概率模型简介
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对于任何n， T
目标：
n1
Tn 3*10
9
根据有限的观测值， T1 ,, Tn 求出 .
连续概率模型简介
步骤二是选择建模的方法。我们将使用连续
的概率模型。
假设X是在实轴上取值的随机变量。描述X
的概率结构的恰当方式是使用函数
F ( x) Pr{X x}
称之X为的分布函数。
连续概率模型简介
如果把它写成黎曼和就可以看出，它是由离 散的情形直接类推过来的。值得指出的是， 这些表示法和术语是从物理学中的问题—
质心的问题中来的。如果一条金属线或硬
杆放在x轴上，
f ( x) 表示在点 处的密度（克 / x
厘米），则
f ( x) 的积分就表示质量，
xf ( x) 的积分就表示质心。
连续概率模型简介
是 xi 的加权平均，权值就是 pi ，可以写为
EX xi pi
pi { }表明了随机变量X的分 这一组概率值
布。
离散概率模型
例3.2 在一个掷骰子游戏中，同时掷两个， 庄家按两个骰子所示的点数给你同等面值 的美元，要付多少钱你才愿意玩这个游戏？
用X表示骰子所示点数，一共有6*6=36种可 能的结果，每种结果等可能的，只有一种 方式投出2点，因此有
概率模型简介
滕加俊
目 录
前言
离散概率模型简介
统计简介 连续概率模型简介
统计简介
前 言
概率是一个常见的和直观的概念，在这
一章我们开始概率模型的讨论，不像正规的 概率论那样先介绍一些背景知识，我们将以 很自然的方式引入在实际问题的研究中出现 的概率论的基本概念。
前 言
例1 骗人的平均数
周先生看到一家公司在招聘职员，广告 中称该公司的人均月收入达1200元，高级 职员可拿到1500元，便欣然前往应聘。 公司经理对他的工作能力很满意，当场 拍板录用周先生。可是等到月底发工资， 周先生只拿到了600元，便去找经理理论。
前 言
周先生对经理说：“你骗了我，财务主管说 普通职员的工资只有600元，而你们在广告上却说 平均工资是1200元。”经理笑眯眯地回答说： “坐下，坐下，不要激动嘛。这是上个月公司的 人员工资表，你先看一看。 副经 高级 普通 经理 秘书 理 职员 职员
人数 （人） 月收入 （元）
1
1
2
1
5
600
经验人们发现，许多情形下，这种模型为
现实的生活提供了有用的和精确的近似。
连续概率模型简介
连续概率模型简介
这一节，我们研究基于取值连续的随机变
量的概率模型。这些模型在表示随机变量
的时间上为我们提供了很大的方便。所需
要的数学理论除了使用积分来代替求和之
外完全类似于离散的情况。
连续概率模型简介
例7.3 “I型计数器”可以用来测量可裂变物 质的样品放射性的衰变。衰变是以未知的 速率随机发生的，计数器的目的就是测量
个二极管检验的方法，这公式提供了平均
的检测费用。这时我们要用n的函数极小化
A.
