2018-2019年河南省豫南九校联考高一上学期期末数学试卷(Word答案)

2018-2019学年河南省豫南九校联考高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题日要求的）
1．（5分）同学们，当你任意摆放手中笔的时候，那么桌面所在的平面一定存在直线与笔所在的直线（）
A．平行B．相交C．异面D．垂直
2．（5分）已知直线l经过点P（﹣2，5），且斜率为﹣，则直线l的方程为（）A．3x+4y﹣14＝0B．3x﹣4y+14＝0C．4x+3y﹣14＝0D．4x﹣3y+14＝0 3．（5分）若线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为（）
A．30°B．45°C．60°D．120°
4．（5分）下列函数中，满足“f（xy）＝f（x）f（y）“的单调递增函数是（）A．f（x）＝x3B．f（x）＝lgx C．f（x）＝（）x D．f（x）＝3x 5．（5分）若直线11：2x﹣ay﹣1＝0过点（1，1），l2：x+2y＝0，则直线l1与l2（）A．平行B．相交但不垂直
C．垂直D．相交于点（2，﹣1）
6．（5分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）
A．B．C．D．
7．（5分）已知函数，则＝（）A．4B．C．﹣4D．
8．（5分）如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为（）
A．相交B．平行
C．异面而且垂直D．异面但不垂直
9．（5分）已知函数f（x）＝a x（a＞0，且a≠1），当x＜0时，f（x）＞1，方程y＝ax+表示的直线是（）
A．B．
C．D．
10．（5分）如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为（）
A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
11．（5分）已知f（x）＝log a（8﹣3ax）在[﹣1，2]上的减函数，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．（1，+∞）12．（5分）《九章算术》是我国古代著名数学经典．其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯
该材料，锯口深一寸，锯道长一尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）．已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为（）（注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin22.5°≈）
A．600立方寸B．610立方寸C．620立方寸D．633立方寸
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知直线y＝kx+2k+1，则直线恒经过的定点．
14．（5分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上一个动点，则PM的最小值为．
15．（5分）已知集合A＝{x|log2（2x﹣4）≤1}，集合B＝{y|y＝（）x，x}，则A∩B＝．
16．（5分）平面α以任意角度截正方体，所截得的截面图形可以是（填上所有你认为正确的序号）
①正三边形②正四边形③正五边形④正六边形⑤钝角三
角形⑥等腰梯形⑦非矩形的平行四边形
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知直线l的方程为x+2y﹣6＝0，直线l1与l平行且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l1的方程．
18．（12分）设函数f（x）＝x2+2x﹣m．
（1）当m＝3时，求函数f（x）的零点．
（2）当x∈[1，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求m的最大值．
19．（12分）四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H．
（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；
（Ⅱ）证明：四边形EFGH是矩形．
20．（12分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5＝0．AC边上的高BH所在直线为x﹣2y﹣5＝0．求：
（1）顶点C的坐标；
（2）直线BC的方程．
