运筹学绪论
运筹学绪论
国内运筹学发展状况
中国运筹学会下属有多个专业分会：如决 策科学分会；数学规划分会；排序分会；图论 组合分会；排队论分会；青年分会；可靠性分 会；金融工程及金融风险管理分会；智能计算 分会；企业管理运筹分会；经济数学分会等， 各分会定期或不定期进行学术交流。
四、运筹学研究的基本特征 绪 论
• 系统的整体观念 • 多学科的综合 • 模型方法的应用
美国也成立一个运筹小组：领导人，物理学家 Philip W．Morse（美国运筹学会第一届主席） 。组员 与英国相仿，大多为自然科学家，包括数学家、物理学 家，其中还有一位象棋大师。
二、运筹学的来源
绪论
准确判定日舰行驶路线
• 美军获悉日本舰队集结南太平洋的新不列颠 岛，准备越过俾斯麦海开往伊里安岛。
主讲:姜昱汐 大连交通大学管理学院
教学目的
本课程以理论教学为主线，通过重点讲授原 理、个人研究与小组讨论相结合的等环节，使 学生达到以下目的： • 掌握若干类经济管理领域中常见的运筹学典型 模型，了解使用这些模型和数量分析方法对于 解决经济、管理领域中的问题和提高效益所起 的作用； • 初步掌握将实际问题抽象成运筹学模型的方法 和技巧； • 具备运用运筹学方法求解各类运筹学模型的能 力和对求解结果进行简单分析的能力。
(1)做出面包进货问题的决策矩阵； (2) 用处理不确定性决策问题的方法确定最优进货量。
运筹学在科技体系中的地位 绪 论
一门科学只有成功地应用数学时，才算达到了完善的地步。 -----马克思
七、运筹学的发展趋势
• 运筹学的危机 – 脱离实际应用，陷入数学陷阱
• 运筹学与行为科学结合 – 群决策和谈判 – 对策理论 – 多层规划 – 合理性分析
大体可分为以下三个阶段：
Chapter01-绪论运筹学
27
运筹学发展简史
Henry Ford，1863 - 1947，创造了第一条流水生 产线——汽车流水线，从而提高了整个企业的生 产效率，使成本明显降低. • 福特为了利于企业向大生产发展，进行了多方面 的标准化工作，包括：产品系列化，零件规格化，
工厂专业化，机器及工具专用化，作业专门化.
1999
2003
2006
2010
2014
2
Operations Research
Chapter 1. Introduction
第一章. 绪论
Chapter 1. Introduction
3
What is Operations Research?
Chapter 1. Introduction
4
交通控制问题
问题的确定
控制
分析问题
建立模型 软件求解 实施方案 确定解决方案 结果分析
Chapter 1. Introduction
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运筹学的模型方法
模型的概念
模型是一件实际事物或情况的代表或抽 象。实际事物是A，若B能够真实地描述 A，则称B为A的模型
运筹学模型的一般形式
F ( X , f ( x1 , x 2 ,..., x m ; 1 , 2 ,..., n )
某些分支的研究达到当时国际水平。
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What is Data, Model and Decision?
管理者
信息提供
模型
结论 决策
反馈
结果
执行
管理者在组织内制定决策，数据、模型与 决策的目的是在科学、符合逻辑和合理的 基础上制定决策
运筹学 绪论PPT课件
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●英1938年成立防空委员会，H.G.铁寨为主席 （历史上第一个运筹学小组）
当时正处在二战前夕，德国有一支强大的 空军，英国是一个岛国，国内任何一地点离海 岸线不超过一百公里，这段距离，德国飞机只 需飞十七分钟。英国要在十七分钟内完成预警、 起飞、爬高、拦击等动作，很难。
事。
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（2）运筹学的发展阶段
运筹学的发展大致经历四个阶段：
① 萌芽阶段 （1915年～30年代）
上世纪初，一些数学方法逐渐应用于经营管理中， 如：
边际分析、盈亏平衡分析、经济批量模型等。 ●边际分析：包括边际成本分析、边际利润分析。
边际成本：增加单位产量所增加的成本。 边际利润：增加单位产量所增加的利润。
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围魏救赵（齐国，孙宾提出直接攻 打魏都大梁）
赤壁之战（三国，诸葛，周俞，曹 操）
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丁渭主持皇宫的修复（北宋，皇宫因火焚毁） 北宋真宗年间，皇城失火，宫殿烧毁，大臣丁谓主持了皇宫修复工
程。他采用了一套综合施工方案: ①先在需要重建的大道上就近取土烧砖； ②在取土后的深沟中引水，形成人工河，再由此水路运入建筑材料，
现代运筹学涵盖了一切领域的管理与优化问题，称为 Management Science
运筹学是研究人能够控制的、需要做出决策的、并且能用数学模型表达、 分析和优化的系统、是一系列用于提高系统有效性的分析工具（主要是 指数学模型）的集合，是人或组织进行合理决策的科学工具。
2.运筹学的发展简史
（1）朴素的运筹学思想
雷达的有效使用：
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1938年，英国为解决空袭的早期 预警，作好反侵略战争准备，积极 进行“雷达”的研究。但随着雷达 性能的改善和配置数量的增多，出 现了来自不同雷达站的信息以及雷 达站同整个防空作战系统的协调配 合问题。为此，在1938年7月，波 德塞(Bawdsey)雷达站的负责人 罗伊(A．P．Rowe)提出立即进行 整个防空作战系统运行的研究，以 使军事领导人学会使用雷达定位敌 方飞机。
运筹学绪论
一 、 运筹学的定义
小故事 田忌为什么赢得了一千黄金？
二、 运筹学的发展史
1、运筹学的军事起源
楚汉相争，刘邦称誉张良“运筹帷幄之中，决胜千里之外”。 公元前六世纪《孙子兵法》。 公元前四世纪战国齐王田忌与赛马的故事（对策论） 。
