两点边值问题的有限元解法【文献综述】
两点边值问题的五次元有限体积法
文献 ［—］ 究 了两 点边 值 问题 的有 限体 积元 法 ；文献 ［ －］ 出了一 次元 有 限体 积元 法各 种 模 下 的误 ３５ 研 ６７ 给 差估 计 ； 献 ［ ］ 究 了 Ｌｇａｇ 二 次 元有 限体 积 元 法 ； 献 ［ ］ 出 了 Ｈｅｍｔ 三 次元 有 限体 积元 文 ４研 ａｒｎｅ 文 ５给 ｒｉ ｅ型
Ｋｅ ｙ ｗｏｒ ｄｓ：ｆｎ ｔ ｏｕ ｌｍｅ ｔ ｄ；ｔ ａ ｕ ｔｏ ｐ ｃ ｓ ｕ ｌｐａｔｔｏ ｉ ｉｅ ｖ ｌ ｍｅ ｅ ｅ ｎｔｍｅｈｏ ｉ ｒ ｌｆ ｎｃｉ ｎ ｓ ａ ｅ ；ｄ ａ ｒｉｉ ｎ；ｔｓ ｕ ｃ ｉｎ ｓ ｃ ｓ ｅ ｔｆ ｎ ｔｏ ｐａ ｅ
有 限体 积元 法 （ Ｖ Ｍ）ｌＪ 为 求 解 偏 微 分 方 程 的一 种 有 效 数 值 方 法 已被 广 泛 应 用 于 诸 多 领 域 ． Ｆ Ｅ － 作 ２
五次 有 限元 空间 ，其 中的 函数完 全 由节 点 上 的 函数 值 、一 阶 导 数值 和 二 阶导 数 值 决 定 ；检验
函数 空 间取 为相 应 于对 偶 剖分 的分 段 二次 函数 空 间．证 明 了误 差 的 最优 日 模 收 敛 阶和 模
收敛 阶估 计 ，并给 出 了内部单 元 端 点和 中点 的超 收敛 性 结果 ．数 值 实验 结果 验 证 了方 积 元 法 ；试 探 函数 空 间 ；对偶 剖 分 ；检 验 函数 空 间 有
中图 分类 号 ： ２ １ ８ ０ ４ ．２
文 献标 志 码 ： Ａ
文章 编 号 ： ６ １５ ８ （ ０ ０）４ ３２ ４８ １ ７ —４ ９ ２ １ ０ ４５ １ ３
Ｆ｛ｔ ｒ ｒ Ｆｉ ｉｅ Ｖｏ ｕ ｅ Ｅｌ ｍ ｅ ｔ Ｍ ｅ ｈ ｄ ｏ ｆｈ Ｏ ｄｅ ｎ ｔ ｌ ｍ ｅ ｎ ｔ ｏ ｓｆ ｒ
间断有限元求解两点边值椭圆问题的超收敛性数值研究
１９７３ 年ꎬＲｅｅｄ 和 Ｈｉｌｌ[１] 首先提出间断有限元方 法求解中子输运方程. 之后ꎬ用间断有限元( ＤＧ) 求 解椭圆方程和抛物方程几乎同时得到了快速发展. １９９７ 年ꎬ Ｂａｓｓｉ 和 Ｒｅｂａｙ[２] 提 出 了 一 种 求 解 可 压 缩 Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ 方程的稳定的高阶收敛的 ＤＧ 格式. 接着 Ｃｏｃｋｂｕｒｎ 和 Ｓｈｕ 提 出 了 局 部 间 断 有 限 元 ( ＬＤＧ) 方法[３] ꎬ 与此同时ꎬＢａｕｍａｎｎ 和 Ｏｄｅｎ[４] 引入 了一类新的 ＤＧ 方法. Ａｒｎｏｌｄ 等人建立了基于九种 不同数值通量的 ＤＧ 方法的统一框架[５] .
第 ３３ 卷 第 ５ 期 ２ ０ １ ９ 年 ０９ 月
长 沙 大 学 学 报 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＣＨＡＮＧＳＨＡ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ
Ｖｏｌ.３３ Ｎｏ.５ Ｓｅｐ. ２ ０ １ ９
间断有限元求解两点边值椭圆问题的 超收敛性数值研究
张作政
( 长沙学院计算机工程与应用数学学院ꎬ 湖南 长沙 ４１００２２)
ï Ｕｗ'ｄｘ ＋ Ｑｗｄｘ
ï Ｉｊ
Ｉｊ
îïï －
＾
Ｕ ｗ－ ｊ＋１/２ ｊ＋１/２
＾
＋ Ｕ ｗ＋ ｊ－１/２ ｊ－１/２
＝ ０.
