等式左边的第
一项表示压力能，第二项表示动能，第三项表示单位质量的重力势能。
等
式右边的三项表示相应位置的压力能、动能和重力势能。
这个公式适用于
流体在不完全关闭的管道、管道两端处于同一高度的情况。
第二种形式的伯努利方程公式是：
P + 1/2ρv² + ρgh = const
这是一个简化形式的伯努利方程，它将两个位置的参数合并成一个常数。
这个公式的物理意义是，当流体在流动过程中没有受到外界力的作用时，流体的总能量保持不变。
这个公式适用于理想的水平管道、无摩擦的
流动。
第三种形式的伯努利方程公式是：
P + 1/2ρv² = const
这是伯努利方程的最简形式，它忽略了重力势能的影响。
这个公式适
用于理想的非粘性流体在无重力情况下的流动，如气体等。
这三种形式的伯努利方程公式分别适用于不同的流体力学问题。
选择
适用的公式取决于具体的流动条件和需要分析的问题。
无论选择哪种形式，
伯努利方程都提供了一个重要的工具，可以帮助我们研究流体力学中的能量转换和守恒。
伯努利方程
伯努利方程伯努利方程是描述理想流动的基本方程之一，它是在瑞士数学家伯努利(James Bernoulli)在1738年发表的一篇论文中提出的。
该方程对于理解流体力学以及飞行、水力、空气动力学等领域具有重要的应用。
伯努利方程是基于质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律推导而来的方程。
该方程表达式为：P + ½ρv² + ρgh = 常数其中，P为流体的压力，ρ为流体的密度，v为流体的速度，h为流体的高度，g为重力加速度。
伯努利方程是在假设部分没有粘性损失的情况下成立的，也就是无黏性流动。
在实际的情况下，流体会存在一定的粘性损失，因此伯努利方程只适用于无粘流体，但在低速流动下，伯努利方程可近似地应用于粘性流体。
对于伯努利方程，我们可以从以下角度来解释其中的每个项：① P：压力项，它表示了流体在流动过程中所受到的压力。
当流体速度增加时，压力往往会降低，例如在突缩管中，当管道的截面积变小时，流体的速度会增加，而压力会降低。
②½ρv²：动能项，它表示了流体的动能。
在流体的流动过程中，当速度增加时，动能也会增加，例如在水力发电站中，当水流的速度增加时，水的动能也会增加，从而推动水轮发电。
③ρgh：势能项，它表示了流体的势能。
当流体在重力作用下流动时，流体会从高处向低处移动，势能也随之降低。
例如当我们用pump把水从低处抽到高处时，水的势能就会增加。
由于伯努利方程中的常数在同一条流线上保持不变，因此可以利用伯努利方程来分析流体在不同位置的流速、压力和高度之间的关系。
这在飞行、水利及空气动力学等领域的设计和应用中具有重要的作用。
伯努利方程的应用十分广泛。
例如在空气动力学领域中，伯努利方程被用来解释飞机起飞、飞行、着陆过程中的颤振等现象。
在水利工程领域中，伯努利方程被用来计算水流在不同地方的速度、压力和高度等因素，对于设计水坝、水龙头、流量计等工程设施具有重要的作用。
总之，伯努利方程作为理解流体力学基本方程之一，不仅在理论研究中具有广泛的应用，也在实际的设计和应用中具有十分重要的意义。
伯努利方程计算
伯努利方程计算
伯努利方程是应用于流体力学和气体流动的基本方程之一，用于描述沿流体流动方向上的动能、压力和重力势能之间的关系。
伯努利方程可以用以下的数学形式表示：
P + 1/2 ρv² + ρgh = constant
其中，P表示流体的压力，ρ表示流体的密度，v表示流体的
流速，g表示重力加速度，h表示流体的高度。
伯努利方程适用于理想流体在稳定流动时，沿着流动方向，流速变化不大，流线不弯曲，且没有其他外力作用的情况下。
利用伯努利方程可以计算流体在不同位置处的压力和流速。
通过等式中的常数项，可以比较不同位置处的流体状态。
需要注意的是，伯努利方程忽略了一些现实流动的因素，如黏性、湍流和摩擦等，因此只适用于某些特定情况。