1950年，美国出版了第一份运筹学杂志。
二、 运筹学的发展史
1911年，泰勒(F.W.Taylor），美国人， 科学管理之父，出版了著名的《科学管 理原理》一书。
二、 运筹学的发展史
3、运筹学的经济起源
1928年，冯. 诺伊曼（von Neumann,John, 1903-1957）提出 的“二人零和对策” 为“对策论” 的基础。
6. 可靠性理论 可靠性理论是研究系统故障、以提高 系统可靠性问题的理论。
7. 搜索论 研究的是在资源和探测手段受到限制的情 况下，如何设计寻找某种目标的方案，并加以实施的理 论和方法。
五、运筹学的性质、特点与研究方法
运筹学是一门实践背景和应用范围广泛的应用科学，其性质和特点 可以概括为：
其一，运筹学是一种科学方法，其应用不受行业、部门之间限制； 其二，运筹学强调以量化为基础，需要建立各种数学模型，为决策
四、运筹学研究的具体内容
4.决策论 决策论研究决策问题，就是根据客观可能性，借
助一定的理论、方法和工具，科学地选择最优方案的 过程。
四、运筹学研究的具体内容
5. 博弈论（也称对策论）
对策论就是研究对策行为中竞争各方是否存在着最合理的行动方 案，以及如何找到这个合理的行动方案的数学理论和方法。
1.YRG运筹学 绪论
“孙膑斗马术”说的是春秋战国时期齐王与田忌赛马的事。有一天，齐王要田忌和他赛马， 规定各人从自己的上、中、下三个等级的马中各选一匹来参赛，说好输一匹付出千金， 胜一匹可获千金。 田忌的谋士孙膑一直在场观赛，就给他出了主意， 叫他用下马对齐王的上马，中马对齐王的下马，上马对齐王的中马， 结果以2：1胜了齐王，以劣胜优
五 《运筹学》的学科特点
1．多种专业协作 用运筹学来解决实际问题需要各方面的专业知识，而运筹学家很难全部具备。 这就需要有各方面专家的集体智慧协作努力。 2．科学的方法 用运筹学解决实际问题必须用科学的方法，对各种原始资料进行处理，再用 科学的方法找到决策的依据。 3．解决实际问题 4．需要信息资料 5．需要建立模型 6．需要计算机 运筹学的解题的计算量很大，一个复杂的模型可能会有几十个甚至上百个变量， 没有计算机是无法计算的。
5.规划论 规划论是运筹学的一个重要分支,分为线性规划,整数规划，动态规划,非线性规划, 多目标规划，其中线性规划（Linear Programming）用途广泛,各种方法成熟， 是我们学习的重要内容。
线性规划，最直观的理解就是：研究在线性不等式或等式的约束下，使得某个 线性目标取得最大（小）的问题。线性规划在交通、工业、农业、军事、经济、 管理等方面都有很多成功的实例。
3、搜索论 搜索论是用来搜索一样东西的理论。是从军事上搜索潜艇开始的…… 搜索论现在用来合理的搜索人力、物力资源，如探矿，我国主要那些地方有石油， 如果全面去找，显然要花费大量人力、物力资源，利用搜索论可以合理的应用 最少的人力和物力，在最短的含时间里去发现石油资源。 4.存贮论 存贮论是研究物资管理，采购设备资源的一套数学理论。如工厂生产需储备 一定的原材料，如果原材料储备太多，积压了资金造成了浪费，如果设备太少 会造成生产上的停工待料，因此就必须根据生产活动的连续性决定最佳存 贮量，这就要进行科学计算。 (还有：水库的蓄水量，商品的库存量，机器零件的备用量，血库的储血量)
运筹学绪论
六、运筹学的分支
1．线性规划：资源的合理分配问题（重点） 2．非线性规划：目标函数、约束条件不全是线性。 3．动态规划：经营管理活动由一系列阶段组成，每 个阶段作决策，各个阶段决策互相关联，不独立。解 决：多阶段决策问题，实现总体优化。 4．图与网络分析：图模型。 5．存贮论：库存研究、物质材料的贮备等。（如订 货批量、最适合的库存量） 6．排队论：排队服务系统工作过程优化问题，如机 场、生产设备、通讯等。 7．对策论：具有对抗型局势的模型，竞争型决策 目的：对策论的研究为对抗各方获取对自己有 利的结局应采取的最优策略。 8．决策论：不确定型决策、风险型决策等。
五、运筹学的影响
2007年Franz Edelman奖的候选机构来自不同的行业和地区，它 们分别是： 1、可口可乐公司，该公司因实施“可口可乐企业优化配置方案” 而入围。 2、美国海岸警卫队，该机构“通过管理飞机维修和供给中心的 飞机保养能力，使飞机的可用率达到最大化。” 3、惠普公司，该公司因实施“采购风险管理方案”而入围。 4. 戴姆勒-克莱斯勒汽车公司、汽车评级机构J.D. Power和 Associates公司，这些机构因其“PIN动机策划系统（这是一种决 策支援系统，可以帮助规划汽车制造商的定价和推销方案）” 而入围。 5. 斯隆-凯特灵癌症中心，该中心为“癌症治疗学提供了运筹学 解决方案”。 6. 苏格兰哈利法克斯银行和Nomis Solutions公司，“哈利法克斯 银行通过价格优化方案使消费者贷款的利润得到提高”。
本课程特点及要求
目的：不仅掌握优化理论方法的专业知 识，更重要的是提高分析问题和解决问 题的能力。 方法：强调思路、观点及弄清物理概念， 掌握一定的理论推导能力，但不搞纯数 学公式。 避免2种倾向：只罗列方法，不讲本质； 或只追求数学推导，掩盖物理概念。 内容为2部分：基本技术和开阔思路。
运筹学基础-绪论
• 丁谓修复皇宫
北宋真宗年间，皇城失火，皇宫被毁，朝廷决定重建皇宫。丁谓负责 修复烧毁的开封皇宫。
丁谓到现场一察看，发觉有三大问题最难办。 一是建房用土量大。若到郊外取土，路途太远。 二是运输难，大批建筑材料，从外地只能由水路运到汴水。若再运到 皇宫建筑工地，只能靠车马了。 三是大片废墟垃圾，要运到远处倒掉。不知要花费多少人力、物力和 时间。
生活中的运筹学
• 家里来了客人，你想给他泡茶。但家里没有 热水和茶叶；此外茶壶、茶杯也还没洗。其 中，出去买茶叶要5分钟，烧热水要10分钟， 洗茶壶2分钟，洗茶杯1分钟。而口渴的客人 12分钟喝不到茶就会崩溃。
• 你如何在最短的时间内让客人喝到茶呢？ 1-12
• 步骤1：烧水（10分钟） • 步骤2：在烧水的同时，去洗茶壶（2分钟）、洗
它是一个典型的排队的例子, 关于排队的例子有很多, 例如：上下班坐公共汽车, 等待公共汽车的排队; 顾客到商店购物形成的排队; 病人到医院看病形成的排队; 售 票处购票形成的排队等; 另一种排队是物的排队，例如文件等待打印或发送; 路口红 灯下面的汽车、自行车通过十字路口等等.