＾＾
其中 ＵꎬＱ 为待定的数值流通量.因为数值流通
量取法的好坏直接影响到 ＤＧ 方法的稳定性、精度
和超收敛等性质ꎬ为此我们必须定义合适的数值流
(ｘｊ－１/ ２
＋ ｘｊ＋１/ ２) / ２ｈ
＝
ｍａｘ ｈ
两点边值问题的有限元解法【文献综述】
文献综述信息与计算科学两点边值问题的有限元解法有限元方法已成为当前求解偏微分方程数值解的一个重要方法, 从数学上看, 这种方法起源于变分法, 是古典的变分法与分片多项式插值相结合的产物, 20世纪50年代初, 从事航空工程、土木结构、水利建设的工程师们开始应用和发展一种用离散模型代替连续模型的方法求解各种结构力学问题, 并且逐渐波及各个连续场领域, 1960年美国人Ray Clough教授首先给出了“有限元方法”]1[这一名称. Clough教授形象地将其描绘为:“有限元法=Rayleigh Ritz法＋分片函数”, 即有限元法是Rayleigh Ritz法的一种局部化情况.不同于求解（往往是困难的）满足整个定义域边界条件的允许函数的Rayleigh Ritz法, 有限元方法将函数定义在简单几何形状（如二维问题中的三角形或任意四边形）的单元域上（分片函数）, 且不考虑整个定义域的复杂边界条件, 这是有限元法优于其他近似方法的原因之一.对于不同物理性质和数学模型的问题, 有限元求解法的基本步骤是相同的, 只是具体公式推导和运算求解不同.有限元求解问题的基本步骤通常为:首先讨论问题的求解域, 根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域.并求解域离散化, 将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域, 习惯上称为有限元网络划分; 然后确定状态变量及控制方法：一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示, 为适合有限元求解, 通常将微分方程化为等价的泛函形式;接下来进行单元推导:对单元构造一个适合的近似解, 即推导有限单元的列式, 其中包括选择合理的单元坐标系, 建立单元试函数, 以某种方法给出单元各状态变量的离散关系, 从而形成单元矩阵.最后将单元总装形成离散域的总矩阵方程, 反映对近似求解域的离散域的要求, 即单元函数的连续性要满足一定的连续条件.并联立方程组求解, 有限元法最终导致联立方程常用的求解方法如直接法、选代法和随机法.求解结果是单元结点处状态变量的近似值.我国著名数学家冯康先生说过, 同一物理问题可以有许多不同的数学形式, 它们在数学上是等价的, 但在实践中并不等效, 从不同的数学形式可能导致不同的数值计算方法, 原问题的基本特征在离散后应尽可能得到保持. 而基于变分方法]2[的有限元方法正是利用这种思想, 把数学物理方程中存在大量存在的问题转化为与原问题等价的变分问题, 最后采用数值方法求解, 这是近现代求解微分方程的一种非常重要的方法, 有着重要的理论和实际意义.因此越来越多的数学家加入了发展有限元方法的行列, 使这种方法逐渐摆脱了工程问题的局限性, 成为一种具有严密数学基础的求解微分方程定解问题的有效方法.本文就是对两点边值问题的有限元解法进行了讨论研究, 其中运用了11篇文献. 文献[3]介绍了一些泛函分析的有关知识; 文献[4]和[5]是对有限元方法的一些基本理论作了一定的介绍,文献[6]讲解了一种解边值问题比较常用的方法--Galerkin 法; 文献[7,8,9]都介绍了偏微分方程数值解的两类主要方法, 即有限差分方法和有限元方法, 其中, 文献[9]还介绍了偏微分方程数值处理中的基本思想、有关理论、有效算法和数值例子等内容.在这些文献中, 文献[6,7,8,9]对本文的研究起到至关重要的作用,本文首先引入两点边值问题]6[⎪⎩⎪⎨⎧='=<<=+-=0)(,0)(),()(b u a u b x a x f qu dx du p dx d Lu 其中⎪⎩⎪⎨⎧≥∈>≥∈∈0)(),(0)(),()()(0min 1x q I C q p x p I C p I C x f然后参考文献[6][9], 利用变分原理以及泛函分析基本知识, 可将上述问题转化为等价的变分问题求)(1I H u E ∈, 使)(),,(),(1I H v v f v u a E ∈∀=, 其中⎪⎩⎪⎨⎧⋅=+⋅=⎰⎰b a b a vdx f v f dxquv dx dv dx du p v u a ),()(),( 参考文献[9], 将)(1I H E 的试探函数和检验函数子空间均取为h E V , 可得近似变分问题求h E h V x u ∈)(, 使h E h h h h V v v f v u a ∈∀=),,(),(再将上述问题等价的写成有限元方程的形式求∑==n j j jh x u x u 1)()(φ, 使n i f u a j j h ,,2,1),,(),(Λ==φφ其中{}n j x j ,,2,1),(Λ=φ为线性元空间h E V 的Lagrange 节点基函数. 于是,参考文献[7] 得到相应的矩阵表达形式b AU =其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=),(),(),(),(1111n n n n a a a a A φφφφφφφφΛΛ, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=),(),(1n f f b φφM 这样, 我们就得到了两点边值问题的有限元求解方法,最后, 我们可以试着讨论具体的模型问题⎪⎩⎪⎨⎧='=<<=+''-=0)1(,0)0(10,2sin 242u u x x u u Lu ππ, 我们可以利用中矩形近似计算积分, 代入上述问题的有限元方程, 可以较为精确求出上述问题的数值解.结合文献[10]、[11]提供的丰富的理论知识, 我们可以试着探讨更广泛的一些问题的有限元方法求解.参考文献[1] R.A.Adams.Sobolev spaces, Academic Press,New York,1975.[2] 冯康. 基于变分原理的差分格式. 应用数学与计算数学, 1965, 2(4):237-261.[3] 王声望, 郑维行等编著. 实变函数与泛函分析概要 [M]. 北京: 北京大学出版社, 1987.[4] 王烈衡, 许学军编著. 有限元方法的数学基础 [M]. 北京: 科学出版社, 2004.[5] 李开泰, 黄庆怀编著. 有限元方法及其应用 [M]. 北京: 科学出版社, 2006[6] 李荣华. 偏微分方程数值解法[M] . 北京: 高等教育出版社, 2005[7] 舒适. 偏微分方程典型离散化方法的基本理论与算法分析. 内部讲义, 2007, 5-68[8] 李荣华. 边值问题的Galerkin 法[M] . 北京: 科学出版社, 2005[9] 陈传淼, 黄云清. 有限元高精度理论. 湖南科技出版社, 1995[10] A. Bowyer. Computing Dirichlet Tessellations. Computer Journal, 1981, 24(2):162-166[11] N.N.Yan, Superconvergence analysis and a posteriori error estimation in finite elementmethods, Science Press Publications, Beijing, 2008.。
有限元方法
有限元法是求解偏微分方程问题的一种重 要数值方法，它的基础分两个方面：一是变 分原理，二是剖分插值．
从第一方面看，有限元法是RitzGalerkin方法的一种变形．它提供了一种选 取“局部基函数”的新技巧，从而克服了 Ritz-Galerkin方法选取基函数的固有困难．
从第二方面看，它是差分方法的一种变 形．差分法是点近似，它只考虑在有限个离 散点上函数值，而不考虑在点的邻域函数值2
其中 这就是总荷载向量.
(7.17)
其这样，就可将式(7.16)写成
因此，有限元方程为
(7.18)
从总刚度矩阵和总荷载向量的形成过程可以看出，K 的计 算，实际上是把 K (i) 中四个元素在适当的位置上“对号入座” 地叠加，b 的计算也是如此．我们引入 B(i)，只是为了叙述方 便，实际上，在编制程序时并不需要．显然，方程组(7.18)
ui1
xi x hi
ui
x xi1 hi
,
x [xi1, xi ].
(7.5)
可见，单元中的近似函 数由单元基函数线性组 合产 生，全区域的近似函数 由各个单元的近似函数 叠加而成.