21．（12分）已知四棱锥E﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝EC＝2，，O为AB的中点．
（Ⅰ）求证：EO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求点D到面AEC的距离．
22．（12分）已知函数f（x）＝+a（a∈R）．
（1）判断并证明f（x）在（1，+∞）上的单调性；
（2）若存在1＜m＜n使得f（x）在[m，n]上的值域为[m，n]求实数a的取值范围．
2018-2019学年河南省豫南九校联考高一（上）期末数学
试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题日要求的）
1．【解答】解：由题意，笔所在直线若与地面垂直，则在地面总有这样的直线，使得它与笔所在直线垂直
若笔所在直线若与地面不垂直，则其必在地面上有一条投影线，
在平面中一定存在与此投影线垂直的直线，由三垂线定理知，与投影垂直的直线一定与此斜线垂直
综上，当你任意摆放手中笔的时候，那么桌面所在的平面一定存在直线与笔所在的直线垂直．
故选：D．
2．【解答】解：∵直线l经过点P（﹣2，5），且斜率为﹣，
∴直线l的点斜式方程为y﹣5＝（x+2），
整理得：3x+4y﹣14＝0．
故选：A．
3．【解答】解：如图，AC⊥α，垂足为C，AB∩α＝B，
则BC是AB在平面α内的射影，
∴∠ABC是直线与平面所成的角，
∵线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，
∴BC＝AB，
∴∠ABC＝60°．
∴AB所在直线与平面α所成的角为60°．
故选：C．
4．【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，对于f（x）＝x3，有（xy）3＝x3×y3，满足f（xy）＝f（x）f（y），符合题意；
对于B，f（x）＝lgx，为对数函数，不满足f（xy）＝f（x）f（y），不符合题意；
对于C，f（x）＝（）x，为指数函数，不满足f（xy）＝f（x）f（y），不符合题意；
对于D，f（x）＝3x，为指数函数，不满足f（xy）＝f（x）f（y），不符合题意；
故选：A．
5．【解答】解：∵直线l1：2x﹣ay﹣1＝0过点（1，1），
∴2﹣a﹣1＝0，
∴a＝1，
∴直线l1：2x﹣y﹣1＝0的斜率为2，
∵l2：x+2y＝0的斜率为﹣，
∴直线l1与l2：x+2y＝0互相垂直．
故选：C．
6．【解答】解：被截去的四棱锥的三条可见棱中，
在两条为长方体的两条对角线，
它们在右侧面上的投影与右侧面（长方形）的两条边重合，
另一条为体对角线，
它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，
对照各图，只有D符合．
故选：D．
7．【解答】解：f（）＝log5＝﹣2，
＝f（﹣2）＝，
故选：B．
8．【解答】解：由该正方体的平面展开图画出它的直观图为：
可以看出AB与CD异面；
如图，设该正方体一顶点为E，连接CE，DE，则AB∥CE；
∴∠DCE为异面直线AB，CD的夹角，并且该角为60°；
∴AB，CD异面但不垂直．
故选：D．
9．【解答】解：函数f（x）＝a x（a＞0，且a≠1），当x＜0时，f（x）＞1，∴0＜a＜1，方程y＝ax+，
令x＝0可得y＝，y＝0可得x＝﹣，
∵﹣＞，∴C选项正确．
故选：C．
10．【解答】解：因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN、QM∥PN，则PQ∥平面ACD、QM∥平面BDA，
所以PQ∥AC，QM∥BD，
由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；
由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；
异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，故D正确；
综上C是错误的．
故选：C．
11．【解答】解：令y＝log a t，t＝8﹣3ax，
（1）若0＜a＜1，则函y＝log a t，是减函数，
由题设知t＝8﹣3ax为增函数，需a＜0，故此时无解；
（2）若a＞1，则函数y＝log a t是增函数，则t为减函数，
需a＞0且8﹣3a×2＞0，可解得1＜a＜
综上可得实数a的取值范围是（1，）．
故选：B．
12．【解答】解：如图，
AB＝10（寸），则AD＝5（寸），CD＝1（寸），
设圆O的半径为x（寸），则OD＝（x﹣1）（寸），
在Rt△ADO中，由勾股定理可得：52+（x﹣1）2＝x2，解得：x＝13（寸）．∴sin∠AOD＝，即∠AOD≈22.5°，则∠AOB＝45°．
