静不定问题分析

1 1
F
A A' = ∑
FNi FNi l i EA
A A' = ∑
1 = (-(F - FN 4 )a - ( F - FN 4 )a + FN 4a - 2(F - FN 4 ) 2a EA + FN 4a + 2FN 4 2a )
=0
故
FNi FNi l i EA
3
2
FN 4 FN 4 A A'
F
A A' = 0
4.用能量法求位移
FN 1 = -(F - FN 4 ) FN 2 = -(F - FN 4 ) FN 3 = FN 4 FN 4 = FN 4 FN 5 = (F - FN 4 ) 2 FN 6 = - 2FN 4 FN 1 = 1 FN 2 = 1 FN 3 = 1 FN 4 = 1 FN 5 = - 2 FN 6 = - 2
2.解除多余约束，得相当系统 3.变形协调条件（变形比较法）
BH = 0
M图
Me FBx l FBx l
4.用能量法求位移
FBx
l
l
1
BH
1 2 1 2 = - ×M e ×l × l + ×FBx l ×l × l ×2 = 0 2 3 2 3 Me ∴ FBx = 2l
二、内力静不定系统
MA
FAy
例题
C
解： 1.属一次静不定刚架
2.解除多余约束，得相当系统 3.变形协调条件（变形比较法）
BH = 0
4.用能量法求位移
FBx
1
Me FBx l FBx l
FBx M e
FBx
Me l
=
Me l
+
FBx
FBx l
FBx l
FBx
FBx
l l
1
1
1
解： 1.属一次静不定刚架
Me 2 Me 2
8
解得
qa RB 8
例：作图示等刚度刚架的弯矩图 。
CL12TU58
解：变形协调条件为 BH 0
2 2 2 a R a 2 a Pa a 2 B 0 即 RB a 3 2 3 2 2
解之得 RB P / 4
Pa 4
3 Pa 8
M图
q
A
例：试作出弯矩图。
解： 1.属一次静不定问题
第十三章 静不定问题分析
§13-1 简单静不定系统
本章应用能量法求解静不定系统。 应用能量法求解静不定系统，特别是对桁
架、刚架等构成的静不定系统，将更加有效。
求解静不定问题的关键是建立补充方程。 静不定系统，按其多余约束的情况，可以
分为外力静不定系统和内力静不定系统。
一、外力静不定系统
由于外部的多余约束而构成的静不定系统,
在单位力作用下：
M ( ) = - R sin
BV = ∫
0
2
M ( ) M ( ) EI
= ∫ (- R sin )[FR(1 - cos ) - FB R sin ]
0
2
即
(FB - 2F ) R 3 = =0 EI 2F FB =
FB
FAx
F
5.由平衡方程求约束反力 2F 2 M A = (1 - ) FR FAx = F FAy = 6.作弯矩图
解得
2
3 Pl MA 16
3 Pl MA 16
5 Pl / 32
5P 16
3 Pl 16
另解：变形协调条件为
wB 0
RB l 2l Pl 5l 0 即 2 3 8 6
解得
2 2
5P RB 16
3 Pl MA 16
5 Pl / 32
5P 16
3 Pl 16
例：作图示梁的弯矩图 。
l l
B
2.解除多余约束，得相当系统 3.变形协调条件（变形比较法）
q
FB l FB l
BH 0
4.用能量法求位移
1 2 ql 2
BH
FB
l l
1 1 2 = ( ×FB l ×l × l + FB l ×l ×l EI 2 3 1 1 2 - × ql ×l ×l ) = 0 3 2
即
一般称为外力静不ຫໍສະໝຸດ Baidu系统。
求解外力静不定系统的基本方法，是解除 多余约束，代之以多余约束反力，根据多余约 束处的变形协调条件建立补充方程进行求解。 解除多余约束后得到的静定结构，称为原
静不定系统的静定基本系统，或相当系统。
例：作图示梁的弯矩图 。
CL12TU53
解：变形协调条件为
A 0
M A l 2 Pl 1 0 即 2 3 8 2
有些结构，支座反力可以由静力平衡条件
全部求出，但无法应用截面法求出所有内力，
这类结构称为内力静不定系统。
求解内力静不定系统，需要解除杆件或杆
系的内部约束。
静不定次数 ——解除约束法
内力静不定
F
FN
M
M
FN
FS
FS
解除内部约束：
F F F F
截开处的变形协调条件：
HC C ' = 0
VC C ' = 0
1
得
4FB l 3 1 4 - ql = 0 3 6 1 FB = ql 8
例：试作出弯矩图。
B A R FB
F
解： 1.属一次静不定问题
2.解除多余约束，得相当系统
F
3.变形协调条件（变形比较法）
BV = 0
4.用能量法求位移
在载荷和多余约束力共同作用下：
R

1
M ( ) = FR(1 - cos ) - FB R sin
CL12TU54
解：变形协调条件为
wA 0
R A l 2 2l l 2 即 2 Pl 2 3 2
Pl 2 2l Pl 2 l 0 2 3 8 2
43 P 解得 R A 32
43 P RA 32
Pl
5P RC 32 5 Pl 64
11 Pl 32
例：作图示等刚度刚架的弯矩图 。
CL12TU56
3 Pa 8 3P 8
解：变形协调条件为
即
BV 0
3 R B a 2 2a Pa 3 5 Pa 2 3 RB a 2 0
8
解得
3P RB 8
例：作图示等刚度刚架的弯矩图 。
CL12TU57
qa 2 8
qa 8
解：变形协调条件为
即
BV 0
4 R B a 2 2a qa 3 RB a 0 2 3qa 2 3 6
C C = 0
'
应用能量法求解内力静不定问题时, 要在截开的两个截面上沿内力作用 方向,分别成对作用单位力和单位力 偶。应用公式分别计算两截面之间 的相对位移或相对转角，在代入变 形协调条件求解。
4 5
F
6
1
计算图示桁架各杆的内力。
解：1.此结构为一次静不定系统。 2.解除杆件的内部约束，得相当系统 3. 变形协调条件：