2020年广东省深圳市高考数学一模试卷(理科)
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（参考数据： ；若 ，则 ， ， ．
已知函数 ＝ ．
（1）当 ＝ 时，求 的导函数 在 上的零点个数；
（2）若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
（二）选考题：共10分・请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]
如图，有一种赛车跑道类似“梨形”曲线，由圆弧 和线段 ， 四部分组成，在极坐标系 中， ， ， ， ，弧 所在圆的圆心分别是 ， ，曲线 是弧 ，曲线 是弧 ．
（1）分别写出 ， 的极坐标方程：
（2）点 ， 位于曲线 上，且 ，求 面积的取值范围．
[选修4--5：不等式选讲]（本小题满分0分)
已Biblioteka Baidu ＝ ．
A. B. C. D.
10.已知过抛物线 ＝ 焦点 的直线与抛物线交于 ， 两点， 为线段 的中点，连接 ，则 的最小面积为（）
A. B. C. D.
11.已知定义在 上的函数 在 上有且仅有 个零点，其图象关于点 和直线 对称，给出下列结论：
① ；
②函数 在 上有且仅有 个极值点；
③函数 在 上单调递增；
（1）若 ＝ ，求实数 的取值范围；
（2）求证： ．
参考答案与试题解析
2020年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
（2）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，且 ＝ ，求 的面积．
已知三棱柱 的所有棱长都相等，平面 平面 ， ＝ ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
已知椭圆 的短轴长为 ，离心率为 ，左顶点为 ，过点 的直线 与 交于另一个点 ，且与直线 ＝ 交于点 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩 服从正态分布 ，其中 可近似为样本中的 名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且 ＝ ．利用该正态分布，估计全市参加预赛的全体学生中预赛成绩不低于 分的人数；
（3）预赛成绩不低于 分的学生将参加复赛，复赛规则如下：①每人的复赛初始分均
④函数 的最小正周期是 ．
其中所有正确结论的编号是（）
A.②③B.①④C.②③④D.①②
12.将边长为 的菱形 沿对角线 折起，顶点 移动至 处，在以点 ， ， 为顶点的四面体 中，棱 、 的中点分别为 、 ，若 ＝ ，且四面体 的外接球球心落在四面体内部，则线段 长度的取值范围为（）
A. B. C. D.
已知等边三角形 的边长为 ，点 ， 分别在边 ， 上，且 ， ，则 的值为________．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
函数 ＝ ．
（1）求函数 的最小正周期；
为 分；②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量 ，每一题都需要“花”掉（即减去）一定分数来获取答题资格，规定答第 题时“花”掉的分数为 （ （＝ ））；
③每答对一题加 分，答错既不加分也不减分；④答完 题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩．已知学生甲答对每道题的概率均为 ，且每题答对与否都相互独立．若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量 应为多少？
A. B. C. D.
4.已知 是圆周率， 为自然对数的底数，则下列结论正确的是（）
A. B. C. D.
5. -将直线 ＝ 绕点 按逆时针方向旋转 得到直线 ，则直线 的方程为（）
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
6.已知数列 为等比数列，若 ＝ ， ＝ ，则 ＝（）
A. B. C. D.
7.如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A. B. C. D.
8.已知过原点 的直线 与曲线 ＝ 相切，则 的斜率为（）
A. B. C. D.
9.珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的《数术记遗》• 年联合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产．如图，我国传统算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”．未记数（或表示零）时，每档的各珠位置均与图中最左档一样；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“ ”，一个下珠表示“ ”，例如：当千位档一个上珠、百位档一个上珠、十位档一个下珠、个位档一个上珠分别靠梁时，所表示的数是 ．现选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，若规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，这个数能被 整除的概率为（）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
记 为等差数列 的前 项和，若 ＝ ，则数列 的公差为________．
某地为了解居民的每日总用电量 （万度）与气温 之间的关系，收集了四天的每日总用电量和气温的数据如表：
气温
每日总用电量 （（万度）
经分析，可用线性回归方程 拟合 与 的关系．据此预测气温为 时，该地当日总用电量 （万度）为________．
2020年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合 ，集合 ＝ ，则 ＝（）
A. B. C. D.
2.下列函数中为奇函数的是（）
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D.
