特殊平行四边形有关证明方法

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特殊平行四边形证明

特殊平行四边形证明设特殊平行四边形ABCD的两对边分别平行，其中AB与CD平行，BC与AD平行；设AB=CD，BC=AD。

我们要证明对角线AC和BD互相平分，并且AC=BD。

首先，我们可以通过观察发现，在特殊平行四边形ABCD中，角BAD和角CDA分别等于角BCD和角ADC，这是因为平行线AB与CD分别与平行线AD与BC交叉，形成了对应角。

因此，我们可以得出：角BAD=角CDA (1)角BCD=角ADC (2)A________BD--------C我们可以注意到四边形ABCD可以分成两个三角形：△AED和△BEC。

根据上述所得到的结论，我们知道角BAD等于角CDA，角BCD等于角ADC。

由于BD是BC的延长线，所以角BCD也等于角BCE。

根据三角形内角和定理，我们可以得到三角形△BEC中的角BEC等于角BCD+角BCE，即角BCD+角BCE=角BCD+角BCD=2角BCD同样地，我们可以得到△AED中的角AED等于角BAD+角AED，即角BAD+角AED=角BAD+角BAD=2角BAD根据题设条件，我们知道AB=CD，所以△AEB和△CED是等腰三角形，因此角AEB等于角BEA，角CED等于角CED。

通过观察我们可以发现，角AEB等于角BEA等于角BEC，角CED等于角CDE等于角BCE。

所以角AEB=角BEA=角BEC (3)角CED=角CDE=角BCE (4)现在，我们可以将(3)代入△BEC的等式中，得到：角BCD+角BEC=2角BCD=2角AEB同样地，将(4)代入△AED的等式中，得到：角BAD+角AED=2角BAD=2角CED由于以E点为顶点的两个角分别等于以B点和C点为顶点的两个角的两倍，所以根据角等于其对边所对的弧长，我们可以得出：∠BAE=∠BCE (5)∠CDE=∠CAE (6)由(5)、(6)两式可知，∠BAE=∠BCE，∠CAE=∠CDE，根据等腰三角形的性质，我们可以得到AE=CE。

平行四边形四种判定方法以及证明过程

平行四边形四种判定方法以及证明过程平行四边形的判定方法，真的是一个让人又爱又恨的话题。

大家好，今天咱们就来聊聊这四种判定方法，保证轻松搞定，同时也不乏趣味。

平行四边形的判定就像找对象，得看对方的性格，也得看外表，还有那些“隐秘”的特质。

我们先来说第一个判定方法：对边平行。

说白了，如果你看到一个四边形，发现对面的两条边是平行的，那恭喜你，这个家伙可能就是个平行四边形。

就像你和朋友一起看风景，发现山的两边是一模一样的，那你肯定心里在想着，哇，这风景真美，简直是“对称”的艺术啊！咱们聊聊第二种判定方法：对边相等。

这个就有点意思了。

想象一下，你有两个对边，像两条亲密无间的好朋友，关系好得不得了。

如果这两条边的长度完全一样，那这个四边形基本上就可以被你认定为平行四边形了。

这就像情侣之间的默契，心有灵犀，想啥都能想到一块儿。

记得有一次，我朋友跟我说他和女友完全同步，吃的、穿的、甚至连睡觉的姿势都一样。

我一听，哎呀，简直是平行四边形的活生生例子嘛。

第三种方法，咱们得提提对角相等。

这个听上去就有点“高大上”了，仿佛是个数学界的秘密武器。

如果你发现四个角中的两个对角完全一样，那么恭喜你，这家伙也是个平行四边形。

就像有些人，虽然外表各异，内心深处却有着一模一样的追求。

谁说人生就不能有点儿“平行”的元素呢？我们不能忘记第四种判定方法：邻角互补。

这就是个小巧思了，像是在给你出小谜题。

邻角的和如果正好是180度，那也是平行四边形。

生活中，这种情况时有发生，像是两个人相遇，刚开始可能很陌生，但慢慢地发现，彼此的理念、想法完全互补。

就像数学里，180度的和总是让人想起那些美好的时刻，心里不禁浮现出“无缝连接”的感觉。

说了那么多，大家可能会想，这些判定方法在生活中到底有什么用呢？平行四边形不仅仅是几何的存在，它更像是我们生活中的一种象征。

无论是友情、爱情，还是生活中的其他关系，平行四边形所代表的那些特质，都能在我们的生活中找到影子。

平行四边形所有判定方法

平行四边形所有判定方法平行四边形是一种特殊的四边形，它具有一些独特的性质和判定方法。

在本文中，我们将探讨平行四边形的所有判定方法，并详细解释每个判定方法的原理和应用。

判定方法一：对边平行判定法平行四边形的定义是具有两对对边平行的四边形。

因此，如果我们能够证明四边形的两对对边是平行的，那么这个四边形就是平行四边形。

判定方法二：对角线互相平分判定法平行四边形的对角线互相平分，即对角线将平行四边形分成两个完全相同的三角形。

通过计算对角线的中点和判断它们是否重合，我们可以确定四边形是否是平行四边形。

判定方法三：对边比例相等判定法如果一个四边形的对边比例相等，则该四边形是平行四边形。

这是因为对边比例相等意味着两对边是平行的。

判定方法四：对角线比例相等判定法除了对边比例相等，平行四边形的对角线比例也是相等的。

通过计算对角线比例，我们可以确定四边形是否是平行四边形。

判定方法五：对边垂直判定法如果一个四边形的对边垂直，则该四边形是平行四边形。

这是因为对边垂直意味着两对边是平行的。

判定方法六：对角线垂直判定法除了对边垂直，平行四边形的对角线也是垂直的。

通过计算对角线的斜率，我们可以确定四边形是否是平行四边形。

判定方法七：对边长度相等判定法平行四边形的对边长度相等。

通过测量四边形的边长，我们可以确定是否为平行四边形。

判定方法八：对角线长度相等判定法除了对边长度相等，平行四边形的对角线长度也是相等的。

通过测量对角线的长度，我们可以确定是否为平行四边形。

判定方法九：内角和判定法平行四边形的内角和为360度。

通过测量四边形的内角和，我们可以确定是否为平行四边形。

判定方法十：邻边垂直判定法如果一个四边形的邻边垂直，则该四边形是平行四边形。

这是因为邻边垂直意味着两对边是平行的。

判定方法十一：邻边长度相等判定法平行四边形的邻边长度相等。

通过测量四边形的邻边长度，我们可以确定是否为平行四边形。

判定方法十二：对边角度和判定法平行四边形的对边角度和为180度。

平行四边形及特殊平行四边形知识点总结

平行四边形及特殊平行四边形知识点总结平行四边形、矩形、菱形、正方形的共同性质是：对边平行且相等，对角线相等。

其中，矩形还有一个特殊性质是有一个角为直角，菱形还有一个特殊性质是四条边相等，正方形则同时满足矩形和菱形的特殊性质。

2.判定方法小结：1)判定平行四边形的方法：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③两组对角分别相等；④对角线互相平分；⑤一组对边平行且相等。

2)判定矩形的方法：①有一个角是直角；②对角线相等；③有三个角是直角；④对角线相等且互相平分。

3)判定菱形的方法：①有一组邻边相等；②对角线互相垂直；③四边都相等；④对角线互相垂直平分。

4)判定正方形的方法：①有一组邻边相等且有一个角是直角；②对角线互相垂直且相等；③对角线互相垂直平分且相等。

3.基础达标训练：1）两条对角线的四边形是平行四边形；2）两条对角线的四边形是矩形；3）两条对角线的四边形是菱形；4）两条对角线的四边形是正方形；5）两条对角线的平行四边形是矩形；6）两条对角线的平行四边形是菱形；7）两条对角线的平行四边形是正方形；8）两条对角线的矩形是正方形；9）两条对角线的菱形是正方形。

1．以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形，最多能作1个。

2．若平行四边形的一边长为10cm，则它的两条对角线的长度可以是8cm和12cm。

3.在平行四边形ABCD中，直线通过两对角线交点O，分别与BC和AD相交于点E和F。

已知BC=7，CD=5，OE=2，则四边形ABEF的周长为多少？答案：C。

16解析：根据平行四边形的性质，AE=CD=5，BF=BC=7.由于OE=2，因此EF=BC-OE=5.所以ABEF是一个边长分别为5和7的矩形，周长为2（5+7）=16.4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE的周长为多少？答案：B。

6解析：由于CE∥BD，DE∥AC，因此三角形AOD和BOC相似，三角形COE和DOE相似。

平行四边形四种证明方式

平行四边形的性质有很多种证明方式，下面列举了四种常见的证明方式：
1. 同底异边平行四边形性质证明：
性质：若平行四边形的一对对边分别平行，则该平行四边形是平行四边形。

