结构力学第四章

单位位移法：
在应用虚位移原理时，特别的假设发生单位位移。
求解步骤：
（1）解除所求约束力的约束，代之以约束力，得k状态。 （2）沿所求约束力的方向给以一位虚位移，得m状态。 （3）由虚位移原理建立虚功方程，求解约束力。
例 利用单位位移法求两跨静定梁在图示荷载下的支座D的反力和截面E的 弯矩。
解 ： 1.求支座反力 ： ，得
第四章 静定结构的位移计算
§4-1 §4-2 §4-3 §4-4 §4-5 §4-6 概述 外力虚功与虚变形功 虚功原理 虚位移原理与单位位移法 虚力原理、单位荷载法 杆件结构的位移计算公式 及荷载作用下的位移计算
§4-7
§4-8 §4-9
图乘法
支座移动、温度改变时的位移计算 互等定理
§4-1
概 述
一、工程结构在荷载、温度变化、支座移动等因素下，结 构的形状一般会发生变化——变形（或形变），结构 的截面位置一般会发生改变——位移（线位移和角位 移）。
荷载作用
温度变化
支座移动
相对位移
二、结构位移计算的目的
（1） 结构设计必须经过刚度校核。 （2）结构施工阶段常常需要估算结构可能变更位置以便作出相应的工 程措施。 （3）结构位移计算是分析超静定结构以及结构动力分析，稳定分析等 的基础。
图的面积
例 悬臂刚架如图所示，外边温度升高10度，内边温度升高20度，求悬臂 端的竖向位移，已知h=20cm，α=120E-7/度。
解：1.建立虚力状态：
2.作 图：
3.计算位移：
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§4-9
一、虚功互等
互等定理
建立虚功方程：
虚功互等定理可叙述为：k状态的力因m状态的位移所作的虚功，等于 m状态的力因k状态的位移所作的虚功。
（1）解除D支座，代之一约束力 静力状态k； （2）虚设单位位移 得位移状态m； （3）虚功方程： ，
2.求截面E的弯矩
：
，
（1）将截面E换成铰，并加上 得k状态； （2）沿 正向给单位虚位移 得m状态； （3）虚功方程
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§4-5 虚力原理、单位荷载法
虚力原理：
变形体系在任意外来因素作用下的位移系协调的充分必要条件是，当 有任意虚拟的静力平衡系时，力系中的外力经位移系中的位移所作的虚 功恒等于变形体系各微段外力在变形位移上的虚功和。 静力平衡系 （虚拟） 位移协调系 （真实）
解： （1）建立虚力状态 （2）分别作内力图 M p , M k
（3）用图乘法计算位移
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§4-8
支座移动、温度改变时的位移计算
均为零，结构上k处发生位
一、支座移动时的位移计算
静定结构支座移动 时， 移 ； 虚力状态的支座反力记为： 由虚功原理：
例 图示结构，若支座B发生水平移动，即B点向右移动一距离a，试求 C铰左右两截面的相对转角φ。 解：（1）建立虚力状态：
静力状态k的集中力
在位移状态m的位移Δkm 上所作的虚功：
2.力偶虚功：
静力状态k的力偶
在位移状态m的角位移θkm
上所作的虚功：
3.均布力虚功：
静力状态k的均布力在位移状态m 上所作的虚功：
4.等量反向共线的两集中力的虚功：
静力状态k的力在位移状态m 上所作的虚功：
平衡力系在刚体位移上的虚功=？
四、结构各微段外力在变形位移上的虚功和。
取微段进行分析：
微段静力状态k的力在位移状态m 上所作的虚功：
第i杆件的虚功：
平面杆件结构各微段外力在变形位移上的虚功和（虚变形功）：
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§4-3 虚功原理
静力平衡系（静力状态k）：满足结构整体和局部平衡条件以静力边 界条件，并遵循作用和反作用定律的力系。 位移协调系（位移状态m）：在结构的边界和内部都必须是分段光滑 连续的，在边界上满足位移边界条件且是微小的位移系。
（2）求有移动的支座的反力：
（3）
二、温度改变的位移计算
结构由于温度改变（设变温沿杆长不变，沿截面高度直线变化）而 变形并引起位移： 杆轴线处平均温度变化： 线段伸长为： 线段两端截面的相对转角： 为最外纤维温度差。 温度改变不引起剪应变
图的面积
符号规定：轴力以拉为正，压力为负。 受拉边的变温定义为 。
常见图形的面积和形心位置：
常见图形图乘结果：
例
求图示刚架C点的水平线
。
解：1.建立虚力状态： 2.作 图： 3.图乘：