离散概率模型
第五步给出结论。对于检验二极管次品的质
量控制步骤可以用分组检验的方法做得非
常经济. 逐个检验的花费是5分/个. 次品的二
极管出现得很少，每一千个中只有3个，使
用每一组17个二极管串联起来分组化验，
在不影响质量的前提下可以将检验的费用
离散概率模型
否则 C=(4+n)+5n
因为我们必须重新检验每个二极管，用p表
示每个二极管是正品的概率，剩下的可能
性为1-p。则平均值或期望为
EC (4 n) p [(4 n) 5n](1 p)
离散概率模型
第四步，一共有n个二极管，一个二极管为 次品的概率是0.003。假设每个二极管相互 独立，于是一组二极管全是正品的概率 是 p 0.997n。则C的期望为
之间是无关的。事实上，有可能由于生产环境
中一些异常原因使得次品出现在一些批次中， 这是，独立随机模型的数学分析就不能完全处 理这问题。
离散概率模型
在下一章介绍的随机过程的模型可以描述 某些具有依赖性的问题。有关稳健性的问 题是当前概率论研究中的活跃的分支。实 际上，模拟的结果倾向于表明独立随机变
量的期望值是稳健的，更重要的是，通过
我们称函数
f ( x) F ( x)
b a
为X的密度函数。对于任何a和b，我们有
Pr{a X b} F (b) F (a) f ( x)dx
(7)
换句话说，密度曲线下面的面积就给出了概 率。X的平均值或期望值定义为
EX xf ( x)dx
（8 ）
连续概率模型简介
前 言
乙报：“英雄倒下去了，倒在一条平均深 度不足1.8米的小河里。当他筋疲力尽的时 候，那些站在岸边袖手旁观的人们没有一 个肯伸出援手，甚至连一个愿意去报警的 人都没有。两名落水儿童得救了，可是又 有谁能来救救这些麻木的灵魂……。”
前 言
看了这些报道，你恐怕不敢相信他们说 的是同一件事。为了加强文章的感染力和 说服力，两位作者都采取了让数字说话的 方法，只可惜8米指的是水的最深处，1.8米 指的是平均水深，与英雄牺牲的地方看不 出有什么关系。数字本身没有错，出错的 是人。
3000 2000 1500 1000
前 言
“你来之前公司在册的有10人，大家的平均 收入为1200（元） 应该没有什么错误吧？” 周先生听罢，只好自认倒霉，一走了之。
前 言
算术平均数是统计学中的一个极具迷惑性
的平均指标，当样本数据较少且其中有若干
个值特别大或特别小的时候尤甚。为了避免
这种情况的发生，在一些需要靠评委打分来
衰变率。每一次放射性衰变就要把计数器
109 锁住3×
秒，在这段时间内所发生的任
何衰变都不会被计数。如何调整计数器接
受的数据以考虑丢失的信息？
连续概率模型简介
我们使用五步法。 第一步的结果为：
连续概率模型简介
变量：
＝衰变率（每秒）
Tn ＝第n次观测到衰变的时间
假设：
放射性的衰变以速率 随机发生。
称这个分布为带有速率参数 的指数分布。 指数分布的“无记忆性”，即对于任何的
t>0和s>0，我们有
连续概率模型简介
Pr{X s t} e ( s t ) Pr{X s t / X s} s et Pr{X t} （11） Pr{X s} e
EC (4 n)0.997n [(4 n ) 5n ](1 0.997n ) (4 n) 5n(1 0.997n ) 4 6n 5n(0.997n )
离散概率模型
每个二极管平均检测费用
4 A 6 5(0.997 n ) n
强大数定理告诉我们如果一直使用一组有n
有两种方式投出3点，因此有
Pr( X 2) 1 36
Pr( X 3)
2 36
离散概率模型
X的期望值是
或
1 2 1 EX 2( ) 3( ) ... 12( ) 36 36 36
EX 7
.
多次重复这个游戏你将每一次赢得7元，因
此如果你每一次游戏所付出的费用不超过7
离散概率模型
第二步是选择建模的方法。我们将使用离散 的概率模型。 考虑一个随机变量X，可以选取一个离散数 值集合中任何一个数值 X x1, x2 , x3 ,.. 同时假设 X xi 的概率是 pi ，记为
Pr( X xi ) pi
显然有
p 1
i
离散概率模型
因为X以概率 pi 取数值xi，所以X的期望一定
定高低的体育和艺术竞赛中，通常都采用去
掉一个最高分，去掉一个最低分，然后再作 算数平均的方式来解决。
前 言
在统计学中，则做得更彻底。当数据有 奇数个时，我们取按大小顺序排列居中的 那个数，当数据有偶数个时，就取中间两 个数的算术平均数来代替，并称之为中位 数。在人口统计学中，就是采用年龄中位 数来作为年龄的平均指标的。 在周先生的问题中，公司全体人员工资的中 位数为800（元） 这个数值显然要比1200元更接近于事实。
