七年级数学下册第八章二元一次方程组学科素养思想方法(含解析)新人教版
人教版七(下)第八章 《 二元一次方程组》教材分析及教学建议
人教版七（下）第八章《二元一次方程组》教材分析及教学建议一、本章主要内容本章主要内容包括：二元一次方程组及其相关概念，消元思想和代入法、加减法解二元一次方程组以及三元一次方程组解法举例，利用二元一次方程组分析与解决实际问题。
其中，以方程组为工具分析问题，解决含有多个未知数的问题既是本章的重点，又是难点。
本章的中心任务是：使学生经历建立二（三）元一次方程组这种数学模型并应用它们解决实际问题的过程，体会方程组的特点和作用，掌握运用方程组解决问题的一般方法，提高分析问题、解决问题的能力，增强创新精神和应用数学的意识。
由于含有两（三）个以及多个未知数的实际问题中数量关系比较多，在某些问题中数量关系比较隐蔽，所以列方程组表示问题中的数量关系通常是教学中的难点。
特别要注意的是§8.4《三元一次方程组解法举例》，在《新课程标准（实验稿）》中是没有要求的，但是在《新课程标准（实验修订稿）》中补充了这方面的教学要求，具体表述是“掌握代入消元法和加减消元法，能解简单的二元一次方程组和三元一次方程组”。
二、教学课时安排本章教学时间约需12课时，具体分配如下（仅供参考）8.1 二元一次方程组1课时8.2 消元——二元一次方程组的解法3课时8.3 实际问题与二元一次方程组4课时*8.4 三元一次方程组解法举例2课时数学活动及小结2课时课时安排与《教师教学用书》的安排有所调整，主要是把§8.2的其中一个课时调整到§8.3，目的是在§8.2的教学中重点解决方程组的解法，把实际应用的例题调整到§8.3，以求把难点分散。
三、教材特点和教学建议（一）注重解法背后的算理，强调消元思想方程组中含有多个未知数，消元思想是产生具体解法的重要基础（解方程组时“化多为少，由繁至简，各个击破，逐一解决”的基本策略），而代入法和加减法则是落实消元思想的具体措施。
本章在有关方程组解法的讨论中，注意了先使学生了解消元的基本思想，然后在其指导下寻求解决问题的具体方法，从而使具体解法的合理性凸现出来。
新人教版数学七年级下册第八章《用代入法解二元一次方程组》优秀课件.ppt
解：设胜x场，负y场 y＝22－x
这左边种的将二未元一知次数方的程组个和数由 一多元化一少次方、程逐有一什么解关决系的? 想
法，叫做消元思想
2x+y=40
解：设胜x场，则负(22－x)场
2x+(22-x)=40 即方程组的解为
X=18 Y=4
归纳：
上面的解法，是由二元一次方程组 中一个方程,将一个未知数用含另一个 未知数的式子表示出来，再代入另一 个方程，实现消元，进而求得这个二 元一次方程组的解，这种方法叫代入 消元法，简称代入法.
x = 3/4 ∴ x = 3/4
y = 5/12
2、 用代入法解下列方程组：
x y 1 23 6(2x13y2)5
23
想一想
解：原方程组可化为：
3x – 2y = 6 ① x–y=2 ②
由②得： x = 2 + y ③
把y = 0 代入③，得： x=2+y =2+0
把③代入①得： 3（2 + y）- 2y = 6 6 + 3y – 2y = 6 y=0
x=2
∴ x=2 y=0
练习题
解方程组：
xyxy 6 23
4（x + y）- 5（x – y）= 2
思考题
1、若方程5x
1 2m+n+4y
1
3m-2n
=
9是关于x、y的二元一次方程，
求m 、n 的值.
