河南省重点高中2020-2021学年高一数学下学期期中试题
山西省长治市第二中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题(解析版)
【解析】
【分析】作出直观图的平面图形，判断直观图与平面图形的形状和数据之间的关系，求出平面图形的面积即可.
【详解】在 中， ，
直观图恢复原图如下：
则 ， ，
，
故答案为：
15.若圆锥底面半径为1，高为 ，其中有一个内接正方体 ，其中 、 、 、 四点在圆锥底面上， 、 、 、 在圆锥侧面上，则这个正方体的棱长为______．
2.已知 ，若 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先算出 ，再根据平面向量平行的坐标运算即可求得.
【详解】 ，因为 ，所以 .
故选：C.
3.已知直线 和平面 ，下列说法正确的是（）
A.如果 ，那么 平行于经过 的任意一个平面．
B.如果 ，那么 平行于平面 内的任意一条直线．
C.若 ，则 ．
D.若 且 ，则 ．
【答案】D
【解析】
【分析】A,D选项考查线面平行的判断，A选项缺少条件，D选项正确；B选项是线面平行推线线平行，需要借助另外一个面；C选项中，平行于同一个面的两条线没有特定的位置关系
【详解】选项A中，由 推出 平行于经过 的任意一个平面，需要增加一个条件，即 不在 所在的面内，A选项没有这一限制条件，所以A错误
A. B.
C. 的最大值为1D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项A.由 ，可得 可判断；选项B.过 作 交 于点 ，所以 ,结合条件可判断；选项C.由B结合均值不等式可判断；选项D.由 结合均值不等式可判断.
【详解】选项A.由 ，可得
所以 ，故A正确.
选项B.过 作 交 于点
所以 ,由这两式可得
由 ，则 ， ，
2020-2021学年上海市徐汇区西南位育中学高一(下)期中数学试卷
2020-2021学年上海市徐汇区西南位育中学高一（下）期中数学试卷试题数：27，总分：1501.（填空题，5分）扇形的半径为2，弧长为4，则该扇形的面积为___ ．2.（填空题，5分）已知θ=216°，它用弧度制表示应为___ 弧度．3.（填空题，5分）函数f（x）=lg（2x-3）的定义域为___ ．4.（填空题，5分）已知角α的终边经过点P（x，-6），且tanα=- 35，则x的值___ ．5.（填空题，5分）幂函数f（x）的图像经过点A（16，4），则幂函数f（x）的解析式为___ ．6.（填空题，5分）已知sinx= 23，x∈（π2，π），则角x=___ （用反三角函数符号表示）．7.（填空题，5分）函数f（x）=3cos2x+1（x∈R）的对称轴方程为___ ．8.（填空题，5分）若tanα= 12，则cos（2 α+π2）=___ ．9.（填空题，5分）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=40（米），并在点C测得塔顶A的仰角为30°．则塔高AB=___ （米）（保留根式）．10.（填空题，5分）已知cos(θ−π3)=35，θ∈(π2，π)，则cosθ=___ ．11.（填空题，5分）已知函数g（x）的图象与函数f(x)=log2(3x−1)的图象关于直线y=x对称，则g（3）=___ ．12.（填空题，5分）已知函数f(x)=1x+cosx，给出下列结论：① f（x）在（0，π]上无最大值；② 设F（x）=f（x）-f（-x），则F（x）为偶函数；③ f（x）在区间（0，2π）上有两个零点．其中正确结论的序号为 ___ .（写出所有正确结论的序号）13.（单选题，5分）在平面直角坐标系中，若角α的顶点在原点，始边在x轴的正半轴，终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（）A. sin(α+π2)B. cos(α+π2)C.sin（π+α）D.cos（π+α）14.（单选题，5分）“tanx=- √33”是“x= 5π6”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件15.（单选题，5分）设a为非零实数，则关于函数f（x）=x2+a|x|+1，x∈R的以下性质中，错误的是（）A.函数f（x）一定是个偶函数B.函数f（x）一定没有最大值C.区间[0，+∞）一定是f（x）的单调递增区间D.函数f（x）不可能有三个零点16.（单选题，5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜π2），−π4为函数f（x）的一个零点，x=π4是函数f（x）图像的一条对称轴，且函数f（x）在区间(π18，5π36)上单调，则ω的最大值为（）A.8B.9C.10D.1117.（问答题，10分）已知tanα=13，tanβ=12，且α，β∈(0，π4)．（1）求tan2α的值；（2）求2α-β值．18.（问答题，12分）已知函数f(x)=√2sin(x+π4)−13sinx．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若f（x）=2，求sin2x的值．19.（问答题，12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=6，b=14，．B=2π3（1）求sinA的值和△ABC外接圆半径；（2）求△ABC的面积．20.（问答题，12分）已知函数f（x）=（sin2x+cos2x）2-2sin22x（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期；个单位长度，再向上平移（2）若函数y=g（x）的图像是由函数y=f（x）的图像向右平移π81个单位长度得到的，求函数y=g（x）的单调递增区间．21.（问答题，12分）已知函数f(x)=2−4．3x+1（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；恒成立，求实数u的最大值．（2）对任意的x∈[1，5]，不等式f(x)≥u3x22.（问答题，12分）已知函数f（x）=|sinx|+|cosx（x∈R），函数g（x）=4sinxcosx+k（x∈R），设F（x）=f（x）-g（x）．是函数f（x）的一个周期：（1）求证：π2，π]上的最大值；（2）当k=0时，求F（x）在区间[π2（3）若函数F（x）在区间（0，π）内恰好有奇数个零点，求实数k的值．）上的函数y=3√3sinx的图象与y=3cos2x+2的23.（填空题，0分）设定义在区间（0，π2图象交于点P，则点P到x轴的距离为 ___ ．24.（填空题，0分）函数f（x）=x+ √1−x2（-1≤x≤1）的值域为 ___ ．25.（填空题，0分）在钝角三角形ABC中，1tanA +1tanB+2tanC=0，则tanC的最大值是___ ．26.（填空题，0分）设a1、a2∈R，且12+sina1+12+sin(2a2)=2，则|10π-a1-a2|的最小值等于 ___ ．27.（填空题，0分）不等式sin2πx•|sin2πx|＞cos2πx•|cos2πx|的解集为 ___ ．2020-2021学年上海市徐汇区西南位育中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：27，总分：1501.（填空题，5分）扇形的半径为2，弧长为4，则该扇形的面积为___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：利用扇形的面积计算公式即可得出．【解答】：解：因为扇形的半径r=2，弧长l=4，根据扇形的面积公式得，S= 12 lr= 12× 4×2=4．故答案为：4．【点评】：本题考查了扇形的面积计算公式，属于基础题．2.（填空题，5分）已知θ=216°，它用弧度制表示应为___ 弧度．【正确答案】：[1] 65π【解析】：根据角度与弧度的换算公式，即可得解．【解答】：解：216°= 216°180°π rad= 65πrad．故答案为：65π．【点评】：本题考查弧度制，熟练掌握角度和弧度的换算公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．3.（填空题，5分）函数f（x）=lg（2x-3）的定义域为___ ．【正确答案】：[1]（32，+∞）【解析】：根据对数函数的真数大于0，求出x的取值范围，即是定义域．【解答】：解：由对数的真数大于0，可得2x-3＞0，解得x＞32，故函数的定义域为（32，+∞），故答案为：（32，+∞）【点评】：本题考查了求函数的定义域的问题，解题时应根据对数函数的真数大于0，求出定义域，是基础题．4.（填空题，5分）已知角α的终边经过点P（x，-6），且tanα=- 35，则x的值___ ．【正确答案】：[1]10【解析】：由于tanα=yx，可以得到关于x的方程，求解即可．【解答】：解：由三角函数的定义可知，tanα=yx = −6x= −35，所以x=10．故答案为：10．【点评】：本题考查任意角的三角函数的定义，是基础题．5.（填空题，5分）幂函数f（x）的图像经过点A（16，4），则幂函数f（x）的解析式为___ ．【正确答案】：[1] f(x)=x 12（x≥0）【解析】：由题意利用幂函数的定义和性质，用待定系数法求出幂函数的解析式．【解答】：解：∵幂函数f（x）=xα的图像经过点A（16，4），∴16α=4，∴α= 12，故f(x)=x 12（x≥0），故答案为：f(x)=x 12（x≥0）．【点评】：本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．6.（填空题，5分）已知sinx= 23，x∈（π2，π），则角x=___ （用反三角函数符号表示）．【正确答案】：[1] π−arcsin23【解析】：本题是一个知道三角函数值及角的取值范围，求角的问题，由于本题中所涉及的角不是一个特殊角，故需要用反三角函数表示出答案【解答】：解：∵sinx= 23，x∈（π2，π），∴x=π-arcsin 23．故答案为：π−arcsin23．【点评】：本题考查反三角函数的运用，解题的关键理解反三角函数的定义，用正确的形式表示出符号条件的角，本题重点是理解反三角函数定义，难点表示出符合条件的角，反三角函数在新教材省份已经不是高中数学学习内容7.（填空题，5分）函数f（x）=3cos2x+1（x∈R）的对称轴方程为___ ．【正确答案】：[1]x= kπ2（k∈Z）【解析】：利用余弦函数的对称轴方程列式求解即可．【解答】：解：函数f（x）=3cos2x+1，令2x=kπ，k∈Z，解得x= kπ2（k∈Z），所以函数f（x）的对称轴方程为x= kπ2（k∈Z）．故答案为：x= kπ2（k∈Z）．【点评】：本题考查了余弦函数图象与性质的应用，余弦函数对称轴方程的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于基础题．8.（填空题，5分）若tanα= 12，则cos（2 α+π2）=___ ．【正确答案】：[1]- 45【解析】：利用同角三角函数的基本关系，诱导公式，二倍角公式化简 cos（2 α+π2）为−2tanα1+tan2α，把tanα= 12代入运算求得结果．【解答】：解：∵tanα= 12，∴cos（2 α+π2）=-sin2α=-2sinαcosα= −2sinαcosα cos2α+ sin2α= −2tanα1+tan2α=- 45，故答案为- 45．【点评】：本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，二倍角公式的应用，属于中档题．9.（填空题，5分）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=40（米），并在点C测得塔顶A的仰角为30°．则塔高AB=___ （米）（保留根式）．【正确答案】：[1] 20√2【解析】：由已知得∠CBD=45°，CDsin∠CBD =BCsin∠BDC，从而BC=20√6，再由tan30°=ABBC=√33，能求出塔高AB．【解答】：解：因为∠BCD=75°，∠BDC=60°，所以∠CBD=45°，在△BCD中，根据正弦定理可知CDsin∠CBD =BCsin∠BDC，即40sin45°=BCsin60°，解得BC=20√6，在直角△ABC中，tan30°=ABBC =√33，所以AB=√33×20√6=20√2（米）．故答案为：20√2．【点评】：本题考查塔高的求法，是中档题，解题时要注意正弦定理的合理运用．10.（填空题，5分）已知cos(θ−π3)=35，θ∈(π2，π)，则cosθ=___ ．【正确答案】：[1] 3−4√310【解析】：先确定θ−π3的取值范围，再求得sin（θ−π3）的值，然后根据θ=（θ−π3）+ π3，结合两角和的余弦公式，即可得解．【解答】：解：因为θ∈(π2，π)，所以θ−π3∈（π6，2π3），所以sin（θ−π3）= √1−cos2(θ−π3) = 45，所以cosθ=cos[（θ−π3）+ π3]=cos（θ−π3）cos π3-sin（θ−π3）sin π3= 35× 12- 45× √32=3−4√310．故答案为：3−4√310．【点评】：本题考查三角函数的求值，熟练掌握两角和的余弦公式，同角三角函数的平方关系是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．11.（填空题，5分）已知函数g（x）的图象与函数f(x)=log2(3x−1)的图象关于直线y=x 对称，则g（3）=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：利用反函数的定义f（x）=3得x=2，所以f（2）=3，即g（3）=2．【解答】：解：∵函数g（x）的图象与函数f(x)=log2(3x−1)的图象关于直线y=x对称，∴对于函数f(x)=log2(3x−1)，令f（x）=3得：log2（3x-1）=3，∴3x-1=23=8，∴x=2，∴f（2）=3，即g（3）=2，故答案为：2．【点评】：本题主要考查了反函数的定义及其性质，是基础题．12.（填空题，5分）已知函数f(x)=1x+cosx，给出下列结论：① f（x）在（0，π]上无最大值；② 设F（x）=f（x）-f（-x），则F（x）为偶函数；③ f（x）在区间（0，2π）上有两个零点．其中正确结论的序号为 ___ .（写出所有正确结论的序号）【正确答案】：[1] ① ③【解析】：直接利用函数的图象和性质，函数的单调性和函数的最值，函数的图象的交点和函数的零点的关系判断① ② ③ 的结论．【解答】：解：由于函数f(x)=1x+cosx，对于① ，函数y= 1x在（0，π]上单调递减，函数y=cosx在（0，π]上单调递减，故函数f（x）在区间（0，π]上只有最小值，无最大值，故① 正确；② 设F（x）=f（x）-f（-x）= 1x +cosx−(−1x)−cos(−x) = 12x，则F（x）为奇函数，故②错误；③ 对于f(x)=1x+cosx，令f（x）=0，即在同一坐标系中画出函数y=cosx和函数y= −1x在区间（0，2π）上的图象，如图所示：故这两个函数在同一坐标系内有两个交点，即函数有两个零点，故③ 正确．故答案为：① ③ ．【点评】：本题考查的知识要点：函数的图象和性质，函数的单调性和函数的最值，函数的图象的交点和函数的零点的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．13.（单选题，5分）在平面直角坐标系中，若角α的顶点在原点，始边在x轴的正半轴，终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（）A. sin(α+π2)B. cos(α+π2)C.sin（π+α）D.cos（π+α）【正确答案】：D【解析】：由已知可得sinα＞0，co sα＜0，利用诱导公式化简各个选项即可得解．【解答】：解：因为角α的顶点在原点，始边在x轴的正半轴，终边在第二象限，所以sinα＞0，cosα＜0，所以sin（α+ π2）=cosα＜0，cos（α+ π2）=-sinα＜0，sin（π+α）=-sinα＜0，cos（π+α）=-cosα＞0．故选：D．【点评】：本题考查了诱导公式，任意角的三角函数的定义的应用，属于基础题．14.（单选题，5分）“tanx=- √33”是“x= 5π6”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【正确答案】：B【解析】：本题为充要条件的判断，看两边谁能推出谁．【解答】：解：由x= 5π6，可推得tanx=- √33而由tanx=- √33，可推得x=kπ+ 5π6，k∈z有多个解，即不能推出x= 5π6故tanx=- √33是x= 5π6的必要不充分条件，故选：B．【点评】：本题为充要条件的判断，及三角函数的求值问题，属基础题．15.（单选题，5分）设a为非零实数，则关于函数f（x）=x2+a|x|+1，x∈R的以下性质中，错误的是（）A.函数f（x）一定是个偶函数B.函数f（x）一定没有最大值C.区间[0，+∞）一定是f（x）的单调递增区间D.函数f（x）不可能有三个零点【正确答案】：C【解析】：根据偶函数的定义，判断f（-x）=f（x）则函数为偶函数；根据函数图象开口向上，函数没有最大值；取特殊值法，然后结合函数图象，判定单调递增区间；把函数转化成方程解的问题解答即可．【解答】：解：（1）∵-x∈R∴f（-x）=（-x）2+a|-x|+1=x2+a|x|+1=f（x）∴函数f（x）一定是个偶函数．（2）∵二次函数f（x）=x2+a|x|+1，开口向上，所以函数f（x）一定没有最大值．（3）令a=-2，则f（x）=x2-2|x|+1画出如上图所示的函数图象，可知在区间[0，+∞）不是f（x）的单调递增区间，所以C项错误．（4）方程x 2+ax+1=0，Δ=a 2-4≥-4，此方称可能无解、一个解或者两个解，所以函数f （x ）=x 2+a|x|+1可能无零点、两个零点、或者四个零点． 故选：C ．【点评】：本题考查了二次函数的奇偶性，通过图象观察最值以及单调性，数形结合有助于我们的解题，形象直观．16.（单选题，5分）已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）（其中ω＞0， |φ|＜π2 ）， −π4 为函数f （x ）的一个零点， x =π4 是函数f （x ）图像的一条对称轴，且函数f （x ）在区间 (π18，5π36) 上单调，则ω的最大值为（ ） A.8 B.9 C.10 D.11【正确答案】：B【解析】：利用零点以及对称轴，求出ω为正奇数，即可排除选项A ，C ，然后分别验证ω=11和ω=9，即可得到答案．【解答】：解：由题意可得， {−π4ω+φ=k 1ππ4ω+φ=π2+k 2π，k 1，k 2∈Z ， 则ω=2k+1，k∈Z ， 故选项A ，C 错误；因为函数f （x ）在区间 (π18，5π36) 上单调， 所以 5π36−π18=π12≤T2 ，解得ω≤12，若ω=11，φ= −π4 ，此时 f (x )=sin (11x −π4) ，f （x ）在 (π18，3π44) 上单调递增，在 (3π44，5π36) 上单调递减，不符合题意，故选项D错误；若ω=9时，−9π4+φ=kπ，k∈Z，因为|φ|＜π2，所以φ= π4，此时f（x）在区间(π18，5π36)上单调，符合题意，故选项B正确．故选：B．【点评】：本题考查了三角函数性质的综合应用，函数零点的应用，正弦函数的单调性以及对称性的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．17.（问答题，10分）已知tanα=13，tanβ=12，且α，β∈(0，π4)．（1）求tan2α的值；（2）求2α-β值．【正确答案】：【解析】：（1）由正切的二倍角公式，得解；（2）根据两角差的正切公式计算tan（2α-β）的值，再判断2α-β的取值范围，然后用反三角函数表示结果即可．【解答】：解：（1）tan2α= 2tanα1−tan2α = 2×131−(13)2= 34；（2）∵ α，β∈(0，π4)，∴2α-β∈（- π4，π2），∵tan（2α-β）= tan2α−tanβ1+tan2αtanβ =34−121+34×12= 211＞0，∴2α-β∈（0，π2），∴2α-β= arctan211．【点评】：本题考查三角函数求值，熟练掌握二倍角公式，两角差的正切公式，反三角函数是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．18.（问答题，12分）已知函数f(x)=√2sin(x+π4)−13sinx．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若f（x）=2，求sin2x的值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由题意，sinx≠0，所以，x≠kπ（k∈Z），从而得到结果．（Ⅱ）由f（x）=2，利用两角和的正弦公式化简可得cosx−sinx=13，平方化简可得sin2x 的值．【解答】：解：（Ⅰ）由题意，sinx≠0，…（2分）所以，x≠kπ（k∈Z）．…（3分）函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．…（4分）（Ⅱ）因为f（x）=2，所以√2sin(x+π4)−13=2sinx，…（5分）√2(√22sinx+√22cosx)−13 =2sinx，…（7分）cosx−sinx=13，…（9分）将上式平方，得1−sin2x=19，…（12分）所以sin2x=89．…（13分）【点评】：本题考查两角和的正弦公式，二倍角公式，正弦函数的定义域和值域，求得cosx−sinx=13，是解题的关键．19.（问答题，12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=6，b=14，B=2π3．（1）求sinA的值和△ABC外接圆半径；（2）求△ABC的面积．【正确答案】：【解析】：（1）直接由正弦定理可得a sinA=bsinB=2R ，代入数据即可求得答案； （2）根据三角函数变换可求得sinC ，进而利用三角形面积公式即可求得答案．【解答】：解：（1）由正弦定理可得 asinA=bsinB=2R ，则sinA= asinB b = 6×√3214 = 3√314 ，R= 2×√32=14√33； （2）由题可得cosB=- 12 ，cosA= √1−(3√314)2= 1314 ，所以sinC=sin （A+B ）=sinAcosB+cosAsinB= 3√314 ×（- 12 ）+ 1314 × √32 = 5√314 ， 则S △ABC = 12 absinC= 12 ×6×14× 5√314 =15 √3 ．【点评】：本题考查正弦定理的应用，考查三角形面积公式的求解，属于中档题． 20.（问答题，12分）已知函数f （x ）=（sin2x+cos2x ）2-2sin 22x （x∈R ）． （1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）若函数y=g （x ）的图像是由函数y=f （x ）的图像向右平移 π8个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，求函数y=g （x ）的单调递增区间．【正确答案】：【解析】：（1）先利用同角三角函数关系式、二倍角公式以及辅助角公式将函数的解析式化简，然后由三角函数的周期计算公式求解即可；（2）利用三角函数的图象变换求出函数g （x ）的解析式，然后由正弦函数的单调递增区间，列式求解即可．【解答】：解：（1）函数f （x ）=（sin2x+cos2x ）2-2sin 22x=sin4x+cos4x= √2sin (4x +π4) ， 所以f （x ）的最小正周期为 2π4 = π2 ；（2）函数y=f （x ）= √2sin (4x +π4) 的图像向右平移 π8 个单位长度，可得函数 y =√2sin [4(x −π8)+π4]=√2sin (4x −π4) ，再向上平移1个单位长度，可得函数g （x ）= √2sin (4x −π4)+1 ，令 −π2+2kπ≤4x −π4≤π2+2kπ，k ∈Z ， 解得 −π16+kπ2≤x ≤3π16+kπ2，k ∈Z ，故函数y=g （x ）的单调递增区间为 [−π16+kπ2，3π16+kπ2] ，k∈Z ．【点评】：本题考查了同角三角函数关系式、二倍角公式以及辅助角公式的应用，三角函数的周期计算公式的应用，三角函数图象变换的应用，正弦函数单调性的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.（问答题，12分）已知函数 f (x )=2−43x +1 ． （1）判断函数f （x ）的奇偶性，并说明理由；（2）对任意的x∈[1，5]，不等式 f (x )≥u3x 恒成立，求实数u 的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）由奇函数的定义，结合指数的运算性质，可得结论；（2）由参数分离和换元法、结合指数函数的单调性、对勾函数的单调性，以及不等式恒成立思想可得所求最大值．【解答】：解：（1）f （x ）为奇函数． 理由：函数 f (x )=2−43x +1 = 2(3x −1)3x +1， 而f （x ）的定义域为R ， 且f （-x ）= 2(3−x −1)3−x +1 = 2(1−3x )1+3x =-f （x ），所以f （x ）为奇函数； （2）不等式 f (x )≥u3x 即为u≤2•3x -4•3x 3x +1 =2（3x +1）+ 43x +1-6， 设t=3x +1，由x∈[1，5]，可得t∈[4，244]，则g （t ）=2t+ 4t -6在t∈[4，244]递增，可得g （t ）的最小值为g （4）=8+1-6=3， 所以u≤3， 即u 的最大值为3．【点评】：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=|sinx|+|cosx（x∈R），函数g（x）=4sinxcosx+k（x∈R），设F（x）=f（x）-g（x）．（1）求证：π2是函数f（x）的一个周期：（2）当k=0时，求F（x）在区间[π2，π]上的最大值；（3）若函数F（x）在区间（0，π）内恰好有奇数个零点，求实数k的值．【正确答案】：【解析】：（1）由f（x+ π2）=f（x）即可得证；（2）令t=sinx-cosx= √2 sin（x- π4），t∈[1，√2 ]，可得sinxcosx= 1−t22，从而将函数F（x）转化为h（t）=2t²+t-2，t∈[1，√2 ]，利用二次函数的性质即可求解最大值；（3）讨论0＜x≤ π2时与π2＜x＜π时函数解析式，令k=sinx+cosx-4sinxcosx，换元，根据二次函数的单调性即可得出答案．【解答】：（1）证明：因为f（x+ π2）=|sin（x+ π2）|+|cos（x+ π2）|=|cosx|+|-sinx|=|cosx|+|sinx|=f（x），所以π2是函数f（x）的一个周期．（2）当k=0时，F（x）在区间[π2，π]上的解析式为F（x）=sinx-cosx-4sinxcosx，令t=sinx-cosx= √2 sin（x- π4），t∈[1，√2 ]，则sinxcosx= 1−t22，则F（x）=sinx-cosx-4sinxcosx可转化为h（t）=t-2（1-t²）=2t²+t-2，t∈[1，√2 ]，由二次函数的性质可得函数h（t）的最大值为h（√2）=2+ √2，所以当k=0时，F（x）在区间[π2，π]上的最大值为2+ √2．（3）当0＜x≤ π2时，设k=sinx+cosx-4sinxcosx，令t=sinx+cosx= √2 sin（x+ π4），则t∈1，√2 ]，k=t-2（t²-1）=-2t²+t+2，在t∈[1，√2 ]上为单调递减函数，可知当t=1时，即k=1时，此时x只有一个解；当t= √2 时，即k= √2 -2时，此时x 只有一个解； 当1＜t ＜ √2 时，即 √2 -2＜k ＜1时，此时x 有两个解． 当 π2 ＜x ＜π时，设k=sinx-cosx-4sinxcosx ， 令t=sinx-cosx= √2 sin （x- π4 ），则t∈（1， √2 ]， k=t+2（t²-1）=2t²+t-2，在t∈（1， √2 ]上单调递增，则可知当1＜t ＜ √2 时，即1＜k ＜ √2 +2时，此时x 有两个解； 当t= √2 时，即k= √2 +2时，此时x 只有一个解．综上可得，若函数F （x ）在区间（0，π）内恰好有奇数个零点， 则k=1或 k =√2−2 或 k =√2+2 ．【点评】：本题主要考查三角函数的周期，三角函数的最值以及三角恒等变换，考查分类讨论思想与转化思想的应用，考查运算求解能力，属于中档题．23.（填空题，0分）设定义在区间（0， π2 ）上的函数 y =3√3sinx 的图象与y=3cos2x+2的图象交于点P ，则点P 到x 轴的距离为 ___ ． 【正确答案】：[1]3【解析】：联立方程组求出sinx 的值，然后代入求出y 的值，即可求出点P 到x 轴的距离．【解答】：解：由 y =3√3sinx =3cos2x+2得： 3-6sin 2x-3 √3 sinx+2=0， 即6sin 2x+3 √3 sinx-5=0， 得sinx= −3√3+√27+12012 = −3√3+√14712 = −3√3+7√312 = 4√312 = √33， sinx=−3√3−√27+12012 = −3√3−√14712 = −3√3−7√312 =- 10√312 =- 5√36， ∵x∈（0， π2 ）， ∴sinx ＞0，∴sinx= √33 ，即点P 到x 轴的距离为y=3 √3 × √33 =3， 故答案为：3．【点评】：本题主要考查三角函数的应用，联立方程组求出sinx 的值是解决本题的关键． 24.（填空题，0分）函数f （x ）=x+ √1−x 2 （-1≤x≤1）的值域为 ___ ． 【正确答案】：[1] [−1，√2]【解析】：令x=cosθ，0≤θ≤π，则原函数化为y=cosθ+sinθ（0≤θ≤π），然后利用三角函数求值域．【解答】：解：由题意可设x=cosθ，0≤θ≤π，则y=cosθ+ √1−cos2θ=cosθ+|sinθ|=cosθ+sinθ= √2sin(θ+π4)，又π4≤θ+π4≤5π4，所以−√22≤sin(θ+π4)≤1，即−1≤y≤√2，所以函数值域为[−1，√2]．故答案为：[−1，√2]．【点评】：本题考查利用换元法及三角函数求值域，是中档题．25.（填空题，0分）在钝角三角形ABC中，1tanA +1tanB+2tanC=0，则tanC的最大值是___ ．【正确答案】：[1]- √3【解析】：由题意可得tanA+tanB=-2tanAtanBtanC，再利用诱导公式、两角和差的正切公式求得tanAtanB= 13，再根据tanC=- 32（ tanA+tanB），利用基本不等式求得它的最大值．【解答】：解：在钝角三角形ABC中，1tanA +1tanB+2tanC=0，可得tanA+tanBtanAtanB=-2tanC，即tanA+tanB=-2tanAtanBtanC，则tan（A+B）（1-tanAtanB）=-2tanAtanBtanC，即-tanC（1-tanAtanB）=-2tanAtanBtanC，所以tanAtanB= 13，则tanC=-tan（A+B）=- tanA+tanB1−tanAtanB =- 32（ tanA+tanB）≤- 32×2 √tanAtanB =- √3．当且仅当tanA=tanB时，取等号，故tanC的最大值是- √3．故答案为：- √3．【点评】：本题主要考查诱导公式、两角和差的正切公式，基本不等式的应用，考查运算能力，属于中档题．26.（填空题，0分）设a1、a2∈R，且12+sina1+12+sin(2a2)=2，则|10π-a1-a2|的最小值等于 ___ ．【正确答案】：[1] π4【解析】：由题意，要使 12+sinα1+ 12+sin2α2=2，可得sinα1=-1，sin2α2=-1．求出α1和α2，即可求出|10π-α1-α2|的最小值【解答】：解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[-1，1]， 要使12+sinα1 + 12+sin2α2=2， ∴sinα1=-1，sin2α2=-1． 则： α1=−π2+2k 1π ，k 1∈Z ．2α2=−π2+2k 2π ，即 α2=−π4+k 2π ，k 2∈Z ． 那么：α1+α2=（2k 1+k 2）π −3π4，k 1、k 2∈Z ． ∴|10π-α1-α2|=|10π +3π4 -（2k 1+k 2）π|的最小值为 π4． 故答案为： π4 ．【点评】：本题主要考查三角函数性质，有界限的范围的灵活应用，属于基本知识的考查． 27.（填空题，0分）不等式sin2πx•|sin2πx|＞cos2πx•|cos2πx|的解集为 ___ ． 【正确答案】：[1] {x|k +18＜x ＜k +58，k ∈Z}【解析】：构造函数f （x ）=sinx|sinx|，先研究一个周期内的解集，将不等式转化为f （2πx ）＞f （2πx+ π2 ），得到关于x 的不等式，从而得到在整个定义域上的不等关系，求解即可．【解答】：解：令f （x ）=sinx|sinx| 先求不等式在一个周期内的解集， 取这一个周期的区间为[0，2π]，因为sin2πx•|sin2πx|＞cos2πx•|cos2πx|等价于f （2πx ）＞f （2πx+ π2 ）， 所以 {2πx ＞π42πx +π2＜7π4 ，则在整个定义域上有 {2πx ＞π4+2kπ2πx +π2＜7π4+2kπ，k ∈Z ，解得 k +18＜x ＜k +58，k ∈Z ，所以不等式的解集为 {x|k +18＜x ＜k +58，k ∈Z} ． 故答案为： {x|k +18＜x ＜k +58，k ∈Z} ．【点评】：本题考查了三角函数性质的应用，三角函数诱导公式的应用，三角函数单调性的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．。
江苏省南京市金陵中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题(含答案)