9
由以上可以看出，Vh是满足下列条件的所有函数uh 的集合：
(1) uh 在[a,b]上连续，且uh ,uh L2[a,b]; (2) uh 在ei上是次数不超过1的多项式(i 1,2, , n); (3) uh (a) 0,
变分问u 题HE1是：
求
a
，u,v使 得 f ,
v
0,
v
H
1 E
(7.19)a 其中
u,
v
b
a
p
du dx
dv dx
quvdx
边坡稳定性分析方法文献综述
边坡稳定性分析方法文献综述刘芮彤（河海大学地球科学与工程学院， 江苏 南京 ２１１１００）摘要：该本文对边坡稳定性分析方法进行了总结，分析归纳了各种常用边坡稳定性分析方法的使用情况及优缺点，为工程选择合理的评价方法提供参考。
同时，对边坡稳定性分析方法的发展趋势作出简单论述,总结出随着计算机技术的不断发展和数值模拟软件的使用，综合应用多种分析方法是目前边坡稳定性分析的主要趋势。
关键词： 边坡稳定性评价；数值分析；综述边坡作为一种自然地质体，在外因作用下，易沿坡体内部的不稳定结构面产生相对位移，导致边坡的失稳，给人们的日常生产生活带来极大的影响。
目前，对边坡的稳定性分析研究已有多种方法，其优缺点及使用范围各有不同，因此，选择合适的分析方法对准确判断边坡的稳定性有着重要影响。
目前最常用的刚体极限平衡分析法和数值分析方法满足了大部分工程的需求，但不能十分精确的分析边坡的稳定性。
随着各学科之间相互结合程度不断加深，许多新的分析方法，如遗传算法、数理化理论等逐渐形成并开始应用到工程建设之中。
边坡稳定性分析方法得到了发展与完善。
１、传统分析方法1.1工程地质类比法。
工程地质类比法属于定性分析方法，通过对过工程地质环境进行勘察，调查研究已有的边坡破坏现象，了解其成因及发展规律，从中找到工程地质因素的相似与不同之处，结合所要研究的边坡进行对比分析，最终得出结论。
该方法能综合考虑各种影响边坡稳定性的因素，快速地评估边坡稳定性，适用于地质条件较复杂地区；但它没有确定的数量界限，对经验性有较大依赖，因此对地质工作者的实践经验要求加高。
1.2 边坡稳定性图解法。
图解法具体可分为赤平投影图法和诺模图法两种方法。
赤平投影图法主要利用赤平投影原理，把构造面和构造线等投影在投影球的赤道平面上，通过作图的方法，能够直观地反映出遭到破坏的边坡边界；诺模图法则是利用诺模图来显示与边坡有关的参数之间的关系，进而求得边坡稳定性系数η、稳定坡角α和极限坡高ｈ等参数。
解两点边值问题的精细循环约化方法
解两点边值问题的精细循环约化方法
富明慧;陈焯智
【期刊名称】《应用力学学报》
【年(卷),期】2012(29)5
【摘要】将精细积分技术与循环约化方法相结合,提出两点边值问题的一种高精度、高效率求解方法。
将求解域均匀离散,利用相邻两点间的传递关系式建立区段代数
方程,将各区段的代数方程集成代数方程组,并利用循环约化方法对其求解。
由于离
散过程中几乎没有引入离散误差,并且在循环约化过程中采用了大量、小量分离技术,因此本方法具有极高的精度;同时循环约化过程充分利用2N算法的特点,使计算效率高、存储量小。
研究结果表明,相对于已有的求解两点边值问题的精细积分法,
本文方法适用范围更广,效率更高。
例如对两端固支、受均布横向荷载作用下梁的
非齐次方程计算,本文方法的精度可达到小数点后十三位,已经非常精确。
【总页数】6页(P573-578)
【作者】富明慧;陈焯智
【作者单位】中山大学
【正文语种】中文
【中图分类】O302
【相关文献】
1.非线性三阶两点边值问题变号解的逐次逼近方法
2.一类四阶两点边值问题解的上下解方法
3.解两点边值问题的一种新方法
4.线性定常系统非齐次两点边值问题的扩展精细积分方法
5.两点边值问题的一种精细求解方法
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数值方法——两点边值问题
数值方法13——两点边值问题
1. 打靶法
打靶法的积分过程是从x1到x2，并且努力使积分结果在积分的终点和边界条件匹配。
在一个边界x1上选择了所有因变量的值，这些值必须和该边界的边界条件保持一致。
而另一个边界x2上的因变量依赖于随机猜测的参数。
在迭代过程中，渐渐地接近真实值，就像打靶一样。
打靶法适合于解震荡的很厉害的情况，精确地运用了多维全局收敛Newton-Raphs on，设法零化n2个变元的n2个函数，这些函数通过从x1到x2积分N个微分方程得到。
1. 打靶法
打靶法的积分过程是从x1到x2，并且努力使积分结果在积分的终点和边界条件匹配。
在一个边界x1上选择了所有因变量的值，这些值必须和该边界的边界条件保持一致。
而另一个边界x2上的因变量依赖于随机猜测的参数。
在迭代过程中，渐渐地接近真实值，就像打靶一样。
打靶法适合于解震荡的很厉害的情况，精确地运用了多维全局收敛Newton-Raphs on，设法零化n2个变元的n2个函数，这些函数通过从x1到x2积分N个微分方程得到。
2. 对拟合点打靶
有时，由于错误严重的起始条件，初始解从x1到x2要碰到某些不可计算的，或是灾难性的结果。
拟合点打靶首先从x1积分到x1和x2之间的一个点x f，然后再从x2反向积分到x f。
3. 松弛法
松弛法用了另外一种逼近方法，微分方程由覆盖积分限的一系列有限个差分方程来替代，试验解由各个网格点上的因变量的值组成，并不满足所需的有限个差分方程和边界条件。
迭代调整所有在网格上的值，使他们满足各个联系的差分方程，也满足边界条件。
适用于解平滑的情况，需要良好的初始预测值。
两点边值问题解的存在唯一性
两点边值问题解的存在唯一性
章熙康
【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》
【年(卷),期】1992(000)001
【摘要】本文给出了两点边值问题的解具有唯一性的一个判别法则,并在此基础上给出一类解的存在唯一性定理。
【总页数】5页(P16-20)
【作者】章熙康
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O175.8
【相关文献】
1.四阶微分方程两点边值问题解的存在唯一性 [J], 高永馨;余培照
2.一类二阶两点边值问题解的存在唯一性 [J], 姚晓斌
3.一类六阶两点边值问题解的存在唯一性 [J], 茹凯;韦煜明;倪黎;蒋芳芳
4.奇异二阶耦合微分方程一类两点边值问题正解的存在唯一性 [J], 李明哲;王永红;方晓超
5.一个分数阶微分方程两点边值问题解的存在唯一性 [J], 姜聪颖;侯成敏
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有限元方法求解初边值问题
1
9(������ − 9) , ∅2 (x) = 9 (9 − ������) , { 0 ,
3 5 3
1
1 9 2 9
≤ ������ < 9 , ≤ ������ ≤ 9 ,
1 3 9 9 4 3
2
∅1 (x) = 9 (9 − ������) , { 0 ,
4 2
≤ ������ ≤ 9 ,
≤ ������ <
3 5 4
, ∅4 (x) =
5(������ − ) ,
5
3
3 5 4 5
≤ ������ <
3
4 5
,
∅3 (x) =
5 (5 − ������) , { 0 ,
4
≤ ������ ≤ 5 ,
2 4
5(1 − ������) , { 0 ,
≤ ������ ≤ 1 ,
������不属于 [5 , 5] ,
6 8
≤ ������ ≤ 1 ,
������不属于 [9 , 9] ,
������不属于 [ , 1] .