解：根据已知条件得：
2m + n = 1 ① 3m – 2n = 1 ②
把m = 3/7 代入③，得：
想一想
解：原方程组可化为：
x + 3y = 2
①
新人教版数学七年级下册第八章二元一次方程组教案
第八章二元一次方程组教案教学设计教学设计教学设计教学设计教学设计课题8.3 实际问题与二元一次方程（2）课型新授教学目标知识技能能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程组。
数学思考经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的有效数学模型。
解决问题进一步运用二元一次方程组解决实际问题。
情感态度在用方程组解决实际问题的过程中，体验数学的实际性，提高学习数学的兴趣教学重点让学生实践与探索，运用二元一次方程解决有关配套与设计的应用题教学难点寻找等量关系教学方法引导探究法教学媒体电脑多媒体教学环节教学内容及教师指导学生活动及设计意图二次备课创设情境情境导言：前面我们初步体验了用方程组解决实际问题的全过程，其实生产、生活中还有许多问题也能用方程组解决，那么我们这节课继续探讨用二元一次方程组解决实际问题。
看一看：课本106页探究2边听边思考读题理解题意引导探究活动1 提出问题问题：1“甲、乙两种作物的单位面积产量比是1：1.5”是什么意思？2、“甲、乙两种作物的总产量比为3：4”是什么意思？3、本题中有哪些等量关系？提示：若甲种作物单位产量是a，那么乙种作物单位产量是多少？生：思考、讨论回答生：自主探讨，合作交流。
交流评价活动2（1）先确定有两种方法分割长方形；再分别求出两个小长方形的面积；最后计算分割线的位置。
（2）先求两个小长方形的面积比，再计教学设计交流评价活动2 分析解决问题师：根据题意找出题中的已知条件和未知条件。
师：设问1.如何设未知数？师生共同分析：销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费与产品数量和原料数量都有关。
师：设问2.如何确定题中数量关系？师生列表分析产品x吨原料y吨合计公路运费（元）铁路运费（元）价值(元)师：题目所求数值是产品销售款－（原料费+运输费），为此需先解出产品重x吨，原料重y吨。
师生共同根据上表列方程组解答。
七年级数学下册第8章二元一次方程组8.1二元一次方程组课件新版新人教版
感悟新知
知4－练
例 5 [母题教材P89 探究]根据下表所给出的x 的值及关于x， y的二元一次方程，求出相应的y 的值，并填入表内.
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y=2x
y=x＋5
感悟新知
知4－练
解题秘方：根据二元一次方程组的解的定义，找出 同时满足两个二元一次方程的公共解，即为二元一 次方程组的解.
C.3 个
D.4 个
解题秘方：紧扣二元一次方程必备的条件去识别.
感悟新知
方法点拨：判断一个方程是不是二元一次方程的 知1－练 方法：一看原方程是不是整式方程且只含有两个未知数； 二看化简整理后的方程是否具备两个未知数的系数都不 为0，且含未知数的项的次数都是1 的条件. 解：根据二元一次方程的定义进行判断. ①含未知数的项xy 的次数是2；③不是整式方程； ④含未知数的项x2，y 中，x2 的次数不是1. ②⑤满足二元一次方程的定义. 答案：B
序号)
x＋y=10， x＋y=5， x＋2y=4， x2＋y=3
①
②
③
④
4x－y=25； y－z=3； 1x＋y=2； 2x－y=5.
感悟新知
知2－练
例 3 某中学组织七年级学生春游，原计划租用45 座的客 车若干辆，但有15 人没有座位；若租用同样数量的 60 座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满， 试问七年级学生人数是多少？原计划租用45 座客车 多少辆？(只列方程组) 解题秘方：分析出题意中蕴含的等量关系，用未知量 表示出等量关系.
感悟新知
知2－练
解：设七年级学生有x 人，原计划租用y 辆45 座客车. 根据题意，得 45y＋15=x，
60(y－1)=x.