例 设有一矩阵钢筋混凝土渡槽，如图（a）所示，槽深的计算简图如 图（b）所示，试求槽内最高水位时 A、B两点的相对位移。已 7 2 3 4 4 3 EI 2.1 10 kN / m 2.81 10 m 5.91 10 kN . m , 10kN / m 知 。 水 （设结构自重不计，并略去轴力及剪力对位移的影响）。
由虚功互等： 即：
反力位移互等定理可叙述为：沿k方向的单位力在沿m方向引起的反力， 等于m方向发生单位位移时，在沿k方向引起的位移，但符号相反。
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解：1. 角位移 （1）虚力状态 （2）列内力方程
（3）
2. 竖向位移 （1）虚力状态 （2）列内力方程
（3）
2. 水平位移 （1）虚力状态 （2）列内力方程
（3）
例 求图示对称桁架在荷载作用下结点4的竖向位移，设 E 2100kN / cm ，图 2 中括弧内的数值为杆件截面面积A（ cm ）。
一、位移公式
单位荷载法：
二、荷载作用下的位移计算公式
荷载作用下:
例
求简支梁AB，受均布荷载q时跨度中点的挠度。已知E、I。
解：1. 建立虚力状态： 2. 内力公式：
取
，设矩形截面
一般地：
在梁的计算中可略去轴力、剪力的影响； 在深梁的计算中必须考虑剪力的影响。
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例 求图示四分之一圆弧的曲梁的自由端的角位移与线位移
三、虚功原理是结构位移计算的基础。
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§4-2
一、功

外力虚功与虚变形功
二、实功与虚功
1.位移是作功的力引起的。 实功：
Δp相对于Fp而言为实位移。
2.位移不是作功的力引起的 虚功：
3.实功计算不满足叠加原理；虚功计算满足叠加原理。
三、结构的外力虚功
静力状态：结构在k处所方向受广义力 作用处于平衡状态。 位移状态：结构由于其它原因而产生位移。其中k处所方向的广义位移 为Δkm k状态的外力在m状态的虚位移上所作的虚功： 1、集中力的虚功
2
解：（1）桁架各杆的剪力和弯矩为零，轴力为常数，建立虚力方程，位移公式简 化为
式中，l为杆件长度 （2）求 FNP , FNk
（3）列表计算
（4）计算
§4-7
图乘法
使用条件：均质、常截面直杆； 至少一个内力图按直线变化。
位移计算公式中的积分可以用图乘法：
（1）用一内力图的面积A乘以该内力图面积的形心所对应的直线内力图 的纵距 ； （2）面积A与纵距 在杆轴同侧，则乘积 取正号，反之取负号。
按结构整体计算k状态的力在m状态的位移所作虚功：
外力虚功：
各截面内力虚功总和为零。 显然有：
虚功原理的讨论：
（1）试用线性、非线性、小变形问题。 （2）利用虚功原理解决平衡问题、几何问题。 （3）刚体虚功原理： 或
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§4-4
虚位移原理：
虚位移原理与单位位移法
变形体系在力系作用下成平衡的必要与充分条件是，当有任意 虚拟的位移协调系（即虚位移）时，力系中的外力经位移系中 的位移所作的虚功恒等于变形体系各微段外力在变形位移上的 虚功和。 位移协调系 （虚拟） 静力平衡系 （真实）
虚功原理：
设有一变形体系，分布存在两个独立无关的静力平衡系和位移协 调系，则力系中的外力经位移系中的位移所作的虚功恒等于变形 体系各微段外力在变形位移上虚功和。即：
以平面刚架为例证明虚功原理： 静力平衡力系k： 截面内力分量： 微段外力满足平衡条件：
位移协调系m： 各点的位移分量：
按微段计算k状态的力在m状态的位移所作虚功：
二、位移互等定理
在虚功互等定理中，令 则：
位移互等定理可叙述为：沿k方向的单位力在沿m方向引起的位移，等 于沿m方向的单位力在沿k方向引起的位移。
三、反力互等定理
由虚功互等： 即：
反力互等定理可叙述为：k支座发生单位位移时在m支座内引起反力， 等于m支座发生单位位移时在k支座内引起反力。
四、反力位移互等定理
单位荷载法：
在应用虚力原理时，特别的假设单位荷载。
求解步骤：
（1）沿所求位移的方向加上对应的单位虚力，得静力状态k。 （2）实际位移状态m，建立虚功方程。
例 动
试用单位荷载法求图示两跨静定梁，由于中间支座B向下移 ，中间铰C的竖向位移 。
解：
1.建立静力状态k： 2.建立虚功方程：
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§4-6
杆件结构的位移计算公式及荷载作用 下的位移计算