概率模型简介
概率图模型（HMM和CRF）
概率图模型（HMM和CRF）概率图模型是⼀类⽤途来表达相关关系的概率模型。
它以图为表⽰⼯具，最常见的是⽤⼀个结点表⽰⼀个或⼀组随机变量，节点之间的边表⽰变量间的概率相关关系，即“变量相关图”。
根据边的性质不同，概率图模型可⼤致分为两类：第⼀类是使⽤有向⽆环图表⽰变量间的依赖关系，称为有向⽆环图或者贝叶斯⽹；第⼆类是使⽤⽆向图表⽰变量间的相关关系，称为⽆向图或马尔可夫⽹。
隐马尔可夫模型（HMM）是结构最简单的动态贝叶斯⽹，，这是⼀种著名的有向图模型，主要⽤于时序数据建模，在语⾳识别、⾃然语⾔处理等领域有⼴泛应⽤。
HMM的变量可分为两组：⼀组是观测变量，⼀组是状态变量，由于观测变量是隐藏的所以称为隐马尔可夫模型。
马尔可夫链：系统下⼀时刻的状态仅由当前状态决定，不依赖于以往的任何状态。
基于这种依赖关系，所有变量的联合概率分布为：除了结构信息，欲确定⼀个隐马尔可夫模型还需要以下三组参数：状态转移概率：模型在各个状态间转换的概率，通常记为矩阵A输出观测概率：模型根据当前状态获得各个观测值的概率，通常记为矩阵B初始状态概率：模型在初始时刻各状态出现的概率，通常记为Π通过指定上述3种参数λ = {A，B，Π}，以及状态空间、观测空间就可以确定⼀个隐马尔可夫模型。
条件随机场（CRF）是⼀种判别式⽆向图模型。
⽣成式模型是直接对联合分布进⾏建模，⽽判别式模型则是对条件分布进⾏建模。
条件随机场试图对多个变量在给定观测值后的条件概率进⾏建模。
具体来说，若令X={x1,x2,...xn}为观测序列，y={y1,y2,...,yn}为标记序列，则条件随机场的⽬标式构建条件概率模型P（y|x）。
与马尔可夫随机场定义联合概率的⽅式类似，条件随机场使⽤势函数和图结构上的团来定义条件概率P(y|x)HMM和CRF的区别1.⼀个式⽣成式模型，⼀个是判别式模型2.⼀个式联合概率分布，⼀个式条件概率3.⼀个是有向图，参数有三种，⽤马尔可夫假设；另⼀个⽆向图，通过状态函数和状态转移特征函数定义条件概率。
时间序列概率模型
时间序列概率模型
时间序列概率模型是一种用于预测和分析时间序列数据的统计
学方法。
它基于假设时间序列是由一些随机过程生成的，并且这些过程是可以被建模和预测的。
时间序列概率模型可以应用于许多领域，如经济学、气象学、交通规划等。
时间序列概率模型通常包括两个部分：模型部分和预测部分。
模型部分用于描述时间序列的随机过程，包括其概率分布、自相关性和趋势性。
预测部分用于基于模型预测未来的时间序列值。
时间序列概率模型包括许多不同的方法，如自回归模型、移动平均模型、ARMA模型、ARIMA模型和GARCH模型等。
这些模型都有其优点和局限性，因此选择合适的模型需要对数据进行仔细的分析和测试。
时间序列概率模型的应用通常需要一定的数学和统计知识。
但是，现今许多计算机软件都提供了时间序列分析的功能，使得时间序列概率模型的应用更加容易。
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logistics概率模型
logistics概率模型
随着物流产业的不断发展，物流的效率和水平越来越受到重视。
而其中的一个重要环节就是概率模型。
在物流行业中，使用概率模型能够帮助企业更加准确地预测商品的需求，从而可以提前做好备货和库存的准备。
下面，我们就来一步步了解“logistics概率模型”。
第一步：了解概率模型
首先，我们需要了解什么是概率模型。
概率模型是根据一定的概率统计规律和特定的研究对象而建立的数学模型。
在物流领域中，概率模型可以应用于商品需求的预测、库存管理、配送路线规划等重要环节。
第二步：掌握常见概率模型
常用的概率模型包括泊松分布模型、正态分布模型和指数分布模型。
不同的模型适用于不同的情况，比如泊松分布模型适用于对订单量、销量等进行预测，正态分布模型适用于对单次交易金额、库存水平等进行预测，指数分布模型适用于对供应商的交货时间进行预测。
第三步：应用概率模型
在实际的物流运作中，应用概率模型可以帮助企业更加准确地了解商品的需求和供应情况，从而可以做出更好的运营规划。
比如，通过使用泊松分布模型，企业可以在不会造成大量库存积压的情况下，准确地评估未来一段时间内的销售预测。
在此基础上，企业可以精确地制定补货计划，避免过度补货和不足补货的情况。
总之，概率模型在物流领域中的应用越来越广泛，它可以帮助企业更好地了解市场需求、规划库存水平、优化配送路线等重要流程，提高物流运作的效益和水平。
概率统计数学模型
概率统计数学模型在数学领域，概率统计是一个非常重要的分支，它涉及到各种随机现象的数学描述和统计分析。
概率统计数学模型则是这些分析的基础，它能够准确地描述和预测各种随机现象的结果。
一、概率统计数学模型的基本概念概率统计数学模型是建立在随机试验基础上的数据分析方法。
在概率论中，随机试验的结果通常被视为不可预测的，但可以通过概率分布来描述它们。
而统计方法则是对数据进行收集、整理、分析和推断的方法，它依赖于概率论的知识。
二、概率统计数学模型的应用概率统计数学模型在各个领域都有广泛的应用，例如在金融领域中，它可以帮助我们预测股票价格的波动；在医学领域中，它可以帮助我们理解疾病的传播方式；在工程领域中，它可以帮助我们优化设计方案。
三、概率统计数学模型的建立过程建立概率统计数学模型通常包括以下几个步骤：1、确定研究问题：首先需要明确研究的问题是什么，以及我们想要从中获得什么样的信息。
2、设计随机试验：针对研究问题，设计合适的随机试验，以便收集数据。
3、收集数据：通过试验或调查等方式收集数据，并确保数据的准确性和可靠性。
4、分析数据：利用统计分析方法对收集到的数据进行处理和分析，提取有用的信息。
5、建立模型：根据分析结果，建立合适的概率统计模型，以描述数据的分布规律和预测未来的趋势。
6、验证模型：对建立的模型进行验证，确保其准确性和适用性。
7、应用模型：将建立的模型应用于实际问题的解决和预测中。
概率统计数学模型是处理和分析随机现象的重要工具，它在各个领域都有广泛的应用前景。
通过建立合适的概率统计模型，我们可以更好地理解和预测各种随机现象的结果，从而为实际问题的解决提供有力的支持。
概率统计数学模型在投资决策中的应用在投资决策的制定过程中，准确理解和应用概率统计数学模型是至关重要的。
概率统计数学模型为投资者提供了定量分析工具，帮助他们更准确地预测投资结果，从而做出更合理的决策。
一、概率模型的应用概率模型在投资决策中的应用广泛。
概率与统计的数学模型
概率与统计的数学模型概率与统计是数学中两个重要的分支，它们在现代科学和实际生活中都起着至关重要的作用。
概率是研究随机现象发生的规律性，而统计是用数据推断总体特征的方法。
它们的数学模型在研究和应用中具有广泛的应用和意义。
一、概率的数学模型概率的数学模型主要有概率空间和概率分布两个方面。
1. 概率空间概率空间是指由样本空间和样本空间中的事件组成的数学模型。
样本空间是指所有可能结果的集合，事件是指样本空间的某些子集。
概率空间由三个元素组成：样本空间Ω，事件的集合F和概率函数P。
概率函数P定义了事件在样本空间中的概率，它满足三个条件：非负性、规范性和可列可加性。
2. 概率分布概率分布是指随机变量在各取值上的概率分布情况。
随机变量是样本空间到实数集的映射，它描述了随机现象的数值特征。
概率分布可以分为离散型和连续型两种。
离散型概率分布可以用概率质量函数（probability mass function，PMF）来描述。
例如，二项分布是描述n重伯努利试验的概率分布，其PMF可以用来计算在n次试验中成功的次数。
连续型概率分布可以用概率密度函数（probability density function，PDF）来描述。
例如，正态分布是一种常见的连续型概率分布，它在自然界和社会科学中有广泛应用。
二、统计的数学模型统计的数学模型主要有样本和总体两个方面。
1. 样本样本是指从总体中获取的部分观察结果。
样本可以是随机抽样或非随机抽样得到的，它用来代表总体并推断总体的特征。
样本是统计推断的基础。
2. 总体总体是指研究对象的整体集合。
总体可以是有限总体或无限总体，它包含了研究对象的所有可能结果。
总体的特征可以用参数来描述，例如总体的均值、方差等。
统计的数学模型主要是通过样本推断总体的特征。
统计推断包括点估计和区间估计两个方面。
点估计是利用样本数据来估计总体参数的值，常用的点估计方法有最大似然估计和矩估计等。
区间估计是利用样本数据给出总体参数的区间范围，常用的区间估计方法有置信区间和预测区间等。
概率的两种模型(高三数学精品课件)
19世纪法国著名数学家拉普拉斯说：“对于生活中的大 部分，最重要的问题实际上只是概率问题。你可以说几 乎我们所掌握的所有知识都是不确定的，只有一小部分 我们能确定地了解。甚至数学科学本身，归纳法、类推 法和发现真理的首要手段都是建立在概率论的基础之上。 因此，整个人类知识系统是与这一理论相联系的……”
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题型一 古典概型问题
设计游戏1：
一个不透明的箱子中有6个除了颜色不同无其他区别的小球， 其中4个蓝球，2位红球。
试设计一时训练 1：
9.在长为 1 的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于 1 的概率为（ ） 2
A、 1 B、 1 C、 3 D、 7
题型三 古典概型与几何概型的综合问题
已知关于x的一元二次方程9x2＋6ax－b2＋4＝0，a，b∈R. (1)若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数 中任取的一个数，求已知方程有两个不相等实根的概率；
(2)若a是从区间[0,3]内任取的一个数，b是从区间[0,2]内任 取的一个数，求已知方程有实数根的概率.
