含参量正常积分
13-高等数学第十三讲 含参量的积分
387第十三讲 含参量积分§13.1 含参量正常积分一、知识结构 1、含参积分 定义含参积分 ⎰=dcdy y x f x I ),()(和⎰=)()(),()(x d x c dy y x f x F .含参积分提供了表达函数的又一手段 .我们称由含参积分表达的函数为含参积分. （1）含参积分的连续性 定理1 若函数),(y x f 在区域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 则函数⎰=dcdy y x f x I ),()(在] , [b a 上连续.定理2 若函数),(y x f 在矩形域{}b x a x d y x c y x D ≤≤≤≤=),()( ),(上连续, 函数)(x c 和)(x d 在] , [b a 上连续,则函数⎰=)()(),()(x d x c dy y x f x F 在] , [b a 上连续.（2）含参积分的可微性定理3 若函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 则函数⎰=dcdy y x f x I ),()(在] , [b a 上可导, 且⎰⎰=dcdcx dy y x f dy y x f dxd ),(),(.即积分和求导次序可换.定理4 设函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [q p b a D ⨯=上连续, 函数)(x c 和)(x d 定义在] , [b a 上其值域含于] , [q p 上的可微函数, 则函数⎰=)()(),()(x d x c dy y x f x F 在] , [b a 上可微, 且 ()())()(,)()(,),()()()(x c x c x f x d x d x f dy y x f x F x d x c x '-'+='⎰.(3) 含参积分的可积性定理5 若函数),(y x f 在区域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 则函数388⎰=dcdy y x f x I ),()(和⎰=badx y x f y J ),()(分别在] , [b a 上和] , [ d c 上可积.定理6 若函数),(y x f 在区域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 则⎰⎰⎰⎰=badcdcbadx y x f dy dy y x f dx ),(),(.即在连续的情况下累次积分可交换求积分的次序. 二、解证题方法例1 求⎰+→++αααα122.1limx dx例2 计算积分 dx xx I ⎰++=121)1ln(.例3 设函数)(x f 在点0=x 的某邻域内连续. 验证当||x 充分小时, 函数⎰---=xn dt t f t x n x 01)()()!1(1)(φ的1-n 阶导数存在, 且 )()()(x f x n =φ.§13.2 含参量反常积分一、知识结构 1、含参无穷积分含参无穷积分: 函数),(y x f 定义在) , [] , [∞+⨯c b a 上 (] , [b a 可以是无穷区间) .以⎰+∞=cdy y x f x I ),()(为例介绍含参无穷积分表示的函数)(x I .2. 含参无穷积分的一致收敛性逐点收敛(或称点态收敛)的定义:∈∀x ] , [b a ,c M >∃>∀ , 0ε,使得ε<⎰+∞Mdy y x f ),(.定义 1 (一致收敛性)设函数),(y x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上有定义.若对389c N >∃>∀ , 0ε, 使得当N M >,∈∀x ] , [b a 都有ε<-⎰Mcx I dy y x f )(),(即ε<⎰+∞Mdy y x f ),( 成立, 则称含参无穷积分⎰+∞cdy y x f ),(在] , [b a 上(关于x )一致收敛.定理1(Cauchy 收敛准则) 积分⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在] , [b a 上一致收敛⇔,0>∀εM A A M >∀>∃21, , 0 , ∈∀x ] , [b a⇒ε<⎰21),(A A dy y x f 成立 .3、含参无穷积分与函数项级数的关系 定理2 积分⎰+∞=c dy y x f x I ),()(在] , [b a 上一致收敛⇔对任一数列}{n A )(1c A =,n A ↗∞+, 函数项级数∑⎰∑∞=∞=+=111)(),(n A A n nn nx udy y x f 在] , [b a 上一致收敛.4、含参无穷积分一致收敛判别法定理3（Weierstrass M 判别法）设有函数)(y g ,使得在) , [] , [∞+⨯c b a 上有)(|),(|y g y x f ≤.若积分∞+<⎰+∞)( cdy y g , 则积分⎰+∞cdy y x f ),(在] , [b a 一致收敛.定理4（Dirichlet 判别法） 设⑴对一切实数,c N >含参量积分⎰Ncdy y x f ),(对参量x在] , [b a 上一致有界; ⑵对每个x ∈] , [b a ,函数),(y x g 关于y 是单调递减且当+∞→y 时,对参量x ,),(y x g 一致地收敛于0,则含参量反常积分⎰+∞),(),(dy y x g y x f 在] , [b a 上一致收敛.定理5（Abel 判别法） 设⑴含参量积分⎰+∞cdy y x f ),(在] , [b a 上一致收敛; ⑵对每个x ∈] , [b a ,函数),(y x g 为y 的单调函数且对参量x ,),(y x g 在] , [b a 上一致有界,则含390参量反常积分⎰+∞),(),(dy y x g y x f 在] , [b a 上一致收敛.5、含参无穷积分的解析性质含参无穷积分的解析性质实指由其所表达的函数的解析性质. （1）连续性定理6 设函数),(y x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上连续.若积分⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在] , [b a 上一致收敛, 则函数)(x I 在] , [b a 上连续. (化为级数进行证明或直接证明)推论 在定理6的条件下, 对∈∀0x ] , [b a , 有 ⎰⎰⎰∞+∞+∞+→→⎪⎭⎫ ⎝⎛==cccx x x x dy y x f dy y x f dy y x f .),(lim ),(),(lim000 （2）可微性定理7 设函数f 和x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上连续.若积分⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在] , [b a 上收敛,积分⎰+∞cx dy y x f ),(在] , [b a 一致收敛.则函数)(x I 在] , [b a 上可微,且⎰+∞='cx dy y x f x I ),()(.（3）可积性定理8 设函数),(y x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上连续.若积分⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在] , [b a 上一致收敛, 则函数)(x I 在] , [b a 上可积, 且有⎰⎰⎰⎰+∞+∞=baccbady y x f dy dy y x f dx ),(),(.定理9 设函数),(y x f 在) , []) , [∞+⨯∞+c a 上连续.若⑴⎰+∞adx y x f ),(关于y 在任何闭区间] , [d c 上一致收敛,⎰+∞cdy y x f ),(在任何闭区间] , [b a 上一致收敛;⑵积分⎰⎰+∞+∞acdy y x f dx ),(与⎰⎰+∞+∞cadx y x f dy ),(中有一个收敛,则另一个也收敛,且391⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞=accady y x f dy dy y x f dx ),(),(.6、含参瑕积分简介（略）二、解证题方法例1 证明含参量非正常积分⎰+∞sin dy yxy 在) , [∞+δ上一致收敛,其中0>δ.但在区间) , 0 (∞+内非一致收敛.例2 证明含参无穷积分⎰∞++021cos dx xxy 在+∞<<∞-y 内一致收敛.例3 证明含参量反常积分⎰+∞-0sin dx xx exy在] , 0 [d 上一致收敛.例4 证明:若函数),(y x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上连续,又⎰+∞cdy y x f ),(在) , [b a 上收敛,但在b x =处发散,则⎰+∞cdy y x f ),(在) , [b a 上不一致收敛.例5 计算积分⎰+∞->>-=) , 0 ( , sin sin a b p dx xaxbx eI px例6 计算积分.sin 0dx xax ⎰+∞例7 计算积分⎰+∞-=0.cos )(2rxdx er xϕ例8（北京理工大学2008年）请分别用两种不同方法求()dx xx xI cos 1cos 1lncos 12αααπ-+⋅=⎰，1<α。
含参变量的正常积分
x
lim d f (x x, y) f (x, y) dy
x0 c
x
由拉格朗日中值定理
lim
x0
d
c fx (x x, y)dy
fx在=R上==连=续=,由 ==定理1
d
c
lim
x0
fx(x
x, y)dy
d
c fx (x, y)dy
固定x, 作积分
d
I (x) f (x, y)dy
c
(1)
此积分是x的函数, 其定义域为x [a,b],
则称此函数为定义在[a,b]上
y
含参量x的(正常)积分,
d
R
简称含参量积分.
c
oa
x bx
一般地,设有二元函数f (x, y),
如果可积
(x, y) G (x, y) a x b,c(x) y d (x)
形区域R [a,b][c,d]上连续，则函数
JI ((xy))
db ca
ff
((xx,,
yy))ddyx
在[ca, db]上连续。
注：(1). 设 f (x, y)在R [a,b][c,d]上连续，则
x0 [a,b],有 :
d
d
lim f (x, y)dy lim f (x, y)dy
d
d
f
(x, y)dy
d
f (x, y)dy
dx c
c x
证明分析 : x [a,b],设x充分小, x x [a,b],
要证, I (x)在[a,b]上可微,且
I(x)
第十九章含参量积分
∫ [∫
0
1
b a
b 1 b +∞ 1 1 sin(ln )x y dy ]dx = ∫ dy ∫ sin(ln )x y dx = ∫ dy ∫ e − ( y +1)t sin tdt (令 x = e − t ) 0 a a 0 x x
=∫
1 dy = arctan(1 + b) − arctan(1 + a) . a 1 + (1 + y 2 )
解: 据定理 19.4 知:
Fx ( x, y ) = ∫ x f ( z )dz + y ( x − xy 2 ) f ( xy ) −
y
xy
1 x x f ( )( x − y ) y y y
= ∫ x f ( z )dz + xy (1 − y 2 ) f ( xy )
y
xy
Fxy ( x, y ) = xf ( xy ) +
b
(2) I =
∫
1 b 1 b 1 [cos(ln ) ∫ x y dy ]dx = ∫ dx ∫ x y cos(ln )dy a 0 0 x a x 1
1 ⎧ y ⎪ x cos(ln ) 0 < x ≤ 1 令 f ( x, y ) = ⎨ , 则 f ( x, y ) 在 [0,1] × [a, b] 上连续,据定理 19.5 有 x ⎪ x=0 ⎩0
1 0
+∫
1 0
⎤ 1 dy ) ⎥ 2 x +y ⎦
2
=∫
1 0
1 π dx = . x +1 4
2
类似的,
∫
1 0
dy ∫
x2 − y2 π dx = − 0 ( x 2 + y 2 )2 4
第十九章含参量积分
0 a +t
2
2
∫ 从而当 a 2 + b2 ≠ 0 时，
π
2 ln(a2 sin2
x
+ b2
cos2
x)dx
=
π
ln
a
+
b
.
0
2
∫ (2) 令 I (a) = π ln(1− 2a cos x + a2)dx 0
(Ι) 当 a < 1 时, 1 − 2a cos x + a 2 ≥ 1 − 2 a + a 2 > 0 ,因而, ln(1 − 2a cos x + a 2 )
∫ ∫ I / (b) =
π 2 0
2 b cos2 x
a2
sin
2
x
+
b2
cos2
dx x
=
2 b
π 2
1
dx = π ,
0 1+ ( a tan x)2
a+b
b
∫ 由于 I (0) =
π
2 ln(a2 sin2
x)dx
=π
ln
a
，因此
0
2
∫ I (b) = b π dt + π ln a = π ln a + b
1
∫ Ⅰ) 当 y > 1时, F ( y) = (−1)dx = −1 0
当 y < 0 时, F ( y) = 1 .
∫ ∫ ∫ 1
y
1
Ⅱ) 当 0 ≤ y ≤ 1时, F ( y) = f (x, y)dx = f (x, y)dy + f (x, y)dy = 1− 2 y .
