圆锥曲线之口算离心率

【答案】
2 2
,1
【解析】根据性质 5，设 = F1PF2 ，根据最大角问题 cos 1 − 2e2 ，所以
1 − 2e2 0 ，即 2 e 1． 2
故答案为：
2 2
,1
．
【变式】
设椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1 的左、右焦点分别是 F1 ， F2 ，如果在椭圆上存在一点 P
，使
F1PF2 = 120 ，则椭圆离心率的取值范围是
A． 2
B． 3
C． 2
D． 5
【答案】A 【解析】由题可知， OP = a ， OF = c ，又 OP ⊥ FP ， OF = c ，所以 PF = b ，
从而可知 P 点在双曲线的渐近线上，又 PQ = OF ，
2 故答案为：不存在这样的直线．
作业帮一课周永亮老师独家编辑
例3. 2013-2014 学年吉林省吉林市实验中学高二（上）模块检测数学试卷（二）（理科）
椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
b 0) ，左右焦点分别是 F1, F2
焦距为 2c ，若直线
y
=
3(x + c)与
椭圆交于 M 点，满足 MF1F2 = 2MF2F1 ，则离心率是
（）
A． 2 2
【答案】B
B． 3 −1
C． 3 −1 2
D． 3 2
【解析】由题可知，直线 y = 3 ( x + c) 过椭圆左焦点，且 MF1F2 = 60 ，由
MF1F2 = 2MF2F1 得， MF2F1 = 30 ，由性质 3，可得
sin ( + )
e=
=
sin 90
=
sin + sin sin 60 + sin 30
已知椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
b 0) ，直线 l : x
+ 2y
−4
=
0 与椭圆相交于
A ，B
两点，且
AB
中点 M 坐标为 (2,1) ，则椭圆的离心率为___________．
【答案】 3
2
【解析】根据性质１， kAB
kOM
= e2
−1 ，所以 − 1 1 22
= e2
−1，从而 e =
双曲线 C ： x2 − y2 = 1的右焦点为 F ，点 P 在 C 的一条渐进线上，O 为坐标原点，若 42
PO = PF ，则△ PFO 的面积为
（）
A． 3 2 4
【答案】A
B． 3 2 2
C． 2 2
D． 3 2
【解析】由题易知，渐近线为 y = 2 x ，设倾斜角为 ，所以 tan = 2 ，
（）
A．
3 2
,1
【答案】A
B．
3 2
,1
C．
0,
3 2
D．
0,
3
2
【解析】根据性质 5，设 = F1PF2 ，根据最大角问题 cos 1 − 2e2 ，所以
1 − 2e2 − 1 ，即 3 e 1 ．
2
2
故选为：A．
作业帮一课周永亮老师独家编辑
例6. 2019 年全国Ⅲ卷理科第 10 题
y1 x1
− y2 − x2
2 y0 2 x0
=
−
b2 a2
，
( ) 所以 kAB
kOM
b2 =−
a2
a2 − c2 =−
a2
=−
1− e2
= e2 −1.
作业帮一课周永亮老师独家编辑
性质
2：AB
是椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
b
0) 上过原点的弦，P
是椭圆上异于
A、B 的任意一点，
则 kPA kPB = e2 −1；（此性质也称为椭圆的第三定义）
2
2
从而 h = tan OF = 2
2 6= 22
3 2
，所以
S△PFO
=
1 2
h OF
=
1 2
3 2
6=3 2． 4
故选：A．
例7. 2019 年全国Ⅰ卷理科第 16 题
已知双曲线
C
：
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
0, b
0)
的左、右焦点分别为 F1 ，F2 ，过 F1 的直线与 C
的两条渐近线分别交于 A ， B 两点．若 F1A = AB ， F1B F2B = 0 ，则 C 的离心率为
b2 a2
1 − cos2 cos2
− 1 − cos2 − cos2
=
−
b2 a2
=e2
−1
作业帮一课周永亮老师独家编辑
性质
3：椭圆 x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
b 0) 中，设 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点， P 为椭圆上任一
+
点．若 PF1F2
= ， PF2F1
= ，则 e = sin ( + )
作业帮一课周永亮老师独家编辑
口算椭圆双曲线离心率问题
【学习目标】 1．掌握离心率的定义，并由定义推导出常见的离心率速算公式； 2．会利用椭圆双曲线的几何性质来简化离心率的计算公式．
【学习重难点】 1．离心率的推导公式及变形； 2．椭圆双曲线中一些二级结论在离心率求解中的应用．
作业帮一课周永亮老师独家编辑
【知识精讲】
性质 1：
AB 是椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a b 0) 的任意一条弦， O 为椭圆的中心， M
为 AB 的中
点，则 kAB kOM = e2 −1 ；
AB 是双曲线 x2 − y2 = 1 的任意一条弦， O 为双曲线的中心， M 为 AB 的中点，则
a2 b2
kAB kOM
设
P
为椭圆
x2 a2
+
y b2
2
= 1(a
b
0) 上一点， F1 ，
F2
为焦点，若 PF1F2
=
75 ，
PF2F1 = 15 ，则椭圆的离心率为
（）
A． 2 2
【答案】D
B． 3 2
C． 2 3
D． 6 3
【解析】由题可知 PF1F2 = 75 ， PF2F1 = 15 ，根据性质 3，
sin ( + )
F1PF2 = ，则 cos 1 − 2e2 （此结论也称为最大顶角问题）．
证明：（余弦定理）
已知椭圆
xபைடு நூலகம் a2
+
y2 b2
=1（a
b
0）
在 △PF1F2 中，
cos = PF1 2 + PF2 2 − F1F2 2 2 PF1 PF2
( ) = PF1 + PF2 2 − F1F2 2 − 2 PF1 PF2
____________．
【答案】2
【解析】由题可知， BF2 ⊥ BF1 ， OA ⊥ BF1 ，从而 OA∥BF2 ，
设渐近线在第一象限的倾斜角为
，由 OA∥BF2
，得
BF2
F1
= OF2
，
c
从而 △OBF2 为等腰三角形，且 OB
=
1 2
F1F2
=
c ，所以
cos
=
2 OB
=
2 c
=1， 2
A(a cos,bsin ) ， B(−a cos, −bsin ) ，
y
P
A
F1 O
F2
x
B
从而
kPA kPB
=
b sin a cos
− bsin − a cos
bsin a cos
+ bsin + a cos
=
b2 a2
sin2 cos2
− sin2 − cos2
( ) ( ) =
作业帮一课周永亮老师独家编辑
性质
4：已知双曲线
x2 a2
−
y2 b2
= 1 (a,b 0) ，设其渐近线为 y
= kx ，则其离心率 e =
1+ k2 ，
若渐近线的倾斜角为 ，则离心率 e = 1 ． cos
性质
5：已知椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1 (a b 0) ，两焦点分别为 F1 ， F2 ，设焦点三角形 PF1F2 中
又 sin sin + sin
=
sin ( − − )
sin + sin
=
2sin 2sin
+
2 +
cos + 2
cos −
=
cos + 2
cos −
2
2
2
已知双曲线方程
x2 a2
−
y2 b2
=1（a
0，b
0）
离心率： e = c = 2c = F1F2 = sin a 2a PF1 − PF2 sin − sin
=
b2 a2
= e2
− 1.
双曲线中的结论同样为： kAB kOM = e2 −1 ． 证明：（点差法）
设 A( x1, y1 ) ， B( x2 , y2 ) ， M ( x0 , y0 )
y
A
M
B
则
x1 y1
+ +