第 36 练 概率的两类模型
火眼真睛（区分古典概型和几何概型）
1、古典概型（classical probability model)
一次试验中可能出现的每一 个基本结果称为基本事件
(elementary event).
（1）所有基本事件只有有限个； （2）每个基本事件的发生都是等可能的。
满足上面两个条件的随机实验的概率模 型称为古典概型
2、古典概型的概率计算公式
P( A) m n
其中n是试验中所有基本事件的个数，m是事件A 包含的基本事件的个数（m n).
利用几何概型求概率:
1.几何概型适用条件： (1)基本事件有无限多个（无限性）； (2)事件都是等可能发生的（等可能性）. 2.适用情况：
概率模型
分布函数为
F ( x) p( x)dx
随机变量的数字特征： 期望：大多数随机变量集中（出现）的位置。 方差：随机变量偏离期望（均值）值的程度。 Kolmogorov强大数定律：
设k是互相独立的随机变量，且 Dk /k2 < ， 则 1/n(k - E k)0
Linderberg-Levy中心极限定理：
称S(m)/r=为平均利润，其中b/g 是赔偿金占 机票价格的比例。 问题1 设： n=300, a=0.6, p=0.05, b/g=0.2. 求最佳m, 使S(m)最大，P5(m)最小 采用解析模拟方法
s=[];f5=[]; for m=300:360 s1=((1-0.05)*m-(1+0.2)*sum(((m-300):1:1).*binopdf(0:m-300-1,m,0.05)))/180-1; s=[s,s1]; if m<=305 f=0; else f=sum(binopdf(0:m-300-6,m,0.05)); end f5=[f5 f]; end x=300:360; plot(x,s,x,f5),grid
P( t k )
k
k!
e
t k
k!
e t
指数分布
e t , t 0 泊松过程的随机事件陆续发 p (t ) 0, t 0 生的时间间隔，
(已知平均时间间隔为1/)
1 e t , t 0 F (t ) 0, t 0
均匀分布
t X 1 X n n 1 x e lim P t ( t ) n 2 n
2
/2
dx
数学建模-概率模型
确定性现象的特征
条件完全决定结果
随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象.
实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况.
结果有可能出现正面也可能出现反面.
实例2 明天的天气可
特征: 条件不能完全决定结果
能是晴 , 也可能是多云
或雨.
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联 系 , 其数量关系无法用函数加以描述. 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然 性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具有 一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这 种本质规律的一门数学学科. 如何来研究随机现象?
P( A)
m n
A
所包含样本点的个数 样本点总数
.
古典概型的基本模型:摸球模型
(1) 无放回地摸球
(2) 有放回地摸球
例1 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知 所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是 否可以推断接待时间是有规定的.
解 假设接待站的接待时间没有
规定,且各来访者在一周的任一天
0.0000003 .
小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从 而可知接待时间是有规定的.
例2 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天 是等可能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 个人中至少 有2人生日相同的概率.
解 64 个人生日各不相同的概率为
p1
365
364
(365 36564
2. 假设遗传基因是由两个基因A和B控制的，则有 三种可能基因型：AA、AB和BB。
例如：金鱼草是由两个基因决定它开花的颜色，AA 型开红花，AB型开粉花，而BB型开白花。这里AA型 和AB型表示了同一外部特征，此时可以认为基因A 支配了基因B，也可以说基因B对基因A是隐性的。
概率模型和非概率模型
概率模型和非概率模型在机器学习领域中扮演着重要的角色，它们分别基于概率理论和非概率理论来建立模型，用于解决各种复杂的问题。
概率模型是建立在概率论的基础上的数学模型，能够通过概率分布来描述随机变量之间的关系，常见的概率模型包括朴素贝叶斯、高斯混合模型等；而非概率模型则是利用非概率分布来建模，主要用于处理数据集之间的关系，例如决策树、支持向量机等。
本文将从概率模型和非概率模型的定义、应用、优缺点等方面进行深入探讨，希望能为读者对这两种模型有更深入的了解。
一、概率模型概率模型是一种建立在概率论基础上的数学模型，它主要用于描述随机变量之间的关系，并通过概率分布来推断数据之间的概率关系。
概率模型在机器学习领域中被广泛应用，尤其是在数据挖掘、自然语言处理、图像识别等领域。
常见的概率模型包括朴素贝叶斯、隐马尔可夫模型、高斯混合模型等。
1. 朴素贝叶斯朴素贝叶斯是一种基于贝叶斯定理和条件独立性假设的分类算法，它假设特征之间相互独立，通过计算每个特征的概率来推断数据类别。
朴素贝叶斯简单易实现，适用于处理大规模数据集，尤其在文本分类、垃圾邮件过滤等方面表现优异。
2. 隐马尔可夫模型隐马尔可夫模型是一种用来处理序列数据的统计模型，它假设系统中存在隐藏的马尔可夫链，通过观测数据推断隐藏状态序列。
隐马尔可夫模型在语音识别、生物信息学等领域有着广泛的应用，能够很好地解决序列数据的建模和预测问题。
3. 高斯混合模型高斯混合模型是一种利用多个高斯分布混合来表示数据分布的生成模型，它可以拟合各种复杂的数据分布，并通过最大似然估计或EM算法来估计分布参数。
高斯混合模型在图像处理、模式识别等领域有着广泛的应用，能够有效地处理高维数据和复杂数据分布。
概率模型的优点是能够较好地表达数据之间的概率关系，具有较强的泛化能力和鲁棒性；但其缺点是依赖于数据的概率分布假设，对数据的噪声和异常值敏感，且参数估计常常比较复杂。
二、非概率模型非概率模型是一种不基于概率分布的数学模型，它主要用于建立数据之间的关系，常用于分类、回归、聚类等问题。
概率图模型原理与技术
概率图模型原理与技术概率图模型（ProbabilisticGraphicalModels，PGM）是一种对复杂现实世界中事件和隐藏变量进行建模的统计方法。
这种建模方法允许从有限的历史数据中推断复杂的模型，并推断未来的状态，从而提供有用的决策支持。
概率图模型的基本思想是将复杂的概率模型以可视化的方式表示出来，并使用图结构来表示它们之间的相关性。
它由节点和边缘组成，节点表示需要被观察的变量，而边缘表示变量之间的因果关系。
概率图模型的核心在于它们能够容易地捕捉事件的不确定性，并将其表示为统计模型。
概率图模型的原理和技术可以用于完成许多不同的任务，例如模式识别，聚类，密度估计，建模，贝叶斯网络，推理和学习。
它们可以被用于识别视觉信号，自然语言处理，医学诊断，智能交互，游戏AI，数据挖掘和机器学习。
概率图模型可以被用来处理含有不确定性的环境，因为它们可以考虑所有可能性，并提供一种有效的方法来选择最佳行动。
概率图模型是由统计方法，概率论，推理算法，图论，机器学习和优化技术组成的多学科领域。
它们的核心原理是基于概率和统计方法，包括朴素贝叶斯模型，独立概率模型，隐马尔科夫模型，条件随机场和马尔科夫模型。
通过这些模型，可以将数据表示为实体，特征和关系的有向图结构，并使用概率引擎进行推理。
此外，概率图模型还可以与其他机器学习技术结合起来，比如聚类，回归，贝叶斯估计，模式识别，深度学习和强化学习。
这种结合可以使它们的准确性和有效性更高。
此外，概率图模型还可以与优化技术结合起来，以进行优化参数估计，模型更新，网络结构参数选择和结构学习。
这些技术可以用来确定概率图模型最优参数，改进模型性能，以及进行模型可解释性分析，从而有效地解决复杂的问题。
总之，概率图模型是一种流行的建模方法，可以用于处理复杂的概率模型和机器学习问题。
它的原理和技术涉及概率，统计，图论，机器学习和优化等多个领域，并可以与其他机器学习技术和优化技术结合，从而有效地解决复杂的问题。
概率图模型在自然灾害预警中的应用指南(Ⅰ)
概率图模型在自然灾害预警中的应用指南自然灾害是人类社会长期以来面临的重大挑战之一。