江苏省金陵中学2020至2021学年高一第二学期期中考试高一数学试卷一､选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z ＝1＋i ，则|z 2－2z |＝( ▲ )．A ．0B ．1C.2D ．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知AB →＝(2，3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·AC →＝( ▲ )． A ．－3B ．－10C ．9D ．15 3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝3，c ＝2，cos(B ＋C )＝14，则a 等于( ▲ )．A ．10B ．15C ．4D ．174．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝π3，点D 为边BC 上靠近B 的三等分点，则AD →·BC →的值为( ▲ )． A ．－113B ．－13C ．23D ．435．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若其面积S ＝a 2＋b 2－c 243，则C ＝( ▲ )．A ．π6B ．π3C ．π4D ．π26．若α，β∈(π2，π)，且sin α＝255，sin(α－β)＝－1010，则sin β＝( ▲ )．A ．7210B ．22C ．12D ．1107．已知|AB →|＝3，|AC →|＝2，若对于任意的实数m ，不等式|AB →＋AC →|≤|AB →＋mAC →|恒成立，则 cos ∠BAC ＝( ▲ )． A ．53 B ．－53 C ．－23 D ．238．已知ΔABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若A ＝2B ，则c b ＋(2ba)2的最小值为( ▲ )．A ．－1B ．73C ．3D ．103二､选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．下列命题为真命题的是( ▲ )．A ．若z 1，z 2互为共轭复数，则z 1z 2为实数B ．若i 为虚数单位，则i 3＝iC ．若复数z ＝1＋i ，则z 2＝2iD ．若复数z ＝－12＋32i ，则1＋z ＋z 2＝010．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，G 是EF 的中点，现在沿AE ，AF及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为H ，那么，在这个空间图形中必有( ▲ )． A ．AG ⊥△EFH 所在平面B ．AH ⊥△EFH 所在平面C ．EF ⊥△AGH 所在平面D ．HG ⊥△AEF 所在平面11．给出下列命题，其中正确的选项有( ▲ )．A ．若非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a |＋|b |，则a 与b 共线且同向B ．若非零向量a ､b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为30°C ．若单位向量的e 1､e 2的夹角为60°，则当|2e 1＋t e 2| (t ∈R )取最小值时，t ＝1D ．在△ABC 中，若(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，则△ABC 为等腰三角形12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列四个命题中，正确的命题有( ▲ )．A ．c ＝a cosB ＋b cos A B ．若A ＞B ，则sin2A ＞sin2BC ．若A ＝30º，a ＝4，b ＝6，则满足条件的三角形有两解D ．若△ABC 是钝角三角形，则tan A ·tan C ＜1三､填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知a ＝(sinα，4)，b ＝(1，cosα)，且a ⊥b ，则sin2α＋2sin 2α＝▲________．14．已知函数f (x )＝2cos 2(π2x －π4)－1，g (x )＝x 3，设函数F (x )＝f (x )－g (x )，则F (x )所有的零点之和为▲________．15．如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别为线段BC ，CD 的中点，若MN →＝λ1AM →＋λ2BN →，λ1，λ2∈R ，则λ1λ2的值为▲________．16．向量是数学中一个很神奇的存在，它将“数”和“形”完美地融合在一起，在三角形中就有很多与向量有关的结论．例如，在△ABC 中，若O 为△ABC 的外心，则AO →·AB →＝12AB →2．证明如下：取AB 中点E ，连接OE ，可知OE ⊥AB ，则AB →·AO →＝2AE →·AO →＝2|AE →||AO →|cos ∠OAE＝2|AE →|(|AO →|cos ∠OAE )＝2AE →2＝12AB →2．利用上述材料中的结论与方法解决下面的问题：在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，满足a ＞c 且2b cos A ＝3c ，3(c ＋a )＝2b ． 设O 为△ABC 的外心，若AO →＝x AB →＋yAC →，x ，y ∈R ，则x －2y ＝▲________．DC A B MNEAB·O四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分．17．(本小题10分)已知复数z =b i(b ∈R )，z －21＋i 是实数，i 是虚数单位(1) 求复数z ；(2) 若复数(m +z )2所表示的点在第一象限，求实数m 的取值范围．18．(本小题12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数． ①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17° ②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15° ③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12° ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48° ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数．(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一般的三角恒等式，并证明你的结论．19．(本小题12分)设向量a ＝(3cos α，sin α)，b ＝(sin β，3cos β)，c ＝(cos β，－3sin β)． (1)若a 与b －c 垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b －c |的最小值；20．(本小题12分)如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 四边长为1的菱形，∠ABC ＝π4， OA ⊥平面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点(1)画出平面AMN 与平面OCD 的交线(保留作图痕迹，不需写出作法)； (2)证明：直线MN ||平面OCD ； (3)求异面直线AB 与MD 所成角的大小．ABCDOM N21．（本小题12分）某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境．如图，准备在道路AB 的一侧进行绿化，线段AB 长为4百米，C ，D 都设计在以AB 为直径的半圆上．设∠COB ＝θ． (1)现要在四边形ABCD 内种满郁金香，若∠COD ＝π3， 则当θ为何值时，郁金香种植面积最大；(2)为了方便游人散步，现要搭建一条道路，道路由线段BC ， CD 和DA 组成，若BC ＝CD ，则当θ为何值时，栈道的总 长l 最长，并求l 的最大值．22．（本小题12分）已知ΔABC 为锐角．．三角形，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．R 为ΔABC 外接圆半径． (1)若R ＝1，且满足sin B sin C ＝(sin 2B ＋sin 2C －sin 2A )tan A ，求b 2＋c 2的取值范围； (2)若b 2＋c 2＝2aR cos A ＋a 2，求tan A ＋tan B ＋tan C 的最小值．江苏省金陵中学2020至2021学年高一第二学期期中考试高一数学试卷一､选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z ＝1＋i ，则|z 2－2z |＝( ▲ )．A ．0B ．1 C.2 D ．2答案：D2．在平面直角坐标系xOy 中，已知AB →＝(2，3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·AC →＝( ▲ )．A ．－3B ．－10C ．9D ．15答案：D3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝3，c ＝2，cos(B ＋C )＝14，则a 等于( ▲ )．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题～第12题）填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）四部分。
江苏省如东高级中学2020-2021学年高一下学期阶段测试(二)数学试题 含答案
如东高级中学2020-2021学年第二学期阶段测试（二）数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.已知集合{}1,0,1,2,3A =-，{}ln 1B x x =<，图中阴影部分为集合M ，则M 的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42.命题p ：“向量a 与向量b 的夹角θ为锐角”是命题q ：“0a b ⋅>”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件3.若复数z 满足|z －i|≤2，则z z 的最大值为 ( )A.1 B ．2 C ．4 D ．94.某年级有100名学生到甲、乙、丙、丁、戊这5个社区参加志愿者活动，且每个人只到一个社区，经统计，并将到各社区参加志愿者活动的学生人数绘制成如下不完整的两个统计图，则到戊社区参加志愿者活动的学生人数为（ ） A ．10B ．15C ．20D ．255.单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N 满足关系2010000.70.3vN v v d =++，其中0d 为安全距离，v 为车速()m /s .当安全距离0d 取30m 时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为A ．135B ．149C ．165D ．195 6．已知函数()()sin 2(||)2f x x πϕϕ+<=的图象的一条对称轴为6x π=,则下列结论中正确的是（）.A ．7,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心 B ．()f x 是最小正周期为π的奇函数C ．()f x 在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．先将函数2sin 2y x =图象上各点的纵坐标缩短为原来的12，然后把所得函数图象再向左平移6π个单位长度，即可得到函数()f x 的图象7.圆台上底半径为5cm ，下底半径为10cm ，母线20AB cm =，A 在上底面上，B 在下底面上，从AB 中点M 拉一条绳子，绕圆台侧面一周到B 点，则绳子最短时长为（ ）A ．10cmB ．25cmC ．50cmD ．352πcm 8.已知函数()2ln ,0,1,0,x x f x x x ⎧>=⎨-+≤⎩若方程()f x a =有三个不同的实数根1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，123x x 的取值范围是 （ ）.A ．1[0,]2B ．[C ．1[,0]2-D ．1[,0)2- 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
无锡市天一中学2020-2021学年高一(强化班)下学期期中数学试题
江苏省天一中学2020-2021学年春学期期中考试高一数学学科（强化班）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小愿给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知2i +是关于x 的方程250x ax ++=的根，则实数a =（）A.2i- B.4- C.2D.42.已知,a b 是不共线的向量，,,,AB a b AC a b R λμλμ=+=+∈，若A ，B ，C 三点共线，则（）A.+=2λμB.=1λμ-C .1λμ=- D.1λμ=3.当复数z 满足|z +3﹣4i |＝1时，则|z +2|的最小值是（）A.1B.1- C.D.1-4.已知,a b 表示直线，,,αβγ表示平面，则下列推理正确的是()A.,//a b a bαβα⋂=⊂⇒B.,////a a b b αβα=⇒ 且b β//C.//,//,,//a b a b ββαααβ⊂⊂⇒D.//,,//a b a b αβαγβγ==⇒ 5.已知O 为ABC 所在平面内一点，若()()0,5,3OA OB AB OB OC BC AB AC +⋅=+⋅=== ，则AO BC ⋅=（）A.8- B.16- C.8D.166.在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()sin sin sin c C a A b a B =+-，角C 的角平分线交AB 于点D ，且CD =3a b =，则c 的值为（）A.72B.3 C.3D.7.半径为R 的球的内部装有4个半径相同的小球，则小球半径r 的最大值是（）A.RB.C.RD.R8.在锐角ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22a c bc -=，则113sin tan tan A C A-+的取值范围为（）A.)+∞B.C.(6D.6二、选择题，本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.下列说法中错误的是（）A.若向量,a b 满足//a b r r，则存在唯一的实数λ，使得λa b= B.已知非零向()()1211a b == ，，，，且a 与a λb +的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5()3-+∞，C.“1a ≠”是“复数2(1)(1)i()z a a a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件D.若复数12,z z ，满足22120z z ->，则2212z z <10.ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则下列说法正确的是（）A.若A B >，则sin sin A B>B.若30A = ，4b =，3a =，则ABC 有两解C.若ABC 为钝角三角形，则222a b c +>D.若60A = ，2a =，则ABC 11.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 在线段1BC (含端点)上运动，则下列判断正确的是（）A.11A P B D ⊥B.三棱锥1D APC -的体积不变，为83C.1//A P 平面1ACD D.1A P 与1D C 所成角的范围是(0,)3π12.已知点O 为ABC 所在平面内一点，且0aOA bOB cOC ++=(),,0a b c >，则下列选项正确的是（）A.若1a =，2b =，3c =，则1132AO AB AC=+B.若3a =，2b =，4c =，且1OA OB OC === ，则316OC AB ⋅=C.若直线AO 过BC 的中点，则a b c ==D.::AOB AOC S S b c=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，AC =，则三棱锥P ABC -的表面积为________．14.设复数12,z z满足：11212||||,(1z z z z z a =+=，其中i 是虚数单位，a 是负实数，求21z z =________．15.若满足60,12,ABC AC BC k ∠=== 的ABC ∆恰有一个，则实数k 的取值范围是_________.16.如图，在ABC 中，已知90C = ∠，1AC =，2BC =，直线l 过ABC 的重心G ，且与边A 、B 分别交于D 、E 两点，则CG ED ⋅的最小值为________．四、解答题，本题共6小题，共70分，解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.设实部为正数的复数z，满足||z =，且复数(2)i z +在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上.（1）求复数z ；（2）若2(1)4()z m i mi m R +-++为纯虚数，求实数m 的值.18.如图，在菱形ABCD 中，12BE BC = ，2CF FD =．（1）若EF x AB y AD =+，求32x y +的值；（2）若6AB = ，60BAD ∠=︒，求AC EF ⋅ ．（3）若菱形ABCD 的边长为6，求AE EF ⋅的取值范围．19.在①3sin cos 3c B a b C =-，②sin cos 6b C c B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答.问题：ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知.（1）求B ；（2）若D 为AC 的中点，2BD =，求ABC 的面积的最大值.20.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥,点,E F 分别是111,BB A B 的中点.（1）求证：D 为BC 的中点；（2）求证:EF ∥平面1ADC21.如图，海上有A ，B 两个小岛，B 在A 的正东方向，小船甲从A 岛出发以v 海里/小时的速度沿北偏东60°方向匀速直线行驶，同一时刻小船乙出发，经过t 小时与小船甲相遇．（1）若AB 相距2海里，v 为/小时，小船乙从B 岛出发匀速直线追赶，追赶10分钟后与小船甲相遇，求小船乙的速度；（2）若小船乙先从A 岛以16海里/小时匀速沿射线AB 方向行驶()0k k t <<小时，再以8海里/小时匀速直线追赶小船甲，求小船甲在能与小船乙相遇的条件下v 的最大值.22.四面体ABCD 中，（1）,,AB CD AC BD AD BC ===．求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形；（2）有4条长为2的线段和2条长为a 的线段，用这6条线段作为棱，构成一个三梭锥，问a 为何值时，可构成一个最大体积的三棱锥，最大值为多少？(参考公式：(,,0)3a b ca b c ++≤>，当且仅当a b c ==时取得等号)江苏省天一中学2020-2021学年春学期期中考试高一数学学科（理强）命题人：审阅人：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小愿给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知2i +是关于x 的方程250x ax ++=的根，则实数a =（）A.2i - B.4- C.2D.4【答案】B 【解析】【分析】依题意知方程的根互为共轭复数，结合韦达定理可求得结果.【详解】因为2i +是关于x 的方程250x ax ++=的根，则另一根为2i-由韦达定理得()()22i i a ++-=-，所以4a =-故选：B 2.已知,ab 是不共线的向量，,,,AB a b AC a b R λμλμ=+=+∈，若A ，B ，C 三点共线，则（）A.+=2λμB.=1λμ-C.1λμ=- D.1λμ=【答案】D 【解析】【分析】根据三点共线，可得AB AC ，所以AB mAC =，对应系数相等即可求解.【详解】因为A ，B ，C 三点共线，所以AB AC ，设存在m R ∈，使得AB mAC =，即()a b m a b λμ+=+ ，则=1mm λμ⎧⎨=⎩，故1λμ=.故选：D.3.当复数z 满足|z +3﹣4i |＝1时，则|z +2|的最小值是（）A.1- B.1- C.D.1【答案】B 【解析】【分析】用复数的几何意义两复数和的模大于或等于模的差，直接求最小值．【详解】∵|z +2|＝|（z +3﹣4i ）+（﹣1+4i ）|≥|﹣1+4i |﹣|z +3﹣4i |1﹣1∴|z +2|﹣1．故选：B ．4.已知,a b 表示直线，,,αβγ表示平面，则下列推理正确的是()A.,//a b a bαβα⋂=⊂⇒B.,////a a b b αβα=⇒ 且b β//C.//,//,,//a b a b ββαααβ⊂⊂⇒D.//,,//a b a bαβαγβγ==⇒ 【答案】D 【解析】【详解】选项A 中，,a b αβα⋂⊂＝，则,a b 可能平行也可能相交，故A 不正确；选项B 中，,a a b ＝αβ⋂，则可能b α且b β∥，也可能b 在平面α或β内，故B 不正确；选项C 中，//,//,,a b a b ββαα⊂⊂，根据面面平行的判定定理，再加上条件a∩b ＝A ，才能得出//αβ，故C 不正确；选项D 为面面平行性质定理，故正确．选D ．5.已知O 为ABC 所在平面内一点，若()()0,5,3OA OB AB OB OC BC AB AC +⋅=+⋅===，则AO BC ⋅= （）A.8- B.16- C.8D.16【答案】A 【解析】【分析】由题意可知，O 是ABC 的外心，利用数量积投影意义即可得到结果.【详解】∵()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=，∴OA OB OC ==，O 是ABC 的外心，22111()(925)8222AO BC AO AC AB AO AC AO AB AB ⋅=⋅-=⋅-⋅=-=-=- ，故选：A ．6.在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()sin sin sin c C a A b a B =+-，角C的角平分线交AB 于点D ，且CD =，3a b =，则c 的值为（）A.72B.3C.3D.【答案】B 【解析】【分析】利用正弦定理边角互化以及余弦定理求出角C 的值，由ABC ACD BCDS S S =+△△△可得出ab a b=+，结合3a b =可求得a 、b 的值，再利用余弦定理可求得c 的值.【详解】()sin sin sin c C a A b a B=+- ，由正弦定理可得()22c a b a b=+-，可得222a b c ab +-=，由余弦定理可得：2221cos 22a b c C ab +-==，0C π<< ，所以3C π=，由ABCACD BCD S S S =+△△△，有111sin sin sin232626ab a CD b CD πππ=⋅+⋅，得ab a b =+，所以234b b =，0b> ，43b ∴=，34a b ==，由余弦定理可得3c ===.故选：B.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.7.半径为R 的球的内部装有4个半径相同的小球，则小球半径r 的最大值是（）A.RB.RC.D.R 【答案】B 【解析】【分析】由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小球球心为顶点的四面体棱长为2r ，该四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，求出正四面体外接球半径，即可得结论．【详解】由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小球球心为顶点的四面体棱长为2r ，3=，设正四面体的外接球半径为x ，则有222()()33x x =-+，解得2x r =，所以2R r r=+，所以r =，故选：B8.在锐角ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22a c bc -=，则113sin tan tan A C A-+的取值范围为（）A.)+∞ B.C.(6D.6【答案】C 【解析】【分析】根据余弦定理以及正弦定理化简条件得A 、C 关系，再根据二倍角正切公式以及函数单调性求范围．【详解】∵22a c bc-=，∴所以22cos 2cos sin 2sin cos sin ,b bc A bc b c A c B C A C -=∴-=∴-=sin()2sin cos sin ,sin()sin ,2A C C A C A C C A C C A C+-=∴-=∴-==因此22111111tan 1tan 3sin =3sin 3sin 3sin tan tan tan tan 2tan 2tan 2tan C CA A A A C A C C C C C -+-+-+=-+=+113sin 3sin 2sin cos sin A AC C A=+=+设sin A t =，∵ABC 是锐角三角形，∴(0,(0,),(0,)22222A A A CB A ππππ∈=∈=--∈，∴(,32A ππ∈∴sin2A t =∈，1+3t t 在,1)2t ∈上单调递增，∴1113sin +3(,4)tan tan 6A t C A t -+=∈，故选：C二、选择题，本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.下列说法中错误的是（）A.若向量,a b 满足//a b r r，则存在唯一的实数λ，使得λa b= B.已知非零向()()1211a b == ，，，，且a 与a λb + 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5()3-+∞，C.“1a ≠”是“复数2(1)(1)i()z a a a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件D.若复数12,z z ，满足22120z z ->，则2212z z <【答案】ABD 【解析】【分析】对于A 举出反例即可；对于B 根据向量夹角为锐角时坐标运算公式计算即可；对于C 化简复数z 根据逻辑命题知识判断即可；对于D 举出反例即可.【详解】对于A ，若0b=，则“当//a br r时，存在唯一的实数λ，使得a b λ= ”不成立，故A 错误；对于B ，由题意得=(1,2)a b λλλ+++ ，若a 与a λb + 的夹角为锐角，则()0()a ab a a b λμλ⎧⋅+>⎨≠+⎩代入数据解得5(,0)(0,)3λ∈-⋃+∞，故B 错误；对于C ，由“复数2(1)(1)i()z a a a R =-+-∈是虚数”得210,1a a -≠≠±，因为“1a ≠”是“1a ≠±”的必要不充分条件，所以“1a ≠”是“复数2(1)(1)i()z a a a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件.故C 正确；对于D ，当12i,2i z z ==时满足22120z z ->，此时不满足2212z z <.故D 错误.故选:ABD 10.ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则下列说法正确的是（）A.若A B >，则sin sin A B>B .若30A = ，4b =，3a =，则ABC 有两解C.若ABC 为钝角三角形，则222a b c +>D.若60A = ，2a =，则ABC【答案】ABD 【解析】【分析】对于A 选项，由A B >，得到a b >，再利用正弦定理判断；对于B 选项，由sin b A a b <<判断；对于C选项，由ABC 为钝角三角形且C 为钝角，利用余弦定理判断；对于D 选项，利用余弦定理与基本不等式集合三角形面积公式求解判断.【详解】对于A 选项，若A B >，则a b >，由正弦定理可得sin sin a bA B=，所以，sin sin A B >，A 选项正确；对于B 选项，sin4sin 302b A == ，则sin b A a b <<，如图：所以ABC 有两解，B 选项正确；对于C 选项，若ABC 为钝角三角形且C 为钝角，则222cos 02a b c C ab+-=<，可得222a b c +<，C 选项错误；对于D 选项，由余弦定理与基本不等式可得2222242cos 2a b c bc A b c bc bc bc bc==+-=+-≥-=，即4bc≤，当且仅当2b c ==时，等号成立，所以1sin 24ABC S bc A bc ==≤△，D 选项正确．故选：ABD11.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 在线段1BC (含端点)上运动，则下列判断正确的是（）A.11A P B D ⊥ B.三棱锥1D APC -的体积不变，为83C.1//A P 平面1ACD D.1A P 与1D C 所成角的范围是(0,3π【答案】ACD 【解析】【分析】证明出1B D ⊥平面11A BC ，可判断A 选项的正误；证明出1//BC 平面1ACD ，利用锥体的体积公式可判断B 选项的正误；证明出11//A BC 平面1ACD ，利用面面平行的性质定理可判断C 选项的正误；推导出11//D C A B ，可得出1A P 与1D C 所成的角等于1BA P ∠，即可判断D 选项的正误．【详解】对于A 选项，连接1A B 、11A C 、1A P 、11B D ，因为四边形1111D C B A 为正方形，则1111AC B D ⊥，1DD ⊥Q 平面1111D C B A ，11AC ⊂平面1111D C B A ，111A C DD ∴⊥，1111B D DD D = ，11A C ∴⊥平面11BB D D ，1B D ⊂ 平面11BB D D ，111B D A C ∴⊥，同理可证11B D A B ⊥，1111A C A B A = ，1B D ∴⊥平面11A BC ，1A P ⊂ 平面11A BC ，因此，11A P B D ⊥，A 选项正确；对于B 选项，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB C D 且11AB C D =，∴四边形11ABC D 为平行四边形，11//BC AD ∴，1BC ⊄ 平面1ACD ，1AD ⊂平面1ACD ，1//BC ∴平面1ACD ，1P BC ∈ ，∴点P 、B 到平面1ACD 的距离相等，∴1111211422323D APCP ACD B ACD D ABC VV V V ----====⨯⨯⨯=，B 选项错误；对于C 选项，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC 且11AA CC =，∴四边形11AA C C 为平行四边形，11//AC A C ∴，11A C ⊄ 平面1ACD ，AC ⊂平面1ACD ，11//A C ∴平面1ACD ，同理可证1//BC 平面1ACD ，1111AC BC C = ，∴平面11//A BC 平面1ACD ，1A P ⊂ 平面11A BC ，1//A P ∴平面1ACD ，C 选项正确；对于D选项，易知1111A B A C BC ===，所以，11A BC V 是等边三角形，113BAC π∴∠=，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//BC A D 且11BC A D =，所以，四边形11A BCD 为平行四边形，11//DC A B ∴，所以，1A P 与1D C 所成角等于1BA P ∠，当P 在线段1BC （含端点）上运动时，11103BA P BAC π≤∠≤∠=，D 选项正确．故选：ACD ．12.已知点O 为ABC 所在平面内一点，且0aOA bOBcOC ++=(),,0a b c >，则下列选项正确的是（）A.若1a =，2b =，3c =，则1132AO AB AC=+B.若3a =，2b =，4c =，且1OA OB OC === ，则316OC AB ⋅=C.若直线AO 过BC 的中点，则a b c==D.::AOB AOC S S b c= 【答案】AB 【解析】【分析】由230OA OB OC ++=，OB OA AB =+ ，OC OA AC =+ 即可判断A ；将()432OC OA OB =-+ 两边平方可得OA OB ⋅的值，再结合AB OB OA =- 即可判断B ；设BC的中点为D ，则()111222AD AB AC OA OB OC =+=-++ 再结合AO k AD =即可得,,a b c 之间的关系可判断C ；取点,,A B '''使得OA aOA '= ，OB bOB '= ，OC cOC '=，则点O 为A B C '''V 的重心，可得B OC A OC A OB S S S ''''''== ，再利用三角形面积公式即可求AOB A OB S S ''，AOC A OC S S ''即可求得:AOB AOC S S ，即可判断D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ：若1a =，2b =，3c =则230OA OB OC ++= ，因为OB OA AB =+，OC OA AC =+，代入可得()()230OA OA AB OA AC ++++= 即6230OA AB AC ++= ，所以623AO AB AC =+，可得1132AO AB AC =+ ，故选项A 正确；对于B ：若3a =，2b =，4c =则3240OA OB OC ++=，所以()432OC OA OB=-+ 所以()221632OC OA OB =+ ，即222169412OC OA OB OA OB =++⋅ ，所以169412OA OB =++⋅，可得14OA OB ⋅= ，所以()()()2211323244OC AB OA OB OB OA OA OB OA OB⋅=-+⋅-=--++⋅113324416⎛⎫=--++= ⎪⎝⎭，故选项B 正确；对于C ：设BC 的中点为D ，则()()1122AD AB AC OB OA OC OA=+=-+-1122OA OB OC =-++ 若直线AO 过BC 的中点，则存在实数k 满足AO k AD = ，即112222k k AO k OA OB OC kOA OB OC ⎛⎫=⨯-++=-++ ⎪⎝⎭，所以()1022k k k OA OB OC +--= ，所以1a k =+，2kb c ==-，所以不一定a b c ==，故选项C不正确；对于D ：取点,,A B C '''使得OA aOA '= ，OB bOB '= ，OC cOC '= ，则0OA OB OC '''++=，所以点O 为A B C '''V 的重心，因为重心O 到B C ''中点的距离等于中线的13，所以重心O 到B C ''的距离等于高线的13，可得13B OC A B C S S '''''= ，同理可得13A OC A B C SS '''''= ，13A OB A BC S S '''''= ，所以B OC A OC A OB S S S ''''''== ，所以1sin 121sin 2BOC B OC OB OC BOCS OB OC S OB OC bc OB OC B OC ''⋅∠⋅===''⋅''''⋅∠ ，同理可得：1AOC A OC S S ac''= ，1AOB A OB S S ab''= ，所以11::11A OB AOB AOCA OC S ab b S S c b S ac c''''=== ，故选项D 不正确；故选：AB.【点睛】结论点睛：若点O 为ABC 所在平面内一点，且0aOA bOBcOC ++=(),,0a b c >，则::::BOC AOC AOB S S S a b c = .三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，AC =，则三棱锥P ABC -的表面积为________．【答案】4+【解析】【分析】先分析出,PB BC AB BC ⊥⊥，再分别求各个面的面积即可.【详解】因为三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，AC =，所以PC ===,PB ==+=,所以,PB BC AB BC ⊥⊥.所以三棱锥P ABC -表面积PAC PAB PBC ABC S S S S S =+++11112222222222=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯22=+++4=+.故答案为：4+.14.设复数12,zz 满足：11212||||,(1z z z z z a =+=，其中i 是虚数单位，a 是负实数，求21z z =________．【答案】2-【解析】【分析】利用复数的摸的性质及复数的运算性质，进行运算即可求出答案.【详解】解：1121112121212||||()()()()z z z z z z z z z z z z z =+⇒=++=++，∴1111122122++z z z z z z z z z z =+，122122+=0z z z z z z，又12(1z a =+，则12(1z z a =，222+=0a z z ，∴22=2z z a -，∴2221122z z z z z z ==-.故答案为：2-.15.若满足60,12,ABC AC BC k ∠=== 的ABC ∆恰有一个，则实数k 的取值范围是_________.【答案】{|012k k <≤或k =【解析】【分析】根据正弦定理分析解的个数问题.【详解】由正弦定理sin sin AC BC B A =，sin sin 60sin 12BC B k A AC ︒==24k=，当124k=，即k =时，2A π=，只有一解，当124k <时，k<，若12k <<，则60A B >=︒，A 可为锐角也可为钝角，有两解，当012k <≤时，A B ≤，A 只能为锐角，只有一解.∴k 的范围是{|012k k <≤或k =.故答案为：{|012kk <≤或k =.【点睛】本题考查正弦定理解三角形，在用正弦定理解三角形时，由于求出的是角的正弦值，因此可能出现两解的情形.像本题，如果12k <<，则有两解，主要原因是60A B >=︒，A 可为锐角也可为钝角.16.如图，在ABC 中，已知90C = ∠，1AC =，2BC =，直线l 过ABC 的重心G ，且与边A 、B分别交于D 、E 两点，则CGED ⋅的最小值为________．【答案】49+【解析】【分析】设AE AC λ=uu u r uuu r ，AD AB μ= ，分析得出113λμ+=，求得()133CG ED λμ⋅=+ ，利用基本不等式可求得CG ED ⋅的最小值.【详解】先证明结论：已知O 为直线l 外一点，R 、S 、T 为直线l 上三个不同的点，若OT xOR yOS =+，则1x y +=.因为R 、S 、T 为直线l 上三个不同的点，则//ST SR，可设ST xSR =，即()OT OS x OR OS -=- ，所以，()1OT xOR x OS =+- ，所以，()11x y x x +=+-=，结论成立.本题中，设AE AC λ=uu u r uuu r ，AD μ=，当点E 与点C 重合时，D 为AB 的中点，此时12μ=；当点E 为线段AC 的中点时，D 与点B 重合，此时1μ=，故1,12μ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，同理可得1,12λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.由31311331D A A G AB AC AE μλ+=+=，又E 、G 、D 三点共线，11133λμ∴+=，即113λμ+=，延长CG 交AB 于点F ，则F 为AB 的中点，且有()()22113323CG CF CA CB CA CB==⨯+=+，又()()11113333CG ED CA CB AB AC CA CB CA CB μλλμμ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⋅=+-=+-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭()()1111131423344239999μλλμλμλμλμ⎛⎛⎫⎛⎫+=+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当39λ+=，9μ=时取得最小值.