则弓形的面积S＝≈6.33（平方寸）．则算该木材镶嵌在墙中的体积约为V＝6.33×100＝633（立方寸）．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．【解答】解：将直线y＝kx+2k+1化简为点斜式，可得y﹣1＝k（x+2），∴直线经过定点（﹣2，1），且斜率为k．
即直线y＝kx+2k+1恒过定点（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
14．【解答】解：如图，作CH⊥AB于H，连PH，
∵PC⊥面ABC，
∴PH⊥AB，PH为PM的最小值，
而CH＝2，PC＝4，
∴PH＝2．
故答案为：2
15．【解答】解：解不等式：log2（2x﹣4）≤1得：0＜2x﹣4≤2，即：2＜x≤3，即A＝，
由y＝（）x，x，求其值域得：0＜y，即B＝，
即A∩B＝，
故答案为：．
16．【解答】解：画出截面图形如图：
可以画出三边形，但不能画出直角三角形和钝角三角形，故①正确，⑤错误；
可以画出正四边形，故②正确；
经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形．但此时不可能是正五边形，故③错误；．正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，且可以画出正六边形，故④正确；
可以画出梯形但不是直角梯形，故⑥正确．
可以画出非矩形的平行四边形，故⑦．
故平面α以任意角度截正方体，所截得的截面图形可以是：正三边形，正四边形，正六边形，等腰梯形，非矩形的平行四边形．
故答案为：①②④⑥⑦．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解答】解：由题意可设直线l1的方程为：x+2y+m＝0，
可得与两坐标轴的交点分别为：（﹣m，0），（0，﹣）．
则＝4，解得m＝±4．
∴直线l1的方程为：x+2y±4＝0．
18．【解答】解：（1）m＝3时，f（x）＝x2+2x﹣3，
由f（x）＝0，可得x＝1或﹣3，
则f（x）的零点为1或﹣3；
（2）当x∈[1，+∞）时，f（x）≥0恒成立，
可得m≤x2+2x在x≥1的最小值，
由y＝x2+2x在x≥1递增，可得函数y的最小值为3，
即有m≤3，即m的最大值为3．
19．【解答】（Ⅰ）解：由题意，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1，∴AD⊥平面BDC，
∴四面体ABCD的体积V＝＝；
（Ⅱ）证明：∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩平面ABC ＝EH，
∴BC∥FG，BC∥EH，
∴FG∥EH．
同理EF∥AD，HG∥AD，
∴EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AD⊥平面BDC，
∴AD⊥BC，
∴EF⊥FG，
∴四边形EFGH是矩形．
20．【解答】解：直线AC的方程为：
y﹣1＝﹣2（x﹣5），
即2x+y﹣11＝0，
解方程组得则C点坐标为（4，3）．
设B（m，n），
则M（，），，
整理得，
解得则B点坐标为（﹣1，﹣3），
y﹣3＝（x﹣4），
即6x﹣5y﹣9＝0．
21．【解答】（I）证明：连接CO
∵
∴△AEB为等腰直角三角形
∵O为AB的中点，∴EO⊥AB，EO＝1…（2分）
又∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ACB是等边三角形
∴，…（4分）
又EC＝2，∴EC2＝EO2+CO2，
∴EO⊥CO，
∵AB∩CO＝O
∴EO⊥平面ABCD…（6分）
（II）解：设点D到面AEC的距离为h
∵
∴…（8分）
∵，E到面ACB的距离EO＝1，V D﹣AEC＝V E﹣ADC
∴S△AEC•h＝S△ADC•EO…（10分）
∴
∴点D到面AEC的距离为…（12分）
22．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝+a在（1，+∞）上为增函数；
设1＜x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）＝（+a）﹣（+a）＝，
又由1＜x1＜x2，
则（x1﹣1）＞0，（x2﹣1）＞0，（x1﹣x2）＜0，
则f（x1）﹣f（x2）＜0，
则函数函数f（x）＝+a在（1，+∞）上为增函数；
（2）根据题意，由（1）的结论，函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，
若存在1＜m＜n使得f（x）在[m，n]上的值域为[m，n]，即，
则方程f（x）＝x即x2+（a+3）x+（a+3）＝0在区间（1，+∞）上有两个不同的根，设g（x）＝x2+（a+3）x+（a+3），
必有，解可得a＞1，
即a的取值范围为（1，+∞）．。