3.已知复数 ＝ ，则 的共轭复数
（2）是否存在实数 ，使得 为定值？若存在，求实数 的值；若不存在，请说明理由．
某市为提升中学生的数学素养，激发学生学习数学的兴趣，举办了一次“数学文化知识大赛”，分预赛和复赛两个环节．已知共有 名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取 人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图．
（1）规定预赛成绩不低于 分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于 分的学生中随机地抽取 人，求恰有 人预赛成绩优良的概率；
已知函数 ＝ ．
（1）当 ＝ 时，求 的导函数 在 上的零点个数；
（2）若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
（二）选考题：共10分・请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]
如图，有一种赛车跑道类似“梨形”曲线，由圆弧 和线段 ， 四部分组成，在极坐标系 中， ， ， ， ，弧 所在圆的圆心分别是 ， ，曲线 是弧 ，曲线 是弧 ．
（1）分别写出 ， 的极坐标方程：
（2）点 ， 位于曲线 上，且 ，求 面积的取值范围．
[选修4--5：不等式选讲]（本小题满分0分)
已Biblioteka Baidu ＝ ．
A. B. C. D.
10.已知过抛物线 ＝ 焦点 的直线与抛物线交于 ， 两点， 为线段 的中点，连接 ，则 的最小面积为（）
A. B. C. D.
11.已知定义在 上的函数 在 上有且仅有 个零点，其图象关于点 和直线 对称，给出下列结论：
① ；
②函数 在 上有且仅有 个极值点；
③函数 在 上单调递增；
（1）若 ＝ ，求实数 的取值范围；
（2）求证： ．
参考答案与试题解析
2020年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
（2）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，且 ＝ ，求 的面积．
已知三棱柱 的所有棱长都相等，平面 平面 ， ＝ ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
已知椭圆 的短轴长为 ，离心率为 ，左顶点为 ，过点 的直线 与 交于另一个点 ，且与直线 ＝ 交于点 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩 服从正态分布 ，其中 可近似为样本中的 名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且 ＝ ．利用该正态分布，估计全市参加预赛的全体学生中预赛成绩不低于 分的人数；
（3）预赛成绩不低于 分的学生将参加复赛，复赛规则如下：①每人的复赛初始分均
④函数 的最小正周期是 ．
其中所有正确结论的编号是（）
A.②③B.①④C.②③④D.①②
12.将边长为 的菱形 沿对角线 折起，顶点 移动至 处，在以点 ， ， 为顶点的四面体 中，棱 、 的中点分别为 、 ，若 ＝ ，且四面体 的外接球球心落在四面体内部，则线段 长度的取值范围为（）
A. B. C. D.
已知等边三角形 的边长为 ，点 ， 分别在边 ， 上，且 ， ，则 的值为________．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
函数 ＝ ．
（1）求函数 的最小正周期；
为 分；②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量 ，每一题都需要“花”掉（即减去）一定分数来获取答题资格，规定答第 题时“花”掉的分数为 （ （＝ ））；
③每答对一题加 分，答错既不加分也不减分；④答完 题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩．已知学生甲答对每道题的概率均为 ，且每题答对与否都相互独立．若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量 应为多少？
A. B. C. D.
4.已知 是圆周率， 为自然对数的底数，则下列结论正确的是（）
A. B. C. D.
5. -将直线 ＝ 绕点 按逆时针方向旋转 得到直线 ，则直线 的方程为（）
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
6.已知数列 为等比数列，若 ＝ ， ＝ ，则 ＝（）
A. B. C. D.
7.如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A. B. C. D.
8.已知过原点 的直线 与曲线 ＝ 相切，则 的斜率为（）
A. B. C. D.
9.珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的《数术记遗》• 年联合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产．如图，我国传统算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”．未记数（或表示零）时，每档的各珠位置均与图中最左档一样；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“ ”，一个下珠表示“ ”，例如：当千位档一个上珠、百位档一个上珠、十位档一个下珠、个位档一个上珠分别靠梁时，所表示的数是 ．现选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，若规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，这个数能被 整除的概率为（）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
记 为等差数列 的前 项和，若 ＝ ，则数列 的公差为________．
某地为了解居民的每日总用电量 （万度）与气温 之间的关系，收集了四天的每日总用电量和气温的数据如表：
气温
每日总用电量 （（万度）
经分析，可用线性回归方程 拟合 与 的关系．据此预测气温为 时，该地当日总用电量 （万度）为________．
2020年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合 ，集合 ＝ ，则 ＝（）
A. B. C. D.
2.下列函数中为奇函数的是（）
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D.
3.已知复数 ＝ ，则 的共轭复数
（2）是否存在实数 ，使得 为定值？若存在，求实数 的值；若不存在，请说明理由．
某市为提升中学生的数学素养，激发学生学习数学的兴趣，举办了一次“数学文化知识大赛”，分预赛和复赛两个环节．已知共有 名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取 人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图．
（1）规定预赛成绩不低于 分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于 分的学生中随机地抽取 人，求恰有 人预赛成绩优良的概率；