故答案为：49+.【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．四、解答题，本题共6小题，共70分，解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.设实部为正数的复数z ，满足||z =，且复数(2)i z +在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上.（1）求复数z ；（2）若2(1)4()z m i mi m R +-++∈为纯虚数，求实数m 的值.【答案】（1）13z i =-；（2）1m =.【解析】【分析】（1）设(z a bi a =+，b R ∈且0)a >，由条件可得2210a b +=①，3a b =-②．由①②联立的方程组得a 、b 的值，即可得到z 的值；（2）根据实部为0，虚部不为0即可求解m ．【详解】解：（1）设z a bi =+，,R a b ∈，0a >.由题意：2210a b +=.①()2()2(2)i a bi a b a b i ++=-++，得220a b a b -++=，30a b +=，②①②联立，解得1a =，3b =-得13z i=-.（2）由（1）可得13z i=+所以()()()22214143z m i mi m m m i+-++=-++++由题意可知2210430m m m ⎧-+=⎨++≠⎩解得1m =±且1m ≠-且3m ≠-所以1m=【点睛】本题主要考查复数的基本概念，复数的几何意义，属于基础题．18.如图，在菱形ABCD 中，12BE BC = ，2CF FD = ．（1）若EF x AB y AD =+，求32x y +的值；（2）若6AB = ，60BAD ∠=︒，求AC EF ⋅ ．（3）若菱形ABCD 的边长为6，求AE EF ⋅的取值范围．【答案】（1）321x y +=-；（2）9AC EF ⋅=-；（3）()21,9--．【解析】【分析】（1）由向量线性运算即可求得,x y 值；（2）先化AC AB AD =+ ，再结合（1）中关系即可求解AC EF ⋅；（3）由于12AE AB AD =+uu u r uu u r uuu r ，1223EF AD AB =-，即可得6cos ,15AE EF AB AD ⋅=- ，根据余弦值范围即可求得结果．【详解】解：（1）因为12BE BC = ，2CF FD = ，所以12122323EF EC CF BC DC AD AB =+=-=- ，所以23x =-，12y =，故213232132x y ⎛⎫+=⨯-+⨯=- ⎪⎝⎭．（2）∵AC AB AD =+ ，∴()221212123236AC EF AB AD AD AB AD AB AB AD⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅ ⎪⎝⎭ ∵ABCD 为菱形∴6AD AB ==∴2211111cos 3636966662AC EF AB AB BAD ⋅=--∠=-⨯-⨯⨯=- ，即9AC EF ⋅=- ．（3）因为12AE AB AD =+uu u r uu u r uuu r ，1223EF AD AB=-所以22121121362342AD A AE EF AB AD AB AD AB ADB ⎛⎫-= ⎛⎫⋅=+⋅⋅-+ ⎪⎪⎭⎭⎝⎝ 2221cos ,6cos ,153416AB AD AB AD AB AD AB AD =⋅-+=-1cos ,1AB AD -<<∴AE EF ⋅的取值范围：()21,9--．【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．19.在①sin cos 3c B a b C =-，②sin cos 6b C c B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答.问题：ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知.（1）求B ；（2）若D 为AC 的中点，2BD =，求ABC 的面积的最大值.【答案】（1）3π；（2）3.【解析】【分析】（1）选①，由正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和的正弦公式、同角间的三角函数关系变形可求得B ；选②，由正弦定理化边为角，然后由两角差的余弦公式、同角间的三角函数关系变形可求得B ；（2）利用向量的线性运算得2BD BA BC =+uu u r uu r uu u r，平方后利用数量积的运算得出,a c 的关系，再由基本不等式得ac 的最大值，从而可得面积最大值．【详解】（1）选择条件①：sin cos 3B a bC =-，∴由正弦定理得，sin sin sin sin cos 3C B A B C =-.又在ABC 中，sinsin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+,sin sin sin sin cos cos sin 3C B A B C B C =-=.又(0,)C π∈ ，sin 0C ∴>.sin cos 3B B =，即tan B =又(0,)B π∈ ，3B π∴=.选择条件②：sin cos 6b C c B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，∴由正弦定理得，sin sin sin cos 6B C C B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.又(0,)Cπ∈ ，sin 0C ∴>.sin cos 6B B π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，即1sincos cossin sin cos sin 6622B B B B B ππ=+=+.1sin 22B B ∴=，即tanB =.又(0,)B π∈ ，.3B π∴=（2）有题意知2BD BA BC =+uu u ruu r uu u r.224||()BD BA BC ∴=+ ，即2216a c ac =++.又222a c ac + ，163ac∴（当且仅当3a c ==时等号成立）.由三角形面积公式可知143sin 23ABCSac B =△.ABC ∴ 的面积的最大值为433.【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理，考查两角和与差的正弦、余弦公式的应用，考查基本不等式，三角形面积公式，向量的线性运算，解题关键是用正弦定理进行化边为角，然后可由三角函数恒等变换公式，基本不等式求解．20.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥,点,E F 分别是111,BB A B 的中点.（1）求证：D 为BC 的中点；（2）求证:EF ∥平面1ADC 【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【详解】试题分析：（1）要证D 为BC 的中点，又AB=AC，即证ＡＤ⊥ＢＣ即可；（２）连接1A B ，连接1A C 交1AC 于点G ，连接DG ，由（１）易证//EF DG ，从而问题得证．试题解析：（1） 正三棱柱111ABC A B C -，∴1C C ⊥平面ABC ，又AD ⊂平面ABC ，∴1C C AD ⊥，又1AD C D ⊥，111C D C C C ⋂=∴AD ⊥平面11BCC B ，又 正三棱柱111ABC A B C -，∴平面ABC ⊥平面11BCC B ，∴AD ⊥BC ，D 为BC 的中点．（2）连接1A B ，连接1A C 交1AC 于点G ，连接DG矩形11A ACC ，∴G 为1A C 的中点，又由(1)得D 为BC 的中点，∴1A BC 中，1//DG A B又 点E ，F 分别是1BB ，11A B 的中点，∴△11A B B 中，1//EF A B ，∴//EF DG ，又EF ⊄平面1ADC ，DG ⊂平面1ADC ∴//EF 平面1ADC 点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.21.如图，海上有A ，B 两个小岛，B 在A 的正东方向，小船甲从A 岛出发以v 海里/小时的速度沿北偏东60°方向匀速直线行驶，同一时刻小船乙出发，经过t 小时与小船甲相遇．（1）若AB 相距2海里，v 为/小时，小船乙从B 岛出发匀速直线追赶，追赶10分钟后与小船甲相遇，求小船乙的速度；（2）若小船乙先从A 岛以16海里/小时匀速沿射线AB 方向行驶()0k k t <<小时，再以8海里/小时匀速直线追赶小船甲，求小船甲在能与小船乙相遇的条件下v 的最大值.【答案】（1）小船乙的速度是/小时；（2）v 的最大值3海里/小时.【解析】【分析】首先设,AC vt BC v t '==，再根据余弦定理求'v ；（2）根据速度和时间表示边长，再根据余弦定理表示为2228()(16)()216cos30t k k vt k vt -=+-⨯⨯ ，再根据换元转化为一元二次方程有解问题，求v 的最大值.【详解】（1）由题意可知，2,,AB AC vt BC v t'===，由余弦定理知222112())22cos30663v '+⨯-=⨯⨯ ，∴解得v '（2）由题意知2228()(16)()216cos30tk k vt k vt -=+-⨯⨯ 等式两侧同时除以2t 得22192((128)640k kv t t +-+-=，设(01)km m t=<<，则有22192(128)640m m v +-+-=，其中(0,1)m ∈，即关于m 的方程22192(128)640m m v +-+-=在(0,1)上有解，则必有22=(128)4192(64)0v ∆--⨯⨯-≥，解得03v <≤，当3v =时，可得1(0,1)3m =∈，因此v 的最大值3海里/小时.22.四面体ABCD 中，（1）,,AB CD AC BD AD BC ===．求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形；（2）有4条长为2的线段和2条长为a 的线段，用这6条线段作为棱，构成一个三梭锥，问a 为何值时，可构成一个最大体积的三棱锥，最大值为多少？((,,0)3a b ca b c ++≤>，当且仅当a b c ==时取得等号)【答案】（1）证明见解析；（2）当a =时，三棱锥体积最大为3．【解析】【分析】（1）在四面体ABCD 中，由已知可得四面体ABCD 的四个面为全等三角形，设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，证明ABC 为锐角三角形，即可证明这个四面体的四个面都是锐角三角形；（2）当2条长为a 的线段不在同一个三角形中，写出三棱锥体积，利用基本不等式求最值；当边长为a 的两条棱在同一个三角形中时，可知当AB ⊥平面BCD 时，体积取最大值，比较大小的结论.【详解】（1）∵四面体ABCD ，如图,,AB CD AC BD AD BC ===，故四面体ABCD 中四个面为全等三角形，即只需证明一个ABC 为锐角三角形即可，设长方体长宽高分别为,,a b c ，则222222222,,AB a b BC b c AC a c =+=+=+，∴222222222+,+,+AB BC AC AB AC BC AC BC AB >>>，∴ABC 为锐角三角形，故四面体四个面都为锐角三角形；（2）解：2条长为a 的线段不在同一个三角形中，此时长为a 的两条线段必还在三棱锥的对棱，不妨设,2AD BC a BD CD AC =====，取BC 中点E ，连接AE ，DE (如图)，则AE BC ⊥，DE BC ⊥，则BC ⊥平面AED ，13AED V S BC=⋅ ，在AED 中，AE ED ==，AD a =，1122AEDS ==∴V ==，由均值不等式222316(162)()3aa a -≤，等号当且仅当2163a =时成立，即3a =，∴此时max27V==，当边长为a 的两条棱在同一个三角形中时，设AD AC a ==，11333A BCD BCD BCD V S h S AB -=⋅≤⋅=当且仅当AB ⊥平面BCD 时，体积取最大，此时a =∵327>，综上，当a =时，三棱锥体积最大为3。
2020-2021学年广东省实验中学高一(下)期中数学试卷
2020-2021学年广东省实验中学高一（下）期中数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）设复数z满足z•（1+i）=2（i为虚数单位），则|z|=（）A.1B. √2C.2D.32.（单选题，5分）已知向量a⃗=(3，4)，b⃗⃗=(1−λ，2+λ)，且a⃗⊥b⃗⃗，则λ=（）A.-11B.-2C. 117D. −273.（单选题，5分）如图，平行四边形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'=5，O'C'=2，∠A'O'C'=30°，则原图形的面积是（）A.4B. 4√2C. 10√2D.64.（单选题，5分）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的棱所在直线与直线BA1为异面直线的条数是（）A.4B.5C.6D.75.（单选题，5分）下列四个命题中正确的是（）A.底面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥B.两两相交的三条直线必在同一平面内C.在空间中，四边相等的四边形是菱形D.不存在所有棱长都相等的正六棱锥6.（单选题，5分）已知P，Q是不同的点，l，m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列数学符号表示的不是基本事实（公理）的选项为（）A.P∈l，Q∈l，P∈α，Q∈α⇒l⊂αB.P∈α，P∈β⇒存在唯一直线l，α∩β=l，且P∈lC.l || m，m || n⇒l || nD.m || n⇒确定一个平面γ且m⊂γ，n⊂γ7.（单选题，5分）已知三棱锥A-BCD中，CD=√2，BC=AC=BD=AD=1，则此几何体外接球的体积为（）A.2πB. √2π3C. √2π6D.π⃗⃗⃗⃗⃗⃗•8.（单选题，5分）在△OAB中，OA=OB=2，AB=2√3，动点P位于直线OA上，当PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗取得最小值时，∠PBA的正弦值为（）PBA. 3√77B. 2√77C. √2114D. √2139.（多选题，5分）设z为复数，则下列命题中正确的是（）A. |z|2=z•zB.z2=|z|2C.若|z|=1，则|z+i|的最小值为0D.若|z-1|=1，则0≤|z|≤210.（多选题，5分）如图，直角梯形ABCD中AB=2，CD=4，AD=2．则下列说法正确的是（）A.以AD 所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的侧面积为 16√2πB.以CD 所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的体积为 32π3C.以AB 所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的全面积为 20π+4√2πD.以BC 所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的体积为 28√2π311.（多选题，5分）如图一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长都相等，将正四面体的一个面和正四棱锥的一个侧面紧贴重合在一起，得到一个新几何体．对于该几何体，则（ ）A.AF || CDB.2V 三棱锥F-ABC =V 四棱锥A-BCDEC.新几何体有7个面D.新几何体的六个顶点在同一个球面上12.（多选题，5分）在棱长为 3+√3 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，球O 1同时与以B 为公共顶点的三个面相切，球O 2同时与以D 1为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点E ，若球O 1，O 2的半径分别为r 1，r 2，则（ ）A.O 2，O 1，B ，D 1四点不共线B.r 1+r 2=3C.这两个球的体积之和的最小值是9πD.这两个球的表面积之和的最大值是18π13.（填空题，5分）设A={正方体}，B={直平行六面体}，C={正四棱柱}，D={长方体}，那么上述四个集合间正确的包含关系是___14.（填空题，5分）向量 a ⃗=(2，1) 在向量 b⃗⃗=(3，4) 方向上的投影向量的坐标为 ___ ． 15.（填空题，5分）如图，在△ABC 中， BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，点E 在线段AD 上移动（不含端点），若 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 λμ =___ ，λ2-2μ的最小值是___ ．16.（填空题，5分）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1为棱长为2，动点P ，Q分别在棱BC ，CC 1上，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，设BP=x ，CQ=y ，其中x ，y∈[0，2]，下列命题正确的是___ ．（写出所有正确命题的编号）① 当x=0时，S 为矩形，其面积最大为4；② 当x=y=1时，S的面积为92；③ 当x=1，y∈（1，2）时，设S与棱C1D1的交点为R，则RD1=4−4y；④ 当y=2时，以B1为顶点，S为底面的棱锥的体积为定值83．17.（问答题，10分）已知向量a⃗与b⃗⃗的夹角θ=2π3，且|a⃗ |=3，| b⃗⃗ |=2．（1）求a⃗•b⃗⃗，| a⃗ + b⃗⃗ |；（2）求向量a⃗与a⃗ + b⃗⃗的夹角的余弦值．18.（问答题，12分）（1）在△ABC中，a=1，b=2，cosC= 14，求cosA．（2）在△ABC中，已知a= 5√2，c=10，A=30°，求角B；19.（问答题，12分）已知棱长为1的正方体AC1，H、I、J、K、E、F分别相应棱的中点如图所示．（1）求证：H、I、J、K、E、F六点共面；（2）求证：BE、DF、CC1三线共点；（3）求几何体B1BE-D1DF的体积．20.（问答题，12分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分别为对角线BD、CD1上的点，且CQQD1 = BPPD= 23．（1）求证：PQ || 平面A1D1DA；（2）若R是CD上的点，当CRCD的值为多少时，能使平面PQR || 平面B1C1CB？请给出证明．21.（问答题，12分）若函数f（x）= √3 sinx+2cos2x，△ABC的角A，B，C的对边分别为a，2b，c，且f（A）=3．取最大值时，判断△ABC的形状；（1）当b+ca（2）在△ABC中，D为BC边的中点，且AD= √13，AC=2，求BC的长．22.（问答题，12分）已知向量m⃗⃗⃗=(cos2x+2√3sinx，1)，n⃗⃗=(2，−a)．（1）当a=0时，令f(x)=m⃗⃗⃗•n⃗⃗，求f（x）的最值；)上有6个不等的实根，求a的取值范围；（2）若关于x方程m⃗⃗⃗•n⃗⃗=0在x∈(0，5π2，求a的值．（3）当m⃗⃗⃗•n⃗⃗≥0对x∈[x1，x2]恒成立时，x2-x1的最大值为5π32020-2021学年广东省实验中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）设复数z满足z•（1+i）=2（i为虚数单位），则|z|=（）A.1B. √2C.2D.3【正确答案】：B【解析】：先对复数进行化简，然后结合复数的模长公式可求．【解答】：解：由题意得z= 21+i = 2(1−i)(1+i)(1−i)=1-i，则|z|= √2．故选：B．【点评】：本题主要考查了复数的四则运算及复数的几何意义，属于基础题．2.（单选题，5分）已知向量a⃗=(3，4)，b⃗⃗=(1−λ，2+λ)，且a⃗⊥b⃗⃗，则λ=（）A.-11B.-2C. 117D. −27【正确答案】：A【解析】：利用向量垂直的性质列方程，能求出λ．【解答】：解：∵向量a⃗=(3，4)，b⃗⃗=(1−λ，2+λ)，且a⃗⊥b⃗⃗，∴ a⃗•b⃗⃗ =3（1-λ）+4（2+λ）=0，解得λ=-11．故选：A．【点评】：本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．3.（单选题，5分）如图，平行四边形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'=5，O'C'=2，∠A'O'C'=30°，则原图形的面积是（）A.4B. 4√2C. 10√2D.6【正确答案】：C【解析】：求出直观图的面积，再根据原平面图形的面积与直观图的面积比为2 √2：1，计算即可．【解答】：解：平行四边形O'A'B'C'中，O'A'=5，O'C'=2，∠A'O'C'=30°，=5，所以平行四边形O′A′B′C′的面积为S′=O′A′•O′C′•sin30°=5×2× 12所以原平面图形的面积是S=2 √2S′=2 √2 ×5=10 √2．故选：C．【点评】：本题考查了平面图形的直观图与原图形的面积比为1：2 √2的应用问题，是基础题．4.（单选题，5分）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的棱所在直线与直线BA1为异面直线的条数是（）A.4B.5C.6D.7【正确答案】：C【解析】：直接利用异面直线的定义对正方体的棱逐一判断，得到与直线BA1异面的直线，即可得到答案．【解答】：解：根据异面直线的定义可得，与直线BA1为异面直线的棱有：AD，B1C1，CD，C1D1，CC1，DD1，共6条．故选：C．【点评】：本题考查了异面直线的判断，涉及了正方体几何性质的应用，解题的关键是掌握异面直线的定义，属于基础题．5.（单选题，5分）下列四个命题中正确的是（）A.底面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥B.两两相交的三条直线必在同一平面内C.在空间中，四边相等的四边形是菱形D.不存在所有棱长都相等的正六棱锥【正确答案】：D【解析】：直接利用几何图形的定义和性质判断A、B、C、D的结论．【解答】：解：对于A：底面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥与锥体的定义矛盾，故A错误；对于B：两两相交的三条直线且不相交于同一点的直线必在同一平面内，故B错误；对于C：在空间中，四边相等的四边形沿一条对角线折叠，构成四面体，故C错误；对于D：不存在所有棱长都相等的正六棱锥，由于六个等边三角形正好360°，构成一个周角，故正确；故选：D．【点评】：本题考查的知识要点：几何图形的定义和性质，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．6.（单选题，5分）已知P，Q是不同的点，l，m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列数学符号表示的不是基本事实（公理）的选项为（）A.P∈l，Q∈l，P∈α，Q∈α⇒l⊂αB.P∈α，P∈β⇒存在唯一直线l，α∩β=l，且P∈lC.l || m，m || n⇒l || nD.m || n⇒确定一个平面γ且m⊂γ，n⊂γ【正确答案】：D【解析】：公理是不能被证明但确实是正确的结论，是客观规律，依据公理的定义，依次求解．【解答】：解：由公理一可知：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，故A选项为公理，由公理三可知：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故B选项是公理，由平行公理得：平行于同一条直线的两条直线互相平行，故C选项是公理，不同的两直线平行，确定一个平面，且两直线在平面内，为判定定理，非公理，故D选项错误．故选：D．【点评】：本题考查了对公理的判断，需要学生熟练掌握公理的定义，属于基础题．7.（单选题，5分）已知三棱锥A-BCD中，CD=√2，BC=AC=BD=AD=1，则此几何体外接球的体积为（）A.2πB. √2π3C. √2π6D.π【正确答案】：B【解析】：由已知结合勾股定理证明AC⊥AD，BC⊥BD，取CD中点O，则O为该几何体外接球的球心，求出半径，代入球的体积公式求解．【解答】：解：如图，由CD=√2，BC=AC=BD=AD=1，可得AC2+AD2=CD2，BC2+BD2=CD2，则AC⊥AD，BC⊥BD，取CD中点O，则OA=OC=OD=OB，∴O为该几何体外接球的球心，则半径为12CD=√22．∴此几何体外接球的体积为43π × (√22)3= √2π3．故选：B ．【点评】：本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．8.（单选题，5分）在△OAB 中，OA=OB=2， AB =2√3 ，动点P 位于直线OA 上，当 PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时，∠PBA 的正弦值为（ ）A.3√77 B. 2√77C. √2114D. √213 【正确答案】：C【解析】：建立平面直角坐标系，写出坐标表示出 PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用二次函数求出有最小值时P 的坐标，再利用向量的夹角公式即可求出．【解答】：解：建立如图平面直角坐标系，则A （- √3 ，0），B （ √3 ，0），O （0，1），设P （x ，y ）， 直线AO 的方程为y= √33 x+1，∵ PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（- √3 -x ，-y ）•（ √3 -x ，-y ）=x 2+y 2-3 =x 2+ (√33x +1)2 -3= 43 x 2+ 2√33 x-2= 43 (x +√34)2 - 94 ， ∴当x=- √34 时， PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值，此时P （- √34 ， 34）， ∴ BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（- 5√34 ， 34）， BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2 √3 ，0）， ∴cos∠PBA= BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|•|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = 1522√3•√8416 = 5√714 ， ∵∠PBA∈（0，π），∴sin∠PBA= √1−2528 = √2114 ．故选：C．【点评】：本题考查向量的数量积、夹角公式等知识，考查运算求解能力，属于中档题．9.（多选题，5分）设z为复数，则下列命题中正确的是（）A. |z|2=z•zB.z2=|z|2C.若|z|=1，则|z+i|的最小值为0D.若|z-1|=1，则0≤|z|≤2【正确答案】：ACD【解析】：直接利用复数的运算，复数的模，共轭，圆的方程，圆与圆的位置关系的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】：解：由于z为复数，设z=a+bi（a，b∈R），对于A：|z|2=a2+b2= z•z，故A正确；对于B：z2=（a+bi）2=a2+2abi-b2，|z|2=a2+b2，故B错误；对于C：由于a2+b2=1，所以|z+i|=√a2+(b+1)2∈[0，2]，故C正确；对于D：若|z-1|=1，即（a-1）2+b2=1，所以0=1−1≤√(a−0)2+(b−0)2≤1+1=2，故D正确；故选：ACD．【点评】：本题考查的知识要点：复数的运算，复数的模，共轭，圆的方程，圆与圆的位置关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.（多选题，5分）如图，直角梯形ABCD中AB=2，CD=4，AD=2．则下列说法正确的是（）A.以AD所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的侧面积为16√2πB.以CD所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的体积为32π3C.以AB所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的全面积为20π+4√2πD.以BC所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的体积为28√2π3【正确答案】：CD【解析】：旋直接利用切割法的应用分别利用体积和表面积公式的应用的应用求出圆锥和圆台的体积和表面积．【解答】：解：直角梯形ABCD中AB=2，CD=4，AD=2．则对于A：S侧=π(2+4)×2√2=12√2π，故A错误；对于B：V= V圆柱−V圆锥=π•22•4−13×π•22•2 = 40π3，故B正确；对于C：以AB所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的全面积为相当于一个圆柱挖去一个圆锥，如图所示：构成的表面积为4π+2•π•2•4+π•2√2•2 == 20π+4√2π，故C正确；对于D：以BC所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，相当于一个圆锥的体积和一个圆台的体积的和切去一个小圆锥的体积，如图所示：即：13•π•(2√2)2•2√2+13•[π•(√2)2+√π(√2)2•π•(2√2)2+π•(2√2)2]×√2−13•π•(√2)2•√2=28√2π3．故D正确；故选：CD．【点评】：本题考查的知识要点：旋转体的体积公式，切割法，圆锥和圆台的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．11.（多选题，5分）如图一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长都相等，将正四面体的一个面和正四棱锥的一个侧面紧贴重合在一起，得到一个新几何体．对于该几何体，则（）A.AF || CDB.2V三棱锥F-ABC=V四棱锥A-BCDEC.新几何体有7个面D.新几何体的六个顶点在同一个球面上【正确答案】：AB【解析】：根据空间直线和平面位置关系分别进行判断即可．【解答】：解：取BC的中点G，DE的中点H，连接FG，AH，GH，则FG⊥BC，BC⊥GH，AH⊥DE，则BC⊥平面FGH，DE⊥平面AGH，∵BC || DE，∴平面FGH与平面AGH重合，即AHGF为平面四边形，∵AF=CD=GH，∴四边形AHGF为平行四边形，∴AF || CD，故A正确，由于BE || CD，∴BE || 平面ADCF，∵V四棱锥A-BCDE=2V四棱锥A-BCD=2V四棱锥B-ACD，V四棱锥B-ACD=V四棱锥B-ACF=V三棱锥F-ABC，∴2V三棱锥F-ABC=V四棱锥A-BCDE，故B正确，由于平面ACF与平面ACD重合，平面ABF与平面ABE重合，∴该几何体有5个面，故C错误，由于该几何体为斜三棱柱，故不存在外接球，故D错误，故选：AB．【点评】：本题主要考查与空间立体几何有个的命题的真假判断，涉及空间直线位置关系，空间体积的判断，涉及知识点较多，综合性较强，属于中档题．12.（多选题，5分）在棱长为3+√3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，球O1同时与以B为公共顶点的三个面相切，球O2同时与以D1为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点E，若球O1，O2的半径分别为r1，r2，则（）A.O2，O1，B，D1四点不共线B.r1+r2=3C.这两个球的体积之和的最小值是9πD.这两个球的表面积之和的最大值是18π【正确答案】：BC【解析】：由球与正方体的对称性判断A；画出过正方体对角面的截面图，由对角线长度相等求得r1+r2判断B；写出两球的体积与表面积之和，利用基本不等式求最值判断C与D．【解答】：解：由对称性作过正方体对角面的截面图如下，可得O2，O1，B，D1四点共线，故A错误；由题意可得O1B=√3r1，O2D1=√3r2，则（√3+1）r1+（√3+1）r2=BD1= √3 ×（3+ √3），从而r1+r2=3，故B正确；这两个球的体积之和为：43π（r13+r23）= 43π（r1+r2）（r12−r1r2+r22），∵r1+r2=3，∴（r1+r2）（r12−r1r2+r22）=3（9-3r1r2）≥3[9-3× (r1+r22)2]= 274，即43π（r13+r23）≥9π，当且仅当r1=r2= 32时等号成立，故C正确；这两个球的表面积之和S=4π（r12+r22）≥4π• (r1+r2)22=18π，当且仅当r1=r2= 32时等号成立，故D错误故选：BC．【点评】：本题主要考查了正方体的结构及其特征，球的表面积及体积公式，考查了空间想象能力与计算能力，属于中档题．13.（填空题，5分）设A={正方体}，B={直平行六面体}，C={正四棱柱}，D={长方体}，那么上述四个集合间正确的包含关系是___【正确答案】：[1]A⊆C⊆D⊆B．【解析】：根据正方体、直平行六面体、正四棱柱、长方体的定义以及结构特征进行分析判断即可．【解答】：解：在这4种图象中，包含元素最多的是直平行六面体，其次是长方体，最小的是正方体，其次是正四棱柱，故A⊆C⊆D⊆B．故答案为：A⊆C⊆D⊆B．【点评】：本题考查了四棱柱的结构特征的理解和应用，同时考查了集合之间关系的判断及应用，属于基础题．14.（填空题，5分）向量a⃗=(2，1)在向量b⃗⃗=(3，4)方向上的投影向量的坐标为 ___ ．【正确答案】：[1]（65，85）【解析】：求出向量a⃗，b⃗⃗的数量积和向量b的模，再由向量a⃗在向量b⃗⃗方向上的投影为a⃗⃗•b⃗⃗|b⃗⃗|，设向量a⃗在向量b⃗⃗方向上的投影向量m⃗⃗⃗ =（x，y），x＞0，y＞0，由m⃗⃗⃗与b⃗⃗共线，可得y=4x3，又x2+y2=22，解得x，y的值，即可得解．【解答】：解：因为a⃗=(2，1)，b⃗⃗=(3，4)，则 a⃗⃗⃗⃗• b⃗⃗ =2×3+1×4=10，| b⃗⃗ |= √32+42 =5，则向量a⃗在向量b⃗⃗方向上的投影为a⃗⃗•b⃗⃗|b⃗⃗| = 105=2，设向量a⃗在向量b⃗⃗方向上的投影向量m⃗⃗⃗ =（x，y），x＞0，y＞0，由于m⃗⃗⃗与b⃗⃗共线，可得 x3=y4，即y= 4x3，又x2+y2=22，解得x= 65，y= 85，所以向量a⃗=(2，1)在向量b⃗⃗=(3，4)方向上的投影向量的坐标为（65，85）．故答案为：（ 65 ， 85 ）．【点评】：本题考查平面向量的数量积的坐标表示和向量的模的公式，考查向量的投影定义，考查运算能力，属于中档题．15.（填空题，5分）如图，在△ABC 中， BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，点E 在线段AD 上移动（不含端点），若 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 λμ =___ ，λ2-2μ的最小值是___ ．【正确答案】：[1]2; [2] −14【解析】：由已知结合向量的线性表示及共线定理可以 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后结合平面向量基本定理可求 λμ，结合二次函数的性质可求λ2-2μ的最小值．【解答】：解：因为 BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 13 （ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ），所以 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 13AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为E 在线段AD 上移动（不含端点）， 所以 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = xAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = x3AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2x3AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，（0＜x ＜1）， 所以λ= 2x3 ，μ= x3 ， λμ =2， λ2-2μ=4x 29−2x 3， 根据二次函数的性质知，当x= 34时取得最小值- 14． 故答案为：2，- 14 ．【点评】：本题主要考查了向量的线性表示及平面向量基本定理，还考查了二次函数性质的应用，属于中档题．