在灾害发生之前，准确的预警可以帮助人们及时采取行动，减少灾害造成的损失。
随着科技的进步，概率图模型作为一种有效的工具被广泛应用于自然灾害预警系统中。
本文将讨论概率图模型在自然灾害预警中的应用指南，并探讨其在不同类型自然灾害预测中的作用。
1.概率图模型简介概率图模型是一种用于描述随机变量之间关系的数学模型。
它将变量之间的关系表示为一个图，节点表示随机变量，边表示它们之间的关联。
概率图模型分为贝叶斯网络和马尔可夫网络两大类。
贝叶斯网络用于描述变量之间的因果关系，而马尔可夫网络则用于描述变量之间的相关性。
2.地震预警中的应用地震是一种破坏力极大的自然灾害，及时准确地预警可以挽救大量生命和财产。
概率图模型在地震预警中发挥重要作用。
通过分析地震发生的前兆，如地表位移、地下应力变化等数据，可以构建贝叶斯网络模型来预测地震的发生概率和可能的影响范围。
马尔可夫网络则可以用于分析地震发生的时间间隔和震级的关联规律，为地震预警系统提供更加准确的预测结果。
3.洪水预警中的应用洪水是另一种常见的自然灾害，它的发生往往伴随着降雨量和地表径流等因素。
概率图模型可以帮助分析这些因素之间的关联，进而预测洪水可能发生的概率和可能的影响范围。
贝叶斯网络可以描述降雨量和地表径流对洪水发生的影响，而马尔可夫网络则可以分析不同时间段内降雨量和地表径流之间的相关性，从而提高洪水预警的准确性。
4.台风预警中的应用台风是热带气旋的一种，其路径和强度往往难以准确预测。
概率图模型可以帮助分析气象数据、海洋环流和大气环流等因素之间的关系，构建贝叶斯网络模型来预测台风可能的路径和强度变化。
马尔可夫网络则可以用于分析台风路径的时间序列数据，根据历史数据来预测未来的台风路径，为台风预警提供更加可靠的依据。
5.总结概率图模型在自然灾害预警中的应用具有重要意义，它可以帮助分析和预测自然灾害的发生概率和可能的影响范围，为人们提供及时有效的预警信息，减少灾害造成的损失。
概率模型
§8.1 库存问题一、问题的背景与提出工厂为了稳定的生产，需要贮存一定的原料或零部件；商店为了满足顾客的需要，要有足够的库存商品；银行为了进行正常的营业，需要一定的货币进行周转；医院为了手术的急需，血库必备充足血液. 总之库存问题是普遍存在的. 早在1915年, 哈里斯(Harris)对商业中的库存问题建立了一个简单模型，并求得了最优解, 但未被人们注意. 1918年威尔逊(Wilson)重新得出了哈里斯的公式, 并将其发展. 他们的模型都是确定性的, 二次大战后, 带有随机性因素的库存模型得到研究. 目前, 库存问题的兴趣已转到了多物品、多个库存点的理论.二、模型假设(1) 只考虑一种物品, 其需求是随机的, 需求量x是非负连续的随机变量，密度函数为φ(x), 分布函数为Ф(x);(2) 只考虑一个库存周期，即在库存周期开始时, 做一次决策, 决定进货量;(3) 瞬时供货;(4) 决策前原有库存量为I, 进货量为Q, 决策后的库存量为y=I+Q;(5) 费用包括订货费、存贮费和缺货费. 每次的订购手续费为K, 货物单价为p; 存贮费在周期末结算, 它与期末的库存量成正比, 比例系数为h（单位存贮费）, 缺货费与缺货量成正比, 比例系数为g（单位缺货损失）;(6) 决策的准则是期望总费用最小.三、模型的建立与求解库存问题有补充—库存—需求三个环节. 在这一系统中, 若一次进货量多, 进货的次数就少, 进货的费用就少, 但库存量大, 库存费用就大, 造成需求缺货就可能少, 缺货损失就会少; 若一次进货量少, 进货的次数就多, 进货费用就大, 但库存量小, 库存费用就小, 造成需求缺货就可能多, 缺货损失就会大. 如何协调这些矛盾, 使该系统在某种准则下运行最佳. 即如何确定进货量, 使其总费用最小.进货费用为存贮费用为期望存贮费用为缺货损失为期望缺货损失为记 L(y)=Ec2(y – x)+Ec3(x – y) (1) 则总费用为（2）目的是求当需要进货时有令（3）若S是使函数达到极小值的点, 则(4)设s为库存量进货点, 即当初始库存I0.204所以S=40, Q=S–I=40–10=30又因为K+pS+L(S)=60+800×40+40×[(40–30)×0.2]+1015×[(50–40)×0.4+(60–40 )×0.2]=40260800×30+1015×[(40–30)×0.2+(50–30)×0.4+(60–30)×0.2]=40240≤K+pS +L(S)所以s=30. 故存贮策略为每个阶段开始时检查存贮量I, 当I>30吨时不必补充存贮; 当I≤30吨时补充存贮量到40吨.例2 某市石油公司希望确定一种油的存贮策略, 以确定应贮存的油量. 该油的市场需求服从指数分布, 其密度函数为该种油每近2元, 不需进货费. 由于油库归该公司管辖, 油池灌满与没灌满时的管理费用实际上没有多少差别, 故可以认为存贮费用为零. 如缺货就从邻市调用, 缺货费为3元/斤.解由模型假设K=0, h=0, p=2, g=3计算由 , 有 , 两端取对数解出S≈405000因 ps+L(s)=2s+K+pS+L(S)=由观察可知, 它有唯一解s=S. 所以当库存下降到405000斤以下就应进货, 使库存达到405000斤. 出现s=S, 是因为进货费为零, 可以频繁进货, 又存贮费为零, 存贮量多一些也不会增加费用.五、模型讨论由(3)可以看出, 缺货费g越大, 概率越大, 库存水平S应越大, 这是符合常识的. 根据假设(4), Q=S-s, 由(1), (5)经化简便为（6）在S确定的情况下(S由(4)可确定), 由(6)可求得Q, 进而可求出s. 如由(4)可解出由(6)有简化后为它可由数值方法或图解法求解, 由上式亦可求得Q的近似解, 当λQ较小时, 取展开到二阶项, 此时可得到 , 则§8.2 维修问题一、问题的背景与提出现实中许多系统在使用过程中, 往往由于维修性问题考虑不周, 而使维修费用过大. 特别是系统突发性故障, 常常会造成巨大的损失, 有时会招致灾难性后果. 因而在故障前进行预防性维修是提高系统可靠性、安全性和经济性的有效措施. 维修问题最早起因与机器维修问题, 后发展为可靠性理论, 是应用概率和应用数理统计的一个重要分支.二、模型假设只考虑一个部件的故障, 部件寿命是随机的, 遵从指数分布 ;部件故障需检测才会发现, ci为一次检测费用, 检测时间忽略不计, 检测时间间隔为T;若发现部件故障, 则立即更换, cf为一次更换费用, 更换时间忽略不计. 若发现部件仍正常, 则让部件继续工作;部件故障没能及时发现, 造成的单位时间损失为cd;决策准则是期望费用最小.三、建模与求解因部件故障需检测才能知道, 所以检测时间间隔过大, 致使设备经常处于故障状态, 造成故障损失(停工损失或需要使用时不能及时提供的损失); 检测时间间隔过小, 造成不必要的过多检测费用损失. 问题是寻找最优的检测时间间隔T.设相邻两次更换的时间间隔为一个周期. 当部件寿命t满足nT<Tλ(cf－ci)时，则有唯一有限解T*, 此时可用数值方法或图解法求解.(2) 一般来说, 检测时间间隔T不一定是常数, 而应该根据故障出现时刻的概率来确定. 在故障概率大的时候检测间隔短; 故障概率小时检测间隔长. 故T是时间的函数.§8.3风险决策的咨询价值一、问题的背景与提出人们在处理问题时, 往往面临着抉择, 即需要做出决策. 而对未来信息的不完全了解, 决策要冒一定的风险. 这种在不确定条件下的抉择, 在现实世界中处处存在, 即风险决策. 在风险决策的情况下，人们为了增强决策的可靠性，常常要对未来信息作进一步的咨询（为获得新信息所进行的试验或调查）. 咨询要付出一定的代价, 人们关心的问题是咨询有多大的价值, 是否值得咨询?二、模型的假设面临抉择的方案集合为A={A1,A2,…,Am}, 即策略集合;未来状态是随机的, 状态集合为S={S1,S2,…,Sn}, 其概率分布为P{Sj}=pj, 决策的损益函数为vij=V(Ai,Sj), 即采取方案Ai在状态Sj时带来的损失或收益；咨询的结果集合为I={I1,I2,…,Il}, 咨询信息I的质量为P(Ik|Sj)=pkj, 咨询费用为C;决策准则为期望损益最优.三、建模与求解不妨设损益为收益, 咨询前的最大期望收益由全概率公式和贝叶斯公式有k=1,2,…,l, j=1,2,…,n,咨询结果为Ik时, 最大期望收益为咨询后的期望收益为当ER–E(As)>C时，值得咨询；当ER–E(As)≤C时，不值得咨询.四、模型试验例4 某公司生产某种产品有三种生产方案A1,A2,A3, 其收益依未来市场而定. 市场对该产品的需求程度是不确定的, 简单地归结为两种情况, 需求高S1; 需求低S2. 根据以往的情况估计概率为P(S1)=0.6, P(S2)=0.4, 已知在不同方案下的后果估计列入下表后果策略状态S1 S2A1 180 000元-150 000元A2 120 000元-50 000元A3 100 000元-10 000元在决策实施以前再进行一次新的市场调查. 调查结果可能得到对市场情况乐观的报告I1或者得到对市场情况悲观的报告I2. 