圆锥曲线之口算离心率

2 故答案为：不存在这样的直线．
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例3. 2013-2014 学年吉林省吉林市实验中学高二（上）模块检测数学试卷（二）（理科）
椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
b 0) ，左右焦点分别是 F1, F2
焦距为 2c ，若直线
y
=
3(x + c)与
椭圆交于 M 点，满足 MF1F2 = 2MF2F1 ，则离心率是
1− 1 = 4
3． 2
故答案为： 3 ．
2
例2. 2015 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上， △ABM 为等腰三角形，顶角为
120 ，则 E 的离心率为
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()
A． 5
B． 2
C． 3
D． 2
【答案】D
【解析】由题可知，kMA kMB =
____________．
【答案】2
【解析】由题可知， BF2 ⊥ BF1 ， OA ⊥ BF1 ，从而 OA∥BF2 ，
设渐近线在第一象限的倾斜角为
，由 OA∥BF2
，得
BF2
F1
= OF2
，
c
从而 △OBF2 为等腰三角形，且 OB
=
1 2
F1F2
=
c ，所以
cos
=
2 OB
=
2 c
=1， 2
=
b2 a2
= e2
− 1.
双曲线中的结论同样为： kAB kOM = e2 −1 ． 证明：（点差法）
设 A( x1, y1 ) ， B( x2 , y2 ) ， M ( x0 , y0 )
y
A
M
B
则
x1 y1
+ +
x2 y2
= =
2x0 2 y0
，
F1 O
F2
x
将
A( x1, y1 ) ， B( x2 , y2 ) 带入
又 sin sin + sin
=
sin ( − − )
sin + sin
=
2sin 2sin
+
2 +
cos + 2
cos −
=
cos + 2
cos −
2
2
2
已知双曲线方程
x2 a2
−
y2 b2
=1（a
0，b
0）
离心率： e = c = 2c = F1F2 = sin a 2a PF1 − PF2 sin − sin
A． 2
B． 3
C． 2
D． 5
【答案】A 【解析】由题可知， OP = a ， OF = c ，又 OP ⊥ FP ， OF = c ，所以 PF = b ，
从而可知 P 点在双曲线的渐近线上，又 PQ = OF ，
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性质
4：已知双曲线
x2 a2
−
y2 b2
= 1 (a,b 0) ，设其渐近线为 y
= kx ，则其离心率 e =
1+ k2 ，
若渐近线的倾斜角为 ，则离心率 e = 1 ． cos
性质
5：已知椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1 (a b 0) ，两焦点分别为 F1 ， F2 ，设焦点三角形 PF1F2 中
sin + sin
=
cos 2
cos −
；
2
双曲线中的结论为： e =
sin ( + )
=
sin + 2
．
sin − sin sin −
2
证明：（正弦定理+和差化积公式）
已知椭圆方程椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
b 0) ，
y
P
θ
α
β
F1
O
F2
x
离心率： e = c = 2c = F1F2 = sin a 2a PF1 + PF2 sin + sin
C． 2
【答案】B
【解析】由题可知， MF1F2 = 30 ， MF2F1 = 90 ，由性质 3，
D． 3 3
3
e = sin ( + ) = sin120 = 2 = 3 ，
sin − sin sin 30 − sin 90 1 − 1 2
故选：B．
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【变式】2016-2017 学年江西省抚州市崇仁二中期末数学试卷（理科）
性质
6：已知椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1 (a b 0) ，两焦点分别为 F1 ， F2 ，过焦点 F1 的直线与椭圆
交于两点 A ， B ，设直线的倾斜角为 ，若 AF1 = ，则 ecos = 1− ．
BF1
1+
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【经典例题】
例1. 2016-2017 湖北省宜昌市夷陵中学高三期末练习试卷
e= sin + sin
=
cos cos
+
2 −
=
cos 45 cos 30
=
2 2= 3
6． 3
2
2