16.（填空题，5分）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1为棱长为2，动点P ，Q 分别在棱BC ，CC 1上，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，设BP=x ，CQ=y ，其中x ，y∈[0，2]，下列命题正确的是___ ．（写出所有正确命题的编号） ① 当x=0时，S 为矩形，其面积最大为4； ② 当x=y=1时，S 的面积为 92 ；③ 当x=1，y∈（1，2）时，设S与棱C1D1的交点为R，则RD1=4−4y；④ 当y=2时，以B1为顶点，S为底面的棱锥的体积为定值83．【正确答案】：[1] ② ③ ④【解析】：由题意可知当x，y变化时，S为不同的图形，故可根据题意逐一判断即可．【解答】：解：当x=0时，点P与点B重合，∴AB⊥PQ，此时S为矩形，当点Q与点C1重合时，S的面积最大，S= 2×2√2 = 4√2．故① 错误；当x=1，y=1时，PQ为△BCC1的中位线，PQ || BC1，∵BC1 || AD1，∴AD1 || PQ，∴S为等腰梯形APQD1，过P作PE⊥AD1于E，PQ= √2，AD1=2 √2，∴ AE=√22，AP= √5，∴ PE=3√22，∴S梯形APQD1=12×3√2×3√22= 92，故② 正确；由图可设S与DD1交于点F，可得D1F || CC1，△C1QR∽△D1FR，C1RD1R =C1QFD1∵CQ=y，则C1Q=2-y，∴ RD1=4−4y，故③ 正确；当y=2时，以B1为定点，S为底面的棱锥为B1-APC1H，V B1−APC1H =2V P−B1C1H=2×13×12×2 × 2×2=83，故④ 正确；故答案为：② ③ ④ ．【点评】：本题考查了立体几何的截面面积的相关知识点，以及棱锥体积公式．17.（问答题，10分）已知向量a⃗与b⃗⃗的夹角θ=2π3，且| a⃗ |=3，| b⃗⃗ |=2．（1）求a⃗•b⃗⃗，| a⃗ + b⃗⃗ |；（2）求向量a⃗与a⃗ + b⃗⃗的夹角的余弦值．【正确答案】：【解析】：（1）由已知结合向量数量积的定义及性质即可直接求解； （2）结合向量夹角公式即可直接求解．【解答】：解：（1） a ⃗•b ⃗⃗ =| a ⃗ || b ⃗⃗ |cos 2π3 =3× 2×(−12) =-3， | a ⃗+b ⃗⃗ |= √(a ⃗+b ⃗⃗)2= √a ⃗2+b ⃗⃗2+2a ⃗•b ⃗⃗ = √9+4−6 = √7 ， （2）设向量 a ⃗ 与 a ⃗ + b ⃗⃗ 的夹角θ， 则cosθ= a ⃗⃗•(a ⃗⃗+b ⃗⃗)|a ⃗⃗||a ⃗⃗+b⃗⃗| = 3×√7 = 2√77 ．【点评】：本题主要考查了向量数量的性质的综合应用，属于基础试题． 18.（问答题，12分）（1）在△ABC 中，a=1，b=2，cosC= 14，求cosA ． （2）在△ABC 中，已知a= 5√2 ，c=10，A=30°，求角B ；【正确答案】：【解析】：（1）由已知结合余弦定理可求c ，然后结合余弦定理可求； （2）由正弦定理可求sinC ，进而求出C ，结合三角形内角和求出B ．【解答】：解：（1）由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2abcosC=1+4-2× 1×2×14 =4， 解得c=2， 再由余弦定理得cosA= b 2+c 2−a 22bc = 4+4−12×2×2 = 78 ；（2）由正弦定理得 asinA =csinC ， 所以sinC= 10×125√2= √22 ， 因为C 为三角形内角， 所以C=45°或C=135°， 当C=45°时，B=105°，C=135°时，B=15°．【点评】：本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．19.（问答题，12分）已知棱长为1的正方体AC1，H、I、J、K、E、F分别相应棱的中点如图所示．（1）求证：H、I、J、K、E、F六点共面；（2）求证：BE、DF、CC1三线共点；（3）求几何体B1BE-D1DF的体积．【正确答案】：【解析】：（1）连接C1D，AB1，推导出FJ || KH，设两线确定的平面为α，则点F，J，K，H∈α，在平面ADD1A1内延长JI交直线A1A于P点，推导出AP=DJ=12AA1，在平面ABB1A1内延长KH交直线A1A与Q点，推导出AQ=12AA1，由此能证明H、I、J、K、E、F 共面．（2）设BE∩DF=O，则O∈平面DC1，O∈平面BC1，由此能证明BE、DF、CC1三线共点；（3）由S△C1EF =18，S△CBD=12，求出V棱台C1EF−CBD=13(S△C1EF+S△CBD+√S△C1EF⋅S△CBD)⋅|CC1|=724，由此能求出几何体B1BE-D1DF的体积．【解答】：（1）证明：连接C1D，AB1，由已知FJ || C1D，KH || AB1，又C1D || AB1，∴FJ || KH，设两线确定的平面为α，即点F，J，K，H∈α，在平面ADD1A1内延长JI交直线A1A于P点，由△API与△DJI全等，可得AP=DJ=12AA1，在平面ABB1A1内延长KH交直线A1A与Q点，同理可得AQ=12AA1，∴P，Q重合，∴P∈α，∴I∈α同理可证E∈α，综上H、I、J、K、E、F共面．（2）证明：设BE∩DF=O，则O∈平面DC1，O∈平面BC1，∵平面DC1∩平面BC1=CC1，∴O∈CC1，∴BE、DF、CC1三线共点；（3）解：∵ S△C1EF =18，S△CBD=12，∴ V棱台C1EF−CBD =13(S△C1EF+S△CBD+√S△C1EF⋅S△CBD)⋅|CC1|=13×(18+12+14)=724，∴ V几何体B1BE−D1DF =12−724=524．【点评】：本题考查六点共面、三线共点的证明，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力等数学核心素养，是中档题．20.（问答题，12分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分别为对角线BD、CD1上的点，且CQQD1 = BPPD= 23．（1）求证：PQ || 平面A1D1DA；（2）若R是CD上的点，当CRCD的值为多少时，能使平面PQR ||平面B1C1CB？请给出证明．【正确答案】：【解析】：（1）连接CP，并延长与DA的延长线交于M点，由三角形的相似和线面平行的判定定理，即可得证；（2）当CRCD =25时，能使平面PQR || 平面B l C l BC．由平行线的判定和性质，以及线面平行和面面平行的判定定理，即可得到结论．【解答】：（1）证明：连接CP，并延长与DA的延长线交于M点，因为四边形ABCD为正方形，所以BC || AD，故△PBC∽△PDM，所以CPPM =BPPD=23，又因为CQQD1=BPPD=23，所以CQQD1=CPPM=23，所以PQ || MD1．又MD1⊂平面A1D1DA，PQ⊄平面A1D1DA，故PQ || 平面A1D1DA．（2）当CRCD =25时，能使平面PQR || 平面B l C l CB．证明：因为CRCD =25，即有CRRD=23，故CQQD1=CRRD=23，所以QR || DD1．又∵DD1 || CC1，∴QR || CC1，又CC1⊂平面B l C l CB，QR⊄平面B l C l CB，所以QR || 平面B l C l CB，由CRRD =23=BPPD，得PR || BC，BC⊂平面B l C l CB，PR⊄平面B l C l CB，所以PR || 平面B l C l CB，又PR∩RQ=R，所以平面PQR || 平面B l C l CB．【点评】：本题考查线面平行和面面平行的判定定理，以及平行线的性质和三角形相似的性质，考查转化思想和运算能力，属于中档题．21.（问答题，12分）若函数f（x）= √3 sinx+2cos2x2，△A BC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）=3．（1）当b+ca取最大值时，判断△ABC的形状；（2）在△ABC中，D为BC边的中点，且AD= √13，AC=2，求BC的长．【正确答案】：【解析】：利用三角恒等变换化简f（x），由f（A）=3，可求得A的大小，（1）利用正弦定理以及三角恒等变换可求得b+ca取最大值时B的大小，即可求解△ABC的形状；（2）取AB边的中点E，连接DE，在△ADE中，利用余弦定理可求解AE，从而可得AB，在△ABC中，利用余弦定理即可求解BC．【解答】：解：因为f（x）= √3 sinx+2cos2x2 = √3 sinx+cosx+1=2sin（x+ π6）+1，所以f（A）=2sin（A+ π6）+1=3，即sin（A+ π6）=1，因为0＜A＜π，所以π6＜A+ π6＜7π6，所以A+ π6= π2，A= π3．（1）由正弦定理可得b+ca = sinB+sinCsinA= sinB+sin(2π3−B)√32=2sin（B+ π6），因为0＜B＜2π3，所以π6＜B+ π6＜5π6，所以当B= π3时，b+ca取得最大值，此时C= π3，所以A=B=C，所以△ABC是等边三角形．（2）解：取AB边的中点E，连接DE，则DE || AC，且DE= 12 AC=1，∠AED= 2π3，在△ADE中，由余弦定理得AD2=AE2+DE2-2AE•DE•cos 2π3=13，解得AE=3，AB=6，在△ABC中，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cosA=36+4-2×6×2× 12=28，所以BC=2 √7．【点评】：本题主要考查三角恒等变换，正、余弦定理在解三角形中的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．22.（问答题，12分）已知向量m⃗⃗⃗=(cos2x+2√3sinx，1)，n⃗⃗=(2，−a)．（1）当a=0时，令f(x)=m⃗⃗⃗•n⃗⃗，求f（x）的最值；（2）若关于x方程m⃗⃗⃗•n⃗⃗=0在x∈(0，5π2)上有6个不等的实根，求a的取值范围；（3）当m⃗⃗⃗•n⃗⃗≥0对x∈[x1，x2]恒成立时，x2-x1的最大值为5π3，求a的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数，转化求解幂函数的最值即可．（2）由 m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗=0 ， −4sin 2x +4√3sinx +2−a =0 令t=sinx ， ℎ(t )=−4t 2+4√3t +2−a 结合函数的零点，转化求解a 的范围即可．（3）通过 m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗≥0 ，推出 √3−√5−a ≤2sinx ≤√3+√5−a ，然后分类讨论推出a 的范围，转化求解即可．【解答】：解：（1）∵a=0， f (x )=m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗=2cos2x +4√3sinx =2(1−2sin 2x )+4√3sinx =−4(sinx −√32)2 +5， 又|sinx|≤1，∴当sinx=-1时， f (x )min =−2−4√3 ；当 sinx =√32 时，f （x ）max =5． （2）由 m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗=0 ， −4sin 2x +4√3sinx +2−a =0令t=sinx ， ℎ(t )=−4t 2+4√3t +2−a由题意，结合函数t=sinx 在 x ∈(0，5π2) 上的图像可知： ℎ(t )=−4t 2+4√3t +2−a 在t∈（0，1）上有两个零点，∴Δ＞0，16×3+16（2-a ）＞0，并且h （1）=-4+4 √3 +2-a ＜0，h （0）=2-a ＜0，解得 4√3−2＜a ＜5 ，（3）∵ m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗≥0 ，即： 4sin 2x −2+a −4√3sinx ≤0 ，即 (2sinx −√3)2≤5−a ，则5-a≥0，得a≤5，得 √3−√5−a ≤2sinx ≤√3+√5−a ，∵对x∈[x 1，x 2]恒成立时，x 2-x 1的最大值为 5π3 ，∴当 √3+√5−a ＞2 时，不妨 2sin (π2−12×5π3)=−√3=√3−√5−a ，得 2√3=√5−a ，得a=-7，当 √3−√5−a ＜−2 时，不妨 2sin (3π2−12×5π3)=√3=√3+√5−2 ，得 √5−a =0 ，得a=5，此时√3−√5−a＜−2不成立，舍去，综上a=-7．【点评】：本题考查向量的数量积的应用，两角和与差的三角函数，函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力，是难题．。
河南省洛阳市第一高级中学2020-2021学年高一下学期5月月考数学试题+PDF版含答案
的值转化为求 n 个一次多项式的值．已知 f（x） ．
15．设 O 为△ABC 内部的一点，且
＝ ，则△AOC 的面积与△BOC 的面积之比为
．
16．已知锐角△ABC，且 tanA+tanB＝3tanAtanB，则 tanA•tanB•tanC 的最小值为
．
三．解答题（共 6 小题，第 17 题 10 分，其他小题每小题 12 分）
的值转化为求 n 个一次多项式的值．已知 f（x） ．
15．设 O 为△ABC 内部的一点，且
＝ ，则△AOC 的面积与△BOC 的面积之比为
．
16．已知锐角△ABC，且 tanA+tanB＝3tanAtanB，则 tanA•tanB•tanC 的最小值为
．
三．解答题（共 6 小题，第 17 题 10 分，其他小题每小题 12 分）
值作代表）．
第 3页（共 4页）
18．已知圆 C 经过点 A（2，﹣1），和直线 x+y﹣1＝0 相切，且圆心在直线 y＝﹣2x 上． （1）求圆 C 的方程； （2）已知直线 l 经过（2，0）点，并且被圆 C 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程．
19．已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面为平行四边形，平面 PBC⊥平面 ABCD，点 E 在 AD 上，AD⊥平面 PEC． （1）求证：PC⊥平面 ABCD； （2）若 AE＝2ED，在线段 PB 上是否存在一点 F，使得 AF∥平面 PEC，请说明理由．
22．已知函数
．
（1）求函数 f（x）在区间
上的值域；
（2）求函数 f（ωx）（ω＞0）图象上的所有点向右平移 个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来
的 倍（纵坐标不变），得到函数 g（x）的图象，若
精品解析：福建省宁德市部分达标中学2022-2023学年高一下学期期中联合考试数学试题(解析版)
2020—2021学年宁德市部分达标中学第二学期期中联合考试高一数学试题一单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出地选项中,有且仅有一个选项是正确地1. 若复数11iz i -=+,则z =A. 1B. 1-C. iD. i-【结果】C【思路】【详解】由已知21(1)1(1)(1)ii z i i i i --===-++-,则z = i .故选C.2. 一梯形地直观图是如图所示地等腰梯形,且直观图O A B C ''''地面积为1,则原梯形地面积为（ ）A 1C. 2D. 【结果】D【思路】【思路】依据斜二测画法地规则将图还原,平面图是一个直角梯形,从而可求出其面积【详解】解：把该梯形地直观图还原为原来地梯形,如图所示,设原来梯形地上底为a ,下底为b ,高为h ,则直观图中等腰梯形地高为'1sin 452h h =︒,因为直观图地面积为'111()()sin 451222a b h a b h +=+⋅︒=,所以1()2a b h +==,所以原梯形地面积为故选：D .【点睛】此题考查了平面图形地直观图地画法与应用问题,掌握斜二测画法地作图规则是解题地关键,属于基础题3. ABC ∆地三个内角A ,B ,C 地对边分别为,,a b ,c ,2220a c b ac +--=,则B =（ ）A. 2π B. 3π C. 4π D. 6π【结果】B【思路】【思路】依据2220a c b ac +--=,利用余弦定理求解.【详解】因为2220a c b ac +--=,即222a c b ac+-=所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===,因为(0,)B π∈,所以3B π=．故选：B ．4. 阿基米德（Archimedes ,公圆前287年—公圆前212年）是古希腊伟大地数学家，物理学家和天文学家．他推导出地结论“圆柱内切球体地体积是圆柱体积地三分之二,并且球地表面积也是圆柱表面积地三分之二”是其毕生最满意地数学发现,后人按照他生前地要求,在他地墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球,如图,该球顶天立地,四周碰边,圆柱地底面直径与高都等于球地直径,若球地体积为36π,则圆柱地表面积为（ ）A. 36πB. 45πC. 54πD. 63π【结果】C【思路】【思路】首先理解题意,直接求解圆柱地体积,即可得圆柱底面地半径,再求圆柱地表面积.【详解】由题意可知,2=3V V 内切球圆柱,=54V π∴圆柱,设圆柱底面半径为r ,则2254r r ππ⨯=,得3r =,则圆柱地表面积222254S r r r πππ=⨯+=.故选：C5. 如图所示,在四边形ABCD 中,13DC AB = ,E 为BC 地中点,且=AE x AB y AD + ,则32x y -=A. 12 B. 32C. 1D. 2【结果】C【思路】【详解】E 为BC 地中点,12BE BC ∴＝， 而23BC BA AD DC AB AD ++=-+ ＝1121122332BE BC AB AD AB AD ⎛⎫∴=-+=-+ ⎪⎝⎭＝＝，则2132AE AB BE AB AD ++ ＝＝且AE x AB y AD + ＝ ,2132x y ∴＝，＝,则321x y ，-= 故选C ．6. △ABC 三个内角A ,B ,C 对边分别为a b c 、、,已知sin 2sin B C =,且78a A ==,则ABC 地面积等于（）的C. 2D. 3【结果】A【思路】【思路】由sin 2sin B C =结合正弦定理可得2b c =,利用余弦定理求得2,4c b ==,再依据三角形面积公式求得结果.【详解】由sin 2sin B C =可得：2b c = ,故22222567cos 248b c a c A bc c +--=== ,解得2,4c b == ,故11sin 4222ABC S bc A ==⨯⨯= ,故选：A7. ABC ∆是边长为1地等边三角形,点,D E 分别是边,AB BC 地中点,连接DE 并延长到点F ,使得2DE EF =,则·AF BC 地值为（ ）A. 58- B. 18 C. 14 D. 118【结果】B【思路】【详解】试题思路：设BA a = ,BC b =,∴11()22DE AC b a ==- ,33()24DF DE b a ==- ,1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+ ,∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+= .【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量地数量积问题,一般有两个思路,一是建立直角坐标系,利用坐标研究向量数量积。
2020-2021学年上海市奉贤中学高一(下)期中数学试卷
2020-2021学年上海市奉贤中学高一（下）期中数学试卷试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，2）， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（3，5），则向量 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是___ ．2.（填空题，4分）函数y=sin （πx+3）的最小正周期是___ ．3.（填空题，4分）一个扇形半径是2，圆心角的弧度数是3，则此扇形的面积是___ ．4.（填空题，4分）设 a =（ 32 ，sinα）， b ⃗ =（cosα， 16），且 a || b ⃗ ，则cos2α=___ ． 5.（填空题，4分）函数y=sinx- √3 cosx 在[0，2π]的单调增区间是___ ．6.（填空题，4分）直角坐标系xOy 中， i 、 j 分别是与x 、y 轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC 中，若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2 i + j ， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3 i +k j ，则k 的可能值个数是___ ．7.（填空题，5分）已知函数f （x ）=sinx （x∈[0，π]）和函数g （x ）= √32 tanx 的图象交于A 、B 、C 三点．则△ABC 的面积为___ ．8.（填空题，5分）已知| a |=1，| b ⃗ |=2， a 与 b ⃗ 的夹角为60°，则 a + b ⃗ 在 a 方向上的投影为___ ．9.（填空题，5分）函数y=sin 2x+2cosx+1在区间[- 23 π，θ]上的最小值是 34 ，则θ的最大值为 ___ ．10.（填空题，5分）已知函数f （x ）=cosx|sinx|，下列说法正确的是___ ． ① f （x ）图象关于x= π4对称； ② f （x ）的最小正周期为2π； ③ f （x ）在区间[ 3π4，5π4 ]上是严格减函数； ④ f （x ）图象关于（ π2 ，0）中心对称．11.（填空题，5分）a≤b 时，记{a ，b}min =a ．已知f （x ）=cosnx•{sinnx ，cosnx}min ，x∈[0，π2n]．则y=f （x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为___ ．12.（填空题，5分）如图，在锐角△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，a ＞b ＞c ，且a 、b 、c 是常数，O 是△ABC 的外心，OD⊥BC 于D ，OE⊥AC 于E ，OF⊥AB 于F ，设m= OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n= OE ⃗⃗⃗⃗⃗ • OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，l= OF ⃗⃗⃗⃗⃗ • OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m ：n ：l=___ ．13.（单选题，5分）函数y=3sin （2x+ π3）的图象可以看作是把函数y=3sin2x 的图象作下列移动而得到（ ） A.向左平移 π3 单位 B.向右平移 π3 单位 C.向左平移 π6 单位 D.向右平移 π6 单位14.（单选题，5分）已知0＜α＜ π2 ，将角α的终边逆时针旋转 π6 ，所得的角的终边交单位圆于P （- 13 ，y ），则sinα的值为（ ） A. 2√2−√36B. 2√2+√36C.2√6−16 D.2√6+1615.（单选题，5分）设O 为△ABC 所在平面内一点，满足 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则△ABC 的面积与△BOC 的面积的比值为（ ） A.6 B. 83C. 127D.516.（单选题，5分）已知 x ，y ∈[−π4，π4] ，x 3+sinx-2a=0，4y 3+sinycosy+a=0，则cos （x+2y ）的值是（ ） A.1 B.-1 C.0 D. 1217.（问答题，14分）化简：（1）tan(α−β)+tanβ1−tan(α−β)tanβ；（2）sin 2(π−θ)cos(π2−θ)−sin(π2+θ)−cos(π+θ)1−tan(3π+θ)−√2sin(θ+π4)．18.（问答题，14分）设平面上有两个向量a =（cosα，sinα），b⃗ =（−√32，12）．（1）求证：向量a + b⃗与a - b⃗垂直：（2）当向量√3a + b⃗与a - √3b⃗的模相等时，求α的大小．19.（问答题，14分）甲船在距离A港口12海里并在南偏西10°方向的C处驻留等候进港，乙船在A港口南偏东20°方向的B处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为6 √5海里．乙船的速度为每小时18海里，经过20分钟航行到D处，求此时甲、乙两船相距多少海里？甲在乙的什么方向？20.（问答题，16分）函数f（x）=6cos2ωx2+ √3 sin（ωx）-3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f(x0)=6√35，且x0∈(−103，23)，求f（x0+1）的值；（3）若y=f2（x）-af（x）+1的最小值为12，求a的取值．21.（问答题，18分）f（x）=sin2x+sin2（x+α）+sin2（x+β）．其中α、β是常数．且0≤α≤β≤π：（1）若α=π2，β=π2，m＜f(x)恒成立，求m的取值范围；（2）若α=π6，β=π3，求关于x的方程n=f（x），x∈[0，2π]所有解的和：（3）f（x）是否可能为常值函数？如果可能，求出f（x）为常值函数时，α、β的值；如果不可能，请说明理由．2020-2021学年上海市奉贤中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，2）， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（3，5），则向量 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是___ ． 【正确答案】：[1]（2，3）【解析】：根据 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可求出向量 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标．【解答】：解： BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3，5)−(1，2)=(2，3) ． 故答案为：（2，3）．【点评】：考查向量减法的几何意义，以及向量坐标的减法运算． 2.（填空题，4分）函数y=sin （πx+3）的最小正周期是___ ． 【正确答案】：[1]2【解析】：由题意利用正弦函数的单调性，得出结论．【解答】：解：函数y=sin （πx+3）的最小正周期是 2ππ =2， 故答案为：2．【点评】：本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．3.（填空题，4分）一个扇形半径是2，圆心角的弧度数是3，则此扇形的面积是___ ． 【正确答案】：[1]6【解析】：利用扇形面积公式求解．【解答】：解：由扇形面积公式可知：S= 12|α|r 2 =6， 故答案为：6．【点评】：本题主要考查了扇形面积公式，是基础题．4.（填空题，4分）设 a =（ 32 ，sinα）， b ⃗ =（cosα， 16），且 a || b ⃗ ，则cos2α=___ ． 【正确答案】：[1]± √32【解析】：由已知利用平面向量共线的坐标表示以及二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】：解：因为 a =（ 32 ，sinα）， b ⃗ =（cosα， 16），且 a || b ⃗ ， 所以sinαcosα- 14 =0，即sin2α= 12 ， 所以cos2α=± √1−sin 22α =± √32 ． 故答案为：± √32 ．【点评】：本题主要考查了平面向量共线的坐标表示以及二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．5.（填空题，4分）函数y=sinx- √3 cosx 在[0，2π]的单调增区间是___ ． 【正确答案】：[1] [0，5π6]和[11π6，2π] 【解析】：首先把函数的关系式通过三角函数的关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果．【解答】：解：y=sinx- √3 cosx=2sin （x- π3 ）， 令 −π2+2kπ≤x −π3≤2kπ+π2 （k∈Z ）， 整理得： −π6+2kπ≤x ≤2kπ+5π6（k∈Z ）， 当k=0和1时，在[0，2π]的单调增区间 [0，5π6]和[11π6，2π] ． 故答案为： [0，5π6]和[11π6，2π] ．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数的关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6.（填空题，4分）直角坐标系xOy 中， i 、 j 分别是与x 、y 轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC 中，若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2 i + j ， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3 i +k j ，则k 的可能值个数是___ ． 【正确答案】：[1]-6，-1【解析】：利用 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = i +（k-1） j ，再分三种情况∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°加以讨论，利用向量的数量积等于零，建立关系式，再解方程求得所有可能k 的值．【解答】：解：∵ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2i +j ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3i +kj ， ∴ BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = i +(k −1)j 因为△ABC 为直角三角形，（1）∠A=90°时， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6+k =0 ⇒k=-6； （2）∠B=90°时， AB⃗⃗⃗⃗⃗ •BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2+k −1=0 ⇒k=-1； （3））∠C=90°时， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ •AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3+k (k −1)=0 ⇒k∈∅ 综上所述，k=-6或-1 故答案为：-6，-1．【点评】：本题考查向量坐标的定义、考查向量的运算法则、考查向量垂直的充要条件．解答的关键是利用向量垂直的充要条件列出等式，所得到方程的所有解即为可能的k 值．7.（填空题，5分）已知函数f （x ）=sinx （x∈[0，π]）和函数g （x ）= √32 tanx 的图象交于A 、B 、C 三点．则△ABC 的面积为___ ． 【正确答案】：[1] π4【解析】：画出两个函数的图象，求出三个点的坐标，然后求解三角形面积．【解答】：解：由函数f （x ）=sinx （x∈[0，π]）和函数g （x ）= √32 tanx 的图象交于A 、B 、C 三点，可得A （0，0），B （π，0），令sinx= √32 tanx ，可得cosx= √32 ，x= π6 ，∴C （ π6 ， 12 ）， 所以S △ABC = 12×π× 12= π4， 故答案为： π4 ．【点评】：本题考查三角函数的图象以及三角形的面积的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．8.（填空题，5分）已知| a |=1，| b ⃗ |=2， a 与 b ⃗ 的夹角为60°，则 a + b ⃗ 在 a 方向上的投影为___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：根据| a |=1，| b ⃗ |=2， a 与 b ⃗ 的夹角为60°，算出| a + b ⃗ |= √7 且（ a + b ⃗ ）• a =2．再设 a + b ⃗ 与 a 的夹角为θ，结合数量积公式和向量投影的定义，算出| a + b ⃗ |cosθ的值，即可得到向量 a + b ⃗ 在 a 方向上的投影值．【解答】：解：∵| a |=1，| b ⃗ |=2， a 与 b ⃗ 的夹角为60°， ∴ a • b ⃗ = a |×| b ⃗ |×cos60°=1由此可得（ a + b ⃗ ）2=| a |2+2 a • b ⃗ +| b ⃗ |2=1+2+4=7 ∴| a + b ⃗ |= √7 ．设 a + b ⃗ 与 a 的夹角为θ，则 ∵（ a + b ⃗ ）• a =| a |2+ a • b ⃗ =2 ∴cosθ=(a ⃗ +b ⃗ )•a ⃗ |a⃗ +b ⃗ |•|a ⃗ | = 2√77 ， 可得向量 a + b ⃗ 在 a 方向上的投影为| a + b⃗ |cosθ= √7 × 2√77=2 故答案为：2【点评】：本题给出向量| a |、| b ⃗ |和 a 与 b ⃗ 的夹角，求向量 a + b ⃗ 在 a 方向上的投影．着重考查了向量数量积的定义、向量的夹角公式和向量投影的概念等知识，属于基础题． 9.（填空题，5分）函数y=sin 2x+2cosx+1在区间[- 23 π，θ]上的最小值是 34 ，则θ的最大值为 ___ ．【正确答案】：[1] 56π【解析】：由已知中函数y=sin 2x+2cosx+1，由同角三角函数的基本关系，将函数的解析式化为y=-（cosx-1）2+3的形式，进而根据函数的最小值为 34 ，结合已知中x∈[- 23 π，θ]及余弦函数的图象和性质，即可得到θ的最大值．【解答】：解：∵函数y=sin 2x+2cosx+1=-cos 2x+2cosx+2=-（cosx-1）2+3 若在区间[- 23 π，θ]上的最小值为 34 ， 则由y=-（cosx-1）2+3= 34 ， 解得cosx=- 12 ， 又∵x∈[- 23 π，θ] ∴θ= 56 π，故答案为： 56π．【点评】：本题考查的知识点是二次函数在闭区间上的最值，同角三角函数的基本关系，余弦函数的图象和性质，其中根据已知条件，结合同角三角函数的基本关系，将函数的解析式化为二次型函数的形式是解答本题的关键．10.（填空题，5分）已知函数f （x ）=cosx|sinx|，下列说法正确的是___ ． ① f （x ）图象关于x= π4 对称； ② f （x ）的最小正周期为2π； ③ f （x ）在区间[ 3π4，5π4 ]上是严格减函数； ④ f （x ）图象关于（ π2 ，0）中心对称． 【正确答案】：[1] ② ④【解析】：画出f （x ）的图像，由图像即可判断 ① ② ③ ④ 的正误．【解答】：解：函数f （x ）=cosx|sinx|的图像如图所示，由f （-x ）=f （x ），可得f （x ）为偶函数，由图像可得 ① 错， ② 正确； f （x ）在区间[ 3π4，5π4 ]上为不单调函数，故 ③ 错； f （x ）的图像关于（ π2 ，0）中心对称，故 ④ 正确； 故答案为： ② ④ ．【点评】：本题考查了三角函数的图像和性质，考查了函数的对称性，单调性和周期性，注意数形结合思想的运用．11.（填空题，5分）a≤b 时，记{a ，b}min =a ．已知f （x ）=cosnx•{sinnx ，cosnx}min ，x∈[0，π2n]．则y=f （x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为___ ．【正确答案】：[1] π8n【解析】：先由x∈[0， π2n ]．确定nx 的范围，然后就能确定{sinnx ，cosnx}min 取值，将函数f （x ）写成分段形式，利用积分的性质 ∫f ba (x )dx =∫f ca (x )dx +∫f bc(x )dx ，分别对分段进行求取积分在相加．【解答】：解：因为x∈[0， π2n ]．所以nx ∈[0，π2] ， 所以f （x ）=cosnx•{sinnx ，cosnx}min = {cosnx •sinnxx ∈[0，π4n ]cosnx •cosnxx ∈(π4n ，π2n ]= {12sin2nx x ∈[0，π4n ]12(1+cos2nx )x ∈(π4n ，π2n ]y=f （x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为 ∫f π2n0(x )dx = ∫12π4nsin2nxdx +∫12π2n π4n(1+cos2nx )dx = 14n•(−cos2nx ) |0π4n+ (12x+14n sin2nx) |π4nπ2n = π8n故答案为： π8n ．