根据市场研究小组过去类似的调查经验，该小组的调研水平为P(I1|S1)=0.7, P(I2|S2)=0.6. 调查费用为5000元, 是否值得调查?解根据假设v11=180000, v12=-150000, v21=120000, v22=-50000, v31=100000, v32=-10000如果不调查，三个方案的期望收益为E(A1)=0.6×180000+0.4×(－150000)=48000E(A2)=0.6×120000+0.4×(－50000)=52000E(A3)=0.6×100000+0.4×(－10000)=56000其中方案A3的期望收益最大，决策便是执行方案A3.如果调查，计算概率有P(I1)=0.58, P(I2)=0.42q11=P(S1|I1)=0.72, q21=P(S2|I1)=0.28, q12=P(S1|I2)=0.43,q22=P(S2|I2)=0.57咨询结果为I1时, 最大期望收益为E(A1|I1)=89000咨询结果为I2时, 最大期望收益为E(A3|I2)=37100咨询后的期望收益为=67202因ER–E(A3)=67202–56000=11202>C=5000, 所以值得调查.五、模型的分析与讨论(1) 灵敏度分析. 在咨询前, 考察状态概率的估计值对最优策略的选择是否灵敏, 即如果概率值轻微的改变就会影响到最优策略的选择, 则咨询是非常必要的; 相反, 如果概率旨在较大的范围内变化也不会改变原来的决策, 则咨询应停止. 灵敏度分析的步骤是：选择某状态的概率估计作为分析变量；通过计算期望值确定最优策略Ai和次最优策略Aj;令E(Ai)=E(Aj), 并从中解出分析变量的值；把上一步解出的值与原来的估计值相比较，观察改变量对决策是否灵敏，并选择新变量重复上述过程.以例4为例, 选择状态S1的概率p作为分析变量，由策略对应的期望值知，最优策略为A3, 次最优策略为A2, 令E(A3)=E(A2), 即p×100000+(1－p) ×(－10000)=p×120000+(1－p) ×(－50000). 解得： , 这说明当S1的概率估计值在0.6到0.67之间都不会改变对A3的选择，状态概率的估计对决策较灵敏. 咨询有必要.(2) 全信息的价值. 假定咨询可以绝对准确地预报未来出现的状态, 这称为全信息. 通过全信息下的期望收益与未咨询时的最大期望收益值差, 可考察在信息方面有多大的潜力可挖. 如例4，P(S1|I1)=1, P(S2|I2)=1. 咨询后的期望收益为ER=180000×0.6+(-10000) ×0.4=104000, ER－E(A3)=104000－56000=48000. 这是全信息的价值，是咨询费用的上界.§8.4 对策问题一、问题的背景与提出在现实世界中，我们经常见到带有竞争或对抗性质的现象. 像体育比赛、市场竞争、军事斗争、政治谈判等，这类现象的共同特点是参加的往往是利益相冲突的双方或几方，为了达到各自的目标和利益，各方必须考虑对手的各种可能的策略，并力图选取对自己最有力或最为合理的策略. 对抗的结果并不只取决于某一方所选取得策略, 而是与各方所选取得策略有关. 这类带有对抗性质的现象, 称为对策现象. 用数学方法来研究对策现象, 就是研究在对策现象中, 对抗各方是否存在着最合理的策略, 以及如何找到这个合理的策略.二、模型的假设(1)由两个对策参与者, 即局中人, 局中人集合为I={1,2};(2)局中人1, 2的策略集合分别为S1={α1, α2,…, αm},S2={β1, β2,…, βn};(3)局中人1的赢得函数为aij=H(αi, βj), 局中人2的赢得函数为–aij, 即局中人1赢得aij, 局中人2就失去–aij;(4)局中人1, 2是理智的.三、建模与求解由假设(3)有局中人1的赢得矩阵为A=(aij)m×n.我们的问题是考虑，在这个对策现象中，是否存在一个局势(α, β), α∈S1, β∈S2, 使得局中人1采取α策略是最合理的，居中人2采取β策略是最合理的. 如果存在我们称该局势为平衡局势. 考虑到对策双方的行为是理智的, 谁也不会去冒险, 必然采取最稳妥的策略. 最稳妥的策略是指: 局中人采取各种策略时, 最不利的情况是什么, 而从这些最不利的情况中选择最有利的一种. 即对局中人1来讲最稳妥是考虑所对应的策略，同样对局中人2来讲最稳妥是考虑所对应的策略.由此, 当 = = 时，平衡局势存在，否则平衡局势不存在. 当平衡局势不存在时, 双方都不能连续不变的使用某中策略. 因一方连续的使用某种策略而获利时, 另一方必察觉, 从而改换其策略以对付. 所以双方必须考虑如何随机地使用自己的策略, 从而使对方难以捉摸.设X=(x1,x2,…,xm)是局中人1在策略集合S1={α1, α2,…, αm}上的一个概率分布，即局中人1采取策略αi概率为xi, , 称为局中人1的一个混合策略. Y=(y1,y2,…,yn)是局中人2在策略集合S2={β1, β2,…, βn}上的一个概率分布，即局中人2采取策略βj概率为yj, , 称为局中人2的一个混合策略. 由于局中人1,2采取策略是相互独立的, 所以局中人1赢得aij的概率为xiyj, 局中人1的期望赢得为此时局中人2的期望赢得为－E(X,Y).类似于前面的讨论，对局中人1来讲希望达到，对于局中人2来讲希望达到，则当 = 时，是双方最好的选择.根据对策论的结论, = = 成立的充要条件是, 存在数v, 使得X*,Y*分别是不等式组（1）和不等式组（2）的解，且v=E(X*,Y*).如果局中人1的赢得矩阵A=(aij)的每一个数都加上一个常数k以后，赢得矩阵就变为(aij+k). 由上面（1），（2）两式，显然两个局中人的最优策略不会改变，只是值由v变成v+k.. 所以我们不妨设aij>0, (I=1,2,…,m, j=1,2,…,n), v>0. 这样不等式（1），（2）就可改写成（3）将不等式组（3）变成一组对偶线性规划问题：找满足（4）找满足（5）由（4），（5）即可找到局中人1,2的最好选择X*,Y*.四、模型试验例5 某公司计划将30万元投资与三种不同的行业A1、A2、A3. 一年后所得利润(单位:万元)将随该年内的经济发展而定, 对不同的经济状况, 这笔投资可能获得的利润预测如下:状态利润行业经济展望不良一般良好A1 2 0 2A2 0 3 1A3 1 2 1试问该公司应如何决定其投资方案.解我们将投资公司看作局中人1, 三种行业A1、A2、A3看作三个策略α1、α2、α3, 将经济展望的不同状态看作局中人2的三个策略β1、β2、β3. 就可将此问题看作一个对策问题.根据上面的讨论, 我们只需解线性规划用线性规划方法可解的所以局中人1的最优策略为 , 局中人2的最优策略为 , 矩阵对策的值为 .由此可知，在不能肯定下一年的经济状况的条件下，该公司的最合理的投资方案为：向A1投资（万元），向A3投资（万元），不向A2投资. 该公司至少可获得利润 (万元).五、模型的分析与讨论当矩阵对策的赢得矩阵阶数较高时, 解(4)、（5）线性规划的计算量是较大的. 考虑到频率是概率的近似, 局中人1的一个混合策略X=(x1,x2,…,xm)，可设想成当两个局中人多次重复进行对策时，局中人1分别采取策略α1, α2,…, αm的频率. 同样, Y=(y1,y2,…,yn) 可设想成局中人2分别采取策略β1, β2,…, βn的频率. 于是, 求解矩阵对策可以用一种近似的方法—迭代法. 其基本思想是: 假设两个局中人反复进行对策多次, 在每一局中各局中人都从的策略即中选取一个使对方获得最不利结果的策略, 即第k局对策策略的选取欲使对手在前k-1局中的累计所得（或累计所失）最少（或最多）. 具体做法是: 在第1局种, 从两个局中人中任选一人, 例如局中人1, 让他先采取任意一个策略,例如 . 然后局中人2随之采取策略使采取了的局中人1的所得为最少. 在第2局种, 局中人1认为局中人2还将采取 ,故采取某一策略使局中人2所失为最多, 然后局中人2有采取某一策略, 使局中人1在前两局中的累计赢得为最少. 在第3局种, 局中人1又采取某一策略使局中人2在前两局中的累计所失为最多, 然后局中人2又采取某一策略使局中人1在前两局中的累计所得为最少. 以后各局均照此方式对策下去, 直到迭代的结果达到一定的满意程度为止. 当迭代结束时, 我们就用局中人各策略在已进行的N局对策(N步迭代)中出现的频率分布作为最优混合策略中概率分布的一个近似.设 , , 其中(i=1,2,…,m), (j=1,2,…,n)分别表示局中人1,2在第k局对策中取策略 , 的次数. , 分别为X*,Y*的近似值. 算法如下:(1). 给定N, k:=1, 任取 .(2). 求得 .(3). 一般地，设已求得如果，则令如果，则令，(4). 如果k=N, 计算结束. 如果k 时, 则以检验水平α推断该因素影响显著; 否则认为不显著.