七年级数学下册第八章二元一次方程组学科素养思想方法(含解析)新人教版

二元一次方程组

学科素养•思想方法

一、分类讨论思想

【思想解读】分类讨论思想是一种常见的数学思想方法.具体来说，就是把包含多种可能情况的问题，按照某一标准分成若干类，然后对每一类分别进行解决.

【应用链接】在解二元一次方程组的实际问题时，由于价格和购买量(人数等)相关联，经常会用到. 【典例1】(2016·曲靖模拟)某校准备去楠溪江某景点春游，旅行社面向学生推出的收费标准如下：

已知该校七年级参加春游学生人数多于100人，八年级参加春游学生人数少于100人.经核算，若两个年级分别组团共需花费17700元，若两个年级联合组团只需花费14700元.

(1)两个年级参加春游学生人数之和超过200人吗？为什么？

(2)两个年级参加春游学生各有多少人？

【思路点拨】(1)设两个年级参加春游学生人数之和为a人，分两种情况讨论，即a>200和100

(2)设七年级参加春游学生人数有x人，八年级参加春游学生人数有y人，根据两种情况的费用，即100200分别列方程组求解，即可得出答案.

【自主解答】(1)设两个年级参加春游学生人数之和为a人，

若a>200，则a=14700÷70=210(人).

若100

则两个年级参加春游学生人数之和等于210人，超过200人.

(2)设七年级参加春游学生人数有x人，八年级参加春游学生人数有y人，则

①当100

解得

②当x>200时，得

解得(不合题意，舍去).

则七年级参加春游学生人数有120人，八年级参加春游学生人数有90人.

【变式训练】100元钱买15支钢笔，其中有单价为4元、8元、10元的钢笔三种(三种钢笔都买)，问有几种买法.

【分析】根据题意，列出方程组，由于方程个数少于未知数的个数，方程的解不唯一，需根据题目隐含条件或实际意义确定未知数的范围，逐一进行讨论.

【解析】设买单价为4元、8元、10元的钢笔分别为x支、y支和z支.由题意得

由①，得x=15-y-z，③

把③代入②，得2y+3z=20，

则y=10-z，

由于y，z都为正整数，所以z只能取2，4，6.

当z=2时，y=7，x=6；当z=4时，y=4，x=7；当z=6时，y=1，x=8.

所以有三种买法：(1)买单价为4元、8元、10元的钢笔分别为6支、7支和2支.(2)买单价为4元、8元、10元的钢笔分别为7支、4支和4支.(3)买单价为4元、8元、10元的钢笔分别为8支、1支和6支. 二、整体思想

【思想解读】整体思想就是化零为整，化分散为集中，从整体着眼，把一些看似毫不相干而实质上又紧密相联的数、式看作一个整体去处理的一种思想方法.

【应用链接】对于代入法求二元一次方程组或者求几个未知数的和等问题，常需要运用整体代入法.我们需根据题目特点，仔细观察组中各方程的系数，通过变形，整体代入计算.

【典例2】(2017·泰州一模)已知实数x，y满足方程组求(x-3y)x+y.

【思路点拨】既可以解方程组求出x，y，然后再计算最后的结果，也可应用整体的思想，根据组中两个方程未知数的系数，直接得到x+y与x-3y的值.

【自主解答】

①+②得：4(x+y)=20，即x+y=5，

②-①得：2(x-3y)=-4，即x-3y=-2，

所以(x-3y)x+y=(-2)5=-32.

【变式训练】(2017·南江期末)三元一次方程组的解是__________.

【解析】

①+②+③得：2(x+y+z)=22，即x+y+z=11④，

将①代入④得：z=6，

将②代入④得：x=2，

将③代入④得：y=3，

则方程组的解为

答案：