多项式除以多项式
多项式除以多项式公式
多项式除以多项式公式
多项式除法是将一个多项式除以另一个多项式，得到的结果为一个商多项式和一个余数多项式的过程。
多项式除法的公式如下：
(a x n + b x n-1+ ... + k) ÷ (m x n + n x n-1 + ... + p) = q x0 + r x-1 + ... + z
其中，a、b、k、m、n、p、q、r、z都是系数，x为变量，n为最高次幂。
具体的计算方法如下：
1. 将多项式除以x n的系数a，得到一个商q和一个余数r。
2. 将商q乘以多项式中的x n-1项，并将结果加上余数r，得到一个新的多项式。
3. 将新多项式中的x n-1项除以m，得到一个商和一个余数。
4. 重复步骤2和3，直到新多项式中的x的最高次幂小于n为止。
5. 最后得到的商即为多项式除法的商，余数为多项式除以除数后剩下的部分。
需要注意的是，在进行多项式除法时，需要确保除数不为零，否则将无法进行除法运算。
此外，多项式除法需要掌
握一定的数学知识，如代数式的运算、因式分解等。
多项式除以多项式
情感态度与价值目标： 2.情感态度与价值目标： 情感态度与价值目标
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多项式除以多项式例题及解法
多项式除以多项式例题及解法《多项式除以多项式例题及解法》在代数学中，多项式是一个数学表达式，由常数项、变量项和指数的乘积组成。
多项式之间的运算包括加法、减法、乘法和除法。
本文将重点介绍多项式除以多项式的例题及解法。
首先，我们以一个具体的例题开始讨论。
假设有两个多项式：被除式P(x)和除式Q(x)。
我们的目标是求得P(x)除以Q(x)的结果，并用商式和余式表示。
例题：求解多项式P(x) = 3x^3 + 5x^2 + 2x + 1 除以 Q(x) = x^2 + x + 1。
解法：1. 将被除式和除式按照降幂排列，以便后续计算。
P(x) = 3x^3 + 5x^2 + 2x + 1Q(x) = x^2 + x + 12. 根据除法的步骤，从被除式P(x)中取出最高次项，然后将其除以除式Q(x)的最高次项，并得到商式的最高次项。
在本例中，最高次项为3x^3，而除式的最高次项为x^2。
3. 将商式的最高次项乘以除式Q(x)，得到一个新的多项式。
3x^3 * (x^2 + x + 1) = 3x^5 + 3x^4 + 3x^34. 将新得到的多项式和被除式相减，得到一个新的多项式。
这个多项式应当比原来的多项式P(x)低一次。
(3x^3 + 5x^2 + 2x + 1) - (3x^5 + 3x^4 + 3x^3) = -3x^5 - 3x^4 + 2x^2 + 2x + 15. 重复步骤3和步骤4，直到新得到的多项式的次数低于除式的次数。
-3x^5 * (x^2 + x + 1) = -3x^7 - 3x^6 - 3x^5(-3x^5 - 3x^4 + 2x^2 + 2x + 1) - (-3x^7 - 3x^6 - 3x^5) = 3x^7 + 3x^6 + 2x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 16. 将商式和余式表示出来，即将步骤3得到的多项式作为商式，最后得到的多项式作为余式。
商式：3x^3 - 3x^5 + 3x^7余式：2x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 1通过以上步骤，我们得到了多项式P(x)除以多项式Q(x)的商式和余式。
多项式除以多项式
多项式除以多项式多项式除法示例多项式除以多项式的一般步骤：多项式除以多项式通常以垂直形式计算（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．（2）用除数的第一项去掉除数的第一项，得到商的第一项（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．（4）将减少的差值作为一个新的除数，然后按照上述方法继续计算，直到余数为零或余数小于除数。