含参量积分的分析性质及其应用
含参量积分的分析性质及其应用班级：11数学与应用数学一班成绩：日期： 2012年11月5日含参量积分的分析性质及其应用1. 含参量正常积分的分析性质及应用1。
1含参量正常积分的连续性定理1 若二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ⨯=上连续，则函数()x ϕ=⎰dcdy y x f ),(在［a,b]上连续.例1 设)sgn(),(y x y x f -=(这个函数在x=y 时不连续）,试证由含量积分⎰=1),()(dx y x f y F 所确定的函数在),(-∞+∞ 上连续.解 因为10≤≤x ，所以当y<0时，x —y>0,则sgn （x —y ）=1，即f （x ，y)=1.-1,x<y 则⎰==101)(dx y F .当10≤≤y 时， f （x ，y)= 0,x=y ，1,x 〉y则⎰⎰-=+-=yyy dx dx y F 01.21)1()(1， y 〈0当y 〉1时， f （x,y)=-1,则⎰-=-=101)1()(dx y F ,即F （x)= 1-2y ，0≤y<0—1 y>1又因).1(1)(lim ),0(1lim 1F y F F y y =-===→→F(y ）在y=0与y=1处均连续，因而F(y ）在),(+∞-∞上连续。
例2 求下列极限：(1）dx a x ⎰-→+11220limα; （2)⎰→220cos lim xdx x αα.解 （1）因为二元函数22α+x 在矩形域R=［-1，1]⨯［—1.1］上连续，则由连续性定理得dx a x ⎰-+1122在［-1，1]上连续.则⎰⎰⎰--→-→==+=+1122110112201lim lim dx x dx a x dx a x αα。
（2）因为二元函数ax x cos 2在矩形域]2,2[]2,0[ππ-⨯=R 上连续,由连续性定理得,函数⎰202cos axdx x 在]2,2[ππ-上连续.则.38cos lim 2020220==⎰⎰→dx x axdx x α例3 研究函数=)(x F dx y x x yf ⎰+122)(的连续性,其中f （x ）在闭区间［0，1]上是正的连续函数。
第十九章含参量正常积分
第十九章含参量正常积分§19.1含参量正常积分教学要求：(1) 了解含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明(2) 熟练掌握含参量正常积分的导数的计算公式.(3) 掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的应用教学重点：含参量正常积分定义及其性质；掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的应用教学难点：含参量正常积分的连续性，可微性和可积性；一、含参量正常积分的概念定义定义设二元函数f (x, y)在矩形区域R=［a,b］［c,d］上有定义，且对［a,b］内每一点x,函数f(x, y)关于y在闭区间［c,d］上可积，则定义了x的函数dI (x) = J f (x, y)dy，x匸［a,b］(1)设二元函数 f (x, y) 在区域G ={( x, y) | c(x)三y三d (x), a三x巴b}上有定义，函数c(x)，d(x)为［a,b］上的连续函数，且对［a,b］内每一点x，函数f (x, y)关于y在闭区间［c(x),d(x)］上可积,则定义了x的函数d(x) / 、F(x)二eg f(x, y)dy，x ［a,b］(2)称I (x) = f f (x,y)dy和F(x) = ［：(：f (x, y) dy为含参量x的正常积分，x称为参变量。
L c 匕(x)类似可定义含参量y的正常积分.含参量积分在形式上是积分，但积分值随参量的取值不同而变化，因此实质上是一个函数。
即含参量正常积分是以积分形式表达的函数，含参积分提供了表达函数的又一手段•二、含参量正常积分的连续性、可微性与可积性1.连续性:定理19.1(连续性)若二元函数f(x,y)在矩形区域R=［a,b］［c,d］上连续，则函数l(x)二:f(x, y)dy 在［a,b］上连续.分析设［a,b］，对充分小的x，有x*x・［a,b］(若x为区间端点则考虑x 0或.■:x ::: 0)，要证I (x)在［a, b］上连续,只须证I (x)在任意x ［a, b］上连续,只须证-；0,_ -「0, 当| ■'■：x | ：：：-；时，| I (x * =x) - I (x)卜：；，即 - ；• 0,二心a 0,当|卜：：时，d d| c［ f (x .X y) - f(x,y)］dy c | f(x .：x, y) - f (x, y) | dy ：：：；.要使上式成立，只须| f (x • ：x, y) - f (x, y)卜：；(d -c).由f (x, y)在R上连续，从而一致连续可得结果.证明思路：连续的定义+—致连续。
高等数学含参变量的正常积分
设 f ( x, y) 是定义在矩形域 R(a x b, c y d ) 上的二元 函数, 当
x 取 [a, b] 上某定值时,函数
f ( x, y) 则是定义在 [c, d ]
上以 y为自变量的一元函数.若此时 f ( x, y)在 [c, d ]上可积,
则其积分值是 x 在 [a, b]上取值的函数,表为
I(x) f ( x, y)dy 在 [a, b] 上可微, 且 c d d d f ( x, y )dy f ( x, y )dy c x dx c
运算与积分运算可交换顺序。
同理：对于 J(y) f ( x, y )dx，在[c, d ]上可微，且
b d b f ( x , y )dx f ( x , y )dx a y dy a
0
cos x 1 1 dx 1 dx 0 1 cos x 1 cos x
1 1 dx 0 1 cos x
1 2 1 2 2 1 2 1
1
x I ( y ) dx 0 (1 x 2 )( 1 xy)
1
x y y 0 1 x 2 1 x 2 1 xy dx 1 ln 2 y ln (1 y ) 2 1 y [a, b]
c
d
称为含参量 x 的正常积分,或简称含参量积分.
类似地称
J ( y) f ( x, y) dx
a
b
为含参变量
y 的积分。
I ( y ) 是一个由含参变量的积分所确定的函数，
2. 性质 (i)、 连续性 :
第十讲含参变量的积分
第十讲含参变量的积分10 . 1 含参变量积分的基本概念含参量积分共分两类：一类是含参量的正常积分；一类是含参量的广义积分． 一、含参量的正常积分 1 ．定义设()y x f ,定义在平面区域[][]d c b a D ,,⨯=上的二元函数，对任意取定的[]b a x ,∈．()y x f ,关于 y 在[]d c ,上都可积，则称函数()()[]b a x dy y x f x I dc,,,∈=⎰为含参量二的正常积分．一般地，若 ()()(){}b x a x d y x c y x D ≤≤≤≤=,|, ，也称()()()()[]b a x dy y x f x I x d x c ,,,∈=⎰为含参量x 的正常积分．同样可定义含参量 y 的积分为()()[]d c y dx y x f y J ba,,,∈=⎰或()()()()[]d c y dx y x f y J y b y a ,,,∈=⎰2 ．性质（以 I ( x ）为例叙述）( l ）连续性：若 ()y x f ,必在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,连续，即对[]b a x ,0∈∀，()()()()⎰=→000,lim 0x d x c x x dy y x f x I( 2 ）可积性：若()y x f ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,可积．且有()()()⎰⎰⎰⎰⎰==bab ad cbadcdx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,（若 D 为矩形区域， ·( 3 ）可微性：若 ()y x f ,的偏导数()y x f x ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,可导，则()x I 在 []b a ,可导，且()()()()()()()()()()x c x c x f x d x d x f dy y x f x I x d xc x''',,,-+=⎰·以上性质的证明见参考文献［ 1 ] ，这里从略，例10. l 求积分⎰>>-⎪⎭⎫ ⎝⎛10,ln 1ln sin a b dx xxx x ab 解法 1 （用对参量的微分法）：设()⎰>>-⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,ln 1ln sin a b dx x xx x b I ab ，()()()()()()()b I b b dx x x x x b x d x b dx x x b x b x b x d x dxx x b I b b b b b b b '221010121102101010111'11111ln sin |1ln cos 111ln cos 111ln cos 11|1ln sin 111ln sin 1ln sin +-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=⎰⎰⎰⎰⎰++++所以()()()()()⎰++=++=⇒++=C b db b b I b b I 1arctan11111122'，令a b =，则 ()()()1arctan 1arctan0+-=⇒++==a C C a a I 所以原积分()()()1arctan 1arctan+-+==a b b I I 解法 2 : （交换积分顺序方法）因为xx x dy x ab bayln -=⎰，所以⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=10101ln sin 1ln sin b a y b a y dx x x dy dy x x dx I同解法()⎰++=⎪⎭⎫ ⎝⎛1021111ln sin y dx x x y，所以有 ()()()⎰+-+=++=baa b dy y I 1arctan 1arctan1112注：在以上解题过程中，需要验证对参量积分求导和交换积分顺序的条件，为简洁省略了，但按要求是不能省的． 例10.2 设()()()dz z f yz x y x F xyyx ⎰-=,，其中f 为可微函数，求()y x F xy,·解：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()xy f y y x y x f y x xy f xy x xy f y y x xy f y x x y f y x xy xf F xy f y yx dz z f xy f xy x y dz z f y x f x x y xy f xy x y dz z f F xy xyyx xyyx xyy x x '2222'222222213213111-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-+⎪⎭⎫⎝⎛+=-+=-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+=⎰⎰⎰二、含参量的广义积分含参量的广义积分包括两类：含参量的无穷积分和含参量的瑕积分 （一）含参量的无穷积分1 ．定义：设 ()y x f ,定义在[][)+∞⨯=,,c b a D 上，对每个取定的[]b a x ,∈，积分 ,()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,都收敛（也叫逐点收敛），它是一个定义在[]b a ,上的函数，称该积分为含参量x 的无穷积分 同样可以定义 ()()[]⎰+∞∈=ad c y dx y x f y J ,,,2 ．一致收敛若对c M >∃>∀,0ε，当 A > M 时，对一切[]b a x ,∈，恒有()()()εε<<-⎰⎰+∞AA cdy y x f dy y x f x I ,,或则称含参量积分在[]b a ,上一致收敛．注：非一致收敛定义：若00>∃ε，使得c M >∀，总存在M A >0，及存在[]b a x ,0∈，，使得()()()000000,,εε<<-⎰⎰+∞A A cdy y x f dy y x f x I 或3 ．一致收敛的柯西准则含参量积分（ l ）在[]b a ,上一致收敛⇔对 c M >∃>∀,0ε，当 M A A >>12时，对一切[]b a x ,∈，都有()ε<⎰21,A A dy y x f注：非一致收敛的柯西准则：含参量积分（ 1 ）在[]b a ,上非一致收敛c M >∀>∃⇔,00ε存在M A A >>12，及存在[]b a x ,0∈，使得()0021,ε<⎰A A dy y x f4.一致收敛判别法( I ) M 判别法：若()()()D y x y g y x f ∈∀≤,,,而()⎰+∞cdy y g 收敛，则()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛（同时也绝对收敛） .( 2 ）阿贝尔判别法： ①()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛； ② 对每一个[]b a x ,∈，()y x g ,关于y 单调，月关于x 一致有界，则积分()()⎰+∞cdy y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛．( 3 ）狄利克雷判别法： ①()[]()c A b a x M dyy x f Ac>∀∈∀≤⎰,,,（即一致有一界）;② 对每一个[]()y x g b a x ,,,∈必关于 y 单调，且当 +∞→y 时()y x g ,对x 一致趋于零，则积分()()⎰+∞cdy y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛 ·例 10 . 3 讨沦下列积分的一致收敛性： （1）()⎰∞++-122222dx y xx y 在()+∞∞-,；（2）[)⎰+∞-+∞∈0,0,sin y dx xxe xy 解： ( 1 ）因为()()()()+∞∞-∈∀≤+=++≤+-,112222222222222y xy x y xy x y xx y ，而积分 ⎰+∞121dx x 收敛，由M 发，()⎰∞++-122222dx yx x y 在()+∞∞-,一致收敛 ·( 2 )因为⎰+∞sin dx xx收敛，且与y 无关，故关于y 一致收敛，而xy e -对固定的y 关于x 在[)+∞,1上单调减，且1≤-xye ，对()()()+∞⨯+∞∈∀,0,0,y x ．由阿贝尔判别法知，积分⎰+∞-0sin dx xxe xy在()+∞∈,0y 上一致收敛． 5 ．