新人教版数学七年级数学下册第八章二元一次方程组8.1二元一次方程组教案
其次，代入法和加减消元法的操作步骤对学生来说是一个挑战。在课堂上，我尽量用简单明了的语言和步骤来讲解，但仍有学生跟不上。我考虑在下一节课中，通过设计更多具有针对性的练习题，让学生在实践中掌握这些方法。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二元一次方程组的基本概念。二元一次方程组是由两个一次方程构成的方程组，包含两个未知数。它在解决实际问题中具有重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了二元一次方程组在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调代入法和加减消元法这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解如何选择合适的方程和未知数进行求解。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解二元一次方程组的定义及其组成部分，包括两个方程、两个未知数等；
-掌握代入法与加减消元法求解二元一次方程组的具体步骤和操作方法；
-能够将实际问题抽象为二元一次方程组模型，并利用方程组解决实际问题。
举例说明：
-重点讲解如何从实际情境中提取信息，建立二元一次方程组；
-强调代入法中如何选择方程和未知数进行代入，以及如何解出另一个未知数；
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二元一次方程组的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二元一次方程组的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
七年级数学下册第8章二元一次方程组8.1二元一次方程组(图文详解)
３、若方程 2x2m3 3y5n9 4
是关于x、y的二元一次方程，
求 m2 n2 的值。
七年级数学第8章二元一次方程组
4. 已知下列三对值：
x＝－6
x＝10
x＝10
y＝－9
y＝－6
y＝－1
（1） 哪几对数值使方程 1 x－y＝6的左、
右两边的值相等？
2
（2）哪几对数值是方程组 的解？
x=-1
Ａ
y=-1
3、方程组
B x=5
C x=3
x=2
D
y=1
y=2
y=-5
x-3y=2
的解是上面的（B）
2x-y=9
七年级数学第8章二元一次方程组
探究：对于x+2y=5，思考下列问题：
（１）用含y的式子表示x；
（２）用含x的式子表示y； （３）在自然数范围内方程的解是
x=1 x=3 x=5 y=2 y=1 y=0
使二元一次方程两边的值相等的一对 未知数的值,叫做二元一次方程的解。
七年级数学第8章二元一次方程组
二元一次方程的解和一元一次方程的解 有什么区别？
一元一次方程的解 二元一次方程的解
一个 一个未知数的值
无数个 一对未知数的值
结论：二元一次方程有无数个解。
七年级数学第8章二元一次方程组
下列各对数值中是二元一次方程 x 2y 2 的
x＋y=22 2x＋y=40
思考一:上述方程有什么特点?
思考二:它与你学过的一元一次方程比较 有什么区别?
思考三:你能给它取名吗?
思考四:你能给它下一个定义吗?
七年级数学第8章二元一次方程组
含有两个未知数,并且未 知数的指数都是 1,像这样的 方程叫做二元一次方程。
七年级数学下册第八章二元一次方程组知识点总结素材新版新人教版(含参考答案)
七年级数学下册知识点总结素材：
二元一次方程组
一．知识结构图
二、知识概念
1.二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次。
方程，一般形式是 ax+by=c(a≠0,b≠0)。
2.二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
3.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。
4.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组。
5.消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。
6.代入消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
7.加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
本章通过实例引入二元一次方程,二元一次方程组以及二元一次方程组的概念,培养学生对概念的理解和完整性和深刻性,使学生掌握好二元一次方程组的两种解法. 重点:二元一次方程组的解法,列二元一次方程组解决实际问题. 难点:二元一次方程组解决实际问题
1。
人教版数学七下第八章《二元一次方程组》word知识点整理