在实际应用中，伯努利方程常用于气候学、飞行器设计、水力学、管道流动等领域的计算和分析。
伯努利方程的公式
伯努利方程的公式
伯努利方程的公式是p+ρgz+(1/2)*ρv^2=C。
伯诺里方程即伯努利方程，又称恒定流能量方程，是理想流体定常流动的动力学方程，意为流体在忽略粘性损失的流动中，流线上任意两点的压力势能、动能与位势能之和保持不变。
伯努利，男，700年2月8日出生于荷兰格罗宁根，782年去世，瑞士物理学家、数学家、医学家。
伯努利，著名的伯努利家族中最杰出的一位。
他是数学家J．伯努利的次子，和他的父辈一样，违背家长要他经商的愿望，坚持学医，他曾在海得尔贝格、斯脱思堡和巴塞尔等大学学习哲学、论理学、医学。
伯努利72伯努利年取得医学硕士学位。
努利在25岁时(伯努利725)就应聘为圣彼得堡科学院的数学院士。
8年后回到瑞士的巴塞尔，先任解剖学教授，后任动力学教，伯努利750年成为物理学教授。
一共读过三个大学，分别是尼赛尔大学、斯特拉斯堡大学和海德堡大学。
[1]
在伯努利725～伯努利749年间，伯努利曾十次荣获法国科学院的年度奖。
伯努利782年3月伯努利7日，伯努利在瑞士巴塞尔逝世，终年82岁。
1。
3章2伯努利方程
其中，H为水泵的扬程，[mH2O]
3、涡轮机
V12 p2 V22 ( gz1 ) ( gz2 ) N 2 2 p1
其中，N为涡轮机的输出功，[J/kg]
§3-8 非定常的伯努利方程
非定常一元流动的运动方程：
z 式中f s g s
u u 1 p u fs t s s
p1 V12 p2 V22 ( z1 1 )Q1 ( z2 2 )Q2 g 2g g 2g
Q1 Q2 p1 V12 p2 V22 z1 1 z2 2 g 2g g 2g
z, p 通常在截面中心取值。
它与流线上的伯努利方程在形式上相同，如果计 算点速度就用流线形式，如果计算平均流速就用 此式。
A A
( p pa )ndA ( p pa )ndA ( p pa )ndA
A1
A2
A0
( p1 pa )n1 A1 ( p2 pa )n2 A2 F
F ( p p )n A ( p p )n A QV QV
应用1．水流对弯管的作用力
分析管壁受力
设：为固定弯管所需外力为F
则F ( p p )n dA 0
A0 a 0
即 F ( p p )n dA
A0 a 0
分析控制体内水的受力
（弯管水平，不计重力，f项不计）
pndA ( p pa )ndA
d 2x 2 x0 2 dt
例 习题3-21
水库的出水管设有调压井, 已知 l,d,h,D,求调压井水面的震荡周期 解: s 2 2
伯努利方程
• • • •
参考链接：/view/94269.htm?fr=ala0_1
还有一个相近回答：这个方程并非是描述液体的运动，而应该是描述理想气体的绝热定常流动的，比如它 可以近似地描述火箭或者喷气式发动机中的气流（你可以参考第26届全国中学生物理竞赛复赛中的热学 题）。其中的伽马（像r一样的那个希腊字母，我打不出来，用r来替代）是气体的比热容比，即气体的定 压摩尔热容与定体摩尔热容之比，对理想气体来说是个常数。这个公式中，左边v是气体流动的速度，p是 气体的压强，p下面的希腊字母代表气体的密度。右边的p0\pho0是指速度为0的地方气体的压强和密度。 这个公式的推导和流体的伯努利方程思想相同，只是要考虑到此时气体是可压缩的，结合理想气体的状态 方程即可推导出。
• •