证明：利用平行线的性质，通过对应角相等或同位角相等的方式证明。

2. 同位角平行四边形性质证明：
性质：平行四边形的同位角相等。

证明：利用平行线的同位角性质，通过角对应或同位角相等的方式证明。

3. 对角线分割平行四边形性质证明：
性质：平行四边形的对角线互相等分，即平行四边形的一条对角线把它分成两个全等的三角形。

证明：利用三角形的全等条件，通过SAS、ASA等证明两个三角形全等。

4. 边角对应平行四边形性质证明：
性质：平行四边形的对应边成比例，对应角相等。

证明：利用对应角相等和平行线的性质，通过相似三角形的性质证明对应边成比例。

这些证明方式可以根据具体的平行四边形问题选择合适的方法。

在证明中，要善于利用平行线的性质和三角形的性质，灵活应用各种角关系和边关系。

特殊平行四边形证明

特殊平行四边形证明
证明如下：
首先，我们假设有一个平行四边形ABCD，其中AB∥CD，并且AC与BD相交于O。

由于AB∥CD，所以有∠BAD=∠BCD（对应角）、∠ABD=∠ACD（同位角）。

又由于平行四边形的两组对角线互相平分，所以我们可以得到两个重要的等角关系：
∠BAO=∠DAO (1)
∠CAO=∠CDO (2)
然后，我们在平行四边形ABCD中作AO的垂线，垂足为O'，并且连接CO'和DO'。

由于AO是ABCD的对角线，根据垂心定理，AO是CO'与DO'的公共垂线。

所以CO'和DO'垂直于AO，即∠CO'O=∠DO'O=90°。

又根据(1)，∠BAO=∠DAO，我们可以得到三角形BAO和DAO是相似三角形。

同理可得三角形CAO和CDO是相似三角形。

由于相似三角形的性质，我们可以得到以下比例关系：
OA/OD=BA/AD (3)
OA/OC=DA/CA (4)
QA:QD=QO:OA=QO:OD (5)
PA:PB=PO:OA=PO:OC (6)
其中，P和Q是AO的中点。

根据三角形的相似比例关系，我们可以进一步得到：OA/OD=OB/OC，并且DA/CA=DB/CB。

由于BA∥CD，所以根据平行四边形的内角性质，我们可以得到
∠ADB=∠BCA（同位角）。

综上所述，我们证明了平行四边形ABCD的对角线互相平分，并且有直角相等，即一个特殊平行四边形。

证毕。

第1章特殊平行四边形《特殊四边形》典型题型1 特殊四边形中的多结论题型-北师大版九年级数学上册

《特殊四边形》典型题型1 特殊四边形中的多结论题型【知识梳理】总体解题思路和方法：①直接证明：不一定按顺序，哪个结论最好证就先证哪个； ②已证明的结论可以作为题目的已知条件；③假设法：遇到不好证的，可以假设它成立，倒过去反推，若推出的结论与题目已知条件相符，说明假设成立，即结论也成立，反之，结论错误；④涉及几何计算时，常用解题技巧是：特殊值法或字母参数法【典型例题】例1.如图，在平行四边形ABCD 中，CD=2AD ，BE ⊥AD 于点E ，F 为DC 的中点，连接EF 、BF ，下列结论：①∠ABC=2∠ABF ；②EF=BF ；③；④∠CFE=3∠DEF ；其中正确结论的个数有（ D ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解析：多结论题型，几何综合题型，压轴题（1）数学典型模型：“等腰△+平行线=角平分线”，∵FC=BC ，FC//AB ， ∴∠CFB=∠ABF=∠CBF ，∴∠ABC=2∠ABF ，①正确；（2）数学典型模型：“中线倍长”；延长BC 交EF 的延长线于点G ，由AAS 易证△DEF ≌△CGF ，则EF=FG ，∵AD//BC ，∴∠AEB=∠EBC=90°，则BF 是Rt △EBG 斜边上的中线，∴BF=EF=FG ，②正确；（3）由△DEF ≌△CGF 可得，由BF 是中线，可得， ∴，③正确；CBADEFGFEDABC（4）依几何图形的审题技巧：想办法拉近∠CFE与∠DEF的位置距离，由AD//BG，可得∠DEF=∠G，由BF=FG可得∠G=∠FBG，由CF=CB可得∠FBG=∠CFB，∴∠DEF=∠CFB，由外角定理可得∠EFB=∠G+∠FBC=2∠FBC=2∠CFB，∴∠CFE=3∠CFB=3∠DEF，④正确，故选D.例2.已知如图，四边形ABCD为矩形，点O是AC的中点，过点O的一直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M,连接DE、BO，若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB⊥OC,OM=CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD 是菱形；④MB:OE=3:2，其中正确结论是___________解析：多结论题型，压轴题。

平行四边形的性质与证明方法

平行四边形的性质与证明方法平行四边形是几何学中常见的一个概念，具有一些特殊的性质和证明方法。

本文将探讨平行四边形的性质，并介绍一些常用的证明方法。

一、平行四边形的性质1. 对角线性质：平行四边形的任意两条对角线互相平分，即将平行四边形的两个对角点相连，得到的线段互相平分。

2. 对边性质：平行四边形的对边相等，即平行四边形的对边长度相等。

3. 内角性质：平行四边形的内角之和为360度，即平行四边形的四个内角之和等于360度。

4. 外角性质：平行四边形的相邻外角互补，即相邻外角的和为180度。

5. 底角性质：平行四边形的底角（与底边相对的内角）相等。

二、平行四边形的证明方法1. 平行线法：当两条边分别平行时，可根据平行线之间的性质，如余角、内错角、同旁内角等来进行证明。

通过利用平行线的特性可以得出平行四边形的存在和性质。

2. 对角线法：利用平行四边形对角线互相平分的性质进行证明。

通过证明对角线的相互平分可以推出平行四边形的性质。

3. 相等法：利用平行四边形对边相等的性质进行证明。

通过证明四边形的对边相等可以推出平行四边形的性质。

4. 夹角法：利用平行四边形内角和为360度的性质进行证明。

通过证明四个内角之和等于360度可以推出平行四边形的存在。

5. 相补法：利用平行四边形相邻外角互补的性质进行证明。

通过证明相邻外角的和为180度可以推出平行四边形的存在和性质。

通过以上的证明方法，可以有效地证明平行四边形的存在和性质。

在实际应用中，理解和掌握这些证明方法对于解决几何问题具有重要意义。

总结：平行四边形是一个常见的几何概念，具有对角线平分、对边相等、内角和为360度等性质。

通过平行线法、对角线法、相等法、夹角法和相补法等证明方法，我们可以证明平行四边形的存在和性质。

在实际问题中，熟练掌握这些证明方法对于解决几何问题非常有帮助。

（以上内容仅供参考，具体写作时请根据实际情况补充完善。

）。

证明平行四边形的方法

证明平行四边形的方法
平行四边形是一种特殊的四边形，它有着独特的性质和特点。

在几何学中，我们常常需要证明一个四边形是平行四边形，下面我将介绍几种证明平行四边形的方法。

1. 直角边相等法。

如果一个四边形的两条相对边相等，并且对角线互相垂直，那么这个四边形就是平行四边形。

这是因为直角边相等的四边形是矩形，而矩形是特殊的平行四边形。

2. 对角线互相平分法。

如果一个四边形的对角线互相平分，并且相交于一点，那么这个四边形就是平行四边形。

这是因为对角线互相平分的四边形是菱形，而菱形是特殊的平行四边形。

3. 同位角相等法。

如果一个四边形的两组对应角相等，那么这个四边形就是平行四边形。

这是因为同位角相等的四边形是平行四边形。

4. 同位角和内错角互补法。

如果一个四边形的两组对应角互补，那么这个四边形就是平行四边形。

这是因为同位角和内错角互补的四边形是平行四边形。

5. 对边平行法。

如果一个四边形的对边平行，那么这个四边形就是平行四边形。

这是平行四边形的定义。

以上是几种证明平行四边形的方法，通过这些方法我们可以轻松地证明一个四边形是平行四边形。

在实际问题中，我们经常需要利用这些方法来解决各种几何问题，因此熟练掌握这些方法对我们的学习和工作都是非常有益的。

希望大家能够认真学习并灵活运用这些方法，提高自己的几何学能力。

特殊平行四边形-中考数学第一轮总复习课件(全国通用)