有限元方程组为 162.667 −80.833 −80.833 162.667 −80.833
(
������1 ������ −80.833 2 ������3 162.667 −80.833 ������4 −80.833 162.667 −80.833 ������5 −80.833 162.667 −80.833 −80.833 ������6 −80.833 162.667 ������7 −80.833 162.667 −80.833 −80.833 162.667 ) (������8 )
两点边值微分方程的有限元分析
三、实验原理、方法（算法）、步骤
实验一：
将方程化为标准形式：
d dx
u(a)
( p(x)
,
du ) dx
q( x)u
du dx
f ( x),
a x b,
(2) (3)
p(b)u
'(b)
u(b)
,
(4)
其中
p(x) 1,q(x) 1,f(x) sin(2 x),g(x) 1
a 0,b 1, 1, 0, 2 1 4 2
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数学与统计学院制
开课学院、实验室：
实验时间 ： 2014 年 6 月 30 日
实验项 目
名称 指导教
师
偏微分方程期末课程设计 成绩
实验项目类型
验证 演示 综合 设计 其他
一． 实验目的
自学，掌握有限元分析的基本理论，并运用有限元分析的方法求解第二章的两 点边值问题，做出数值解，体会有限元和差分方法的不同之处。
(2) x = 1:
, for j = 1,..., M,
(3) y = 0:
, for i = 1,..., N,
(4) y = 1:
xi 1 )
sin(
xi1)cos(
xi1)
si
F (n ) -
xn sin(2
xn1
x)(x h
xn1
)dx
1
2 4
2
=
-2xn1cos(2
xn
)
+2cos(2
xn
) xn 4
+2sin( h2
xn1)cos(
xn1)-sin(2
两点边值问题的三类边值条件的有限元解法实现
两点边值问题的三类边值条件的有限元解法实现作者：卢仁洋于陆洋江山来源：《高教学刊》2018年第05期摘要：文章研究二阶微分方程的两点边值问题，使用有限元方法对三类不同的边值条件具体进行讨论和处理。
对于可齐次化的Dirichlet、Neumann边值，给出相应分析以简化和规范计算步骤。
对于Robin边值，基于之前的分析给出实现技巧以达到有效的数值模拟。
关键词：有限元方法；Dirichlet边值；Neumann边值；Robin边值中图分类号：O172 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2018）05-0058-03Abstract： A two-point boundary value problem of the second-order ordinary differential equation is studied in this paper， and a finite element method is used to deal with three kinds of boundary conditions in detail. The corresponding analysis is provided to simplify and standardize the steps for the homogeneous Dirichlet， Neumann boundary values. For the Robin boundary value，we utilize the previous analyses to present a specific strategy for a good performance in numerical simulations.Keywords： finite element method； Dirichlet boundary； Neumann boundary； Robin boundary一、本文模型及介绍二阶微分方程的两点边值问题是科学工程计算中的经典问题，也是微分数值解法的必要基础[1，2]。
有限元求解微分方程两点边值问题
元 ritz 方法法求解两点边值问题
从 Galerkin 法出发： 系数矩阵：
=
[hj
0 1 0
1
1
p(x j 1 hj ) hj q(x j 1 hj ) 2] d p(x j hj 1 ) hj 1q(x j hj 1 )(1 )2 ] d
使用有限元方法求解两点边值问题：
已知该问题的精确解为： 问题中 。
。
将区间分为 50 份，则步长为 从 Ritz 法出发 单元刚度矩阵： 其中：
,记为 。 记为 kesai。
总刚度矩阵：
使用 Matlab 定义刚度矩阵函数
其中
matlab 定义右端向量 b
在主文件中调用求解与精确解比较，并计算误差
[hj
1 1
=
[hj
0
1
1 1
p(x j hj 1 ) hj 1q(x j hj 1 ) (1 )] d
右端项：
a f jdx
b
hj f (x j 1 hj ) d hj 1 f (x j hj 1 ) (1 ) d
0 0
1
1
分析： 有限元 Galerkin 方法得到的解与精确解的误差在 左右，相
比 ritz 方法要大一点。 徐 磊 (1217010123) 完 成 Ritz 方 法 ， 余 俊 桥 (1217010125) 完 成 Galerkin 方法，于通(1217010115)完成 Matlab 部分编程运算。
《分数阶偏微分方程的几类有限元方法研究》范文
《分数阶偏微分方程的几类有限元方法研究》篇一一、引言分数阶偏微分方程（Fractional Partial Differential Equations，FPDEs）在物理、工程和科学计算等多个领域有广泛的应用。
这类方程相较于传统的整数阶偏微分方程更加复杂，因其能够精确描述诸如热传导、波传播、渗流等过程中的记忆性和异常局部行为。
由于FPDEs具有上述优势，其在近几年的研究中越来越受到关注。
为了有效求解FPDEs，学者们开发了多种有限元方法，本论文主要研究了几类常见的有限元方法在求解FPDEs中的表现和应用。
二、文献综述近年来，针对FPDEs的有限元方法研究取得了显著的进展。
这些方法包括但不限于空间离散化方法、时间离散化方法以及时空离散化方法等。
空间离散化方法主要包括传统的有限元法（FEM）和谱方法等；时间离散化方法则主要依赖于隐式或显式的时间积分法；时空离散化方法则结合了空间和时间两个维度的离散化。
这些方法各有优劣，适用于不同的FPDEs求解问题。
三、几类有限元方法研究（一）传统有限元法（FEM）传统有限元法是一种广泛应用的数值方法，其基本思想是将连续的求解区域离散成有限个单元的集合，通过求解每个单元的近似解来得到整个区域的解。