第八章二元一次方程组二、基本定义：1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。
4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
三、二元一次方程的解法：1、代入消元法解二元一次方程组：（1）基本思路：未知数又多变少。
（2）消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。
（3）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。
这个方法叫做代入消元法，简称代入法。
（4）代入法解二元一次方程组的一般步骤：1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”2、将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”。
3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。
4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代”5、把x、y的值用｛联立起来即“联”2、加减消元法解二元一次方程组(1) 两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
(2)用加减消元法解二元一次方程组的解1、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。
2、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加减”。
七年级数学下册 8.1 二元一次方程组 (新版)新人教版
2.典例剖析
例1.用代入法解方程组
x y 3
1
3x8y 14 2
问题：
（1）将哪个方程变形简单？为什么？
（2）用x表示y？还是用y表示x？为什么？
（3）变形后代入哪个方程？为什么？
（4）带入过程中须注意什么问题？
（5）可以代入哪个方程求解最后一个未知数？
x y 3
1
3x8y 14
2
解：由（1），得
所以这个方程组的解是
x 20000
y
50000
答：这些消毒液应该分装20000大瓶和50000小瓶。
解题流程
5x 2y 变形 y 5 x
程二
2
解得 y 50000
x20000
组元 一 次 方
代 入
5 0 0 x 2 5 0 y 2 2 5 0 0 0 0 0消去
解 得
一元一次方程 500x2505x22500000
x y 3 （3）
把（3）代入（2），得
解这个方程，得 把代入（3），得
3(y3)8y14
y 1
x2
所以这个方程组的解是
x 2
y
ห้องสมุดไป่ตู้
1
3.变式练习
1.用代入法解方程组
x3y10 3x5y2
(1) (2)
一般步骤是：先把 变形，得 ；再代
入方程 ，求得 的值；最后求 的值。
2.解方程组
3m 2n 16 (1)3m n 1
1.时间安排
（一）情境引入 （二）探究新知 （三）拓展提升 （四）达标检测 （五）课堂小结 （六）分层作业
3分钟 27分钟 4 分钟 7分钟 3分钟 1分钟
2.板书设计
初中数学教学课例《二元一次方程(组)》课程思政核心素养教学设计及总结反思
二、探索新知：因为学生都喜欢打篮球，所以探究 述
部分我引用了篮球赛比分问题作为引入，以趣引思，使 学生处于兴奋和积极思维的状态。在分析问题上，我让 学生好好分析题目，设出未知数，寻找相等关系，列出 方程，设未知数时引导学生设两个未知数，这样就得到 了二元一次方程，然后根据二元一次方程与二元一次方 程组的关系，理解二元一次方程组。在理解这两个概念 时，重点理解这两个概念的判定条件：二元一次方程的 判断条件——（1）方程中含有两个未知数；（2）含有 未知数的项的次数等于 1；（3）含有未知数的项的系 数不为 0；（4）是整式方程。二元一次方程组的判定
利掌握新知识，教学中利用实际问题背景，将抽象概念
具体化，类比一元一次方程的相关概念学习，重点研究
二元一次方程的定义，这样处理有利于学生掌握二元一
教材分析 次方程组的相关概念。本课的教学首先从学生感兴趣的
实际问题入手，引导学生直接用 x 和 y 表示两个未知数，
并进一步表示问题中的等量关系，列出方程。然后，以
1.教学内容偏多，以至于练习的内容有点少。 2.学生在解方程、列方程时，教师要注意规范学生 的书写格式。 3.教学中的小组讨论环节不突出。 4.因为讲解的内容多，以至于时间把握不够合理。 5.导入部分直接用章引部分内容，效果可能会更 好。 每一次的公开课，都是一次进步的机会，只要愿意 学，我们都有进步的空间，所以，今后我会再接再厉， 多听取别人的意见，多反思自己的教学，改正自己的不 足。希望将来，自己也能够成为可以让自己引以为傲的 人民教师。
从知识上层层递进。
教学策略选
启发式教学、探究式教学
择与设计
一、复习导入：
（一）什么是一元一次方程？
一元一次方程：只含有一个未知数，并且所含未知
人教版七级下册数学教案第八章二元一次方程组全章教案精品