2020/11/23
运筹学主要内容及学习方法
2020/11/23
多个起点到多个终点的运量分配问题
2020/11/23
网络计划技术在地铁工程筹划中的应用
2020/11/23
2020/11/23
一定阶段最短路问题——动态规划问题
W先生每天驾车去公司上班。如图，W先生的住所位于u1， 公司位于us，图中的直线段代表公路，交叉点代表路口，直 线段上的数字代表两路口之间的平均行驶时间。现在W先生 的问题是要确定一条最省时的上班路线。
汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢材、 劳动时间的需求、利润及工厂每月的现有量。请指定工厂的 月生产计划，使工厂的利润最大。
运筹学绪论2
管
理
运
筹
学
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第一章 绪论
囚徒困境 • 警方逮捕甲、乙两名嫌疑犯，但没有足够证据 指控2人入罪。于是警方分开囚禁嫌疑犯，分别 和2人见面，并向双方提供以下相同的选择： • 若1人认罪并作证检控对方，而对方保持沉默， 此人将即时获释，沉默者将判监10年。 • 若2人都保持沉默，则2人同样判监半年。 • 若二人都认罪并作证检控对方，则二人同样判 监2年。
管 理 运 筹 学
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第一章 绪论
• 丁渭不拘一格，巧妙构思
– 先开挖通衢沟道，用断砖筑窑，以焦木作柴，用通衢 沟道挖出的土制作砖坯，就地烧制砖瓦。 – 挖开的通衢沟道与汴河接通，装运石料、木材的木筏 便可直接驶到皇宫门前。 – 待工程完毕后，又将建筑废料全部填入深沟，恢复通 衢沟道之前的原形。
• 结果，修复皇宫的工程既快又好地完成。 • 丁渭抓住取土、运材、除圾三个关键环节，有针 对性地采取了一个有利的措施——在宫址前的大 街上挖一条长沟。
管 理 运 筹 学
3
第一章 绪论
• 英国运筹学会认为：“运筹学是把科学方法应用 在指导和管理有关的人员、机器、物资以及工商 业、政府和国防方面资金的大系统中所发生的各 种问题。其独特的方法是发展一个科学的系统模 式，列入随机和风险等各种因素的尺度，并运用 这个模式预测和比较各种决策、战略并控制方案 所产生的后果。其目的是帮助主管人员科学地决 定方针和政策。” • 美国运筹学会认为：“运筹学所研究的问题，通 常是在要求分配有限资源的条件下，科学地决定 如何最好地设计和运营人机系统。”
管 理 运 筹 学
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第一章 绪论
算准深水炸弹爆炸深度 • 英军船队在大西洋里航行时经常受到德军潜艇的 攻击。英国空军为此经常派出轰炸机对德军潜艇 实施火力打击，但轰炸效果总是不理想。 • 数学家发现，潜艇从发现英军飞机开始下潜到深 水炸弹爆炸时止，只下潜了7.6米，而英军飞机 投下的炸弹却已下沉到21米处爆炸，从而导致毁 伤效果低下。 • 英军调整了深水炸弹的爆炸引信，爆炸深度从水 下21米减为水下9.1米，结果轰炸效果较过去提 高了4倍。
运筹学-绪论PPT课件
➢ 设备维修和更新 ➢ 项目评价和选择 ➢ 工程优化设计
➢ 计算机和信息系 统
➢ 城市管理 ➢ 发展战略
五、教学及考试说明
➢ 以课本为主教学 ➢ 必要的习题（30～40题） ➢ 考试：采用闭卷 ➢ 平时成绩30％；考试成绩占70％
六、教材和参考书
➢ 教材： ➢ 胡云权.运筹学教程（第三版）.清华大学出版社 ➢ 宋学峰.运筹学.东南大学出版社 ➢ 参考书：
➢ 60年代，相继在工业、农业、经济和社会问题各 领域都得到应用。
➢ 理论飞快发展，形成许多分支：数学规划、图与 网络、排队论、存储论、对策论、决策论等。
➢ 1959年成立国际运筹学联合会。我国1980年成 立运筹学会，1982年加入国际运筹学联合会。
四、运筹学解决问题的思路
➢ 提出问题——用自然语言描述问题。 ➢ 建立数学模型——用变量、函数、方程描述问
题。
➢ 求解——主要用数学方法求出模型的最优解、 次优解、满意解，复杂模型求解要用计算机。
➢ 解的检验——检查模型和求解步骤有无错误， 检查解是否反映现实问题。
➢ 决策实施——决策者根据自己的经验和偏好， 对方案进行选择和修改，作出实施的决定。
五、运筹学的运用
➢ 生产计划 ➢ 市场销售 ➢ 资本运营 ➢ 库存管理 ➢ 运输问题 ➢ 财政和会计 ➢ 人事管理
——近代一些运筹学工作者
一、什么是运筹学
➢ 3、运筹学的三大来源 1）军事
两次世界大战期间的军事运筹研究 2）管理
运筹学01-绪论-11
目标函数是从新建的四类住宅中获得的税收最大，即
max z = 1000x 1 + 1900x 2. + 2700x 3 + 3400x 4
问题的第一个约束是土地可用量：
用于新建住宅的面积 <= 净可用面积 新建住宅的面积 = 0.18x 1 + 0.28x 2 + 0.4x 3 + 0.5x 4 净可用面积 = 0.25x 5 (1 − 15% ) 得到的约束是 0.18x 1 + 0.28x 2 + 0.4x 3 + 0.5x 4 ≤ 0.25x 5 (1 − 15% )
–
–
–
运筹学的发展
二战之后，二战期间成立的运筹学小组成员把在战争中积累的 丰富经验与理论方法转向了民用问题，运筹学开始进入工业部 门和管理领域。运筹学作为一门学科逐步发展起来：
– – – – – – – – 1947年，Dantzig提出线性规划的单纯形法 1950~1956年间，线性规划对偶理论诞生 1951年 ，Knhn-Tuker定理奠定了非线性规划理论的基础 1954年，网络流理论建立 1955年，创立随机规划 1958年，创立整数规划及割平面解法，同年求 解动态规划的 Bellman原理发表 1960年，Dantzig-Wolfe建立大LP分解算法； 各个分支得到不断充实和完善并形成体系。
运筹学的产生
二战期间，英、美等国组建的作战研究(operational research)小组进行的关于战略、战术的研究工作。 Bawdsey雷达站的研究工作
– 负责人A.P. Rowe提出立即进行整个防空作战系统运行的研 究。所研究的具体问题有：设计将雷达信息传送给指挥系 统及武器系统的最佳方式；雷达与防空武器的最佳配置； 由于对探测、信息传递、作战指挥、战斗机与防空火力协 调等获得成功，大大提高了英国本土的防空能力，不久以 后在对抗德国对英伦三岛的狂轰滥炸中发挥了极大的作用 。 Bawdsey也被称为运筹学的发源地。
运筹学引言-绪论
引言
一、课程的性质、地位与设置目的
运筹学课程性质 是以经济活动中的计量方法的应用为主体，为管理人员制