【点评】：本题主要考查积分的几何意义及分段函数积分的求解，难点在复合函数的定积分求解，属于中档题．12.（填空题，5分）如图，在锐角△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，a ＞b ＞c ，且a 、b 、c 是常数，O 是△ABC 的外心，OD⊥BC 于D ，OE⊥AC 于E ，OF⊥AB 于F ，设m= OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n= OE⃗⃗⃗⃗⃗ • OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，l= OF ⃗⃗⃗⃗⃗ • OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m ：n ：l=___ ．【正确答案】：[1]1：1：1【解析】：连接OA ，OB ，OC ，设∠BAC=∠1，∠ABC=∠2，∠ACB=∠3，利用三角形外接圆的性质以及数量积的运算可求得m= OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =-R 2cos∠1cos∠2cos∠3，同理可求得n ，l ，计算可得结论．【解答】：解：如图，连接OA ，OB ，OC ， 设∠BAC=∠1，∠ABC=∠2，∠ACB=∠3，因为O 是△ABC 的外心，OD⊥BC 于D ，OE⊥AC 于E ，OF⊥AB 于F ， 所以∠DOC=∠DOB=∠1，∠AOE=∠COE=∠2，∠BOF=∠AOF=∠3， 所以m= OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =| OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || OE ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠DOE=（Rcos∠DOC ）（Rcos∠COE ）cos （π-∠ACB ） =-R 2cos∠1cos∠2cos∠3，同理可得n= OE ⃗⃗⃗⃗⃗ • OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =-R 2cos∠1cos∠2cos∠3，l= OF ⃗⃗⃗⃗⃗ • OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-R 2cos∠1cos∠2cos∠3， 所以m ：n ：l=1：1：1． 故答案为：1：1：1．【点评】：本题主要考查向量的数量积运算，三角形外接圆的性质，考查运算求解能力，属于中档题．13.（单选题，5分）函数y=3sin （2x+ π3 ）的图象可以看作是把函数y=3sin2x 的图象作下列移动而得到（ ） A.向左平移 π3 单位 B.向右平移 π3 单位 C.向左平移 π6 单位 D.向右平移 π6 单位 【正确答案】：C【解析】：由条件根据函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】：解：把函数y=3sin2x 的图象向左平移 π6个单位，可得y=3sin2（x+ π6）=3sin （2x+ π3 ）的图象， 故选：C ．【点评】：本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．14.（单选题，5分）已知0＜α＜ π2 ，将角α的终边逆时针旋转 π6 ，所得的角的终边交单位圆于P （- 13 ，y ），则sinα的值为（ ） A.2√2−√36B. 2√2+√36C.2√6−16 D.2√6+16【正确答案】：D【解析】：设角α的终边逆时针旋转 π6 后的角为β，由题意可知 β=α+π6 ，由任意角的三角函数定义可知cos β=−13 ，再利用两角和的余弦公式结合同角三角函数间的基本关系求解．【解答】：解：设角α的终边逆时针旋转 π6 后的角为β， 则 β=α+π6，由任意角的三角函数定义可知cos β=−13， ∴cos （ α+π6 ）=- 13 ， ∴ cosα×√32−sinα×12=−13，又∵sin 2α+cos 2α=1，且0＜α＜ π2， 联立两式可求：sinα= 2√6+16， 故选：D ．【点评】：本题主要考查了任意角的三角函数的定义，考查了同角三角函数间的基本关系，是基础题．15.（单选题，5分）设O 为△ABC 所在平面内一点，满足 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则△ABC 的面积与△BOC 的面积的比值为（ ） A.6 B. 83C. 127 D.5【正确答案】：D【解析】：根据奔驰定理可得S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =1：2：2，进而可以求解．【解答】：解：根据奔驰定理可得S △BOC ：S △AOC ：S △A OB =1：2：2， 所以S △BOC =15S △ABC ，所以三角形ABC 的面积与三角形BOC 的面积的比值为5，故选：D．【点评】：本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到奔驰定理的应用，属于基础题．16.（单选题，5分）已知x，y∈[−π4，π4]，x3+sinx-2a=0，4y3+sinycosy+a=0，则cos（x+2y）的值是（）A.1B.-1C.0D. 12【正确答案】：A【解析】：设f（u）=u3+sinu．根据题设等式可知f（x）=2a，f（2y）=-2a，进而根据函数的奇偶性，求得f（x）=-f（2y）=f（-2y）．进而推断出x+2y=0．进而求得cos（x+2y）=1．【解答】：解：设f（u）=u3+sinu．由① 式得f（x）=2a，由② 式得f（2y）=-2a．因为f（u）在区间[−π4，π4]上是单调奇函数，∴f（x）=-f（2y）=f（-2y）．∴x=-2y，即x+2y=0．∴cos（x+2y）=1．故选：A．【点评】：本题主要考查了利用函数思想解决实际问题．考查了学生运用函数的思想，转化和化归的思想．17.（问答题，14分）化简：（1）tan(α−β)+tanβ1−tan(α−β)tanβ；（2）sin 2(π−θ)cos(π2−θ)−sin(π2+θ)−cos(π+θ)1−tan(3π+θ)−√2sin(θ+π4)．【正确答案】：【解析】：（1）结合两角和的正切公式进行化简可求； （2）结合同角基本关系进行化简即可求解．【解答】：解：（1） tan (α−β)+tanβ1−tan (α−β)tanβ =tan[（α-β）+β]=tanα；（2）原式= sin 2θsinθ−cosθ + cosθ1−tanθ -（sinθ+cosθ），=sin 2θsinθ−cosθ + cosθ1−sinθcosθ-（sinθ+cosθ），= sin 2θsinθ−cosθ + cos 2θcosθ−sinθ -（sinθ+cosθ），=sinθ+cosθ-sinθ-cosθ， =0．【点评】：本题主要考查了同角基本关系，两角和的正切公式，属于基础题． 18.（问答题，14分）设平面上有两个向量 a =（cosα，sinα）， b ⃗ =（ −√32，12 ）． （1）求证：向量 a + b ⃗ 与 a - b⃗ 垂直： （2）当向量 √3 a + b ⃗ 与 a - √3 b ⃗ 的模相等时，求α的大小．【正确答案】：【解析】：（1）根据条件可求出 (a +b ⃗ )•(a −b ⃗ )=0 ，从而得出 (a +b ⃗ )⊥(a −b ⃗ ) ； （2）根据条件可得出 (√3a +b ⃗ )2=(a −√3b ⃗ )2，然后进行数量积的运算可得出 a •b ⃗ =0 ，从而可得出 sin (α−π3)=0 ，这样即可求出α的值．【解答】：解：（1）证明：∵ a =(cosα，sinα)，b ⃗ =(−√32，12) ， ∴ (a +b ⃗ )•(a −b ⃗ )=a 2−b ⃗ 2=1−1=0 ， ∴向量 a +b ⃗ 与 a −b ⃗ 垂直； （2）∵ |√3a +b ⃗ |=|a −√3b ⃗ | ， ∴ (√3a +b ⃗ )2=(a −√3b⃗ )2， ∴ 3+1+2√3a •b ⃗ =1+3−2√3a •b⃗ ，∴ a•b⃗=−√32cosα+12sinα=sin(α−π3)=0，∴ α−π3=kπ，k∈Z，∴ α=π3+kπ，k∈Z．【点评】：本题考查了向量数量积的运算，向量坐标的数量积运算，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．19.（问答题，14分）甲船在距离A港口12海里并在南偏西10°方向的C处驻留等候进港，乙船在A港口南偏东20°方向的B处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为6 √5海里．乙船的速度为每小时18海里，经过20分钟航行到D处，求此时甲、乙两船相距多少海里？甲在乙的什么方向？【正确答案】：【解析】：结合实际问题作出图形，然后结合正弦定理及余弦定理即可直接求解．【解答】：解：作出符合题意的图形，AC=12，BC=6 √3，∠CAB=30°，△ABC中，由正弦定理得，12sin∠ABC = 6√3sin30°，所以sin∠ABC= √55，由AC＜BC知∠ABC为锐角，所以cos∠ABC= 2√55，△BCD中，由余弦定理得CD= √BC2+BD2−2BC•BDcos∠B =√(6√3)2+62−2×6×6√3×2√55=6 √2，由余弦定理得，cos∠BDC= 62+(6√2)2−(6√5)22×6×6√2=- √22，所以∠BDC=135°，1180°-135°+20°=65°，所以甲、乙两船相距6 √2海里，甲在乙的北偏西65°方向．【点评】：本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解实际问题中的应用，属于中档题．20.（问答题，16分）函数f（x）=6cos2ωx2+ √3 sin（ωx）-3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f(x0)=6√35，且x0∈(−103，23)，求f（x0+1）的值；（3）若y=f2（x）-af（x）+1的最小值为12，求a的取值．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用函数的关系式的恒等变换和函数的图象的应用求出函数的关系式；（2）利用（1）的结论，进一步利用角的变换求出结果；（3）求出f（x）的值域，令t=f（x），利用二次函数的性质即可求解a的值．【解答】：解：（1）函数f（x）=6cos2ωx2+ √3 sin（ωx）-3=3cosωx+ √3sinωx=2 √3 sin（ωx+ π3），由于△ABC为正三角形，所以三角形的高为2 √3，所以BC=4．所以函数f（x）的最小正周期为T=4×2=8，所以ω= π4，从而得到f（x）=2 √3 sin（π4 x+ π3）．（2）若f(x0)=6√35，则2 √3 sin（π4x0+ π3）= 6√35，整理得sin（π4x0+ π3）= 35，由于x0∈(−103，23)，所以π4x0+ π3∈（- π2，π2），所以cos（π4x0+ π3）= 45，所以f（x0+1）=2 √3 sin（π4 x0+ π4+ π3）=2 √3 [sin（π4x0+ π3）cos π4+cos（π4x0+ π3）sinπ4 ]=2 √3（35× √22+ 45× √22）= 7√65．（3）f（x）=2 √3 sin（ωx+ π3）的值域为[-2 √3，2 √3 ]，令t=f（x），则t∈[-2 √3，2 √3 ]，所以y=f2（x）-af（x）+1转化为g（t）=t2-at+1，对称轴为t= a2，当a2≥2 √3，即a≥4 √3时，g（t）min=g（4 √3）=12-2 √3 a+1= 12，解得a= 25√312（舍）；当a2≤-2 √3，即a≤-4 √3时，g（t）min=g（-4 √3）=12+2 √3 a+1= 12，解得a=- 25√312（舍）；当-2 √3＜a2＜2 √3，即-4 √3＜a＜4 √3时，g（t）min=g（a2）= a24- a22+1= 12，解得a=±√2．综上可得a=± √2．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，二次函数的图象与性质，考查转化思想与分类讨论思想的应用，考查运算求解能力，属于中档题．21.（问答题，18分）f（x）=sin2x+sin2（x+α）+sin2（x+β）．其中α、β是常数．且0≤α≤β≤π：（1）若α=π2，β=π2，m＜f(x)恒成立，求m的取值范围；（2）若α=π6，β=π3，求关于x的方程n=f（x），x∈[0，2π]所有解的和：（3）f（x）是否可能为常值函数？如果可能，求出f（x）为常值函数时，α、β的值；如果不可能，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意可得f（x）=1+cos2x，则f（x）≥1，进而可得m＜1，即可得出答案．（2）根据题意可得f（x）= 32 +sin（2x- π6），x∈[0，2π]，求出对称轴，作出图象，分情况讨论，即可得出答案．（3）根据题意可得f（x）= 32 - 12（cos2x（1+cos2α+cos2β）-sin2x（sin2α+sin2β））若f（x）是常值函数，则1+cos2α+cos2β=0，sin2α+sin2β=0，由三角恒等变化，解得答案．【解答】：解：（1）f（x）=sin2x+sin2（x+ π2）+sin2（x+ π2）=sin2x+2cos2x=1+cos2x，所以f（x）≥1，所以m＜1．（2）所以f（x）=sin2x+sin2（x+ π6）+sin2（x+ π3）= 32 - 12（cos2x+cos（2x+ π3）+cos（2x+ 2π3））= 32 - 12（cos2x- √3 sin2x），= 32 +sin（2x- π6），x∈[0，2π]．令2x- π6 = π2+kπ，k∈Z，则x= π6 + kπ2，k∈Z，所以在（0，2π）上的对称轴为x= π6，x= 2π3，x= 7π6，x= 5π3，当n＞1时，关于x的方程n=f（x），x∈[0，2π]所有解的和为2× π6 +2× 7π6= 8π3，当12＜n≤1时，关于x的方程n=f（x），x∈[0，2π]所有解的和为2× 2π3+2× 5π3= 14π3，当n= 12时，关于x的方程n=f（x），x∈[0，2π]所有解的和为2π3+ 5π3= 7π3，当n＞52或n＜12时，关于x的方程n=f（x），x∈[0，2π]所有解的和为0．（3）f（x）= 32 - 12（cos2x+cos2xcos2α-sin2xsin2α+cos2xcos2β-sin2xsin2β）= 32 - 12（cos2x（1+cos2α+cos2β）-sin2x（sin2α+sin2β））若f（x）是常值函数，则1+cos2α+cos2β=0，sin2α+sin2β=0，由sin2α+sin2β=0，得2β=-π+2α或2β=2π-2α，当β= π2+α时，1+cos2α+cos2β=1+cos2α+cos（π+2α）=1≠0，所以不成立，当β=π-α时，1+cos2α+cos2β=1+cos2α+cos（2π-2α）=1+2cos2α=0，所以cos2α=- 12，所以2α= 2π3或2α= 4π3，所以α= π3，β= 2π3．【点评】：本题考查三角函数的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．。
湖南师范大学附属中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题含解析
湖南师范大学附属中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设(12)16i x y i -+=--，,x y R ∈，则||x yi -=（ ） A ．6B ．5C ．4D ．32．下列说法正确的是（ ） A ．任意三点确定一个平面B ．两个不重合的平面α和β有不在同一条直线上的三个交点C ．梯形一定是平面图形D ．一条直线和一个点确定一个平面 3．在边长为3的等边三角形ABC 中，12BM MC =，则AB BM ⋅=（ ）A B ．32C ．32-D ．124．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的周长为（ ）A ．2+B ．8C ．4D ．5．已知1OA =，3OB =，56AOB π∠=，若O B O C ⊥u u u r u u u r 且OC mOA nOB =+，则mn（ ）. A ．5B ．4C ．2D ．16．某正方体的平面展开图如图所示，则在这个正方体中A ．NC 与DE 相交B ．CM 与ED 平行C ．AF 与CN 平行D ．AF 与CM 异面7．如图所示，CD 是附中校园内一标志性雕像，小明同学为了估算该雕像的高度，在学校教学楼AB (高为15)m )与雕像之间的地面上的点M 处(B ，M ，D 三点共线)测得楼顶A 及雕像顶C 的仰角分别是15︒和60︒，在楼顶A 处又测得雕塑顶C 的仰角为30︒，假设AB ､CD 和点M 在同一平面内，则小明估算该雕像的高度为（ ）A ．20mB ．30mC ．D ．8．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且12AA AB ==.下列说法错误的是（ ）A ．四棱锥11B A ACC -为“阳马” B ．四面体11AC CB 为“鳖臑” C ．四棱锥11B A ACC -体积最大为23D ．过A 点分别作1AE A B ⊥于点E ，1AF AC ⊥于点F ，则1EF A B ⊥二、多选题9．对任意平面向量a ，b ，c ，下列命题中真命题是（ ） A ．若a b b c ⋅=⋅r r r r，则a c =B ．若a b =，b c =，则a c ＝C ．a b a b -<+D ．a b a b ⋅≤10．已知a ，b 表示直线，,,αβγ表示平面，则下列推理不正确的是（ ） A ．,//a b a b αβα⋂=⊂⇒ B ．,////a a b b αβα=⇒，且b β//C ．//,//,,//a b a b ββαααβ⊂⊂⇒D ．//,,//a b a b αβαγβγ==⇒11．在ABC 中，内角A ，B ､C 所对的边分别为a ､b ､c ，ABC 的面积为S ，下列与ABC 有关的结论，正确的是（ ）A ．若ABC 为锐角三角形，则sin cos AB > B ．若A B >，则sin sin A B >C ．若cos cos a A b B =，则ABC 一定是等腰三角形D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=三、单选题12．直角三角形ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足2BP PC =，点M 、N 在过点P 的直线上，若AM mAB =，AN nAC =，()0,0m n >>，则下列结论错误的是（ ） A ．12m n+为常数 B ．m n +的最小值为169C ．2m n +的最小值为3D ．m 、n 的值可以为12m =，2n =四、填空题13．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°,半径为l 的扇形,则这个圆锥的表面积与侧面积之比是__14．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,与AD 1异面且与AD 1所成角为90︒的面对角线共有_______条．15．在ABC 中，a ､b ､c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知cos cos 2B b C a c =-，ABC S =△且3b =，则a c +的值等于___________.五、双空题16．如图，在ABC 中，8,12AB BC AC =+= ，分别取三边的中点,,D E F ，将,,BDE ADF CEF 分别沿三条中位线折起，使得,,A B C 重合于点P ，则当三棱锥P DEF -的外接球的体积最小时，其外接球的半径为____________，三棱锥P DEF -的体积为____________．六、解答题17．已知复数()1z mi m R =+∈，312z i-+是实数． （1）求复数z ； （2）若复数0112z m z =+-是关于x 的方程20x bx c ++=的根，求实数b 和c 的值． 18．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1，0)和点B (－1，0)，||1OC =，且∠AOC ＝θ，其中O 为坐标原点．（1）若θ＝34π，设点D 为线段OA 上的动点，求||OC OD +uuu r uuu r 的最小值； （2）若[0,]2πθ∈，向量(),1cos ,sin 2cos m BC n θθθ==--，求m n ⋅的最小值及对应的θ值．19．在①sin sin sin sinb A a B A B +=，②2sin cos cos cos b C A C C ，③()sin sin sin a b A b B c C -+=，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题.已知锐角ABC 中，a ､b ､c 分别为内角A ，B ､C 的对边，2c =，___________. （1）求角C ；（2）求a b +的取值范围.(注意：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，90ABC ACD ∠=∠=，60BAC CAD ∠=∠=，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，1AB =，设M 、N 分别为PD 、AD 的中点.（1）求证：平面//CMN 平面PAB ； （2）求三棱锥A CMN -的侧面积.21．党的十九大报告指出，农业农村农民问题是关系国计民生的根本性问题，必须始终把解决好“三农”问题作为全党工作的重中之重，实施乡村振兴战略.如图，A 村､B 村分别位于某河流的南､北两岸，,5AC BC BC ⊥=公里，30BAC ∠=︒，现需将A 村的农产品运往B 村加工.乡政府经过调研知，在每次运输农产品总量相同的条件下，公路运输价格为a 元/公里，水路运输价格为2a 元/公里.（1）给出两种运输方案：第一种，直接从A 村通过水路运输到B 村；第二种，先从A 村通过公路运输到与B 村相对的南岸近岸处C ，再通过水路运输到B 村.试比较两种方案，哪种方案更优？（2）为尽可能节约成本，乡政府决定在该河流南岸AC 上选择一个中转站D ，先将A村的农产品通过公路运往中转站D ，再将农产品通过水路运往B 村加工.试问：中转站应选址何处最佳？请说明你的理由. 22．已知ABC 的外心为O ，内心为Ⅰ.（1）如图1，若|||1,0AB AC AB AC ==⋅=∣. ①试用,AB AC 表示AO ； ②求()BA BC OI +⋅的值.（2）如图2，若存在实数λ，使OI BC λ=，试求cos cos B C +的值.参考答案：1．B【分析】根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得34x y =-⎧⎨=⎩，进而求模长即可.【详解】因为()1216i x y i -+=--，所以261x x y =-⎧⎨-=-⎩，解得34x y =-⎧⎨=⎩，所以=|34|5x yi i ---=.故选：B. 2．C【分析】由平面的性质及确定平面的条件逐项判断即可得解. 【详解】A 选项，不共线的三点确定一个平面，A 错； B 选项，两个平面有公共点，则有一条过该公共点的公共直线， 如没有公共点，则两平面平行，B 错；C 选项，两条平行直线，确定一个平面，梯形中有一组对边平行， 所以梯形一定是平面图形，C 对；D 选项，一条直线和直线外的一点可以确定一个平面，D 错. 故选：C. 3．C【分析】由向量的数量积计算． 【详解】1123BM MC BC ==，1BM = AB BM ⋅=13cos(18060)3122AB BM ⎛⎫⋅︒-︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭． 故选：C ． 4．B【分析】画出直观图对应的原图，由此求得原平面图形的周长.【详解】直观图中，''''''1,O A C B O B ===中1,OA OB ==3OC AB =，所以原平面图形的周长为32128⨯+⨯=.故选：B.【点睛】本小题主要考查斜二测画法的直观图和原图的关系，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 5．C【分析】由a b ⊥，0a b ⋅=，将OC 由mOA nOB +表示，利用0OB OC ⋅=u u u r u u u r，找出m 和n 的关系即可.【详解】由OB OC ⊥u u u r u u u r和OC mOA nOB =+， ()2OB OC OB mOA nOB mOB OA nOB ⋅=⋅+=⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r25cos 1cos36m OB OA AOB n OB m n π=∠+=⨯+⨯ 3302m n =-+=，所以332m n =，2m n=故选：C【点睛】本题主要考查向量垂直的应用和向量的数量积公式，属于基础题. 6．B【详解】根据题意得到立体图如图所示：A NC 与DE 是异面直线，故不相交；BC M 与ED 平行，由立体图知是正确的； C AF 与CN 位于两个平行平面内，故不正确；D AF 与CM 是相交的． 故答案为B ． 7．D【分析】由锐角三角函数及正弦定理逐步运算即可得解. 【详解】在Rt ABM 中，sin15ABAM =︒, 在ACM △中，由正弦定理得sin sin AM CMACM CAM =∠∠，sin sin 45sin sin30AM CAM AM CM ACM ∠︒==∠︒；在Rt CDM 中，sin 45sin60sin60sin15sin30AB CD CM ︒︒︒︒︒===故选：D. 8．C【分析】由新定义结合线面垂直的判定、性质、体积公式逐项判断即可得解. 【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”. 所以在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，侧棱1AA ⊥平面ABC , 在选项A 中，因为1AA BC ⊥，AC BC ⊥，且1AA AC A =，则BC ⊥平面11AAC C ，且11AAC C 为矩形，所以四棱锥11B A ACC -为“阳马”，故A 正确； 在选项B 中，由11AC BC ⊥，111AC C C ⊥且1C CBC C =，所以11AC ⊥平面11BB C C ，所以111AC BC ⊥，则11A BC V 为直角三角形， 由BC ⊥平面11AAC C ，得1A BC ,1CC B 为直角三角形，由“堑堵”的定义可得11AC C 为直角三角形，所以四面体11AC CB 为“鳖臑”，故B 正确; 在选项C 中，在底面有2242AC BC AC BC =+≥⋅，即2AC BC ⋅≤， 当且仅当AC BC =时取等号，则1111111243333B A ACC A ACC V S BC AA AC BC AC BC -=⨯=⨯⨯=⨯≤，所以C 不正确；在选项D 中，由BC ⊥平面11AAC C ，则1,BC AF AF AC ⊥⊥且1ACBC C =， 则AF ⊥平面1A BC ，所以1,AF A B ⊥又1AE A B ⊥且AF AE A ⋂=，则1A B ⊥平面AEF ，则1A B EF ⊥，所以D 正确. 故选：C.9．BD【分析】利用反例判断A 的正误；向量相等关系判断B 的正误；向量的模的运算法则判断C 的正误；利用向量的数量积的性质判断D 的正误.【详解】若a b b c ⋅=⋅r r r r，则a c =，反例0b =，则a 与c 具有任意性，所以A 不正确；若a b =，b c =，则a c ＝，向量相等的充要条件，所以B 正确；a b a b -<+，如果0b =，则不等式不成立，所以C 不正确； ()|cos ,|a b a b a b a b ⋅=≤v v v vv v v v ，所以D 正确.故选：BD【点睛】本题考查向量数量积概念辨析，属于基础题. 10．ABC【分析】A. 根据直线的位置关系判断；B. 根据直线与平面的位置关系判断；C. 根据平面与平面的位置关系判断；D. 根据面面平行的性质定理判断. 【详解】A. 因为a αβ⋂=，b α⊂，则,a b 平行或相交，故错误； B. 因为a αβ⋂=，//a b ，则//b α或 b α⊂，//b β或 b β⊂，故错误； C. 因为//a β，//b β，a α⊂，b α⊂，则,αβ平行或相交，故错误； D. 因为//αβ，a αγ⋂=，b βγ=，由面面平行的性质定理得//a b ，故正确；故选：ABC 11．ABD 【分析】由2A B π+>，结合正弦函数的单调性和诱导公式，可判定A 正确；由A B >知a b >，根据正弦定理可得sin sin A B >，可判定B 正确；由正弦定理可得sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=，可判定C 不正确；根据三角形内角和定理和正切的两角和公式，可判定D 正确.【详解】对于A 中，若ABC 为锐角三角形，可得2A B π+>且,0,2A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 可得2A B π>-，且0,22B ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的单调性，可得sin sin 2A B π⎛⎫>- ⎪⎝⎭，所以sin cos A B >，所以A 正确；对于B 中，在ABC 中，由A B >知a b >，根据正弦定理可得sin sin A B >，所以B 正确； 对于C 中，由正弦定理知2sin ,2sin a R A b R B ==，可得sin 2sin 2A B =，故22A B =或22A B π+=，ABC 是等腰三角形或直角三角形，所以C 不正确；对于D 中，在ABC 中，可得A B C π++=，则A B C π+=-， 所以tan()tan()A B C π+=-，即tan tan tan 1tan tan A BC A B+=--，可得tan tan tan tan tan tan A B C A B C +=-+， 则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，所以D 正确. 故选：ABD . 12．B【分析】作出图形，由2BP PC =可得出1233AP AB AC =+，根据三点共线的结论得出123m n+=，结合基本不等式可判断出各选项的正误，即可得出结论. 【详解】如下图所示：由2BP PC =，可得()2AP AB AC AP -=-， 1233AP AB AC ∴=+， 若AM mAB =，AN nAC =，()0,0m n >>， 则1AB AM m =，1AC AN n =， 1233AP AM AN m n∴=+， M 、P 、N 三点共线，12133m n ∴+=，123m n∴+=， 故A 正确； 所以12m =，2n =时，也满足123m n +=，则D 选项正确；()122255223333333n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭Q ，当且仅当m n =时，等号成立，C 选项成立；()1221113333n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当n =时，即m n =B 选项错误. 故选：B 13．4∶3或43【详解】设圆锥的底面半径为r ，由题意得2π23r l π=，解得3l r =． 所以2S πr πr 4S πr 3l l +==表侧． 答案：43点睛：（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．（2）多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理． 14．1【分析】在正方体的上、下面，左、右面，前、后面逐一去找出能与1AD 垂直的面对角线，得出结论.【详解】1AD 与面对角线11AC ，11,,BD AB DB 异面，所成的角是60，由于11//AD BC ，又11BC CB ⊥，所以11AD CB ⊥，而1AD 与正方体其它异面的面对角线都不垂直， 所以与AD 1异面且与AD 1所成角为90︒的面对角线共有1条， 故填：1.【点睛】本题考查空间里的异面直线和其垂直关系，属于基础题.15．【分析】由正弦定理结合三角恒等变换可得,3B π=再由三角形面积公式可得3ac =，最后结合余弦定理即可得解. 【详解】由正弦定理得cos sin cos 22sin sin B b BC a c A C==--， 整理可得：sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-，可得sin cos sin cos sin()sin 2sin cos B C C B B C A A B +=+==. 因为A 为三角形内角，sin 0,(0,)A B π≠∈，所以1cos ,2B =,3B π=又3ABCSb ==11sin 22ac B a c ==⨯⨯=，解得3ac =，由余弦定理得22229()3()9a c ac a c ac a c =+-=+-=+-，解得a c +=故答案为：16．83【分析】将三棱锥P DEF -补充成长方体，则对角线长分别为,6,4a a -，三棱锥P DEF -的外接球即为长方体的外接球.设长方体的长宽高分别为,,x y z ，进而可得外接圆的半径和体积. 【详解】由题意得三棱锥P DEF -的对棱分别相等，设2BC a =，则122AC a =-， 将三棱锥P DEF -补充成长方体，则对角线长分别为,6,4a a -，三棱锥P DEF -的外接球即为长方体的外接球.设长方体的长宽高分别为,,x y z ，则()22222222,6,16x y a y z a x z +=+=-+=， 所以2222626x y z a a ++=-+，则外接球半径r ==当3a =时，半径最小，此时三棱锥P DEF -的外接球的体积最小，此时r =解得1x z y ===，所以三棱锥118141323P DEF V -=-⨯⨯⨯=.，83. 【点睛】方法点睛：将三棱锥P DEF -补充成长方体，三棱锥P DEF -的外接球即为长方体的外接球.本题考查了空间想象能力和运算求解能力. 17．（1）14z i =-；（2）4,20b c ==. 【分析】（1）根据复数的除法运算，化简得32241255z m m i i --+=++，结合312z i-+是实数，列出方程，即可求解；（2）根据024z i =--是方程的根，得到(164)2120b i b c --+-=，结合复数相等的条件，列出方程，即可求解.【详解】（1）因为()1z mi m R =+∈， 可得32(2)(12)2241212(12)(12)55z mi mi i m m i i i i i -----+===++++-， 又由312z i -+是实数，可得405m +=，解得4m =-，所以14z i =-． （2）因为011242z m z i =+-=--是方程20(,)x bx c b c R ++=∈的根， 所以2(42)(42)0i b i c --+--+=，即(164)2120b i b c --+-=，可得16402120b b c -=⎧⎨-+-=⎩，解得4,20b c ==.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数相等的概念求参数，其中解答中熟记复数的除法运算法则，以及复数相等的充要条件列出方程组是解答的关键，着重考查推理与运算能力.18．（1；（2）m n ⋅的最小值为18πθ=.【分析】（1）设出D 点坐标，求得||OC OD +uuu r uuu r的表达式，结合二次函数的性质求得最小值.（2）结合向量数量积的运算、三角恒等变换、三角函数最值的求法求得m n ⋅的最小值及对应的θ值.【详解】（1）设D (t ，0)(0≤t ≤1)，由题意知(C ，所以22OC OD t ⎛+=-+ ⎝⎭，所以221||2OC OD t ⎛+=+ ⎝⎭，所以当t =时，||OC OD +uuu r uuu r . （2）由题意得()()cos ,sin ,cos 1,sin C m BC θθθθ==+，()1cos ,sin 2cos n θθθ=--， 则m n ⋅＝=1－cos 2θ＋sin 2θ－2sin θcos θ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝124πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,因为0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，所以52444πππθ≤+≤，所以当242ππθ+=，即8πθ=时，sin 24πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最大值1，m n ⋅取得最小值1所以m n ⋅的最小值为18πθ=.19．条件选择见解析；（1）3C π=；（2）.