人教版七年级下册数学教案第八章二元一次方程组全章教案精品教材内容本章主要内容包括：二元一次方程组及相关概念，消元思想和代入法、加减法解二元一次方程组，三元一次方程组解法举例，二元一次方程组的应用。
教材首先从一个篮球联赛中的问题入手，归纳出二元一次方程组及解的概念，并估算简单的二元一次方程（组）的解。
接着，以消元思想为基础，依次讨论了解二元一次方程组的常用方法——代入法和消元法。
然后，选择了三个具有一定综合性的问题：“牛饲料问题”“种植计划问题”“成本与产出问题”，将贯穿全章的实际问题提高到一个新的高度。
最后，通过举例介绍了三元一次方程组的解法，使消元的思想得到了充分的体现。
教案目标〔知识与技能〕1、了解二元一次方程组及相关概念，能设两个未知数，并列方程组表示实际问题中的两种相关的等量关系；2、掌握二元一次方程组的代入法和消元法，能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法；3、了解三元一次方程组的解法；4、学会运用二（三）元一次方程组解决实际问题，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力。
〔过程与方法〕1、以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关糸，设未知数，列方程，解方程和检验结果”，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的数学模型。
2、在把二元一次方程组转化为x=a,y=b的形式的过程中，体会“消元”的思想。
〔情感、态度与价值观〕通过探究实际问题，进一步认识利用二元一次方程组解决问题的基本过程，体会数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力。
重点难点二元一次方程组及相关概念，消元思想和代入法、加减法解二元一次方程组，利用二元一次方程组解决实际问题是重点；以方程组为工具分析问题、解决含有多个未知数的问题是难点。
课时分配8.1二元一次方程组……………………………………1课时8.2 消元——二元一次方程组的解法………………… 4课时8.3再探实际问题与二元一次方程组………………… 3课时*8.4三元一次方程组解法举例…………………………2课时本章小结…………………………………………………2课时8.1二元一次方程组[教案目标]理解二元一次方程、二元一次方程组及它们解的概念，会检验一对数是不是二元一次方程组的解。
人教版数学七年级下册第八章《8.2解二元一次方程组》课件
新知学习
解下列方程组：
①
②
解：将②代入①中，得： x+3(x+1)=10
x+3x+3=10 4x=7
分析：方程组中方程②y=x+1是用 含x的式子表示出了y，相当于告 诉我们：y是可以用x+1来代替的. 所以只需将方程②代入方程①中， 就可以得出x的值.
②中，得：
提炼方法
①
①
②
②
第一个方程组中已知x=3,直接将方程①x=3代入方程②中就可以 得到关于y的一元一次方程6+3y=5,求出y的值，进而得到方程组 的解；第二个方程组中虽然不知道x或者y的值，但方程②用含x 的式子x+1表示出y,即告诉我们y是可以用x+1代替的，所以将方 程②代入方程①中，就可以得到关于x的一元一次方程，求出x的 值，从而得到方程组的解。像这样通过将一个方程代入另一个方 程，将二元化成一元达到消元的目的，这样的方法叫做代入消元 法。简称代入法。
新知拓展
解下列方程组：
①
②
分析：观察方程组，既没有告诉 我们x或者y的值，也没有将x或y 用含另一个字母的式子来表示， 这时我们可以对其中一个方程进 行变形，改写成用含x的式子来表 示y，或者用含y的式子来表示x
解：由方程①得： x=6+2y ③
将③代入②，得：
6+2y+y=1 2 3y=6
y=2 将y=2代入③，得：
人教版数学七年级下册第八章
8.2 《二元一次方程组的解法》
知识回顾
下列方程那些是二元一次方程？
知识回顾
下列那些是Leabharlann 元一次方程组？新知学习解下列方程组： ①
②
人教版七年级数学下册全册教案第八章二元一次方程组
第八章《二元一次方程组》全章教材剖析一、教材内容本章主要内容包含：二元一次方程组及有关观点，消元思想和代入法、加减法解二元一次方程组，三元一次方程组解法举例，二元一次方程组的使用。
教材第一从一个篮球联赛中的问题下手，概括出二元一次方程组及解的观点，并估量简单的二元一次方程（组）的解。
接着，以消元思想为基础，挨次议论认识二元一次方程组的常用方法——代入法和消元法。
而后，选择了三个拥有必定综合性的问题：“牛饲料问题”“栽种计划问题”“成本和产出问题”，将贯串全章的实际问题提升到一个新的高度。
最后，经过举例介绍了三元一次方程组的解法，使消元的思想获得了充足的表现。
二、教课目的（一）知识和技术目标1、认识二元一次方程组及有关观点，能设两个未知数，并列方程组表示本质问题中的两种有关的等量关系； 2、掌握二元一次方程组的代入法和消元法，能依据二元一次方程组的详细形式选择适当的解法； 3、认识三元一次方程组的解法；4、学会运用二（三）元一次方程组解决本质问题，进一步提升学生剖析问题和解决问题的能力。