分析性质( l ）连续性：若满足：① ()y x f ,在[][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛；则()x I 在[]b a ,上连续，即()()()dy y x f x I x I cx x ⎰+∞→==,lim 000·( 2 ）可积性：参量 []b a x ,∈若满足： ①()y x f ,在[][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛；则()x I 在[]b a ,上可积，即()()()⎰⎰⎰⎰⎰+∞+∞==babaccb adx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,参量[)+∞∈,a x ，若满足：① ()y x f ,在 [)[)+∞⨯+∞=,,c a D 上连续； ②()[]()c d d c y dy y x f a>∀∈⎰+∞,,,和()[]()a b b a x dy y x f c>∀∈⎰+∞,,,都一致收敛；③ 积分()⎰⎰+∞+∞acdy y x f dx ,与()⎰⎰+∞+∞cadx y x f dx ,收敛；则()x I 在[]b a ,上收敛，且()()dx y x f dy dy y x f dx acca⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞=,,( 3 ）可微性：若满足：①()y x f ,和()y x f x ,在 [][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]b a x dy y x f x I c,,,∈=⎰+∞收敛；③()[]b a x dy y x f cx ,,,∈⎰+∞一致收敛；则()x I 在[]b a ,上可微，且()()[]b a x dy y x f x I cx ,,,'∈=⎰+∞注： ( 1 ）在定理的条件下，必可导出 ② 也是一致收敛的． ( 2 ）定理的条件都是充分而非必要的． 6 ．狄尼（ Dini ）定理若()y x f ,在 [][)+∞⨯=,,c b a D 连续且非负，则()()dy y x f x I c⎰+∞=,在[]b a ,上连续()x I 在[]b a ,上一致收敛．证明：充分性是显然的，下证必要性． （反证法）假设()()[]b a x dy y x f x I c,,,∈=⎰+∞不一致收敛，由定义，00>∃ε，对cM >∀总存在[]b a x M A ,,00∈∃>，使得()()0000,ε≥-⎰A cdy y x f x I ．特别地，取 M 大于c 的自然数n ·则分别存在 []b a x n A n n ,,∈> ，使得()()0,ε≥-⎰nA cn n dy y x f x I · 注意到f 非负，可写作()()0,ε≥-⎰nA cn n dy y x f x I ．由于{}[]b a x n ,⊂有界，记为{}(),...2,1=k x n ，则[]b a x x nk k ,lim 0∈=∞→，不妨设......21<<<<nk n n A A A ，再注意到 f 非负，因此有()()()()⎰⎰≥-≥-10,,n nkA cA cnk nk nk nk dy y x f x I dy y x f x I ε （*）由已知条件，对固定的1n A ，函数()()()⎰-=1,n A cdy y x f x I x F 在[]b a ,上连续，对（*）令∞→k 取极限得()()()00001,ε≥-=⎰dy y x f x I x F n A c．此与()x I 的定义（即逐点收敛）矛盾，即()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛 ·（二）含参量的瑕积分 1 ．定义设()y x f ,在区域[](]d c b a D ,,⨯=上有定义，对取定的[]c y b a x =∈,,为函数 f 的瑕点, 若积分()()[]⎰∈=dcb a x dy y x f x I ,,,收敛，它是一个定义在[]b a ,上的函数，称其为含参量x 的瑕积分．2 一致收敛对c d -<<∃>∀δδε0:,0，当δη<<0时，恒有()εη<⎰+c cdy y x f ,，对一切[]b a x ,∈成立，称()()dy y x f x I dc⎰=,在[]b a ,上一致收敛．3.M 判别法设 g ( y ）为定义在（ c , d ］上以 c y =瑕点的非负函数．且()()[]()b a x y g y x f ,,∈∀≤ ，而()dy y g d c⎰收敛，则()()[]b a x dy y x f x I dc,,,∈=⎰必一致收敛其余的可仿照含参量无穷积分的相关内容平行推得，当然也可以将它转化为无穷积分进 行讨论，这里不再赘述．。
（完整版）含参量积分的分析性质及其应用
（完整版）含参量积分的分析性质及其应用含参量积分的分析性质及其应用班级：11数学与应用数学一班成绩：日期： 2012年11月5日含参量积分的分析性质及其应用1. 含参量正常积分的分析性质及应用1.1含参量正常积分的连续性定理1 若二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ?=上连续,则函数()x ?=?dcdy y x f ),(在[a,b]上连续.例1 设)sgn(),(y x y x f -=（这个函数在x=y 时不连续）,试证由含量积分?=10),()(dx y x f y F 所确定的函数在),(-∞+∞ 上连续.解因为10≤≤x ,所以当y<0时,x-y>0,则sgn(x-y)=1,即f(x,y)=1.-1,x01)(dx y F .当10≤≤y 时, f(x,y)= 0,x=y,1,x>y则??-=+-=yyy dx dx y F 01.21)1()(1, y<0当y>1时, f(x,y)=-1,则?-=-=101)1()(dx y F ,即F(x)= 1-2y,0≤y<0-1 y>1又因).1(1)(lim ),0(1lim 1F y F F y y =-===→→F(y)在y=0与y=1处均连续,因而F(y)在),(+∞-∞上连续.例2 求下列极限：（1）dx a x ?-→+11220limα; (2)?→220cos lim xdx x αα.解（1）因为二元函数22α+x 在矩形域R=[-1,1]?[-1.1]上连续,则由连续性定理得dx a x ?-+1122在[-1,1]上连续.则--→-→==+=+1122110112201lim lim dx x dx a x dx a x αα.（2）因为二元函数ax x cos 2在矩形域]2,2[]2,0[ππ-=R 上连续,由连续性定理得,函数?202cos axdx x 在]2,2[ππ-上连续.则.38cos lim 2020220==??→dx x axdx x α例3 研究函数=)(x F dx y x x yf ?+122)(的连续性,其中f （x ）在闭区间[0,1]上是正的连续函数.解对任意00>y ,取0>δ,使00>-δy ,于是被积函数22)(yx x yf +在],[]1,0[00δδ+-?=y y R 上连续,根据含参量正常积分的连续性定理,则F （y ）在区间],[00δδ+-y y 上连续,由0y 的任意性知,F （y ）在),0(+∞上连续.又因dx yx x yf dx y x x yf y F ??+-=+-=-1022122)()()(,则F （y ）在)0,(-∞上连续.当y=0处0)(0=y F .由于)(x f 为[0,1]上的正值连续函数,则存在最小值m>0.y m dx y x my dx y x x yf y F 1arctan )()(1022122=+-≥+=??,从而04)(lim 0>≥+→πm y F y ,但F(y)在y=0处不连续,所以F （y ）在),0(),(+∞+∞-∞Y 上连续,在y=0处不连续.定理2 设二元函数f(x,y)在区域G={(x,y)|b x a x d y x c ≤≤≤≤),()(}上连续,其中c(x),d(x)为[a,b]上的连续函数,则函数 F(x,y)= ?) ()(),(x d x c dy y x f 在[a,b]上连续.例4 求?+→++αααα12201limx dx. 解记?+++αααα1221)(x dx I .由于2211,1,ααα+++x 都是α和x 的连续函数,由定理2知)(αI 在0=α处连续,所以41)0()(lim 1020παα=+==?→x dx I I .例5 证明函数dx e y F y x ?-∞--=0)(2)(在),(+∞-∞上连续.证明对),(+∞-∞∈?y ,令x-y=t,可推得∞+-∞+-----∞+--+=+===0)(2)(22222yyt t t t y x dt e dt e dt e dt e dx e y F π.对于含多量正常积分?--02yt dt e ,由连续性定理可得?--02yt dt e 在),(+∞-∞上连续,则dx e y F y x ?+∞--=0)(2)(在),(+∞-∞上连续.1.2含参量正常积分的可微性定理3 若函数f ()y x ,与其偏导数xf ()y x ,都在矩形区域R=[a,b]*[c,d]上连续,则()x ?=dy y x f d c),(在[a,b]上可微,且dy y x f xdy y x f dx d d c dc ),(),(=.定理 4 设f ()y x ,,x f ()y x ,在R=[a,b]*[p,q]上连续,c ()x ,d ()x 为定义在[a,b]上其值含于[p,q]內的可微函数,则函数F ()x =?)() (),(x d x c dy y x f 在[a,b]上可微,且).())(,()())(,(),()('')()('x c x c x f x d x d x f dy y x f x F x d x c x -+=?定理5 若函数f ()y x ,及x f ()y x ,都在[a,b;c,d]上连续,同时在[c,d]上)('y a 及)('y b 皆存在,并且a ≤a(y)≤b,a ≤b(y)≤b (c ≤y ≤d),则-+==)()('')()(')(]),([)(]),([),(),()(y b y a y y b y a y a y y a f y b y y b f dx y x f dx y x f dy d y F . 证明考虑函数F(y)在[c,d]上任何一点处得导数,由于)()()(),(),(),()(3)()(21)()()()(000y F y F y F dx y x f dx y x f dx y x f y F y a y a y b y b y b y a o -+=-+=?.现在分别考虑)3,2,1)((=i y F i 在点0y 处得导数.由定理5可得=)()(00'100),()(y b y a y dx y x f y F .由于0)(02=y F ,所以dx y y y x f y y y F y y y F y F y F y b y b y y y y o y y o-=-=--=→→→)()(0020220;'2000),(lim )(lim )()(lim)(.应用积分中值定理),()()(lim)(000'20y f y y y b y b y F y y ξ?--=→.这里ξ在)(y b 和)(0y b 之间. 再注意到f ()y x ,的连续性及b(y)的可微性,于是得到]),([)()(000'0'2y y b f y b y F =.同样可以证明]),([)()(000'0'3y y a f y a y F =于是定理得证.例6 设,sin )(2dx xyxy F y y ?=求)('y F .解应用定理5有 y y yy y yxdx y F y y223'sin 1sin 2cos )(2-?+=?yy y y yyxy y23sin sin 2sin 2-+=yy y 23sin 2sin 3-=.例7 设)(x f 在0=x 的某个邻域U 上连续,验证当U x ∈时,函数dt t f t x n x n x )()()!1(1)(10-?--=? （1）的n 阶导数存在,且).()()(x f x n =?解由于（1）中被积函数)()(),(1t f t x t x F n --=及其偏导数),(t x F x 在U 上连续,于是由定理4可得----+---=x n n x f x x n dt t f t x n n x 012')()()!1(1)())(1()!1(1)(? ?---=x n dt t f t x n 02.)()()!2(1同理----+---=x n n x f x x n dt t x n n x 013'')()()!1(1))(2()!2(1)(? ?---=x n dt t f t x n 03.)()()!3(1如此继续下去,求得k 阶导数为-----=x k n k dt t f t x k n x 01)(.)()()!1(1)(?特别当1-=n k 时有=-xn dt t f x 0)1(,)()(?于是).()()(x f x n =?例8 计算积分.1)1ln(12dx xx I ?++=.解考虑含参量积分.1)1ln()(102dx xx ?++=αα? 显然,)1(,0)0(I ==??且函数21)1ln(xx ++α在R=[0,1]?[0,1]上满足定理3的条件, 于是++=102'.)1)(1()(dx x x xαα?.因为),11(11)1)(1(222x xx x x x ααααα+-+++=++ 所以)('α?)111(11101010222+-++++=dx x dx xx dx x αααα ])1ln()1ln(21arctan [1110102102x x x ααα+-+++= )].1ln(2ln 214[112απαα+-+?+=因此10')(αα?d ?+-++=102)]1ln(2ln 214[11αααπαd )1(arctan 2ln 21)1ln(810102?ααπ-++= )1(2ln 82ln 8?ππ-+=)1(2ln 4π-=.另一方面=-=10'),1()0()1()(αα?d 所以.2ln 8)1(π==I1.3含参量正常积分的可积性定理6 若f ()y x ,在矩形区域R=[]b a ,×[]d c ,上连续,则()x ?和()x ψ分别在[]b a ,和[]d c ,上可积.其中()x ?=()?d c y x f ,dy,x ∈[]b a ,,()x ψ=()?ba y x f ,dy.这就是说：在f ()y x ,连续性假设下,同时存在求积顺序不同的积分：()dx dy y x f ba d c,与()dy dx y x f dcb a ?,,简便记为()dyy x f dx b adc,与()dx y x f dy dcba,,前者表示f ()y x ,先对y 求积然后对x 求积,后者则表示先对x 求积再对y 求积.它们统称为累次积分或更确切地称为二次积分.由可积性的定理进一步指出,在f ()y x ,连续性假设下,累次积分与求积顺序无关,即若f ()y x ,在矩形区域R=[]b a ,×[]d c ,上连续,则()dy y x f dx bad c,=()dx y x f dy d cba,.定理7 若f ()y x ,在矩形区域R=[]b a ,×[]d c ,上连续,g ()x 在[]b a ,上可积,则作为y 的函数()()dx x g y x f ba,在[]d c ,上连续,且()()dy y x f dx x g d ccba,=()()dx x g y x f dy d cba,.注意推论中闭区间[]d c ,可以换成开区间或无穷区间,因为可积性定理是由连续性推得的,连续性是局部性质.例9 求I=dx xx x ab ?-1ln （b>a>0）. 解由xx x dy x ab bayln -=得I=dx dy x b a y10=??10b a y dy x dx ,因为()y x y x f =,在矩形区域[][]b a ,1,0?