中考数学第一轮总复习典例精讲考点聚集查漏补缺拓展提升第五单元四边形专题5.2 特殊平行四边形知识点矩形01菱形02正方形03中点四边形04拓展训练05【例1-1】如图,在□ABCD中,E为BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接BF,AC,若AD=AF.求证：四边形ABFC是矩形.A EFD CB利用对角线相等的平行四边形是矩形证明方法一：利用△ABE≌△FCE证平行四边形；证法二：利用△ABE∽△FCE证平行四边形考点聚焦一个角为直角对角线相等平行四边形平行四边形直角证明四边形ABCD 是矩形的方法(三种)①先证明四边形ABCD为___________,再证明□ABCD的任意_____________；②先证明四边形ABCD为___________,再证明□ABCD的____________；【例1-2】如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=6,若点E,F分别在AB,CD上,且BE=2AE,DF=2FC,G,H分别是AC的三等分点,则四边形EHFG的面积为( ) A.1 B.1.5 C.2 D.4AHGECBD F C 考点聚焦对边平行且相等四角都是直角对角线互相平分且相等矩形的性质(1)边：________________；(2)角：________________；(3)对角线：______________________.1.已知□ABCD,下列条件中,不能判定这个平行四边形为矩形的是( ) A.∠A=∠B B.∠A=∠C C.AC=BD D.AB⊥BC2.如图,矩形ABCD的对角线AC=10,P,Q分别为AO,AD的中点,则PQ=_____．3.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,则图中四个小矩形的周长之和为____.4.如图,矩形OCDE,矩形OFGH,矩形OMNP各有一边在半⊙O的直径AB上,D,G,N都在半⊙O上,比较EC,HF,MP的大小_________.B 2.514EC=HF=EP5.如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=4,E为CD边上一点,CE=5,点P从B点出发,以每秒1个单位的速度沿着BA边向终点A运动,设点P运动的时间为t秒,则当t=_______时,△PAE是以PE为腰的等腰三角形.6.如图,将矩形ABCD绕点B顺时针旋转,得到矩形EBFG,且点E落在CD上,过点C作FG的垂线,垂足为H,若FH=HG,则BC:AB的值为_______.7.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90º,BA=3,AC=4,点D是斜边BC上的一个动点,过点D分别作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N,连接MN,则线段MN的最小最为_____.M2.4知识点矩形01菱形02正方形03中点四边形04拓展训练05【例2-1】如图,在等腰△ABC中,AD平分顶角∠BAC,交底边BC于点H,点E在AD上,BE=BD,求证:四边形BDCE是菱形.考点聚焦证明四边形ABCD 是菱形的方法（三种）①先证明四边形ABCD为___________,再证明□ABCD的任意_____________；②先证明四边形ABCD为___________,再证明□ABCD的________________平行四边形一组邻边相等平行四边形对角线互相垂直四边相等AH E DCB利用“三线合一”得出AD 垂直平分BC,从而得出四边相等。

判定平行四边形的五种方法

判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。

下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。

一、两组对边分别平行如图1，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD=CE ，连结DE 并延长至点F ，使EF=AE ，连结AF 、BE 和CF(1)请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；(2)判断四边形ABDF 是怎样的四边形，并说明理由。

解：（1）选证△BDE≌△FEC证明：∵△ABC 是等边三角形，∴BC=AC，∠ACD=60°∵CD=CE，∴BD=AE，△EDC 是等边三角形∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°∴∠BDE=∠FEC=120°又∵EF=AE，∴BD=FE，∴△BDE≌△FEC（2）四边形ABDF 是平行四边形理由：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF 都是等边三角形∵∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°∴AB∥DF，BD∥AF∵四边形ABDF 是平行四边形。

点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。

二、一组对边平行且相等例2 已知：如图2，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE=CG ，连结BG 并延长交DE于F(1)求证：△BCG≌△DCE；(2)将△DCE 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD 是什么特殊四边形？并说明理由。

分析：（2）由于ABCD 是正方形，所以有AB∥DC，又通过旋转CE=AE′已知CE=CG ，所以E′A=CG，A FB DC E 图1这样就有BE′=GD，可证E′BGD是平行四边形。

