坐标系平移变换的应用

内的轨迹.
2 已知| z - 1| = 2 且 z 为纯虚数 ,求 z .
3 已知虚数
z 满足|
z|
=
a ,求证
w
=
z z
+
a a
为纯虚数.
答案 1 z 的轨迹是实轴及单位圆 , 除
去两点 ( 0 , ±1) . 2 z = ± 3 i . 3 提
示 :证明 w + w = 0 即可.
分析 :题目要求的是点 A 在新坐标系下的坐
标 , ( - 1 , - 3) 是点 A 在原坐标系下的坐标. 新系原
点在原系下的坐标为 (2 , - 1) , 直接由移轴公式解 ,
故选 (B) .
练习 1 设点 A ( xA , yA ) , B ( xB , yB ) ,如果平移
坐标轴 ,使 A 点的新坐标是 ( 2 xA , 2 yA ) , 则 B 点的
令 2 ( k - 2) = 0 , 4 h + k2 - 4 k - 4 = 0 , 解得 h = 2 ,
k = 2. 故 O′的坐标为 (2 ,2) .
解法 2 (配方法) 将方程配方得
( y - 2) 2 + 4 ( x - 2) = 0.
令 x′= x - 2 , y′= y - 2 , 代 入 上 述 方 程 , 得
- 4) ,故得到移轴公式代入 l 在原系下的方程. 故选
(A) .
练习 2 若平移坐标轴 , 把坐标系 xOy 的原点
O 移到点 O′, O′在原坐标系中的坐标为 (2 , - 1) , 则
原坐标系中的曲线 y = x3 在新坐标系 x′O′y′中的
方程是
( )
(A) y′+ 1 = ( x′- 2) 3 . (B) y′+ 1 = ( x′+ 2) 3 .
利用移轴公式解题的关键是要分清已知和所求 的坐标或方程是在原坐标系下还是在新坐标系下.
例 1 平移坐标轴 ,把原点 O (0 , 0) 移到 O′(2 , - 1) ,则点 A ( - 1 , - 3) 在新坐标系中的坐标是
( ) (A) (3 ,2) . (B) ( - 3 , - 2) . (C) ( - 3 ,2) . (D) (3 , - 2) .
- 4 = 0 化为标准方程 ,则坐标原点应移到 O′ .
解法 1 (待定系数法) 把 x = x′+ h , y = y′+
k 代入方程 ,得
( y′+ k) 2 + 4 ( x′+ h) - 4 ( y′+ k) - 4 = 0 ,
就是 y′2 + 4 x′+ 2 ( k - 2) y′+ 4 h + k2 - 4 k - 4 = 0.
新坐标为
( )
(A) (2 xB ,2 yB ) . (B) ( xA + xB , yA + yB ) . (C) ( xA + 2 xB , yA + 2 yB ) . (D) (2 xA + xB , 2 yA + yB ) . 例 2 在平面直角坐标系 x Oy 中 ,设曲线 4 x2
(C) ( - 1 ,1) .
(D) (1 , - 1) .
3 研究圆锥曲线的性质
应用移轴公式解决非标准形式下的圆锥曲线的
性质 ,关键是要把握住平移不改变图形的性质 ,只改
变曲线的方程和点的坐标 , 即把握住变换中的不变
量和变量 ,然后结合曲线的图形得解.
例 4 椭圆25 x2 - 150 x + 9 y2 + 18 y + 9 = 0 的
新坐标系 x′O′y′中的方程是
( )
(A) 2 x′- y′+ 10 = 0. (B) 2 x′- y′- 10 = 0.
(C) 2 x′+ y′+ 2 = 0. (D) 2 x′+ y′- 2 = 0.
分析 :题中所求的是 l 在新系下的方程 , l 在原
系下的方程可求. 新系原点在原系下的坐标为 ( 3 ,
(C) y′- 1 = ( x′- 2) 3 . (D) y′- 1 = ( x′+ 2) 3 .
2 化圆锥曲线的方程为标准形式
利用移轴公式化圆锥曲线的方程为标准形式通
常有两种方法 :一是待定系数法 , 二是配方法. 配方
法较为简捷.
例 3 若平移坐标系 ,将曲线方程 y2 + 4 x - 4 y
收稿日期 :2000 - 11 - 03 作者简介 :李立春 (1968 —) ,男 ,河北丰南市人 ,河北丰南二中二级教师 ,学士.