【分析】（1）选条件①：由条件结合正弦定理、三角恒等变换化简即可得解； 选条件②：由条件结合正弦定理、三角恒等变换化简即可得解； 选条件③：由条件结合正弦定理、余弦定理运算即可得解；（2）确定B的范围，由正弦定理转化条件为2sin sin 3b a B B π⎤⎛⎫+=+- ⎪⎥⎝⎭⎣⎦，结合三角恒等变换及三角函数的性质即可得解. 【详解】（1）选条件①：由sin sin sin sin b A a B A B +=及正弦定理得sin sin sin sin sin sin B A A B C A B +=，即2sin sin sin sin A B C A B =，所以sin C =因为C 为锐角，所以3C π=；选条件②：由2sin cos cos cos b C A C C =及正弦定理得sin sin (sin cos sin cos )B C C C A A C =+，即sin sin sin()B C C A C +，∴sin sin sin B C C B =. ∵02B π<<，∴sin 0B >，可得tan C 02C π<<，∴3C π=；选条件③：由()sin sin sin a b A b B c C -+=及正弦定理得22()a b a b c -+=， 即222a b c ab +-=，由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，∵02C π<<，∴3C π=.（2）∵ABC 是锐角三角形，∴0,220,32B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩解得62B ππ<<，由正弦定理得sin sin sin b a c B A C ====，∴21sin sin sin sin 32b a B B B B B π⎫⎤⎛⎫+=+-=+⎪ ⎪⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭3sin 2B B ⎫+=⎪⎪⎝⎭4sin 6B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∵62B ππ<<，∴2,633B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴sin 6B π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，∴b a +∈.20．（1）证明见解析；（2）3【分析】（1）要证明面面平行，需根据判断定理证明平面内的两条相交直线与另一个平面平行，根据平行关系，证明//MN 平面PAB ，//CN 平面PAB ；（2）根据边长和三角形面积公式，分别求三棱锥A CMN -的三个侧面的面积.【详解】（1）∵M 、N 分别为PD 、AD 的中点，∴//MN PA ， 又MN ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，∴//MN 平面PAB ， 在Rt ACD ∆中，60CAD ∠=o ，CN AN =，∴60ACN ∠=， 又60BAC ∠=，∴//CN AB ，∵CN ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴//CN 平面PAB ， 又CN MN N ⋂=，∴平面//CMN 平面PAB ，（2）∵PA ⊥平面ABCD ，AN ⊂平面ABCD ，CN ⊂平面ABCD ， 由（1）可知//MN PA ，∴MN AN ⊥、MN CN ⊥，∵90ABC ACD ∠=∠=，60BAC CAD ∠=∠=，2PA =，1AB =， ∴22AC AB ==，24AD AC ==，112MN PA ==， 由（1）可知122CN AN AD ===，在Rt CMN 中，AM CM ===∴11sin 602222ACNS AN CN =⋅⋅=⨯⨯ 又1121122AMNSAN MN =⋅=⨯⨯=，在ACM △中，AM CM =，∴AC 边上的高2h =， ∴1122222ACMSAC h =⋅=⨯⨯=，∴三棱锥A CMN -的侧面积3ACNAMNACMS S SS=++=【点睛】方法点睛：本题考查了面面平行的判断定理，以及三棱锥侧面积的求法，意在考查转化与化归和计算求解能力，不管是证明面面平行，还是证明线面平行，都需要证明线线平行，证明线线平行的几种常见形式，1.利用三角形中位线得到线线平行；2.构造平行四边形；3.构造面面平行.21．（1）第二种方案比第一种方案更优；（2）当中转站选址在南岸位于AD 处是最佳的，理由见解析.【分析】（1）在直角三角形ABC 中求出AB ，AC 的长，从而可求出两种方案的费用，然后比较大小可得答案；（2）令[]()30,90BDC θθ∠=∈︒︒，则表示出BD ，DC ，AD，从而可表示则所需总费用为2cos 5sin W a θθ-⎫=⎪⎭，令2cos sin y θθ-=，然后利用斜率的几何意义求出y 的最小值即可【详解】（1）由于10sin30BCAB ==︒公里，cos30AC AB =︒=. 第一种运输方案所需费用为20a 元；第二种运输方案所需费用为10)a 元；可得2010)a a >， 故第二种方案比第一种方案更优.（2）令[]()30,90BDC θθ∠=∈︒︒，则5sin BD θ=公里，5tan DC θ=公里，5tan AD DC θ==公里，于是，所需总费用为5102cos 5tan sin sin W a a a θθθθ-⎛⎫⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎭， 令2cos sin y θθ-=，则2cos 2cos 10sin sin 0sin 2cos y θθθθθθ--==-=----，表示过单位上一段圆弧上的点(cos ,sin )M θθ[30,90]θ∈︒︒与定点(2,0)N 的直线的斜率k 的负倒数，由图可知当直线过点()cos30,sin30E ︒︒时，斜率最大，直线与圆弧相切时斜率最小，可得sin 300tan150cos302k ︒-︒≤≤︒-，得k ≤≤14k ≤-≤4y ≤≤所以当y =60,AD θ=︒=即当中转站选址在南岸位于AD 处是最佳的. 22．（1）①1122AO AB AC =+（2）cos cos 1B C +=. 【分析】（1）①由直角三角形外接圆的性质可得O 为BC 中点，结合平面向量的加法法则即可得解；②由外接圆及内切圆的性质可得,45,||1OI BA OI <>=︒=-，再由平面向量数量积运算法则即可得解；（2）由三角形内切圆、外接圆的性质可转化条件为cos2sin 2cos sinsin 22A AB C A=，结合三角恒等变换化简即可得解.【详解】（1）由已知得O 为BC 中点，且A ，I ，O 三点共线， ①1122AO AB AC =+； ②由于2,||2OI BC AO ⊥=，ABC内切圆半径r ==,45,||||21OI BA OI AO r <>=︒=-=-， 故()11cos45BA BC OI BA OI ⎛+⋅=⋅=⋅︒=⎝⎭（2）如图，设ABC 的外接圆半径､内切圆半径分别为R，r ， 记BC 中点为M ，ID BC ⊥于D ，由OI BC λ=知OM ID r ==，又2,,2BOC A BOM A BC BD DC BM ∠=∠==+=， 则,,tan tan tan tan 22ID r ID rBD DC B C IBD ICD ====∠∠tan tan BM OM BOM r A =∠=则cos2sin 22tan cos tan tan sinsin 2222A r r Ar A BC B C A+=⇒=， 即cos 4sin sin sin 222A B C A =. 则2sin 2sin sin sin 12222A B C A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2sin 2sin sin cos 12222A B C B C +⎛⎫⇔+= ⎪⎝⎭2sin cos122A B C-⇔= 2cos cos 122B C B C +-⇔=22222cos cos sin sin 12222B C B C ⎛⎫⇔-= ⎪⎝⎭1cos 1cos 1cos 1cos 212222B C B C ++--⎛⎫⇔⋅-⋅= ⎪⎝⎭，即cos cos 1B C +=.。
江苏省徐州市邳州市运河中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题及答案(实验班)
2020——2021高一年级第二学期中考试数学试卷（实验班）注意事项：1．本试卷共8页，包括选择题（第1题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）三部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的班级、姓名、考试号写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答题空格内．考试结束后，交回答题卡．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“AB AC BC +>”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.若复数z 满足()12i z i +=+，则复数z 的虚部是（）A ．-B ．C D3．若平面内两条平行线1l ：(1)20x a y +-+=，2l ：210ax y ++=间的距离为5，则实数a =（） A ．2-B ．2-或1C ．1-D ．1-或24．吉希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼期圆．已知(0,0)O ，(3,0)A ，圆222:(2)(0)C x y r r -+=>上有且仅有一个点P 满足||2||PA PO =，则r 的取值可以为（） A ．1B ．2C ．3D ．45．已知点()()1,1P a a >在抛物线()220y px p =>上，过P 作圆()2211x y -+=的两条切线，分别交抛物线于点A ，B ，若直线AB 的斜率为1-，则抛物线的方程为（）A ．24y x =B ．22y x =C ．2y x =D ．24x y =6.北宋时期的科学家沈括在他的著作《梦溪笔谈》一书中提出一个有趣的问题，大意是：酒店把酒坛层层堆积，底层摆成长方形，以后每上一层，长和宽两边的坛子各少一个，堆成一个棱台的形状（如图1），那么总共堆放了多少个酒坛？沈括给出了一个计算酒坛数量的方法——隙积术，设底层长和宽两边分别摆放a ，b 个坛子，一共堆了n 层，则酒坛的总数()()()()()()112211S ab a b a b a n b n =+--+--+⋅⋅⋅+-+-+．现在将长方形垛改为三角形垛，即底层摆成一个等边三角形，向上逐层等边三角形的每边少1个酒坛（如图2），若底层等边三角形的边上摆放10个酒坛，顶层摆放1个酒坛，那么酒坛的总数为（） A ．55B ．165C ．220 D ．2867.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间（2π,π）单调递增 ③f(x)在[,]-ππ有4个零点④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是（） A.①②④B.②④C.①④D.①③8.圣·索菲亚教堂（英语：SAINTSOPHIACATHEDRAL ）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑．1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高为()15315m -，在它们之间的地面上的点M （,,B M D 三点共线）处测得楼顶A ，教堂顶C 的仰角分别是15︒和60︒，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30，则小明估算索菲亚教堂的高度为（） A ．20mB ．30mC ．203mD ．303m二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分. 9．对于复数123,,z z z ，下列命题都成立（） A.1212z z z z +≤+ B.2121z z z =，则12=z zC.1212z z z z ⋅=⋅D.若非零复数123,,z z z ，满足1213z z z z =，则23z z =.则对于非零 10．路人甲向正东方向走了xkm 后向右转了150°，然后沿新方向走了3km ，结果离出发点恰好3km ，则x 的值为（） A ．3B ．23C ．2D ．311.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A．12nk +=B ．133n n a a +=-C．()2332n a n n =+D ．()133234n n S n +=+- 12.已知圆22:4C x y +=，直线():34330l m x y m ++-+=，(R m ∈)．则下列四个命题正确的是（）A ．直线l 恒过定点()3,3-B ．当0m =时，圆C 上有且仅有三个点到直线l 的距离都等于1C ．圆C 与曲线22680x y x y m +--+=恰有三条公切线，则16m =D ．当13m =时，直线l 上一个动点P 向圆C 引两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，则直线AB 经过点164,99⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 13．已知两圆x 2＋y 2＝10和(x －1)2＋(y －3)2＝10相交于A ，B 两点，则直线AB 的方程是________．14.如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE=2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.15.已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是_____. 16．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上.由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F .已知12BC F F ⊥，1163F B =，124F F =，则截口BAC 所在椭圆的离心率为______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分10分)已知向量1sin ,,(cos ,1)2a x b x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. （1）当a b ⊥时，求实数x 的值. （2）求()()f x a b b =+⋅在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值. 18．(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足12a =，24b =，22log n n a b =，*N n ∈． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n a 中不在数列{}n b 中的项按从小到大的顺序构成数列{}n c ，记数列{}n c 的前n 项和为n S ，求100S ． 19.(本小题满分12分)已知设复数z 满足=1z 使得关于x 的方程2220zx zx ++=有实根，其中z 为z 的共轭复数，求满足条件的z 构成的集合。
2020-2021学年河南省驻马店市正阳高级中学高一(下)第三次质检数学试卷(理科)
2020-2021学年河南省驻马店市正阳高级中学高一（下）第三次质检数学试卷（理科）一、单选题1．半径为2，圆心角为的扇形的面积等于（）A．B．πC．D．2．市场调查发现，大约的人喜欢在网上购买儿童玩具，网上购买的儿童玩具合格率为，而实体店里的儿童玩具的合格率为，则这个儿童玩具是在网上购买的可能性是（）A．B．C．D．3．执行右面的程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最小的数（）A．a＜b？B．b＜a？C．x＜b？D．b＜x？4．将函数y＝2sin（2x+）的图象向左平移个最小正周期后（）A．y＝﹣2sin（2x+）B．y＝2sin（2x﹣）C．y＝2cos（2x+）D．y＝﹣2cos（2x+）5．向量满足||＝1，（）•，（2）⊥，则||＝（）A．2B．1C．D．6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若b＝2a•cos C（）A．等腰三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．钝角三角形7．在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案．该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门中任选2门作为选考科目，假设每门科目被选中的可能性相等（）A．B．C．D．8．在一次科普知识竞赛中共有200名同学参赛，经过评判，这200名参赛者的得分都在[40，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（）A．可求得a＝0.005B．这200名参赛者得分的中位数为64C．得分在（60，80）之间的频率为0.5D．得分在（40，60）之间的共有80人9．若cos（30°﹣α）﹣sinα＝，则sin（30°﹣2α）＝（）A．B．﹣C．D．﹣10．赵爽是我国汉代数学家、天文学家，他在注解《周髀算经》时，介绍了“勾股圆方图”，它被2002年国际数学家大会选定为会徽．“赵爽弦图”是以弦为边长得到的正方形，该正方形由4个全等的直角三角形加上中间一个小正方形组成类比“赵爽弦图”，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自三个全等三角形（阴影部分）（）A．B．C．D．11．在△ABC中，O是三角形的外心，过点B作BG⊥AO于点G，则＝（）A．16B．8C．24D．3212．△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，满足2c cos B+b cos A＝a cos（A+C），a＝4，D为边AC上一点满足，则＝（）A．B．C．D．二、填空题13．已知对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x10，y10），y关于x的线性回归方程为＝﹣2x+7.2，若，则＝．14．若对任意x∈R，cos（x﹣φ）＝sin x恒成立．15．已知两个非零向量，满足||＝|﹣|＝2，则在方向上的投影为．16．公元1231年，南宋著名思想家，教育家陆九渊的弟子将象山书院改建于三峰山徐岩（徐岩旧址，现为贵溪市第一中学），在A处测得仰角分别为45°，30°，又在B处测得仰角分别为60°，45°米．三、解答题17．已知．（1）当k为何值时，与共线？（2）当k为何值时，与垂直？（3）当k为何值时，与的夹角为锐角？18．设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．19．公2021年初，疫情防控形势依然复杂严峻，防疫任务依然艰巨．为了引起广大市民足够重视，采取网上答题的形式，从本市10～60岁的答题的人群中随机抽取了100人进行问卷调查（1）求a的值，并求这组数据的中位数（结果保留两位小数）；（2）现从年龄在[20，40）的人中利用分层抽样抽取5人，再从5人中随机抽取3人进行问卷调查，30）的回答5道题，年龄[30，题目都不同．用X表示抽取的3人中回答题目的总个数，求当X＝13的概率．20．已知△ABC满足____，且b＝5，B＝，并求解下列问题：（Ⅰ）sin C；（Ⅱ）求△ABC的面积．条件①tan A＝2，条件②b2+c2﹣a2＝2c，条件③3b＝c．21．在游学活动中，在A处参观的第1组同学通知在B处参观的第2组同学：第1组正离开A处向A的东南方向游玩，速度约为20米/分钟．已知B在A的南偏西75°方向且相距200米（1）设第2组同学行进的方位角为θ，求cosθ．（方位角：从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角）（2）求第2组同学的行进速度为多少？22．已知函数f（x）＝sin x sin（x+）+cos2（x﹣）﹣．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，求a cos B﹣b cos C的取值范围．2020-2021学年河南省驻马店市正阳高级中学高一（下）第三次质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、单选题1．半径为2，圆心角为的扇形的面积等于（）A．B．πC．D．【解答】解：一个半径是2的扇形，其圆心角的弧度数是，扇形的面积为：S＝×2＝．故选：C．2．市场调查发现，大约的人喜欢在网上购买儿童玩具，网上购买的儿童玩具合格率为，而实体店里的儿童玩具的合格率为，则这个儿童玩具是在网上购买的可能性是（）A．B．C．D．【解答】解：工商局12345电话接到一个关于儿童玩具不合格的投诉，则这个儿童玩具是在网上购买的可能性为：P＝＝．故选：B．3．执行右面的程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最小的数（）A．a＜b？B．b＜a？C．x＜b？D．b＜x？【解答】解：要求输出这三个数中最小的数，原理是将较小者与另一个数比较，类比可知空白之处应填b＜x？．故选：D．4．将函数y＝2sin（2x+）的图象向左平移个最小正周期后（）A．y＝﹣2sin（2x+）B．y＝2sin（2x﹣）C．y＝2cos（2x+）D．y＝﹣2cos（2x+）【解答】解：函数y＝2sin（2x+），其周期T＝，图象向左平移个最小正周期后）+）＝6cos（2x+）故选：C．5．向量满足||＝1，（）•，（2）⊥，则||＝（）A．2B．1C．D．【解答】解：∵||＝1，（＝0）⊥，∴||2+•＝0）•，即•＝﹣1，6•|2＝0，即||4＝﹣2•＝2|＝．故选：C．6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若b＝2a•cos C（）A．等腰三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【解答】解：由题设，结合正弦定理有sin B＝2sin A cos C，而B＝π﹣（A+C），∴sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C＝2sin A cos C，即sin（A﹣C）＝4，又0＜A，C＜π，∴A＝C，即△ABC的形状为等腰三角形．故选：A．7．在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案．该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门中任选2门作为选考科目，假设每门科目被选中的可能性相等（）A．B．C．D．【解答】解：从4门学科中任选2门共有：政治+地理、政治+化学、政治+生物、地理+化学、化学+生物，其中满足化学和生物至多有一门被选中的有7种情况，所以其概率为．故选：D．8．在一次科普知识竞赛中共有200名同学参赛，经过评判，这200名参赛者的得分都在[40，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（）A．可求得a＝0.005B．这200名参赛者得分的中位数为64C．得分在（60，80）之间的频率为0.5D．得分在（40，60）之间的共有80人【解答】解：由频率之和为1，可得a×10＝1﹣（5.035+0.030+0.020+7.010）×10＝0.05，所以a＝0.005，故选项A正确；在[40，60）的频率为（4.005+0.035）×10＝0.3，70）的频率为0.030×10＝0.5，所以这200名参赛者得分的中位数为60+（0.5﹣7.4）÷0.8×10＝63.3，故选项B错误；得分在[60，80）之间的频率为（0.030+2.020）×10＝0.5；得分在[40，60）之间的人数为（3.005+0.035）×10×200＝80人．故选：B．9．若cos（30°﹣α）﹣sinα＝，则sin（30°﹣2α）＝（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：由cos（30°﹣α）﹣sinα＝，可得，即，所以sin（30°﹣2α）＝cos（60°+5α）＝＝．故选：D．10．赵爽是我国汉代数学家、天文学家，他在注解《周髀算经》时，介绍了“勾股圆方图”，它被2002年国际数学家大会选定为会徽．“赵爽弦图”是以弦为边长得到的正方形，该正方形由4个全等的直角三角形加上中间一个小正方形组成类比“赵爽弦图”，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自三个全等三角形（阴影部分）（）A．B．C．D．【解答】解：依题意，设AF＝1，BD＝AF＝1,由余弦定理可得，所以．故选：D．11．在△ABC中，O是三角形的外心，过点B作BG⊥AO于点G，则＝（）A．16B．8C．24D．32【解答】解：如图，因为，，∴＝+•++＝+•+＝＝64﹣32+6＝32故选：D．12．△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，满足2c cos B+b cos A＝a cos（A+C），a＝4，D为边AC上一点满足，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵由2c cos B+b cos A＝a cos（A+C），可得：2sin C cos B+sin B cos A＝﹣sin A cos B，即7sin C cos B＝﹣sin（A+B）＝﹣sin C，∵sin C≠0，∴．又∵，∴，即，两边平方可得：，解得．故选：C．二、填空题13．已知对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x10，y10），y关于x的线性回归方程为＝﹣2x+7.2，若，则＝60．【解答】解：因为＝6，因为线性回归方程＝﹣2x+5.2经过点（0.2，），所以，故＝6×10＝60．故答案为：60．14．若对任意x∈R，cos（x﹣φ）＝sin x恒成立．【解答】解：因为对任意x∈R，cos（x﹣φ）＝sin[﹣x+φ）＝sin（π﹣x）恒成立，所以﹣x+φ＝π﹣x+2kπ，可得φ＝2kπ+，所以当k＝0时，可得φ＝．故答案为：．15．已知两个非零向量，满足||＝|﹣|＝2，则在方向上的投影为1．【解答】解：由|﹣|＝2，得，又||＝|，∴，即cos＜＞＝，∴在方向上的投影为．故答案为：8．16．公元1231年，南宋著名思想家，教育家陆九渊的弟子将象山书院改建于三峰山徐岩（徐岩旧址，现为贵溪市第一中学），在A处测得仰角分别为45°，30°，又在B处测得仰角分别为60°，45°40米．【解答】解：如图，由题意可知，∠CAO＝∠DBO＝45°，△AOC，△BOD均为等腰直角三角形，OB＝OD，则AB＝CD＝40米．故答案为：40．三、解答题17．已知．（1）当k为何值时，与共线？（2）当k为何值时，与垂直？（3）当k为何值时，与的夹角为锐角？【解答】解：（1）根据题意，，则＝（k+2，＝（5，若与共线，解可得：k＝，（2）根据题意，＝（k+2，＝（5，若与垂直）•（，解可得：k＝﹣，（3）根据题意，＝（k+2，＝（5，若与的夹角为锐角）•（与不共线，即（）•（，解可得：k＞﹣且k≠．18．设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．【解答】解：（1）由题意可得＝+sin2x＝4sin8x，＝cos2x+sin6x＝1，由，可得4sin2x＝1，即sin2x＝．∵x∈[0，]，∴sin x＝．（2）∵函数＝（，sin x）•（cos x sin x cos x+sin4x＝sin2x+）+． x∈[0，]，∴4x﹣，]，∴当2x﹣＝，sin（2x﹣取得最大值为2+＝．19．公2021年初，疫情防控形势依然复杂严峻，防疫任务依然艰巨．为了引起广大市民足够重视，采取网上答题的形式，从本市10～60岁的答题的人群中随机抽取了100人进行问卷调查（1）求a的值，并求这组数据的中位数（结果保留两位小数）；（2）现从年龄在[20，40）的人中利用分层抽样抽取5人，再从5人中随机抽取3人进行问卷调查，30）的回答5道题，年龄[30，题目都不同．用X表示抽取的3人中回答题目的总个数，求当X＝13的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，（a+0.02+0.03+6.025+0.02）×10＝1；因为（7.005+0.02+0.03）×10＝2.6＞0.2，所以中位数位于[30，设中位数为x，则（0.005+0.02）×10+8.03×（x﹣30）＝0.5，故中位数为38.33；（2）因为[20，30），40）的频率之比为，按照分层抽样抽取5人，则在[20，在[30，因为从5人中随机抽取5人进行问卷调查，年龄在[20，年龄[30，所以回答题目的总个数为13个，则从[20，在[30，故概率为＝．20．已知△ABC满足____，且b＝5，B＝，并求解下列问题：（Ⅰ）sin C；（Ⅱ）求△ABC的面积．条件①tan A＝2，条件②b2+c2﹣a2＝2c，条件③3b＝c．【解答】解：（I）选①tan A＝2，A为锐角，所以cos A＝，sin A＝，sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+sin B cos A＝（）×＝；选②b7+c2﹣a2＝5c，由余弦定理得，cos A＝＝，故A为锐角，sin A＝，所以sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+sin B cos A＝（）×＝；选③3b＝c＝15，所以c＝2，b＝5，由正弦定理得，，所以sin C＝＝；（II）由（I）知cos C＝，因为c＞b，所以C＞B，故C有两解，又sin A＝sin（B+C）＝sin B cos C+sin C cos B＝，即sin A＝或sin A＝，当sin A＝时，S△ABC＝＝×＝，当sin A＝时，S△ABC＝＝×＝15．21．在游学活动中，在A处参观的第1组同学通知在B处参观的第2组同学：第1组正离开A处向A的东南方向游玩，速度约为20米/分钟．已知B在A的南偏西75°方向且相距200米（1）设第2组同学行进的方位角为θ，求cosθ．（方位角：从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角）（2）求第2组同学的行进速度为多少？【解答】解：（1）假设第2组同学与第1组同学在C处汇合，如图，建立数学模型，则∠BAC＝75°+45°＝120°，AC＝20×10＝200米，∴AB＝AC，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC＝30°，∴θ＝75°+30°＝105°，．（2）在△ABC中，由余弦定理可得：．∴，故第8组同学的行进速度为米/分钟．22．已知函数f（x）＝sin x sin（x+）+cos2（x﹣）﹣．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，求a cos B﹣b cos C的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得f（x）＝sin x sin（x+）+cos2（x﹣）﹣sin x（sin x+cos（2x﹣）＝+sin2x+sin8x＝sin4x+，所以函数f（x）的最小正周期T＝＝π，令+5kπ≤2x≤，k∈Z+kπ≤x≤，k∈Z，故函数f（x）的单调递减区间为[+kπ，，k∈Z．（2）由（1）知f（）＝＝，解得sin B＝，因为B∈（0，），所以B＝，由正弦定理可知＝2，c＝2sin C，所以a cos B﹣b cos C＝﹣cos C＝sin A﹣）＝sin A+）＝sin A+sin A＝sin A＝cos（，在锐角△ABC中，可得＜A＜，因此，则cos（，），故a cos B﹣b cos C的取值范围为（﹣，）．。
高中试卷-专题4.2 指数函数(含答案)
专题4.2 指数函数1、指数函数的概念：一般地，函数x y a = 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．即 a>0且a ≠12、指数函数的图象和性质0<a<1a>1图像定义域R , 值域（0，+∞）（1）过定点（0，1）,即x=0时，y=1(2)在R 上是减函数(2)在R 上是增函数性质（3）当x>0时,0<y<1;当x<0时,y>1（3）当x>0时,y>1;当x<0时,0<y<1图象特征函数性质向x 轴正负方向无限延伸函数的定义域为R 函数图象都在x 轴上方函数的值域为R +图象关于原点和y 轴不对称非奇非偶函数共性函数图象都过定点（0，1）过定点（0，1）自左向右看，图象逐渐下降减函数在第一象限内的图象纵坐标都小于1当x>0时,0<y<1;在第二象限内的图象纵坐标都大于1当x<0时,y>10<a<1图象上升趋势是越来越缓函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；自左向右看，图象逐渐上升增函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1当x>0时,y>1;在第二象限内的图象纵坐标都小于1当x<0时,0<y<1a>1图象上升趋势是越来越陡函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；注意： 指数增长模型：y=N(1+p)x 指数型函数： y=ka x 3 考点：（1）a b =N, 当b>0时，a,N 在1的同侧；当b<0时，a,N 在1的 异侧。
（2）指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。
掌握利用单调性比较幂的大小，同底找对应的指数函数，底数不同指数也不同插进1(=a 0)进行传递或者利用（1）的知识。
（3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。
A佳湖南大联考2020-2021学年高一下学期4月期中考试 数学 Word版含解析
机密★启用前A佳湖南大联考·2021年4月高一期中试卷数学(本试卷共4页，22题，全卷满分：150分，考试用时：120分钟)注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设z＝－1＋i，2z＝4－3i(i为虚数单位)，则|z1＋z2|＝A.25B.5C.13D.132.如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是A.①是棱台B.②是圆台C.③是棱锥D.④是棱柱3.已知a＝(2，－1)，b＝(1，m)，且a＋b＝λ(a－b)(λ≠0)，则实数m的值为A.12B.1C.－12D.－12或14.在复平面内，复数2i1i--+(i为虚数单位)对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.如果一个水平放置的三角形的斜二测直观图是一个等腰直角三角形，斜边长为2，且斜边落在斜二测坐标系的横轴上，则原图形的面积为 A.22 B.42 C.2 D.26.设函数f(x)＝mx ＋4x＋2在(0，＋∞)上的最小值为7，则f(x)在(－∞，0)上的最大值为 A.－9 B.－7 C.－5 D.－37.若将函数y ＝f(x)图象沿x 轴向左平移6π个单位，然后再将所得函数图象上每个点的横坐标缩为原来的一半(纵坐标不变)，得到函数y ＝sinx 的图象，则函数y ＝f(x)图象的一条对称轴方程为A.x ＝6π B.x ＝56π C.x ＝76π D.x ＝512π 8.已知△ABC 的边BC 的中点为D ，点G 为AD 的中点，△GBC 内一点P(P 点不在△GBC边界上)满足AP AB AC µλ=+，λ，µ∈R ，则λ＋µ的取值范围是 A.(12，1) B.(23，1) C.(1，32) D.(1，2) 二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分。
河间市第十四中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题及答案