编辑本段]p+ρgh+(1/2)*ρv^2=C 式中p、ρ、v分别为流体的压强、密度和速度；h为铅垂高度；g为重力加速度。 上式各项分别表示单位体 积流体的压力能 p、重力势能ρg z和动能(1/2)*ρv ^2，在沿流线运动过程中，总和保持不变，即总能量守恒。 但各流线之间总能量（即上式中的常量值）可能不同。对于气体，可忽略重力，方程简化为p+(1/2)*ρv ^2 ＝常量(p0)，各项分别称为静压 、动压和总压。显然 ，流动中速度增大，压强就减小；速度减小， 压强就 增大；速度降为零，压强就达到最大(理论上应等于总压)。飞机机翼产生举力，就在于下翼面速度低而压强 大，上翼面速度高而压强小 ，因而合力向上。 据此方程，测量流体的总压、静压即可求得速度，成为皮托 管测速的原理。在无旋流动中，也可利用无旋条件积分欧拉方程而得到相同的结果但涵义不同，此时公式 中的常量在全流场不变，表示各流线上流体有相同的总能量，方程适用于全流场任意两点之间。在粘性流 动中，粘性摩擦力消耗机械能而产生热，机械能不守恒，推广使用伯努利方程时，应加进机械能损失项[1]。 图为验证伯努利方程的空气动力实验。 补充：p1+1/2ρv1^2+ρgh1=p2+1/2ρv2^2+ρgh2（1） p+ρgh+(1/2)*ρv^2=常量 （2） 均为伯努利方程 其中ρv^2/2项与流速有关，称为动压强，而p和ρgh称为静 压强。 伯努利方程揭示流体在重力场中流动时的能量守恒。 由伯努利方程可以看出，流速高处压力低， 流速低处压力高。 图II.4-3为一喷油器，已知进口和出口直径D1=8mm，喉部直径D2=7.4mm，进口空气压 力p1=0.5MPa，进口空气温度T1=300K，通过喷油器的空气流量qa=500L/min（ANR），油杯内油的密度 ρ=800kg/m。问油杯内右面比喉部低多少就不能将油吸入管内进行喷油？ 解： 由气体状态方程，知进口 空气密度ρ=p1/(RT1）=（0.5+0.1）/（287*300）kg/m=6.97kg/m
第八节伯努利方程
m gh1 )＝p1S11t
p2 S22t
1 2
V
2 2
Vgh2
(1 2
V12
Vgh1 )＝p1V
p2V
p1
1 2
12
gh1＝p2
1 2
22
ห้องสมุดไป่ตู้
gh2
二. 对于同一流管的任意截面，伯努利方程：
p 1 2 gh 恒量
2
•含义：对于理想流体作稳定流动，在同一流管中任一处，
每单位体积流体的动能、势能和该处压强之和是一个恒量。
1 2
v 2
静止不动，故称驻点；
E
v 2 pA pB 2gH
P42， 图1－41
§1.4 粘滞流体的流动
粘滞流体：如植物组织中的水分，人体 及动物体内的血液以及甘油、蓖麻油。
一. 牛顿粘滞定律 粘滞系数
: 层流 实际流体在流动时，同一横截面上各点流速并不相同，管中轴
心处流速最大，越接近管壁，流速越小，在管壁处流速为零。这种各层 流体流速有规则逐渐变化的流动形式，称为层流； 每一层为与管同轴的薄圆筒，每一层流速相同，各层之间有相对运动 但不互相混杂，管道中的流体没有横向的流动。 （流速小时呈现的流动形式：河道、圆形管道）
注：S1>>S2
由于液槽中液面下降很慢， 可以看成是稳定流动，把液 体作为理想流体；
P0
1 2
V12
gh
P0
1 2
V22
V1 V2
2gh
托里拆利定律：忽略粘滞性，任何液体质点从小孔 中流出的速度与它从h高度处自由落下的速度相等；
应用实例4. 文特里管：可串接到管道中测定气体
流速的装置；
曲管压强计中盛 水银，当粗管和
伯努利方程三种公式
伯努利方程三种公式
伯努利方程三种公式如下：
P1/ρg+h1+ν²1/2g=C(constant value)。
ρg(P1/ρg+h1+ν²1/2g)=C(another constant value)。
i.e.P1+h1ρg+1/2ρv^2=C。
式中p为流体中某点的压强，v为流体该点的流速，ρ为流体密度，g为重力加速度，h为该点所在高度，C是一个常量。
它也可以被表述为p1+1/2ρv12+ρgh1=p2+1/2ρv22+ρgh2。
相关内容：
使用伯努利定律必须符合以下假设，方可使用；如没完全符合以下假设，所求的解也是近似值：
1、定常流：在流动系统中，流体在任何一点之性质不随时间改变。
2、不可压缩流：密度为常数，在流体为气体适用于马赫数(Ma)<0.3。