定决策提供了定量的基础，辅助管理决策。 特点：
1.从全局的观点出发 2.通过建立模型，如数学模型或模拟模型，对于要求解的 问题得到合理的决策。 目的： 培养学生具有综合处理信息理计量方面的能力，为将来 作决策提供科学的依据。
▪ 美国和加拿大也在军队设立了运筹学小组，称之为 Operations Research，协助指挥官研究战略及战术问题。
2. 发展 战后许多从事运筹学研究的科学家转向了民用问题的研
究，使运筹学相继在工业、农业、经济和企业管理、社会问 题等各个领域的应用得到了长足进展。 3. 运筹数学形成各分支
数学规划（线性规划、非线性规划、整数规划、目标规 划、动态规划、随机规划等）、图论与网络、排队论、存贮 论、对策论、搜索论、可靠性与质量管理等
四、运筹学解决问题的思路
▪ 分析与表述问题 首先对研究的问题和系统进行观察分析，归纳出决策
的目标及制订决策时在行动和时间等方面的限制。
弄清要解决的问题 明确实现目标 分析所处的环境和约束条件 取得统计数据资料
▪ 建立数学模型 模型表达了问题中可控的决策变量、不可控变量、工艺
技术条件及目标有效度量之间的相互关系。
4.中国 50年代中期，由钱学森、许国志等教授将运筹学由西方
引入中国，并结合我国特点进行推广。
二、运筹学的称谓
英文： Operations Research 缩写： OR
▪ 在日本译作“运用学”， ▪ 在香港、台湾译为“作业研究”， ▪ 我国学者从古语“运筹帷幄之中，决胜千里之外”取“运
筹”二字，充分体现了这门学科运心筹谋、策略取胜的精 髓。译作“运筹学”。 ▪ Management Science 管理科学
运筹学教学课件(全)
实用举例
某公司通过市场调研，决定生产高中档新型拉杆箱。 某分销商决定买进该公司3个月内的全部产品。拉杆箱生 产需经过原材料剪裁、缝合、定型、检验和包装4过程。
通过分析生产过程，得出：生产中档拉杆箱需要用 7/10小时剪裁、5/10小时缝合、1小时定型、1/10小时检 验包装；生产高档拉杆箱则需用1小时剪裁、5/6小时缝合、 2/3小时定型、1/4小时检验包装。由于公司生产能力有限， 3月内各部的最大生产时间为剪裁部630小时、缝合部600 小时、定型部708小时、检验包装部135小时。
D {x | Ax b, x (x1,, xi ,, xn ) 0}
是凸集（凸多面体）。
引理2.1：线性规划的可行解 x (x1 ,, xn )T 为基本可行解的 充分必要条件是x的正分量所对应的系数列向量是线性无关的， 即每个正分量都是一个基变量。
定理2.2：线性规划问题的基本可行解x对应于可行域的顶点
通过分析生产过程，得出：生产中档拉杆箱需要用
7/10小时可剪裁以、通5/1过0小线时性缝合规、划1小求时定解型！、1/10小时
检验包装；生产高档拉杆箱则需用1小时剪裁、5/6小时 缝合、2/3小时定型、1/4小时检验包装。由于公司生产 能力有限，3月内各部的最大生产时间为剪裁部630小时、 缝合部600小时、定型部708小时、检验包装部135小时。
x2
L1：x1=6 L3：2x1+3x2=18
B 可行域
L2：x2=4 最优解
x1
4x1+3x2
解的特殊情况——解的特殊情况——无界解
线性规划的基本性质
若线性规划有最 优解，则最优解必在可 行域的顶点上达到。
X
可行域内部的点 • 可行解? 是 • 最优解? 不
运筹学绪论教案
教案一绪论教学内容第一节运筹学发展简史第二节运筹学的性质及特点第三节运筹学研究的内容第四节运筹学研究的步骤第五节运筹学在卫生管理中的作用教学学时 2学时教学目标1．了解运筹学发展简史、运筹学的性质及特点2．理解运筹学的研究内容、运筹学研究的方法及步骤3．掌握卫生管理运筹学在卫生管理中的作用重点难点重点是运筹学的研究内容、运筹学研究的方法及步骤、卫生管理运筹学在卫生管理中的作用教学手段教师主讲使用多媒体课件教学过程一、讲授新课第一节运筹学发展简史（见课件）运筹学的朴素思想早在两千多年前就被人们应用着．例如齐王赛马和丁渭修皇宫的故事就充分说明了我国很早就在生产实际中运用了运筹方法．但是运筹学作为一门新兴学科是第二次世界大战期间在英国产生的．此前虽然有相关的研究，如Lanchester的作战方程，Erlang的排队论和Dantzig的线性规划等，但集中地、大规模地和系统地对运筹学开展研究和应用，则发生在二次大战期间的英国皇家空军部队（RAF），并立即触发了美国军方的合作．它研究的内容是综合协调、统筹规划先进的军事技术和装备，以期发挥最大的效益．由于在二次大战中的成功运用，运筹学在英国、美国受到高度重视，并立即被运用到战后经济重建和发展当中．战后的运筹学主要在以下两方面得到了发展：其一是运筹学的方法论，形成了运筹学的许多分支；其二是由于计算机的迅猛发展和广泛的应用，使得运筹学的方法论能成功地解决管理中的决策问题，成为广大管理者进行有效管理和最优决策的常用工具．20世纪50年代中期，我国著名科学家钱学森等教授将运筹学从西方引进我国．由于我国史书《史记•高祖本记》中有“夫运筹策帷幄之中，决胜于千里之外”，所以我国学者就把“Operations Research”翻译成“运筹学”，包含运用筹划，以策略取胜等意义，比较恰当地反映了这门学科的性质和内涵．后来一大批中国学者在推广和应用运筹学方面作了大量工作，并取得了很大成绩．例如，1958年中国科学院数学研究所的专家们，用线性规划解决了某些物资的调运问题．在线性规划的运输问题上，还创造了我国独有的图上作业法．在此期间，以华罗庚教授为首的一大批数学家加入到运筹学的研究队伍，使运筹学的很多分支跟上当时的国际水平，在世界上产生了一定影响．经过五十多年的发展，运筹学已成为一个门类齐全、理论完善、有着重要应用前景的学科．运筹学不仅是我国各高等院校，特别是各管理类专业的必修课程．而且运筹学的方法在农林、交通运输、建筑、机械、冶金、石油化工、水利、邮电、纺织、企业管理、大型科研项目、教育、医疗卫生等部门，也正在得到应用推广．第二节运筹学的性质及特点（见课件）由于本教材的对象是卫生管理专业的学生，从管理的实际出发把运筹学看作是一门解决实际问题的方法，不妨以《中国企业管理百科全书》（1984年版）中的定义来定义运筹学：“运筹学是应用分析、实验、量化的方法，对经济管理系统中人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理．”定义表明运筹学是应用系统的、科学的、数学分析的方法通过建立和求解数学模型，在有限资源的条件下，计算和比较各个方案可能获得的经济效果，以协助管理人员做出最优的决策选择．或者说，运筹学是运用数学方法来研究人类从事各种活动中处理事物的数量化规律，使有限的人、材、物、时、空、信息等资源得到充分和合理的利用，以期获得尽可能满意的经济和社会效益的科学．