第九届华罗庚金杯赛复赛试题及解析

第九届华杯赛决赛试题及解答
2004年4月10日 10：00—11：00 一、填空（每题10分，如果一道题中有两个填空，则每个5分） 第九届华杯赛决赛试题及解答，10分1.计算：2004.05×1997.052001.05×1999.05=( ) 答案：1989.5
第九届华杯赛决赛试题及解答，10分2.图１是一些填有数字的方形格 子，一个微型机器人从图中阴影格子开始爬行，每爬进邻近一个格子 后，它就将该格子也涂上阴影，然后再爬进与该格子有公共边的格子 中，继续将该格子涂上阴影，…。依次将微型机器人所涂过的阴影格子 中的数除以３得到的余数排成一列，结果是 ０１２０１２０１２０１２０１２…… 阴影格子所组成的数字是 （ ）。
≥
．
取x=2，y=1，z=6满足(*)式，并且，x+y+z=9．小丽最少可以买9支圆珠 笔．
第九届华杯赛决赛试题及解答，10分10.在3×3的方格纸上（如图4）， 用铅笔涂其中的5个方格，要求每横行和每竖行列被涂方格的个数都是 奇数，如果两种涂法经过旋转后相同，则认为它们是相同类型的涂法， 否则是不同类型的涂法。例如图5和图6是相同类型的涂法。回答最多有 多少种不同类型的涂法？说明理由。
第九届华杯赛决赛试题及解答，10分11.三个连续正整数，中间一个是 完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”。问所有的小 于2008的“美妙数”的最大公约数是多少？ 11．解答：60 说明： ①任何三个连续正整数，必有一个能为3整除．所以，任何“美妙 数”必有因子3． ②若三个连续正整数中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为4 整除；若中间的数是奇数，则第一和第三个数是偶数，所以任何“美妙 数”必有因子4． ③完全平方数的个位只能是1、4、5、6、9和0，若其个位是5和0，则中
是母牛，21、121、221、321和421中仅有221能为13整除，所以，王家 养牛数是221头，李家养牛数是300头． 代数解法： ①李家的牛群中有67%是母牛，67是质数，可以设李家养牛头数为 100x，王家的牛群中仅有
是母牛，13是质数，可以设王家养牛数是13y，列出方程 100x+13y=521．…………………………………（*） ②x和y是整数，分别取x=1，2，3，4，5．可以得到x=3，y=13．或者解 同余方程（*）． （*）式两边除13， -4x=1，Mod（13）．…………………………（**） x=3是（**）式的解，得到y=13．
12.用455个棱长为1的小正方体粘成一个大的长方体，若拆下沿梭的小 正方体，则尚余下371个小正方体，问所粘成的大长方体的棱长各是多 少？拆下沿棱的小正方体后的多面体（图7是示意图）的表面积是多 少？
12．解答：多面体的表面积是358． ①设长方体长宽高分别为x、y、z无仿设x≥z≥y，它们只能取正整数． 长方体的体积是455，则有x×y×z=455，分解455=5×7×13， 即：x×y×z=5×7×13(1) ②沿棱拆下的小正方体有455-371=84个，若认为从“长”边拆下的小正 方体为(x-1)个，则从每个“宽”边拆下的小正方体为(y-1)个，而从每 个“高”边拆下的小正方体为(z-2)个，应当有下面关系式： 4×(x-1+y-1+z-2)=84，x+y+z=25．(2) 分析(1)和(2)，既然x，y，z只取正整数，验证x=13，z=7，y=5 是唯 一解． ③计算表面积： 方法一：如右图B，拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积由两部分 组成：
①买圆珠笔总费用是奇数，所以，买3元1支的圆珠笔的数量必须是奇 数． ②高价格的笔买的越少，买圆珠笔的总数量就越多，若3元和4元的圆珠 笔只各买1支，则小丽能买(31-4-3)÷2=12支单价2元的圆珠笔，最多能 买12+2=14(支) ③类似，低价格笔买的越少，买圆珠笔总的数量就越少，如果小丽2元 和3元的圆珠笔计划各买1支，余下的钱有26元，能买6支单价4元的笔， 尚余2元，可以再买1支2元的圆珠笔．所以，小丽最少能买9支圆珠笔． 方法二： ①设2元、3元、4元的圆珠笔各买x、y、z支，则：2x+3y+4z=31， ……………………(*) ②分析等式（*）的奇偶性，y必须是奇数．因为x，y，z≥1， 3y=312x-4z≤25，y≤7．列下表：