3、无摩擦流：摩擦效应可忽略，忽略黏滞性效应。
4、流体沿着流线流动：流体元素沿着流线而流动，流线间彼此是不相交的。
伯努利方程的解释
伯努利方程的解释
伯努利方程是描述在静止的流体中流动的基本方程之一，其描述了沿着流体流动的路径上压力、速度和高度之间的关系。
方程的形式为：
P + 1/2ρv^2 + ρgh = 常数
其中，P 表示压力，ρ 表示流体密度，v 表示流速，g 表示重
力加速度，h 表示流体的高度。
该方程解释了在沿着流动路径的任意点和另一点之间存在的一种能量转换关系。
在该方程中，第一项表示静压力的作用，第二项表示动能的作用，第三项表示重力势能的作用。
而这些作用在不同的点之间必须保持平衡，因此常数保持不变。
该方程可以用于计算流体的流速、压力和高度等参数的关系，以及流体的能量转换和输送过程中发生的过程。
它在众多领域中都有广泛应用，例如流体力学、化学工程、土木工程等领域。
伯努利(Bernoulli)方程
形如ndypxyqxydx01n称为伯努利方程bernoulli当n01这是线性微分方程当方程不是线性的但是可以通过变量代换可以把它化成线性的
伯努利（Bernoulli）方程
一、 定义：
形如
dy + P( x) y = Q( x) y n dx
（ n ≠ 0、） 1
称为伯努利方程（bernoulli） ，当 n=0、1，这是线性微分 方程，当 n ≠ 0、方程不是线性的，但是可以通过变量代换， 1 可以把它化成线性的。
二、 计算方法： ① 方程两边同时除以 y
n
y−n
dy + P ( x) y1− n = Q ( x) dx
1− n
② 变量代换：令 z = y
则：
，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dz dy = (1 − n) y − n dx dx
由此代换可以把伯努利这个非线性方程化为线性微分方程， 把 方程两边同时乘以（1-n） ：
dz + (1 − n) P( x) z = (1 − n)Q( x) dx 1− n 然后求出这个方程通解之后，以 y = z 带入方程。
伯努利原理公式
伯努利原理公式伯努利原理往往被表述为p+1/2ρv2+ρgh=C，这个式子被称为伯努利方程。
式中p为流体中某点的压强，v为流体该点的流速，ρ为流体密度，g为重力加速度，h为该点所在高度，C是一个常量。
它也可以被表述为p1+1/2ρv12+ρgh1=p2+1/2ρv22+ρgh2。
伯努利方程是丹尼尔•伯努利在 1726 年研究理想液体作稳定流动时提出的。
静压是流体真实存在的压强值，动压也称为速压或速度头，其单位也是Pa。
动压起到调节静压在总压中所占比例的作用：动压越大，静压越小；动压越小，静压越大；动压为零时，即流速为零，静压最大且等于总压值。
因此，伯努利方程式的物理含义也可以说成是流体的压强能和动能之间可以相互转化，但流动的总机械能保持不变。
伯努利方程是流体力学的基本方程，它反映了理想液体作稳定流动时，压强、流速和高度三者之间的关系。
答案】一、一般条件下伯努利方程在各项的意义P +1/2ρv2 +ρgh = 常量该方程说明理想流体在流管中作稳定流动时,单位体积的动能1/2ρv2 、重力势能ρgh 、该点的压强P 之和为一个常量.其中1/2ρv2相与流速有关,常称为动压,ρgh 和P 相与流速无关,常称为静压.二、单位重量流体中伯努利方程各项的物理意义ρg =m/u g =mg/u表示单位体积的重力,以ρg 除各项得:p/ρg+v平方/2 g+ h = 常量该方程表示流场中一点上单位重量流体所具有的总机械能. 其中p/ρg表示流场中一点上单位重量流体所具有的压力潜能,也就是压力对单位体积重量流体所做的功,v平方/2 g 表示单位重量流体所具有的动能, h 就是流场中该点的高度.由于v平方/2 g+ p/ρg+ z = 常数,定理中每一项都具有长度的量纲. 