就其理论和应用意义来归纳，运筹学具有以下特点：1．运筹学是一门定量化决策科学．它是运用数学手段以寻求解决问题的最优方案，正因为如此，我国早期引进和从事这一科学的先驱者多为数学家．2．运筹学研究问题是从整体观念出发．运筹学研究中不是对各子系统的决策行为孤立评价而是把相互影响和制约的各个方面作为一个统一体，是在承认系统内部按职能分工的条件下，从系统整体利益出发，使系统的总效益最大．3．运筹学是多种学科的综合性科学．由于管理系统涉及到很多方面，所以运筹学研究中所涉及的问题必然是多学科性的．运筹学研究中要吸收其他学科的专家及最新成果，经多学科的协调配合，提出问题，探索解决问题的最佳途径．4．运筹学研究问题是应用模型技术．运筹学研究是通过建立所研究系统的数学模型，进行定量分析的．而实际的系统往往是很复杂的，运筹学总是以科学的态度，从诸多因素中抽象其本质因素建立模型，用各种手段对模型求解并加以检验，最后向决策者提出最优决策方案．第三节运筹学研究的内容（见课件）运筹学研究的内容丰富，涉及面广，应用范围大，已形成了一个相当庞大的学科．下面就本教科书涉及到的一些分支做简单介绍：线性规划它主要解决两个方面的问题：一是对于给定的资源，如何统筹安排，才能发挥他们的最大效益；二是对于给定的任务，如何以最少的资源完成它．在这类问题中，其目标要求如果可以用数学上变量的线性函数表示，问题中满足的约束条件可以用变量的线性等式或不等式表示，那么这类问题就可以用线性规划方法解决．整数规划整数规划是一种特殊的线性规划问题，它要求某些决策变量的解为整数．多目标规划在实际的管理决策中，决策者往往要遇到很多相互矛盾的目标，多目标规划就是研究具有多个目标的规划问题．多目标规划在处理实际决策问题时，充分考虑每一个决策目标（即使是冲突的），在作最终决策时，不强调其绝对意义上的最优性，从而在一定程度上弥补了线性规划的局限性．动态规划动态规划是解决多阶段决策过程最优化问题的一种方法．有些管理活动可以分为若干个相互联系的阶段，在每个阶段依次做出决策．在一个阶段做出的决策不仅决定这一阶段的效益，而且决定下一阶段的初始状态，每个阶段的决策确定以后，就得到一个决策序列，称为策略．多阶段决策问题就是求一个策略，使各阶段的效益的总和达到最优．网络分析与网络计划在生产、计划管理中经常碰到各活动间合理衔接搭配问题，特别在计划和安排大型的复杂工程中，各活动间逻辑关系非常复杂，运筹学中把这些研究对象用点表示，把对象间的关系用边表示，点边的集合构成了图．图是网络分析的基础，通过网络分析来研究事物之间的逻辑关系，这比单用数学模型更直观、更容易为人们所理解．因此，其应用领域也在不断扩大．网络计划是利用网络图形来描述一项工程中各活动的进度和结构关系，以便对工程进度进行优化控制．使得完成全部工程所需的总时间最少或费用最少．存贮论又称库存论，是一种研究最优存贮策略的理论和方法．存贮是缓解供应与需求之间出现供不应求或供过于求等不协调情况的必要和有效的方法和措施．但是要存贮就需要资金和维护，就要支付相应的费用，因此如何最合理、最经济地解决好存贮问题是经营管理中一个重要问题．存贮论就是研究经营管理中各种物资应当在什么时间，以多少数量来补充库存，才能使库存和采购的总费用最小的一门学科．排队论排队论是专门研究由于随机因素的影响而产生的拥挤现象的科学，也称随机服务系统理论．如果在某些时刻，要求服务的对象的数目超过了服务机构所能提供服务的数量时，就必须等待，因而出现了排队现象．随着服务事业的社会化，这种排队（拥挤）现象会变的愈来愈普遍．增加服务设施能减少排队现象，但这样势必增加投资并且有时还会造成设施空闲的浪费．因此，顾客排队时间的长短与服务设施规模的大小，就构成了设计随机服务系统所要解决的问题．排队论通过对随机服务现象的统计研究，找出反映这些随机现象的平均特性，从而提高服务系统水平和工作效率．使其对顾客来说达到满意的服务效果，而对服务机构来说又能取得最好的经济效益．决策论决策是对目标和为实现目标的各种可行方案进行抉择的过程．决策问题按决策环境分类可以分为确定型决策、风险型决策和不确定型决策三类，决策论就是为了科学地解决带有不确定型和风险型决策问题所发展的一套系统分析方法．其目的是为了提高科学决策的水平，减少决策失误的风险．它广泛地应用在管理工作的高中层决策中．对策论对策论是用于解决具有对抗性局势的模型．在社会政治、经济、军事活动以及日常生活中充满着各种矛盾和竞争．参与竞争的各方（称为局中人）为了达到自己的利益和目标，都必须考虑对方可能采取的各种可能的行动方案，然后选取一种对自己最有利的方案来对付竞争的对手，使自己在竞争中取得最好的结果．对策论为局中人在竞争的环境中，提供一套完整的、定量化的和程序化的选择策略的理论和方法．预测技术预测是为了认识自然和社会的发展规律，揭示各种规律之间的相关性，为规划、决策、创造未来提供科学依据．分为定性和定量两种技术．定量的预测方法是基于对历史数据以及其他相关的数据的分析而对将来做出预测的方法．定性预测方法主要是利用专家的判断来预测未来．本书只介绍定量预测方法．综合评价综合评价就是对客观事物以不同侧面所得的数据做出总的评价．综合评价的研究对象通常是自然、社会、经济等领域中的同类事物（横向）或同一事物在不同时期的表现（纵向）．具体的综合评价一般表现为以下几类问题：第一类综合评价问题是对所研究事物进行分类；第二类综合评价问题表现为对上述分类的序化，即在第一类问题基础上对各小类按优劣排出顺序；第三类综合评价问题表现为对某一事物做出整体评价．第四节运筹学研究的步骤（见课件）（一）分析情况，确认问题首先，必须对系统的整个状况，目标等进行认真的分析，确认问题是什么．确定决策目标及决策中的关键因素，各种限制条件、问题的可控变量以及有关参数，并要明确评价的标准等．（二）抓住本质，建立模型模型是对实际问题的抽象概括和严格的逻辑表达，是对各变量关系的描述，是正确研制、成功解决问题的关键．而运筹学面对的问题和现象常常是非常复杂的，难以用一个数学模型或模拟模型原原本本地表示出来，这时要抓住问题的本质或起决定性作用的主要因素，作大胆的假设，用一个简单的模型去刻画系统和过程．这个模型一定要反映系统和过程的主要特征．要尽可能包含系统的各种信息资料、各种要素以及它们之间的关系．所以，建立起模型后，还需要实际数据对它作反复的检验和修正，直到确信它是实际系统和过程的一个有效代表为止．（三）模型求解，检验评价接着就是应用各种数学手段和电子计算机对模型求解，解可以是最优解、次优解、满意解，解的精度要求可由决策者提出．然后检查解是否反映现实问题，研究得到的解与历史实际情况的符合程度，以判断模型是否正确，模型的解是否有效．并按一定标准做出评价并进行灵敏度分析，通过灵敏度分析，及时对模型和导出的解进行修正．