故选：D．
例5. 2016-2017 学年辽宁省盘锦高中高二（上）期中数学试卷（文科）
设椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1 的左、右焦点分别是 F1 ， F2 ，如果在椭圆上存在一点 P
，使
F1PF2 为钝角，则椭圆离心率的取值范围是_________．
故选：B．
1= 3+1 22
3 −1，
例4. 2008 年陕西省高考数学试卷（文科）
双曲线
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
0, b
0) 的左、右焦点分别是 F1 ， F2 ，过 F1 作倾斜角为 30 的
直线交双曲线右支于 M 点，若 MF2 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率为
（）
A． 6
B． 3
A(a cos,bsin ) ， B(−a cos, −bsin ) ，
y
P
A
F1 O
F2
x
B
从而
kPA kPB
=
b sin a cos
− bsin − a cos
bsin a cos
+ bsin + a cos
=
b2 a2
sin2 cos2
− sin2 − cos2
( ) ( ) =
（）
A． 2 2
【答案】B
B． 3 −1
C． 3 −1 2
D． 3 2
【解析】由题可知，直线 y = 3 ( x + c) 过椭圆左焦点，且 MF1F2 = 60 ，由
MF1F2 = 2MF2F1 得， MF2F1 = 30 ，由性质 3，可得
sin ( + )
e=
=
sin 90
=
sin + sin sin 60 + sin 30
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口算椭圆双曲线离心率问题
【学习目标】 1．掌握离心率的定义，并由定义推导出常见的离心率速算公式； 2．会利用椭圆双曲线的几何性质来简化离心率的计算公式．
【学习重难点】 1．离心率的推导公式及变形； 2．椭圆双曲线中一些二级结论在离心率求解中的应用．
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y1 x1
− y2 − x2
2 y0 2 x0
=
−
b2 a2
，
( ) 所以 kAB
kOM
b2 =−
a2
a2 − c2 =−
a2
=−
1− e2
= e2 −1.
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性质
2：AB
是椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
b
0) 上过原点的弦，P
是椭圆上异于
A、B 的任意一点，
则 kPA kPB = e2 −1；（此性质也称为椭圆的第三定义）
（）
A．
3 2
,1
【答案】A
B．
3 2
,1
C．
0,
3 2
D．
0,
3
2
【解析】根据性质 5，设 = F1PF2 ，根据最大角问题 cos 1 − 2e2 ，所以
1 − 2e2 − 1 ，即 3 e 1 ．
2
2
故选为：A．
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例6. 2019 年全国Ⅲ卷理科第 10 题
已知椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
b 0) ，直线 l : x
+ 2y
−4
=
0 与椭圆相交于
A ，B
两点，且
AB
中点 M 坐标为 (2,1) ，则椭圆的离心率为___________．
【答案】 3
2
【解析】根据性质１， kAB
kOM
= e2
−1 ，所以 − 1 1 22
= e2
−1，从而 e =
设
P
为椭圆
x2 a2
+
y b2
2
= 1(a
b
0) 上一点， F1 ，
F2
为焦点，若 PF1F2
=
75 ，
PF2F1 = 15 ，则椭圆的离心率为
（）
A． 2 2
【答案】D
B． 3 2
C． 2 3
D． 6 3
【解析】由题可知 PF1F2 = 75 ， PF2F1 = 15 ，根据性质 3，
sin ( + )
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
b 0) 得，
x12 a2
x2
2
a2
+ +
y12 b2
y22 b2
=1 ，作差，得：
=1
( x1
+
x2 )( x1
a2
+
x2 )
+
( y1
+
y2 )( y1
b2
−
y2 )
=
0；
所以，
y1 x1
− y2 − x2
y1 x1
+ y2 + x2
= − b2 a2
，即，
双曲线中的结论同样为： kPA kPB = e2 −1．
AB 是双曲线 x2 − y2 = 1 上过原点的弦， P 是双曲线上异于 A、B 的任意一点，则
a2 b2
kPA kPB
=
b2 a2
= e2
− 1.