上连续,由定理可得I=dx x dy b ay ??1=dy y ba ?+11=ln ab ++11. 例10 试求累次积分()dy yxy x dx ??+-1012222与()+-10122222dx yxy x dy ,并指出它们为什么与定理的结果不符.解：()dy y xy x dx ??+-101022222=()dx dy y x y x++101022222=()()dx y x y x d y y x dy++-+1010102222222=dx y x yd y x dy ??+++10101022221=dx x ?+10211=0arctan 1arctan -=4π. () +-1122222dx y xy x dy =()dx x y x y dy ??+--10122222,由()dy y xy x dx ?+-1122222=4π,同理可得()dx x yx y dy ??+-10122222=4π,所以()??+-10102222 2dx y x y x dy =–4 π.即()dy yxy x dx+-10122222≠()+-10122222dx yxy x dy ,这与定理不符.因为()()()222220,0,limyxy x y x +-→=()()()2222220,0,2limy xy y x y x +-+→=()()()+-+→2222220,0,21lim y x y y x y x 不存在, 所以()()22222,yxy x y x f +-=在点()0,0处极限不存在,即在矩形区域[][]1,01,0?上不连续,不满足定理的条件.例11 应用积分号下的积分法求积分,dx x xb ln 1ln sin 10-?()0>>a b . 解令()xx x x x g ab ln 1ln sin -??? ??=,x x x dy x a b b a yln -=?.因为()()()(),01,00,0lim ,0lim 1====→→+g g x g x g x x 所以()x g 在[]1,0上连续. 所以dx x xx x a b ln 1ln sin 10-??? ???=()?10x g =dx dy x x b a y ????101ln sin . 令()y x f ,= yx x ??1lnsin , 10≤<="" 0="x" p="">则()y x f ,在矩形区域[][]b a ,1,0?上连续,由定理可知dx dy x x b ay101ln sin =dx x x dy yba101ln sin =()?+∞aty tdte dy 01sin =()()()a b dy y ba +-+=++?1arctan 1arctan 1112.2. 含参量反常积分的分析性质及应用2.1含参量反常积分的连续性定理8 设),(y x f 在?I [+,c ∞）上连续,若含参量反常积分)(x φ=?+∞c dyy x f ),(在I 上一致连续,则Φ（x ）在I 上连续.推论 ),(y x f 在?I [+,c ∞）上连续,若dy y x f x c+∞=Φ),()(在I 上內闭一致收敛,则Φ（x ）在I 上连续.这个定理也表明,在一致收敛的条件下,极限运算与积分运算可以交换：dy y x f x dy y f dy y x f x c x c o c x ox ),(lim ),(),(lim 0+∞→+∞+∞→==例12 证明⑴dy x e xy+∞-0⑴在[a,b]（a>0）上一致收敛;⑵ 在[0,b]上不一致收敛.证明⑴? x ),(b a ∈,y ),0[+∞∈,有bexeayxy--≤≤0,而dybe xy ?+∞-0收敛（a>0）,由M 判别法,知反常积分dy x e xy+∞-0在[a,b]（a>0）上一致收敛.⑵因Φ（x ）=dy x e xy ?+∞-0= 0,0=x ，1,0b x ≤≤.在x=0处不连续,而xe xy -在0≤ x ≤ b,0≤y ≤ +∞ 內连续,由连续性定理知dy x e xy+∞-0在0≤ x ≤ b 上不一致连续.例13 回答对极限dy xy xy e x ?+∞→-+220lim 能否施行极限与积分运算顺序的变换来求解？解110lim ][0lim lim22222lim ==--=-=-++++→+∞→∞+→∞+→x x x x xy xyexyee dxy dy xyo . 而0002lim 2==-?∞+∞+→+dy dy xyxyex 运算顺序不能交换,是因为dy xyxye∞22在[0,b]（b>0）上不一致收敛,故不满足含参量反常积分连续性条件.定理9 如果函数),(u x f 在[a,+∞）×[βα,]上连续,而且积分?+∞adxu x f ),(在[βα,]上一致收敛,那么由Φ（x ）=?+∞adx u x f ),(所确定的函数Φ在[βα,]上连续.证明由于+∞adx u x f ),(在[βα,]上一致连续,故对任意ε>0,存在A 0>a,使得不等式︱?+∞A dx u x f 0),(︱<3ε对[βα,]中所有的u 成立.因为函数),(u x f 在[βα,]上连续,?+∞A dx u x f 0),(是[βα,]中的连续函数,因而对任意0u ∈[βα,],任意ε>0,存在δ>0 , 当u ∈[βα,]且δ<-0u u 时,︱?A dx u x f a),(-?A dx u x f a),(0︱<3ε.于是当u ∈[βα,]且︱u -0u ︱<δ时, ︱()()0u ?︱=︱+∞adxu x f ),(-? +∞adxu x f ),(0︱≤︱A dxu x f a ),(-A dxu x f a ),(0︱+︱+∞Adx u x f 0 ),(︱+︱?+∞Adx u x f 0),(0︱<3ε+3ε+3ε=ε.这就证明了?在0u 处是连续的.由于0u 是[βα,]中的任意点,所以?在[βα,]上连续.这个定理也可以写成：+∞→+∞+∞→=a u aau dx u x f u dx x f dx u x f u u )),(lim (),(),(00lim 即在积分一致收敛的条件下,极限号与积分号可以交换.例14 讨论函数=)(α?dx x x x)2(arctan 3+?+∞α的连续性区间.解先看函数)(α?的定义域是什么,即上述积分在什么范围内收敛.在x=0附近,x x x dx x 13121~)2(arctan -+αα.所以当α<2时,积分dx xx x)2(arctan 3+?+∞α当x +∞→时,dx x x x )2(arctan 3+α～x312+απ,所以积分dx xx x)2(arctan 31+?+∞α当α>-2时收敛.由此得知)(α?的定义域是（-2,2）.我们只需证明?在任意[a,b]?（-2,2）上连续.根据定理9只要证明上面的积分在[a,b]上一致收敛.当x )1,0(∈时,设a ≤b<2,这时存在常数c 使得dx x x x a )2(arctan 3+≤x a c 1-≤xb c 1-而b-1<1,故由比较判别法,积分dx xx x a )2(arctan 31+?在（+∞,b]一致收敛.当x ∈[1,+∞）时,设-2xxa a dx x3331212)2(arctan ++≤≤+ππα.而a+3>1,故有比较判别法,积分dx xx x)2(arctan 31+∞+α在[a,+∞）上一致收敛,把积分合在一起,即知dx x x x)2(arctan 3+?+∞α[a,b]?（-2,2）上一致收敛,故?在（-2,2）上连续.注意与级数的情形一样,积分的一致收敛只是保证?连续的一个充分不必要条件.但在f 非负的条件下,积分的一致收敛便是?连续的必要条件. 2.2含参量反常积分的可微性定理10 设),(y x f 与),(y x f x 在区域I ?[,c )∞+上连续.若dy y x f x c+∞=Φ),()(在I 上收敛,dy y x f cx ),(?+∞在I 上一致收敛,则)(x Φ在I 上可微,且dy y x f x cx ),()('?+∞=Φ.例15 求积分dx x xye x2cos -?+∞-. 解记J(y)= dx xxy e x 20cos -?+∞-,有参量反常积分可微性定理推得)('y J = dx xxye xsin 0+∞-=y arctan ,而0)0(=J ,所以dx xxy20cos 1-?+∞-=)(y J =?y dt t J 0)(', )1ln(21arctan arctan 20y y y tdt I y +-==?.例16 对dy e x x F y x 23)(-+∞=能否运用积分与求导运算顺序变换求解.逻辑推理验证函数dy e x x F y x 23)(-+∞=是否满足可微性定理条件,若不满足条件,则不能变换顺序. 1,0≠x ,解由于??+∞--+∞-=??0420322)23()(dy e y x x dy e x xy x yx = 0,0=x .因而dy e x xyx )(203-+∞?在[]1,0上不一致收敛,故不能运用含参量反常积分可微性定理.实际上,因dy e x x F y x 23)(-+∞==x ,()+∞∞-∈,x ,则,1)('=x f 而+∞--+∞-=??0420322)23()(dy e y x x dy e x x yx y x 在x =0处为零.故积分与求导运算不能交换顺序.定理11（积分号下求导定理）设),(y x f 与),(y x f x 在?I [,c )∞+上连续.若dy y x f x c+∞=Φ),()(在I 上收敛,而dy y x f cx ),(?+∞在I 上内闭一致收敛,则)(x Φ在I 上可微,且dy y x f x cx ),()('?+∞=Φ.证明设｛n C ｝()c C o =为一递增且趋于∞+的数列,记dy y x f x u nn c c n ?-=1),()(,n=1,2···,且有)(x I =)(1x u n n ∑∞=.由正常积分的连续性定理得)(x u n （n=1,2···,）在[]b a ,上可微,且dy y x f x u nn c c n ?-=1),()(',n=1,2···,由已知条件dy y x f cx ),(?+∞在[]b a ,上一致收敛,又因若含参变量反常积分dy y x f c),(?+∞关于[]b a x ,∈一致收敛,则函数项级数)('1x u n n ∑∞=关于[]b a x ,∈一致收敛.从而函数项级数==?∑∑-∞=∞=dy y x f x u nn c c x n n n 1),()('11dy y x f cx ),(?+∞也在[]b a ,上一致收敛,根据函数项级数的逐项求导定理,即得)(x I 在[]b a ,上可微,且==∑∞=)(')('1x u x I n n dy y x f cx ),(?+∞.上述定理的结果也可记成dy y x f x dy y x f dx d c c),(),(??+∞+∞=. 定理12 如果函数f 和u f ??都在[)[]βα,,?+∞a 上连续,积分dxuu x f a ?+∞),(在[]βα,上一致收敛,那么?+∞=adx u x f u ),()(?在[]βα,上可微,而且βα?≤≤??=?+∞u dx uu x f u a,),()('. 证明对于任意正整数a n >,令?=n an dx u x f x ),()(?.又因为若函数f 及其偏导数uf都在闭矩形[][]βα,,?=b a I 上连续,那么函数?=b a dx u x f x ),()(?在[]βα,上可微,而且dx u x f ux du d ba)),(()(=?.所以n ?在[]βα,上有连续的导函数dx uu x f u nan ?=),()('?. 由于.),(dx uu x f a+∞在[]βα,上一致收敛,所以函数列{})('u ?在[]βα,上一致收敛,且因{}n ?在[]βα,上收敛于?,故?在[]βα,上连续可微,且βα?≤≤??=?+∞u dx uu x f u a,),()(' 成立.例17 利用对参数的微分法,计算微分a dx xe e bxax ,0222∞+---﹥0,b ﹥0.解把a 看作参数,记上面的积分为),(a I 那么dx e a I ax ?+∞--=02)('.为了说明微分运算和积分运算的交换是允许的,我们把a 限制在区间[)+∞,δ中,这里δ是任意一个正数.于是.2ax 2x e e δ-≤-由于.02dx e x ?+∞-δ收敛,故由Weierstrass 判别法知道,积分.02dx e ax ?+∞-对[)+∞∈,δa 中一致收敛,故由上述定理可知上面的运算成立.由于δ﹥0是任意的,故.)('02a I ax ?+∞--=在()+∞,0中成立.计算得aa I 2)('π-=, 所以.)(c a a I +-=π由于,,0)(b c b I π==故最后得).()(a b a I -=π 2.3含参量反常积分的可积性定理13设),(y x f 在[a,b][c, )∞+上连续,若dy y x f x c+∞=Φ),()(在[a,b]上一致收敛,则)(x Φ在[a,b]上可积,且dy y x f dx cb a+∞),(=dx y x f dy bac+∞),(.定理14 设),(y x f 在[a,b]?[c, )∞+上连续,若（1）?+∞adx y x f ),(关于y在[c, )∞+上内闭一致收敛,?+∞cdy y x f ),(关于x 在[a,)∞+上内闭一致收敛；（2）积分??+∞+∞dy y x f dx ),(与??+∞+∞cadx y x f dy ),(中有一个收敛.则+∞+∞acdy y x f dx ),(=dx y x f dy ac+∞+∞),(.例18 等式dy e baxy-=xee bxax---出发,计算积分dx xe e bx ax ?∞+---0（b>a>0）.解因为xy e -在[0,)∞+?[ a,b]上连续,且xy ≥ax,则有0<="" e=""p="" xy="">dx e ax ?+∞-0=-∞+-01ax e a=a1收敛,由M 判别法可推断含参量反常积分dx e ax ?+∞-0在[ a,b]（a>0）上一致收敛.由可积性定理知()=I y ?+∞-0dx e xy 在[ a,b]上可积.且dy e dx b axy ??-+∞=dx x e e bx ax ?∞+---0=dx e dy xyb a ??+∞-0=?+∞--b a xy dy e y 01=?bady y 1=ab ln . 例19 对dx e xy y dy xy ??+∞--03103)22(能否运用积分顺序交换来求解？解：令u=x 2y ,则dx exy y dy xy ?+∞--03103)22(=[]dy ue yu∞+-?0102=10dy =0而[]x xu ux xy xy e ue xdu e u x dxy e xy x dy e xy y -----==-=-= -02102131)1(1)1(1)22(22.则dy e xy y dx xy ??-+∞-1303)22(=dx e x ?+∞-0=1. 所以积分运算顺序不能变换.原因是dx e xy y xy +∞--033)22(在[0,1]上不一致收敛,故不满足参量反常积分可积性定理条件.。
含参量积分
d
从而I ( x)在[a, b]上连续. 同理可证: 若f ( x, y)在矩形域R上连续， 则含参量y的积分
J(y) f ( x, y)dx 在[c, d ]上连续. a 注 : 由连续性， 若f ( x, y)在矩形域R上连续， 则x0 [a, b], 都有
x x0 c
( ii ) x [a , b],函数g( x , y )为y的单调函数， 且对参量x ,
g( x, y )在[a, b]上一致有界， 则含参量反常积分
c
f ( x , y ) g( x , y )dy 在[a , b]上一致收敛.