证明平行四边形的方法

证明平行四边形的方法平行四边形是初中数学中的一个重要概念，它具有独特的性质和特点。

在几何学中，我们常常需要证明一个四边形是平行四边形，下面我将介绍几种证明平行四边形的方法。

首先，我们来看平行四边形的定义。

平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。

根据这个定义，我们可以得出平行四边形的性质，对边相等，对角相等，对边角相等。

基于这些性质，我们可以利用以下方法来证明一个四边形是平行四边形。

方法一，利用对边相等。

当我们需要证明一个四边形是平行四边形时，可以先通过测量或计算对边的长度，如果对边相等，则可以得出结论，这个四边形是平行四边形。

这是最直接的方法之一，也是最常用的方法之一。

方法二，利用对角相等。

另一种证明平行四边形的方法是利用对角相等。

当一个四边形的对角相等时，我们可以推断出这个四边形是平行四边形。

这是因为对角相等意味着对边角相等，而平行四边形的性质之一就是对边角相等。

方法三，利用对边角相等。

最后一种方法是利用对边角相等。

当一个四边形的对边角相等时，我们可以推断出这个四边形是平行四边形。

这是因为对边角相等意味着对边平行，而平行四边形的定义就是具有两对对边分别平行。

除了以上三种方法，还有一些其他方法可以用来证明平行四边形，比如利用平行线的性质、利用角的性质等。

不同的情况可能需要不同的方法，我们需要根据具体情况来选择合适的方法来证明平行四边形。

总结一下，证明一个四边形是平行四边形有多种方法，包括利用对边相等、对角相等、对边角相等等。

在实际问题中，我们需要根据具体情况来选择合适的方法来进行证明。

希望以上内容能够帮助大家更好地理解和掌握证明平行四边形的方法。

探索平行四边形的性质与判断方法

探索平行四边形的性质与判断方法平行四边形是平面几何中常见的一类图形。

它具有特殊的性质和判断方法，本文将探索这些性质和方法。

一、平行四边形的性质1. 对角线性质：平行四边形的两条对角线互相等长。

我们可以通过这个性质判断一个四边形是否为平行四边形，只需检查对角线是否相等。

2. 定比分割：平行四边形的对角线把它们分割成两个相似的三角形，并且这两个三角形的边比相等。

3. 内角和性质：平行四边形的内角和等于180度。

这意味着平行四边形的相邻内角是补角。

4. 外角性质：平行四边形的外角等于其对应的内角。

也就是说，对角线在平行四边形内部所成的角和在平行四边形外部所成的角互补。

二、平行四边形的判断方法1. 判断对边是否平行：如果四边形的两对边分别相等且相互平行，则这个四边形是平行四边形。

当然，我们也可以通过测量四边形的内角和来判断，若相邻内角为补角，则对边平行。

2. 判断对角线是否相等：在知道四边形是平行四边形的前提下，如果四边形的对角线相等，则可以确定这个四边形是平行四边形。

3. 判断线段比例：若四边形的一对对边与另一对对边之间的线段比例相等，则可以推断这个四边形是平行四边形。

三、应用示例为了进一步理解平行四边形的性质和判断方法，我们来看两个具体的示例。

示例一：已知四边形ABCD，AB // CD，同时AD = BC，证明四边形ABCD是平行四边形。

解答：根据已知条件，我们可以确定ABCD是一个梯形。

而且，由于AD = BC，可以判断对角线AC和BD相等。

因此，四边形ABCD的对角线相等，根据前述性质，可以证明ABCD是平行四边形。

示例二：已知四边形EFGH，EF = GH，FG = EH，证明四边形EFGH是平行四边形。

解答：根据已知条件，我们可以观察到四边形EFGH的两对对边分别相等。

因此，根据判断方法1，我们可以得出结论，四边形EFGH是平行四边形。

结论：平行四边形是一类具有特殊性质的四边形，对角线相等，内角和为180度，外角互补。

8证明三——特殊平行四边形

证明三——特殊平行四边形知识要点1．矩形一、性质矩形除具有平行四边形的所有性质外，还具有矩形的四个角都是直角，对角线相等二、判定（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形；（3）矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．三、推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形2．菱形一、性质：菱形除具有平行四边形的所有性质之外，还具有，菱形的四边相等，对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角二、判定（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）菱形的判定定理1：四边都相等的四边形是菱形；（3）菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．3．正方形一、性质：正方形除具有平行四边形所有性质外，还具有，正方形的四个角都是直角，两条对角线相等，并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角二、判定（1）定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；（2）判定定理1：一组邻边相等的矩形是正方形；（3）判定定理2：一个角是直角的菱形是正方形．（一）菱形、矩形、正方形的有关概念：（二）菱形、矩形、正方形的性质（三）菱形、矩形、正方形的判别：题型归类一、选择题1．下列命题正确的是（）A 、有两个角是直角的四边形是矩形B 、两条对角线相等的四边形是矩形C 、两条对角线垂直且相等的四边形是矩形D 、四个角都是直角的四边形是矩形 2．过矩形ABCD 的顶点D ，作对角线AC 的平行线交BA 的延长线于E ，则△DEB 是（） A 、不等边三角形 B 、等腰三角形C 、等边三角形D 、等腰直角三角形3．矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，则边与对角线组成的直角三角形的个数是（） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 4．如图4-4-1，已知正方形ABCD 的边长为cm 35，E 为DC 边上一点，∠EBC=30°，则BE 的长为（）∥ = A 、cm 5B 、cm 52C 、5cmD 、10cm5．如图4-4-2，等边三角形ABE 与正方形ABCD 有一条公共边，则∠AED 等于（） A 、10° B 、12.5° C 、15° D 、20° 6．若矩形各角平分线能围成一个四边形，则这个四边形是（） A 、平行四边形 B 、矩形 C 、菱形 D 、正方形 7．E 为矩形ABCD 中AB 边上的中点，CE ⊥DE ，那么∠CEB 等于（） A 、30° B 、45° C 、60° D 、75° 8．下列命题中错误的是（） A 、正方形既是矩形又是菱形 B 、有一个内角是直角的菱形是正方形C 、有一组邻边相等的矩形是正方形D 、两条对角线想到垂直且相等的四边形是正方形 9．正方形具有而矩形不一定具有性质是（） A 、对角线互相垂直 B 、对角线相等C 、对角线互相平分D 、对角线互相平分且相等10．如图4-4-3，E 是正方形ABCD 内一点，且△EAB 是等边三角形，则∠ADE 等于（） A 、70° B 、72.5° C 、75° D 、77.5° 11．用长为30cm 的一根绳子，围成一个矩形，其面积最大值为（）A 、225cm 2B 、112.5cm 2C 、56.25cm 2D 、100cm 2 12．在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个边形是正方形的是（）A 、AC=BD ，∠A=∠B ，∠C=∠D B 、∠ABD=∠CBD ，AB CD ，∠A=∠BC 、AO=CO ，BO=DO ，∠A=∠BD 、AO=CO ，BO=DO ，AB=BC13．如图4-4-4，设M 、N 是正方形ABCD 的边AB 、AD 的中点，MD 与NC 相交于P ，若△PCD 的面积是S ，则四边形AMPN 的面积是（） A 、S 32 B 、S C 、S 34 D 、非上述答案14．如图4-4-4（上题图），若CE=MN ，∠MCE=35°，那么∠ANM 的度数是（） A 、45° B 、55° C 、65° D 、35°15．如图4-4-5，正方形ABCD 的边长为3，以CD 为一边向CD 两旁作等边△PCD 和等边△QCD ，那么PQ 的长为（） A 、233 B 、332C 、33D 、3616．一个正方形和一个等腰三角形周长相等，等腰三角形两边长为13cm 和6cm ，这个正方形的面积是（） A 、64cm 2B 、16625cm 2C 、32cm 2D 、25cm 2图4-4-1 图4-4-2图4-4-3B17．在正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，EF ⊥AC ，EG ⊥BD ，垂足为F 、G ，如果AC=10cm ，那么EF+EG 等于（） A 、10cm B 、7.5cm C 、5cm D 、2.5cm 18．用两个全等的直角三角形拼下面图形：（1）平行四边形（2）矩形（3）菱形（4）正方形（5）等腰三角形（6）等边三角形，可以拼成的图案是（） A 、（1）（4）（5） B 、（2）（5）（6） C 、（1）（2）（3） D 、（1）（2）（5） 19.下列判别错误的是（）A 、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形B 、有一条对角线平分对角的四边形是菱形C 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形D 、邻边相等的平行四边形是菱形20.在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，若S 菱形ABCD =24cm 2，且AE=4cm ，则菱形ABCD 的边长为（） A 、4cm B 、5cm C 、6cm D 、7cm 21.在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，且BE=EC ，CF=FD ，则∠AEF 等于（）A 、120°B 、45°C 、60°D 、150° 22.已知菱形的周长是40cm ，一条对角线的长是12cm ，那么这个菱形的面积是（） A 、190cm 2 B 、96cm 2 C 、48cm 2 D 、40cm 2 23.菱形的周长等于它的高的8倍，则它的相邻两个角的度数是（） A 、20°和160° B 、60°和120° C 、45°和135° D 、30°和150° 24.菱形中，两条对角线相交于一点，则这个图形中，面积相等的三角形有（） A 、8对 B 、12对 C 、15对 D 、16对 25.菱形ABCD 中，若∠ABC=120°，则BD ：AC 的值是（） A2BC 、1:2D26.如图4-3-1，等边△AEF 与菱形ABCD 有一个公共顶点A ，且边长相等；△AEF 的顶点E 、F 分别在菱形的边BC 、CD 上，则BAD 等于（） A 、80° B 、90° C 、100° D 、120°二、填空题1．已知矩形的周长为72cm ，一边中点与对边的两个端点连线的夹角是直角。

第一章特殊平行四边形

第一章特殊平行四边形一、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。

1、性质（1）两组对边分别平行（2）两组对边分别相等（3）两组对角分别相等（4）对角线相互平分如图，∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ∴ （1）AD // BC 且 AB // CD （2）AD = BC 且 AB = CD （3）∠ABC =∠ADC ∠BAD =∠BCD （4）OA=OC= 2、判定方法（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（4）对角线相互平分的四边形是平行四边形；（5）同一组对边既平行且相等的四边形是平行四边形如图， ∵ （1）AD // BC 且 AB // CD 或（2）AD = BC 且 AB = CD 或（3）∠ABC =∠ADC ∠BAD =∠BCD 或（4）OA=OC= ∠DAC =∠BCA拓展：平行性质∠BDA =∠DBC ∠BAC =∠DCA ∠ABD =∠CDB1 AC 2OB=OD =1 BD 21 AC 2OB=OD =1 BD 2或（5）AD // BC 且 AD = BC【或：AB // CD 且 AB = CD 】 ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形练习：如图，在平行四边形 ABCD 中，BE=DF,求证：四边形 AECF 是平行四边形A F E B C第一章《特殊平行四边形》D1二、菱形：有一组邻边相等邻边相等的平行四边形叫菱形。

1、性质（1）两组对边分别平行（2）四条边都相等（3）两组对角分别相等（4）对角线相互平分（5）对角线相互垂直如图，∵ 四边形 ABCD 是菱形菱形拓展：平行性质∠DAC =∠BCA ∠BDA =∠DBC ∠BAC =∠DCA ∠ABD =∠CDB∴ （1）AD // BC 且 AB // CD （2）AD = BC = AB = CD （3）∠ABC =∠ADC ADC ∠BAD =∠BCD （4）OA=OC=1 AC 2OB=OD =1 BD 2（5）AC ⊥ BD 【即：∠AOB 【即： =∠AOD =∠COB =∠COD = 90°】 2、判定方法（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线相互垂直的平行四边形是菱形；（2）四条边都相等的四边形是菱形。

