积分求圆球面积和体积

积分法求圆球的表面积与体积 方法一:

如图圆O 的方程为2

2

2

R y x =+, 22x R y -=

将圆O 绕X 轴旋转一周,得到一个圆球体

从X 负半轴到X 正半轴将直径2R 等分n 份)(∞→n 每份长为x ∆

球体也同时被垂直分成n 份薄片 每片的半径为22x R r -=

每片分得弧长为l d 如图:当无限等分后

(1)CE d l ≈弧 (2)CE OC ⊥ (3)x EH ∆=

易证CEH OCX ∆∝∆

CX OC EH CE =⇒CX

EH

OC CE ⨯=

x x

R R l ∆-=

∆⇒2

2

弧

薄片的球面面积x x

R R x

R l r S ∆--=∆=∆2

2

2

22)2(ππ

x R S ∆=∆π2

球面面积⎰

⎰

+-+-==

R

R

R

R

Rx Rdx ππ22=2

4R π

方法二:

如图圆O 的方程为2

2

2

R y x =+, 22x R y -=

将圆O 绕X 轴旋转一周,得到一个圆球体

沿X 轴正方向到X 轴负方向将圆心角等分n 份

)(∞→n 每份为θ∆,),0(πθ∈

球体也同时被垂直分割成n 份薄片

每片弧长相等对应圆心角为θ∆ 每片对应的半径为θsin R r =

当0→∆θ时

(1)θ∆=∠BOC (2)CB CB 弧弦≈ (3)CB OB ⊥ 薄片周长θπsin 2R L = 薄片的(宽))sin(θ∆=R h

薄片外围面积)sin(sin 2θθπ∆⨯=∆R R S )sin(sin 22

θθπ∆=R θθπ∆=sin 22R

20

224cos 2sin 2R R R S πθπθθπππ

=-=∆=⎰⎰

方法三:

如图圆O 的方程为2

2

2

R y x =+, 22x R y -=

将圆O 绕Y 轴旋转一周,得到一个圆球体

沿Y 轴负方向到Y 轴正方向将圆心角等分n 份)(∞→n 每份为θ∆,)2

,2(π

πθ-

∈ 球体也同时被水平分割成n 份薄片

每片弧长相等对应圆心角为θ∆ 每片对应的半径为θcos R r =

如图取OC oB →这一份进行研究 当0→∆θ时

(1)θ∆=∠BOC (2)CB CB 弧弦≈ (3)CB OC ⊥ 薄片周长θπcos 2R L = 薄片的厚(高))sin(θ∆=R h

薄片外围面积)sin(cos 2θθπ∆⨯=∆R R S )sin(cos 22

θθπ∆=R 由极限:当0→x 时

1sin =x

x

⇒ 当 0→x 时x x =sin 故 )sin(cos 22

θθπ∆=∆R S θθπ∆=cos 22

R

2

22

22

2

2

4sin 2cos 2R R R S πθπθθππ

ππ

π==∆=⎰⎰-

-

积分法求圆球的体积 方法一:

如图圆O 的方程为2

2

2

R y x =+, 22x R y -=

将圆O 绕X 轴旋转一周,得到一个圆球体

在X 轴正方向将半径R 等分n 份)(∞→n 每份长为

x ∆

球体也同时被垂直分成n 份薄片 每片的半径为22x R r -=

每份薄片的体积x r V ∆=∆2

π

x x R ∆-=)(2

2

π 半球体积⎰⎰⎰

∆-∆=∆-=

R R

R

x x x R x x R V 0

220

22)(2

1πππ

3030

2

3

231R x x R R R

πππ=-=⎰⎰

3

3

4R V π=

方法二:

如图圆O 的方程为2

2

2

R y x =+, 22x R y -=

将圆O 绕X 轴旋转一周,得到一个圆球体

自球内向外将将球体等分n 层球体环)(∞→n 每层厚为x ∆ 球体水平半径R 也同时被水平分成n 份 任取一层(如图中红色一圈球体环) 表面积 2

4x s π= 厚度x d ∆=

x x V ∆=∆24π

⎰∆=R x x V 024π=⎰R x 0334

π

334R V π=

（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）