（四）决策实施，反馈控制根据模型求得的“最优解”，并不是决策，而只是为决策者提供方案，最后的决策应由管理者自己做出，在做出决策并付诸实施后，要保持良好的反馈控制，以便能对是否继续实施还是要修改模型做出迅速的反应．整个过程可用框图表示如下：图1-1 运筹学解决实际问题的步骤框图第五节运筹学在卫生管理中的作用（见课件）运筹学简单地说就是研究投入一定的情况下如何产生最大的效益，或在要获得一定的效益前提下如何把投入降到最小．这是各行业管理的目的．运筹学就是基于管理的这个目的而发展起来的．在卫生事业管理中，随着卫生服务规模的扩大，卫生资源需求的增加，要求卫生服务经济投入越来越多，而政府财政难以满足所有的卫生需求，如何在保证人民基本卫生服务需要的情况下，规划卫生服务，使得投入最小或效率最高，已经成为卫生管理运筹学的重要任务．而卫生服务费用的飞涨限制了一些居民对卫生服务的利用，使用运筹学进行定量管理和规划会减少卫生服务的成本，从而有利于控制卫生服务的价格，增加居民对卫生服务利用的经济可及性．运筹学研究问题的特点就是从系统的观点出发，研究全局性的规划问题．如医院内医护人员要求多存储药品和医用器材，而库房工作人员则希望少存储以减少损耗和工作量，而管理者的决策则是从全局出发，使整个医院的损耗尽可能的小，发挥的功能尽可能的大．一个防疫站有多个科室，每个科室都希望得到较多的资源，但总的资源是有限的，管理者就必须从整个防疫站要完成的任务出发，合理分配资源，追求总的效益．比如在一段时间可以集中人力、物力搞防疫；一段时间又可以集中力量搞食品卫生．所谓最优决策，往往不是对系统中某一部分为最优，而是对全局而言．比如当用于传染病预防方面的资金有限时，不能均匀地把钱花在每种传染病的预防上，而是首先考虑那些危害大、技术上易行、花钱少的优先防治，才能提高其总效益．运筹学的应用已经在管理工作中带来了大量的财富。
运筹学第1章 绪论
§1 决策、定量分析与管理运筹学 §2 运筹学的分支 §3 运筹学在工商管理中的应用 §4 学习运筹学必须使用相应的计算机
软件，必须注重于学以致用的原则
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第一章 绪论
运筹学（Operational Research) 直译为“运作研究”。
➢ 定义：运筹学是应用分析、试验、量化的方法，对经济 管理系统中的人力、物力、财力等资源进行统筹安排， 为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。
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§1 决策、定量分析与管理运筹学
问题解决的过程：
1）认清问题；
2）找出一些可供选择的方案；
决 策
3）确定目标或评估方案的标准；
4）评估各个方案：解的检验、敏性分析等；
5）选出一个最优的方案：决策；
6）执行此方案：回到实践中；
7）进行后评估：考察问题是否得到完满解决；
1）2）3）：形成问题； 4）5）：分析问题：定性分析与定量分析。构成决策。
• 本书附有运筹学教学软件，使用方法很简单。必须 尽快学会使用这个运筹学教学软件，并借助它来学 好本课程。
• 虽然教材附带的软件“管理运筹学2.5”可以解决书 上的绝大部分习题，但是，这些习题的计算方法依 然是重点，必须掌握。
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3
• 线性规划
§2 运筹学的分支
• 对策论
• 整数线性规划 • 目标规划 • 图与网络模型 • 存储论
• 排序与统筹方法 • 决策分析 • 动态规划
• 排队论
• 预测
*** 随机规划、模糊规划等
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§3 运筹学在工商管理中的应用
• 生产计划：使用运筹学方法从总体上确定适应需求 的生产、 贮存和劳动力安排等计划，追求利润最 大化和成本最小化。
运筹学绪论、PPT课件
例1续 若表决的规则改为：达到或超过2/3 时，提出的议案通过。
解：投票人集合：N=｛1,2,3,4｝。
设Si为投票人i的摆盟，i=1,2,3,4。 S1｛：1｛,21,3,2,4｝｝,｛1,2,3｝,｛1,2,4｝,｛1,3,4｝,
S2：｛2,1｝、｛2,1,3｝、｛2,1,4｝ S3：｛3,1,4｝ S4：｛4,1,3｝ 摆盟数为：1 = 5, 2 = 3, 3 = 1, 4 = 1. 势指标为：1 = 5/10，2 = 3/10, 3= 4 = 1/10
3.运筹学模型大多是优化模型。
三、运筹学分析的主要步骤
• 发现和定义待研究的问题， • 构造数学模型， • 寻找经过模型优化的结果， • 通过应用这些结果对系统进行分折和
改善系统的运行。
真实 系统
数据 准备
系统分析 问题描述
模型建立 与检验
模型术解 与检验
结果分析 与实施
投票博弈
例1：一个董事会有4位董事，其中董事长有3票， 副董事长有2票，剩余2名董事各有1票，进行投 票表决。表决的规则是：超过半数票，讨论的提 案通过。
方案 序号
董事长 副董事 董事 董事 有3票 长有2票 有1票 有1票
方案1
3/6
（达到半数）
方案2
（达到2/3)
5/10
1/6
1/6
1/6
3/10 1/10 1/10
例2 一个董事会由4位股东组成，每位股东依 次拥有股份为：40%，30%，20%，10%。在 董事会投票时，每位股东的票数与他所拥有的 股份成正比。
3=3/12, 4=1/12
（2） (此时只需要50%就可以通过） 每个投票人的摆盟分别为：
S1｛:｛11,3,2,4｝｝、｛1,3｝、｛1,4｝、｛1,2,4｝、 S2:｛2,1｝、｛2,3｝、｛2,3,4｝ S3:｛3,1｝、｛3,2｝、｛3,2,4｝ S4:｛4,1｝ 每个投票人的摆盟数分别为：
运筹学绪论
• 模型说明：
目标函数可以是单目标，也可以是多目标；目标可以是极大， 也可以是极小。 约束条件可以是单个，也可以是多个。 不包含随机因素时为确定性模型，有随机因素时为随机性模型； 当变量只取离散数值时为离散模型，否则为连续模型。
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四、工作程序
• 求解——主要用数学方法对模型求解，复杂模型求解要 用计算机。用数学方法或其他工具(如编写计算机程序) 。 根据问题的要求，可分别求出最优解、次最优解或满意 解；依据对解的精度的要求及算法上实现的可能性，又 可区分为精确解和近似解等． • 解的检验——检查模型和求解步骤有无错误，检查解是 否反映现实问题。 • 决策实施——决策者根据自己的经验和偏好，对方案进 行选择和修改，作出实施的决定。