以例6为例, 第2列为空列, 因此Se/fe=88.67/2=44.34, 而第1列的S1/f1=4.67/2=2.34比小，故将此列并入误差，有 =Se+ S1=88.67+4.67=93.34, = fe+ f1=2+2=4, , , F0.1(2,4)=4.32. 故回火时间C显著，回火温度B不显著.习题1．某商店要订购一批商品零售，设购进价为c，售出价p，一次订购手续费k，随机需求量x的密度函数为f(x)，每件商品的贮存费h. 问如何确定订购量才能使商店的平均利润最大. 这个平均利润是多少. 为使这个平均利润为正值, 需要对订购费k加什么限制?2. 某企业对于某中材料的月需求量为随机变量，具有如下表概率分布：需求量（吨）50 60 70 80 90 100 110 120P(x=k) 0.05 0.10 0.15 0.25 0.20 0.10 0.10 0.05每次订货费为500元，每月每吨保管费50元，每月每吨缺货费为1500元，每吨材料的购价为1000元. 该企业应如何进货?实施结果咨询意见成功失败可以投资152 3不宜投资38 73. 某人有5万元资金, 若用于某项投资, 估计成功率为0.9, 一年后可获利20%; 一旦失败, 则将丧失全部资金. 若把资金存入银行, 则可稳得年利6%.为获得更多信息, 可求助于咨询公司, 咨询费500元. 据统计, 咨询公司过去200次类似咨询的情况如表所示, 试问此人将如何使用这笔资金.4. 某公司有一份拥有钻探某处油井权力的租约. 该公司可自行钻井开采. 也可将此租约出售, 从而获利5万元. 钻井的可能结果如下表所示. 假定有一试验需花费5千元, 可以确定地下构层类型. 局以往统计, 有25口井随机择自此地附近. 其情况如下表所示. 如试验不加防范, 将有90%的可能会泄密, 出现这种情况此租约就不再能出售; 如严加防范需花费7千元, 能使泄密的可能性降至10%. 时对此做出决策.可能的结果概率获利(万元) 构层井类Ⅰ Ⅱ Ⅲ干井0.16 -15 干井 4 0 0气井0.40 5 气井 1 9 0油气井0.24 10 油气井 0 6 0油井0.20 20 油井 0 0 5β1 β2 β3α1α2α3 4 -1 50 5 33 3 75. 一工厂, 用三种不同的设备α1, α2, α3加工三种不同的产品β1, β2, β3, 已知这三种设备分别加工三种产品时, 单位时间内创造的价值如下表所示. 其中负值表示设备消耗大于所创造的价值. 试求一组合理的加工方案.类型疗效方案ⅠⅡⅢⅣⅤA1 0.5 0.5 0.5 0.51 0.1A2 1 0.3 0 0 0.1A3 1 0.5 0 0 16. 某种疾病, 知道是由五种不同类型细菌中的一种所引起的, 但目前尚不能肯定是有哪一种所引起的. 对此医生针对五种不同情况, 使用三种治疗方案, 其疗效如下表所示. 问医生应采取怎样的治疗方案最有利.7. 某毛纺厂为了摸索洗呢工艺对织物弹性的影响, 从而找出较优洗呢工艺, 进行了二水平四因素试验, 因素间的交互作用均可忽略. 考核指标为织物弹性(次数越多越好), 因素水平如下表. 选用表L8(27), 因素A、B、C、D依次排在第1、2、4、7列上. 8次实验结果为:150,135,156,147,130,131,144,131. 使用方差分析法选出较优工艺及因素的主次顺序(取检验水平α=0.05)因素水平 A洗呢时间 B洗呢温度 C洗涤剂浓度 D煮呢槽规格12 2030 3050 510 单槽双槽参考文献[1] 姜启源，数学模型，高等教育出版社，1993.[2] 徐光辉等，运筹学基础手册，科学出版社，1999.[3] 刘来福，曾文艺,数学模型与数学建模，北京师范大学出版社，1997.[4] 雷功炎，数学模型讲义，北京大学出版社，1999.[5] 数学建模试验，西安交通大学出版社，1999.[6] 吴翊等，应用数理统计，国防科技大学出版社，1995.。
贝叶斯模型概念
贝叶斯模型概念的详细解释1. 贝叶斯模型的定义贝叶斯模型是一种基于贝叶斯定理的概率模型，用于描述和推断随机事件之间的关系。
它基于先验概率和观测数据，通过贝叶斯定理计算后验概率，从而对未知事件进行预测和推断。
贝叶斯模型的核心思想是将不确定性量化为概率，并通过观测数据来更新对事件的概率估计。
它提供了一种统一的框架，用于处理不完全信息和不确定性问题，广泛应用于机器学习、统计推断、自然语言处理等领域。
2. 贝叶斯模型的重要性贝叶斯模型具有以下重要性：2.1. 统一的概率框架贝叶斯模型提供了一种统一的概率框架，使得不同领域的问题可以用相同的数学语言进行建模和解决。
它将不确定性量化为概率，使得我们可以通过观测数据来更新对事件的概率估计，从而更好地理解和解释现实世界中的复杂问题。
2.2. 可解释性和不确定性处理贝叶斯模型提供了一种可解释性的方法，可以直观地理解模型的预测和推断过程。
它能够量化不确定性，提供事件发生的概率估计，并给出后验概率的置信区间，使决策者能够更好地理解和处理不确定性。
2.3. 先验知识的利用贝叶斯模型允许我们将先验知识和观测数据进行结合，从而更准确地推断未知事件。
通过引入先验知识，我们可以在数据较少或数据质量较差的情况下，仍然得到可靠的推断结果。
2.4. 高度灵活的模型贝叶斯模型具有高度灵活性，可以根据问题的特点和数据的性质选择合适的先验分布和模型结构。
它可以通过引入不同的先验分布和模型假设，适应不同的问题和数据，提高模型的预测能力和泛化能力。
3. 贝叶斯模型的应用贝叶斯模型在各个领域都有广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：3.1. 机器学习贝叶斯模型在机器学习中被广泛应用于分类、聚类、回归等任务。
它可以通过学习先验概率和条件概率分布，从观测数据中学习模型参数，并用于预测和推断未知事件。
常见的贝叶斯模型包括朴素贝叶斯分类器、高斯过程回归等。
3.2. 统计推断贝叶斯模型在统计推断中被用于参数估计、假设检验、模型比较等任务。
概率回归模型
概率回归模型
概率回归模型是一种基于概率论的回归分析方法，它可以用来预测连续型变量的取值。
与传统的回归模型不同的是，概率回归模型不仅可以给出预测值，还可以给出预测值的不确定性，即预测值的置信区间。
概率回归模型的核心思想是将回归问题转化为概率分布问题。
具体来说，它假设目标变量服从某种概率分布，然后通过最大化似然函数来确定模型参数，从而得到预测值及其置信区间。
常见的概率回归模型包括线性回归模型、广义线性模型、贝叶斯回归模型等。
这些模型在不同的应用场景下有着各自的优缺点，需要根据具体情况选择合适的模型。
概率模型的概念
概率模型的概念概率模型的概念1. 概论•概率模型是一种用于描述和分析随机现象的数学模型。
•它基于概率论的观点，通过建立数学关系或函数来描述随机事件之间的关联与变化。
2. 概率模型的构建•概率模型的构建过程包括确定样本空间、事件集合和概率分布。
–样本空间：描述随机试验可能的所有结果的集合。
–事件集合：样本空间中的某些子集，代表一些特定的结果。
–概率分布：对每个事件赋予一个概率值，描述事件发生的可能性大小。
3. 常见的概率模型•离散型随机变量模型：描述一些具有有限或可数个取值的随机变量，如二项分布、泊松分布等。
•连续型随机变量模型：描述一些取值为连续范围内任意一个数的随机变量，如正态分布、指数分布等。
4. 概率模型的应用•概率模型在各个领域都有广泛应用，包括但不限于：–金融领域的风险评估和投资决策。
–模式识别和机器学习领域的数据建模和预测分析。
–工程领域的可靠性分析和优化设计。
–生物医学领域的遗传研究和疾病诊断。
5. 概率模型的评估与改进•概率模型的评估通常使用统计学的方法，比如最大似然估计、交叉验证等。
•将模型应用于实际问题时，可能需要对模型进行改进和调整，以提高模型的准确性和适用性。
6. 概率模型的优点与局限•优点：能够描述随机现象的不确定性和相关性，提供了一种量化分析的工具。
•局限：对于复杂的问题，可能需要做出一些简化假设；模型的准确性受到数据质量和模型参数设定的影响。
以上是关于概率模型的相关概念及内容的简述。
概率模型作为一种重要的数学模型，被广泛应用于各个领域，帮助我们理解和分析随机现象，以及做出相应的决策和预测。
通过学习和应用概率模型，我们能够更好地理解和利用不确定性，提高问题解决的效率和准确性。
7. 概率模型的建模步骤•确定分析问题的目标，明确需要预测或推断的变量。
•收集和整理相关的数据，包括观测变量和解释变量。
•根据数据的特点和问题的需求，选择合适的概率分布或模型。
•根据数据进行参数估计或模型拟合，以得到最优的模型参数。
概率统计模型决策模型课件
案例三：市场预测决策
பைடு நூலகம்
总结词
通过概率统计模型，可以帮助企业了解 市场趋势和消费者需求，为产品研发、 市场营销等提供决策支持。
VS
详细描述
市场预测决策需要考虑消费者行为、市场 趋势等因素。利用概率统计模型，可以对 历史数据和消费者行为进行分析，预测未 来市场趋势和消费者需求，为产品研发、 市场营销等提供决策支持。
案例二：生产计划制定决策
总结词
通过概率统计模型，可以帮助企业根据市场需求和生产能力制定合理的生产计划，提高生产效率和降 低成本。