所以p/ρg 表示所考察点的压力潜能的同时也可表示它能将流体压升到某一高度的能力.三、单位质量流体中伯努利方程p/ρ项的物理意义以ρ除各项得:p/ρ+1/2 v平方 + gh = 常量该方程中:p/ρ项表示流场中某一点上单位质量流体所具有的压力或弹性势能,从能量的角度讨论p/ρ项也可理解为单位质量流体相对于p = 0 状态所蕴涵的能量.综上所述：通过以上的分析推导可以看出伯努利方程是能量方程式,尽管分析问题所用的动力学原理不同,但导出方程的意义是完全相同的,说明在管内作稳定流动的理想液体具有压力能、势能和动能三种形式的能量,在适合限定条件的情况下,流场中的三种能量都可以相互转换,但其总和却保持不变,这三种能量统称为机械能. 由此可以得出:伯努利方程在本质上是机械能的转换与守恒.。
伯努利方程高数
伯努利方程高数
伯努利方程是一种常微分方程，它可以用来描述一个物体在某一时刻的变化情况，它的一般形式为：
\frac{dy}{dt}=f(y,t)
其中，y表示物体的状态变量，t表示时间，f(y,t)表示物体在时刻t时的变化率。
解伯努利方程的方法有很多，其中最常用的是高数方法。
高数方法是指将伯努利方程化为一个积分方程，然后用积分的方法求解。
例如，设伯努利方程为：
\frac{dy}{dt}=y^2-t^2
将其化为积分方程：
\int \frac{dy}{y^2-t^2}=\int dt
用积分的方法求解：
\frac{1}{2}\ln|y^2-t^2|=t+C
其中C为积分常数。
最后，将C代入上式，得到：
y^2-t^2=e^{2(t+C)}
即：
y=\pm \sqrt{e^{2(t+C)}+t^2}。
伯努利方程p1和p2
伯努利方程介绍
伯努利方程是流体力学中一个重要的方程，它描述了流体在运动过程中压强、速度和密度之间的关系。
在流体的运动过程中，伯努利方程可以表示为：p1 + ρ1(v1)^2/2 + g1z1 = p2 + ρ2(v2)^2/2 + g2z2。
其中，p1和p2分别表示流体的压强，ρ1和ρ2分别表示流体的密度，v1和v2分别表示流体的速度，g1和g2分别表示流体的重力加速度，z1和z2分别表示流体的位置高度。
在伯努利方程中，等号左边表示流体的总能量（包括压能和动能），等号右边表示流体的总能量（也包括压能和动能）。
因此，伯努利方程描述的是流体在运动过程中能量的守恒。
在流体运动中，伯努利方程具有非常广泛的应用。
例如，在管道中流动的流体，如果管道截面突然变小，流体的速度会增加，而压强会减小。
这是因为流体的总能量是守恒的，当管道截面变小时，流体的流速会增加，动能增加，而压能减小。
因此，伯努利方程可以帮助我们理解和预测流体运动中的各种现象。
此外，伯努利方程还可以用于解释飞机飞行的原理。
当飞机在空中飞行时，机翼上方的空气流速大于下方的空气流速，导致机翼上方的压强小于下方的压强，从而产生向上的升力。
这也是伯努利方程的应用之一。
总之，伯努利方程是流体力学中的一个重要方程，它描述了流体在运动过程中能量的守恒。
通过理解和掌握伯努利方程，我们可以更好地理解流体运动中的各种现象，并为实际应用提供重要的理论支持。
伯努利方程知识点
伯努利方程知识点伯努利方程是流体力学中最重要的方程之一。
它描述了沿流体流动方向的速度变化、压力变化以及液体高度的变化之间的关系。
伯努利方程在解决各种流体问题时都起着重要的作用，例如管道流动、飞行器设计和气象学等。
伯努利方程表示为：[ P + v^2 + gh = ]其中，P是流体的压力，ρ是流体的密度，v是流体的速度，g是重力加速度，h是流体的高度。
这个方程可以从动能定理、连续性方程和静力学平衡等基本原理推导出来。
接下来，我们将逐步解释伯努利方程的各个部分。
1.压力项（P）：压力是流体分子对容器壁或其他物体施加的力。
在伯努利方程中，压力项表示流体的动能转化为静能的过程中产生的压力变化。
2.动能项：动能项（(v^2)）表示流体的动能，其中ρ是流体的密度，v是流体的速度。