前 言
当然，周先生应聘时需要知道的既不是
工资的算术平均数，也不是中位数，而是
众数，即数据中出现次数最多的数。如果
周先生事先知道这家公司人员工资的众数
是600元，他就不会上这个当了。
前 言
例2 会说话的数字 一位青年为抢救两名落水儿童而英勇献身，英 雄的事迹传遍了四面八方，于是各种报道、评论 纷至沓来，让人目不暇接。 甲报：“这时，英雄的心里只有一个念头：‘救 孩子要紧！’他来不及脱下身上的衣服，就纵身 一跃，跳下了这条水深达8米的湍急的河流，奋不 顾身地向落水儿童去……。”
离散概率模型
例如这个数值可能随工厂环境发生变化。
将上面模型推广，我们有 A 4 6 5(1 q)n
dA q S ( A, q) 0.16 dq A
n
在n=17时有
于是q的微小变化很可能不会导致检测费用
大的变化。
离散概率模型
更一般的稳健性分析要考虑独立性的假设。我
们必须假设在操作过程中接连出现次品的次数
离散概率模型简介
离散概率模型
解决问题的数学建模方法包括五个步骤： 1. 提出问题 2. 选择建模方法 3. 推导模型的数学表达式
4. 求解模型
5. 回答问题
离散概率模型
•
例3.1 一个电子元件厂生产一种二极管。质 量控制工程师负责保证在产品出厂前检测 出次品。估计产品中有0.3%的次品。可以 对每个二极管进行检验，也可以把若干个 串联起来进行检验。如果通不过，说明其 中一个或几个是次品。已知检验单个二极 管花费是5分钱，检验一组n个是4+n分钱。 如果一组没通过，需要逐个检测该组以寻 找次品。要求寻求检测次品二极管的步骤 使得花费最少。
元，它就值得去玩。
离散概率模型
0.2 6/36 6/36 5/36 5/36 5/36 5/36
4/36 4/36
4/36 4/36
0.1
2/36 2/36
3/36 3/36
3/36 3/36 2/36 2/36
1/36 1/36
1/36 1/36
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
离散概率模型
更加特别的是，若你一次次玩这游戏，用 X n 表示第n次所赢得总数，每个 X n 有相同分 布， Xn 并且每个 独立。由一个定理称为“强大 数定理”：对于独立同分布随机序 X2 ， X 3 …，具有有限的 EX，我们有 列 X1， X +X +...X EX （2） n 当 n 时以概率1成立。换句话，即你长 时间玩该游戏，你可以每次赢7美元。
1 2 n
离散概率模型
独立性的正式定义为：令Y，Z表示两随机
变量， 和
Y {y1, y3 , y3...}
Z {z1 , z3 , z3...}
称Y，Z独立，如果
Pr{Y yi , Z zi } Pr{Y yi }Pr{Z zi } （3）
离散概率模型
例如，Y，Z表示第一个和第二个骰子出现 的点数，则
降低三分之一（1.5分/二极管）。
离散概率模型
这类问题中灵敏性的分析是关键。质量控制
步骤的实行依赖于若干模型之外的因素。
Baidu Nhomakorabea
也许操作的特殊性对于10个或20个一批或
者n是4或5的倍数时检验更容易。好在对问
题而言，n等于10和35之间检验的平均花费
没有明显变化。在操作过程中次品率
q=0.003同样必须考虑，
在应用中随机到达的特殊情形经常出现。假 设一个到达的现象（例如，顾客的到达， 电话的呼叫，放射性的衰变）以速率 随
（9） 机出现，同时令X表示两次连续到达现象之
间的随机时间。通常假设X有分布函数
F (t ) 1 e
t
连续概率模型简介
则的密度函数是
f (t ) e
t
（10）
1 1 1 Pr{Y 2, Z 1} Pr{Y 2}Pr{Z 1} ( )( ) 6 6 36
对每个可能的结果都一样。Y，Z独立，第 一个和第二个骰子出现的点数没关系。 再看例3.1，对于任何n>1，随机变量C取两 个可能数值的一个：若所有二极管都是好 的，则 C=4+n
离散概率模型
我们使用五步法。图3.1综述了第一步的
结果。变量是决策变量，同时随便选取,变
量C是所选择的质量控制步骤的随机的果。
是一个随机变量，然而量不是随机的，它
表示随机变量的平均或期望值。
离散概率模型
变量： n=每个检验组内二极管的数目 C=一组元件的检验费用 A=平均检验费用（分/二极管） 假设： 如果n=1,则A=5分 否则（n>1），我们有，全部二极管都是好的，则 C=(4+n) 如果有次品，则C=(4+n)+5n 目标：求n的数值，使A最小
目标：
n1
Tn 3*10
9
根据有限的观测值， T1 ,, Tn 求出 .