初中数学特殊平行四边形的证明及详细答案

初中数学特殊平行四边形的证明一. 解答题（共30小题）1．（2019•泰安模拟）如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, BC的垂直平分线DE交BC于D, 交AB于E, F在DE上, 并且AF=CE．（1）求证: 四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B满足什么条件时, 四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论.2．（2019•福建模拟）已知: 如图, 在△ABC中, D、E分别是AB.AC的中点, BE=2DE, 延长DE到点F, 使得EF=BE, 连接CF．求证: 四边形BCFE是菱形.3．（2019•深圳一模）如图, 四边形ABCD中, AB∥CD, AC平分∠BAD, CE∥AD交AB于E．（1）求证: 四边形AECD是菱形；（2）若点E是AB的中点, 试判断△ABC的形状, 并说明理由.4．（2019•济南模拟）如图, 四边形ABCD是矩形, 点E是边AD的中点．求证: EB=EC.5. （2019•临淄区校级模拟）如图所示, 在矩形ABCD中, DE⊥AC于点E, 设∠ADE=α, 且cosα= , AB=4, 则AC的长为多少？6. （2019春•宿城区校级月考）如图, 四边形ABCD是矩形, 对角线AC、BD相交于点O, BE ∥AC交DC的延长线于点E. 求证：BD=BE.7．（2019•雅安）如图：在▱ABCD中, AC为其对角线, 过点D作AC的平行线及BC的延长线交于E．（1）求证: △ABC≌△DCE；（2）若AC=BC, 求证: 四边形ACED为菱形.8．（2019•贵阳）如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, D.E分别为AB, AC边上的中点, 连接DE, 将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE, 连接AF, AC．（1）求证: 四边形ADCF是菱形；（2）若BC=8, AC=6, 求四边形ABCF的周长.9．（2019•遂宁）已知：如图, 在矩形ABCD中, 对角线AC、BD相交于点O, E是CD中点, 连结OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F, 连结DF．求证：（1）△ODE≌△FCE；（2）四边形ODFC是菱形.10. （2019•宁德）如图, 在梯形ABCD中, AD∥BC, 点E是BC的中点, 连接AC, DE, AC=AB, DE∥AB. 求证: 四边形AECD是矩形.11. （2019•钦州）如图, 在正方形ABCD中, E、F分别是AB、BC上的点, 且AE=BF. 求证：CE=DF.12．（2019•贵港）如图, 在正方形ABCD中, 点E是对角线AC上一点, 且CE=CD, 过点E 作EF⊥AC交AD于点F, 连接BE．（1）求证: DF=AE；（2）当AB=2时, 求BE2的值.13．（2019•吴中区一模）已知：如图, 菱形ABCD中, E、F分别是CB.CD上的点, ∠BAF=∠DAE．（1）求证: AE=AF；（2）若AE垂直平分BC, AF垂直平分CD, 求证: △AEF为等边三角形.14. （2019•新乡一模）小明设计了一个如图的风筝, 其中, 四边形ABCD及四边形AEFG都是菱形, 点C在AF上, 点E, G分别在BC, CD上, 若∠BAD=135°, ∠EAG=75°, AE=100cm, 求菱形ABCD的边长.15. （2019•槐荫区三模）如图, 菱形ABCD的边长为1, ∠D=120°. 求对角线AC的长.16. （2019•历城区一模）如图, 已知菱形ABCD的对角线AC.BD的长分别为6cm、8cm, AE ⊥BC于点E, 求AE的长.17．（2019•湖南校级模拟）如图, AE=AF, 点B.D分别在AE、AF上, 四边形ABCD是菱形, 连接EC、FC（1）求证: EC=FC；（2）若AE=2, ∠A=60°, 求△AEF的周长.18．（2019•清河区一模）如图, 在△ABC中, AB=AC, 点D.E、F分别是△ABC三边的中点．求证: 四边形ADEF是菱形.19. （2019春•防城区期末）如图, 已知四边形ABCD是平行四边形, DE⊥AB, DF⊥BC, 垂足分别是为E, F, 并且DE=DF. 求证：四边形ABCD是菱形.20．（2019•通州区一模）如图, 在四边形ABCD中, AB=DC, E、F分别是AD.BC的中点, G、H分别是对角线BD.AC的中点．（1）求证: 四边形EGFH是菱形；（2）若AB=1, 则当∠ABC+∠DCB=90°时, 求四边形EGFH的面积.21．（2019•顺义区二模）如图, 在△ABC中, D、E分别是AB.AC的中点, BE=2DE, 过点C 作CF∥BE交DE的延长线于F．（1）求证: 四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4, ∠BCF=120°, 求菱形BCFE的面积.22．（2019•祁阳县校级模拟）如图, O为矩形ABCD对角线的交点, DE∥AC, CE∥BD．（1）求证: 四边形OCED是菱形.（2）若AB=6, BC=8, 求四边形OCED的周长.23. （2019•荔湾区校级一模）已知点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点, 且AD=DE, 连结BE交CD于点O, 求证：△AOD≌△BOC.24．（2019•东海县二模）已知：如图, 在正方形ABCD中, 点E、F在对角线BD上, 且BF=DE, （1）求证: 四边形AECF是菱形；（2）若AB=2, BF=1, 求四边形AECF的面积.25．（2019•玉溪模拟）如图, 正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上, 连接BE、DG．求证: BE=DG.26．（2019•工业园区一模）已知：如图正方形ABCD中, E为CD边上一点, F为BC延长线上一点, 且CE=CF（1）求证: △BCE≌△DCF；（2）若∠FDC=30°, 求∠BEF的度数.27．（2019•深圳模拟）四边形ABCD是正方形, E、F分别是DC和CB的延长线上的点, 且DE=BF, 连接AE、AF、EF．（1）求证: △ADE≌△ABF；（2）若BC=8, DE=6, 求△AEF的面积.28. （2019•碑林区校级模拟）在正方形ABCD中, AC为对角线, E为AC上一点, 连接EB、ED. 求证：∠BEC=∠DEC.29．（2019•温州一模）如图, AB是CD的垂直平分线, 交CD于点M, 过点M作ME⊥A C, MF ⊥AD, 垂足分别为E、F．（1）求证: ∠CAB=∠DAB；（2）若∠CAD=90°, 求证: 四边形AEMF是正方形.30．（2019•湖里区模拟）已知：如图, △ABC 中, ∠ABC=90°, BD 是∠ABC 的平分线, DE⊥AB 于点E, DF ⊥BC 于点F ．求证：四边形DEBF 是正方形．初中数学特殊平行四边形的证明参考答案及试题解析一. 解答题（共30小题）1．（2019•泰安模拟）如图, 在△ABC 中, ∠ACB=90°, BC 的垂直平分线DE 交BC 于D, 交AB 于E, F 在DE 上, 并且AF=CE ．（1）求证: 四边形ACEF 是平行四边形；（2）当∠B 满足什么条件时,四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的菱形的判定；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定. 菁优网版权所有结论．考点:考点：专题:证明题.（1）ED是BC的垂直平分线, 根据中垂线的性质: 中垂线上的分析:点线段两个端点的距离相等, 则EB=EC, 故有∠3=∠4, 在直角三角形ACB中, ∠2及∠4互余, ∠1及∠3互余, 则可得到AE=CE, 从而证得△ACE和△EFA都是等腰三角形, 又因为FD⊥BC, AC⊥BC, 所以AC∥FE, 再根据内错角相等得到AF∥CE, 故四边形ACEF是平行四边形；（2）由于△ACE是等腰三角形, 当∠1=60°时△ACE是等边三角形, 有AC=EC, 有平行四边形ACEF是菱形．（2）由于△ACE是等腰三角形，当∠1=60°时△ACE是等边三角形，有AC=EC，有平行四边形ACEF是菱形.（2）由于△ACE是等腰三角形，当∠1=60°时△ACE是等边三角形，有AC=EC，有平行四边形ACEF是菱形．解: （1）∵ED是BC的垂直平分线解答:∴EB=EC, ED⊥BC,∴∠3=∠4,∵∠ACB=90°,∴FE∥AC,∴∠1=∠5,∵∠2及∠4互余, ∠1及∠3互余∴∠1=∠2,∴AE=CE,又∵AF=CE,∴△ACE和△EFA都是等腰三角形,∴∠5=∠F,∴∠2=∠F,∴在△EFA和△ACE中∵,∴△EFA≌△ACE（AAS）,∴∠AEC=∠EAF∴AF∥CE∴四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B=30°时, 四边形ACEF是菱形. 证明如下: ∵∠B=30°, ∠ACB=90°∴∠1=∠2=60°∴∠AEC=60°∴AC=EC∴平行四边形ACEF是菱形.点评:本题综合利用了中垂线的性质、等边对等角和等角对等边、直角三角形的性质、平行四边形和判定和性质、菱形的判定求解, 有利于学生思维能力的训练．涉及的知识点有：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．2. （2019•福建模拟）已知: 如图, 在△ABC中, D.E分别是AB.AC 的中点, BE=2DE, 延长DE到点F, 使得EF=BE, 连接CF.菱形的判定. 菁优网版权所有求证：四边形BCFE是菱形.考点:考点：专题:证明题.分析:由题意易得, EF 及BC 平行且相等, ∴四边形BCFE 是平行四边形．又EF=BE, ∴四边形BCFE 是菱形．解答: 解: ∵BE=2DE, EF=BE,∴EF=2DE. （1分）∵D.E 分别是AB.AC 的中点,∴BC=2DE 且DE ∥BC. （2分）∴EF=BC. （3分）又EF ∥BC,∴四边形BCFE 是平行四边形. （4分）又EF=BE,∴四边形BCFE 是菱形. （5分）∴四边形BCFE 是菱形．（5分）点评: 此题主要考查菱形的判定, 综合利用了平行四边形的性质和判定．3. （2019•深圳一模）如图, 四边形ABCD 中, AB ∥CD, AC 平分∠BAD, CE ∥AD 交AB 于E.（1）求证: 四边形AECD 是菱形；菱形的判定及性质. 菁优网版权所有（2）若点E是AB的中点,试判断△ABC的形状,并说明理由．考点:考点：几何图形问题.专题:（1）利用两组对边平行可得该四边形是平行四边形, 进而证明分析:一组邻边相等可得该四边形为菱形；（2）利用菱形的邻边相等的性质及等腰三角形的性质可得两组角相等, 进而证明∠ACB为直角即可．（2）利用菱形的邻边相等的性质及等腰三角形的性质可得两组角相等，进而证明∠ACB为直角即可.（2）利用菱形的邻边相等的性质及等腰三角形的性质可得两组角相等，进而证明∠ACB为直角即可．解: （1）∵AB∥CD, CE∥AD,解答:∴四边形AECD为平行四边形, ∠2=∠3,又∵AC平分∠BAD,∴∠1=∠2,∴∠1=∠3,∴AD=DC,∴四边形AECD是菱形；（2）直角三角形.理由: ∵AE=EC∴∠2=∠4,∵AE=EB,∴EB=EC,∴∠5=∠B,又因为三角形内角和为180°,∴∠2+∠4+∠5+∠B=180°,∴∠ACB=∠4+∠5=90°,∴△ACB为直角三角形.点评:考查菱形的判定及性质的应用；用到的知识点为：一组邻边相等的平行四边形是菱形；菱形的4条边都相等.4. （2019•济南模拟）如图, 四边形ABCD是矩形, 点E是边AD的中点.