除数=除数×商+余数如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：例1计算(x?9x?20)?(x?4)规范解法2.∴（x2）?9x?20)?(x?4)?x?5.解算步骤说明：（1）将除法公式x（2）除以除法公式X22？9x？20和x组？按照字母的降序排列22?9x?20的第一项x除以除式x?4的第一项x，得x?x?x，这就是商的第一项．（3）商和除法的第一项x？乘以4得到x？4X，从x222开始用X（4）写？9x？20岁以下22?9x?20减去x?4x，得差5x?20，写在下面，就是被除式去掉x?4x后的一部分．（5） 5倍？将20的第一项5x除以除法的第一项x得到5x？十、5.这是商的第二项，以代数和的形式写在第一项x之后（6）以商式的第二项5与除式x?4相乘，得5x?20，写在上述的差5x?20的下面．（7）相减得差0，表示恰好能除尽．（8）写出运算结果，(x542?9x?20)?(x?4)?x?5.22案例2计算（6x？9x？7x？20x？3）？（2x×5）。
规范性解决方案-1-五千四百二十二∴(6x?9x?7x?20x?3)?(2x?x?5)32? 3倍？3倍？6x？1.你是9x吗？2．注①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数．另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2．∴（6x？9x？7x？20x？3）？（2x×5）32?3x?3x?6x?1???????????余9x?2．什么是综合部？由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．例如：计算（2x？3x？4）？（x？3）。
多项式÷多项式例题
多项式÷多项式例题多项式是高中数学中一个非常重要的概念，它是由一系列的单项式组成的代数式。
在学习多项式的过程中，我们需要掌握多项式的基本运算，其中包括多项式的加减乘除。
本文将重点讲解多项式的除法运算，通过例题的方式来帮助读者更好地掌握多项式除法的方法和技巧。
一、多项式除法的定义多项式除法是指将一个多项式除以另一个多项式的运算。
多项式除法的结果是一个商式和一个余式，其中商式是被除式和除式的商，余式是被除式除以除式所得到的余数。
在多项式除法中，被除式和除式通常都是多项式，我们需要用到长除法的方法来进行计算。
二、多项式除法的步骤多项式除法的步骤主要有以下几个：1. 将被除式和除式按照相同的次数排列，从高次到低次。
2. 将除式的首项系数提取出来，作为商式的首项系数。
3. 将被除式的首项与除式的首项相乘，然后将乘积除以除式的首项系数，得到商式的次项系数。
4. 将商式的次项与除式相乘，并将乘积减去被除式的前两项，得到一个新的多项式。
5. 将新的多项式作为被除式，重复上述步骤，直到无法再进行除法为止。
6. 最后所得到的商式即为多项式除法的商，余数即为最后一次除法所得到的余数。
三、多项式除法的例题下面我们通过几个例题来演示多项式除法的计算过程：例1：将多项式f(x)=x+2x-5x-6除以多项式g(x)=x-2。
解：按照上述步骤进行计算，我们可以得到以下结果：因此，多项式f(x)÷g(x)=x+4x+3，余数为0。
例2：将多项式f(x)=3x-5x+2x+7x-1除以多项式g(x)=x+2x-1。
解：按照上述步骤进行计算，我们可以得到以下结果：因此，多项式f(x)÷g(x)=3x-x+3，余数为10x-2。
例3：将多项式f(x)=x-2x-3x+4x+5x-6除以多项式g(x)=x-2x+x+1。
解：按照上述步骤进行计算，我们可以得到以下结果：因此，多项式f(x)÷g(x)=x-4x+7，余数为-3x+6x-13。
多项式除以多项式精品课教学设计完美版
多项式除以多项式精品课教学设计完美版1. 引言本教学设计旨在帮助学生掌握多项式除以多项式的基本操作和概念。
通过精心设计的课堂活动和练题，学生将能够在实际运用中解决相关问题。
本课程设计适用于高中数学课程，建议在已经掌握多项式的加减乘法运算后进行教学。
2. 教学目标本课程的主要教学目标包括：- 理解多项式除以多项式的概念和操作；- 掌握多项式除法的基本步骤和算法；- 能够解决实际问题中涉及多项式除法的应用题。
3. 教学内容本课程的教学内容包括以下几个方面：3.1 多项式除法的概念- 讲解多项式的概念和表示方法；- 引入多项式除法的概念，与多项式的加减乘法进行比较。