连续概率模型简介
步骤二是选择建模的方法。我们将使用连续
的概率模型。
假设X是在实轴上取值的随机变量。描述X
的概率结构的恰当方式是使用函数
F ( x) Pr{X x}
称之X为的分布函数。
连续概率模型简介
如果把它写成黎曼和就可以看出，它是由离 散的情形直接类推过来的。值得指出的是， 这些表示法和术语是从物理学中的问题—
质心的问题中来的。如果一条金属线或硬
杆放在x轴上，
f ( x) 表示在点 处的密度（克 / x
厘米），则
f ( x) 的积分就表示质量，
xf ( x) 的积分就表示质心。
连续概率模型简介
是 xi 的加权平均，权值就是 pi ，可以写为
EX xi pi
pi { }表明了随机变量X的分 这一组概率值
布。
离散概率模型
例3.2 在一个掷骰子游戏中，同时掷两个， 庄家按两个骰子所示的点数给你同等面值 的美元，要付多少钱你才愿意玩这个游戏？
用X表示骰子所示点数，一共有6*6=36种可 能的结果，每种结果等可能的，只有一种 方式投出2点，因此有
概率模型简介
滕加俊
目 录
前言
离散概率模型简介
统计简介 连续概率模型简介
统计简介
前 言
概率是一个常见的和直观的概念，在这
一章我们开始概率模型的讨论，不像正规的 概率论那样先介绍一些背景知识，我们将以 很自然的方式引入在实际问题的研究中出现 的概率论的基本概念。
前 言
例1 骗人的平均数
周先生看到一家公司在招聘职员，广告 中称该公司的人均月收入达1200元，高级 职员可拿到1500元，便欣然前往应聘。 公司经理对他的工作能力很满意，当场 拍板录用周先生。可是等到月底发工资， 周先生只拿到了600元，便去找经理理论。
前 言
周先生对经理说：“你骗了我，财务主管说 普通职员的工资只有600元，而你们在广告上却说 平均工资是1200元。”经理笑眯眯地回答说： “坐下，坐下，不要激动嘛。这是上个月公司的 人员工资表，你先看一看。 副经 高级 普通 经理 秘书 理 职员 职员
人数 （人） 月收入 （元）
1
1
2
1
5
600
经验人们发现，许多情形下，这种模型为
现实的生活提供了有用的和精确的近似。
连续概率模型简介
连续概率模型简介
这一节，我们研究基于取值连续的随机变
量的概率模型。这些模型在表示随机变量
的时间上为我们提供了很大的方便。所需
要的数学理论除了使用积分来代替求和之
外完全类似于离散的情况。
连续概率模型简介
例7.3 “I型计数器”可以用来测量可裂变物 质的样品放射性的衰变。衰变是以未知的 速率随机发生的，计数器的目的就是测量
个二极管检验的方法，这公式提供了平均
的检测费用。这时我们要用n的函数极小化
A.