求证：矩形的性质；全等三角形的判定及性质. 菁优网版权所有EB=EC.考点:考点：专题: 证明题.分析: 利用矩形的性质结合全等三角形的判定及性质得出△ABE ≌△DCE（SAS）, 即可得出答案．解答: 证明: ∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC, ∠A=∠D=90°,∵点E是边AD的中点,∴AE=ED,在△ABE和△DCE中,,∴△ABE≌△DCE（SAS）,∴EB=EC.∴EB=EC．点评: 此题主要考查了全等三角形的判定及性质以及矩形的性质, 得出△ABE≌△DCE是解题关键．矩形的性质. 菁优网版权所有5. （2019•临淄区校级模拟）如图所示, 在矩形ABCD中, DE⊥AC于点E, 设∠ADE=α,且cosα= ,AB=4, 则AC的长为多少？考点：分析: 根据等角的余角相等, 得∠BAC=∠ADE=α；根据锐角三角函数定义可求AC的长．解答: 解: ∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°, AD∥BC,∴∠EAD=∠ACB,∵在△ABC及△AED中,∵DE⊥AC于E, ∠ABC=90°∴∠BAC=∠ADE=α.∴cos∠BAC=cosα= ,∴AC= = .∴AC==．点评: 此题综合运用了锐角三角函数的知识、勾股定理、矩形的性质.矩形的性质；平行四边形的判定及性质. 菁优网版权所有6.（2019春•宿城区校级月图, 四边形ABCD是矩形, 对角线AC.BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E. 求证:BD=BE.考点:考点：专题: 证明题.分析: 根据矩形的对角线相等可得AC=BD, 对边平行可得AB∥CD,再求出四边形ABEC 是平行四边形, 根据平行四边形的对边相等可得AC=BE, 从而得证．解答: 证明: ∵四边形ABCD 是矩形,∴AC=BD, AB ∥CD,又∵BE ∥AC,∴四边形ABEC 是平行四边形,∴AC=BE,∴BD=BE.∴BD=BE．点评: 本题考查了矩形的性质, 平行四边形的判定及性质, 熟记各性质并求出四边形ABEC 是平行四边形是解题的关键．7. （2019•雅安）如图: 在▱ABCD 中, AC 为其对角线, 过点D 作AC 的平行线及BC 的延长线交于E.（1）求证: △ABC ≌△DCE ；（2）若AC=BC, 求证：四边形ACED为菱菱形的判定；全等三角形的判定及性质；平行四边形的性质. 菁优网版权所有形．考点:考点：专题: 证明题.分析: （1）利用AAS判定两三角形全等即可；（2）首先证得四边形ACED为平行四边形, 然后证得AC=AD,利用邻边相等的平行四边形是菱形判定即可．（2）首先证得四边形ACED为平行四边形，然后证得AC=AD，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定即可.（2）首先证得四边形ACED为平行四边形，然后证得AC=AD，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定即可．解答: 证明: （1）∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB∥CD, AB=CD,∴∠B=∠1,又∵DE∥AC∴∠2=∠E,在△ABC及△DCE中,,∴△ABC≌△DCE；（2）∵平行四边形ABCD中,∴AD∥BC,即AD∥CE,由DE∥AC,∴ACED为平行四边形,∵AC=BC,∴∠B=∠CAB,由AB∥CD,∴∠CAB=∠ACD,又∵∠B=∠ADC,∴∠ADC=∠ACD,∴AC=AD,∴四边形ACED为菱形.点评: 本题考查了菱形的判定等知识, 解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理, 难度不大．8. （2019•贵阳）如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, D.E分别为AB, AC边上的中点, 连接DE, 将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE, 连接AF, AC.（1）求证: 四边形ADCF是菱形；（2）菱形的判定及性质；旋转的性质. 菁优网版权所有若BC=8,AC=6,求四边形ABCF的周长．考点:考点：几何综合题.专题:（1）根据旋转可得AE=CE, DE=EF, 可判定四边形ADCF是平行分析:四边形, 然后证明DF⊥AC, 可得四边形ADCF是菱形；（2）首先利用勾股定理可得AB长, 再根据中点定义可得AD=5, 根据菱形的性质可得AF=FC=AD=5, 进而可得答案．（2）首先利用勾股定理可得AB长，再根据中点定义可得AD=5，根据菱形的性质可得AF=FC=AD=5，进而可得答案.（2）首先利用勾股定理可得AB长，再根据中点定义可得AD=5，根据菱形的性质可得AF=FC=AD=5，进而可得答案．（1）证明: ∵将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE,解答:∴AE=CE, DE=EF,∴四边形ADCF是平行四边形,∵D.E分别为AB, AC边上的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,∵∠ACB=90°,∴∠AED=90°,∴DF⊥AC,∴四边形ADCF是菱形；（2）解: 在Rt△ABC中, BC=8, AC=6,∴AB=10,∵D是AB边上的中点,∴AD=5,∵四边形ADCF是菱形,∴AF=FC=AD=5,∴四边形ABCF的周长为8+10+5+5=28.∴四边形ABCF的周长为8+10+5+5=28．此题主要考查了菱形的判定及性质, 关键是掌握菱形四边相点评:等, 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．9. （2019•遂宁）已知: 如图, 在矩形ABCD中, 对角线AC.BD相交于点O, E是CD中点, 连结OE. 过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F, 连结DF. 求证:（1）△ODE≌△FCE；（2）四边形ODFC是菱形. 考点: 考点：矩形的性质；全等三角形的判定及性质；菱形的判定. 菁优网版权所有专题: 证明题.分析: （1）根据两直线平行, 内错角相等可得∠ODE=∠FCE, 根据线段中点的定义可得CE=DE, 然后利用“角边角”证明△ODE和△FCE全等；（2）根据全等三角形对应边相等可得OD=FC, 再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形, 根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD, 然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．（2）根据全等三角形对应边相等可得OD=FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可.（2）根据全等三角形对应边相等可得OD=FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．解答: 证明: （1）∵CF∥BD,∴∠ODE=∠FCE,∵E是CD中点,∴CE=DE,在△ODE和△FCE中,,∴△ODE≌△FCE（ASA）；（2）∵△ODE≌△FCE,∴OD=FC,∵CF∥BD,∴四边形ODFC是平行四边形,在矩形ABCD中, OC=OD,∴四边形ODFC是菱形.∴四边形ODFC是菱形．点评: 本题考查了矩形的性质, 全等三角形的判定及性质, 菱形的判定, 熟记各性质及平行四边形和菱形的判定方法是解题的关键．10.矩形的判定. 菁优网版权所有（2019•宁德）如图, 在梯形ABCD中,AD∥BC,点E是BC的中点,连接AC,DE,AC=AB,DE∥AB.求证:四边形AECD是矩形.考点:考点：专题: 证明题.分析: 先判断四边形AECD为平行四边形, 然后由∠AEC=90°即可判断出四边形AECD是矩形．解答: 证明: ∵AD∥BC, DE∥AB,∴四边形ABED是平行四边形.∴AD=BE.∵点E是BC的中点,∴EC=BE=AD.∴四边形AECD是平行四边形.∵AB=AC, 点E是BC的中点,∴AE⊥BC, 即∠AEC=90°．∴▱AECD是矩形.∴▱AECD是矩形．点评: 本题考查了梯形和矩形的判定, 难度适中, 解题关键是掌握平行四边形和矩形的判定定理．正方形的性质；全等三角形的判定及性质. 菁优网版权所有11.（2019•钦州）如图,在正方形ABCD中, E、F分别是AB.BC上的点, 且AE=BF.求证:CE=DF.考点:考点：专题: 证明题.分析: 根据正方形的性质可得AB=BC=CD, ∠B=∠BCD=90°, 然后求出BE=CF, 再利用“边角边”证明△BCE和△CDF全等, 根据全等三角形对应边相等证明即可．解答: 证明: 在正方形ABCD中, AB=BC=CD, ∠B=∠BCD=90°, ∵AE=BF,∴AB﹣AE=BC﹣BF,即BE=CF,在△BCE和△CDF中,,∴△BCE≌△CDF（SAS）,∴CE=DF.∴CE=DF．点评: 本题考查了正方形的性质, 全等三角形的判定及性质, 熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键．12. （2019•贵港）如图, 在正方形ABCD中, 点E是对角线AC上一点, 且CE=CD, 过点E作EF⊥AC交AD于点F, 连接BE.（1）求证: DF=AE；正方形的性质；角平分线的性质；勾股定理. 菁优网版权所有（2）当AB=2时,求BE2的值．考点:考点：（1）连接CF, 根据“HL”证明Rt△CDF和Rt△CEF全等, 根分析:据全等三角形对应边相等可得DF=EF, 根据正方形的对角线平分一组对角可得∠EAF=45°, 求出△AEF是等腰直角三角形, 再根据等腰直角三角形的性质可得AE=EF, 然后等量代换即可得证；（2）根据正方形的对角线等于边长的倍求出AC, 然后求出AE, 过点E作EH⊥AB于H, 判断出△AEH是等腰直角三角形, 然后求出EH=AH= AE, 再求出BH, 然后利用勾股定理列式计算即可得解．（2）根据正方形的对角线等于边长的倍求出AC，然后求出AE，过点E作EH⊥AB于H，判断出△AEH是等腰直角三角形，然后求出EH=AH= AE，再求出BH，然后利用勾股定理列式计算即可得解.（2）根据正方形的对角线等于边长的倍求出AC，然后求出AE，过点E作EH⊥AB于H，判断出△AEH是等腰直角三角形，然后求出EH=AH=AE，再求出BH，然后利用勾股定理列式计算即可得解．（1）证明: 如图, 连接CF,解答:在Rt△CDF和Rt△CEF中,,∴Rt△CDF≌Rt△CEF（HL）,∴DF=EF,∵AC是正方形ABCD的对角线,∴∠EAF=45°,∴△AEF是等腰直角三角形,∴AE=EF,∴DF=AE；（2）解: ∵AB=2,∴AC= AB=2 ,∵CE=CD,∴AE=2 ﹣2,过点E作EH⊥AB于H,则△AEH是等腰直角三角形,∴EH=AH= AE= ×（2 ﹣2）=2﹣,∴BH=2﹣（2﹣）= ,在Rt△BEH中, BE2=BH2+EH2=（）2+（2﹣）2=8﹣4 ．本题考查了正方形的性质, 全等三角形的判定及性质, 等腰直点评:角三角形的判定及性质, 勾股定理的应用, 作辅助线构造出全等三角形和直角三角形是解题的关键．13. （2019•吴中区一模）已知: 如图, 菱形ABCD中, E、F分别是CB.CD上的点, ∠BAF=∠DAE.（1）求证: AE=AF ；（2）若AE 垂直平分BC, AF 垂直平分CD, 求证：△AEF 为等边三角形．考点:考点：菱形的性质；全等三角形的判定及性质；等边三角形的判定. 菁优网版权所有专题:证明题. 