在求解FPDEs时，FEM通过构造适当的基函数和插值函数来逼近解的未知函数。
（二）分数阶有限元法（Fractional Finite Element Method, FFEM）分数阶有限元法是针对FPDEs提出的一种新型有限元方法。
该方法在空间离散化时，不仅考虑了单元间的相互作用，还特别关注了分数阶导数的性质。
通过引入适当的分数阶算子，FFEM 能够更准确地描述解的局部行为和记忆效应。
（三）谱方法谱方法是一种基于全局基函数的数值方法，其优点是收敛速度快且精度高。
在求解FPDEs时，谱方法可以通过构造高精度的基函数来逼近解的未知函数。
同时，谱方法还可以利用傅里叶变换等工具将问题转化为更易于求解的形式。
二维椭圆型方程边值问题的有限元解法
二维椭圆型方程边值问题的有限元解法摘要：现代科学、技术工程中的大量数学模型都可以用微分方程来描述,而更多数学模型本身就是偏微分方程的定解问题,如弹性力学的平衡问题,稳定流速场等等都可用椭圆型方程的定解问题来描述,当定解区域和边值条件复杂时,解析解极难寻找.可以利用偏微分方程的数值解及定解问题的有限元解法来解决区域不规则的二维椭圆型方程的边值问题,要用有限元法来解决,有限元法包括变分原理、剖分插值、边界条件的处理,涉及到Ritz-Galerkin方法,区域剖分及基函数的性质,之后再对有限元方程的进行求解.关键词：椭圆型方程;变分原理;边值问题;有限元解法;区域剖分1引言工程技术中的大量数学模型都可以用微分方程来描述,如弹性力学的平衡问题,解决这类方程的最主要的数值方法是有限元法,有限元法在数值求解各种实际问题方面表现出极大的优越性和生命力,有限元方法是逼进论、微分方程和泛函分析等的巧妙结合,它是一个发展着的体系,使有限元广泛地应用于工程技术和各类物理场中,有限元方法包括变分原理、剖分插值、边界条件的处理,涉及到Ritz-Galerkin方法,区域剖分及基函数的性质,传统的里茨－加廖金方法的发展,并融会了差分方法的优点,处理上统一,适应能力强.让数学和许多自然现象,工程技术和其它许多学科相互联系,相互渗透,用数学理论、方法、技巧去解决许多工程问题.现在有限元方法已广泛地有效地应用于实际问题的数值研究中.2二维二阶线性偏微分方程的分类及边值问题的提法2.1二维二阶线性偏微分方程的分类二维二阶线性偏微分方程的一般形式为f cu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112 （2.1） 其中f c b b a a a ,,,,,,21221211是x 和y 的二次连续可微函数,在以下的讨论中,常将二阶线性偏微分方程简称为二阶方程.为了对（2.1）式进行简化,为此引入自变量变换),(),,(y x y x ηηξξ== （2.2） 其中式（2.2）式是二次连续可微函数,且雅可比（Jacobi ）行列式yxy x y x D D ηηξξηξ=),(),(在点),(00y x 不等于零,根据隐函数存在定理,在点),(00y x 近旁变换式（2.2）是可逆的,利用变换（2.2）可将方程（2.1）化成关于自变量ηξ,的偏微分方程f Cu u B u B u A u A u A =+++++ηξηηξηξξ212212112 （2.3） 故方程（2.3）中的系数⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫++=+++=++=22212211222212111222212211112)(2y y x xx y y x y y x x x yyx x a a a A a a a A a a a A ηηηηηξηξηξηξξξξξ （2.4）为化简方程,选取变换式（2.2）使方程（2.3）的二阶偏导数项化成最简形式,由式 （2.4）知,2211,A A 的形式是完全相同的,只是所用记号ηξ,有异,因此,若能获得方程0222212211=++y y x x z a z z a z a （2.5） 的两个函数无关解),(),,(21y x z z y x z z ==,取 ),(),,(21y x z y x z ==ηξ则011=A ,022=A ,方程（2.3）得以化简,现在,问题归结到求解方程（2.5）,而关于z 的一阶偏微分方程（2.5）的求解问题可以化为求常微分方程 0)(2)(2212211=+-a dxdy a dxdy a （2.6）的通积分,上式可化为：0)(2)(22212211=+-dx a dxdy a dy a （2.7）常微分方程（2.7）称为偏微分方程（2.1）的特征方程,称特征方程（2.7）的积分曲线为方程（2.1）的特征线.为求方程（2.10）的积分曲线,将其分解成两个方程11221121212a a a a a dxdy -+=(2.8)11221121212a a a a a dxdy --=(2.8)`积分即得.方程（2.1）按方程（2.8）,(2.8)`分类,有下列三种情形：1.如果在区域 Ω内点),(00y x 的近旁02211212<-≡∆a a a ,则称方程（2.1）是椭圆型的,此时方程不存在实的特征线,特征方程的通积分是一对共轭复值函数222121),(),(),(),(c y x iz y x z c y x iz y x z =-=+其中,),(1y x z 与),(2y x z 为实函数,则),(),(),(21y x iz y x z y x z +=满足0222212211=++y y x x z a z z a z a为了避免引入复数,我们可以作变换⎩⎨⎧==),(),(21y x z y x z ηξ 那么可以证明,),(1y x z 和),(2y x z 是函数无关的, 由于ηξi +满足方程（2.5）,下面将其代入,化简:0)()()(2)(22212211=++++++y y x x i a i i a i a ηξηξηξηξ0)2()(2)2(2222122211=+++-+++-+y y y y y x x y y x y x x y x x i a i i a i a ηηξξηηηξηξξξηηξξ 则化简最后可得:0,122211==A A A 于是方程（2.3）化为D Cu Bu Au u u +++=+ηξηηξξ （2.9）方程（2.9）称为椭圆型方程的标准形式.2.如果在区域Ω内点),(00y x 的近旁02211212>-≡∆a a a ,则称方程（2.1）是双曲型的,它有两族不相同的实特征线,,),(11c y x z = 22),(c y x z = 经过变换⎩⎨⎧==),(),(21y x z y x z ηξ它的标准形式为D u C u B u A u +++=ηξξη （2.10）3.如果在区域Ω内点),(00y x 的近旁02211212=-≡∆a a a ,则称方程（2.