离散概率模型
第五步给出结论。对于检验二极管次品的质
量控制步骤可以用分组检验的方法做得非
常经济. 逐个检验的花费是5分/个. 次品的二
极管出现得很少，每一千个中只有3个，使
用每一组17个二极管串联起来分组化验，
在不影响质量的前提下可以将检验的费用
离散概率模型
否则 C=(4+n)+5n
因为我们必须重新检验每个二极管，用p表
示每个二极管是正品的概率，剩下的可能
性为1-p。则平均值或期望为
EC (4 n) p [(4 n) 5n](1 p)
离散概率模型
第四步，一共有n个二极管，一个二极管为 次品的概率是0.003。假设每个二极管相互 独立，于是一组二极管全是正品的概率 是 p 0.997n。则C的期望为
之间是无关的。事实上，有可能由于生产环境
中一些异常原因使得次品出现在一些批次中， 这是，独立随机模型的数学分析就不能完全处 理这问题。
离散概率模型
在下一章介绍的随机过程的模型可以描述 某些具有依赖性的问题。有关稳健性的问 题是当前概率论研究中的活跃的分支。实 际上，模拟的结果倾向于表明独立随机变
量的期望值是稳健的，更重要的是，通过
我们称函数
f ( x) F ( x)
b a
为X的密度函数。对于任何a和b，我们有
Pr{a X b} F (b) F (a) f ( x)dx
(7)
换句话说，密度曲线下面的面积就给出了概 率。X的平均值或期望值定义为
EX xf ( x)dx
（8 ）
连续概率模型简介
前 言
乙报：“英雄倒下去了，倒在一条平均深 度不足1.8米的小河里。当他筋疲力尽的时 候，那些站在岸边袖手旁观的人们没有一 个肯伸出援手，甚至连一个愿意去报警的 人都没有。两名落水儿童得救了，可是又 有谁能来救救这些麻木的灵魂……。”
前 言
看了这些报道，你恐怕不敢相信他们说 的是同一件事。为了加强文章的感染力和 说服力，两位作者都采取了让数字说话的 方法，只可惜8米指的是水的最深处，1.8米 指的是平均水深，与英雄牺牲的地方看不 出有什么关系。数字本身没有错，出错的 是人。
3000 2000 1500 1000
前 言
“你来之前公司在册的有10人，大家的平均 收入为1200（元） 应该没有什么错误吧？” 周先生听罢，只好自认倒霉，一走了之。
前 言
算术平均数是统计学中的一个极具迷惑性
的平均指标，当样本数据较少且其中有若干
个值特别大或特别小的时候尤甚。为了避免
这种情况的发生，在一些需要靠评委打分来
衰变率。每一次放射性衰变就要把计数器
109 锁住3×
秒，在这段时间内所发生的任
何衰变都不会被计数。如何调整计数器接
受的数据以考虑丢失的信息？
连续概率模型简介
我们使用五步法。 第一步的结果为：
连续概率模型简介
变量：
＝衰变率（每秒）
Tn ＝第n次观测到衰变的时间
假设：
放射性的衰变以速率 随机发生。
称这个分布为带有速率参数 的指数分布。 指数分布的“无记忆性”，即对于任何的
t>0和s>0，我们有
连续概率模型简介
Pr{X s t} e ( s t ) Pr{X s t / X s} s et Pr{X t} （11） Pr{X s} e
EC (4 n)0.997n [(4 n ) 5n ](1 0.997n ) (4 n) 5n(1 0.997n ) 4 6n 5n(0.997n )
离散概率模型
每个二极管平均检测费用
4 A 6 5(0.997 n ) n
强大数定理告诉我们如果一直使用一组有n
有两种方式投出3点，因此有
Pr( X 2) 1 36
Pr( X 3)
2 36
离散概率模型
X的期望值是
或
1 2 1 EX 2( ) 3( ) ... 12( ) 36 36 36
EX 7
.
多次重复这个游戏你将每一次赢得7元，因
此如果你每一次游戏所付出的费用不超过7
离散概率模型
第二步是选择建模的方法。我们将使用离散 的概率模型。 考虑一个随机变量X，可以选取一个离散数 值集合中任何一个数值 X x1, x2 , x3 ,.. 同时假设 X xi 的概率是 pi ，记为
Pr( X xi ) pi
显然有
p 1
i
离散概率模型
因为X以概率 pi 取数值xi，所以X的期望一定
定高低的体育和艺术竞赛中，通常都采用去
掉一个最高分，去掉一个最低分，然后再作 算数平均的方式来解决。
前 言
在统计学中，则做得更彻底。当数据有 奇数个时，我们取按大小顺序排列居中的 那个数，当数据有偶数个时，就取中间两 个数的算术平均数来代替，并称之为中位 数。在人口统计学中，就是采用年龄中位 数来作为年龄的平均指标的。 在周先生的问题中，公司全体人员工资的中 位数为800（元） 这个数值显然要比1200元更接近于事实。