例1 : 证明反常积分
0
cos xy dx 在 (,) 上一致收敛. 2 1 x
F(x) F (x)
'
d ( x)
c( x)
f ( x, y )dy
在 [a, b]上可微, 且
' '
dБайду номын сангаас( x)
c( x)
f x ( x, y )dy f ( x, d ( x)) d ( x) f ( x, c( x))c ( x).
请结合复合函数及活动上限积分的求导法则完成证明
例1 :
求 lim
0
1
dx . 2 2 1 x
解:
dx 记I ( ) . 2 2 1 x 1 由于 ,1 , 都是和x的连续函数， 2 2 1 x 所以I ( )在 0处连续， 从而
1
0
lim
1
1 dx dx I (0) . 2 2 2 0 1 x 1 x 4
二元含参量正常积分函数的分析性质
二元含参量正常积分函数的分析性质在数学和物理科学等科学领域中，对积分函数的研究非常重要。
积分函数是一种描述物体受重力和动能等作用后形成曲线及其变化情况的函数。
在数学理论中，一般分形函数，椭圆形函数，超函数等都可以用积分函数来表示。
本文将重点研究二元含参量正常积分函数的分析性质。
首先，定义二元含参量正常积分函数。
积分函数是一个复合函数，其中含有两个参量，一个是内部参量，一个是外部参量。
内部参量用来描述物体受重力和动能等作用的变化，其中有多个变量参与，而外部参量则是控制函数变化的参量。
二元含参量正常积分函数是指具有两个参量的积分函数，这两个参量分别是内部参量和外部参量。
接下来，研究二元含参量正常积分函数的分析性质。
首先，二元含参量正常积分函数可以用来描述物体的动能变化。
通过对二元含参量正常积分函数的分析，可以预测物体受重力和动能等作用时，它的动能变化情况，从而可以更好地研究其演变规律。
此外，二元含参量正常积分函数还可以用来描述一定物理函数的变化情况，例如弹性变形、矩形面内变形等。
再者，二元含参量正常积分函数还可以用来描述多维空间中的函数变化情况。
通过对二元含参量正常积分函数的分析，可以更清楚地反映出物体在多维空间的变化边界，如圆柱体和球体等。
同时，对于多参数偏微分方程，也可以通过二元含参量正常积分函数的分析，来解决各种多参数的问题。
最后，还要注意，二元含参量正常积分函数的分析并不是一件容易的事情，它需要用到高等数学，有时还要用到抽象代数学，线性代数学，统计学等课程的知识，才能全面深刻地研究二元含参量正常积分函数的分析性质。
综上所述，二元含参量正常积分函数是一种非常重要的数学函数，不仅可以用来描述物体的动能变化，还可以用来描述一定物理函数的变化情况，也可以用来描述多维空间中的函数变化情况，甚至可以用来求解多参数偏微分方程。
总之，二元含参量正常积分函数在科学研究中有着重要的作用，它值得我们进一步深入研究。
二元含参量正常积分函数的分析性质
二元含参量正常积分函数的分析性质正常积分是数学分析中一个重要的概念，它指的是在一个有界区域上沿着特定方向积分函数的过程。
它有普通正常积分、二元含参量正常积分、多元含参量正常积分等不同类型。
其具体的类型则取决于参数的数量。
本文将专注于二元含参量正常积分函数，尝试探讨其分析性质。
二、定义二元含参量正常积分函数的定义为：设R是一个简单、有界的二维平面区域，其中的两个参数分别是a和b。
正常积分函数f(x,y)在R区域上定义为：f(x,y)=a，b∫RΩ(x,y)dxdy其中Ω(x,y)是R上的可积函数。
三、基本性质（1）位置变换若 f(x,y)是二元含参量正常积分函数，那么将R区域上的点(x,y)换成 (x+h,y+k)，正常积分函数的值也会随着位置的变化而变化：f(x+h,y+k)=a，b∫RΩ(x+h,y+k)dxdy（2）函数极限若 f(x,y)是二元含参量正常积分函数，那么当 x y时变化并发散到无穷大时，正常积分函数的值仍可能保持渐近稳定：lim f(x,y)=a，b∫RΩ(x,y)dxdy（3）线性变换此外，若 f(x,y)是二元含参量正常积分函数，那么将R区域上的点(x,y)换成(ax+by,cx+dy)，正常积分函数的值也会发生变化，且线性关系如下：f(ax+by,cx+dy)=a，b∫RΩ(ax+by,cx+dy)dxdy四、性质分析（1）统计特性显然，二元含参量正常积分函数具有较强的统计特性，即它与其积分函数Ω(x,y)、积分区域R以及参数a、b之间建立了密切的关系，因此采取适当的统计处理方法可以得出满足特定预期的结果。
（2）可计算性同时，二元含参量正常积分函数也具有较强的可计算性，即它能够根据给定的区域R、积分函数Ω(x,y)以及参数a、b，通过求和的方式计算出结果。
五、结论通过以上分析可以得出，二元含参量正常积分函数具有较强的统计特性和可计算性，可以为实际应用中提供有效支持。
因此，未来可以继续开展更多研究来深入探讨正常积分函数的作用机制，从而为实际应用提供更多启发性的结果。
数学分析(下)19-1含参量正常积分
§1含参量正常积分对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分, 它可用来构造新的非初等函数. 含参量积分包含正常积分和非正常积分两种形式.一、含参量正常积分的定义二、含参量正常积分的连续性三、含参量正常积分的可微性四、含参量正常积分的可积性五、例题返回一、含参量正常积分的定义(,)f x y [,][,]R a b c d =´设是定义在矩形区域上的定义在[,]c d 上以y 为自变量的一元函数. 倘若这时(,)f x y [,]c d 在上可积, 则其积分值()(,)d ,[,](1)d c I x f x y y x a b =Îò是定义在[,]a b 上的函数.一般地, 设(,)f x y 为定义在区域二元函数.当x 取[,]a b 上的定值时,函数是(,)f x yG数在闭区间[(),()]c x d x 上可积, 则其积分值()()()(,)d ,[,] (2)d x c x F x f x y y x a b =Îò是定义在[,]a b 上的函数.()I x ()F x 用积分形式(1) 和(2) 所定义的这函数与通称为定义在[,]a b 上的含参量x 的(正常)积分, 或简称为含参量积分.二、含参量正常积分的连续性()I x 的连续性(,)f x y 定理19.1() 若二元函数在矩形区域[,][,]R a b c d =´上连续, 则函数=ò()(,)d dc I x f x y y 在[ a , b ]上连续.证设对充分小的[,],x a b Î,[,]x x x a b +Î有D D (若x 为区间的端点,则仅考虑00x x D D ><或), 于是()()[(,)(,)]d ,(3)dc I x x I x f x x y f x y y +-=+-òD D 由于(,)f x y 在有界闭区域R 上连续, 从而一致连续,0,e >0,d >即对任意总存在对R 内任意两点1122(,)(,)x y x y 与，只要1212||,||,x x y y d d -<-<就有-<1122|(,)(,)|. (4)f x y f x y e 所以由(3), (4)可得, ||,x d D 当时<+-£+-ò|()()||(,)(,)|d dc I x x I x f x x y f x y yD D d ().d c x d c e e <=-ò即I (x ) 在[,]a b 上连续.同理可证:若(,)f x y 在矩形区域R 上连续,则含参量y 的积分=ò()(,)d (5)b a J y f x y x 在[c ,d ]上连续.注1对于定理19.1的结论也可以写成如下的形式:若(,)f x y 在矩形区域R 上连续,则对任何Î0[,],x a b 都有®®=òò00lim (,)d lim (,)d .d d c c x x x x f x y y f x y y 这个结论表明,定义在矩形区域上的连续函数,其极限运算与积分运算的顺序是可以交换的.[,][,][,],a b c d c d ´Á´上连续可改为在上连续其中Á为任意区间.注2 由于连续性是局部性质,定理19.1中条件f 在()F x 的连续性(,)f x y 定理19.2() 若二元函数在区域=££££{(,)|()(),}G x y c x y d x a x b 上连续, 其中c (x ), d (x )为[,]a b 上的连续函数, 则函数=ò()()()(,)d (6)d x c x F x f x y y在[,]a b 上连续.证对积分(6)用换元积分法, 令()(()()).y c x t d x c x =+-当y 在c (x )与d (x )之间取值时, t 在[0, 1] 上取值,且d (()())d .y d x c x t =-所以从(6)式可得=ò()()()(,)d d x c x F x f x y y 10(,()(()()))(()())d .f x c x t d x c x d x c x t =+--ò由于被积函数+--(,()(()()))(()())f x c x t d x c x d x c x 在矩形区域[,][0,1]a b ´上连续,由定理19.1得积分(6)所确定的函数F (x ) 在[a , b ]连续.Dx x a b +Î[,](,)(,),f x x y f x y q e D =+-<d d注由于可微性也是局部性质, 定理19.3 中条件f 与[,][,][,],x f a b c d c d ´Á´在上连续可改为在上连续其中Á为任意区间.四、含参量正常积分的可积性由定理19.1与定理19.2推得:()I x 的可积性(,)f x y 定理19.5() 若在矩形区域[,][,]R a b c d =´[,]a b 上连续,则I (x )与J (x )分别在和[,]c d 上可积.这就是说: 在(,)f x y 连续性假设下, 同时存在两个求积顺序不同的积分:éùêúëûòò(,)d d bda c f x y y x éùêúëûòò(,)d d .dbca f x y x y 与为书写简便起见, 今后将上述两个积分写作òòd (,)d bdacx f x y yòòd (,)d .dbcay f x y x 与前者表示(,)f x y 先对y 求积然后对x 求积, 后者则表示求积顺序相反. 它们统称为累次积分.在(,)f x y 连续性假设下,累次积分与求积顺序无关.(,)f x y =´[,][,]R a b c d 定理19.6若在矩形区域上连续, 则d (,)d d (,)d .(8)bddbaccax f x y y y f x y x =òòòò证记定理19.3,五、例题ln(1)xy +例3计算积分x x1a a+æö另一方面解由于(9)中被积函数1(,)()()n F x t x t f t -=-以及同理()()().n x f x j =()x j 于是附带说明:当x = 0 时,及复习思考题()(,)d ,dc I x f x y x =ò()I x [,)a +¥能否推得在上一致连续?。
1903含参量正常积分的可积性
dy, 求
1
∫0
I
(
x
)
dx
.