分析:（1）首先利用菱形的性质得出AB=AD, ∠B=∠D, 进而得出△ABE ≌△ADF （ASA ）, 即可得出答案；（2）利用垂直平分线的性质得出△ABC 和△ACD 都是等边三角形, 进而得出∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°, 求出△AEF 为等边三角形．（2）利用垂直平分线的性质得出△ABC 和△ACD 都是等边三角形，进而得出∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°，求出△AEF 为等边三角形.（2）利用垂直平分线的性质得出△ABC 和△ACD 都是等边三角形，进而得出∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°，求出△AEF 为等边三角形．解答: （1）证明: ∵四边形ABCD 是菱形,∴AB=AD, ∠B=∠D,又∵∠BAF=∠DAE,∴∠BAE=∠DAF,在△ABE和△ADF中,,∴△ABE≌△ADF（ASA）,∴AE=AF；（2）解: 连接AC,∵AE垂直平分BC, AF垂直平分CD,∴AB=AC=AD,∵AB=BC=CD=DA,∴△ABC和△ACD都是等边三角形,∴∠CAE=∠BAE=30°, ∠CAF=∠DAF=30°,∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°,又∵AE=AF,∴△AEF是等边三角形.点评: 此题主要考查了等边三角形的判定及性质以及全等三角形的判定及性质等知识, 熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．14. （2019•新乡菱形的性质. 菁优网版权所有一模）小明设计了一个如图的风筝, 其中, 四边形ABCD及四边形AEFG都是菱形,点C在AF上, 点E, G分别在BC,CD上, 若∠BAD=135°, ∠EAG=75°,AE=100cm, 求菱形ABCD的边长.考点:考点：分析: 根据菱形的性质可得出∠BAE=30°, ∠B=45°, 过点E作EM⊥AB于点M, 设EM=x, 则可得出AB、AE的长度, 继而可得出的值, 求出AB即可．解答: 解: ∵∠BAD=135°, ∠EAG=75°, 四边形ABCD及四边形AEFG都是菱形,∴∠B=180°﹣∠BAD=45°, ∠BAE=∠BAC﹣∠EAC=30°,过点E作EM⊥AB于点M, 设EM=x,在Rt△AEM中, AE=2EM=2x, AM= x,在Rt△BEM中, BM=x,则= = ,∵AE=100cm, ∴AB=50（+1）cm,∴菱形ABCD的边长为：50（+1）cm.点评: 本题考查了菱形的性质及解直角三角形的知识, 属于基础题, 关键是掌握菱形的对角线平分一组对角．15. （2019菱形的性质. 菁优网版权所有•槐荫区三模）如图,菱形ABCD的边长为1, ∠D=120°.求对角线AC的长.考点:考点：分析: 连接BD及AC交于点O, 根据菱形的性质可得AB=AD, AC=2AO, ∠ADB= ∠ADC, AC⊥BD, 然后判断出△ABD是等边三角形, 根据等边三角形的性质求出AO, 再根据AC=2AO计算即可得解．解答: 解: 如图, 连接BD及AC交于点O,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD, AC=2AO, ∠ADB= ∠ADC, AC⊥BD,∵∠D=120°,∴∠ADB=60°,∴△ABD是等边三角形,∴AO=AD×sin∠ADB= ,∴AC=2AO= .点评: 本题考查了菱形的性质, 等边三角形的判定及性质, 熟记性质并作辅助线构造出等边三角形是解题的关键．16.菱形的性质；勾股定理. 菁优网版权所有（2019•历城区一模）如图, 已知菱形ABCD的对角线AC.BD的长分别为6cm、8cm,AE⊥BC于点E, 求AE的长.考点：分析: 根据菱形的对角线互相垂直平分求出CO、BO, 再利用勾股定理列式求出BC, 然后利用菱形的面积等于底乘以高和对角线乘积的一半列出方程求解即可．解答: 解: ∵四边形ABCD是菱形,∴CO= AC=3cm, BO= BD=4cm, AO⊥BO,∴BC= = =5cm,∴S菱形ABCD= =BC•AE,即×6×8=5•AE,解得AE= cm.答：AE的长是cm.答: AE的长是cm．答：AE 的长是cm．点评: 本题考查了菱形的性质, 勾股定理, 熟记菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键, 难点在于利用菱形的面积列出方程．17. （2019•湖南校级模拟）如图, AE=AF, 点B.D分别在AE、AF上, 四边形ABCD是菱形, 连接EC.FC（1）求证: EC=FC；（2）若菱形的性质；全等三角形的判定及性质. 菁优网版权所有∠A=60°,求△AEF的周长．考点:考点：分析: （1）连接AC, 根据菱形的对角线平分一组对角可得∠CAE=∠CAF, 然后利用“边角边”证明△ACE和△ACF全等, 根据全等三角形对应边相等可得EC=FC；（2）判断出△AEF是等边三角形, 然后根据等边三角形的三条边都相等解答．（2）判断出△AEF是等边三角形，然后根据等边三角形的三条边都相等解答.（2）判断出△AEF是等边三角形，然后根据等边三角形的三条边都相等解答．解答: （1）证明: 如图, 连接AC,∵四边形ABCD是菱形,∴∠CAE=∠CAF,在△ACE和△ACF中,,∴△ACE≌△ACF（SAS）,∴EC=FC；（2）解: 连接EF,∵AE=AF, ∠A=60°,∴△AEF是等边三角形,∴△AEF的周长=3AE=3×2=6.点评: 本题考查了菱形的性质, 全等三角形的判定及性质, 等边三角形的判定及性质, 熟记各性质并作出辅助线是解题的关键．18. （2019•清河区一模）如图, 在△ABC中, AB=AC, 点D.E、F分别是△ABC三边的中点.求证：菱形的判定；三角形中位线定理. 菁优网版权所有四边形ADEF是菱形.考点:专题: 证明题.分析: 利用三角形中位线的性质得出DE AC, EF AB, 进而得出四边形ADEF 为平行四边形．, 再利用DE=EF 即可得出答案．解答: 证明: ∵D.E 、F 分别是△ABC 三边的中点,∴DE AC, EF AB,∴四边形ADEF 为平行四边形.又∵AC=AB,∴DE=EF.∴四边形ADEF 为菱形.∴四边形ADEF 为菱形．点评: 此题主要考查了三角形中位线的性质以及平行四边形的判定和菱形的判定等知识, 熟练掌握菱形判定定理是解题关键．19. （2019春•防城区期末）如图, 已菱形的判定；全等三角形的判定及性质；平行四边形的性质. 菁优网版权所有形ABCD是平行四边形, DE⊥AB,DF⊥BC, 垂足分别是为E, F,并且DE=DF.求证:四边形ABCD是菱形.考点:考点：专题: 证明题.分析: 首先利用已知条件和平行四边形的性质判定△ADE≌△CDF, 再根据邻边相等的平行四边形为菱形即可证明四边形ABCD是菱形．解答: 证明: 在△ADE和△CDF中,∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,∵DE⊥AB, DF⊥BC,∴∠AED=∠CFD=90°.又∵DE=DF,∴△ADE≌△CDF（AAS）∴DA=DC,∴平行四边形ABCD是菱形.∴平行四边形ABCD是菱形．点评: 本题考查了平行四边形的性质, 全等三角形的判定和性质以及菱形的判定方法, 解题的关键是熟练掌握各种图形的判定和性质．20. （2019•通州区一模）如图, 在四边形ABCD中, AB=DC, E、F分别是AD.BC的中点, G、H分别是对角线BD.AC的中点.（1）求证: 四边形EGFH是菱形；（2）若AB=1, 则当∠ABC+∠DCB=90°时, 求四边形EGFH 的面积．考点:考点：菱形的判定及性质；正方形的判定及性质；中点四边形. 菁优网版权所有分析: （1）利用三角形的中位线定理可以证得四边形EGFH 的四边相等, 即可证得；（2）根据平行线的性质可以证得∠GFH=90°, 得到菱形EGFH 是正方形, 利用三角形的中位线定理求得GE 的长, 则正方形的面积可以求得．（2）根据平行线的性质可以证得∠GFH=90°，得到菱形EGFH 是正方形，利用三角形的中位线定理求得GE 的长，则正方形的面积可以求得.（2）根据平行线的性质可以证得∠GFH=90°，得到菱形EGFH 是正方形，利用三角形的中位线定理求得GE 的长，则正方形的面积可以求得．解答: （1）证明: ∵四边形ABCD中, E、F、G、H分别是AD.BC.BD.AC 的中点,∴FG= CD, HE= CD, FH= AB, GE= AB.∵AB=CD,∴FG=FH=HE=EG.∴四边形EGFH是菱形.（2）解: ∵四边形ABCD中, G、F、H分别是BD.BC.AC的中点,∴GF∥DC, HF∥AB.∴∠GFB=∠DCB, ∠HFC=∠ABC．∴∠HFC+∠GFB=∠ABC+∠DCB=90°.∴∠GFH=90°.∴菱形EGFH是正方形.∵AB=1,∴EG= AB= .∴正方形EGFH的面积=（）2= .点评: 本题考查了三角形的中位线定理, 菱形的判定以及正方形的判定, 理解三角形的中位线定理是关键．21. （2019•顺义区二模）如图, 在△ABC中, D.E分别是AB.AC的中点, BE=2DE, 过点C作CF∥BE交DE的延长线于F.（1）求证: 四边形BCFE是菱形；（2）若菱形的判定及性质. 菁优网版权所有CE=4, ∠BCF=120°,求菱形BCFE的面积．考点:考点：分析: （1）由题意易得, EF及BC平行且相等, 故四边形BCFE 是平行四边形. 又麟边EF=BE, 则四边形BCFE是菱形；（2）连结BF, 交CE于点O．利用菱形的性质和等边三角形的判定推知△BCE是等边三角形．通过解直角△BOC求得BO的长度, 则BF=2BO．利用菱形的面积= CE•BF进行解答．（2）连结BF，交CE于点O. 利用菱形的性质和等边三角形的判定推知△BCE是等边三角形. 通过解直角△BOC求得BO的长度，则BF=2BO. 利用菱形的面积= CE•BF进行解答.（2）连结BF，交CE于点O．利用菱形的性质和等边三角形的判定推知△BCE是等边三角形．通过解直角△BOC求得BO的长度，则BF=2BO．利用菱形的面积=CE•BF进行解答．解答: （1）证明: ∵D.E分别是AB.AC的中点,∴DE∥BC, BC=2DE.∵CF∥BE,∴四边形BCFE是平行四边形.∵BE=2DE, BC=2DE,∴BE=BC.∴□BCFE是菱形；（2）解: 连结BF, 交CE于点O.∵四边形BCFE是菱形, ∠BCF=120°,∴∠BCE=∠FCE=60°, BF⊥CE,∴△BCE是等边三角形.∴BC=CE=4.∴.∴.点评: 此题主要考查菱形的性质和判定以及面积的计算, 使学生能够灵活运用菱形知识解决有关问题．22. （2019•祁阳县校级模拟）如图, O为矩形ABCD对角线的交点, DE ∥AC, CE∥BD.矩形的性质；菱形的判定. 菁优网版权所有（1）求证: 四边形OCED是菱形.（2）若AB=6,BC=8,求四边形OCED的周长．考点:考点：分析: （1）根据矩形性质求出OC=OD, 根据平行四边形的判定得出四边形OCED是平行四边形, 根据菱形判定推出即可；（2）根据勾股定理求出AC, 求出OC, 得出OC=OD=CE=ED=5,相加即可．（2）根据勾股定理求出AC，求出OC，得出OC=OD=CE=ED=5，相加即可.（2）根据勾股定理求出AC，求出OC，得出OC=OD=CE=ED=5，相加即可．解答: （1）证明: ∵四边形ABCD是矩形,∴AC=2OC, BD=2OD, AC=BD,∴OD=OC,∵DE∥AC, CE∥BD,∴四边形OCED是菱形.（2）解: ∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,∵AB=6, BC=8,∴在Rt△ABC中, 由勾股定理得: AC=10,即OC= AC=5,∵四边形OCED是菱形,∴OC=OD=DE=CE=5,∴四边形OCED的周长是5+5+5+5=20.∴四边形OCED的周长是5+5+5+5=20．。