绝密★启用前2020-2021学年下学期河间十四中期中考试高二数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．植树节那天，有4名同学植树，现有3棵不同种类的树．若一棵树限1人完成，则不同的分配方法有（） A ．6种B ．3种C ．81种D ．64种2．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和13，甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率为()A ．23B ．13C ．16D ．563．在()52x -的展开式中，前3项的系数和为() A ．16B ．32C ．80D ．1604．ξ，η为随机变量，且η＝a ξ＋b ，若E (ξ)＝1.6，E (η)＝3.4，则a ，b 可能的值为( )A ．2，0.2B ．1，4C ．0.5，1.4D ．1.6，3.45．5个人站成一排，甲、乙两人中间恰有1人的排法共有（） A ．24种B ．36种C ．48种D ．72种6．已知两变量x 与y 的统计数据如下表：x 4 2 3 5 y49263954根据上表可得回归方程a x b y ˆˆˆ+=中＝9.4，则当x ＝6时，的值为( ) A ．63.6B ．65.5C ．67.7D ．72.07．从A ，B ，C ，D ，E 5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A 不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为( ) A ．24B ．48C ．72D ．1208．一袋中有5个白球、3个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了X 次球,则P(X=12)等于()A ．10210123588C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．1021012353888C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．929115388C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1029113588C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（） A ．若A 、B 两人站在一起有24种方法 B ．若A 、B 不相邻共有72种方法 C ．若A 在B 左边有60种排法D ．若A 不站在最左边，B 不站最右边，有78种方法10．甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩（百分制）分别服从正态分布()211,N μσ，()222,N μσ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（） 附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈．A ．乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩B ．甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩C ．甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近D ．若15σ=，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587 11．关于)()21(2021202122102021R x x a x a x a a x ∈++++=- ，则（）A ．01a =B ．202120213213=++++a a a a C ．3320218a C =D ．20212021432131-=++-+-a a a a a12．为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用冗余设备”(即正在使用的设备出故障时才驱动的设备).已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”(即一台正常设备，两台备用设备)的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机的网络就不会断掉，如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.9，他们之间相互不影响，则（）A ．三台设备中至多一台设备能正常工作的概率为0.027B ．计算机网络不会断掉的概率为0.999C ．能正常工作的设备数的数学期望为0.27D ．能正常工作的设备数的方差为0.27三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知1(|)3P B A =，3()5P A =，则()P AB =______．14．现有5个参加演讲比赛的名额，要分配给甲、乙、丙三个班级，要求每班至少要分配一个名额，则甲班恰好分配到两个名额的概率为______.15．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为()0p p ≠，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值范围是________.16．已知nn n x a x a x a a bx )1()1()1(12210-+-+-+=+ 对任意x ∈R 恒成立，且19a =，236a =，则b =___________；___________.四、解答题：本题共6小题，共70分。
2020-2021学年北京市顺义一中高一(下)期中数学试卷
2020-2021学年北京市顺义一中高一（下）期中数学试卷试题数：21，总分：1501.（单选题，4分）在复平面内，复数z=i （i+2）对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.（单选题，4分）设向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 的模分别为2和3，且夹角为60°，则| a ⃗ + b ⃗⃗ |等于（ ） A. √13 B.13 C. √19 D.193.（单选题，4分）为了得到函数y=sin （2x- π4 ）的图象，可以将函数y=sin2x 的图象（ ） A.向左平移 π4个单位长度 B.向右平移 π4 个单位长度 C.向左平移 π8 个单位长度 D.向右平移 π8 个单位长度4.（单选题，4分）四边形ABCD 满足 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ，则该四边形的形状是（ ） A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形5.（单选题，4分）已知向量 a ⃗=(1，m)，b ⃗⃗=(4，−2) ，其中m∈R ，则“m=1”是“ a ⃗⊥(a⃗−b ⃗⃗) ”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.（单选题，4分）某数学兴趣小组在数学实践活动中，欲测量本校校园国旗旗杆的高度，该小组在操场的A 点处测得旗杆顶端的仰角为30°，从A 点向旗杆底部端点的方向前进了30m 后到达B 点，此时测得旗杆顶点的仰角为45°，则该小组所测旗杆的高度为（ ）（所测旗杆台阶高度及测量设备高度等忽略不计） A. (15+15√3)m B. (30+15√3)m C. (15+30√3)m D. (30+30√3)m7.（单选题，4分）若复数z 满足（3-4i ）z=|4+3i|，则z 的虚部为（ ） A.-4 B. −45 C.4 D. 458.（单选题，4分）平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O ，点E 满足 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2EO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若 BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λBA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ，μ∈R ，则λ+μ=（ ） A.0 B. 13 C. 23 D. 129.（单选题，4分）关于函数f （x ）=1+cosx ， x ∈(π3，2π] 的图象与直线y=t （t 为常数）的交点情况，下列说法正确的是（ ） A.当t ＜0或t≥2，有0个交点 B.当t=0或 32＜t ＜2 时，有1个交点 C.当 0＜t ≤32 ，有2个交点 D.当0＜t ＜2时，有2个交点10.（单选题，4分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若a-b= btanB - atanA ，则△ABC 的形状为（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形11.（填空题，5分）sin11π6的值为___ ． 12.（填空题，5分）复数z 满足|z|=5，则符合条件的一个复数为___ ． 13.（填空题，5分）在△ABC 中，AC=1，BC=3，A+B=60°，则AB=___ ．14.（填空题，5分）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ． 15.（填空题，5分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若∠C=2∠A ，a+c=5， cosC =18 ，则cosA=___ ，a=___ ．16.（问答题，14分）已知复数z 1=x-1+yi ，z 2=1+（4-y ）i ，x 、y∈R ． （1）若z 1=z 2，求|z 1+1|； （2）若x=y=3，计算 z 22z1+z 2．17.（问答题，14分）已知 a ⃗=(1，2) ， b ⃗⃗=(x ，1) ． （1）当x 为何值时， a ⃗⊥b ⃗⃗ ； （2）当x=3时，求 a ⃗ 与 b⃗⃗ 的夹角； （3）求 |b ⃗⃗−2a ⃗| 的最小值以及取得最小值时 b⃗⃗ 的坐标．18.（问答题，14分）在△ABC 中，已知sinB= √3 sinC ，A=30°，再从条件 ① 、条件 ② 这两个条件中选择一个作为已知，求： （Ⅰ）c 的值； （Ⅱ）△ABC 的面积． 条件 ① ：ab=2 √3 ； 条件 ② ：asinB=6．19.（问答题，15分）已知函数 f (x )=sin (2x −π6) ．（1）请用“五点法”画出函数f （x ）在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；（3）求f（x）在区间[ π12，π2]上的最大值和最小值及相应的x值．20.（问答题，14分）已知函数f(x)=2sin2x+cos(2x−π3)−1．（1）求f(π6)的值；（2）将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，所得函数图象与函数y=cos2x 的图象重合，求实数m的最小值；（3）若x∈[θ，π2]时，f（x）的最小值为-1，求θ的最大值．21.（问答题，14分）对于集合A，定义函数f A（x）= {1，x∉A，−1，x∈A.对于两个集合A，B，定义运算A*B={x|f A（x）•f B（x）=-1}．（1）若A={1，2，3}，B={2，3，4，5}，写出f A（1）与f B（1）的值，并求出A*B；（2）证明：f A*B（x）=f A（x）•f B（x）；（3）证明：*运算具有交换律和结合律，即A*B=B*A，（A*B）*C=A*（B*C）．2020-2021学年北京市顺义一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（单选题，4分）在复平面内，复数z=i（i+2）对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【正确答案】：B【解析】：利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的对应的点的坐标得答案．【解答】：解：由z=i（i+2）=-i2+2i=-1+2i，可得复数z=i（i+2）对应的点的坐标为（-1，2），位于第二象限．故选：B．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.（单选题，4分）设向量a⃗，b⃗⃗的模分别为2和3，且夹角为60°，则| a⃗ + b⃗⃗ |等于（）A. √13B.13C. √19D.19【正确答案】：C【解析】：利用两个向量的数量积的定义求出a⃗•b⃗⃗，再利用| a⃗ + b⃗⃗ |2=| a⃗ |2+| b⃗⃗ |2+2 a⃗•b⃗⃗，即可求出答案．【解答】：解：∵向量a⃗，b⃗⃗的模分别为2和3，且夹角为60°，=3，∴ a⃗•b⃗⃗ =| a⃗|•| b⃗⃗ |cos60°=2×3× 12∴| a⃗ + b⃗⃗ |2=| a⃗ |2+| b⃗⃗ |2+2 a⃗•b⃗⃗ =4+9+2×3=19，∴| a ⃗ + b ⃗⃗ |= √19 ， 故选：C ．【点评】：本题考查两个向量的数量积的定义，向量的模的定义，求向量的模的方法．3.（单选题，4分）为了得到函数y=sin （2x- π4）的图象，可以将函数y=sin2x 的图象（ ） A.向左平移 π4个单位长度 B.向右平移 π4 个单位长度 C.向左平移 π8 个单位长度 D.向右平移 π8 个单位长度 【正确答案】：D【解析】：由题意利用y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】：解：将函数y=sin2x 的图象向右平移 π8 个单位长度可得函数 y =sin (2x −π4) 的图象， 故选：D ．【点评】：本题主要考查y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．4.（单选题，4分）四边形ABCD 满足 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ，则该四边形的形状是（ ） A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 【正确答案】：B【解析】：根据向量相等得到四边形是平行四边形，利用数量积等于0，得对角线互相垂直即可得到结论．【解答】：解：∵ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴| AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=| DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，且 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即四边形ABCD 是平行四边形， ∵ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴ AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即AC⊥BD ， 即平行四边形的对角线互相垂直，则四边形ABCD为菱形，故选：B．【点评】：本题主要考查平面向量的应用，根据向量相等以及向量数量积的性质是解决本题的关键．5.（单选题，4分）已知向量a⃗=(1，m)，b⃗⃗=(4，−2)，其中m∈R，则“m=1”是“ a⃗⊥(a⃗−b⃗⃗)”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：“m=1”⇒“ a⃗⊥(a⃗−b⃗⃗)”；“ a⃗⊥(a⃗−b⃗⃗)”⇒“m=1或m=-3”．【解答】：解：∵向量a⃗=(1，m)，b⃗⃗=(4，−2)，其中m∈R，∴m=1时，a⃗ =（1，1），a⃗−b⃗⃗ =（-3，3），a⃗•(a⃗−b⃗⃗) =-3+3=0，∴“m=1”⇒“ a⃗⊥(a⃗−b⃗⃗)”；∵向量a⃗=(1，m)，b⃗⃗=(4，−2)，其中m∈R，∴ a⃗−b⃗⃗ =（-3，m+2），∵ a⃗⊥(a⃗−b⃗⃗)，∴ a⃗•（a⃗−b⃗⃗）=-3+m2+2m=0，解得m=-3或m=1，∴“ a⃗⊥(a⃗−b⃗⃗)”⇒“m=1或m=-3”．∴“m=1”是“ a⃗⊥(a⃗−b⃗⃗)”的充分而不必要条件．故选：A．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查向量垂直等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6.（单选题，4分）某数学兴趣小组在数学实践活动中，欲测量本校校园国旗旗杆的高度，该小组在操场的A点处测得旗杆顶端的仰角为30°，从A点向旗杆底部端点的方向前进了30m 后到达B点，此时测得旗杆顶点的仰角为45°，则该小组所测旗杆的高度为（）（所测旗杆台阶高度及测量设备高度等忽略不计）A. (15+15√3)mB. (30+15√3)mC. (15+30√3)mD. (30+30√3)m 【正确答案】：A【解析】：根据题意画出图形，结合图形利用正弦定理求出AD ，再根据直角三角形的边角关系求出旗杆的高度CD ．【解答】：解：如图所示，△ABD 中，∠A=30°，∠ABD=180°-45°=135°，AB=30m ， 所以∠ADB=180°-30°-135°=15°， 由正弦定理得， AD sin135° = 30sin15° ，AD= 30sin135°sin15° = 30×√22√6−√24 = 60√3−1， Rt△ACD 中，∠A=30°，所以CD= 12 AD= 30√3−1=15（ √3 +1）=15 √3 +15， 即测得旗杆的高度为（15+15 √3 ）m ． 故选：A ．【点评】：本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题． 7.（单选题，4分）若复数z 满足（3-4i ）z=|4+3i|，则z 的虚部为（ ） A.-4 B. −45 C.4 D. 45【正确答案】：D【解析】：由题意可得 z= |4+3i|3−4i = 53−4i ，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为 35 + 45 i ，由此可得z 的虚部．【解答】：解：∵复数z 满足（3-4i ）z=|4+3i|，∴z= |4+3i|3−4i = 53−4i = 5(3+4i )25 = 35 + 45i ， 故z 的虚部等于 45， 故选：D ．【点评】：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．8.（单选题，4分）平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O ，点E 满足 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2EO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若 BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λBA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ，μ∈R ，则λ+μ=（ ） A.0 B. 13 C. 23 D. 12【正确答案】：C【解析】：根据图形，利用平面向量基本定理求解．【解答】：解：如图所示，由图可知 BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 13AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 13 （ AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）= 23BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 13 （ BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）= 13 BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 13BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴ λ=13 ，μ= 13 ， ∴λ+μ= 23 ． 故选：C ．【点评】：本题主要考查了平面向量基本定理，考查了向量的基本运算，是基础题． 9.（单选题，4分）关于函数f （x ）=1+cosx ， x ∈(π3，2π] 的图象与直线y=t （t 为常数）的交点情况，下列说法正确的是（ ）A.当t＜0或t≥2，有0个交点B.当t=0或32＜t＜2时，有1个交点C.当0＜t≤32，有2个交点D.当0＜t＜2时，有2个交点【正确答案】：B【解析】：首先利用函数的关系式在坐标系内画出函数的图象，进一步利用函数y=t中t的取值确定A、B、C、D的结论．【解答】：解：函数f（x）=1+cosx，x∈(π3，2π]的图象．如图所示：根据函数的图象：对于A，当t=2时，有1个交点，故A错误；对于B：当t=0或32＜t＜2时，有1个交点，故B正确；对于C：当0＜t＜32，有2个交点，故C错误；对于D：当0＜t＜32时，有2个交点，故D错误；故选：B．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.（单选题，4分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若a-b= btanB - a tanA，则△ABC的形状为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【正确答案】：D【解析】：由正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式化简已知等式可得sin2A=sin2B，进而可求A=B或A+B= π2，即可得解三角形的形状．【解答】：解：因为a-b= btanB - atanA，可得a-b= bcosBsinB- acosAsinA，所以由正弦定理可得sinA-sinB= sinBcosBsinB - sinAcosAsinA=cosB-cosA，所以sinA+cosA=sinB+cosB，两边平方，得1+2sinAcosA=1+2sinBcosB，即sin2A=sin2B，所以2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B= π2，所以△ABC的形状为等腰或直角三角形．故选：D．【点评】：本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．11.（填空题，5分）sin 11π6的值为___ ．【正确答案】：[1]- 12【解析】：原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，计算即可得到结果．【解答】：解：sin 11π6 =sin（2π- π6）=-sin π6=- 12．故答案为：- 12【点评】：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．12.（填空题，5分）复数z满足|z|=5，则符合条件的一个复数为___ ．【正确答案】：[1]3+4i（答案不唯一）【解析】：根据模的计算公式即可得出．【解答】：解：设z=a+bi，（a，b∈R），复数z满足|z|=5= √a2+b2，则符合条件的一个复数=3+4i，故答案为：3+4i（答案不唯一）．【点评】：本题考查了模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.（填空题，5分）在△ABC 中，AC=1，BC=3，A+B=60°，则AB=___ ． 【正确答案】：[1] √13【解析】：由已知利用三角形内角和定理可求C ，根据余弦定理即可得解AB 的值．【解答】：解：∵AC=1，BC=3，A+B=60°， ∴C=120°，∴由余弦定理可得：AB 2=32+12-2×1×3×cos120°=13， ∴解得：AB= √13 ． 故答案为： √13 ．【点评】：本题主要考查了三角形内角和定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．14.（填空题，5分）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ． 【正确答案】：[1]2【解析】：根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（ AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）•（ AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果．【解答】：解：∵已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，故 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）•（ BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）=（ AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）•（ AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）= AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 - AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+ 12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - 12 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 =4+0-0- 12×4 =2， 故答案为 2．【点评】：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，属于中档题．15.（填空题，5分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若∠C=2∠A ，a+c=5， cosC =18 ，则cosA=___ ，a=___ ． 【正确答案】：[1] 34; [2]2【解析】：由已知结合二倍角公式可求cosA ，然后结合已知及正弦定理可求a ．【解答】：解：由题意得cos2A=cosC= 18 ， 所以2cos 2A-1= 18 ，由C=2A 得A 为锐角， 所以cosA= 34 ， ac = sinAsinC = 12cosA = 23 ， 因为a+c=5， 所以a=2，c=3， 故答案为： 34 ，2．【点评】：本题主要考查了二倍角公式及正弦定理的应用，属于基础题． 16.（问答题，14分）已知复数z 1=x-1+yi ，z 2=1+（4-y ）i ，x 、y∈R ． （1）若z 1=z 2，求|z 1+1|； （2）若x=y=3，计算 z 22z 1+z 2．【正确答案】：【解析】：（1）利用复数相等的条件列式求得x ，y 值，得到z 1，再由复数模的计算公式求|z 1+1|；（2）由已知x ，y 的值可得z 1、z 2，代入 z 22z 1+z 2，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】：解：（1）∵z 1=x-1+yi ，z 2=1+（4-y ）i ， 由z 1=z 2，得 {x −1=14−y =y ，解得 {x =2y =2，∴ |z 1+1|=|1+2i +1|=|2+2i |=√22+22=2√2 ； （2）若x=y=3，则z 1=2+3i ，z 2=1+i ， ∴ z 22=(1+i )2=2i ，z 1+z 2=2+3i+1+i=3+4i ，∴ z 22z 1+z 2 = 2i3+4i=2i (3−4i )(3+4i )(3−4i )=6i−8i 232+42 = 825+625i ．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算，复数相等的条件，复数模的求法，是基础题． 17.（问答题，14分）已知 a ⃗=(1，2) ， b ⃗⃗=(x ，1) ． （1）当x 为何值时， a ⃗⊥b⃗⃗ ；（2）当x=3时，求 a ⃗ 与 b⃗⃗ 的夹角； （3）求 |b ⃗⃗−2a ⃗| 的最小值以及取得最小值时 b ⃗⃗ 的坐标．【正确答案】：【解析】：（1）若 a ⃗⊥b ⃗⃗ ，则可得出 a ⃗•b ⃗⃗=0 ，进行数量积的坐标运算即可求出x 的值； （2）x=3时， b ⃗⃗=(3，1) ，然后即可根据向量夹角的余弦公式求出 cos ＜a ⃗，b ⃗⃗＞=√22 ，然后即可得出 a ⃗ 与 b⃗⃗ 的夹角； （3）可得出 b ⃗⃗−2a ⃗=(x −2，−3) ，然后可得出 |b ⃗⃗−2a ⃗|=√(x −2)2+9 ，从而可求出 |b ⃗⃗−2a ⃗| 的最小值以及此时 b ⃗⃗ 的坐标．【解答】：解：（1）若 a ⃗⊥b ⃗⃗ ，则 a ⃗•b ⃗⃗=x +2=0 ，解得x=-2， ∴x=-2时， a ⃗⊥b⃗⃗ ； （2）x=3时， b ⃗⃗=(3，1) ，且 a ⃗=(1，2) ，∴ cos ＜a ⃗，b ⃗⃗＞=a ⃗⃗•b⃗⃗|a ⃗⃗||b ⃗⃗| = √5×√10=√22，且 ＜a ⃗，b ⃗⃗＞∈[0，π] ，∴ a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为 π4； （3） b ⃗⃗−2a ⃗=(x −2，−3) ， ∴ |b ⃗⃗−2a ⃗|=√(x −2)2+9 ，∴x=2时， |b ⃗⃗−2a ⃗| 取最小值3，此时 b ⃗⃗=(2，1) ．【点评】：本题考查了向量垂直的充要条件，向量坐标的减法、数乘向量和数量积的运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题． 18.（问答题，14分）在△ABC 中，已知sinB= √3 sinC ，A=30°，再从条件 ① 、条件 ② 这两个条件中选择一个作为已知，求： （Ⅰ）c 的值； （Ⅱ）△ABC 的面积． 条件 ① ：ab=2 √3 ； 条件 ② ：asinB=6．【正确答案】：【解析】：结合正弦定理和sinB= √3 sinC ，知b= √3 c ，选择条件 ① ：（Ⅰ）用c 表示a ，再由余弦定理，可得关于c 的方程，解之即可； （Ⅱ）由S= 12 bc•sinA ，得解．选择条件 ② ：（Ⅰ）由正弦定理知，bsinA=asinB=6，再由b= √3 c ，得解； （Ⅱ）由S= 12 bc•sinA ，得解．【解答】：解：由正弦定理知， bsinB = csinC ， ∵sinB= √3 sinC ，∴b= √3 c ， 选择条件 ① ： （Ⅰ）∵ab=2 √3 ，∴a=2√3b = √3√3c= 2c ， 由余弦定理知，a 2=b 2+c 2-2bc•co sA ， ∴（ 2c ）2=（ √3 c ）2+c 2-2• √3 c•c•cos30°， 化简得，c 4=4， ∵c ＞0，∴c= √2 ． （Ⅱ）b= √3 c= √6 ，∴△ABC 的面积S= 12 bc•sinA= 12 × √6 × √2 sin30°= √32 ． 选择条件 ② ：（Ⅰ）由正弦定理知， asinA = bsinB = csinC ， ∴bsinA=asinB=6， ∴b= 6sin30° =12，∵b= √3 c ，∴c= √3 =4 √3 ．（Ⅱ）△ABC 的面积S= 12 bc•sinA= 12 ×12×4 √3 sin30°=12 √3 ．【点评】：本题考查解三角形，涉及角化边的思想，熟练掌握正弦定理、三角形面积公式和余弦定理是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．19.（问答题，15分）已知函数f(x)=sin(2x−π6)．（1）请用“五点法”画出函数f（x）在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；（2）求f（x）的单调递增区间；（3）求f（x）在区间[ π12，π2]上的最大值和最小值及相应的x值．【正确答案】：【解析】：（1）利用“五点法”列表，然后作出一个周期的图象即可；（2）利用整体代换以及正弦函数的单调递增区间进行求解即可；（3）由x的范围，求出2x−π6的范围，再利用正弦函数的性质求解最值即可．【解答】：解：（1）分别令2x−π6=0，π2，π，3π2，2π，可得x π12π37π125π613π12（2）令 −π2+2kπ≤2x −π6≤π2+2kπ，k ∈Z ， 解得 −π6+kπ≤x ≤π3+kπ，k ∈Z ，所以函数f （x ）的单调递增区间为 [−π6+kπ，π3+kπ]，k ∈Z ； （3）因为 x ∈[π12，π2] ，所以 2x −π6∈[0，5π6] ， 所以当 2x −π6 =0，即 x =π12 时，f （x ）取最小值0， 当 2x −π6= π2，即 x =π3时，f （x ）取最大值1．【点评】：本题考查了三角函数图象和性质的运用，主要考查了“五点法”作图的应用，三角函数单调性的应用以及三角函数最值的求解，考查了逻辑推理能力与化简能力，属于基础题． 20.（问答题，14分）已知函数 f (x )=2sin 2x +cos (2x −π3)−1 ． （1）求 f (π6) 的值；（2）将函数f （x ）的图象向左平移m （m ＞0）个单位长度，所得函数图象与函数y=cos2x 的图象重合，求实数m 的最小值；（3）若 x ∈[θ，π2] 时，f （x ）的最小值为-1，求θ的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，可得f （ π6 ）的值． （2）由题意利用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，求得m 的最小值． （3）由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得θ的最大值．【解答】：解：（1）函数 f (x )=2sin 2x +cos (2x −π3)−1 =-cos2x+cos2xcos π3 +sin2xsin π3 = √32 sin2x- 12 cos2x=sin （2x- π6 ）， f (π6) =sin π6 = 12 ．（2）将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，所得函数图象y=sin（2x+2m- π6）与函数y=cos2x的图象重合，∴2m- π6=kπ+ π2，k∈Z，求实数m的最小值为π3．（3）x∈[θ，π2 ]时，2x- π6∈[2θ- π6，5π6]，由于 f（x）的最小值为-1，故2θ- π6能取到- π2，即2θ- π6≤- π2，∴θ≤- π6，故θ的最大值为- π6．【点评】：本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．21.（问答题，14分）对于集合A，定义函数f A（x）= {1，x∉A，−1，x∈A.对于两个集合A，B，定义运算A*B={x|f A（x）•f B（x）=-1}．（1）若A={1，2，3}，B={2，3，4，5}，写出f A（1）与f B（1）的值，并求出A*B；（2）证明：f A*B（x）=f A（x）•f B（x）；（3）证明：*运算具有交换律和结合律，即A*B=B*A，（A*B）*C=A*（B*C）．【正确答案】：【解析】：（1）由新定义的元素即可求出f A（1）与f B（1）的值，再分情况求出A*B；（2）对x是否属于集合A，B分情况讨论，即可证明出f A*B（x）=f A（x）•f B（x）；（3）利用（2）的结论即可证明出*运算具有交换律和结合律．【解答】：解：（1）∵A={1，2，3}，B={2，3，4，5}，∴f A（1）=-1，f B（1）=1，∴A*B={1，4，5}；（2）① 当x∈A且x∈B时，f A（x）=f B（x）=-1，所以x∉A*B．所以f A*B（x）=1，所以f A*B（x）=f A（x）•f B（x），② 当x∈A且x∉B时，f A（x）=-1，f B（x）=1，所以x∈A*B．所以f A*B（x）=-1，所以f A*B（x）=f A（x）•f B（x），③ 当x∉A且x∈B时，f A（x）=1，f B（x）=-1．所以x∈A*B．所以f A*B（x）=-1．所以f A*B（x）=f A（x）•f B（x）．④ 当x∉A且x∉B时，f A（x）=f B（x）=1．所以x∉A*B．所以f A*B（x）=1．所以f A*B（x）=f A（x）•f B（x）．综上，f A*B（x）=f A（x）•f B（x）；（3）因为A*B={x|f A（x）•f B（x）=-1}，B*A={x|f B（x）•f A（x）=-1}={x|f A（x）•f B（x）=-1}，所以A*B=B*A．因为（A*B）*C={x|f A*B（x）•f C（x）=-1}={x|f A（x）•f B（x）•f C（x）=-1}，A*（B*C）={x|f A （x）•f B*C（x）=-1}={x|f A（x）•f B（x）•f C（x）=-1}，所以（A*B）*C=A*（B*C）．【点评】：本题主要考查了集合的基本运算，考查了新定义问题，是中档题．。
河南省南阳市2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题 PDF版含答案
3
x2
3
x2
1
(x2
1
x 2 )(x
x 1
1)
2
5
.....................10 分
18. 解：（1）当 m 1 2m 1，即 m 2 时， B ，满足 B A . ....................2 分
当 m 1 2m 1，即 m 2 时，要使 B A 成立，
#
!$" %$" ($" '$# )$#
$
#$' ($# 5$' #! #/$#
! ! o p q r n s a ! 3 6 0 t u v w x \ y ! l z { . | } ~ . 6 0 7
!,$$*123!#!