解 显然, 本题不宜先求出 I( x) , 再算积分值.
可试用交换积分次序的方法求出积分值.
设 f ( x, y) = y sin( xy) , 则 f ( x, y) 在 [0,1]×[π,2π] y − sin y
上连续, 由定理19.6,
1
∫0
I( x)dx
=
∫ ∫ 1dx 2π
这就是说, 在 f ( x, y)连续性假设下, 同时存在两个
求积顺序不同的积分:
∫ ∫ ∫ ∫ b
a
d c
f (x,
y)dy dx
与
d c
b a
f (x,
y)dx dy .
d
ϕ ( x) = ∫c f ( x, y)dy
数学分析 第十九章 含参量积分
高等教育出版社
b
ψ ( y) = ∫a f ( x, y)dx
第三讲 含参量正常积分的可积性
数学分析 第十九章 含参量积分
高等教育出版社
§1 含参量正常积分
由定理19.1与定理19.2推得:
定理19.5（可积性）
若 f ( x, y) 在矩形区域=R [a, b]×[c, d] 上连续,
则ϕ (x)与 ψ ( y)分别在 [a, b]和 [c, d ]上可积.
故得 ϕ1′(u) = ϕ2′ (u) , 因此对一切 u ∈[a, b] , 有
ϕ= 1(u) ϕ2 (u) + k (k为常数) .
当 u = a 时, ϕ= 1(a) ϕ= 2 (a) 0 ,于= 是 k 0, 即得
= ϕ1(u) ϕ2 (u) , u ∈[a, b] .
第9章含参量积分
第九章 含参变量积分Ⅰ 基本概念与主要结果一 含参量正常积分1 定义设(,)f x y 为矩形区域[,][,]R a b c d =⨯上的二元函数，若[,]y c d ∀∈，一元函数(,)f x y 在[,]a b 上可积，则其积分值是y 在[,]c d 上取值的函数，记为()y ϕ，即()(,),[,].bay f x y dx y c d ϕ=∈⎰称之为含参量的有限积分，y 称为参变量。
更一般地，我们有如下含参量积分：{}((,)()(),)f G x y a y x b y y αβ=≤≤≤≤在()()()(,),[,].b y a y y f x y dx y ϕαβ=∈⎰其中(),()a x b x 为[,]αβ上的连续函数。
2 分析性质 （1）连续性设二元函数(,)f x y 在区域{}(,)()(),G x y c x x d x ax b =≤≤≤≤上连续，其中(),()c x d x 为[,]a b 上连续函数，则函数()()()(,)d x a x F x f x y dy =⎰在],[b a 上连续。
（2）可微性 若函数f 与f x∂∂在[,][,]a b c d ⨯上连续，则 ()(,)dcI x f x y dy =⎰在[,]a b 上可微，且'()(,)dc I x f x y dy x∂=∂⎰（3）可积性 若(,)f x y 在[,][,]a b c d ⨯上连续，则()I x 和()J y 分别在[,]a b 和[,]c d 上可积。
此说明，在连续的假设之下，同时存在两个求积顺序不同的积分：(,)bd ac f x y dy dx ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰与(,)d b c a f x y dx dy ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰为了书写简便起见，上述两个积分分别写作：(,)bd acdx f x y dy ⎰⎰与(,)d bcady f x y dx ⎰⎰统称为累次积分。
（4）若(,)f x y 在[,][,]a b c d ⨯上连续，则(,)bd acdx f x y dy ⎰⎰=(,)d bcady f x y dx ⎰⎰一、参量的常积分1、 一致收敛性及其判别法定义1 设函数定义在无界区域{}(,)()(),G x y c x x d x a x b =≤≤≤≤上，若对每一固定的[,]x a b ∈，反常积分(,)cf x y dy +∞⎰都收敛，则它的值是x 在[,]a b 上取值的函数，记之为()I x ，则有()(,)cI x f x y dy +∞=⎰，[,]x a b ∈ （1）称（1）式为定义在[,]a b 上的含参量的无穷限反常积分，简称含参量无穷积分。
数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第19章 含参量积分
则函数
d
I( x) c f ( x, y)dy
在[ a, b]上可微, 且
d
dx
d
d
c
f ( x, y)dy c
fx ( x, y)dy .
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证 对于[a, b]内任意一点x, 设 x x [a, b] (若 x为 区间的端点, 则讨论单侧函数), 则
I( x x) I( x) d f ( x x, y) f ( x, y)dy .
(1)
是定义在 [ a,b]上的函数.
一般地, 设 f ( x, y)为定义在区域
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G {( x, y) | c( x) y d( x) ,a x b}
上的二元函数, 其中c (x), d (x)为定义在[a, b]上的连
续函数(图19-1),
y
y d(x)
G
y c(x)
限运算与积分运算的顺序是可以交换的.
注2 由于连续性是局部性质, 定理19.1中条件 f 在 [a,b][c,d ] 上连续可改为在 [c,d ] 上连续, 其中 为任意区间.
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定理19.2 ( F ( x)的连续性 ) 若二元函数 f ( x, y)在区 域 G {( x, y) | c( x) y d( x) ,a x b}上连续, 其
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dy (d( x) c( x))dt . 所以从(6)式可得
d(x)
F ( x) f ( x, y)dy c( x) 1 0 f ( x, c( x) t(d( x) c( x)))(d( x) c( x))dt.
由于被积函数 f ( x, c( x) t(d( x) c( x)))(d( x) c( x))
含参量正常积分
( x1 , y1 ) 与 ( x2 , y2 ) ，只要
| x1 x2 | , | y1 y2 | ,
就有
| f ( x1, y1 ) f ( x2 , y2 ) | .
(4)
所以由(3), (4)可得,
当 | x | 时,
则函数
d
I( x) c f ( x, y)dy
在 [ a, b]上可微, 且
d
dx
d
d
c f ( x, y)dy c fx ( x, y)dy .
证 对于 [a, b]内任意一点x, 设
区间的端点, 则讨论单侧函数), 则
x x [a, b] (若 x为
I( x x) I( x) d f ( x x, y) f ( x, y)dy .
证 设 x [ a, b], 对充分小的
x 为区间的端点, 则仅考虑
x , 有x x [a, b](若 xx) c [ f ( x x, y) f ( x, y)]dy, (3)
由于 f ( x, y)在有界闭区域 R上连续, 从而一致连续,
一、含参量正常积分的定义
设 f ( x, y)是定义在矩形区域
R [ a, b][ c, d ]上的
二元函数.当 x取
[ a, b]上的定值时,函数
是 f (x, y)
定义在 [ c, d ]上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时
f ( x, y)在 [ c, d ]上可积, 则其积分值
d
I( x) c f ( x, y)dy , x [a, b]
在矩形区域
[ a , b][0 ,1]上连续, 由定理19.1得积分
第十九章含参量积分
(ii) 、 可微性:
d
R (a x b, c y d ) 上连续,则
若函数 f ( x, y) 与其偏导数 f ( x, y) 都在矩形域 x
I(x) f ( x, y)dy 在 [a, b] 上可微, 且 c d d d f ( x, y )dy f ( x, y )dy c x dx c
d
c
f ( x, y) dy dx dy f ( x, y ) dx dy
b d a c d b c a
b
a d
dx dy
d
c b
f ( x, y ) dy f ( x, y ) dx
c
a
要研究这两个积分是否相等？
(iii )、 可积性 : 若二元函数 f ( x, y) 在矩形域R(a x b, c y d ) 上连续,
y1 y2 ,
有 f ( x1, y1 ) f ( x2 , y2 ) .
故当x 时有
I(x x) - I(x) f ( x x, y) f ( x, y) dy. dx (d c).
