2020年安徽省马鞍山市高考数学一模试卷(理科)
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已知双曲线 的焦距为 ， 为右焦点， 为坐标原点， 是双曲线上一点， ＝ ， 的面积为 ，则该双曲线的离心率为________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
（1）求 的值，并估计这 名使用者中“须改进型”使用者的个数；
（2）为了改进服务，公司对“不满意型”使用者进行了回访，根据回访意见改进后，再从“不满意型”使用者中随机抽取 人进行第二次调查，记这 人中的女性使用者人数为 ，求 的分布列和数学期望．
如图，四边形 为矩形， ＝ ， ，以 为折痕将 折起，使点 到达点 的位置，且 在平面 内的射影 在边 上．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
曲线 ＝ 在点 处的切线方程为________．Βιβλιοθήκη Baidu
已知实数 ， 满足约束条件 ，则目标函数 ＝ 的最大值为________．
定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差构成一个等比数列，则称该数列为“等差比”数列．已知“等差比”数列 的前三项分别为 ＝ ， ＝ ， ＝ ，则数列 的前 项和 ＝________．
已知 为锐角三角形，且 ＝ ．
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 的最大值．
某公司新研发了一款手机应用 ，投入市场三个月后，公司对部分用户做了调研：抽取了 位使用者，每人填写一份综合评分表（满分为 ．现从 份评分表中，随机抽取 份（其中男、女使用者的评分表各 份）作为样本，经统计得到如下的茎叶图：
记该样本的中位数为 ，按评分情况将使用者对该 的态度分为三种类型：评分不小于 的称为“满意型”，评分不大于 的称为“不满意型”，其余的都称为“须改进型”．
（1）求证： ；
（2）求二面角 的余弦值．
已知椭圆 过点 ，且 到两焦点的距离之和为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知不经过原点 的直线 交椭圆 于 、 两点，线段 的中点在直线 上，求 的取值范围．
已知函数 ＝ ．
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）若 有两个不同零点 ， ，证明： 且 ．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
年就业人员数量比 年就业人员数量增长低于 万人，故 错
4.
【答案】
C
【考点】
等差数列的前n项和
【解析】
由等差数列的性质可求 ，然后代入到求和公式 可求．
【解答】
由等差数列的性质可知， ＝ ＝ ，
故 ＝ ，
则 的前 项的和 ＝ ．
5.
【答案】
A
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平面向量数量积的性质及其运算
A. 年就业人员数量是最多的
B. 年至 年就业人员数量呈递减状态
C. 年至 年就业人员数量与前两年比较，增加速度减缓
D. 年就业人员数量比 年就业人员数量增长超过 万人
4.数列 为等差数列，且 ＝ ，则 的前 项的和为（）
A. B. C. D.
5.已知向量 ， ，且 ，则
A. B. C. D.
6.已知奇函数 ，则 的值为（）
平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），在以坐标原点 为极点， 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，点 在射线 上，且点 到极点 的距离为 ．
（1）求曲线 的普通方程与点 的直角坐标；
（2）求 的面积．
[选修4-5：不等式选讲]
设函数 ＝ ．
（1）若函数 有零点，求实数 的取值范围；
（2）记（1）中实数 的最大值为 ，若 ， 均为正实数，且满足 ＝ ，求 的最小值．
2020年安徽省马鞍山市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设全集 ＝ ， ＝ ，则 ＝（）
A. B. C. D.
2.复数 的虚部为（）
A. B. C. D.
3.如图是国家统计局给出的 年至 年我国城乡就业人员数量的统计图表，结合这张图表，以下说法错误的是（）
【解析】
根据题意，由数量积的性质可得若 ，则有 ＝ ，解可得 的值，即可得向量 的坐标，进而由向量模的计算公式计算可得答案．
【解答】
根据题意，向量 ， ，
若 ，则有 ＝ ，解可得 ＝ ，
则 ，
则 ＝ ，则 ；
6.
【答案】
D
【考点】
求函数的值
函数的求值
【解析】
先根据奇函数的性质求出 ，再结合奇函数的性质即可求出结论．
参考答案与试题解析
2020年安徽省马鞍山市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
【答案】
A
【考点】
补集及其运算
【解析】
先利用对数的性质求出集合 ，再利用补集的定义即可求出 ．
【解答】
∵ ＝ ＝ ，全集 ＝ ＝ ，
A. B. C. D.
9.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）
A. B. C. D.
10.函数 的图象大致为（）
A. B.
C. D.
11.已知边长为 的正 所在平面外有一点 ， ＝ ，当三棱锥 的体积最大时，三棱锥 外接球的表面积为（）
A. B. C. D.
12.已知函数 ＝ 的图象经过点 和 ，且 在 内不单调，则 的最小值为（）
A. B. C. D.
7.已知点 是抛物线 ＝ 的焦点，过点 的直线交抛物线 于点 ，交 轴于点 ，若 ，则点 的坐标为（）
A. B. C. D.
8.西湖小学为了丰富学生的课余生活开设课后少年宫活动，其中面向二年级的学生共开设了三门课外活动课：七巧板、健美操、剪纸． 班有包括奔奔、果果在内的 位同学报名参加了少年宫活动，每位同学只能挑选一门课外活动课，已知每门课都有人选，则奔奔和果果选择了同一个课外活动课的选课方法种数为（）
∴ ＝ ，
2.
【答案】
B
【考点】
复数的运算
【解析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】
．
∴复数 的虚部为 ．
3.