２）是抛物线型的,经过变换它的标准形式为D Cu Bu Au u +++=ηξηη （2.11）综上所述,二阶线性偏微分方程（2.1）依判别式2211212a a a -≡∆的符号可分成三种类型,并可化为三种标准形式.如表1.表1其中,H 为yx u u u y x ,,,,的函数.2.2边值问题的提法对于偏微分方程,一般很难用通解的形式表示.我们都是在一些特定条件下求方程的解,这样条件称为定解条件,定解条件也就是初始条件和边界条件的统称.我们主要研究边界条件,即如果在n R 的某个区域Ω内求解方程,即要求Ω∈x 时,),(t x u u =满足方程,一般在Ω的边界Ω∂上给出u 的条件,称之为边界条件,边界条件分为三类,即：第一类边界条件也就是Dirichlet 条件：在边界上给出未知函数u 的值.即:)(|M u ϕΩ=∂ 第二类边界条件也就是Neumam 条件：在边界上给定未知函数法向导数的值. 即:)(|M nu ϕΩ=∂∂∂第三类边界条件也就是Robin 条件：在边界上给定未知函数和它的法向导数的某种线性组合的值.即:)(|)(M nu u ϕβαΩ=∂∂+∂∂其中M 为x 的n 维函数.一个偏微分方程边同它的相应的定解条件组成一个定解问题.我们将主要研究边界问题,也就是一个偏微分方程和它的边界条件组成的一个定解问题.因为判别式符号 方程类型方程的标准形式 02211212>-≡∆a a a 双曲型 H u u yy xx =- 02211212=-≡∆a a a 抛物型 H u xx = 02211212<-≡∆a a a椭圆型H u u yy xx =+边界条件分为三类,所以边值问题也会为三类,则相应的三类边值问题也就是：第一类边值问题（由Dirichlet条件组成的定解问题）,第二类边值问题（Neumam条件组成的定解问题）和第三类边值问题（Robin条件组成的定解问题）.3有限元法有限元方法是一种高效能、常用的计算方法,有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的,所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中,有限元方法是一个发展着的体系,是传统的里茨－加廖金方法的发展,并融会了差分方法的优点,处理上统一,适应能力强.自从1969年以来,某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元方程,因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中,而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系.3.1有限元的概念及发展有限元法（FEA,Finite Element Analysis）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解.在这里它是一种求偏微分方程数值解的计算方法,有限元方法是把微分方程定解问题转化为求解一个等价的“变分问题”,再将变分问题作适当地离散化,然后求出数值解.有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中.20世纪60年代初首次提出结构力学计算有限元概念的克拉夫（Clough）教授形象地将其描绘为：“有限元法=Rayleigh Ritz法＋分片函数”,即有限元法是Rayleigh Ritz法的一种局部化情况.不同于求解（往往是困难的）满足整个定义域边界条件的允许函数的Rayleigh Ritz法,有限元法将函数定义在简单几何形状（如二维问题中的三角形或任意四边形）的单元域上（分片函数）,且不考虑整个定义域的复杂边界条件,有限元不仅计算精度高,而且能适应各种复杂形状,这是有限元法优于其他近似方法的原因之一.有限元方法是逼近论,微分方程和泛函分析的巧妙结合,已广泛有效地应用于实际问题的数值研究中.有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用,例如用多边形（有限个直线单元）逼近圆来求得圆的周长,但作为一种方法而被提出,则是最近的事.有限元法最初被称为矩阵近似方法,应用于航空器的结构强度计算,并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣.经过短短数十年的努力,随着计算机技术的快速发展和普及,有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域,成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法.1943年, courant在论文中取定义在三角形域上分片连续函数,利用最小势能原理研究St.Venant的扭转问题.1960年clough的平面弹性论文中用“有限元法”这个名称.1965年冯康发表了论文“基于变分原理的差分格式”，这篇论文是国际学术界承认我国独立发展有限元方法的主要依据.1970年随着计算机和软件的发展,有限元发展起来.涉及的内容：有限元所依据的理论,单元的划分原则，形状函数的选取及协调性.有限元法涉及：数值计算方法及其误差、收敛性和稳定性。
第5章两点边值问题求解方法介绍
x a, b
y1 y2 z , z 2 其中： 1
解得： y1 ( x; ), y2 ( x; ), z1 ( x; ), z2 ( x; ) 得到的终端值和对α的偏导数： y1 y1 (b; ), (b; )
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y1 y
( x ) y2 ( x ) y1
y2 (a) 初值问题的解为： y1 ( x; ), y2 ( x; ) y1 (b; ) B 找到α满足： y1 (a) A,
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如何求α？
Page 6
5.2 打靶法 打靶法的几何解释：
如果边值条件形式可写为： gL ( y(a)) 0, gR ( y(a)) 0
其中gL和gR的维数之和等于m，则边界条件为分离的。
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5.2 打靶法 5.2 打靶法 以二阶系统为例，考虑边值问题： y( x ) f ( x, y( x), y( x)), x a, b
迭代求解公式： m 1 m B y1 (b; m )
结束条件：
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y1 (b; m )
y1 (b; ) ?