（二）过程和方法目标1、以含有多个未知数的本质问题为背景，经历“剖析数目关糸，设未知数，列方程，解方程和查验结果”，领会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的数学模型。
2、在把二元一次方程组转变为x=a,y=b 的形式的过程中，领会“消元”的思想。
（三）感情、态度和价值观〕经过研究本质问题，进一步认识利用二元一次方程组解决问题的基本过程，领会数学的使用价值，提升剖析问题、解决问题的能力。
三、要点、难点要点：二元一次方程组及有关观点，消元思想和代入法、加减法解二元一次方程组，利用二元一次方程组解决本质问题；难点：以方程组为工具剖析问题、解决含有多个未知数的问题。
四、课时区分建议本章共 12 课时：二元一次方程（组） 1 课时，消元思想 3 课时，使用方程组解决本质问题 2 课时，三元一次方程组 2 课时，复习 1 课时，单元检测 2 课时，讲评 1 课时。
2021年七年级数学下册第八章二元一次方程组学科素养思想方法含解析(新人教版)
二元一次方程组学科素养•思想方法一、(2021学年学科教研组编写)分类讨论思想【思想解读】分类讨论思想是一种常见的数学思想方法.具体来说，就是把包含多种可能情况的问题，按照某一标准分成若干类，然后对每一类分别进行解决.【应用链接】在解二元一次方程组的实际问题时，由于价格和购买量(人数等)相关联，经常会用到. 【典例1】(2016·曲靖模拟)某校准备去楠溪江某景点春游，旅行社面向学生推出的收费标准如下：人数m0<m≤100 100<m≤200m>200收费标准(元/人) 90 80 70已知该校七年级参加春游学生人数多于100人，八年级参加春游学生人数少于100人.经核算，若两个年级分别组团共需花费17700元，若两个年级联合组团只需花费14700元.(1)两个年级参加春游学生人数之和超过200人吗？为什么？(2)两个年级参加春游学生各有多少人？【思路点拨】(1)设两个年级参加春游学生人数之和为a人，分两种情况讨论，即a>200和100<a≤200，即可得出答案.(2)设七年级参加春游学生人数有x人，八年级参加春游学生人数有y人，根据两种情况的费用，即100<x ≤200和x>200分别列方程组求解，即可得出答案.【自主解答】(1)设两个年级参加春游学生人数之和为a人，若a>200，则a=14700÷70=210(人).若100<a≤200，则a=14700÷80=183(不合题意，舍去).则两个年级参加春游学生人数之和等于210人，超过200人.(2)设七年级参加春游学生人数有x人，八年级参加春游学生人数有y人，则①当100<x≤200时，得解得②当x>200时，得解得(不合题意，舍去).则七年级参加春游学生人数有120人，八年级参加春游学生人数有90人.【变式训练】100元钱买15支钢笔，其中有单价为4元、8元、10元的钢笔三种(三种钢笔都买)，问有几种买法.【分析】根据题意，列出方程组，由于方程个数少于未知数的个数，方程的解不唯一，需根据题目隐含条件或实际意义确定未知数的范围，逐一进行讨论.【解析】设买单价为4元、8元、10元的钢笔分别为x支、y支和z支.由题意得由①，得x=15-y-z，③把③代入②，得2y+3z=20，则y=10-z，由于y，z都为正整数，所以z只能取2，4，6.当z=2时，y=7，x=6；当z=4时，y=4，x=7；当z=6时，y=1，x=8.所以有三种买法：(1)买单价为4元、8元、10元的钢笔分别为6支、7支和2支.(2)买单价为4元、8元、10元的钢笔分别为7支、4支和4支.(3)买单价为4元、8元、10元的钢笔分别为8支、1支和6支. 二、整体思想【思想解读】整体思想就是化零为整，化分散为集中，从整体着眼，把一些看似毫不相干而实质上又紧密相联的数、式看作一个整体去处理的一种思想方法.【应用链接】对于代入法求二元一次方程组或者求几个未知数的和等问题，常需要运用整体代入法.我们需根据题目特点，仔细观察组中各方程的系数，通过变形，整体代入计算.【典例2】(2017·泰州一模)已知实数x，y满足方程组求(x-3y)x+y.【思路点拨】既可以解方程组求出x，y，然后再计算最后的结果，也可应用整体的思想，根据组中两个方程未知数的系数，直接得到x+y与x-3y的值.【自主解答】①+②得：4(x+y)=20，即x+y=5，②-①得：2(x-3y)=-4，即x-3y=-2，所以(x-3y)x+y=(-2)5=-32.【变式训练】(2017·南江期末)三元一次方程组的解是__________.【解析】①+②+③得：2(x+y+z)=22，即x+y+z=11④，将①代入④得：z=6，将②代入④得：x=2，将③代入④得：y=3，则方程组的解为答案：励志名言学习不一定成功，不学习一定不能成功。
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二元一次方程组
学科素养•思想方法
一、分类讨论思想
【思想解读】分类讨论思想是一种常见的数学思想方法.具体来说，就是把包含多种可能情况的问题，按照某一标准分成若干类，然后对每一类分别进行解决.