3.2 多项式除法的基本步骤- 详细讲解多项式除法的基本步骤：先找出除式的最高次项与被除式的最高次项相同的项，进行除法运算，然后将结果与被除式相减得到新的被除式，重复以上步骤直到被除式的次数小于除式的次数。
3.3 多项式除法的算法- 基于上述基本步骤，介绍多项式除法的算法；- 演示多项式除法的过程，并与学生一起完成几个例题。
3.4 多项式除法的应用题- 提供多个实际问题的应用题，要求学生运用多项式除法解决问题；- 引导学生理解多项式除法在实际问题中的应用意义。
4. 教学活动本课程设计将采用多种教学活动形式，包括：- 探究式研究：通过让学生自己尝试多项式除法，发现其中的规律和方法；- 教师讲解：通过示范、解释和演示，让学生理解多项式除法的基本步骤和算法；- 小组讨论：学生分组进行练和讨论，互相解答疑惑和分享经验；- 练题实践：提供一系列练题供学生巩固和应用所学的多项式除法知识。
5. 评估方法为了评估学生对多项式除法的掌握情况，可以采用以下几种评估方法：- 课堂练：在课堂上进行练题的解答和批改；- 作业评估：布置相关作业，课后进行批改和评估学生的掌握情况。
6. 教学资源为了支持本课程的教学，可以准备以下资源：- 课本资料：准备与多项式除法相关的课本资料，作为教学参考；- 演示工具：准备投影仪或电子白板等演示工具，用于课堂演示；- 练题：准备多项式除法的练题，用于学生练和应用。
多项式除以多项式法则例题
多项式除以多项式法则例题多项式除以多项式，听上去是不是像吃了个大难题？别担心，我们一步步来，慢慢捋清楚这个难题。
其实，掌握了几个基本步骤，问题就迎刃而解了。
今天我们就来聊聊这个话题，让你对多项式除法有个清晰的认识。
1. 基础概念1.1 多项式是什么首先，我们得搞清楚什么是多项式。
简单来说，多项式就是由几个项（terms）组成的代数表达式。
比如说，(2x^2 + 3x 5) 就是一个多项式。
里面的每一项都是常数或者变量的幂次，比如 (2x^2) 是一项，(3x) 是另一项。
1.2 为什么要除法你可能会问，干嘛要搞个多项式除以多项式的运算？有时候，我们需要把复杂的多项式简化成更易处理的形式。
通过除法，我们能找出“商”和“余数”，这样处理起来就方便多了。
2. 除法步骤2.1 设定目标假设我们有两个多项式，一个是被除数（dividend），另一个是除数（divisor）。
我们想要找到的结果是商（quotient）和余数（remainder）。
这里的商就是除法的结果，而余数是剩下的部分。
2.2 具体步骤1. 对齐多项式：把多项式按降幂排列整齐。
例如，(6x^3 + 5x^2 2) 除以 (2x 1)。
2. 除首项：拿被除数的首项除以除数的首项。
比如说，(6x^3) 除以 (2x) 就是(3x^2)。
这就是商的一部分。
3. 乘法和减法：把刚刚得到的商部分乘以整个除数，然后从被除数中减去这个结果。
这一步是为了消去一部分被除数的内容。
4. 重复操作：重复以上步骤，直到剩下的部分（余数）的次数低于除数的次数。
5. 整理结果：最后，把所有得到的商部分加起来，再加上余数，就是我们的最终结果。
3. 举例讲解3.1 例题演示让我们通过一个例子来更清楚地理解这个过程吧。
比如，我们要计算 (2x^3 4x^2+ 3x 5) 除以 (x 2)。
1. 除首项：(2x^3) 除以 (x) 是 (2x^2)。
所以，商的第一部分是 (2x^2)。
多项式除法
关于多项式除以多项式两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，我们来计算(7x＋2＋6x2)÷(2x＋1)，仿照672÷21，计算如下：∴(7x＋2＋6x2)÷(2x＋1)=3x＋2．由上面的计算可知计算步骤大体是，先用除式的第一项2x去除被除式的第一项6x2，得商式的第一项3x，然后用3x去乘除式，把积6x2＋3x写在被除式下面(同类项对齐)，从被除式中减去这个积，得4x＋2，再把4x＋2当作新的被除式，按照上面的方法继续计算，直到得出余式为止．上式的计算结果，余式等于0．如果一个多项式除以另一个多项式的余式为0，我们就说这个多项式能被另一个多项式整除，这时也可说除式能整除被除式．整式除法也有不能整除的情况．按照某个字母降幂排列的整式除法，当余式不是0而次数低于除式的次数时，除法计算就不能继续进行了，这说明除式不能整除被除式．例如，计算(9x2＋2x3＋5)÷(4x－3＋x2)．