&$$*123#!#!
-$$*#!!+#!
.$$*!#+#
VI!"NO!)RS"UVI W X N O0 R S " Y Z 5 U V ! " N O[ Z 5 U V W X
N O \ 0 Q S ] U V ! " W X ^ 0 N O . S " . _ ! B
!,$#'!
&$#(!
($`a!$*# BS6a!.7
-$#%!
.$#!
!,$$* 槡#! !
故 f (x) 在 (500,) 上无最大值.
.....................11 分
综上，当 x 475 时， f (x)max 107812.5.
......................12 分
高一数学答案 第 2 页 共 3 页
河南省部分重点高中2023-2024学年高三下学期5月联考数学试卷(新高考)(含解析)
高三数学考试（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的焦点坐标为（ ）A.B.C.D.2.在菱形中，，则向量与的夹角为（ ）A.B.C.D.3.已知为等比数列，，且，则的公比的取值范围是（ ）A.B.C.D.4.若集合，则（ ）A. B.C.D.5.已知0.9973.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（ ）A.286B.293C.252D.2466.在四面体中，平面平面是直角三角形，3，则二面角的正切值为（ ）A.C.2D.7.某地博物馆所展示的甲骨文十二生肖图如图所示，其中，马､牛､羊､鸡､狗､猪为六畜，若从图中每行任意选取1个生肖，则所选的3个生肖中至少有1个属于六畜的概率为（）228y x =-()0,14-()0,7-()14,0-()7,0-ABCD 50ABD ∠= AD DC50 130 80 100{}n a 10a >324a a >{}n a q ()4,∞+()()1,00,4-⋃()0,4()(),04,∞∞-⋃+{}{}1,,,,A yy x x B z z x x y ==-∈==+∈N N ∣∣A ⊆N A B ⋂=N B ⊆N A B ⋃=N()()()0.6827,220.9545,33P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-+=-+=-+=………………Y ()600,4N ABCP ABC ⊥,PAC PAC 4,PA PC AB BC ====A PC B --1223A.B. C. D.8.设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，若1，则（ ）A.1B.-1C.0D.-3二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（ ）A.的定义域为B.的值域为C.D.的单调递增区间为10.将函数的零点按照从小到大的顺序排列，得到数列，且，则（）A.B.在上先增后减C. D.的前项和为11.已知曲线，曲线，下列结论正确的是（ ）A.与有4条公切线B.若分别是上的动点，则的最小值是3C.直线与的交点的横坐标之积为2911034293278()f x (),11y f x =-+R ()2y f x =-()2024f =()2f -=()()lg 1f x x =-()f x (),1∞-()f x R ()()141f f -+-=()2y f x=()0,1()2πsin (0,0)3f x x x ωω⎛⎫=->> ⎪⎝⎭{}n a 123a =2ω=()f x ()1,210313a ={}n a n 236n n+4M =:5N x =M N ,A B ,M N AB ()143y x =-,M N 8037-D.若是上的动点，则的最小值为8三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在复数范围内，方程的解集为__________.13.若一组数据的中位数为16，方差为64，则另一组数据的中位数为__________，方差为__________.14.在空间直角坐标系中，已知，则几何体的体积为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知是内一点，.（1）若，求；（2）若，求.16.（15分）设函数的导函数为的导函数为的导函数为.若，且，则为曲线的拐点.（1）判断曲线是否有拐点，并说明理由；（2）已知函数，若为曲线的一个拐点，求的单调区间与极值.17.（15分）如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，分别为的中点.()(),0A x y y ≠M 411y y x x ++-416x =12124,4,,4x x x 12121,1,,1x x x --- ()()()()111330,3,2,0,,2,2,,2,0,3,0,0,0,0,4,0,022A B C A B C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111ABC A B C -P ABC π3π,,,44PB PC BAC BPCABP ∠∠∠θ====π,24BC θ==AC π3θ=tan BAP ∠()f x ()(),f x f x ''()(),f x f x ''''()f x '''()00f x ''=()00f x '''≠()()00,x f x ()y f x =6y x =()535f x ax x =-f ⎫⎪⎪⎭()y f x =()f x P ABCD -ABCD 2,4,,,AD PA BC E F G ===,,PA BC CD（1）在答题卡的图中作出平面截四棱锥所得的截面，写出作法（不需说明理由）；（2）若底面，平面与交于点，求异面直线与所成角的余弦值.18.（17分）已知函数随机变量，随机变量，的期望为.（1）当时，求；（2）当时，求的表达式.19.（17分）已知双曲线的虚轴长为，点在上.设直线与交于两点（异于点），直线与的斜率之积为.（1）求的方程.（2）证明：直线的斜率存在，且直线过定点.（3）求直线斜率的取值范围.高三数学考试参考答案1.D 【解析】本题考查抛物线的焦点坐标，考查数学运算的核心素养.抛物线的焦点坐标为.2.C 【解析】本题考查平面向量的夹角，考查直观想象的核心素养.EFG P ABCD -PA ⊥,ABCD AB =EFG PB M CM EG ()4,0,5444, 1.5x x f x x x ⎧⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩………(),(01)B n p p ξ~<<K f n ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭K ()g p 3n =13g ⎛⎫⎪⎝⎭10n =()g p 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>()3,2P -C l C ,A B P AP BP 13C l l l 228,14,p p =∴=∴ 228y x =-()7,0-在菱形中，向量与的夹角等于向量与的夹角，向量与的夹角为.3.D 【解析】本题考查等比数列，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.因为，所以，又，所以，解得.4.B 【解析】本题考查集合的运算，考查逻辑推理的核心素养.依题意可得均错误.因为，所以中含无理数元素，当时，，所以B 正确，错误.5.B 【解析】本题考查正态分布，考查应用意识以及数学运算的核心素养.由题意得，所以被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为293.6.A 【解析】本题考查空间中的垂直关系与二面角，考查空间想象能力以及数学运算的核心素养.设的中点分别为，连接，则.因为，所以，又平面平面，平面平面，所以平面，则.因为是直角三角形，，所以，所以.又，所以平面，则，所以为二面角的平面角，且.7.C 【解析】本题考查中国古代文化与计数原理､古典概型的交汇，考查应用意识以及逻辑推理的核心素养.ABCD ,AB DC =∴ AD DC AD AB ∴AD DC18025080-⨯= 324a a >()2111440a q a q a q q -=->10a >()40q q ->()(,0)4,q ∞∈-∞⋃+{}1,,A A D =-⋃N {},,B z z x x y ==∈N ∣B 0y =z x =∈N ,,A B B ⋂=⊆N NC ()()()22600,2,59620.52P Y P Y P Y μσμσμσμσ-+====-=+…………0.97725,0.97725300293.175293=⨯=≈,AC PC ,E D ,BE DE DE ∥PA AB BC =BE AC ⊥ABC ⊥PAC ABC ⋂PAC AC =BE ⊥PAC BE PC ⊥PAC 4PA PC ==PA PC ⊥1,422DE PC DE ⊥=⨯=DE BE E ⋂=PC ⊥BDE PC BD ⊥BDE ∠A PC B --1tan 2BEBDE DE ∠===若第三行选择猴，则前两行至少要选1个六畜中的生肖，则有种选法；若第三行不选择猴，则有种选法.故所求概率为.8.D 【解析】本题考查抽象函数的奇偶性与周期性，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养.因为为奇函数，所以，所以的图象关于点中心对称，则.因为为偶函数，所以，所以的图象关于直线轴对称.由，得，所以，则，则的周期为4，，则.9.ABC 【解析】本题考查对数函数及对数运算，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.由，得，则的定义域为，值域为，A ，B 均正确.，C 正确.因为，所以的单调递增区间不是D 错误.10.BD 【解析】本题考查三角函数与数列的交汇，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.由，得，则，因为，且，所以当时，（当时，，不符合题意），得在上先增后减，错误，B 正确.是首项为，公差为1的等差数列，则，的前项和，C 错误，D 正确.11.BCD 【解析】本题考查椭圆与圆､基本不等式的交汇，考查逻辑推理､数学抽象､直观想象的核心素养.根据椭圆的定义可得的方程可化为.由，所以表示圆的左半部分，则的公切线只有2条，A 错误.若，分别是上的动点，则11111432C C C C 10+=111344C C C 48=111444104829C C C 32+=()11y f x =-+()()1111f x f x --+=---()f x ()1,1--()11f -=-()2y f x =-()()22f x f x --=-()f x 2x =-()()1111f x f x --+=---()()22f x f x --=--()()22f x f x -=--()()()422f x f x f x -=---=()f x ()()()20240221f f f ==---=()23f -=-10x ->1x <()f x (),1∞-R ()()14lg2lg5lg101f f -+-=+==()()22lg 1f x x =-()2y f x =()0,1,()0f x =()2ππ3x k k ω-=∈Z ()()32π3k x k ω+=∈Z 0ω>123a =0k =2π233ω=1k =-0x <()2ππ,sin π3f x x ω⎛⎫==- ⎪⎝⎭()1,2A{}n a 23102299133a =+⨯={}n a n ()21231326n n n n nS n -+=+⨯=M 2214y x +=5x =()22(5)15x y x -+=…N 22(5)1x y -+=,M N A B ,M N的最小值是B 正确.直线与的交点的横坐标为4，将，得，方程的两根之积为，所以直线与的交点的横坐标之积为C 正确.由，得，则，则，当且仅当，即时，等号成立，D 正确.12.【注】方程的解集也可以写为【解析】本题考查复数范围内方程的解集，考查数学运算的核心素养.由，得，得或，则或.13.； 【解析】本题考查统计中的中位数与方差，考查数据处理能力.因为数据的中位数为16，方差为64，所以数据的中位数为4，方差为，所以数据的中位数为，方差为4.14.7 【解析】本题考查空间直角坐标系的坐标与立体几何初步，考查直观想象与数学运算的核心素养.根据已知6个点的空间直角坐标，可得这6个点是一个三棱台的6个顶点，且与该三棱台的底面垂直，，所以几何体的体积为.AB 5113,--=()143y x =-N ()2214134y y x x =-+=代入2378200,Δ0x x --=>2037-()143y x =-,M N 80,37-2214y x +=2214y x =-224111y y y x x x ⋅==+--4811y y x x ++-…411y y x x =+-38,55x y =-=±{}2i,2,2i,2--416x ={}2i,2±±416x =()()22440x x+-=24x =-2x =±2i x =±2x =±3412124,4,,4x x x 1212,,,x x x 26444=12121,1,,1x x x --- 413-=1AA 1111111113,,3,4,,2,22AB BC A B B C A B B C AB BC AA ⊥⊥=====111ABC A B C -11132********⎛⨯⨯⨯⨯+⨯⨯= ⎝15.解：（1）在中，，所以..由正弦定理得，即，解得.（2）当时，.设，则.在中，由正弦定理得.在中，由正弦定理得.因为，所以，，解得.16.解：（1），由，得，由，得，所以曲线没有拐点.BPC 3π,4BPC PB PC ∠==π8PBC ∠=πππ8246ABC PBC ∠∠θ=+=+=sin sin AC BC ABC BAC∠∠=12AC =1AC =π3θ=ππ26ACP BAC ABP PBC ∠∠∠∠=---=BAP ∠α=π4PAC ∠α=-ABP πsin 3sin APPB α=APC πsin6πsin 4APPCα=⎛⎫- ⎪⎝⎭PB PC =ππsinsin36πsin sin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭==tan 3α=-tan 3BAP ∠=5436,30,120y x y x y x ===''''''4300x =0x =31200x =0x =6y x =（2）.因为为曲线的一个拐点，所以，所以，解得，经检验，当时，，所以.当或时，，则的单调递增区间为；当时，，且不恒成立，则的单调递减区间为.故当时，取得极大值，且极大值为2；当时，取得极小值，且极小值为-2.17.解：（1）所作截面如图1所示.作法：延长交于点，连接交于，连接，延长交于点，连接交于，连接，则截面是五边形.（2）如图2，取的中点，连接.依题意可得.因为，所以.连接.依题意可证得为的中点，又为的中点，所以为的重心，则.以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，()()()4232515,20301023f x ax x f x ax x x ax =-=-=''-'f ⎫⎪⎪⎭()y f x=0f =''12302a ⨯-=3a =3a=0f ≠'''()()42221515151f x x x x x ='=--1x <-1x >()0f x '>()f x ()(),1,1,∞∞--+11x -……()0f x '…()0f x '=()f x []1,1-1x =-()f x 1x =()f x ,FG AD H EH PD N NG ,GF AB K EK PB M MF EMFGN BF O AO AD ∥,BC AO BC⊥AB =2AO =PK B AK E PA M PAK 2PM MB =A AOx则，，所以，所以故异面直线与.18.解：（1）当时，的可能取值为.当时，；当时，；当时，；当时，.422,,333M ⎛⎫-⎪⎝⎭()()52,3,0,0,0,1,1,,02C E G ⎛⎫ ⎪⎝⎭21125,,,1,,13332CM EG ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ cos ,CM EGCM EG CM EG⋅===CM EG 13,3n p ==ξ0,1,2,30ξ=()()31800,01327K f P ξ⎛⎫====-= ⎪⎝⎭1ξ=()213111114,1C 1333339K f P K P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫======⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2ξ=()1223222112,2C 1333339K f P K P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫======⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3ξ=()()31110,3327K f P ξ⎛⎫===== ⎪⎝⎭故.（2）当时，的可能取值为.当时，；当时，；当时，.因为，所以.又因为，所以.，所以.19.（1）解：因为虚轴长为，所以.将的坐标代入方程，得，解得.故的方程为.（2）证明：设，直线的斜率为，直线的斜率为.当直线的斜率不存在时，设，易得.由，解得（舍去）或（舍去），所以直线的斜率存在，设直线的方程为，代入的方程得，()114228003393927g E K ⎛⎫==+⨯+⨯+= ⎪⎝⎭10n =ξ0,1,2,,10 8ξ (410105)K f ξξ⎛⎫== ⎪⎝⎭…9ξ=92105K f ⎛⎫==⎪⎝⎭10ξ=()10K f ==()1010C (1),0,1,2,,10i i i P i p p i ξ-==-= 88109910910101010102()C (1)C (1)0C (1)44.10510i i i i i i i i i i E K p p p p p p p p --===⋅-+-+=⋅-+-∑∑1010100()(1)10i i i i E i C p p p ξ-==⋅-=∑88101099101010100011C (1)C (1)109C (1)10101010i i i i i i i i i p p i p p p p p p --==⎡⎤⋅-=⋅-=-⋅--=⎣⎦∑∑10989p p p -+()()10945g p E K p p p ==-+2b =b =()3,2P -22221x y a b-=29412a -=23a =C 22132x y -=()()1122,,,A x y B x y AP 1k BP 2k l :l x t =,,A t B t ⎛⎛ ⎝⎝1213k k =13=1t =-3t =l l y kx m =+C ()222236360k x kmx m ----=则.由，可得，即，化简得，即，所以或.当时，直线的方程为，直线过点，与条件矛盾，舍去.当时，直线的方程为，直线过定点.（3）解：由（2）知，整理得，则且，解得.评分细则：【1】第（2）问证得直线的斜率存在后还可以用这个方法解答：设直线，将的方程变形为，即.将直线的方程变形为，代入的方程，得，21212226km 36,2323m x x x x k k--+==--()()()()()()()()()()221212121212121212121222222(2)13339393y y kx m kx m k x x k m x x m k k x x x x x x x x x x +++++++++++====---++-++()()2212121214103k x x km k x x m m ⎛⎫-+++++++= ⎪⎝⎭()2222213662141032323m km k km k m m k k --⎛⎫-⋅+++⋅+++= ⎪--⎝⎭()()22368940m k m k ++--=()()332320m k m k -+++=23m k =-32m k =--32m k =--l 32y kx k =--l ()3,2P -23m k =-l 23y kx k =+-l 21,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭()()2222Δ36423360k m km =+-+>2232k m <+2230k -≠222323k k ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭k ⎛∈⋃⋃ ⎝l ():23l y k x m +=-+C 22(33)(22)132x y -++--=()()22(3)63(2)42032x x y y -+-+-+-=l ()23m y k x =+--C ()()()()222323(3)63(2)42032y k x y k x x x y y m m +--+---+-⋅+-+⋅-=整理得，则，即，所以直线，故直线过定点.2122121221232033y k y k m x m m x m ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-⋅--= ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭121212122221123333k y y m k k x x m⎛⎫-- ⎪++⎝⎭=⋅==---443m k =+()()44:234133l y k x k k x +=-++=++l 21,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭。
2020-2021学年河南省天一大联考高一下学期期中考试 数学
2020-2021学年河南省天一大联考高一下学期期中考试 数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式中值为12的是 A.sin 230°＋cos 230° B.sin 230°－cos 230° C.2sin30°cos30° D.2cos 230°－12.已知扇形的周长为8，圆心角的弧度数是2，则扇形的面积为A.2B.4C.6D.83.已知x ∈[0，2π)，直线l 1：xsinα－2y ＋5＝0与l 2：3x ＋(4－2sinα)y ＋1＝0平行，则α＝ A.32π B.54π C.56π D.2π 4.已知角α的终边经过点P(－32，2tan 54π)，则cosα的值为 A.－35 B.35 C.－45 D.45 5.已知a ＝2021sin1，b ＝log 2021(sin1)，c ＝sin1，则a ，b ，c 的大小关系为A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.b<a<c6.已知平面向量a ＝(1，2)，|b|＝3，a ·b ＝6，则向量a ，b 夹角的余弦值为A.25B.5C.45D.57.在△ABC 中，点E ，F 分别在边BC 和AC 上，且BE ＝EC ，AF ＝2FC ，则EF ＝ A.11AB AC 26-+ B.11AB AC 26+ C.11AB AC 62-+ D.11AB AC 62+ 8.函数f(x)＝34x cosx 2x sinx-的部分图象大致是9.已知函数f(x)＝23sinxcosx ＋cos2x ＋2m ，若x ∈[0，2π]时，f(x)的最小值为5，则m ＝ A.2 B.3 C.4 D.5 10.已知菱形ABCD 的边长为4，∠BAD ＝120°，点E 为BC 的中点，点F 为CD 的中点，则AE 2AF +＝A.13B.17C.43D.22111.已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<2π)的部分图象如图，则f(x)在区间(－π，0)上零点的个数为A.0B.1C.2D.312.已知函数f(x)＝cos|x|－|cosx|，则下列结论中正确的个数为①f(x)为偶函数； ②f(x)的一个周期为π；③f(x)在[2π，π]上单调递减； ④f(x)的值域为[－2，0]。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
河南省高中2021学年高一数学下学期期中试题参考公式：回归方程： a x b y ˆˆˆ+=，其中⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=∑∑==x b y ax n x y x n y x b n i i ni i i ˆˆˆ1221第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．下列给出的赋值语句中正确的是： （ ）A.x+3=y-2B.d=d+2C.0=xD.x-y=5 2.下列角中终边与330°相同的角是( )A ．630°B ． 30°C ．－30°D ．－630° 3.半径为π cm，圆心角为60°所对的弧长是( )A.π3 cmB.π23 cm C.2π3 cm D.2π23 cm 4．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝( )A.－45 B ．45 C.－35 D ．355．在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是 ( ) A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（2）（4） D ．（2）（3） 6．如果cos(π＋A )＝－12，那么sin(π2＋A )＝( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.327.用秦九韶算法求多项式f (x )＝208＋9x 2＋6x 4＋x 6，在x ＝－4时，v 2的值为( )A ．－4B ．1C ．17D ．228.如图所示的程序框图，若输出的41S =，则判断框内应填入的条件是（ ） A ．3?k > B ．4?k > C ．5?k > D ． 6?k >9. 从高一（9）班54名学生中选出5名学生参加学生代表大会，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从54人中剔除4人，剩下的50人再按系统抽样的方法抽取5人，则这54人中，每人入选的概率 （ ）A ．都相等，且等于101B ．都相等，且等于545 C ．均不相等D ．不全相等10．袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事是 （ ） A.至少有一个白球；都是白球 B.至少有一个白球；至少有一个红球 C.恰有一个白球；一个白球一个黑球 D.至少有一个白球；红、黑球各一个 11 ．有2个人从一座10层大楼的底层进入电梯，设他们中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的，则2个人在不同层离开的概率为 ( ) A. 19 B. 29 C. 49 D. 8912．已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得12P ABC S ABC V V --< 的概率是 ( )A. 78B. 34C. 12D. 14第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分.) 13．把七进制数1 620(7)化为八进制数为________．14.如图所示的程序框图，其运行结果(即输出的S 值)是________．15.cos （－585°）sin 495°＋sin （－570°）的值等于________． 16．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．三、解答题：（共计70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(10分)已知4sin 5θ=,2π＜θ＜π. （1） 求tan θ；（2）求222sin 2sin cos 3sin cos θθθθθ++的值. 18．（12分）已知f (α)＝sin 2（π－α）·cos（2π－α）·tan（－π＋α）sin （－π＋α）·tan（－α＋3π）.(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝18，且π4＜α＜π2，求cos α－sin α的值．19．(12分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下表所示：零件的个数x (个) 2 3 4 5 加工的时间y (h)2.5344.5(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并在坐标系中画出回归直线； (3)试预测加工10个零件需要多少时间？20．(12分)某高校在2014年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下表所示：组号 分组 频数 频率 第1组 [160，165) 5 0.050 第2组 [165，170) ① 0.350 第3组 [170，175) 30 ② 第4组 [175，180) 20 0.200 第5组[180，185]100.100(1)请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图．(2)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试．(3)在(2)的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率．21．（12分）小李、小王、小张三人在一起做游戏时，需要确定做游戏的先后顺序，他们约定用“剪刀、布、锤子”的方式确定，在一个回合中．求：（Ⅰ）恰有一人出“布”的概率；（Ⅱ）至少有一人出“布”的概率．22．(12分)已知甲、乙两人约定到羽毛球馆去打球，两人都在9∶30～11∶30的任意时刻到达，若两人的到达时刻相差20分钟以内，两人可以一起打球，否则先到者就和别人在一起打球，求甲、乙两人没在一起打球的概率．数学试卷答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：13．)8(1213 14. 3015.2－2 16． 1－2π三、解答题：共计70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．解：（1）∵sin2θ+cos2θ=1,∴cos2θ=925. 2分又2π<θ<π,∴cos θ=-35. 4分 sin 4tan cos 3θθθ∴==-. 5分（2）22222sin 2sin cos tan 2tan 3sin cos 3tan 1θθθθθθθθ++=++ 8分 857=-. 10分 18． 解：(1)f(α)＝sin 2α·cos α·tan α（－sin α）（－tan α）＝sin α·cos α. 6分(2)由f(α)＝sin α·cos α＝18可知，(co s α－sin α)2＝cos 2α－2sin α·cos α＋sin 2α ＝1－2sin α·cos α＝1－2×18＝34. 8分又∵π4＜α＜π2，∴cos α＜sin α，即cos α－sin α＜0. 10分 ∴cos α－sin α＝－32. 12分 19．解：(1)散点图如图．4分(2)由表中数据得：∑i ＝16x i y i ＝52.5，x －＝3.5，y －＝3.5， ∑i ＝16x 2i ＝54.代入公式得b ^＝0.7，a ^＝1.05， 8分 ∴y ^＝0.7x ＋1.05. 9分 回归直线如图中所示．(3)将x ＝10代入回归直线方程，得y ^＝0.7×10＋1.05＝8.05(h)． 12分 ∴预测加工10个零件需要8.05 h.20． 解：(1)①由题可知，第2组的频数为0.35×100＝35人，②第3组的频率为30100＝0.300，2分频率分布直方图如图所示，5分(2)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：第3组：3060×6＝3人， 第4组：2060×6＝2人，第5组：1060×6＝1人，所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试． 8分 (3)设第3组的3位同学为A 1，A 2，A 3，第4组的2位同学为B 1，B 2，第5组的1位同学为C 1，则从这六位同学中抽取两位同学有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C 1)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C 1)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，C 1)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)，共15种， 9分其中第4组的2位同学B 1，B 2中至少有一位同学入选的有：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)，共有9种，10分 所以第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率为915＝35. 12分21．解: 设(1,2,3)i A i =表示人中恰有i 人出“布”，则（Ⅰ） 三人中恰有一人出“布”的概率为：1213114()()(1).339P A C =-=（Ⅱ） 三人中恰有两人出“布”的概率为：2223112()()(1).339P A C =-=三人都出“布”的概率为：333311()().327P A C ==所以至少有一个出“布”的概率为：12312342119()()()().992727P A A A P A P A P A ++=++=++=22． 解：设甲的到达时刻为x ，乙的到达时刻为y ，由(x ，y )构成的区域Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤2，0≤y ≤2}，令两人没在一起打球的事件为A ，则事件A 构成区域A ＝{(x ，y )||x －y |＞13，0≤x ≤2，0≤y ≤2}，如图．区域Ω面积S ＝2×2＝4，区域A 的面积为S A ＝(53)2＝259，∴P (A )＝S A S ＝2536.。