c c d
d
从而I ( x)在[a, b]上连续. 同理可证: 若f ( x, y)在矩形域R上连续， 则含参量y的积分
d u c a
其中u [a, b],则
u a
d u I (u ) I ( x)dx I (u ). dx a
J(y) f ( x, y)dx 在[c, d ]上连续. a 注 : 由连续性， 若f ( x, y)在矩形域R上连续， 则x0 [a, b], 都有
x x0 c
数学分析19.1含参量积分之含参量正常积分(含练习及答案)
第十九章 含参量积分 1含参量正常积分概念：1、设f(x,y)是定义在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上的二元函数. 当x 取[a,b]上某定值时，函数f(x,y)则是定义在[c,d]上以y 为自变量的一元函数. 若这时f(x,y)在[c,d]上可积，则其积分值是x 在[a,b]上取值的函数，记作φ(x)=⎰dc dy y x f ),(, x ∈[a,b].2、设f(x,y)是定义在区域G={(x,y)|c(x)≤y ≤d(x), a ≤x ≤b}上的二元函数, 其中c(x),d(x)为定义在[a,b]上的连续函数，若对于[a,b]上每一固定的x 值，f(x,y)作为y 的函数在闭区间[c(x),d(x)]上可积，则其积分值是x 在[a,b]上取值的函数，记为F(x)=⎰)()(),(x d x c dy y x f , x ∈[a,b].3、上面两个函数通称为定义在[a,b]上含参量x 的(正常)积分，或简称含参量积分.定理19.1：(连续性)若二元函数f(x,y)在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上连续，则函数φ(x)=⎰dc dy y x f ),(在[a,b]上连续.证：设x ∈[a,b], 对充分小的△x, 有x+△x ∈[a,b] (若x 为区间端点, 则只考虑△x >0或△x<0), 于是 φ(x+△x)-φ(x)=⎰-∆+d c dy y x f y x x f )],(),([.∵f(x,y)在有界闭域R 上连续，从而一致连续，即∀ε>0, ∃δ>0, 对R 内任意两点(x 1,y 1)与(x 2,y 2),只要|x 1-x 2|<δ, |y 1-y 2|<δ, 就有|f(x 1,y 1)-f(x 2,y 2)|<ε. ∴当|△x |<δ时, |φ(x+△x)-φ(x)|≤⎰-∆+d c dy y x f y x x f |),(),(|<⎰dc dy ε=ε(d-c). 得证！注：1、同理：若f(x,y)在R 上连续，则含参量y 的积分ψ(y)=⎰ba dx y x f ),(在[c,d]上连续.2、若f(x,y)在R 上连续，则对任何x 0∈[a,b], 有⎰→dcx x dy y x f ),(lim0=⎰→dc x x dy y x f ),(lim 0.定理19.2：(连续性)设区域G={(x,y)|c(x)≤y ≤d(x), a ≤x ≤b}, 其中c(x),d(x)为定义在[a,b]上的连续函数. 若二元函数f(x,y)在G 上连续，则函数F(x)=⎰)()(),(x d x c dy y x f 在[a,b]上连续.证：令y=c(x)+t(d(x)-c(x)),∵y ∈[c(x),d(x)],∴t ∈[0,1],且dy=(d(x)-c(x))dt, ∴F(x)=⎰)()(),(x d x c dy y x f =⎰--+10))()()))(()(()(,(dt x c x d x c x d t x c x f . 由 被积函数f(x,c(x)+t(d(x)-c(x)))(d(x)-c(x))在矩形区域[a,b]×[0,1]上连续知, F(x)在[a,b]上连续.定理19.3：(可微性)若函数f(x,y)与其偏导数x∂∂f(x,y)都在矩形区域 R=[a,b]×[c,d]上连续，则φ(x)=⎰dc dy y x f ),(在[a,b]上可微, 且⎰dcdy y x f dx d ),(=⎰∂∂d c dy y x f x ),(. 证：设任一x ∈[a,b], 对充分小的△x, 有x+△x ∈[a,b] (若x 为区间端点, 则只考虑△x >0或△x<0), 则xx x x ∆-∆+)()(ϕϕ=⎰∆-∆+dcdy xy x f y x x f ),(),(. 由拉格朗日中值定理及f x (x,y)在有界闭域R 上连续(从而一致连续), ∀ε>0, ∃δ>0, 只要|△x|<δ,就有),(),(),(y x f xy x f y x x f x -∆-∆+=|f x (x+θ△x,y)-f x (x,y)|<ε, θ∈(0,1).∴⎰-∆∆d cx dy y x f x ),(ϕ≤⎰-∆-∆+d c x dy y x f x y x f y x x f ),(),(),(<ε(d-c). 即 对一切x ∈[a,b], 有⎰dc dy y x f dxd ),(=⎰∂∂d c dy y x f x),(.定理19.4：(可微性)设f(x,y), f x (x,y)在R=[a,b]×[p,q]上连续，c(x), d(x)为定义在[a,b]上其值含于[p,q]内的可微函数，则函数F(x)=⎰)()(),(x d x c dy y x f 在[a,b]上可微，且F ’(x)=⎰)()(),(x d x c x dy y x f +f(x,d(x))d ’(x)-f(x,c(x))c ’(x). 证：作复合函数F(x)=H(x,c,d)=⎰dc dy y x f ),(, c=c(x), d=d(x). 由复合函数求导法则及变上限积分的求导法则有：F ’(x)=H x +H c c ’(x)+H d d ’(x)=⎰)()(),(x d x c x dy y x f +f(x,d(x))d ’(x)-f(x,c(x))c ’(x).定理19.5：(可积性)若f(x,y)在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上连续，则 φ(x)=⎰dc dy y x f ),(和ψ(y)=⎰ba dx y x f ),(分别在[a,b]和[c,d]上可积.注：即在f(x,y)连续性假设下，同时存在两个求积顺序不同的积分：⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡ba d c dx dy y x f ),(与⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a dy dx y x f ),(,或⎰⎰b a d c dy y x f dx ),(与⎰⎰d c b a dx y x f dy ),(.它们统称为累次积分，或二次积分.定理19.6：若f(x,y)在矩形区域R=[a,b]×[c,d]上连续，则⎰⎰bad cdy y x f dx ),(=⎰⎰d cbadx y x f dy ),(.证：记φ1(u) =⎰⎰ua dc dy y x f dx ),(, φ2(u) =⎰⎰dc ua dx y x f dy ),(, u ∈[a,b], 则φ1’(u)=⎰uc dx x dud )(ϕ=φ(u). 令H(u,y)=⎰u a dx y x f ),(, 则φ2(u) =⎰d c dy y u H ),(,∵H(u,y)与H u (u,y)=f(u,y)都在R 上连续， ∴φ2’(u)=⎰dc dy y u H dud ),(=⎰d c u dy y u H ),(=⎰d c dy y u f ),(=φ(u). ∴φ1’(u)=φ2’(u), ∴对一切u ∈[a,b], 有φ1(u)=φ2(u)+k (k 为常数). 当u=a 时，φ1(a)=φ2(a)=0, ∴k=0, 即得φ1(u)=φ2(u), u ∈[a,b]. 取u=b, 证得：⎰⎰ba dc dy y x f dx ),(=⎰⎰dc ba dx y x f dy ),(.例1：求⎰+→++aaa a x dx12201lim .解：记φ(a)=⎰+++a a a x dx 1221, ∵a, 1+a, 2211ax ++都是a 和x 的连续函数, 由定理19.2知φ(a)在a=0处连续, ∴)(lim 0a a ϕ→=φ(0)=⎰+1021xdx =4π.例2：设f(x)在x=0的某个邻域U 上连续, 验证当x ∈U 时, 函数φ(x)=⎰---x n dt t f t x n 01)()()!1(1的各阶导数存在, 且φ(n)(x)=f(x). 证：∵F(x,t)=(x-t)n-1f(t)及其偏导数F x (x,t)在U 上连续,由定理19.4可得:φ’(x)=⎰----x n dt t f t x n n 02)())(1()!1(1+)()()!1(11x f x x n n --- =⎰---x n dt t f t x n 02)()()!2(1. 同理φ”(x)=⎰---x n dt t f t x n 03)()()!3(1. 如此继续下去，求得k 阶导数为φ(k)(x)=⎰-----x k n dt t f t x k n 01)()()!1(1.当k=n-1时，有φ(n-1)(x)=⎰xdt t f 0)(. ∴φ(n)(x)=f(x).例3：求I=⎰-1ln dx xx x ab . (b>a>0)解：∵⎰baydy x =x x x ab ln -, ∴I=⎰⎰b a y dy x dx 10. 又x y 在[0,1]×[a,b]上满足定理19.6的条件, ∴I=⎰⎰10dx x dy y ab =⎰+ab dy y 11=ln ab ++11.例4：计算积分I=⎰++121)1ln(dx xx . 证：记φ(a)=⎰++1021)1ln(dx x ax , 则有φ(0)=0, φ(1)=I, 且函数21)1ln(x ax ++在R=[0,1]×[0,1]上满足定理19.3的条件，于是φ’(a)=⎰++102)1)(1(dx ax x x =⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++10221111dx ax a x xa a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++⎰⎰⎰10101022211111dx ax a dx x x dx x a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++10102102)1ln()1ln(21arctan 11ax x x a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++)1ln(2ln 214112a a aπ. ∴⎰'1)(da a ϕ=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++102)1ln(2ln 21411da a a a π=102)1ln(8a +π+10arctan 2ln 21a -I =2ln 4π-I. 又⎰'10)(da a ϕ=φ(1)-φ(0)=I, ∴I=2ln 4π-I, 解得I=2ln 8π.习题1、设f(x,y)=sgn(x-y), 试证由含参量积分F(y)=⎰10),(dx y x f 所确定的函数在(-∞,+∞)上连续，并作函数F(y)的图像.证：∵x ∈[0,1], ∴当y<0时, f(x,y)=1; 当y>1时, f(x,y)=-1; 当0≤y ≤1时, F(y)=⎰ydx y x f 0),(+⎰1),(y dx y x f =⎰-y dx 0)1(+⎰1y dx =1-2y.∴F(y)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-<11102101y ，y y ，y ，在(-∞,+∞)上连续，图像如图：2、求下列极限：(1)⎰-→+11220lim dx a x a ；(2)⎰→220cos lim axdx x a . 解：(1)∵函数f(x,a)=22a x +在矩形区域R=[-1,1]×[-1,1]上连续，∴⎰-→+11220lim dx a x a =⎰-→+11220lim dx a x a =⎰-11||dx x =1. (2)∵函数f(x,a)=x 2cosax 在矩形区域R=[0,2]×[-1,1]上连续，∴⎰→2020cos lim axdx x a =⎰→2020cos lim axdx x a =⎰202dx x =38.3、设F(x)=⎰-22x x xy dy e , 求F ’(x). 解：F ’(x)=-⎰-222x x y x dy e y +2x 5x e --3x e -.4、应用对参量的微分法，求下列积分：(1)⎰+202222)cos sin ln(πdx x b x a (a 2+b 2≠0)；(2)⎰+-π02)cos 21ln(dx a x a .解：(1)若a=0, 则b ≠0,原式=⎰2022)cos ln(πdx x b =πln|b|+2⎰20)ln(cos πdx x =πln|b|-πln2=πln 2||b ; 同理，若b=0, 则a ≠0, 原式=πln 2||a ; 若a ≠0,b ≠0, 可设 I(b)=⎰+202222)cos sin ln(πdx x b x a , 则 I ’(b)=⎰+2022222cos sin cos ||2πdx x b x a x b =⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+22tan 1||2πx b a dx b . 记u=ba, t=utanx, 则 I ’(b)=⎰∞+⋅+022211||2dt t u u t b =⎰∞⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-022222111)1(2dt t u t u b u =||||b a +π.又I(0)=⎰2022)sin ln(πdx x a =πln2||a , I(x)=⎰+x dt t a 0||π+πln 2||a =πln(|a|+x)-πln2. ∴⎰+202222)cos sin ln(πdx x b x a =πln(|a|+|b|)-πln2=πln 2||||b a +. (2)设I(a)=⎰+-π02)cos 21ln(dx a x a .当|a|<1时，1-2acosx+a 2≥1-2|a|+a 2=(1-|a|)2>0,∴ln(1-2acosx+a 2)为连续函数，且具有连续导数， ∴I ’(a)=⎰+--π2cos 21cos 22dx ax a x a =⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+π022cos 21111dx a x a a a =a π-⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-π222cos 121)1(1x a a dx a a a =a π-π02tan 11arctan 2⎪⎭⎫⎝⎛-+x aa a =0. ∴当|a|<1时，I(a)=c(常数)，又I(0)=0, ∴I(a)=0. 当|a|<1时，令b=a1, 则|b|<1，有I(b)=0, 于是 I(a)=⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-π221cos 2ln dx b x b b =I(b)-2πln|b|=2πln|a|. 当|a|=1时，I(1)=⎰-π0)2cos ln 22ln 2(dx x=0; 同理I(-1)=0, ∴I(a)=⎩⎨⎧>≤1||||ln 21||0a ，a a ，π .注：由(2)或推出(1), 即⎰+202222)cos sin ln(πdx x b x a =⎰-++202222)2cos 22ln(πdx x b a b a=⎰-++π02222)cos 22ln(21dt t b a b a=⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++--π02||||||||cos ||||||||21ln 21dt b a b a t b a b a +πln 2||||b a +=πln 2||||b a +.5、应用积分号下的积分法，求下列积分：(1)⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛10ln 1ln sin dx x x x x a b (b>a>0)；(2)⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛10ln 1ln cos dx x xx x ab (b>a>0). 