特殊平行四边形矩形的性质和判定解析

在梯形ABCD中,AD∥BC,∵AB=DC,∴∠A=∠D, ∠B=∠C.
证明后的结论,以后可以直接运用.
等腰梯形的性质
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定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.
在梯形ABCD中,AD∥BC,∵∠A=∠D或∠B=∠C,∴AB=DC.
定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形.
在梯形ABCD中,AD∥BC,∵AC=DB.∴AB=DC.
求证:四边形ABCD是矩形.
分析:要证明ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.证明:∴AB=CD,AB∥CD.
∵AC=DB,BC=CB,
∴ △ABC≌△DCB.
∴∠ABC=∠DCB.
∵四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC+∠DCB=1800.
∴∠ABC=900.
∴四边形ABCD是矩形.
矩形的判定
定理:夹在两条平等线间的平等线段相等.
∵MN∥PQ,AB∥CD,∴AB=CD.
平行四边形的性质
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定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形的.
∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形.
特殊的平行四边形之间呢？
还记得它们与平行四边形的关系吗?
能用一张图来表示它们之间的关系吗?
四边形之间的关系
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定理:矩形的四个角都是直角.
已知:如图,四边形ABCD是矩形.
分析:由矩形的定义,利用对角相等,邻角互补可使问题得证.
证明:
∵ 四边形ABCD是矩形,

平行四边形的性质与判定

平行四边形的性质与判定平行四边形是一种特殊的四边形，具有独特的性质和判定条件。

在本文中，我们将介绍平行四边形的定义、性质以及相关的判定方法，帮助读者更好地理解和应用于数学问题中。

一、平行四边形的定义平行四边形是指具有两对对边互相平行的四边形。

具体而言，平行四边形的对边分别是平行的，而且对边之间的夹角相等。

根据这个定义，我们可以推导出平行四边形的一些重要性质。

二、平行四边形的性质1. 对边性质：平行四边形的对边是平行的。

证明：设ABCD是一个平行四边形，连接AC和BD两条线段。

根据平行四边形的定义，AB∥CD，而且AD∥BC。

根据平行线的性质，AB与CD以及AD与BC之间的对应角相等，即∠A=∠C，∠B=∠D。

因此，对边之间的夹角相等。

2. 对角性质：平行四边形的对角相等。

证明：设ABCD是一个平行四边形，连接AC和BD两条线段。

同上述证明过程，我们知道∠A=∠C，∠B=∠D。

另外，由于AB∥CD，AD∥BC，根据同位角定理可知∠BAD=∠CDA，∠ABD=∠CBD。

由于对角之间的夹角相等，所以平行四边形的对角相等。

3. 同位角性质：平行四边形的同位角互相等于180度。

证明：设ABCD是一个平行四边形，连接AC和BD两条线段。

根据上述证明过程，我们知道∠A=∠C，∠B=∠D。

根据同位角定理，∠BAD+∠ABC=180度，而∠CDA+∠CDB=180度。

因此，平行四边形的同位角互相等于180度。

三、平行四边形的判定方法在实际问题中，我们常常需要根据给定的条件，判定一个四边形是否为平行四边形。

以下是两种常见的判定方法：1. 对边判定法：如果一个四边形的对边是平行的，则该四边形为平行四边形。

证明：设ABCD是一个四边形，已知AB∥CD，AD∥BC。

为了判定ABCD是否为平行四边形，我们需要证明对边之间的夹角相等。

根据平行线的性质，AB与CD以及AD与BC之间的对应角相等，即∠A=∠C，∠B=∠D。

因此，ABCD是一个平行四边形。