解：所以商式为2x＋1，余式为2x＋8．与数的带余除法类似，上面的计算结果有下面的关系：9x2＋2x3＋5＝(4x－3＋x2)(2x＋l)＋(2x＋8)．这里应当注意，按照x的降幂排列，如果被除式有缺项，一定要留出空位．当然，也可用补0的办法补足缺项．当除式、被除式都按降幂排列时，各项的位置就可以表示所含字母的次数．因此，计算时，只须写出系数，算出结果后，再把字母和相应的指数补上去．这种方法叫做分离系数法．按照分离系数法，上面例题的计算过程如下：于是得到商式=2x＋1，余式=2x＋8．对于多项式的乘法也可用分离系数法进行计算，例如，(2x3－5x－4)(3x2－7x＋8)按分离系数法计算如下：所以，(2x3－5x－4)(3x2－7x＋8)=6x5－14x4＋x3＋23x2－12x－32．如果你有兴趣，作为练习，可用上面的方法计算下面各题．1．(6x3＋x2－1)÷(2x－1)．2．(2x3＋3x－4)÷(x－3)．3．(x3－2x2－5)(x－2x2－1)．4．(x＋y)(x2－xy＋y2)．【本讲教育信息】一. 教学内容：单项式除以单项式、多项式除以单项式、多项式除以多项式二. 重点、难点整式的除法与我们以前所学的整式的加法、减法、乘法有很多不同，特别是多项式除以多项式，虽然是选学内容，但多项式除以多项式在解决代数式求值，及复杂的因式分解都有很大的用处。
多项式除以多项式
多项式除以多项式一般用竖式进行演算（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．（2）用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项．（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+多项式除法示例余式2例[编辑]编辑计算把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐，写成以下这种形式：然后商和余数可以这样计算：.将分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为x）。
结果写在横线之上(x3÷ x = x2)...将分母乘以刚得到结果（最终商的第一项），乘积写在分子前两项之下（同类项对齐） (x2·(x−3) = x3−3x2)...从分子的相应项中减去刚得到的乘积（消去相等项，把不相等的项结合起来），结果写在下面。
((x3−12x2)−(x3−3x2) = −12x2+3x2 = −9x2)然后，将分子的下一项“拿下来”。
..把减得的差当作新的被除式，重复前三步（直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式）..重复第四步。
这次没什么可以“拿下来”了。
.横线之上的多项式即为商，而剩下的 (−123) 就是余数。
算数的长除法可以看做以上算法的一个特殊情形，即所有x被替换为10的情形。
3整除编辑如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除4应用编辑多项式的因式分解有时某个多项式的一或多个根已知，可能是使用Rational root theorem（英语：）得到的。
如果一个次多项式的一个根已知，那么可以使用多项式长除法因式分解为的形式，其中是一个次的多项式。
简单来说，就是长除法的商，而又知是的一个根、余式必定为零。
多项式除以多项式字母公式
多项式除以多项式字母公式假设有两个多项式 $P(x)$ 和 $Q(x)$，其中 $Q(x)$ 不是零多项式，则有以下的多项式除法字母公式：$$P(x) = Q(x) \cdot D(x) + R(x)$$其中，$D(x)$ 为商多项式，$R(x)$ 为余数多项式，且满足以下条件：- $R(x)$ 的次数小于 $Q(x)$ 的次数；- $Q(x) \cdot D(x)$ 的次数等于或者高于 $P(x)$ 的次数。
使用这个字母公式，可以将多项式除法转化为整数除法的形式，从而方便计算商和余数。
例如，将 $P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1$ 除以 $Q(x) = x - 2$，则可得：\begin{aligned}P(x) &= Q(x) \cdot D(x) + R(x) \\ &= (x - 2) \cdotD(x) + R(x)\end{aligned}现在要求出 $D(x)$ 和 $R(x)$。