详细描述
生产计划制定决策需要考虑市场需求、库存状况、生产能力等因素。利用概率统计模型，可以对历史 销售数据进行分析，预测未来市场需求，同时根据生产能力等因素进行生产计划安排，实现生产效益 最大化。
决策模型是指用来描述一个系统或者过程的一系列数学方程和算法，它可以帮助 我们理解和预测系统的行为。
决策模型通常包括三个主要部分：输入、处理和输出。输入部分包括所有可能影 响决策的因素，处理部分包括决策规则和算法，输出部分则是决策结果。
决策模型的应用领域
决策模型被广泛应用于各种领域，如金 融、医疗、军事、环境保护等。
案例四：质量控制决策
总结词
通过概率统计模型，可以帮助企业实现产品 质量控制和优化生产过程，提高产品质量和 生产效益。
详细描述
质量控制决策需要考虑产品质量、生产过程 等因素。利用概率统计模型，可以对生产过 程数据进行统计分析，找出影响产品质量的 关键因素，实现产品质量控制和优化生产过 程，提高产品质量和生产效益。
概率统计模型的基本概念
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概率
描述随机事件发生的可能性大 小。
gmm模型原理 -回复
gmm模型原理-回复GMM模型原理：一种基于高斯分布的概率模型GMM模型，即高斯混合模型（Gaussian Mixture Model），是一种基于高斯分布的概率模型。
它是一种用于数据建模和聚类的强大工具。
GMM 模型假设数据是由多个高斯分布组成的，每个高斯分布对应一个类别或者一个聚类中心。
在本文中，我将详细介绍GMM模型的原理，并逐步讨论其关键概念和步骤。
一、高斯分布简介高斯分布，也称为正态分布，是统计学中最基本且常见的概率分布之一。
它具有如下形式的概率密度函数：\[p(x) =\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\]其中，x是样本点，μ表示均值，σ表示标准差。
高斯分布以其钟形曲线特征而闻名，其均值μ决定了曲线的中心位置，标准差σ决定了曲线的形状。
二、GMM模型的定义GMM模型描述了数据由多个高斯分布组成的概率模型，其中每个高斯分布对应一个类别或者聚类中心。
GMM模型的概率密度函数可以表示为多个高斯分布的加权和：\[p(x) = \sum_{k=1}^{K} \pi_k \phi(x, \mu_k, \sigma_k^2)\]其中，K表示高斯分布的数量，πk表示第k个高斯分布的权重，满足条件0≤πk≤1，∑πk=1。
ϕ(x, μk, σk^2)表示第k个高斯分布的概率密度函数。
三、GMM模型的参数估计给定一组训练数据，我们的目标是利用GMM模型来估计其参数。
参数估计包括两个主要步骤：初始化和迭代。
1. 初始化首先需要随机选择K个高斯分布的均值μk、标准差σk和权重πk的初始值。
常见的初始化方法是K-means算法的变种。
2. 迭代迭代过程中，我们需要计算每个数据点属于每个高斯分布的概率，然后使用这些概率更新各个高斯分布的参数估计。
(1) E步骤（Expectation）在E步骤中，我们根据当前参数的估计，计算每个数据点属于每个高斯分布的后验概率，即给定数据点的条件下，该数据点来自于第k个高斯分布的概率：\[w_{ik} = \frac{\pi_k\phi(x_i, \mu_k,\sigma_k^2)}{\sum_{j=1}^{K}\pi_j\phi(x_i, \mu_j, \sigma_j^2)}\]其中，wi表示数据点i属于第k个高斯分布的概率。
概率图模型介绍课件
马尔科夫随机场的应用场景
图像分割
马尔科夫随机场可用于图像分割，将图像划分为 若干个区域，并根据区域内的像素特征进行分类 或识别。
自然语言处理
马尔科夫随机场可用于自然语言处理中的词性标 注、命名实体识别等任务，通过建模词与词之间 的依赖关系来进行分类或标注。
03
因子图模型
因子图模型的基本概念
01 因子图模型是一种概率图模型，用于表达变量之 间的依赖关系。
基于蒙特卡洛抽样方法，通过抽样均值估计学习 模型参数。
概率图模型的优化策略0102源自03模型选择与正则化
根据数据和任务需求，选 择合适的概率图模型，并 使用正则化技术防止过拟 合。
参数优化
使用高效的优化算法，如 梯度下降法、随机梯度下 降法等，优化模型参数。
结构学习
根据任务需求，学习最佳 的概率图模型结构，以提 升模型性能。
总结词
概率图模型在自然语言处理领域中应用广泛，能够有效地处理文本分类、情感分析、信息抽取等问题 。
详细描述
自然语言处理是人工智能领域的重要分支之一，主要涉及对人类语言的处理、分析和理解。概率图模 型在自然语言处理中可以应用于文本分类、情感分析、信息抽取等任务。例如，朴素贝叶斯分类器可 以用于文本分类，马尔可夫链可以用于情感分析，图模型可以用于信息抽取等。
于内容的推荐算法可以用于广告投放等。
应用案例四：金融风控
总结词
概率图模型在金融风控领域中应用广泛 ，能够有效地进行信贷风险评估、欺诈 行为检测和股票价格预测等任务。
VS
详细描述
金融风控是金融领域的重要应用之一，主 要涉及对金融风险的控制和管理。概率图 模型在金融风控中可以应用于信贷风险评 估、欺诈行为检测和股票价格预测等任务 。例如，Logistic回归可以用于信贷风险 评估，随机森林可以用于欺诈行为检测， 神经网络可以用于股票价格预测等。
几种概率模型
二者关系：由生成模型可以得到判别模型，但由判别模型得不到生成模型。
二、概率图模型（Graphical Models）
概率图模型：是一类用图的形式表示随机变量之间条件依赖关系的概率模型，
是概率论与图论的结合。图中的节点表示随机变量，缺少边表示条件独立假 设。
HMM实例
Urn 1
Urn 2
Urn N
实验进行方式如下： • 根据初始概率分布，随机选择N个缸中的一个开始实验 • 根据缸中球颜色的概率分布，随机选择一个球，记球的颜色为 x1，并把球放回缸中 • 根据缸的转移概率分布，随机选择下一口缸，重复以上步骤。
最后得到一个描述球的颜色的序列x1,x2,…称为观察值序列X。
1( X1, X2 , X3 )2( X2 , X3 , X4 )
X1 ,X2 ,X3 ,X4
i (Ci ) : 是关于 Ci 上 随机变量的函数
三、朴素贝叶斯分类器（ Naive Bayes Classifier）
设x∈Ω是一个类别未知的数据样本，Y为类别集合，若数据样本x属 于一个特定的类别yj，那么分类问题就是决定P(yj|x)，即在获得数据 样本x时，确定x的最佳分类。所谓最佳分类，一种办法是把它定义为 在给定数据集中不同类别yj先验概率的条件下最可能的分类。贝叶斯 理论提供了计算这种可能性的一种直接方法。
=[0.5 0.5]T
0.3 R 0.6 G 0.4
1
0.7 0.2 0.8
2
0.9 0.1
R
R
G
①
①
①
0.5 0.3 0.30.60.60.4
高中数学中的概率模型
㊀㊀㊀１２３㊀㊀高中数学中的概率模型高中数学中的概率模型Һ杨玉灿㊀（上海市南汇第一中学，上海㊀２０１３９９）㊀㊀ʌ摘要ɔ数学模型是将学生面对的实际问题抽象化，并建立相应方式的解题模式，该模式对于解决实际问题提供了便利．概率模型是概率知识的重要组成部分，在高中数学教学中有着重要的地位；概率模型是新课标要求高中学生必须掌握的模型之一，也是高考数学的必考内容．掌握古典概率模型㊁几何概率模型以及其他模型为学习概率知识打下了良好基础．下面通过一些例题系统地比较分析高中数学中的三种概率模型．ʌ关键词ɔ数学模型；高中数学；概率模型一㊁古典概率模型古典概型的随机试验，包含了若干个基本事件，这些基本事件都具有两大基本特性：第一，任何两个基本事件一定互斥；第二，排除不可能事件外，任何事件都是由基本事件所组成的．通常情况下，辨别某一个概率事件是否为古典概型，要看它有无下述两点特性：第一，该项实验中全部可能存在的基本事件数量是有限的；第二，所有基本事件存在的概率均相同．凡符合上述两点特性者均为古典概型，其数学公式为：Ｐ（Ａ）＝ｍｎ，其中ｍ为事件Ａ包含的基本事件个数，ｎ为整个随机试验包含的基本事件的个数．基本事件的有限性和等可能性是正确判断随机试验的类型为古典概型的依据，也是解决此类问题的关键．处理古典概型的方法一般分为两种：图表法和列举法．（一）ＣＡＳＥ１㊀用图表法求古典概型的概率例１㊀现存在两个玩具，其形状均为正四面体，每个玩具的四面分别写有１㊁２㊁３㊁４．现进行投掷玩具试验，以Ｘ代表第一个玩具抛落在地的贴地面数字，以Ｙ代表另一个玩具贴地面的数字，两者用（Ｘ，Ｙ）的形式表示．①要求罗列上述试验基本事件；②计算 两玩具贴地面数字之和大于３ 的事件概率；③计算 两玩具贴地面数字相等 的事件概率．解㊀①这个试验的基本事件列表如下：１２３４１（１，１）（１，２）（１，３）（１，４）２（２，１）（２，２）（２，３）（２，４）３（３，１）（３，２）（３，３）（３，４）４（４，１）（４，２）（４，３）（４，４）从表中可以看出，该随机试验共包含了１６个基本事件．