基本初等函数测试题及标准答案

16．(2008 ·上海高考 )设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 若当 x∈ (0，＋∞ )时，f(x)＝ lgx， 则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是 ________．
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三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤 )
17． (本小题满分 10 分 )已知函数 f( x)＝ log2(ax＋ b)，若 f(2)＝ 1， f(3)＝ 2，求 f(5)．
答案： B
1 7.解析： x＝ loga 2＋ loga 3＝ log a 6＝ 2log a6，
1 z＝ log a 21－ log a 3＝ loga 7＝ 2loga7.
∵
0<a<1
，∴
1 2
log
a5>
1 2log
a6>
1 2
log
a7.
即 y>x>z.
3/6
答案： C 8.解析： 作出函数 y＝2x 与 y＝ x2 的图象知，它们有 3 个交点，所以 y＝ 2x－ x2的图象与 x 轴有 3 个交点，排除 B、 C，又当 x<－ 1 时， y<0，图象在 x 轴下方，排除 D.故选 A. 答案： A
基本初等函数测试题
一、选择题 (本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 )
1．有下列各式：
① n an＝ a； ②若 a∈ R ，则 (a2－ a＋ 1)0＝ 1；③ 3 x4
y3
4
x3
y ; ④ 6 － 2 2＝ 3 － 2.
其中正确的个数是 ( )
1 25<2
0.1<2
－
1
B
．
log
1 25
<2
－
1
<2
0.1
C
．
20.1<2
－1
<log
1 25
D
．
20.1<log
1 25<2
－1
5．已知集合 A＝ { y|y＝ 2x， x<0} ， B＝ { y|y＝log 2x} ，则 A∩ B＝ (
)
A． { y|y>0} B． { y|y>1} C． { y|0<y<1} D．
而 f(x)＝
2
1 x－
1＋
1 2
2x＋ 1
x＝ 2
2x － 1
·x，
∴ f(－ x)＝ f(x)．
∴ f(x)为偶函数．
x
(3)证明：当 x>0 时， 2 >1，
∴
2
1 x－
1
＋
1 2
·x>0.
又 f(x)为偶函数，
∴当 x<0 时， f(x)>0.
故当 x∈ R 且 x≠ 0 时， f (x)>0.
A． 0
B． 1
C．2
|x|
2．函数 y＝ a (a>1) 的图象是 ( )
D ．3
3．下列函数在 (0，＋∞ )上是增函数的是 ( )
－x
1
A． y＝ 3 B ． y＝－ 2x C． y＝ log0.1x D． y＝ x2
4．三个数 log 215， 20.1,2－ 1 的大小关系是 (
)
A
．
log
22． (本小题满分
12 分 )已知
f(x)＝
2
1 x－
1
＋
1 2
·x.
(1)求函数的定义域； (2)判断函数 f(x)的奇偶性；
(3)求证： f(x)>0.
答案速查： 1-5 BCDBC
参考答案
6-10 BCACC 11-12 CC
1.解析： 仅有②正确． 答案： B
2.解析： y＝ a|x|＝
ax， x≥0 ， a－x， x<0 ，
∴ a≥ b＋ 1 为所求 22.解： (1) 由 2x－ 1≠ 0 得 x≠0，∴函数的定义域为 { x|x≠0， x∈ R} ．
(2)在定义域内任取 x，则－ x 一定在定义域内．
f(－ x)＝
2
1 －x－
1＋
1 2
(－ x)
＝
1
2x －2
x＋
1 2
x
1＋ 2
2x＋ 1
( －x) ＝－ 2 1－ 2x ·x＝ 2 2x－ 1 ·x.
6/6
21.解： (1) 由 ax－ bx>0，得
a b
x >1.
∵
a>1> b >0 ，∴
a b>1，
∴ x>0.
即 f(x)的定义域为 (0，＋ ∞ )．
(2)∵ f( x)在 (1，＋ ∞ )上递增且恒为正值， ∴ f(x)>f(1) ，只要 f (1)≥ 0，
5/6
即 lg(a－ b)≥ 0，∴ a－ b≥1.
2－x－ 1 1－ 2x
2x－ 1
f(－
x)＝
2 － x＋
1＝1＋
x ＝－ 2
x
2
＋
1＝－
f(x)，
所以函数为奇函数．
(2)证明：不妨设－ ∞<x1<x2<＋∞ ，
∴ 2x2>2x1.
又因为
f
(
x2)－
f
(
x1)＝
2x2－ 2x2＋
1 1
－
2x1－ 2x1＋
1 1
＝
2 2x2－ 2x1 2x1＋ 1 2x2＋1 >0，
20． (本小题满分 12 分 )已知函数 f x
2
(m
m
m2
1)x
m
3 是幂函数
,
且 x∈ (0，＋∞ )
时， f(x)是增函数，求 f (x)的解析式． 21． (本小题满分 12 分 )已知函数 f( x)＝ lg(ax－bx)， (a>1>b>0) ．
(1)求 f(x)的定义域；
(2)若 f(x)在 (1，＋∞ )上递增且恒取正值，求 a，b 满足的关系式．
则下列不等式中可能成立的是 ( )
A． f1(x1＋ x2)＝ f1 (x1)＋ f1(x2)
B． f2(x1＋ x2)＝f 2(x1)＋ f2(x2)
C． f 3(x1＋ x2) ＝f3(x1)＋ f3(x2 )
D． f4(x1＋ x2)＝f 4(x1)＋ f4(x2)
1
10．设函数 f1 (x)
log 2 3a＋ b ＝ 2 3a＋ b＝4 b＝－ 2.
－ 2)，
4/6
∴ f(5)＝ log28＝3. 18.