首先，我们可以使用长除法的方法，从高次项到低次项依次计算出 $D(x)$ 的每一项。
首先将 $x$ 除以 $x$，得到 $D(x)$ 的最高次项为 $2x^2$。
然后将 $x - 2$ 乘以 $2x^2$，得到 $2x^3- 4x^2$，将其减去 $P(x)$ 的最高次项 $2x^3$，得到 $x^2$，将 $x$ 除以 $x - 2$，得到 $D(x)$ 的次高项为 $x^2$。
以此类推，可以得到：$$D(x) = 2x^2 + x +2$$接下来，将 $D(x)$ 代入上面的公式，即有：\begin{aligned}R(x) &= P(x) - Q(x) \cdot D(x) \\ &= 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 - (x - 2) \cdot (2x^2 + x +2) \\ &= 7x - 5\end{aligned}因此，多项式 $P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1$ 可以被 $Q(x) = x - 2$ 整除，商为 $D(x) = 2x^2 + x +2$，余数为 $R(x) = 7x - 5$。
多项式除法详细步骤
多项式除法详细步骤多项式除法是一种常用的数学运算方法，用于将一个多项式除以另一个多项式。
这种运算是高中数学中的重要内容，也是进一步理解多项式性质和解决实际问题的基础。
在进行多项式除法之前，我们首先要了解一些基本概念：1.多项式：多项式是由常数、变量和幂运算（指数为正整数）的和组成的。
例如，3x^2 + 2x + 1就是一个三次多项式。
2.项：多项式中的每一部分叫做一个项。
例如，3x^2、2x和1分别是上面多项式的三个项。
3.高次项：多项式中幂次最高的项叫做高次项。
例如，上面多项式的高次项是3x^2。
4.系数：多项式中每个项前面的常数叫做系数。
例如，上面多项式的系数分别是3、2和1。
下面，我们来讲解多项式除法的详细步骤：步骤1：将被除式按照幂次降序排列，即将高次项放在前面。
如果括号内的式子没有示意，也可不列出括号。
步骤2：将除式按照幂次降序排列，与被除式对齐。
如果除式某一项的幂次高于被除式对应项的幂次，可以在被除式前面添加一个幂次为0的项，其系数为0。
步骤3：将除式的第一项（即最高次项）乘以一个常数k，使得除式的最高次项与被除式的最高次项相同。
这个常数k就是两者的系数的商，记为K。
步骤4：将上一步得到的常数k乘以除式的每一项，并与被除式对应项相加。
这一步是为了消除被除式中高次项的系数。
步骤5：将上一步所得结果作为新的被除式，重复步骤2，直到被除式的最高次项幂次小于除式的最高次项。
步骤6：此时，被除式无法再除以除式，剩下的被除式就是最终的余数。
步骤7：将每一步得到的k（即商）和最终的余数写成一个分式，商作为分子，余数作为分母，即得到最终的结果。
下面通过一个具体的例子来演示多项式除法的步骤：被除式：2x^4 - 4x^3 + 3x^2 - 2x + 1除式： x^2 - x + 2首先按照幂次降序排列被除式和除式：2x^4 - 4x^3 + 3x^2 - 2x + 1x^2 - x + 2下一步是将除式的第一项与被除式的最高次项相除，这里最高次项分别为2x^4和x^2。
多项式除以多项式.docx
多项式除法示例多项式除以多项式的一般步骤：多项式除以多项式一般用竖式进行演算（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．（2 ）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项．（3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．（ 4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+ 余式如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：例 1 计算( x29x 20) ( x 4)规范解法∴( x 29x20)(x 4)x 5.