这一项表示流体速度的平方与流体密度的乘积，即动能密度。
当流体速度增加时，动能项也会增加。
3.重力项：重力项（(gh)）表示流体由于高度变化而产生的重力势能。
ρ是流体的密度，g是重力加速度，h是流体的高度。
当流体高度增加时，重力项也会增加。
4.常数项：伯努利方程右侧的常数项表示在流体流动过程中保持不变的量。
这个常数可以代表某个特定位置的流体状态，或者是在某个位置上的初始状态。
伯努利方程的应用非常广泛，下面我们将通过几个具体的例子来说明。
1.管道流动：伯努利方程可以用来分析管道内的液体或气体流动。
当液体或气体通过管道时，速度、压力和高度会发生变化。
通过应用伯努利方程，我们可以计算出流体在不同位置上的压力或速度。
2.飞行器设计：伯努利方程在飞行器的设计中起着重要作用。
例如，在飞机的机翼上方存在着较快的气流速度，而底部的气流速度较慢。
根据伯努利方程，较快的气流速度会导致较低的气压，而较慢的气流速度会导致较高的气压。
这种压差会产生升力，使飞机能够飞行。
3.气象学：伯努利方程也可以用来解释气象现象。
例如，当风穿过山谷或峡谷时，由于流速增加，气压会降低。
伯努利方程的名词解释
伯努利方程的名词解释伯努利方程是流体力学中的一条重要方程，描述了流体在静压力、速度和重力作用下的运动规律。
它是由瑞士数学家丹尼尔·伯努利于18世纪中叶提出的，成为了流体力学研究的基石之一。
伯努利方程涉及到了流体动力学和热力学等多个学科领域，其深入解析对于理解流体行为、设计工程和解决实际问题至关重要。
伯努利方程的形式是：P + (1/2)ρv^2 + ρgh = constant在这个方程中，P代表流体的压力，ρ代表流体的密度，v代表流体的速度，g代表重力加速度，h代表流体的高度。
这个方程的左侧代表流体的总能量，右侧常数表示在沿流体流动路径的任意点上，总能量保持不变。
伯努利方程的推导基于以下假设和条件：1. 流体是理想的，即没有黏性和内聚力的流体。
这个假设适用于大多数液体和气体，在实际应用中有着广泛的适用性。
2. 流体是连续的，即沿着流动路径的任意截面上的流体质量保持不变。
这个条件可以表达为连续性方程，即流体的质量流量保持恒定。
3. 流体是不可压缩的，即流体的密度在整个流动过程中保持不变。
尽管伯努利方程本身适用于可压缩流体，但在实际应用中通常采用不可压缩流体的假设，以简化计算和分析。
伯努利方程的核心思想是能量守恒。
方程左侧的第一项P代表了静压力的能量，即由于流体的压强而产生的能量。
第二项(1/2)ρv^2代表了动能的能量，即由于流体的速度而产生的能量。
第三项ρgh代表了重力势能的能量，即由于流体的高度差而产生的能量。
这三项能量在流体中相互转化。
当流体在运动过程中，速度增加时，动能的能量增加，而静压力和重力势能的能量相应减小。
当速度减小时，静压力和重力势能的能量增加，动能的能量减小。
伯努利方程的应用非常广泛。
在飞行器设计中，它可以用于描述飞机在不同速度下的升力和气动力的变化。
在水力工程中，它被用来分析水流在管道中的流动和水泵的工作原理。
在气象学中，它用于解释气压分布和风速变化。
在医学领域，它可以用来解释血液在动脉和静脉中的运动规律。
伯努利方程
首先我们来说静压能P=F/S=Mg/S 两边同时乘以一个体积v就可以得到PV=Mgv/S简化一下就可以得到PV=W这也就是体积功因为如果换算成每千克状态还可以简化为PM/ρ=W/M这就是第一项静压能的推倒W=P/ρ
接下来是势能同样的p=F/S=Mg/S和上面的推倒一样两边同时乘以一个体积就可以得到PV=Mgv/S也就是W=Mgz如果换算成每千克状态就两边同时除以一个质量M和上面一样简化成W/M=Mgz这就是势能的推倒W=gz。
其实就是能量守恒定理但是没必要死记硬背有兴趣的话可以照我说的推倒一下包你想忘都忘不了。
