结构力学第四章

按结构整体计算k状态的力在m状态的位移所作虚功：
外力虚功：
各截面内力虚功总和为零。 显然有：
虚功原理的讨论：
（1）试用线性、非线性、小变形问题。 （2）利用虚功原理解决平衡问题、几何问题。 （3）刚体虚功原理： 或
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§4-4
虚位移原理：
虚位移原理与单位位移法
变形体系在力系作用下成平衡的必要与充分条件是，当有任意 虚拟的位移协调系（即虚位移）时，力系中的外力经位移系中 的位移所作的虚功恒等于变形体系各微段外力在变形位移上的 虚功和。 位移协调系 （虚拟） 静力平衡系 （真实）
图的面积
例 悬臂刚架如图所示，外边温度升高10度，内边温度升高20度，求悬臂 端的竖向位移，已知h=20cm，α=120E-7/度。
解：1.建立虚力状态：
2.作 图：
3.计算位移：
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§4-9
一、虚功互等
互等定理
建立虚功方程：
虚功互等定理可叙述为：k状态的力因m状态的位移所作的虚功，等于 m状态的力因k状态的位移所作的虚功。
单位位移法：
在应用虚位移原理时，特别的假设发生单位位移。
求解步骤：
（1）解除所求约束力的约束，代之以约束力，得k状态。 （2）沿所求约束力的方向给以一位虚位移，得m状态。 （3）由虚位移原理建立虚功方程，求解约束力。
例 利用单位位移法求两跨静定梁在图示荷载下的支座D的反力和截面E的 弯矩。
解 ： 1.求支座反力 ： ，得
二、位移互等定理
在虚功互等定理中，令 则：
位移互等定理可叙述为：沿k方向的单位力在沿m方向引起的位移，等 于沿m方向的单位力在沿k方向引起的位移。
三、反力互等定理
由虚功互等： 即：
反力互等定理可叙述为：k支座发生单位位移时在m支座内引起反力， 等于m支座发生单位位移时在k支座内引起反力。
四、反力位移互等定理
单位荷载法：
在应用虚力原理时，特别的假设单位荷载。
求解步骤：
（1）沿所求位移的方向加上对应的单位虚力，得静力状态k。 （2）实际位移状态m，建立虚功方程。
例 动
试用单位荷载法求图示两跨静定梁，由于中间支座B向下移 ，中间铰C的竖向位移 。
解：
1.建立静力状态k： 2.建立虚功方程：
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§4-6
杆件结构的位移计算公式及荷载作用 下的位移计算
2
解：（1）桁架各杆的剪力和弯矩为零，轴力为常数，建立虚力方程，位移公式简 化为
式中，l为杆件长度 （2）求 FNP , FNk
（3）列表计算
（4）计算
§4-7
图乘法
使用条件：均质、常截面直杆； 至少一个内力图按直线变化。
位移计算公式中的积分可以用图乘法：
（1）用一内力图的面积A乘以该内力图面积的形心所对应的直线内力图 的纵距 ； （2）面积A与纵距 在杆轴同侧，则乘积 取正号，反之取负号。
解：1. 角位移 （1）虚力状态 （2）列内力方程
（3）
2. 竖向位移 （1）虚力状态 （2）列内力方程
（3）
2. 水平位移 （1）虚力状态 （2）列内力方程
（3）
例 求图示对称桁架在荷载作用下结点4的竖向位移，设 E 2100kN / cm ，图 2 中括弧内的数值为杆件截面面积A（ cm ）。
由虚功互等： 即：
反力位移互等定理可叙述为：沿k方向的单位力在沿m方向引起的反力， 等于m方向发生单位位移时，在沿k方向引起的位移，但符号相反。
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四、结构各微段外力在变形位移上的虚功和。
取微段进行分析：
微段静力状态k的力在位移状态m 上所作的虚功：
第i杆件的虚功：
平面杆件结构各微段外力在变形位移上的虚功和（虚变形功）：
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§4-3 虚功原理
静力平衡系（静力状态k）：满足结构整体和局部平衡条件以静力边 界条件，并遵循作用和反作用定律的力系。 位移协调系（位移状态m）：在结构的边界和内部都必须是分段光滑 连续的，在边界上满足位移边界条件且是微小的位移系。
静力状态k的集中力
在位移状态m的位移Δkm 上所作的虚功：
2.力偶虚功：
静力状态k的力偶
在位移状态m的角位移θkm
上所作的虚功：
3.均布力虚功：
静力状态k的均布力在位移状态m 上所作的虚功：
4.等量反向共线的两集中力的虚功：
静力状态k的力在位移状态m 上所作的虚功：
平衡力系在刚体位移上的虚功=？