解法步骤说明：（1）先把被除式x29x20 与除式x 4 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式x29x20 的第一项 x2除以除式 x 4 的第一项x，得x2x x ，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式x 4 相乘，得x24x ，写在 x29x20 的下面．（4）从x29x20 减去 x24x ，得差5x20，写在下面，就是被除式去掉x24x 后的一部分．（5）再用5x20 的第一项 5x 除以除式的第一项x ，得5x x 5 ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项 5 与除式x 4 相乘，得 5x20 ，写在上述的差5x 20的下面．（7）相减得差0，表示恰好能除尽．（8）写出运算结果， (x 29x20)( x 4)x 5.例 2 计算(6x59x47x220 x3) (2x2x 5) ．规范解法∴ (6x59x 47x220x 3) ( 2x2x 5)3x33x26x1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯余9x 2．注①遇到被除式或除式中缺，用0 位或空出；②余式的次数低于除式的次数．另外，以上两例可用分离系数法求解．如例2．∴ (6x59x 47x220x 3) ( 2x2x 5)3x33x26x1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯余9x 2．8．什么是合除法由前面的 4我知道两个多式相除可以用式行，但当除式一次式，而且它的首系数 1 ，情况比特殊．如：算 ( 2x33x4)( x 3) ．因除法只系数行，和x 无关，于是算式（1）就可以化成算式（2）．可以再化．方框中的数2、6、21 和余式首系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首系数是1，所以余式的首系数 6、21 与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首系数也省略，算式（ 2）就化成了算式（30 的形式：将算式（ 3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（ 4）中的除数－ 3 换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1．例 1 用综合除法求x43x33x 23x 12 除以x 1的商式和余式．规范解法∴商式x32x 2x 2 ，余式＝10．例 2用综合除法证明2x515x3 10 x29 能被x 3整除．规范证法这里 x 3x( 3) ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．）因余数是 0，所以2x515x310 x29 能被x 3 整除．当除式为一次式，而一次项系数不是 1 时，需要把它变成 1以后才能用综合除法．．例 3 求2x3x7 除以2x 1 的商式和余数．规范解法把 2x1除以2，化为x1，用综合除法．2但是，商式2x2x3，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了 2 倍，应当除以 2 才是所求的商2式；余数没有变．∴ 商式x21x3，余数73．244为什么余数不变呢我们用下面的方法验证一下．用 2x 3x 7 除以 x1 ，得商式 2x2 x3 ，余数为 7 3 ，即2 2 4 ∴2x3x 3x 12x2x3 7 322 42x 1 x 21 x 37 3．2 44即2x3x 3 除以 2x 1的商式x21 x 3 ，余数仍为 73．244综合除法与余数定理综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。
多项式除以多项式教案大学
课程名称：高等代数授课对象：大学本科生授课学时：2学时教学目标：1. 理解多项式除以多项式的基本概念和运算规则。
2. 掌握多项式除以多项式的长除法步骤。
3. 能够熟练运用多项式除法解决实际问题。