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1 y1 (b;m1 ) B
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5.2 打靶法 差分法求偏导数
y1 (b;1 ) y1 (b; 0 ) y1 (b; 0 ) 1 0
线性近似：按割线求根
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5.2 打靶法 5.1.2 牛顿法 求解非线性方程（组）： y1 (b; ) B 在已知初值α0的处Taylor展开： y1 2 y1 (b;1 ) y1 (b; 0 ) (b; 0 ) 1 0 O 1 0 B y1 B y ( b ; ) (b; 0 ) 线性近似： 1 0 1 0
第5章---两点边值问题求解方式
i 1, 2, , N 1
y0 A, yN B
yi1 yi1 2 yi h2
2
xi
yi1 yi1 2h
2 xi2
yi
sin(ln xi2
xi
)
y0 1, yN 2
xi 1 ih, i 1, 2, , N 1
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5.2 打靶法
5.2 打靶法 以二阶系统为例，考虑边值问题：
y(x) f (x, y(x), y(x)), x a,b
y(a) A,
变换：
y1 y
y2 y 考虑初值问题：
y(b) B
y1(x) y2 (x)
微分方程 y(x) f (x, y(x), y(x)), x a,b
y(a) A, y(b) B
离散化，将区间 xa,b 等分为N个子区间：
h ba, N
xi a ih,
i 0,1, 2,
,N
在节点上应用中心差分公式，得到代数方程组：
yi1
yi1 2 yi h2
h ba, N
xi a ih,
i 0,1, 2,
,N
将 y(x)在xi处Taylor展开：
y( x)
y( xi )
y( xi ) x
xi
1 2
y( xi ) x
xi
2
1 3!
y( xi ) x
xi
3
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两点边值问题的有限元法
两点边值问题的有限元法引言有限元法是一种常用的数值计算方法，广泛应用于工程、物理和数学等领域。
在求解边值问题时，有限元法提供了一种有效的数值逼近方法。
本文将介绍有限元法在求解两点边值问题中的应用。
问题描述考虑一个一维边值问题，即求解形如以下方程的问题：$$\f ra c{{d^2u(x)}}{{dx^2}}+f(x)=0,\q ua da<x<b$$其中$u(x)$是要求的函数，$f(x)$是已知的函数，$a$和$b$分别表示求解区间的起始点和终止点。
此问题还需要满足以下边界条件：$$u(a)=\al ph a,\q uad u(b)=\b et a$$其中$\al ph a$和$\b e ta$是给定的常量。
有限元法的基本思想有限元法的基本思想是将求解区间$[a,b]$划分为$N$个小单元区间，每个小单元用一个简单的函数来逼近原始问题的解。
这些函数称为有限元基函数。
通过在每个单元上逼近原问题，我们可以得到整个求解区间上的逼近解。
离散化我们首先将求解区间$[a,b]$等分为$N$个小单元，每个单元的长度为$h=\fr ac{{b-a}}{N}$。
然后，我们在每个单元上建立逼近解的有限元基函数。
常用的有限元基函数包括线性插值函数、二次插值函数等。
有限元法的步骤有限元法的步骤如下：1.网格剖分：将求解区间$[a,b]$等分为$N$个小单元，确定每个单元的长度$h$。
2.建立有限元基函数：选取适当的有限元基函数，常用的有限元基函数包括线性插值函数、二次插值函数等。
3.建立代数方程组：根据离散化的方法，建立代数方程组。
使用有限元基函数逼近原问题，在每个单元上建立局部代数方程。
将所有局部代数方程组合起来，得到整个求解区间上的代数方程组。
4.求解代数方程组：解线性代数方程组，得到每个单元上的逼近解。
5.拼接解：根据单元之间的连接关系，拼接每个单元上的逼近解，得到整个求解区间上的逼近解。
数值实例以一个简单的例子来说明有限元法的应用。
研究型教学探讨有限元法处理两点边值问题
研究型教学探讨有限元法处理两点边值问题作者：江山来源：《科教导刊》2013年第31期摘要本文介绍偏微分方程数值解法课程的教学内容和一些体会，通过一个具体例题详实地讲解有限元法理论基础与编程实现的过程，利用理论阐述和研究展示，从理论分析和数值实验两方面讲解有限元法数值解的稳定性和收敛性，进而通过数值分析达到研究型教学的良好效果。
关键词研究型教学偏微分方程有限元法实例演示中图分类号：TU311 文献标识码：AResearch Teaching to Discuss FEM Treatment Boundary Value ProblemsJIANG Shan（School of Mathematical Sciences， Yangzhou University， Yangzhou， Jiangsu 225002）Abstract This article describes the numerical solution of partial differential equations course content and some experience， through a detailed and specific example to explain the theoretical basis of the finite element method and the programming process， the use of theoretical explanations and research shows， from the theoretical analysis and numerical experiments both to explain the limited element method for the numerical solution of the stability and convergence， and then through research teaching numerical analysis to achieve good results.Key words research teaching； partial differential equations； finite element method；examples presentation0 引言《偏微分方程数值解法》①②主要介绍求解偏微分方程的有限元法③④与有限差分法两大体系。
次线性Emden—Fowler方程两点边值问题的C[0，1]正解的唯一性
![次线性Emden—Fowler方程两点边值问题的C[0，1]正解的唯一性](https://img.taocdn.com/s3/m/28a48fc95ff7ba0d4a7302768e9951e79b89690c.png)
次线性Emden—Fowler方程两点边值问题的C[0，1]正解的唯一性刘炳;闫宝强【期刊名称】《山东科学》【年(卷),期】2012(025)002【摘要】Two-point boundary value problem of the sublinear Emden-Fowler equations has been addressed in many literatures, but the uniqueness of the C[0,1 ] positive solution has not been investigated. We employ monotone iterative method to address such problem and derive the uniqueness of the C[ 0,1 ] positive solution of the boundary value problem of such equations.%次线性Emden-Fowler方程两点边值问题在很多文献中用到，但对于该类问题的C[0，1]正解的唯一性还没有研究。
本文利用单调迭代方法，对这一问题进行了研究，得出了该类方程两点边值问题的C[0，1]正解是存在且唯一的。
【总页数】4页(P8-11)【作者】刘炳;闫宝强【作者单位】山东师范大学数学科学学院,山东济南250014;山东师范大学数学科学学院,山东济南250014【正文语种】中文【中图分类】O175.8【相关文献】1.次线性Emden-Fowler方程奇异m-点边值问题的正解 [J], 沈文国;何韬;张明新2.次线性Emden-Fowler方程两点边值问题的唯一解在零点的收敛速率的估计 [J], 卢晓云;闫宝强3.次线性Emden-Fowler方程两点边值问题的唯一解ψ(t)在零点的收敛速率 [J], 李圣;刘璇4.一类次线性Emden-Fowler方程奇异m-点边值问题的正解 [J], 沈文国;宋兰安5.正指数Emden-Fowler方程脉冲奇异边值问题的PC^1([0,1],R_+)正解 [J], 代丽美因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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文献综述
信息与计算科学
两点边值问题的有限元解法
有限元方法已成为当前求解偏微分方程数值解的一个重要方法, 从数学上看, 这种方法起源于变分法, 是古典的变分法与分片多项式插值相结合的产物, 20世纪50年代初, 从事航空工程、土木结构、水利建设的工程师们开始应用和发展一种用离散模型代替连续模型的方法求解各种结构力学问题, 并且逐渐波及各个连续场领域, 1960年美国人Ray Clough教授首先给出了“有限元方法”]1[这一名称. Clough教授形象地将其描绘为:“有限元法=Rayleigh Ritz法＋分片函数”, 即有限元法是Rayleigh Ritz法的一种局部化情况.不同于求解（往往是困难的）满足整个定义域边界条件的允许函数的Rayleigh Ritz法, 有限元方法将函数定义在简单几何形状（如二维问题中的三角形或任意四边形）的单元域上（分片函数）, 且不考虑整个定义域的复杂边界条件, 这是有限元法优于其他近似方法的
原因之一.对于不同物理性质和数学模型的问题, 有限元求解法的基本步骤是相同的, 只是具体公式推导和运算求解不同.有限元求解问题的基本步骤通常为:首先讨论问题的求解域, 根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域.并求解域离散化, 将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单
元组成的离散域, 习惯上称为有限元网络划分; 然后确定状态变量及控制方法：一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示, 为适合有限元求解, 通常将微分方程化为等价的泛函形式;接下来进行单元推导:对单元构造一个适合的近似解, 即推导有限单元的列式, 其中包括选择合理的单元坐标系, 建立单元试函数, 以某种方法给出单元各状态变量的离散关系, 从而形成单元矩阵.最后将单元总装形成离散域的总矩阵方程, 反映对近似求解域的离散域的要求, 即单元函数的连续性要满足一定的连续条件.并联立方程组求解, 有限元法最终导致联立方程常用的求解方法如直接法、选代法和随机法.求解结果是单元结点处状态变量的近似值.