②由①中图表可知，事件 两玩具贴地面的数字之和大于３ 包含有１３个基本事件，ʑＰ＝１３１６．③由①中图表可知，事件 两玩具贴地面的数字相等包含有４个基本事件，ʑＰ＝４１６＝１４．（二）ＣＡＳＥ２㊀用列举法求古典概型的概率例２㊀现有８名志愿者，其中志愿者Ａ１㊁Ａ２㊁Ａ３通晓日语，Ｂ１㊁Ｂ２㊁Ｂ３通晓俄语，Ｃ１㊁Ｃ２通晓韩语．从中选出通晓日语㊁俄语㊁韩语的志愿者各一名，组成一个小组．①求Ａ１被选中的概率；②求Ｂ１和Ｃ１不全被选中的概率．解㊀①从８人中选出通晓日㊁俄㊁韩语的志愿者各一名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω＝｛（Ａ１，Ｂ１，Ｃ１），（Ａ１，Ｂ１，Ｃ２），（Ａ１，Ｂ２，Ｃ１），（Ａ１，Ｂ２，Ｃ２），（Ａ１，Ｂ３，Ｃ１），（Ａ１，Ｂ３，Ｃ２），（Ａ２，Ｂ１，Ｃ１），（Ａ２，Ｂ１，Ｃ２），（Ａ２，Ｂ２，Ｃ１），（Ａ２，Ｂ２，Ｃ２），（Ａ２，Ｂ３，Ｃ１），（Ａ２，Ｂ３，Ｃ２），（Ａ３，Ｂ１，Ｃ１），（Ａ３，Ｂ１，Ｃ２），（Ａ３，Ｂ２，Ｃ１），（Ａ３，Ｂ２，Ｃ２），（Ａ３，Ｂ３，Ｃ１），（Ａ３，Ｂ３，Ｃ２）｝共１８个基本事件．用Ｍ表示 Ａ１恰被选中 这一事件．则Ｍ＝｛（Ａ１，Ｂ１，Ｃ１），（Ａ１，Ｂ１，Ｃ２），（Ａ１，Ｂ２，Ｃ１），（Ａ１，Ｂ２，Ｃ２），（Ａ１，Ｂ３，Ｃ１），（Ａ１，Ｂ３，Ｃ２）｝共６个基本事件．ʑＰ（Ｍ）＝６１８＝１３．②用Ｎ表示 Ｂ１和Ｃ１不全被选中 这一事件，则其对立事件Ｎ表示为 Ｂ１㊁Ｃ１全被选中 这一事件，由于Ｎ＝｛（Ａ１，Ｂ１，Ｃ１），（Ａ２，Ｂ１，Ｃ１），（Ａ３，Ｂ１，Ｃ１）｝，即事件Ｎ包含了３个基本事件，ʑＰ（Ｎ）＝３１８＝１６，ʑＰ（Ｎ）＝１－１６＝５６．二㊁几何概率模型几何概型定义：假使每个事件发生的概率都只同该事件所表示区域的长度㊁面积或体积成比，此类概率模式即为几何概型．计算公式如下：Ｐ（Ａ）＝构成事件Ａ的区域长度（面积或体积）试验全部结果所构成的区域长度（面积或体积）．通过以上定义和计算公式，我们可以得出几何概型的三种基本题型．（一）ＣＡＳＥ１㊀求与长度有关的几何概型的概率㊀图１例３㊀如图Ａ㊁Ｂ两盏路灯之间的长度是３０米，因住户反应两灯之间距离过远，光线太暗，现需要在Ａ，Ｂ中间再安两盏灯Ｃ㊁Ｄ，求Ａ㊁Ｃ两灯和Ｂ㊁Ｄ两灯之间距离都大于或等于１０米的概率．解㊀记事件Ｅ为 Ａ与Ｃ，Ｂ与Ｄ之间的距离都不小于１０米 ，把ＡＢ三等分，３０ˑ１３＝１０米．ʑＰ（Ｅ）＝１０３０＝１３．（二）ＣＡＳＥ２㊀求与面积有关的几何概型的概率㊀图２例４㊀现有一长方形ＡＢＣＤ，长和宽分别为２㊁１，ＡＢ中点设为Ｏ，在长方形内随机取一点，求该点与Ｏ点距离超过１的概率．解㊀记事件Ｅ为 取点到Ｏ的距离大于１ ，其对立事件Ｅ为取点到Ｏ点距离小于１ ．因为长方形的面积为２，以Ｏ为圆心，１为半径作圆，在长方形ＡＢＣＤ内部为半圆的面积等于π２．㊀㊀㊀㊀㊀１２４㊀ʑＰ（Ｅ）＝π２２＝π４，Ｐ（Ｅ）＝１－π４．故取点到Ｏ点距离大于１的概率为１－π４．（三）ＣＡＳＥ３㊀求与体积有关的几何概型的概率例５㊀已知正三棱锥Ｓ－ＡＢＣ的底面边长为４，高为３，在正三棱锥内任取一点Ｐ，使得ＶＰ－ＡＢＣ＜１２ＶＳ－ＡＢＣ的概率是多少？㊀图３解㊀要使ＶＰ－ＡＢＣ＜１２ＶＳ－ＡＢＣ，只需使三棱锥Ｐ－ＡＢＣ的高小于三棱锥Ｓ－ＡＢＣ的高的一半．设Ａ１，Ｂ１，Ｃ１分别为ＳＡ，ＳＢ，ＳＣ的中点，则所求概率即为棱台Ａ１Ｂ１Ｃ１－ＡＢＣ的体积与三棱锥Ｓ－ＡＢＣ的体积之比．其中Ｏ１为正三棱锥的高ＳＯ的中点，әＡ１Ｂ１Ｃ１是过Ｏ１平行于底面的截面．ＶＳ－ＡＢＣ＝１３ˑ１２ˑ４ˑ４ˑ３２æèçöø÷ˑ３＝４３，ＶＡ１Ｂ１Ｃ１－ＡＢＣ＝ＶＳ－ＡＢＣ－ＶＳ－Ａ１Ｂ１Ｃ１＝４３－１３ˑ（１２ˑ２ˑ２ˑ３２）ˑ３２＝７３２．ʑＰＶＰ－ＡＢＣ＜１２ＶＳ－ＡＢＣ()＝７３２ː４３＝７８．三㊁抽取 小球 试验模型抽取 小球 试验模型可以分为两种基本类型，即抽取 小球 放回试验和抽取 小球 不放回试验．抽取 小球 放回试验模型称为几何分布；抽取 小球 不放回试验模型称为超几何分布．（一）ＣＡＳＥ１㊀求服从几何分布的概率什么叫几何分布呢？几何分布是常用的一个离散型分布，几何分布的概率公式为：Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝（１－ｐ）ｋ－１ｐ，随着ｋ增大呈等比级数变化，等比级数又称几何级数．例６㊀现有一批货品，包含合格品１０枚㊁次品３枚，每次从这批货品中随机抽取一枚，且假设所有产品被抽取的概率均相等，分别算出下述两种情况中抽出合格品为止的抽取次数为Ｘ的分布列．①所有抽取出的产品均不放回；②每次抽取的产品均需放回该批次货品才能继续进行抽取．分析㊀①因抽取货品后均不放回，可知每次抽取相互影响；②因抽取后均需放回才可进行下一次抽取，可知每次抽取相互独立，该情况隶属于几何分布．解㊀①根据题意知，随机变量Ｘ可取值为：１，２，３，４．当Ｘ＝１时，即第一次取出的产品为合格品，故Ｐ（Ｘ＝１）＝１０１３；当Ｘ＝２时，即第二次取出的产品为合格品，第一次取到的产品为次品，故Ｐ（Ｘ＝２）＝３１３ˑ１０１２＝５２６；类似地Ｐ（Ｘ＝３）＝３１３ˑ２１２ˑ１０１１＝５１４３；Ｐ（Ｘ＝４）＝３１３ˑ２１２ˑ１１１ˑ１０１０＝１２８６．所以Ｘ的分布列为：Ｘ１２３４Ｐ１０１３５２６５１４３１２８６②因为每次取出的产品都放回再抽取，所以这类试验符合几何分布的特征，随机变量Ｘ的取值为１，２，３， ，ｎ，随机变量Ｘ服从几何分布．当Ｘ＝１时，即第一次取到了合格品，ʑＰ（Ｘ＝１）＝１０１３；当Ｘ＝２时，即第一次取到次品，第二次取到了合格品，ʑＰ（Ｘ＝２）＝３１３ˑ１０１３；当Ｘ＝３时，即第一次㊁第二次取到次品，第三次取到了合格品，ʑＰ（Ｘ＝３）＝３１３ˑ３１３ˑ１０１３＝３１３()２ˑ１０１３；类似地，当Ｘ＝ｎ时，即前ｎ－１次取到的均为次品，第ｎ次取到合格品，故Ｐ（Ｘ＝ｎ）＝３１３()ｎ－１ˑ１０１３．所以随机变量Ｘ的分布列为：Ｘ１２３ｎＰ１０１３３１３ˑ１０１３３１３()２ˑ１０１３３１３()ｎ－１ˑ１０１３点评㊀（１）几何分布是放回抽样问题，这也是几何分布的特征，其分布列概率可以代入公式Ｐ（Ｘ＝ｈ）＝（１－ｐ）ｋ－１ｐ；（２）此类试验都可以看作是抽取 小球 的试验模型，难点在于确定随机变量Ｘ取值的个数．（二）ＣＡＳＥ２求服从超几何分布的概率什么叫超几何分布呢？如果在含有Ｍ件次品数的Ｎ件产品中，任取ｎ件，其中含有Ｘ件次品，则事件｛Ｘ＝ｋ｝发生的概率为：Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝ＣｋＭＣｎ－ｋＮ－ＭＣｎＮ，ｋ＝０，１，２， ，ｍ，其中ｍ＝ｍｉｎ｛Ｍ，Ｎ｝且ｎɤＮ，ＭɤＮ，ｎ，Ｍ，ＮɪＮ∗．我们把这样的分布称为超几何分布．由于这个级数ＣｋＭＣｎ－ｋＮ－ＭＣｎＮ和几何级数类似，被称为超几何级数，因此得名．例７㊀从装有３个红球２个白球的袋子中随机取出２个球，设其中有Ｘ个红球，求随机变量Ｘ的分布列．解㊀本题的随机变量Ｘ服从超几何分布，其概率的计算公式：Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝Ｃｋ３Ｃ２－ｋ２Ｃ２５，代入公式得Ｐ（Ｘ＝０）＝０．１，Ｐ（Ｘ＝１）＝０．６，Ｐ（Ｘ＝２）＝０．３．故Ｘ的分布列为：Ｘ０１２Ｐ０．１０．６０．３点评㊀（１）超几何分布隶属于不放回抽样，这也是其最为显著的特点，其分布列概率公式如下：Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝ＣｋＭＣｎ－ｋＮ－ＭＣｎＮ；（２）此类问题都可以转化为例７抽取 小球 的试验模型，随机变量Ｘ为取到 红球 的个数，超几何分布的本质上也是古典概型．总结：通过讨论以上三种基本概率模型，我们总结出概率模型的一些通性以及解题的一些通法．这为我们今后遇到此类问题时提供一些帮助，使我们在分析问题和处理问题时少走一些弯路，帮助我们准确而快速地找到解题的思路和方法．。
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离散概率模型
独立性的正式定义为：令Y，Z表示两随机
变量， 和
Y {y1, y3 , y3...}
Z {z1 , z3 , z3...}
称Y，Z独立，如果
Pr{Y yi , Z zi } Pr{Y yi }Pr{Z zi } （3）
离散概率模型
例如，Y，Z表示第一个和第二个骰子出现 的点数，则
定高低的体育和艺术竞赛中，通常都采用去
掉一个最高分，去掉一个最低分，然后再作 算数平均的方式来解决。
前 言
在统计学中，则做得更彻底。当数据有 奇数个时，我们取按大小顺序排列居中的 那个数，当数据有偶数个时，就取中间两 个数的算术平均数来代替，并称之为中位 数。在人口统计学中，就是采用年龄中位 数来作为年龄的平均指标的。 在周先生的问题中，公司全体人员工资的中 位数为800（元） 这个数值显然要比1200元更接近于事实。
个二极管检验的方法，这公式提供了平均
的检测费用。这时我们要用n的函数极小化
A.