证明：（三角换元）
已知椭圆方程椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
b 0)
设 P(a cos,bsin ) ，
3 3
3 = 1，根据性质 2，kMA kMB = e2 −1 ，从而 e =
2．
故选：D．
【变式】
双曲线 x2
−
y2 2
= 1 ，过点 B (1,1) 能否作直线 m
与所给双曲线交于 Q1 ，Q2 ，且点 B
是线
段 Q1Q2 的中点？
【答案】不存在这样的直线
【解析】假设存在，则有 kQ1Q2 kOB = e2 −1 ．从而 kQ1Q2 1 = 3 −1，所以 kQ1Q2 = 2 ， 则直线 m 为 y = 2x −1，根据图象易知直线 m 与双曲线 x2 − y2 = 1 无交点，与已知矛盾；
2 PF1 PF2
= 4a2 − 4c2 −1 2 PF1 PF2
所以，
PF1
PF2
2b2 =
1 + cos
y
P
θ
α
β
F1
O
F2
x
又 2b2 1 + cos
=
PF1
PF2
PF1
+ PF2 2
2
=
2a 2
2
= a2
所以 cos
2b2 a2
−1 = 1 − 2e2
当且仅当 PF1 = PF2 时等号成立，此时点 P 位于短轴端点.
【知识精讲】
性质 1：
AB 是椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a b 0) 的任意一条弦， O 为椭圆的中心， M
为 AB 的中
点，则 kAB kOM = e2 −1 ；
AB 是双曲线 x2 − y2 = 1 的任意一条弦， O 为双曲线的中心， M 为 AB 的中点，则
a2 b2
kAB kOM
F1PF2 = ，则 cos 1 − 2e2 （此结论也称为最大顶角问题）．
证明：（余弦定理）
已知椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=1（a
b
0）
在 △PF1F2 中，
cos = PF1 2 + PF2 2 − F1F2 2 2 PF1 PF2
( ) = PF1 + PF2 2 − F1F2 2 − 2 PF1 PF2
b2 a2
1 − cos2 cos2
− 1 − cos2 − cos2
=
−
b2 a2
=e2
−1
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性质
3：椭圆 x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
b 0) 中，设 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点， P 为椭圆上任一
+
点．若 PF1F2
= ， PF2F1
= ，则 e = sin ( + )
由性质 4 可知， e = 1 = 2 ， cos
故答案为：2．
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【变式】2019 年全国Ⅱ卷理科第 11 题
设
F 为双曲线 C： x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
0,b 0) 的右焦点， O 为坐标原点，以 OF
为直径的
圆与圆 x2 + y2 = a2 交于 P，Q 两点．若 PQ = OF ，则 C 的离心率为 （ ）
双曲线 C ： x2 − y2 = 1的右焦点为 F ，点 P 在 C 的一条渐进线上，O 为坐标原点，若 42
PO = PF ，则△ PFO 的面积为
（）
A． 3 2 4
【答案】A
B． 3 2 2
C． 2 2
D． 3 2
【解析】由题易知，渐近线为 y = 2 x ，设倾斜角为 ，所以 tan = 2 ，
【答案】
2 2
,1
【解析】根据性质 5，设 = F1PF2 ，根据最大角问题 cos 1 − 2e2 ，所以
1 − 2e2 0 ，即 2 e 1． 2
故答案为：
2 2
,1
．
【变式】
设椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1 的左、右焦点分别是 F1 ， F2 ，如果在椭圆上存在一点 P
，使
F1PF2 = 120 ，则椭圆离心率的取值范围是
2
2
从而 h = tan OF = 2
2 6= 22
3 2
，所以
S△PFO
=
1 2
h OF
=
1 2
3 2
6=3 2． 4
故选：A．
例7. 2019 年全国Ⅰ卷理科第 16 题
已知双曲线
C
：
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
0, b
0)
的左、右焦点分别为 F1 ，F2 ，过 F1 的直线与 C
的两条渐近线分别交于 A ， B 两点．若 F1A = AB ， F1B F2B = 0 ，则 C 的离心率为