∵ x2>x1≥ 0，∴ x2－ x1>0， x2＋ x1>0， ∴ f(x1) － f(x2)>0 ，∴ f(x2)<f( x1)． 于是 f(x)在定义域内是减函数．
19.解： (1) 函数定义域为 R.
且 a>1 ，应选
C.答案： C
3.答案： D
4.答案：Fra Baidu bibliotekB
5.解析：A＝ { y|y＝ 2x，x<0} ＝ { y|0<y<1} ，B＝ { y|y＝ log 2x} ＝ { y|y∈ R} ，∴ A∩ B＝{ y|0<y<1} ．
答案： C 6.解析： P＝{ x|log2x<1} ＝ { x|0<x<2} ， Q＝{ x|1<x<3} ，∴ P－ Q＝ { x|0<x≤1} ，故选 B.
6．设 P 和 Q 是两个集合，定义集合 P－Q＝ { x|x∈ P 且 x ?Q} ，如果 P＝{ x|log2x＜ 1} ，Q ＝ { x|1<x<3} ，那么 P－Q 等于 ( )
A． { x|0＜ x＜ 1} B ． { x|0＜ x≤ 1} C． { x|1≤ x＜2} D ． { x|2≤ x＜ 3}
9.解析： 结合图象知， A 、 B、 D 不成立， C 成立． 答案： C 10.解析： 依题意可得 f3(2010) ＝ 20102， f2(f 3(2010)) ＝ f2(2010 2) ＝(2010 2)－1＝ 2010－ 2，
∴
f1(
f
2(
f
3(2010)))
＝
f
1(2010
－
2
)＝
(2010
2ex－ 1， x<2，
12． (2010 石·家庄期末测试 )设 f(x)＝ log3 x2－ 1 ， x≥ 2. 则 f[ f(2)] 的值为 (
)
A． 0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上 )
13． 给出下列四个命题：
y＝
1， x
y
＝
x－2，它们的图象都不过原点．
(3)
中函数 y＝ lnex＝x，显然是奇函数．对于 (4) ， y＝x1是奇函数，而奇函数的图象关于原点对 3
称，所以 (4)正确．
答案： (3)(4)
14.
答案： (4,5]
15.解析： 由图象过点 (－ 2,0)， (0,2)知， log a(－ 2＋ b)＝ 0， log ab＝ 2，∴－ 2＋ b＝1，∴ b ＝ 3， a2＝ 3，由 a>0 知 a＝ 3.∴ a＝ 3， b＝ 3.
1
7．已知 0<a<1， x＝ loga 2＋ log a 3， y＝2loga5，z＝loga 21－ loga 3，则 (
)
A． x>y>z B． x>y>x C． y>x>z D ． z>x>y 8．函数 y＝ 2x－ x2 的图象大致是 ( )
9．已知四个函数① y＝ f1(x)；② y＝ f2(x)；③ y＝f3(x)；④ y＝ f4( x)的图象如下图： 1/6
∴ f(x2)> f(x1)．
所以 f(x)在 (－ ∞ ，＋ ∞ )上是增函数．
20.解： ∵ f(x)是幂函数， ∴ m2－ m－ 1＝ 1，
∴ m＝－ 1 或 m＝ 2， ∴ f(x)＝ x－ 3 或 f(x)＝ x3， 而易知 f(x)＝ x－3 在 (0，＋ ∞ )上为减函数，
f(x)＝x3 在 (0，＋ ∞ )上为增函数． ∴ f(x)＝ x3.
1
18． (本小题满分 12 分 )已知函数 f (x ) 2 x2 .
(1)求 f(x) 的定义域； (2) 证明 f (x)在定义域内是减函数． 2x－ 1
19． (本小题满分 12 分 )已知函数 f( x)＝2x＋ 1.
(1)判断函数的奇偶性； (2) 证明： f( x)在(－∞，＋∞ )上是增函数．
x
2
，
f
2
(x)＝
－
x
1，
f
3(x
)＝
x
2，则
f1( f2(f3(2010))) 等于 (
)
A． 2010
B ． 20102
1 C.2010
1 D. 2012
11．函数 f (x)＝ 3x2 ＋ lg(3 x＋ 1)的定义域是 (
)
1－x
A.
－∞，－
1 3
B.
－
13，
1 3
C.
－ 1， 1 3
D. － 1，＋∞ 3
－
2
)
12＝
2010
－1＝
1 2010
.
答案： C
1－x>0 11.解析： 由
3x＋1>0
?
x<1 1
x>－ 3
?
－
1 3<x<1.
答案：
C
12.解析： f(2) ＝ log 3(22－ 1)＝ log33＝ 1，∴ f[ f(2)] ＝ f(1) ＝ 2e0＝ 2. 答案： C
13.解析： (1) 、 (2)不正确，可举出反例，如
答案： 3 3
16.解析： 根据题意画出 f(x)的草图，由图象可知， f(x)>0 的 x 的取值范围是－ 1<x<0 或 x>1.
答案： (－ 1,0)∪ (1，＋∞ )
log 2 2a＋ b ＝1 2a＋ b＝2 a＝ 2，
17.解：由 f (2)＝ 1，f(3)＝ 2，得
?
?
∴ f(x)＝ log 2(2x
(1)奇函数的图象一定经过原点； (2)偶函数的图象一定经过原点；
1
(3)函数 y＝ lnex 是奇函数； (4)函数 y x 3 的图象关于原点成中心对称 .
其中正确命题序号为 ________． (将你认为正确的都填上 )
14. 函数 y log 1 ( x 4) 的定义域是
.
2
15．已知函数 y＝ log a(x＋b)的图象如下图所示，则 a＝ ________， b＝ ________.