【答案】
D
【考点】
进行简单的合情推理
【解析】
根据统计图表逐一进行分析即可
【解答】
根据该统计图表可得 年就业人数最多，故 正确；
年就业人员高度必 年的高，故 正确；
， 就业人员增加量大致 ，而 增加量 不到，故 正确；
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
（1）求 的值，并估计这 名使用者中“须改进型”使用者的个数；
（2）为了改进服务，公司对“不满意型”使用者进行了回访，根据回访意见改进后，再从“不满意型”使用者中随机抽取 人进行第二次调查，记这 人中的女性使用者人数为 ，求 的分布列和数学期望．
如图，四边形 为矩形， ＝ ， ，以 为折痕将 折起，使点 到达点 的位置，且 在平面 内的射影 在边 上．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
曲线 ＝ 在点 处的切线方程为________．Βιβλιοθήκη Baidu
已知实数 ， 满足约束条件 ，则目标函数 ＝ 的最大值为________．
定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差构成一个等比数列，则称该数列为“等差比”数列．已知“等差比”数列 的前三项分别为 ＝ ， ＝ ， ＝ ，则数列 的前 项和 ＝________．
已知 为锐角三角形，且 ＝ ．
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 的最大值．
某公司新研发了一款手机应用 ，投入市场三个月后，公司对部分用户做了调研：抽取了 位使用者，每人填写一份综合评分表（满分为 ．现从 份评分表中，随机抽取 份（其中男、女使用者的评分表各 份）作为样本，经统计得到如下的茎叶图：
记该样本的中位数为 ，按评分情况将使用者对该 的态度分为三种类型：评分不小于 的称为“满意型”，评分不大于 的称为“不满意型”，其余的都称为“须改进型”．
（1）求证： ；
（2）求二面角 的余弦值．
已知椭圆 过点 ，且 到两焦点的距离之和为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知不经过原点 的直线 交椭圆 于 、 两点，线段 的中点在直线 上，求 的取值范围．
已知函数 ＝ ．
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）若 有两个不同零点 ， ，证明： 且 ．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
年就业人员数量比 年就业人员数量增长低于 万人，故 错
4.
【答案】
C
【考点】
等差数列的前n项和
【解析】
由等差数列的性质可求 ，然后代入到求和公式 可求．
【解答】
由等差数列的性质可知， ＝ ＝ ，
故 ＝ ，
则 的前 项的和 ＝ ．
5.
【答案】
A
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平面向量数量积的性质及其运算
A. 年就业人员数量是最多的
B. 年至 年就业人员数量呈递减状态
C. 年至 年就业人员数量与前两年比较，增加速度减缓
D. 年就业人员数量比 年就业人员数量增长超过 万人
4.数列 为等差数列，且 ＝ ，则 的前 项的和为（）
A. B. C. D.
5.已知向量 ， ，且 ，则
A. B. C. D.
6.已知奇函数 ，则 的值为（）
平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），在以坐标原点 为极点， 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，点 在射线 上，且点 到极点 的距离为 ．
（1）求曲线 的普通方程与点 的直角坐标；
（2）求 的面积．
[选修4-5：不等式选讲]
设函数 ＝ ．
（1）若函数 有零点，求实数 的取值范围；
（2）记（1）中实数 的最大值为 ，若 ， 均为正实数，且满足 ＝ ，求 的最小值．
2020年安徽省马鞍山市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设全集 ＝ ， ＝ ，则 ＝（）
A. B. C. D.
2.复数 的虚部为（）
A. B. C. D.
3.如图是国家统计局给出的 年至 年我国城乡就业人员数量的统计图表，结合这张图表，以下说法错误的是（）
【解析】
根据题意，由数量积的性质可得若 ，则有 ＝ ，解可得 的值，即可得向量 的坐标，进而由向量模的计算公式计算可得答案．
【解答】
根据题意，向量 ， ，
若 ，则有 ＝ ，解可得 ＝ ，
则 ，
则 ＝ ，则 ；
6.
【答案】
D
【考点】
求函数的值
函数的求值
【解析】
先根据奇函数的性质求出 ，再结合奇函数的性质即可求出结论．
参考答案与试题解析
2020年安徽省马鞍山市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
【答案】
A
【考点】
补集及其运算
【解析】
先利用对数的性质求出集合 ，再利用补集的定义即可求出 ．
【解答】
∵ ＝ ＝ ，全集 ＝ ＝ ，
A. B. C. D.
9.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）
A. B. C. D.
10.函数 的图象大致为（）
A. B.
C. D.
11.已知边长为 的正 所在平面外有一点 ， ＝ ，当三棱锥 的体积最大时，三棱锥 外接球的表面积为（）
A. B. C. D.
12.已知函数 ＝ 的图象经过点 和 ，且 在 内不单调，则 的最小值为（）
A. B. C. D.
7.已知点 是抛物线 ＝ 的焦点，过点 的直线交抛物线 于点 ，交 轴于点 ，若 ，则点 的坐标为（）
A. B. C. D.
8.西湖小学为了丰富学生的课余生活开设课后少年宫活动，其中面向二年级的学生共开设了三门课外活动课：七巧板、健美操、剪纸． 班有包括奔奔、果果在内的 位同学报名参加了少年宫活动，每位同学只能挑选一门课外活动课，已知每门课都有人选，则奔奔和果果选择了同一个课外活动课的选课方法种数为（）
∴ ＝ ，
2.
【答案】
B
【考点】
复数的运算
【解析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】
．
∴复数 的虚部为 ．
3.
【答案】
D
【考点】
进行简单的合情推理
【解析】
根据统计图表逐一进行分析即可
【解答】
根据该统计图表可得 年就业人数最多，故 正确；
年就业人员高度必 年的高，故 正确；
， 就业人员增加量大致 ，而 增加量 不到，故 正确；