10．解答：不同类型的涂法有3种，如下图A． 说明： ①所涂5个阴影方格分布在3行中，只有一行涂有3个阴影方格．同样， 仅有一列涂有3个阴影方格． ②所以，仅有一个方格，它所在的行和列均有3个阴影方格，有这种性 质的方格称为“特征阴影方格”．“特征阴影方格”在3×3正方格纸中 的位置，就唯一地决定了3×3的方格纸的涂法．“特征阴影方格”在方 格纸的角上（图A左边）、外边中间的方格（图A中间）和中心的方格 （图A右边）三个位置确定了只有3种类型的涂法．
=3.14） 答案：18.84 第九届华杯赛决赛试题及解答，10分5.甲、乙、丙三只蚂蚁从A、B、C 三个不同的洞穴同时出发，分别向洞穴B、C、A爬行，同时到达后，继 续向洞穴C、A、B爬行，然后返回自己出发的洞穴。如果甲、乙、丙三 只蚂蚁爬行的路径相同，爬行的总距离都是7.3米，所用时间分别是6分 钟、7分钟和8分钟，蚂蚁乙从洞穴B到达洞穴C时爬行了（ ）米，蚂 蚁丙从洞穴C到达洞穴A时爬行了（ ）米。 答案：2.4；2.1 第九届华杯赛决赛试题及解答，10分6.如图3，甲、乙二人分别在A、B 两地同时相向而行，于E处相遇后，甲继续向B地行走，乙则休息了14 分钟，再继续向A地行走。甲和乙到达B和A后立即折返，仍在E处相 遇，已知甲分钟行走60米，乙每分钟行走80米，则A和B两地相（ ） 米。
图3 答案：1680 二、解答下列各题，要求写出简要过程（每题10分） 第九届华杯赛决赛试题及解答，10分7.李家和王家共养了521头牛，李 家的牛群中有67%是母牛，而王家的牛群中仅有
是母牛，李家和王家各养了多少头牛？ 7．解答：李家和王家各养了300头和221头牛． 算术解法： ①李家养牛数的67%是母牛，母牛数应当是整数，67是质数，所以，李 家养牛数应当是100的倍数，可能是500、400、300、200或100头，王家 养牛数则可能是21、121、221、321和421头． ②王家的牛群中有
第一部分是突出在外面的6个平面，总面积是： 2×(11×5+11×3+5×3)=206． 第二部分是24个宽都是1的长条，总面积是：8×(11+3+5)=152． 方法二：拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积和原长方体表面积去 掉8个顶点处的小正方体的三个侧面的面积相同(想像一下为什么)．所
以，2×(13×7+13×5+7×5)-3×8=358．
答案：9 第九届华杯赛决赛试题及解答，10分3.等式：
＝39×
恰好出现1、2、3、4、…、9九个数字，“潮州市”代表的三位数是 （ ）。
答案：728 第九届华杯赛决赛试题及解答，10分4.一个半径为1厘米的圆盘沿着一 个半径为4厘米的圆盘外侧做无滑动的滚动，当小圆盘的中心围绕大圆 盘中心转动90度后（如图2），小圆盘运动过程中扫出的面积是（ ） 平方厘米。（
间的数必能被5整除，若其个位是1和6，则第一个数必能被5整除，若其 个位是4和9，则第三个数必能被5整除．所以，任何“美妙数”必有因 子5． ④上述说明“美妙数”都有因子3、4、和5，也就有因子60，即所有的 美妙数的最大公约数至少是60．60=3×4×5是一个“美妙数”，美妙数 的最大公约至多是60．所有的美妙数的最大公约数既不能大于60，又至 少是60，只能是60．
第九届华杯赛决赛试题及解答，10分8.一个最简真分数
，化成小数后，如果从小数点后第一位起连续若干位的数字之和等于 2004，求M的值。 8．解答：M是3．
， ①把最简分数写成循环小数：
，Biblioteka Baidu
， ②上面6个最简真分数的循环小数节的数字和都是27，2004被27除的余 数是6，仅3/7符合要求．
第九届华杯赛决赛试题及解答，10分9.小丽计划用31元买每支2元、3 元、4元三种不同价格的圆珠笔，每种至少买1支。问她最多能买多少 支？最少能买多少支？ 9．解答：小丽最多能买14支圆珠笔，小丽最少能买9支圆珠笔． 方法一：
y=1 x 12 10 8 6 4 2 z 1 2 3 4 5 6
y=3 x 1 3 5 7 9 z 5 4 3 2 1
y=5 x 2 4 6 z 3 2 1
y=7 x 1 3 z 2 1
从上表，小丽最多能买14支圆珠笔，小丽最少能买9支圆珠笔． 方法三： ①因为x，y，z≥1，所以从(*)式，2x+2y+2z=31-y-2z≤31-3=28，得到 x+y+z≤14． ②取x=12，y=1，z=1满足(*)式，且x+y+z=14．小丽最多能买14支圆珠 笔． ③类似，4x+4y+4z=31+2x+y≥31+3=34，