【应用链接】在解二元一次方程组的实际问题时，由于价格和购买量(人数等)相关联，经常会用到. 【典例1】(2016·曲靖模拟)某校准备去楠溪江某景点春游，旅行社面向学生推出的收费标准如下：
已知该校七年级参加春游学生人数多于100人，八年级参加春游学生人数少于100人.经核算，若两个年级分别组团共需花费17700元，若两个年级联合组团只需花费14700元.
(1)两个年级参加春游学生人数之和超过200人吗？为什么？
(2)两个年级参加春游学生各有多少人？
【思路点拨】(1)设两个年级参加春游学生人数之和为a人，分两种情况讨论，即a>200和100<a≤200，即可得出答案.
(2)设七年级参加春游学生人数有x人，八年级参加春游学生人数有y人，根据两种情况的费用，即100<x ≤200和x>200分别列方程组求解，即可得出答案.
【自主解答】(1)设两个年级参加春游学生人数之和为a人，
若a>200，则a=14700÷70=210(人).
若100<a≤200，则a=14700÷80=183(不合题意，舍去).
则两个年级参加春游学生人数之和等于210人，超过200人.
(2)设七年级参加春游学生人数有x人，八年级参加春游学生人数有y人，则
①当100<x≤200时，得
解得
②当x>200时，得
解得(不合题意，舍去).
则七年级参加春游学生人数有120人，八年级参加春游学生人数有90人.
【变式训练】100元钱买15支钢笔，其中有单价为4元、8元、10元的钢笔三种(三种钢笔都买)，问有几种买法.
【分析】根据题意，列出方程组，由于方程个数少于未知数的个数，方程的解不唯一，需根据题目隐含条件或实际意义确定未知数的范围，逐一进行讨论.
【解析】设买单价为4元、8元、10元的钢笔分别为x支、y支和z支.由题意得
由①，得x=15-y-z，③
把③代入②，得2y+3z=20，
则y=10-z，
由于y，z都为正整数，所以z只能取2，4，6.
当z=2时，y=7，x=6；当z=4时，y=4，x=7；当z=6时，y=1，x=8.
所以有三种买法：(1)买单价为4元、8元、10元的钢笔分别为6支、7支和2支.(2)买单价为4元、8元、10元的钢笔分别为7支、4支和4支.(3)买单价为4元、8元、10元的钢笔分别为8支、1支和6支. 二、整体思想
【思想解读】整体思想就是化零为整，化分散为集中，从整体着眼，把一些看似毫不相干而实质上又紧密相联的数、式看作一个整体去处理的一种思想方法.
【应用链接】对于代入法求二元一次方程组或者求几个未知数的和等问题，常需要运用整体代入法.我们需根据题目特点，仔细观察组中各方程的系数，通过变形，整体代入计算.
【典例2】(2017·泰州一模)已知实数x，y满足方程组求(x-3y)x+y.
【思路点拨】既可以解方程组求出x，y，然后再计算最后的结果，也可应用整体的思想，根据组中两个方程未知数的系数，直接得到x+y与x-3y的值.
【自主解答】
①+②得：4(x+y)=20，即x+y=5，
②-①得：2(x-3y)=-4，即x-3y=-2，
所以(x-3y)x+y=(-2)5=-32.
【变式训练】(2017·南江期末)三元一次方程组的解是__________.
【解析】
①+②+③得：2(x+y+z)=22，即x+y+z=11④，
将①代入④得：z=6，
将②代入④得：x=2，
将③代入④得：y=3，
则方程组的解为
答案：。