两点边值问题的有限元解法【文献综述】

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两点边值问题的有限元解法

有限元方法已成为当前求解偏微分方程数值解的一个重要方法, 从数学上看, 这种方法起源于变分法, 是古典的变分法与分片多项式插值相结合的产物, 20世纪50年代初, 从事航空工程、土木结构、水利建设的工程师们开始应用和发展一种用离散模型代替连续模型的方法求解各种结构力学问题, 并且逐渐波及各个连续场领域, 1960年美国人Ray Clough教授首先给出了“有限元方法”]1[这一名称. Clough教授形象地将其描绘为:“有限元法=Rayleigh Ritz法＋分片函数”, 即有限元法是Rayleigh Ritz法的一种局部化情况.不同于求解（往往是困难的）满足整个定义域边界条件的允许函数的Rayleigh Ritz法, 有限元方法将函数定义在简单几何形状（如二维问题中的三角形或任意四边形）的单元域上（分片函数）, 且不考虑整个定义域的复杂边界条件, 这是有限元法优于其他近似方法的

原因之一.对于不同物理性质和数学模型的问题, 有限元求解法的基本步骤是相同的, 只是具体公式推导和运算求解不同.有限元求解问题的基本步骤通常为:首先讨论问题的求解域, 根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域.并求解域离散化, 将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单

元组成的离散域, 习惯上称为有限元网络划分; 然后确定状态变量及控制方法：一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示, 为适合有限元求解, 通常将微分方程化为等价的泛函形式;接下来进行单元推导:对单元构造一个适合的近似解, 即推导有限单元的列式, 其中包括选择合理的单元坐标系, 建立单元试函数, 以某种方法给出单元各状态变量的离散关系, 从而形成单元矩阵.最后将单元总装形成离散域的总矩阵方程, 反映对近似求解域的离散域的要求, 即单元函数的连续性要满足一定的连续条件.并联立方程组求解, 有限元法最终导致联立方程常用的求解方法如直接法、选代法和随机法.求解结果是单元结点处状态变量的近似值.

我国著名数学家冯康先生说过, 同一物理问题可以有许多不同的数学形式, 它们在数学上是等价的, 但在实践中并不等效, 从不同的数学形式可能导致不同的数值计算方法, 原问

题的基本特征在离散后应尽可能得到保持. 而基于变分方法]2[的有限元方法正是利用这种思想, 把数学物理方程中存在大量存在的问题转化为与原问题等价的变分问题, 最后采用数值方法求解, 这是近现代求解微分方程的一种非常重要的方法, 有着重要的理论和实际意义.因此越来越多的数学家加入了发展有限元方法的行列, 使这种方法逐渐摆脱了工程问题的局限性, 成为一种具有严密数学基础的求解微分方程定解问题的有效方法.

本文就是对两点边值问题的有限元解法进行了讨论研究, 其中运用了11篇文献. 文献[3]介绍了一些泛函分析的有关知识; 文献[4]和[5]是对有限元方法的一些基本理论作了一定的介绍,文献[6]讲解了一种解边值问题比较常用的方法--Galerkin 法; 文献[7,8,9]都介绍了偏微分方程数值解的两类主要方法, 即有限差分方法和有限元方法, 其中, 文献[9]还介绍了偏微分方程数值处理中的基本思想、有关理论、有效算法和数值例子等内容.

在这些文献中, 文献[6,7,8,9]对本文的研究起到至关重要的作用,本文首先引入两点边值问题]6[

⎪⎩⎪⎨⎧='=<<=+-=0

)(,0)(),()(b u a u b x a x f qu dx du p dx d Lu 其中

⎪⎩⎪⎨⎧≥∈>≥∈∈0

)(),(0)(),()()(0min 1x q I C q p x p I C p I C x f

然后参考文献[6][9], 利用变分原理以及泛函分析基本知识, 可将上述问题转化为等价的变分问题

求)(1I H u E ∈, 使)(),

,(),(1I H v v f v u a E ∈∀=, 其中

⎪⎩⎪⎨⎧⋅=+⋅=⎰⎰b a b a vdx f v f dx

quv dx dv dx du p v u a ),()(),( 参考文献[9], 将)(1I H E 的试探函数和检验函数子空间均取为h E V , 可得近似变分问题

求h E h V x u ∈)(, 使h E h h h h V v v f v u a ∈∀=),,(),(

再将上述问题等价的写成有限元方程的形式

求∑==n j j j

h x u x u 1)()(φ, 使n i f u a j j h ,,2,1),,(),(Λ==φφ

其中{}

n j x j ,,2,1),(Λ=φ为线性元空间h E V 的Lagrange 节点基函数. 于是,参考文献[7] 得到相应的矩阵表达形式

b AU =

其中

⎥⎦⎤⎢⎣⎡=),(),(),(),(1111n n n n a a a a A φφφφφφφφΛΛ, ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=),(),(1n f f b φφM 这样, 我们就得到了两点边值问题的有限元求解方法,

最后, 我们可以试着讨论具体的模型问题

⎪⎩

⎪⎨⎧='=<<=+''-=0)1(,0)0(10,2sin 242u u x x u u Lu ππ, 我们可以利用中矩形近似计算积分, 代入上述问题的有限元方程, 可以较为精确求出上述问题的数值解.

结合文献[10]、[11]提供的丰富的理论知识, 我们可以试着探讨更广泛的一些问题的有限元方法求解.

参考文献

[1] R.A.Adams.Sobolev spaces, Academic Press,New York,1975.

[2] 冯康. 基于变分原理的差分格式. 应用数学与计算数学, 1965, 2(4):237-261.

[3] 王声望, 郑维行等编著. 实变函数与泛函分析概要 [M]. 北京: 北京大学出版社, 1987.

[4] 王烈衡, 许学军编著. 有限元方法的数学基础 [M]. 北京: 科学出版社, 2004.

[5] 李开泰, 黄庆怀编著. 有限元方法及其应用 [M]. 北京: 科学出版社, 2006

[6] 李荣华. 偏微分方程数值解法[M] . 北京: 高等教育出版社, 2005

[7] 舒适. 偏微分方程典型离散化方法的基本理论与算法分析. 内部讲义, 2007, 5-68

[8] 李荣华. 边值问题的Galerkin 法[M] . 北京: 科学出版社, 2005

[9] 陈传淼, 黄云清. 有限元高精度理论. 湖南科技出版社, 1995

[10] A. Bowyer. Computing Dirichlet Tessellations. Computer Journal, 1981, 24(2):162-166

[11] N.N.Yan, Superconvergence analysis and a posteriori error estimation in finite element

methods, Science Press Publications, Beijing, 2008.