因为伯努利方程就是静压能，动压能，势能和功的变化的总和等于能量的摩擦损失总和的一个推倒公式说的更简单点就是几种形式的功相加到一起。静压能+势能+动压能+功=常数。
即：P/ρ+gz+(1/2)*v^2+W=C之所以伯努利方程式这样表述是因为我们通常运用的是在一千克下的状态推倒的公式即每一项的单位都是焦耳/千克所以在具体运算中要注意单位换算！
当用于泵算扬程时各项同时除以g整理各式得P/ρg+z+(1/2g)*v^2+W/g=C通常我们令He=W/g这也就是泵的扬程!各项单位为米或者焦/牛
当用于风机算压头时各项同时乘以一个ρ得P+(1/2)*ρv^2+ρgz+W*ρ=C通常我们令Ht=W*ρ这也就是我们算风机时用的压头单位是帕。
第三项动能的推倒我想就更简单了W=(1/2)M*v^2和上面两项一样如果要换算成每千克状态就两边同时除以一个质量M就简化成W/M=(1/2)M*V^2或者泵的能量。
四个能量（W）带进去一相加就是伯努利方程式了。简单吧？
伯努利方程
dV V ds V dt
s
t
或者 dV V ds V dt s dt t
• 在恒定流中， • ;加速度
V 0;andV V (s) t
as
dV dt
V s
ds dt
V s
V
V
dV ds
伯努利方程的推导过程（1）
将关于线性动力的牛顿第二定律守恒应用于流体领域
质量
PdA (P dP)dA W sin mV dV ds
• 不能用于计算流动在某一瞬时、开始时刻或停止时刻的 状态或者变化。
• 在细长管道、流动线路有分叉、径流分离状况中，摩擦 力不能忽略。
• 管道中没有阀门
gz2
p1
V12 2g
z1
p2
V22 2g
z2
p
压强水头
V 2 流速水头 z 位置水头
2g
例1
图 E3.4 (p. 105) 从注射器喷出的水流
例2
水从水压为400KPa的水管中流出。如果将水管竖起 来，喷出来的水最高可以喷到多少米？
例3
水从一个大容器里放出。确定出口处的流速
伯努利方程的局限性
m V dAds
流体的重力
W mg gdA
代入，联立得
sin =dz/ds
-dpdA - gdAds dz dAdsV dV
ds
ds
将dA消去，简化为
dp gdz VdV ,
注意到 VdV 1 d(V 2 )，同除以得 2
dp 1 d (V 2 ) gdz 0
2
伯努利方程的推导过程（2）
• 积分 • 对于恒定流
dp V 2 gz cons tan t
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• 在火车站或地铁站的站台上都画有安全线，并 且火车或地铁进出站时总会有播音员提醒大家 往安全线里边站，这是为什么？
安全线
教学内容
1. 什么是伯努利方程； 2. 伯努利方程的物理意义；
一、流动系统的能量形式
1. 位能
流体在一定高度，在重力作用下 具有的能量。质量为m 的流体， 在高度z 处具有的位能为：
位能 = mgz
2. 动能 因流体具有一定的速度所具有的能量。 质量为m，流速为u的流体具有的Leabharlann 能为：动能 mu 2 2
3. 静压能 因流体具有一定压力而具有的能量。
截面1处的流体具有一定的静压力，要进入系统的流体必须带着 足以克服截面1处静压的能量，该能量称为静压能。
质量为 m，压力为p，密度为ρ的流体具有的静压能为：
静压能 m p
2
1 2
1
二、流动系统的能量衡算----伯努利方程
根据能量守恒定律：
流体在截面1-1处流入的能量 = 流体在截面2-2处流出的能量
z1g
u12 2
p1
z2 g
u
2 2
2
p2
理想流体的伯努利方程
伯努利方程式的物理意义
理想流体在管路各截面处具有的位能、动能、静压能之和（总 机械能 ）守恒。
总机械能虽然相等，但每一种形式的能量不一定相等，它们之 间可相互转变。
z1g
u12 2
p1
z2 g
u22 2
p2
• 当火车经过B点时的流速比A点大，所以pA>pB， 于是物体会被火车吸入。