解：(1)记g(x)=xxx x ab ln 1ln sin -⎪⎭⎫ ⎝⎛, ∵+→0lim x g(x)=0,∴令g(0)=0时，g(x)在[0,1]连续，于是有I=⎰10)(dx x g =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛101ln sin dx dy x x b a y =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛101ln sin dx dy x x b a y .记f(x,y)=x y sin ⎪⎭⎫⎝⎛x 1ln (x>0), f(0,y)=0, 则f(x,y)在[0,1]×[a,b]上连续,∴I=⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛101ln sin dx dy x x b a y =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛b a y dy dx x x 101ln sin =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+-b a t y dydt t e 0)1(sin=⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+-ba t y dy dt t e 0)1(sin =⎰++b a y dy 2)1(1=arctan(1+b)-arctan(1+a). (2)类似于(1)题可得：⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛10ln 1ln cos dx x x x x ab =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ydy dx x x 101ln cos =dy y y b a ⎰+++2)1(11=2222ln 2122++++a a b b .6、试求累次积分：⎰⎰+-102222210)(dy y x y x dx 与⎰⎰+-102222210)(dx y x y x dy ，并指出，它们为什么与定理19.6的结果不符.解：∵22222)(y x y x +-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂22y x x x ,22222)(y x y x +-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂22y x y y , ∴⎰⎰+-102222210)(dy y x y x dx =⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-101022dy y x x=-⎰+1021y dy =-4π.∵22222)(y x y x +-在点(0,0)不连续，∴与定理19.6的结果不符.7、研究函数F(y)=⎰+1022)(dx y x x yf 的连续性，其中f(x)在闭区间[0,1]上是正的连续函数.解：∵f(x)在[0,1]上是正的连续函数, ∴存在正数m, 使得f(x)≥m>0, x ∈[0,1]. 当y>0时, F(y)=⎰+1022)(dx y x x yf ≥m ⎰+1022dx y x y=marctan y 1; 当y<0时, F(y)=⎰+122)(dx y x x yf ≤m ⎰+1022dx y x y =marctan y 1; ∴+→0lim y F(y)≥+→0lim y marctan y 1=2πm >0, -→0lim y F(y)≤-→0lim y marctan y 1=-2πm <0.∵+→0lim y F(y)≠-→0lim y F(y), ∴F(y)在y=0处不连续. 又当0∉[c,d]时，22)(y x x yf +在[0,1]×[c,d]上连续，∴当y ≠0时，F(y)连续.8、设函数f(x)在闭区间[a,A]上连续，证明：⎰-+→xah dt t f h t f h )]()([1lim0=f(x)-f(a) (a<x<A). 证：⎰-+xa dt t f h t f )]()([=⎰++hx h a dt t f )(-⎰xa dt t f )(=⎰++hx h a dt t f )(-⎰+xh a dt t f )(-⎰+ha a dt t f )(=⎰+hx xdt t f )(-⎰+ha adt t f )(=hf(ξ1)-hf(ξ2), x ≤ξ1≤x+h, a ≤ξ2≤a+h. 当h →0时,ξ1→x, ξ2→a, ∴⎰-+→xa h dt t f h t f h )]()([1lim 0=0lim →h [f(ξ1)-f(ξ2)]=f(x)-f(a).9、设F(x,y)=⎰-xyyx dz z f yz x )()(, 其中f(z)为可微函数, 求F xy (x,y).解：F x (x,y)=⎰xyyxdz z f )(+(x-xy 2)f(xy)y-(x-y·y x )f(y x )·y 1=⎰xy yx dz z f )(+xy(1-y 2)f(xy).F xy (x,y)=xf(xy)+f(y x )·2yx +x(1-y 2)f(xy)-2xy 2f(xy)+x 2y(1-y 2)f ’(xy).10、设E(k)=⎰-2022sin 1πϕϕd k , F(k)=⎰-2022sin 1πϕϕk d . 其中0<k<1.(这两个积分称为完全椭圆积分)(1)试求E(k)与F(k)的导数，并以E(k)与F(k)来表示它们； (2)证明E(k)满足方程：E ”(k)+k1E ’(k)+211k -E(k)=0. (1)解：E ’(k)=-⎰-20222sin 1sin πϕϕϕd k k =-⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----20222222sin 1sin 1sin 111πϕϕϕϕd k k k k =- ⎝⎛-⎰2022sin 111πϕϕd k k +⎪⎪⎭⎫-⎰2022sin 1πϕϕd k =k 1E(k)-k 1F(k). F ’(k)=ϕϕϕπd k k ⎰-203222)sin 1(sin =⎰-20322)sin 1(1πϕϕk d k -⎰-2022sin 11πϕϕk d k . 又322)sin 1(1ϕk -=ϕ222sin 111k k ---ϕϕϕϕ2222sin 1cos sin 1k d d k k --. ∴⎰-20322)sin 1(πϕϕk d =⎰--2222sin 111πϕϕd k k =211k-E(k). 从而有F ’(k)=)1(12k k -E(k)-k1F(k).(2)证：∵E ”(k)=[k 1E(k)-k 1F(k)]’=-21k E(k)+21k F(k)+k 1E ’(k)-k 1F ’(k),k 1E ’(k)=21k E(k)-21kF(k), ∴E ”(k)=-k 1F ’(k). 又F ’(k)=)1(12k k -E(k)-k 1F(k)=)1(12k k -E(k)+E ’(x)-k 1E(k)=E ’(x)+21k k -E(k).∴E ”(k)=-k 1E ’(x)-211k -E(k), 即E ”(k)+k 1E ’(k)+211k -E(k)=0.。
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d(x)
c( x) fx ( x, y)dy f ( x, d( x))d( x)
f ( x, c( x))c( x) .
数学分析 第十九章 含参量积分
高等教育出版社
§1 含参量正常积分 定义 连续性
可微性
可积性
例题
注 由于可微性也是局部性质, 定理19.3 和定理19.4 中条件f 与fx 在 [a,b][c,d] 上连续可改为在 [c,d] 上连续，其中 为任意区间.
a
,1 a
以及
1
1 x2
a2
都是
a
和
x
的连续函数,
由定理19.2 已知
I (a) 在 a 0 处连续, 所以
dy (d( x) c( x))dt .
所以从(6)式可得
d(x)
F ( x) f ( x, y)dy c( x) 1 0 f ( x, c( x) t(d( x) c( x)))(d( x) c( x))dt.
由于被积函数
f ( x, c( x) t(d( x) c( x)))(d( x) c( x))
与
d c
b a
f
( x,
y )dx dy
.
为书写简便起见, 今后将上述两个积分写作
b
d
d
b
a dxc f ( x, y)dy与c dya f ( x, y)dx .
前者表示 f ( x, y)先对 y 后对 x 求积分, 后者则表示
求积顺序相反. 它们统称为累次积分.
数学分析 第十九章 含参量积分
d
( x) c f ( x, y)dy
b
( y) a f ( x, y)dx
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§1 含参量正常积分 定义 连续性
可微性
可积性
例题
这就是说: 在 f ( x, y)连续性假设下, 同时存在两个
求积顺序不同的积分:
b
a
d c
f (x,
y )dy dx
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§1 含参量正常积分 定义 连续性
可微性
可积性
例题
证 设 x [ a, b], 对充分小的x , 有x x [a, b]
(若x 为区间的端点, 则仅考虑 x 0 或 x 0 ),
于是 ( x x) ( x)
d
[ f ( x x, y) f ( x, y)]dy, (3)
I1(u) I2(u) , u [a, b] . 取 u b 就得到所要证明的(8)式.
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§1 含参量正常积分 定义 连续性
可微性
可积性
例题
例题
例1
求 lim a0
1a dx a 1 x2 a2
.
解
记 I(a)
1a
a 1
dx x2 a2
. 由于
图 19 1
d(x)
F ( x) f ( x, y)dy , x [ a, b] c( x)
(2)
是定义在[ a,b ]上的函数.
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§1 含参量正常积分 定义 连续性
可微性
可积性
例题
用积分形式(1) 和 (2) 所定义的这函数 I( x)与F ( x) 通称为定义在 [ a, b]上的含参量 x 的(正常)积分, 或简称为含参量积分.
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§1 含参量正常积分 定义 连续性
可微性
可积性
例题
含参量正常积分的连续性
定理19.1( x（)的连续性 ）
若二元函数 f ( x, y) 在矩形区域 R [ a, b][ c, d ] 上连续, 则函数
d
( x) c f ( x, y)dy
在[ a , b]上连续.
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§1 含参量正常积分 定义 连续性
可微性
可积性
例题
证记
u
d
d
u
1(u)
dx
a
c
f ( x, y)dy ,2(u)
dy
c
a
f ( x, y)dx ,
其中 u [a, b] . 分别求 I1(u) 与 I2(u) 的导数,
1(u)
d du
u
I( x)dx (u) .
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§1 含参量正常积分 定义 连续性
可微性
可积性
例题
在 f ( x, y)连续性假设下,累次积分与求积顺序无关.
定理19.6
若 f ( x, y)在矩形区域 R [ a, b][ c, d] 上连续,
则
b
d
d
b
a dxc f ( x, y)dy c dya f ( x, y)dx . (8)
d du
d
H(u, y)dy =
c
d
c Hu(u, y)dy
d
c f (u, y)dy I(u) .
故得 I1(u) I2 (u) , 因此对一切 u [a, b] , 有
I1(u) I2(u) k (k为常数) .
当 u a 时, I1(a) I2 (a) 0 ,于是 k 0, 即得
同理可证: 若 f ( x, y)在矩形区域 R上连续, 则含参
量 y的积分
b
( y) a f ( x, y)dx
(5)
在[c ,d ]上连续.
数学分析 第十九章 含参量积分
高等教育出版社
§1 含参量正常积分 定义 连续性
可微性
可积性
例题
注1 对于定理19.1的结论也可以写成如下的形式:
若 f ( x, y)在矩形区域 R 上连续, 则对任何
x0 [a, b] , 都有
d
d
lim f ( x, y)dy lim f ( x, y)dy .
xx0 c
c xx0
这个结论表明, 定义在矩形区域上的连续函数, 其极
限运算与积分运算的顺序是可以交换的.
注2 由于连续性是局部性质, 定理19.1中条件 f 在
[a,b][c,d ] 上连续可改为在 [c,d ] 上连续, 其中
( x x) ( x) d f ( x x, y) f ( x, y)dy .
x
c
x
由拉格朗日中值定理及 fx ( x, y) 在有界闭域 R上连续
(从而一致连续), 对 0 , 0, 只要 x 时，
就有
f ( x x, y) x
f (x,
y)
f x ( x,
y)
其中 (0,1). fx ( x x, y) fx ( x, y) ,
可微函数, 则函数
d(x)
F ( x) f ( x , y)dy c( x)
在[ a, b]上可微, 且
d(x)
F ( x) c( x) fx ( x, y)dy f ( x, d ( x))d ( x)
f ( x, c( x))c( x) .
(7)
数学分析 第十九章 含参量积分
高等教育出版社
数学分析 第十九章 含参量积分
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§1
因此
d
x c fx ( x, y)dy
d c
f
(x
x, y) x
f
( x,
y)
f x ( x,
y)
dy
(d c) .
这就证明了对一切 x [a, b] , 有
d ( x)
dx
d
c fx ( x, y)dy .
G {( x, y) | c( x) y d( x) ,a x b}
上的二元函数, 其中c (x), d (x) y 为定义在[a, b]上的连续函数,
y d(x) G
若对于[ a, b]上每一固定的 x 值, f ( x, y)作为 y 的函数在闭区间
y c(x)
Oa
bx
[ c( x), d( x) ]上可积, 则其积分值
数学分析 第十九章 含参量积分
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§1 含参量正常积分 定义 连续性
可微性
可积性
例题
定理19F.4(（x) 的可微性）
设 f ( x, y), fx ( x, y)在 R [a, b][ p, q]上连续, c (x), d (x)为定义在 [ a, b] 上其值含于[ p, q]内的
数学分析 第十九章 含参量积分
§1 含参量正常积分
对多元函数其中 的一个自变量进行积分 形成的函数称为含参量 积分, 它可用来构造新 的非初等函数. 含参量 积分包含正常积分和非 正常积分两种形式.
一、含参量正常积分的定义 二、含参量正常积分的连续性 三、含参量正常积分的可微性 四、含参量正常积分的可积性 五、例题
a
对于2(u) ,令H(u, y)
u
f ( x, y)dx ,
a
则有
d
2(u)
H(u, y)dy .
c
因为 H(u, y) 与 Hu(u, y) f (u, y)都在R上连续,
数学分析 第十九章 含参量积分
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§1 含参量正常积分 定义 连续性
可微性
可积性
例题
由定理19.3,
I2(u)
R [a, b][c, d] 上连续, 则函数
d
( x) c f ( x, y)dy
在[ a, b]上可微, 且
d
dx
d
d