4. 培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
教学内容：1. 多项式除以多项式的基本概念2. 多项式除法的长除法步骤3. 多项式除法的应用教学过程：一、导入新课1. 复习上节课的内容，引导学生回顾多项式的概念和运算。
2. 提出问题：如何将一个多项式除以另一个多项式？二、讲解新课1. 多项式除以多项式的基本概念- 解释多项式除法的定义，即找出一个多项式Q和余数R，使得被除式A可以表示为A = B Q + R，其中B为除式，Q为商，R为余数。
- 强调商和余数的次数分别不超过除式的次数。
2. 多项式除法的长除法步骤- 引导学生观察两个多项式，找出除式中最高次项的系数。
- 将被除式中最高次项的系数乘以除式的最高次项，得到乘积。
- 将乘积与除式相除，得到商的最高次项。
- 将商的最高次项乘以除式，得到乘积。
- 将乘积从被除式中减去，得到新的被除式。
- 重复以上步骤，直到被除式的次数小于除式的次数。
3. 多项式除法的应用- 举例说明多项式除法在实际问题中的应用，如求解多项式的根、化简多项式等。
- 引导学生思考如何运用多项式除法解决实际问题。
三、课堂练习1. 给出几个多项式除以多项式的实例，让学生进行计算，巩固所学知识。
2. 引导学生思考如何运用多项式除法解决实际问题。
四、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调多项式除法的基本概念、长除法步骤和应用。
2. 布置课后作业，要求学生完成多项式除法的练习题。
教学评价：1. 课堂练习的完成情况，考察学生对多项式除法知识的掌握程度。
2. 课后作业的完成情况，考察学生对多项式除法的实际应用能力。
3. 学生在课堂上的表现，如提问、回答问题等，考察学生的参与度和学习积极性。
多项式除以多项式练习题
多项式除以多项式练习题1. 给定多项式 $Q(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - x + 2$ 和多项式$P(x) = x^2 - 3x + 1$，求 $Q(x)$ 除以 $P(x)$ 的商和余数。
解答：首先，将 $Q(x)$ 和 $P(x)$ 按照降幂排列，如下所示：$Q(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - x + 2$$P(x) = x^2 - 3x + 1$然后，按照长除法的步骤进行计算：经过计算，我们可以得到：商：$3x^2 + 7x - 11$余数：$48x - 13$2. 给定多项式 $Q(x) = 2x^5 - 5x^4 + 3x^3 + x - 2$ 和多项式$P(x) = x^3 - 2x^2 + 1$，求 $Q(x)$ 除以 $P(x)$ 的商和余数。
解答：首先，将 $Q(x)$ 和 $P(x)$ 按照降幂排列，如下所示：$Q(x) = 2x^5 - 5x^4 + 3x^3 + x - 2$$P(x) = x^3 - 2x^2 + 1$然后，按照长除法的步骤进行计算：经过计算，我们可以得到：商：$2x^2 - x + 1$余数：$-3x^2 + 4x - 3$3. 给定多项式 $Q(x) = 5x^4 - 3x^3 - 7x^2 + 2x - 1$ 和多项式$P(x) = x^2 + 2$，求 $Q(x)$ 除以 $P(x)$ 的商和余数。
解答：首先，将 $Q(x)$ 和 $P(x)$ 按照降幂排列，如下所示：$Q(x) = 5x^4 - 3x^3 - 7x^2 + 2x - 1$$P(x) = x^2 + 2$然后，按照长除法的步骤进行计算：经过计算，我们可以得到：商：$5x^2 - 3x - 2$余数：$13x - 5$4. 给定多项式 $Q(x) = 4x^6 - 2x^5 + x^4 - 5x^3 + 3x^2 - 4x + 1$ 和多项式 $P(x) = x^4 - 3x^2 + 2$，求 $Q(x)$ 除以 $P(x)$ 的商和余数。
多项式除以多项式——长除法
多项式除以多项式的法则如下：
1.多项式除以多项式，先把被除式、除式都按某 一字母的降幂排列（被除式有缺项要留出空位 或加0）
2.用除式的第一项除被除式的第一项，得商式的 第一项
3.用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下 面（同类项对齐），从被除式减去这个积，得 第一余式