（2）求有移动的支座的反力：
（3）
二、温度改变的位移计算
结构由于温度改变（设变温沿杆长不变，沿截面高度直线变化）而 变形并引起位移： 杆轴线处平均温度变化： 线段伸长为： 线段两端截面的相对转角： 为最外纤维温度差。 温度改变不引起剪应变
图的面积
符号规定：轴力以拉为正，压力为负。 受拉边的变温定义为 。
一、工程结构在荷载、温度变化、支座移动等因素下，结 构的形状一般会发生变化——变形（或形变），结构 的截面位置一般会发生改变——位移（线位移和角位 移）。
荷载作用
温度变化
支座移动
相对位移
二、结构位移计算的目的
（1） 结构设计必须经过刚度校核。 （2）结构施工阶段常常需要估算结构可能变更位置以便作出相应的工 程措施。 （3）结构位移计算是分析超静定结构以及结构动力分析，稳定分析等 的基础。
解： （1）建立虚力状态 （2）分别作内力图 M p , M k
（3）用图乘法计算位移
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§4-8
支座移动、温度改变时的位移计算
均为零，结构上k处发生位
一、支座移动时的位移计算
静定结构支座移动 时， 移 ； 虚力状态的支座反力记为： 由虚功原理：
例 图示结构，若支座B发生水平移动，即B点向右移动一距离a，试求 C铰左右两截面的相对转角φ。 解：（1）建立虚力状态：
第四章 静定结构的位移计算
§4-1 §4-2 §4-3 §4-4 §4-5 §4-6 概述 外力虚功与虚变形功 虚功原理 虚位移原理与单位位移法 虚力原理、单位荷载法 杆件结构的位移计算公式 及荷载作用下的位移计算
§4-7
§4-8 §4-9
图乘法
支座移动、温度改变时的位移计算 互等定理
§4-1
概 述
三、虚功原理是结构位移计算的基础。
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§4-2
一、功
外力虚功与虚变形功
二、实功与虚功
1.位移是作功的力引起的。 实功：
Δp相对于Fp而言为实位移。
2.位移不是作功的力引起的 虚功：
3.实功计算不满足叠加原理；虚功计算满足叠加原理。
三、结构的外力虚功
静力状态：结构在k处所方向受广义力 作用处于平衡状态。 位移状态：结构由于其它原因而产生位移。其中k处所方向的广义位移 为Δkm k状态的外力在m状态的虚位移上所作的虚功： 1、集中力的虚功
虚功原理：
设有一变形体系，分布存在两个独立无关的静力平衡系和位移协 调系，则力系中的外力经位移系中的位移所作的虚功恒等于变形 体系各微段外力在变形位移上虚功和。即：
以平面刚架为例证明虚功原理： 静力平衡力系k： 截面内力分量： 微段外力满足平衡条件：
位移协调系m： 各点的位移分量：
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按微段计算k状态的力在m状态的位移所作虚功：
一、位移公式
单位荷载法：
二、荷载作用下的位移计算公式
荷载作用下:
例
求简支梁AB，受均布荷载q时跨度中点的挠度。已知E、I。
解：1. 建立虚力状态： 2. 内力公式：
取
，设矩形截面
一般地：
在梁的计算中可略去轴力、剪力的影响； 在深梁的计算中必须考虑剪力的影响。
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例 求图示四分之一圆弧的曲梁的自由端的角位移与线位移
（1）解除D支座，代之一约束力 静力状态k； （2）虚设单位位移 得位移状态m； （3）虚功方程： ，
2.求截面E的弯矩
：
，
（1）将截面E换成铰，并加上 得k状态； （2）沿 正向给单位虚位移 得m状态； （3）虚功方程
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§4-5 虚力原理、单位荷载法
虚力原理：
变形体系在任意外来因素作用下的位移系协调的充分必要条件是，当 有任意虚拟的静力平衡系时，力系中的外力经位移系中的位移所作的虚 功恒等于变形体系各微段外力在变形位移上的虚功和。 静力平衡系 （虚拟） 位移协调系 （真实）
常见图形的面积和形心位置：
常见图形图乘结果：
例
求图示刚架C点的水平线
。
解：1.建立虚力状态： 2.作 图： 3.图乘：
例 设有一矩阵钢筋混凝土渡槽，如图（a）所示，槽深的计算简图如 图（b）所示，试求槽内最高水位时 A、B两点的相对位移。已 7 2 3 4 4 3 EI 2.1 10 kN / m 2.81 10 m 5.91 10 kN . m , 10kN / m 知 。 水 （设结构自重不计，并略去轴力及剪力对位移的影响）。