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• 我国第一个运筹学小组于1956年在中国科学院力学研究 所成立，1958年建立了运筹学研究室。1960年在山东济 南召开全国应用运筹学的经验交流和推广会议，1962年 和1978年先后在北京和成都召开了全国运筹学专业学术 会议，1980年4月成立中国运筹学学会。在农林、交通运 输、建筑、机械、冶金、石油化工、水利、邮电、纺织 等部门，运筹学的方法已开始得到应用推广。除中国运 筹学学会外，中国系统工程学学会以及与国民经济各部 门有关的专业学会，也都把运筹学应用作为重要的研究 领域。我国各高等院校，特别是各经济管理类专业中已 普遍把运筹学作为一门专业的主干课程列入教学计划之 中。
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（三）、决策论
• 决策是指为最优地达到目标，依据一定准则，对若干备 选行动的方案进行的抉择． • 决策过程一般是指：形成决策问题，包括提出方案，确 定目标及效果的度量；确定各方案对应的结局及出现的 概率、确定决策者对不同结局的效用值，综合评价，决 定方案的取舍。决策论是对整个决策过程中涉及方案目 标选取、度量、概率值确定、效用值计算，一直到最优 方案和策略选取的有关科学理论．
《运筹学教学资料》运筹学绪论[2014]
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China University of Mining and Technology
运筹学
运筹学概况简述
➢研究对象：人类对各种资源的运用及筹划活动。
➢研究目的: 了解和发现这种运用及筹划活动的基本规律， 以便发挥有限资源的最大效益，来达到全局最优的目标。
➢运筹学研究的两个重要特点: 强调研究过程的完整性、强 调理论与实践的结合。
• 福特为了利于企业向大生产发展，进行了多方面的标准化
工作，包括：产品系列化，零件规格化，工厂专业化，机 器及工具专用化，作业专门化。
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运筹学
运筹学发展简史
3. 运筹学的经济学起源
• 运筹学的第三个来源是经济学的研究。 • 经济学理论对运筹学的影响是和数理经济学学派紧密联系的。 • 数理经济学对运筹学，特别是对线性规划的影响：
• 运筹学是一门应用科学，它广泛应用现有的科学技术知 识和数学方法，来解决实际中提出的专门问题，并为决 策者选择最优策略提供定量依据。
运筹学是一门交叉学科； 运筹的目标是最优策略。
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运筹学
运筹学概况简述
• 运筹学是一种给出问题的坏答案的艺术，否则，问题的 结果会更坏。
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运筹学
绪论
主要内容
一、运筹学概况简述 二、运筹学发展简史 三、主要研究内容 四、运筹学的工作步骤、原则及学科特点 五、运筹学方法应用 六、课程教学计划、方法及要求 七、如何学习运筹学课程
运筹学01-绪论-11PPT资料25页
运筹学是一门应用科学，它是面向实践的，它的研究对 象是实践中的决策问题，并且要将研究结果应用于实 践；(运筹学的实践性)
运筹学研究是基于数量化的方法和技术，同时对这些数 量化方法和技术的研究也构成了运筹学的重要组成；(数 学分支，最优化技术)
运筹学研究的目标是对现实决策问题进行求解或评估， 以达到优化决策的目的。(方法论vs决策科学)
改造工程分为两个阶段：(一)拆除不符合标准的住宅， 为新的开发提供土地；(二) 建设新的建筑。下面是情况 概要：
(1) 最多可拆除300套不符合标准的旧住宅，每套住宅占 地0.25英亩，拆除一套征地住宅的成本是2000美元。
(2) 新建设的单、双、三和四户型住宅的占地面积分别为 0.18、0.28、0.4和0.5英亩。街道、开阔地和公共设施占 可利用面积总量的15%。
x1-建造单户型住宅的单元数 x2-建造双户型住宅的单 x3-建造三户型住宅的单元数 x4-建造四户型住宅的单元数 x5-拆除旧住宅的单元数
目标函数是从新建的四类住宅中获得的税收最大，即
m a x z 1 0 0 0 x 1 9 0 0 x 2 7 0 0 x 3 4 0 0 x
运筹学
华东理工大学商学院 管理科学与工程系 夏海洋
第1讲 绪论
1.1 运筹学的定义 1.2 运筹学研究的系统过程 1.3 运筹学的产生与发展 1.4 运筹学的主要分支
1.1 运筹学的定义
运筹学一词的由来
Operations Research (美) Operational Research (英国) 作业研究(台湾)，运用学运筹学(1957年) 作战研究：operation(军事行动，作战), research(研究) 二战期间，英美等国为了解决作战中遇到的错综复杂的
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• 运筹学的概况 • 最优化模型 • 教学计划与方法 • 考试与要求 • 参考文献
绪论
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运筹学概况
• 运筹学的由来与发展 • 运筹学的性质与特点 • 运筹学的主要内容 • 运筹学的发展趋势 • 运筹学的学科地位
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运筹学的由来与发展
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运筹学的学科地位
运筹学
基础理论
应用理论
应用技术
1 在数学学科中的地位 运筹数学
1 在系统科学中的地位 系统工程
1 在管理科学中的地位 管理与运筹学（管理数学）
1 与经济学的关系
问题与方法
1 与工程科学的关系 方法与应用
1 与计算机科学的关系 核心算法与工具
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线性规划（Linear Program）
min 10x1 +12x2 + 8x3 +10x4
s.t. 21x1 + 25x2 + 7x3 +15x4 ≥100
51x1 + 51x2 + 37x3 +15x4 ≥110
18x1 + 32x2 + 21x3 + 6x4 ≥ 200
• 与其他学科的结合加强，共同发展。
– 组合优化 – 最优化方法——使用数学规划（特别是连续优化）解决工程设计