前 言
当然，周先生应聘时需要知道的既不是
工资的算术平均数，也不是中位数，而是
众数，即数据中出现次数最多的数。如果
周先生事先知道这家公司人员工资的众数
是600元，他就不会上这个当了。
前 言
例2 会说话的数字 一位青年为抢救两名落水儿童而英勇献身，英 雄的事迹传遍了四面八方，于是各种报道、评论 纷至沓来，让人目不暇接。 甲报：“这时，英雄的心里只有一个念头：‘救 孩子要紧！’他来不及脱下身上的衣服，就纵身 一跃，跳下了这条水深达8米的湍急的河流，奋不 顾身地向落水儿童去……。”
离散概率模型
例如这个数值可能随工厂环境发生变化。
将上面模型推广，我们有 A 4 6 5(1 q)n
dA q S ( A, q) 0.16 dq A
n
在n=17时有
于是q的微小变化很可能不会导致检测费用
大的变化。
离散概率模型
更一般的稳健性分析要考虑独立性的假设。我
们必须假设在操作过程中接连出现次品的次数
离散概率模型简介
离散概率模型
解决问题的数学建模方法包括五个步骤： 1. 提出问题 2. 选择建模方法 3. 推导模型的数学表达式
4. 求解模型
5. 回答问题
离散概率模型
•
例3.1 一个电子元件厂生产一种二极管。质 量控制工程师负责保证在产品出厂前检测 出次品。估计产品中有0.3%的次品。可以 对每个二极管进行检验，也可以把若干个 串联起来进行检验。如果通不过，说明其 中一个或几个是次品。已知检验单个二极 管花费是5分钱，检验一组n个是4+n分钱。 如果一组没通过，需要逐个检测该组以寻 找次品。要求寻求检测次品二极管的步骤 使得花费最少。
元，它就值得去玩。
离散概率模型
0.2 6/36 6/36 5/36 5/36 5/36 5/36
4/36 4/36
4/36 4/36
0.1
2/36 2/36
3/36 3/36
3/36 3/36 2/36 2/36
1/36 1/36
1/36 1/36
0
2
3
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5
6
7
8
9
10
11
12
离散概率模型
更加特别的是，若你一次次玩这游戏，用 X n 表示第n次所赢得总数，每个 X n 有相同分 布， Xn 并且每个 独立。由一个定理称为“强大 数定理”：对于独立同分布随机序 X2 ， X 3 …，具有有限的 EX，我们有 列 X1， X +X +...X EX （2） n 当 n 时以概率1成立。换句话，即你长 时间玩该游戏，你可以每次赢7美元。
1 2 n
离散概率模型
独立性的正式定义为：令Y，Z表示两随机
变量， 和
Y {y1, y3 , y3...}
Z {z1 , z3 , z3...}
称Y，Z独立，如果
Pr{Y yi , Z zi } Pr{Y yi }Pr{Z zi } （3）
离散概率模型
例如，Y，Z表示第一个和第二个骰子出现 的点数，则
降低三分之一（1.5分/二极管）。
离散概率模型
这类问题中灵敏性的分析是关键。质量控制
步骤的实行依赖于若干模型之外的因素。
Baidu Nhomakorabea
也许操作的特殊性对于10个或20个一批或
者n是4或5的倍数时检验更容易。好在对问
题而言，n等于10和35之间检验的平均花费
没有明显变化。在操作过程中次品率
q=0.003同样必须考虑，
在应用中随机到达的特殊情形经常出现。假 设一个到达的现象（例如，顾客的到达， 电话的呼叫，放射性的衰变）以速率 随
（9） 机出现，同时令X表示两次连续到达现象之
间的随机时间。通常假设X有分布函数
F (t ) 1 e
t
连续概率模型简介
则的密度函数是
f (t ) e
t
（10）
1 1 1 Pr{Y 2, Z 1} Pr{Y 2}Pr{Z 1} ( )( ) 6 6 36
对每个可能的结果都一样。Y，Z独立，第 一个和第二个骰子出现的点数没关系。 再看例3.1，对于任何n>1，随机变量C取两 个可能数值的一个：若所有二极管都是好 的，则 C=4+n
离散概率模型
我们使用五步法。图3.1综述了第一步的
结果。变量是决策变量，同时随便选取,变
量C是所选择的质量控制步骤的随机的果。
是一个随机变量，然而量不是随机的，它
表示随机变量的平均或期望值。
离散概率模型
变量： n=每个检验组内二极管的数目 C=一组元件的检验费用 A=平均检验费用（分/二极管） 假设： 如果n=1,则A=5分 否则（n>1），我们有，全部二极管都是好的，则 C=(4+n) 如果有次品，则C=(4+n)+5n 目标：求n的数值，使A最小