2001 年第 6 期 数 学 通 讯
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- y2 = 4 的一条倾斜角为锐角的渐近线为 l ,现在平
移坐标轴 ,把原点 O 移到 O′(3 , - 4) ,则渐近线 l 在
=
1,
图 1 例 4 图
故有 a = 5 , b = 3 , c = 4 ,中心坐标为 (3 , - 1) ,焦
点在直线 x = 3 上. 结合图形得焦点坐标 ,故选 (B) .
练习 4 若抛物线 y2 = a ( x + 1) 的准线与椭圆
3( x +
7 2
)2
+ 4( y
-
5 2
)2
= 12 的右准线重合 , 则
即 ( z -
1 2
)
(
z
-
1 2
)
ห้องสมุดไป่ตู้
=
1 4
,
∴| z -
1 2
|
=
1 2
,
z
≠0 ,
z
≠1 .
∴ z 在复平面内对应点的轨迹是以
(
1 2
, 0) 为圆心 ,
1 2
为半径的圆
(除去点 (0 ,
0) , (1 ,0) ) .
例 4 设 z ∈C , 且| z | = 1 , 但 z ≠±1 ,
证明
y′2 + 4 x′= 0. 由移轴公式得 h = 2 , k = 2. 故得 O′
的坐标为 (2 ,2) .
练习 3 若曲线 x2 - y2 - 2 x - 2 y - 1 = 0 经过
平移坐标轴后的新方程为 x′2 - y′2 = 1 , 那么新坐标
系原点在原坐标系中的坐标为
( )
(A) (1 ,1) . (B) ( - 1 , - 1) .
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数 学 通 讯 2001 年第 6 期
坐标系平移变换的应用
李立春
(丰南二中 ,河北 063306)
中图分类号 :O123. 3 文献标识码 :A 文章编号 :0488 - 7395 (2001) 06 - 0008 - 02
坐标系平移变换在课本中所占篇幅虽然不多 ,但 其应用却相当广泛. 由于坐标系平移变换使“静”化为 “动”,因而用其解题有时容易出错 ,下面从四个方面来 说明坐标系平移变换的应用和如何利用其正确解题. 1 直接利用移轴公式求坐标或方程
两个焦点坐标是
( )
(A) ( - 3, 5) , ( - 3,
- 3) .
(B) (3 ,3) , (3 , - 5) .
(C) (1 ,1) , ( - 7 ,1) .
(D) ( 7 , - 1 ) , ( - 1 ,
- 1) .
解 原方程化为
(
y + 1) 2 25
+
(
x
- 3) 2 9
例 5 焦点为 F1 ( - 2 , 0) 和 F2 (6 ,0) , 离心率为 2 的双曲线的方程是 .
解 由 已 知 得 , 中 心 坐 标 为 ( 2 , 0) , 焦 点 在 x 轴上.
∵2c = 8 ,
c a
=2,
∴ a = 2, c = 4, b = 2 3.
故双曲线的方程为 ( x - 2) 2 4
a
的值是
( )
(A) 3. (B) - 3. (C) - 12. (D) - 6. 4 确定曲线的方程
求非标准形式下圆锥曲线的方程一般思路是平
移坐标轴 ,按标准形式写出其方程 ,然后再回到原坐 标系中求出其非标准形式的方程 , 具体做时不必如 此麻烦 ,只须按以下步骤做 : ①由已知条件确定中心 (或顶点) 的坐标以及焦点位置 (或开口方向) ; ②求 出 a , b , c (或 p) 的值 ; ③直接写出方程.
u
=
z z
+
11是纯虚数.
证 显然 u ≠0 , 且 u =
=
z z
+
zz zz
=
1 1
+
z z
=
-
u,
∴ z 为纯虚数.
z- 1 z +1
=
z z
-1 +1
由上述几例可以看出利用命题 1 、命题 2 转化这类问题 ,能够简化运算 ,迅速求解.
练习
1 设复数
z
满足 z 1+
z2
∈R , 求
z
在复平面
-
y2 12
= 1.
练习 5 焦点在 ( - 1 , 0) , 顶点在 ( 1 , 0) 的抛物
线方程是
( )
(A) y2 = 8 ( x + 1) . (B) y2 = - 8 ( x + 1) . (C) y2 = 8 ( x - 1) . (D) y2 = - 8 ( x - 1) . 练习答案 1 (B) . 2 (D) . 3 (D) . 4 (D) . 5 (D) .