中的问题。 – 博弈论（Game Theory）
• 运筹学的发展进一步依赖于计算机的应用和发展。
– 大容量、高速度的计算机方便了运筹学的应用。 – 计算机学科的发展促进了运筹学的发展。
例如：组合优化，算法图论，算法博弈论。
• 名称的由来
– 最早：来源于英国皇家空军战斗指挥部，称为“Operational Research”。
– 现名：Operations Research
– 我国译名：“运筹学”，取“运筹帷幄”一词，出自《史记》。
• 发展历程
产
萌
生
芽
成
发
熟
展
二
二
五
七
战
战
以
期
前
间
六 十 年 代
八 十 年 代
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询问：怎样配置原材料，才能使得生产单位饲料的费用最小？
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建模分析
可控因素：xj——单位饲料中第 j 种原材料的数量。 目标：总费用达到最小 费用函数为：10x1 + 12x2 + 8x3 + 10x4 约束条件：单位饲料中必须保证第 i 种营养成分至少为 bi。
21x1 + 25 x2 + 7x3 +15 x4 ≥100 51x1 + 51x2 + 37 x3 +15 x4 ≥110 18 x1 + 32 x2 + 21x3 + 6x4 ≥ 200
• 线性规划
• 整数规划
• 动态规划
组合优化（Combinatorial Optimization）
• 图和网络优化
• 非线性规划
连续优化（Continuous Optimization）
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运筹学的发展趋势
• 成熟的学科分支向纵深发展。 • 新的研究领域产生。
– 如世界问题，国家决策，系统工程等。
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运筹学的性质与特点
1. 目标：解决各种优化问题。试图系统地研究全局性的优化 问题。
2. 多分支，问题的复杂和多样性。
3. 开放性，不断产生新的问题和学科分支。
4. 源于实践、为了实践、服务于实践，属于应用数学。
5. 交叉学科，涉及经济、管理、数学、工程和系统等多学科。 尤其是近年来，计算机学科的发展大力推动了运筹学的研 究与发展。
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例3，网络优化模型
例：指派问题（The Assignment Problem） • 实例：现有m个工人，n件任务。工人i完成任务j，可获得
收益wij。 • （约束条件）每个工人只能完成一件任务，每个任务只能
由一个工人完成。 • 询问：如何安排工人完成任务，使总收益最大？
• 解：二分图上的最大匹配问题（Max Matching）。
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运筹学的主要内容
1. 线性规划 2. 整数规划 3. 非线性规划 4. 动态规划 5. 多目标规划 6. 图和网络优化
规划论
7. 排队论 8. 对策论（博弈论） 9. 决策论 10. 存储论 11. 可靠性理论 12. 模型论 13. 投入产出分析
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组合优化 与 连续优化
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课程考核
• 理论方法—笔试 • 应用能力—案例分析 • 计算能力—上机操作
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参考教材
• 刁在筠，刘桂真，宿洁，马建华： 《运筹学》。 高等教育出版社， 第1版，1996。 第3版，2007。
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参考教材
Christos Papadimitriou, Kenneth Steiglitz: Combinatorial Optimization: Algorithms and Complexity. Dover Publications, Inc., 1998.
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教学计划与方法
教学计划 • 数学规划以线性规划和整数规划为教授重点， • 组合优化部分主要讲网络优化， • 而随机优化讲授排队论和对策论， • 其它部分作为选讲内容。 教学方法 • 以授课为主，案例分析与上机实习相结合。 • 而讲课中主要培养用最优化方法解决实际问题的能力。
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最优化模型
• 模型要素
– 变量(Variables)—可控因素
– 目标(Objective)—优化的动力和依据
– 约束(Constraints)—内部条件和外部约束
建
概
最优
算
灵敏
模
念
性条 件
法
度分 析
• 研究内容 • 实例
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例1，线性规划模型
实例：某公司生产混合饲料，该饲料由 3 种营养成分组成。
现有 4 种原材料，每单位原材料可提供营养成分如下表所示。
原料 1 原料 2 原料 3 原料 4
成分 需求
价格
10
12
8
10
成分 1
21
25
7
15
100
成分 2
515137Fra bibliotek15110
成分 3
18
32
21
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200
在单位饲料中，3 中营养成分的需求分别是 100、110 和 200。
每单位原材料的价格分别是 10、12、8、10。
xi ≥ 0
∀ 1≤i ≤ 4
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13
例2，随机规划模型
特点：约束条件中可以使用概率约束。 例：
min C
[ ] s.t. Pr C - si ≥ vi ≥1 [ ] Pr xi ≥ qi ≥2 [ ] Pr si ≥ smin ≥3
xi ≥ 0, si ≥ 0
1≤i ≤4
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