离散概率模型
第五步给出结论。对于检验二极管次品的质
量控制步骤可以用分组检验的方法做得非
常经济. 逐个检验的花费是5分/个. 次品的二
极管出现得很少，每一千个中只有3个，使
用每一组17个二极管串联起来分组化验，
在不影响质量的前提下可以将检验的费用
称这个分布为带有速率参数 的指数分布。 指数分布的“无记忆性”，即对于任何的
t>0和s>0，我们有
连续概率模型简介
Pr{X s t} e ( s t ) Pr{X s t / X s} s et Pr{X t} （11） Pr{X s} e
衰变率。每一次放射性衰变就要把计数器
109 锁住3×
秒，在这段时间内所发生的任
何衰变都不会被计数。如何调整计数器接
受的数据以考虑丢失的信息？
连续概率模型简介
我们使用五步法。 第一步的结果为：
连续概率模型简介
变量：
＝衰变率（每秒）
Tn ＝第n次观测到衰变的时间
假设：
放射性的衰变以速率 随机发生。
前 言
当然，周先生应聘时需要知道的既不是
工资的算术平均数，也不是中位数，而是
众数，即数据中出现次数最多的数。如果
周先生事先知道这家公司人员工资的众数
是600元，他就不会上这个当了。
前 言
例2 会说话的数字 一位青年为抢救两名落水儿童而英勇献身，英 雄的事迹传遍了四面八方，于是各种报道、评论 纷至沓来，让人目不暇接。 甲报：“这时，英雄的心里只有一个念头：‘救 孩子要紧！’他来不及脱下身上的衣服，就纵身 一跃，跳下了这条水深达8米的湍急的河流，奋不 顾身地向落水儿童去……。”
EC (4 n)0.997n [(4 n ) 5n ](1 0.997n ) (4 n) 5n(1 0.997n ) 4 6n 5n(0.997n )
离散概率模型
每个二极管平均检测费用
4 A 6 5(0.997 n ) n
强大数定理告诉我们如果一直使用一组有n
3000 2000 1500 1000
前 言
“你来之前公司在册的有10人，大家的平均 收入为1200（元） 应该没有什么错误吧？” 周先生听罢，只好自认倒霉，一走了之。
前 言
算术平均数是统计学中的一个极具迷惑性
的平均指标，当样本数据较少且其中有若干
个值特别大或特别小的时候尤甚。为了避免
这种情况的发生，在一些需要靠评委打分来
对于任何n， T
目标：
n1
Tn 3*10
9
根据有限的观测值， T1 ,, Tn 求出 .
连续概率模型简介
步骤二是选择建模的方法。我们将使用连续
的概率模型。
假设X是在实轴上取值的随机变量。描述X
的概率结构的恰当方式是使用函数
F ( x) Pr{X x}
称之X为的分布函数。
连续概率模型简介
1 1 1 Pr{Y 2, Z 1} Pr{Y 2}Pr{Z 1} ( )( ) 6 6 36
对每个可能的结果都一样。Y，Z独立，第 一个和第二个骰子出现的点数没关系。 再看例3.1，对于任何n>1，随机变量C取两 个可能数值的一个：若所有二极管都是好 的，则 C=4+n
离散概率模型
否则 C=(4+n)+5n
因为我们必须重新检验每个二极管，用p表
示每个二极管是正品的概率，剩下的可能
性为1-p。则平均值或期望为
EC (4 n) p [(4 n) 5n](1 p)
离散概率模型
第四步，一共有n个二极管，一个二极管为 次品的概率是0.003。假设每个二极管相互 独立，于是一组二极管全是正品的概率 是 p 0.997n。则C的期望为
概率模型简介
滕加俊
目 录
前言
离散概率模型简介
统计简介 连续概率模型简介
统计简介
前 言
概率是一个常见的和直观的概念，在这
一章我们开始概率模型的讨论，不像正规的 概率论那样先介绍一些背景知识，我们将以 很自然的方式引入在实际问题的研究中出现 的概率论的基本概念。
前 言
例1 骗人的平均数
周先生看到一家公司在招聘职员，广告 中称该公司的人均月收入达1200元，高级 职员可拿到1500元，便欣然前往应聘。 公司经理对他的工作能力很满意，当场 拍板录用周先生。可是等到月底发工资， 周先生只拿到了600元，便去找经理理论。
元，它就值得去玩。
离散概率模型
0.2 6/36 6/36 5/36 5/36 5/36 5/36
4/36 4/36
4/36 4/36
0.1
2/36 2/36
3/36 3/36
3/36 3/36 2/36 2/36
1/36 1/36
1/36 1/36
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
离散概率模型
更加特别的是，若你一次次玩这游戏，用 X n 表示第n次所赢得总数，每个 X n 有相同分 布， Xn 并且每个 独立。由一个定理称为“强大 数定理”：对于独立同分布随机序 X2 ， X 3 …，具有有限的 EX，我们有 列 X1， X +X +...X EX （2） n 当 n 时以概率1成立。换句话，即你长 时间玩该游戏，你可以每次赢7美元。
前 言
乙报：“英雄倒下去了，倒在一条平均深 度不足1.8米的小河里。当他筋疲力尽的时 候，那些站在岸边袖手旁观的人们没有一 个肯伸出援手，甚至连一个愿意去报警的 人都没有。两名落水儿童得救了，可是又 有谁能来救救这些麻木的灵魂……。”
前 言
看了这些报道，你恐怕不敢相信他们说 的是同一件事。为了加强文章的感染力和 说服力，两位作者都采取了让数字说话的 方法，只可惜8米指的是水的最深处，1.8米 指的是平均水深，与英雄牺牲的地方看不 出有什么关系。数字本身没有错，出错的 是人。
前 言
周先生对经理说：“你骗了我，财务主管说 普通职员的工资只有600元，而你们在广告上却说 平均工资是1200元。”经理笑眯眯地回答说： “坐下，坐下，不要激动嘛。这是上个月公司的 人员工资表，你先看一看。 副经 高级 普通 经理 秘书 理 职员 职员
人数 （人） 月收入 （元）
1
1
2
1
5
600
是 xi 的加权平均，权值就是 pi ，可以写为
EX xi pi
pi { }表明了随机变量X的分 这一组概率值
布。
离散概率模型
例3.2 在一个掷骰子游戏中，同时掷两个， 庄家按两个骰子所示的点数给你同等面值 的美元，要付多少钱你才愿意玩这个游戏？
用X表示骰子所示点数，一共有6*6=36种可 能的结果，每种结果等可能的，只有一种 方式投出2点，因此有
离散概率模型
第二步是选择建模的方法。我们将使用离散 的概率模型。 考虑一个随机变量X，可以选取一个离散数 值集合中任何一个数值 X x1, x2 , x3 ,.. 同时假设 X xi 的概率是 pi ，记为
Pr( X xi ) pi
显然有
p 1
i
离散概率模型
因为X以概率 pi 取数值xi，所以X的期望一定
经验人们发现，许多情形下，这种模型为
现实的生活提供了有用的和精确的近似。
连续概率模型简介
连续概率模型简介
这一节，我们研究基于取值连续的随机变
量的概率模型。这些模型在表示随机变量
的时间上为我们提供了很大的方便。所需
要的数学理论除了使用积分来代替求和之
外完全类似于离散的情况。
连续概率模型简介
例7.3 “I型计数器”可以用来测量可裂变物 质的样品放射性的衰变。衰变是以未知的 速率随机发生的，计数器的目的就是测量
之间是无关的。事实上，有可能由于生产环境
中一些异常原因使得次品出现在一些批次中， 这是，独立随机模型的数学分析就不能完全处 理这问题。
离散概率模型
在下一章介绍的随机过程的模型可以描述 某些具有依赖性的问题。有关稳健性的问 题是当前概率论研究中的活跃的分支。实 际上，模拟的结果倾向于表明独立随机变
量的期望值是稳健的，更重要的是，通过
降低三分之一（1.5分/二极管）。
离散概率模型
这类问题中灵敏性的分析是关键。质量控制
步骤的实行依赖于若干模型之外的因素。
也许操作的特殊性对于10个或20个一批或
者n是4或5的倍数时检验更容易。好在对问
题而言，n等于10和35之间检验的平均花费
没有明显变化。在操作过程中次品率
q=0.003同样必须考虑，