我国著名数学家冯康先生说过, 同一物理问题可以有许多不同的数学形式, 它们在数学上是等价的, 但在实践中并不等效, 从不同的数学形式可能导致不同的数值计算方法, 原问
题的基本特征在离散后应尽可能得到保持. 而基于变分方法]2[的有限元方法正是利用这种思想, 把数学物理方程中存在大量存在的问题转化为与原问题等价的变分问题, 最后采用数值方法求解, 这是近现代求解微分方程的一种非常重要的方法, 有着重要的理论和实际意义.因此越来越多的数学家加入了发展有限元方法的行列, 使这种方法逐渐摆脱了工程问题的局限性, 成为一种具有严密数学基础的求解微分方程定解问题的有效方法.
本文就是对两点边值问题的有限元解法进行了讨论研究, 其中运用了11篇文献. 文献[3]介绍了一些泛函分析的有关知识; 文献[4]和[5]是对有限元方法的一些基本理论作了一定的介绍,文献[6]讲解了一种解边值问题比较常用的方法--Galerkin 法; 文献[7,8,9]都介绍了偏微分方程数值解的两类主要方法, 即有限差分方法和有限元方法, 其中, 文献[9]还介绍了偏微分方程数值处理中的基本思想、有关理论、有效算法和数值例子等内容.
在这些文献中, 文献[6,7,8,9]对本文的研究起到至关重要的作用,本文首先引入两点边值问题]6[
⎪⎩⎪⎨⎧='=<<=+-=0
)(,0)(),()(b u a u b x a x f qu dx du p dx d Lu 其中
⎪⎩⎪⎨⎧≥∈>≥∈∈0
)(),(0)(),()()(0min 1x q I C q p x p I C p I C x f
然后参考文献[6][9], 利用变分原理以及泛函分析基本知识, 可将上述问题转化为等价的变分问题
求)(1I H u E ∈, 使)(),
,(),(1I H v v f v u a E ∈∀=, 其中
⎪⎩⎪⎨⎧⋅=+⋅=⎰⎰b a b a vdx f v f dx
quv dx dv dx du p v u a ),()(),( 参考文献[9], 将)(1I H E 的试探函数和检验函数子空间均取为h E V , 可得近似变分问题
求h E h V x u ∈)(, 使h E h h h h V v v f v u a ∈∀=),,(),(
再将上述问题等价的写成有限元方程的形式
求∑==n j j j
h x u x u 1)()(φ, 使n i f u a j j h ,,2,1),,(),(Λ==φφ
其中{}
n j x j ,,2,1),(Λ=φ为线性元空间h E V 的Lagrange 节点基函数. 于是,参考文献[7] 得到相应的矩阵表达形式
b AU =
其中
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=),(),(),(),(1111n n n n a a a a A φφφφφφφφΛΛ, ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=),(),(1n f f b φφM 这样, 我们就得到了两点边值问题的有限元求解方法,
最后, 我们可以试着讨论具体的模型问题
⎪⎩
⎪⎨⎧='=<<=+''-=0)1(,0)0(10,2sin 242u u x x u u Lu ππ, 我们可以利用中矩形近似计算积分, 代入上述问题的有限元方程, 可以较为精确求出上述问题的数值解.
结合文献[10]、[11]提供的丰富的理论知识, 我们可以试着探讨更广泛的一些问题的有限元方法求解.
参考文献
[1] R.A.Adams.Sobolev spaces, Academic Press,New York,1975.
[2] 冯康. 基于变分原理的差分格式. 应用数学与计算数学, 1965, 2(4):237-261.
[3] 王声望, 郑维行等编著. 实变函数与泛函分析概要 [M]. 北京: 北京大学出版社, 1987.
[4] 王烈衡, 许学军编著. 有限元方法的数学基础 [M]. 北京: 科学出版社, 2004.
[5] 李开泰, 黄庆怀编著. 有限元方法及其应用 [M]. 北京: 科学出版社, 2006
[6] 李荣华. 偏微分方程数值解法[M] . 北京: 高等教育出版社, 2005
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[8] 李荣华. 边值问题的Galerkin 法[M] . 北京: 科学出版社, 2005
[9] 陈传淼, 黄云清. 有限元高精度理论. 湖南科技出版社, 1995
[10] A. Bowyer. Computing Dirichlet Tessellations. Computer Journal, 1981, 24(2):162-166
[11] N.N.Yan, Superconvergence analysis and a posteriori error estimation in finite element
methods, Science Press Publications, Beijing, 2008.。