4.把所得余式当作新的被除式，再按上面的方法 继续演算直到余式为0或者余式的次数低于除式 的次数为止。
1.(2x3 9 x2 3x 5) ( x2 4 x 3) 2.(3x4 13x3 x) (x2 4x 3) 3.(2x5 10x 15 7 x3 6x4 ) (x2 4 3x) 4.( x4 3x3 2 x2 1) ( x2 1) 5.(8x4 6 x3 13x2 4) (2 x2 x 2) 6.(10 xy 2 7 x2 y 2 x3 10 y3 ) ( x 2 y)
练习
1.求x5y5除以xy的商 2.(34a2b2ab2)(ab)
例 4 . ( 2 x 4 3 x 3 1 0 x 2 1 3 x 2 7 ) ( x 2 2 x 3 )
注意：当余式不是零而次数低于除式的次数 时，除法演算就不能继续进行，这说明除式 不能整除被除式
被除式=除式×商式+余式
验算
例 1 ： (5x22x3 1 )(12x)
注意：被除式按x降幂排列时如有缺 项，要留出空位，也可以采用加零的 办法补足缺项
例 2 : ( a 4 4 0 b 4 5 a 3 b 2 2 a b 3 ) ( a 2 4 b 2 3 a b )
例 3 ： 2 x 2 4 x 4 除 2 x 4 5 x 3 x 2 2 的 商
多项式除以多项式——长除法
多项式除以多项式
多项式的除法怎么计算
多项式的除法怎么计算
多项式的除法是数学中常用的一种算法。
它用来将多项式除以另一个多项式，以计算多项式的商和余数。
多项式除法是一种改变多项式的混合系数的方法，可以将多项式转换为更简单的形式。
具体来说，在多项式除法计算中，首先需要知道的是，需要对A(x) / B(x)进行计算，其中A(x)为被除多项式，B(x)为除数多项式。
然后，可以将A(x)被除多项式降阶，使其形式与B(x)相同。
然后，除数B(x)乘以A(x)中最高项的系数，乘积会加入最高项在A(x)减去最高项，结果被放在余项中。
然后，可以继续将系数乘以B(x)，积乘积累计，并将最大项减去A(x)中的累计最大值，将其和上一次累计的结果加在余项中。
这个过程会一直延续，直到A(x)中的所有的项都减完为止。
最终的结果就是多项式的商了。
当然，这里只介绍了最基本的多项式除法计算方法，但是也可以用更复杂的方法来进行计算，比如线性除法法和配方除法法，它们也可以用来求多项式的商和余数。
在总结多项式除法之前，我们需要知道，多项式除法最终会给出真正的多项式商，而商会带有加减乘除混合系数。
也就是说，它拥有一组混合系数，这组混合系数可以表示更多不同形式的多项式，是一种多项式改变形式的方式。
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动脑筋
若多项式x4 x3 ax2 bx c 能被 x3 3x2 3x 1整除，试求a、b、c的值
拓展阅读
整式的除法，在只有一个字母时，也常用 竖式进行，其中的字母省去（要注意按降 幂排列，缺项补零）.这称为“分离系数法”
例如：3x4 5x3 x2 2 x2 3
•3 •-5 •-8
103 3510 2 309 580 5 0 15 8 15 2 8 0 24 15 26
试一试
用分离系数法完成：
5x3 7x 1 2x 1 3x3 4x2 5x 1 x2 3x 1
谢谢！
注：降幂排列，缺项补0，同次项对齐
练习1： 5x2 2x3 1 1 2x
多项式除以多项式的法则
1. 把被除式、除式按某一字母的降幂排列 （缺项用0补足）
2. 用除式的第一项除被除式的第一项，得商 式的第一项
3. 用商式的第一项去乘除式，把积写在被除 式下面（同类项对齐），从被除式减去这 个积，得第一余式
4. 把所得余式当做新的被除式，再按上面的 方法继续演算直到余式为0或者余式的次 数低于除式的次数为止.
例题讲解
例题2： • 被除式=除式×商式+余式
2x3 3x2 4x 9 2x 1 3x4 5x3 xx 2
多项式除以多项式
长除法
想一想
x 12x 1 _2_x_2___3_x__1_
那么 2x2 3x 1 x 1 等于多少呢？
你是用什么办法解答的？因式分解
2x2 3x 1 x 1
x 12x 1 x 1
2x 1
新课引入
• 多项式除以多项式——长除法
• 例题1：2x2 3x 1 x 1 你会计算 3x3 7x2 4 x 1 吗？